Anal is is Dina Mico Dee Structur As

ESTRUCTURAS IV FAC. ING. UNLP 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA - FACULTAD DE INGENIERA

REA DEPARTAMENTAL CONSTRUCCIONES

Carrera: INGENIERA CIVIL

Ctedra: ESTRUCTURAS III, IV y V Asignatura: Estructuras IV E4

Anlisis Dinmico de Estructuras

Curso 2008 Elabor: Ing. Marcos De Virgiliis Rev: Fecha: noviembre de 2007

ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS

1 INTRODUCCIN 1.1 GENERALIDADES

En este captulo de la asignatura analizaremos el comportamiento de las estructuras sometidas a cargas dependientes del tiempo; es decir, las solicitaciones no sern aplicadas en forma esttica sino que nos interesar la distribucin en el tiempo de las acciones y de los efectos dinmicos que stas producen en las estructuras.

Gran parte de las estructuras reales estn sometidas a distintos tipos de acciones dinmicas como las derivadas de las actividades humanas, los motores de maquinarias, el trnsito de vehculos, el viento, el oleaje, los sismos, los choques o impactos, las explosiones, etc. Estas acciones, cuya magnitud, posicin, direccin y sentido pueden ser variables en el tiempo, provocan una respuesta de la estructura tambin variable en el tiempo y que puede ocasionar efectos de distinta importancia: desde vibraciones no perceptibles por los sentidos hasta grandes desplazamientos, fisuras, ruidos molestos, daos parciales o el colapso total de la estructura.

El anlisis dinmico se ocupa de establecer una relacin entre las variables intervinientes en un sistema sometido a la accin de cargas que varan con el tiempo, por ejemplo movimientos de vnculo y fuerzas externas (causas); con desplazamientos y esfuerzos internos (efectos).

Dos caractersticas esenciales distinguen al anlisis dinmico del esttico: en primer lugar la variacin de las acciones con el tiempo y en segundo lugar la aparicin de fuerzas de inercia en las ecuaciones de equilibrio. Es decir, una estructura se encuentra bajo una accin dinmica si la variacin de la carga en el tiempo es tal que produce la aparicin de fuerzas de inercia de una magnitud comparable a las fuerzas estticas. Por ejemplo, el desplazamiento de vnculo en una estructura producido por la consolidacin del terreno, si bien es variable en el tiempo, se produce a lo largo de un tiempo suficientemente largo (meses o aos) que no provoca efectos dinmicos (fuerzas de inercia) apreciables en la estructura, por lo que se puede considerar como una accin esttica. En cambio, el movimiento de las fundaciones de una estructura por la brusca accin de un sismo podr provocar aceleraciones en la masa de la estructura (fuerzas de inercia) comparables en mdulo a las fuerzas estticas, caracterizando como dinmica dicha solicitacin.

Si bien el anlisis esttico se puede considerar como un caso particular del anlisis dinmico, los mtodos de clculo difieren sensiblemente, siendo el anlisis dinmico considerablemente ms costoso. Por esto en la prctica, en el caso de estructuras de comportamiento lineal, se procede a un anlisis esttico (considerando las solicitaciones de fuerzas, desplazamiento de vnculos y temperatura aplicados en forma esttica) y separadamente a un anlisis dinmico (con las cargas dinmicas) para finalmente superponer ambas soluciones. La complejidad de los clculos hace imprescindible la aplicacin de la computadora en el anlisis dinmico, an para la resolucin de estructuras de pocos grados de libertad. El costo computacional es significativamente mayor que el caso esttico.

Saberes previos:

Para poder abordar sin mayores dificultades los conceptos y procedimientos contenidos en esta unidad temtica, son necesarios conocimientos previos en:

Mtodos matriciales de clculo de estructuras.

MasterResaltado

MasterResaltado

MasterResaltado



Anlisis matemtico: ecuaciones diferenciales. Clculo numrico. Fsica: dinmica del cuerpo rgido.

1.2 VIBRACIONES

La aplicacin de cargas dinmicas sobre una estructura produce como respuesta una vibracin, que es un movimiento cclico donde existe una transferencia de energa cintica en energa potencial en forma alternada. En las estructuras reales hay una disipacin de la energa total del movimiento, por lo cual en un tiempo ms o menos prolongado, la vibracin se detiene.

Podemos clasificar las vibraciones de distintas maneras segn las variables intervinientes.

Si una estructura, despus de una perturbacin inicial, es dejada vibrar libremente sin fuerzas externas que acten sobre ella, se obtendr un movimiento vibratorio libre. Si, en cambio, existe una fuerza externa que interviene en el movimiento, ste se denomina forzado. El pndulo simple es un ejemplo de vibracin libre, mientras que la accin de masas no balanceadas rotando (por Ej. un motor) es un movimiento forzado.

Desde el punto de vista de la conservacin de la energa, si la energa total del sistema no se disipa por fuerzas friccionales, la vibracin ser no amortiguada y contina indefinidamente. Si, en cambio, parte de la energa se pierde en cada ciclo (en calor o en sonido) provocando una disminucin del movimiento, se trata de vibraciones amortiguadas.

Cuando los elementos que componen una estructura (la masa, la rigidez, etc.) tienen un comportamiento lineal y los desplazamientos producidos son pequeos, se tendrn vibraciones lineales. En el caso de existir un comportamiento no lineal en la estructura las vibraciones sern no lineales. En este ltimo caso no ser vlido el principio de superposicin de efectos.

Una distincin importante se debe hacer en cuanto a la variacin de las acciones en el tiempo. Cuando esta variacin es conocida en cada instante de tiempo, la respuesta del sistema estructural se obtendr mediante un anlisis de tipo determinista y estar derivada del proceso de clculo (por ejemplo cargas de motores). En el caso que las cargas no sean conocidas exactamente, sino acotadas por mtodos probabilsticos y estadsticos (el caso de viento y sismo por ejemplo) se obtendrn como respuesta vibraciones aleatorias o no deterministas y los efectos resultantes tambin tendrn carcter estadstico.

En el siguiente cuadro se ordena la clasificacin propuesta:

Segn Clasificacin Caractersticas principales

Libre No actan causas externas. Debe existir una perturbacin inicial para que exista movimiento. Fuerzas

Actuantes Forzada Acta una causa externa. No es necesaria una perturbacin inicial para que exista movimiento.

No amortiguada La energa permanece constante. Conservacin de

la energa Amortiguada Hay una disipacin de energa en cada ciclo del movimiento. Si la vibracin es libre, llega un momento en que se detiene.

Lineal Es vlido el principio de superposicin de efectos. Es posible calcular separadamente cargas estticas y dinmicas. Comportamiento estructural

No lineal Los mtodos de clculo son ms complejos y la totalidad de las cargas debe tenerse en cuenta en cada instante.

Determinista Se conoce en cada instante la variacin de la carga. Se puede obtener la variacin de los efectos en cada instante. Tipo de accin

Aleatoria La accin dinmica est dada por valores estadsticos y los efectos en la estructura estarn acotados por valores caractersticos.

MasterResaltado



2 MODELIZACIN

La mayora de las estructuras reales presentan cierta complejidad si se pretende realizar un modelo mecnico ajustado y con suficiente detalle, por lo cual, para analizar estructuras desde el punto de vista dinmico plantearemos modelos simplificados de tal forma que justifiquen el alejamiento de la realidad por el beneficio en el planteo, resolucin y manejo de datos numricos. Las caractersticas a tener en cuenta en un modelo dinmico son la rigidez, la masa y el amortiguamiento de la estructura.

La rigidez (k): es el mecanismo por el cual el sistema responde con una fuerza proporcional al desplazamiento y en el cual se almacena energa potencial.

La masa (m): este elemento del sistema vibratorio produce una fuerza proporcional a la aceleracin y desde el punto de vista energtico, almacena energa cintica.

El amortiguamiento (c): es un mecanismo disipador de energa ( en calor o sonido) que responde con una fuerza opuesta al movimiento. El amortiguamiento de tipo viscoso, que desarrolla una fuerza proporcional a la velocidad (mecanismo de Newton) es el ms comn en los modelos matemticos. Otro modelo de amortiguamiento es el de tipo friccional (o de Coulomb), que proporciona una fuerza constante opuesta al movimiento.

Si bien es deseable conocer los efectos en la estructura en todas sus secciones y para cada instante de tiempo, en la prctica resulta extremadamente laborioso, por lo que se analizan solamente algunos puntos de la estructura (discretizacin espacial) y algunos instantes de tiempo (discretizacin temporal). Las estructuras reales presentan cierta continuidad y una distribucin ms o menos compleja de su masa. Una forma de discretizar en el espacio es suponer la masa concentrada en ciertos puntos de la estructura, de manera de tener finitos puntos con masa asignada y no los infinitos puntos de una distribucin continua en toda la estructura. De este modo slo existirn fuerzas de inercia en las direcciones en que estas masas concentradas puedan tener aceleracin, y el equilibrio dinmico se limitar al anlisis de estas direcciones a las que se denominan grados de libertad dinmicos.

En general se define grado de libertad de un sistema al nmero mnimo de coordenadas independientes que permite determinar la posicin de todas las partes de ese sistema. En el caso del problema dinmico bastar conocer la respuesta de la estructura u(t) en los grados de libertad dinmicos para poder determinar la solucin en todos los puntos de la estructura. Se puede decir, entonces, que el grado de libertad dinmico es aquella direccin en donde es posible que se desarrollen fuerzas de inercia no despreciables cuando actan cargas dinmicas.En el siguiente diagrama se presenta una secuencia tpica del clculo dinmico.

Accin dinmica P(t)

Modelo dinmico E, J, A, L, c, m caractersticas mecnicas del sistema

Resolucin desplazamiento u(t), velocidad, aceleracin

Respuesta del sistema esfuerzos M(t), N(t), Q(t), reacciones R(t), etc.

Una vez obtenidos del anlisis dinmico los desplazamientos u(t), el resto de los efectos se calcula en funcin de u por los mtodos estticos conocidos, y sern variables con el tiempo.

MasterResaltado



Ejemplo 1.1- Determinar el grado de libertad dinmico de las siguientes estructuras planas.

u2 u3

m m u1 m m/2 m/2

estructura real modelo dinmico estructura real modelo dinmico

Fig. 1.1 Fig.1.2 Fig.1.3 Fig.1.4

En el caso de la estructura de la Fig.1.1, que se ha simplificado con una sola masa concentrada, los grados de libertad corresponden con los del nudo libre, es decir, son dos desplazamientos y una rotacin. Si se consideran despreciables las deformaciones axiales (respecto de las flexionales), los desplazamientos verticales, y por lo tanto las aceleraciones no sern significativas en dicha direccin, y u2 no se considerar como grado de libertad. En algunos casos tambin es posible despreciar la inercia rotacional de la masa (que multiplicada por una aceleracin angular produce un momento) por lo que u3 puede no considerarse un grado de libertad. Entonces, el modelo dinmico puede consistir en un sistema de un grado de libertad con las hiptesis propuestas, significando que, de todas las fuerzas de inercia que pueden actuar en la estructura, las correspondientes con la direccin u1 tienen preponderancia y estarn en el orden de magnitud de las fuerzas elsticas.

En la estructura de la Fig.1.3, que representa un prtico doblemente empotrado, se ha supuesto concentrada toda la masa de la estructura a nivel del dintel y en dos puntos. Si cada punto tiene tres movimientos posibles, se tendrn entonces seis grados de libertad. Es posible plantear hiptesis simplificativas como las supuestas ms arriba, y llegar a un modelo de un grado de libertad?

Problema 1.1- Determinar el grado de libertad dinmico de las estructuras del ejercicio 1.1 considerando que se encuentran en el espacio.

Problema 2.1- Determinar el grado de libertad dinmico de la estructura espacial, explicando las hiptesis simplificativas en el caso de proponerlas.

3 DELIMITACIONES

Excepto que se indique otra variante, es estas notas se estudiarn estructuras de comportamiento lineal y con masas discretas. El amortiguamiento a considerar ser de tipo proporcional por su simple inclusin en el modelo matemtico.

Aunque la mayora de los desarrollos y ejemplos se presentan en estructuras de barras en el plano, los conceptos y procedimientos son trasladables a estructuras espaciales.

Los captulos siguientes describen los conceptos bsicos relativos a la dinmica de estructuras que forman parte del contenido del curso y tienen el carcter de gua de clase. Un estudio completo de la temtica se puede seguir a partir de la bibliografa recomendada en Cap. 4.

MasterResaltado



2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El modelo dinmico ms simple y con el que se pueden analizar gran cantidad de estructuras reales, es el modelo de un grado de libertad. La configuracin del sistema queda definida para cada instante conociendo slo una coordenada.

Sea un sistema como el de la figura 2.1, donde se representan los elementos caractersticos de un modelo dinmico de un grado de libertad. El esquema muestra un bloque rgido que slo puede deslizarse sin roce en la direccin horizontal, grado de libertad del sistema. La rigidez se representa con un resorte de constante k. La masa m se considera concentrada en el bloque y el amortiguador tiene una constante c.

u(t) k fe P(t) fi P(t) c fa Fig. 2.1 Fig.2.2

En la figura 2.2 se presenta un diagrama de cuerpo libre, en donde se indican las siguientes fuerzas: - fa: fuerza de amortiguamiento. Es la fuerza opuesta al movimiento y proporcional a la

velocidad. - fe: fuerza elstica. Es proporcional al desplazamiento. - fi: fuerza de inercia, igual a la masa por la aceleracin. - P(t): accin dinmica externa.

Aplicaremos el Teorema de los Trabajos Virtuales para cuerpos rgidos con el objetivo de determinar la ecuacin de equilibrio dinmico. El teorema dice: si a un cuerpo rgido que se halla bajo un sistema de fuerzas en equilibrio, se le aplica un desplazamiento virtual, el trabajo externo resultante es nulo. Aplicamos un desplazamiento virtual :

fe fi P(t) Fig.2.3 fa

El trabajo externo estar dado por: ( ) 0=+= tPfafifeTe ( )( ) 0=+ tPfafife

La ecuacin de equilibrio queda: ( )tPfefafi =++ al reemplazar queda ( )tPukucum =++ &&& (2.1) que es la ecuacin de equilibrio dinmico de un sistema de un grado de libertad. En este caso el movimiento vibratorio es de tipo forzado con amortiguamiento.

2.1 VIBRACIONES LIBRES

En este tipo de vibraciones no existen fuerzas exteriores actuando sobre la estructura, es decir que no se agrega energa al sistema. Para que este movimiento se produzca deben existir condiciones iniciales no nulas (desplazamiento y/o velocidad inicial).

m

MasterResaltado

MasterResaltado



m

2.1.1 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Estas vibraciones se dan como respuesta a una perturbacin inicial que la aparta de la posicin de equilibrio esttico y provoca un movimiento en el que no actan fuerzas externas ni hay disipacin de energa por lo que la amplitud del movimiento se mantiene constante en el tiempo (es un sistema conservativo). La energa inicial est compuesta por energa potencial (un desplazamiento inicial) y/o por energa cintica (acumulada en la masa debido a una velocidad inicial).

El estudio de este movimiento particular es relevante para determinar caractersticas importantes en las estructuras como la frecuencia natural y el periodo.

Sea un cuero de masa m que nicamente se puede deslizar en la direccin u: u(t) fe k fi Fig. 2.4 Fig.2.5 En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.5 se observan las fuerzas actuantes: las fuerzas de inercia y las fuerzas elsticas. Planteando el TTV se tiene la ecuacin de equilibrio dinmico:

0== fifeTe 0)( = fife y reemplazando por fi y fe

0=+ ukum && (2.2) Es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, homognea y con coeficientes constantes y la solucin es del tipo (ver Anexo 1) y corresponde con la ecuacin del movimiento armnico simple:

( ) tsenututu nn

n 0

0 cos&+= (2.3)

siendo ( )00 uu = el desplazamiento inicial en t=0 y ( )00 uu && = la velocidad inicial en t=0. mk

n = se denomina la frecuencia natural de la estructura. Es la frecuencia a la que vibra la estructura si no hay cargas externas aplicadas. Se mide en [radianes/segundo].

El tiempo requerido para completar un ciclo del movimiento libre no amortiguado se denomina perodo natural y es inversamente proporcional a la frecuencia natural:

n

2T = [segundos] (2.4)

La frecuencia de oscilacin es el nmero de oscilaciones por unidad de tiempo, es decir la inversa del perodo:

== 2T1f n [ciclos/seg] o [Hertz] (2.5)

Observacin: la frecuencia natural, como el perodo y la frecuencia de oscilacin, dependen nicamente de las caractersticas de la estructura (la rigidez y la masa) y no dependen de las condiciones iniciales del movimiento.

La amplitud del movimiento es el mximo apartamiento desde su posicin de equilibrio esttico. Se

mide en unidades de longitud. 2

020

+==

nmx

uuuA &

(2.6)

MasterResaltado



depende de las condiciones iniciales.

En la siguiente figura se represente la grfica del movimiento vibratorio libre sin amortiguamiento. Fig. 2.6.

Problema 2.1- Es posible hallar la ecuacin 2.2 si el modelo dinmico de la figura 2.4 se desliza en direccin vertical actuando la aceleracin de la gravedad? Justificar la respuesta.

Ejemplo 2.1- Dada la estructura de un tanque de reserva de agua como se indica en la figura, calcular: a) la frecuencia natural y el perodo b) si se aplica una velocidad inicial, hallar la respuesta en desplazamiento y esfuerzos de corte y momento flector en la base de la columna.

Datos: mL 0.15=

45.5 mJ = M 22000000 m

KNE =

msKNm2

70 = m L

msKNM2

260 = (tanque lleno con 100000 litros)

smu 2.00 =&

Hiptesis:

- No se tendr en cuenta en un primer anlisis la masa de la columna. Solamente se considera la masa del tanque lleno concentrada en un punto

- Se desprecia la deformacin axial de la columna y la inercia rotacional del tanque.

Solucin:

con las hiptesis planteadas el modelo dinmico consistir en un sistema de un grado de libertad, correspondiente con la direccin horizontal.

U1

a) la rigidez en la direccin del grado de libertad mKN

LEJk 97783 3 ==

la frecuencia natural s

mKNs

mKN

Mk

n113.6

260

9778

2 ===

tiempo

u(t) T

Uo

Uo

Amplitud

.



el perodo, de Ec. 2.4 s

s

T 02.1113.6

2 ==

la frecuencia en ciclos por segundo, de Ec.2.5 Hertzf 98.0= b)la respuesta del sistema, de Ec.2.3 ( )tsentu 13.6033.0)( =

la amplitud del movimiento muA mx 033.0== el esfuerzo de corte en la base )13.6(7.322)(3)( 3 tsentuL

EJtQ ==

el corte mximo KNQmx 7.322=

el momento flector en la base )13.6(4840)(3)( 2 tsentuLEJtM ==

el momento mximo KNM mx 4840=

Problema 2.2- Cambiar la solucin del ejemplo 2.1 si el tanque estuviera vaco? Si cambia, en qu porcentaje? Justificar.

Problema 2.3- De qu manera se puede incluir la masa de la columna en el ejemplo 2.1? Justificar la respuesta.

Problema 2.4- En el prtico triarticulado de la figura, calcular: a)el perodo b) los esfuerzos internos en un movimiento libre originado por un desplazamiento y una velocidad inicial.

Dastos: L=2.5 m Seccin : PNI 240

Masa distribuida por metro: mm

sKNm 115.02

=

Condiciones iniciales: mu 02.00 = y smu 10 =&

Hiptesis: rigidez axial infinita en barras y masas concentradas en los nudos superiores extremos.

MODO DE VIBRACIN

Una estructura en movimiento libre sin amortiguamiento presenta una forma caracterstica de vibrar en la cual toda la masa de la misma se mueve con la misma frecuencia, adems de estar definida la posicin relativa de todas las masas de la estructura.

En general existirn tantos modos de vibracin como grados de libertad dinmicos tiene la estructura. En el caso de estructuras de un grado de libertad, el modo de vibracin quedad definido por la frecuencia natural (o el perodo) y por el desplazamiento relativo de las masas, que al ser una sola se adopta unitario. Grficamente, para el caso de una mnsula se representa el modo de vibracin (Modo 1).

U1=1

w1n

Modelo dinmico Modo de vibracin

2L

L

MasterResaltado



Problema 2.5- Expresar el modo de vibracin de las estructura del ejemplo 2.1 y del prtico del problema 2.4.

2.1.2 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS

En las estructuras reales existen fuerzas de rozamiento interno que se oponen al movimiento, provocando una disipacin de la energa en cada ciclo de la vibracin y por lo tanto una disminucin de la amplitud en el movimiento libre.

El amortiguamiento en las estructuras reales es difcil de medir y se debe en general a un conjunto de causas. Por ejemplo: efectos trmicos debido a las caractersticas cclicas de los esfuerzos (traccin y compresin alternadas), friccin en las conexiones de las estructuras de acero, la apertura y cierre de fisuras en las estructuras de hormign armado, la friccin entre elementos de la estructura y elementos no estructurales como mampostera y cerramientos, la friccin entre los planos del material debidos a una elasticidad no perfecta (se denomina amortiguamiento estructural), etc.

Cuantificar cada una de estas causas en estructuras realaes es prcticamente imposible y adaptar un modelo matemtico riguroso presenta una elevada complejidad. Es por esto que usualmente se adopta un mecanismo de amortiguamiento, de tipo viscoso, que responde con una fuerza proporcional a la velocidad del movimiento y supone englobar todos los mecanismos reales que disipan energa en la estructura. La proporcionalidad est dada por el coeficiente de amortiguamiento c, que se aproxima experimentalmente segn el tipo de estructura y material que la constituye. Las unidades de c son [Fuerza tiempo/distancia].

Analizaremos por lo tanto el caso de amortiguamiento viscoso que produce una fuerza proporcional a la velocidad y desde el punto de vista matemtico es simple su inclusin.

El modelo dinmico a utilizar para plantear la ecuacin de equilibrio dinmico es el mismo que en el caso no amortiguado, slo que se agrega el amortiguador: u(t) fe k fi

c fa Fig. 2.7 Fig.2.8

En el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.8 se observan las fuerzas actuantes: las fuerzas de inercia, las fuerzas elsticas y las fuerzas de amortiguamiento. Planteando el TTV para cuerpos rgidos se tiene la ecuacin de equilibrio dinmico: 0== fefafiTe

0)( = fefafi y reemplazando por fi, fa y fe 0=++ ukucum &&& (2.7)

Es una ecuacin diferencial de equilibrio dinmico de una estructura de un grado de libertad en movimiento libre amortiguado. La solucin de esta ecuacin es de la forma (ver Anexo 2): ( ) tsts eAeAtu 21 21 += (2.8) donde A1 y A2 son constantes a determinar segn las condiciones iniciales y s1,2 dependen del tipo de amortiguamiento,

n2

2,1 1s

= (2.9)

con el valor ccc= denominado razn o factor de amortiguamiento crtico. El amortiguamiento crtico

se define como nc mc 2= y es el amortiguamiento mnimo para que la masa regrese a la posicin de equilibrio sin sobrepasarla.

m

MasterResaltado



Segn el signo del radicando en Ec. (2.4) se tendrn distintos tipos de movimiento:

1 - movimiento sub-amortiguado: 12 < 0. En este caso c < cc , o



DECREMENTO LOGARITMICO

Debido a la imposibilidad de acotar en forma analtica el valor del amortiguamiento en las estructuras reales, se utiliza una procedimiento experimental aplicado a modelos fsicos en laboratorio y tambin en algunos casos a estructuras reales. El mtodo consiste en provocar una vibracin en la estructura y medir la amplitud del movimiento en dos ciclos cualesquiera (sucesivos o no), de manera de estimar el factor de amortiguamiento.

El decremento logartmico se define como el logaritmo natural de la relacin de dos amplitudes sucesivas en un movimiento libre amortiguado. Sean t1 y t2 dos instantes cualesquiera separados un ciclo; de la Ec. (2.10) se tiene:

( )( )

+

+

=+

+

20

20

10

10

2

1

02

01

cos

cos

tsenu

tue

tsenu

tue

tutu

dd

ud

t

dd

ud

t

nn

nn

&

&

y como t t T tdd

2 1 12= + = +

( ) ( ) ( )112 2 tsentsentsen ddd =+=

entonces ( ) dnd1n1tn

TTt2

1 ee

euu

+ ==

aplicando logaritmo 22

1

1

2ln

=== dnTuu

para pequeo amortiguamiento < < 1 se puede aproximar 2 En el caso de estructuras con muy pequeo amortiguamiento, ser conveniente la medicin de

amplitudes con una separacin de varios ciclos para poder apreciar una diferencia significativa. Si las mediciones son llevadas a cabo en instantes separados m ciclos, las expresiones anteriores resultan:

( )mTm

m

m

dneuu

uu

uu

uu

uu

++==

14

3

3

2

2

1

1

1 ....

mTuu

dnm

=+11ln

2ln11

1

=

+muu

m

2 - movimiento con amortiguamiento crtico: 12 = 0. En este caso c = cc , o =1, y las races s1,2 son iguales. En este movimiento la estructura retorna a la

posicin de equilibrio esttico sin sobrepasarla, es decir, no es un movimiento oscilatorio.

La respuesta del sistema est dada por:

( ) ( )[ ]tuuuetu ntn ++= 000 & (2.10) El amortiguamiento crtico es el mnimo amortiguamiento requerido para obtener un movimiento no oscilatorio.

MasterResaltado

MasterResaltado



3 - movimiento sobre-amortiguado: 12 > 0. En este caso c > cc , o >1, y las races s1,2 son ambas reales. En este movimiento la estructura

retorna a la posicin de equilibrio esttico sin sobrepasarla y en un tiempo mayor que en el caso del amortiguamiento crtico. No es usual encontrar este tipo de amortiguamiento en las estructuras civiles, aunque s son frecuentes en maquinarias, puertas con cierre automtico o en puentes o estructuras bajo trnsito de vehculos (trenes de alta velocidad, por ejemplo) donde amortiguar el movimiento es prioritario para evitar problemas de resonancia.

En este caso las races de la ecuacin caracterstica sern:

n

22

n2

1

1s

1s

=

+=

y la solucin del movimiento:

( ) tsts eAeAtu 21 21 += con A 1 y A2 constantes dependientes de las condiciones iniciales.

En el siguiente grfico se presentan los tipos de movimiento amortiguado crtico y sobreamortiguamiento.

Ejemplo 2.2- Calcular el perodo de la estructura del Ejemplo 2.1 si se considera que tiene un factor de amortiguamiento de 0.2.

Datos: 2.0= Solucin: de la Ec. (2.13) == 21 nd TT 1 s El perodo disminuy aproximadamente 2%.

Problema 2.6- Es posible que el movimiento con amortiguamiento crtico supere la posicin de equilibrio esttico? Justificar la respuesta.

Problema 2.7- Qu factor de amortiguamiento debera tener la estructura del ejemplo 2.1 para que la frecuencia natural se modifique en un 10%?

tiempo

u(t)

=1Uo

Uo.

>1

MasterResaltado



Problema 2.8- El ensayo de una estructura de un grado de libertad que vibra libremente, arroj el siguiente grfico de respuesta. Aproximar el amortiguamiento de la estructura.

2.2 VIBRACIONES FORZADAS

El estudio de vibraciones libres tiene su importancia fundamentalmente porque permite el conocimiento de caractersticas dinmicas del sistema que resultan de utilidad en el anlisis de la estructura bajo la accin de cargas dinmicas. Estas cargas incorporan energa durante la vibracin y el movimiento vibratorio se denomina forzado. La variacin en el tiempo de la accin se puede deber a una o ms razones: variacin de magnitud, direccin, sentido o punto de aplicacin. En cuanto al origen de la accin dinmica se pueden mencionar las derivadas de las actividades humanas, como maquinarias, vehculos, explosiones, etc., que en muchos casos es conocida su variacin en cada instante de tiempo, dando al anlisis un carcter determinista. Otras acciones tienen origen en fenmenos naturales como el oleaje y el sismo, y en general son acotadas por mtodos estadsticos, por lo que resulta un movimiento vibratorio de tipo aleatorio o no-determinista.

Se presentan en adelante distintos tipos de acciones dinmicas y los mtodos de resolucin usuales en cada caso. Las acciones a considerar sern peridicas y no-peridicas, incluyendo la accin ssmica. No se tendrn en cuenta las cargas estticas pues, como se mencion al comienzo, por tratarse de estructuras de comportamiento lineal, el anlisis esttico se puede realizar separado del dinmico y superponer los efectos posteriormente.

2.2.1 CARGAS DE VARIACIN ARMNICA

Distintos tipos de acciones dinmicas pueden ser representados matemticamente por cargas de variacin armnica, siendo su resolucin elemental utilizada para abordar otras solicitaciones ms complejas.

2.2.1.1 FUERZAS

La solicitacin peridica ms frecuente es la producida por masas rotantes no balanceadas como por ejemplo los motores o sectores de maquinarias.

La fuerza externa ser de la forma:

( ) tsenPtP = 0 con Po la amplitud y la frecuencia de la fuerza. La ecuacin de equilibrio dinmico, de Ec. (1.2):

tsenPukucum =++ 0&&&

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo

u(t)

t

P(t) 2/

Po

MasterResaltado

MasterResaltado

MasterResaltado



SISTEMAS NO AMORTIGUADOS

Si no se tiene en cuenta el amortiguamiento, la ecuacin de equilibrio es de tipo:

tsenPukum =+ 0&& y la solucin de esta ecuacin de segundo orden incompleta no homognea estar dada por la suma de la solucin homognea Ec.(2.1) ( ) tsenBtAtu nnh += cos ms la solucin particular (ver Anexo 4) ( ) tsen

kP

tu

n

p

= 201

1

la solucin total queda: ( ) tsenkP

tBsentAtu

n

nn

++= 201

1cos

con A y B constantes a determinar segn las condiciones iniciales. Finalmente,

( ) tsenkP

tsenkPu

tutu

n

n

n

n

nn

+

+= 2020001

1

1

cos&

se define n

= como la relacin entre la frecuencia de la fuerza externa y la frecuencia natural de la estructura. La Ec. ( ) se reduce a:

( ) tsenkPtsen

kPututu n

nn

+

+= 20

200

0 11

1cos

& ( 2.16)

en donde los dos primeros trminos dependen de las condiciones iniciales y la carga externa. A esta componente del movimiento se lo denomina transitorio. El ltimo trmino constituye la parte permanente del movimiento y contribuye con ste siempre y cuando acte la carga. La parte transitoria vibra con la frecuencia natural de la estructura y en los sistemas reales disminuye con el amortiguamiento, prevaleciendo, con la frecuencia de la carga, la parte permanente por lo que esta ltima presenta un mayor inters en el anlisis. Se presenta la grfica del movimiento forzado no amortiguado, donde se superpone la respuesta permanente para comparar (esta ltima tiene la frecuencia de la fuerza externa):

tiempo

P(t)2/

tiempo

U(t)

Up

MasterResaltado



El valor kP

est0= es el desplazamiento producido por una fuerza Po aplicada en forma esttica, y se

lo utiliza para relacionar los desplazamientos mximos estticos y dinmicos, a travs del factor de

amplificacin del movimiento: ( )

est

mx tuM =

Que indica cunto mayor o menor es el desplazamiento del grado de libertad si la carga est aplicada en forma dinmica (con una variacin en el tiempo, es decir con una frecuencia no nula) o en forma

esttica. El valor del factor de amplificacin vara con la relacin de frecuencias: n

=

( )20

20

111

1

===kP

kP

tuMest

mx (2.16a)

si se considera el desplazamiento mximo en mdulo

se agregan barras de valor absoluto, quedando:

211=M

teniendo en cuenta que para valores de < 1 el desplazamiento es positivo, por lo tanto tiene el mismo sentido que la fuerza aplicada y se dice que el movimiento est en fase ; mientras que para valores de > 1 el desplazamiento tiene signo negativo, en sentido opuesto a la aplicacin de la carga y se dice que el movimiento est fuera de fase o con fase de 180.

Del grfico anterior se puede observar lo siguiente:

- para valores de prximos a cero, la magnitud del desplazamiento esttico y dinmico son similares (M 1). La frecuencia de la fuerza externa es tan pequea que se aproxima a una carga esttica.

- En el caso de 1 el movimiento est fuera de fase y las amplitudes de la accin dinmica son mayores a las estticas hasta 2= , para luego disminuir y tender a cero para valores grandes de (M0).

En la situacin de resonancia, la Ec. ( ) no est definida por lo que se buscar el lmite cuando n .Si reagrupamos los trminos en Ec. ( )

( )

++= 2000

1

cos

n

nn

nn

tsentsenkPtsenututu

& (2.17)

y calculamos el lmite de u(t) para n (aplicando la regla de LHospital), se tiene la respuesta en la condicin de resonancia:

( ) tsentkPtsenututu nnn

nn ++= 2cos

000

&

00,5

11,5

22,5

33,5

4

0 1 2 3 4

M



observndose que el ltimo trmino de la solucin se incrementa linealmente con el tiempo. Una grfica de este movimiento particular (para condiciones iniciales nulas) es la siguiente:

Como se mencion anteriormente, en las estructuras reales la amplitud no tiende a infinito en el tiempo, pues adems de existir algn tipo de amortiguamiento, hay un lmite en el comportamiento lineal del material y la geometra (incluye una disipacin adicional de energa, dao de magnitud variable y el colapso) que produce un cambio en las condiciones de equilibrio planteadas al comienzo de este anlisis.

SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO

Al incluir el amortiguamiento se agrega en la ecuacin de equilibrio el trmino correspondiente a la fuerza proporcional a la velocidad. De la Ec. ()

tsenPukucum =++ 0&&& y la solucin de esta ecuacin de segundo orden completa no homognea estar dada por la suma de la solucin homognea Ec.( )

( ) ( )tsenBtAetu ddth n += cos con A y B dependientes de las condiciones iniciales, ms la solucin particular (ver Anexo 5)

( ) tsenDtCtu p += cos con C y D constantes dependientes de la carga y el amortiguamiento

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tkPtsenkPtu p cos21 221 1 22202222

0 +

++

= (2.18)

La respuesta total contendr una parte transitoria (la solucin de la homognea) cuyo efecto disminuye en el tiempo debido al amortiguamiento, ms una parte permanente (la solucin particular) que permanece mientras existe la carga externa y vibra con la misma frecuencia que sta.

( ) ( ) tDtsenCtsenBtAetu ddth n coscos +++= respuesta transitoria respuesta permanente

En las figuras siguientes se grafica la solucin homognea, particular y total del movimiento (la solucin total est superpuesta a la homognea para comparar)

tiempo

U(t)

tiempo

Uh(t)

MasterResaltado



El desplazamiento mximo de la respuesta permanente ser: ( ) 22 DCtumx += Que reemplazando y agrupando valores queda:

( ) ( ) ( )2220 211

+=

kPtumx ( 2.19)

Debido al amortiguamiento habr un ngulo de fase entre la carga y el movimiento, indicado por

211

12tantan =

= CD

(2.20)

la respuesta permanente se puede expresar a partir de Ec. ( ) y Ec. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) += tsenkPtu p

222

0

21

1 (2.21)

de Ec. ( ) y Ec. ( ) , el factor de amplificacin del movimiento con amortiguamiento queda:

( )( ) ( )222 21

1

+==

est

mx tuM (2.22)

observando que depende del amortiguamiento y de la relacin de frecuencias. Si el amortiguamiento es nulo se obtiene la Ec. (2.16a). Los grficos siguientes representan la variacin del factor de amplificacin y del ngulo de fase, con la relacin de frecuencias para distintos valores de amortiguamiento.

tiempo

Up(t)

tiempo

U(t)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

M0,01

0,1

0,3

0,6

12



Del anlisis de los grficos se puede observar lo siguiente:

- para valores de prximos a cero, la magnitud del desplazamiento esttico y dinmico son similares (M 1). La frecuencia de la fuerza externa es tan pequea que se aproxima a una carga esttica y el amortiguamiento casi no incide, por lo que la rigidez de la estructura ser determinante en el desplazamiento. El movimiento est en fase con la carga.

kPu estmx 0=

- En el caso de >>1 las amplitudes de la accin dinmica disminuyen y la respuesta de la estructura depende fundamentalmente de la masa. El movimiento est fuera de fase con un ngulo de fase prximo a 180.

mP

mk

kPu nestestmx 002

2

21 ===

Si se analiza la respuesta de la estructura en la situacin de resonancia, cuando n (sin tener en cuenta la respuesta transitoria para simplificar) se tiene:

( )

+= ttsentekPtu ndd

tn

cos

1cos

21

20

donde la envolvente de la respuesta es exponencial (comparar con el movimiento sin amortiguamiento) y

para pequeos valores de amortiguamiento se puede expresar ( ) ( ) tekPtu n

tn cos1

210

grficamente:

0

90

180

0 1 2 3

0,010,1

0,3

0,61

2

tiempo

U(t)



A medida que aumenta t el valor de la respuesta tiende a 2est

mxu = .

TRASMISIN DE LA CARGA A LOS VNCULOS

La fuerza trasmitida a los vnculos de una estructura bajo cargas dinmicas estar compuesta por la fuerza elstica y la fuerza de amortiguamiento.

( ) ( )tuctkuffP aeT &+=+= si se considera la respuesta permanente del movimiento de Ec. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) += tsenkPtu p

222

0

21

1

( ) ( ) ( ) ( ) += tkPtu p cos

21

1222

0&

el mdulo de la fuerza trasmitida ( )( ) ( )( )22 tuctkuPT &+= operando con Ec. ( ) Ec. ( ) y Ec. ( ), resulta

( ) ( ) 2222220 211

ck

kPPT +

+=

nmc 2= y mk

n =2 entonces la fuerza trasmitida a los vnculos ( ) ( ) 222220 4121

1

++

= PPT

La relacin entre la mxima fuerza

trasmitida y la fuerza armnica aplicada

en la estructura se denomina

trasmisibilidad de fuerza PT

( ) ( )22222

0 21

41

++==

PPT Tp

y depende del amortiguamiento y de la

relacin de frecuencias. En el grfico se

puede observar:

- para valores de prximos a cero, la trasmisibilidad de fuerza es igual a la unidad, es decir, la fuerza externa Po se trasmite en la misma magnitud a los vnculos, como si se aplicara en forma esttica. El amortiguamiento no incide.

- En el caso de < 2 la fuerza trasmitida disminuye al aumentar el amortiguamiento. - En = 2 la trasmisibilidad es nuevamente unitaria ( TPP =0 ) y no depende del amortiguamiento. - Para valores de > 2 , la fuerza trasmitida a los vnculos es siempre menor a la carga externa y es mayor cuanto ms grande es el amortiguamiento.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

T p =0,01

0,1

0,2

0,4

12

2

MasterResaltado



- Se observa que un valor alto de amortiguamiento disminuye la fuerza trasmitida para frecuencias bajas de la carga externa, pero incrementa la fuerza para frecuencias altas. Esto requiere un estudio de las acciones de mquinas cuya frecuencia es variable durante el arranque por un tiempo prolongado.

2.2.1.2 DESPLAZAMIENTO DE VNCULO IMPUESTO

Se analizar una solicitacin armnica producida por un desplazamiento de vnculo en funcin del tiempo. Ejemplos de este tipo de carga se presentan en estructuras cuyas fundaciones son afectadas por el paso de vehculos (como trenes y subterrneos) y tambin el propio vehculo si se considera rodando sobre una superficie ondulada como en el esquema de la figura.

U(t) k c movimiento del vehculo

El desplazamiento de vnculo ( ) tsenyty = 0 tiene una variacin en el tiempo como se indica en el grfico siguiente.

Las fuerzas elsticas en la estructura son proporcionales al desplazamiento relativo u-y (en el esquema de la figura es el alargamiento neto o el acortamiento neto del resorte). Las fuerzas de amortiguamiento a su vez son proporcionales a la velocidad relativa yu && , mientras que las fuerzas de inercia son proporcionales a la aceleracin absoluta. Como no existen fuerzas exteriores actuando sobre el sistema, la ecuacin de equilibrio dinmico queda de la forma:

( ) ( ) 0=++ yukyucum &&&& reagrupando y reemplazando por y

tyctsenykyckykuucum cos00 +=+=++ &&&& el ltimo miembro de la ecuacin se puede expresar como una carga armnica,

( ) =++ tsenAkuucum &&& con ( )220 ckyA += y

=

kc 1tan

si se reemplaza en la Ec. ( ) el valor de A por Po, se tiene la respuesta de la estructura al desplazamiento de vnculo armnico.

c

t

Y(t)

Yo

MasterResaltado



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++= tsenk

ckytu p

222

220

21

1

como nmc 2= y mk

n =2

entonces ( ) ( ) ( ) ( )

++= tsenyu t

222

22

021

41

el mximo desplazamiento de la estructura respecto del mximo desplazamiento impuesto del vnculo se denomina trasmisibilidad de desplazamiento, y resulta:

( ) ( )22222

0 21

41

++==

yuT mxd que tiene la misma forma que la Ec. ( )

de trasmisibilidad de fuerzas y por lo tanto tambin una representacin grfica similar.

2.2.2 CARGAS DE VARIACIN PERIDICA EN GENERAL

Las cargas peridicas son aquellas que se repiten en un intervalo de tiempo determinado denominado perodo de la carga. Ejemplos de acciones dinmicas que se pueden aproximar como peridicas son el funcionamiento de maquinarias, el oleaje sobre estructuras offshore y el viento en mstiles y estructuras esbeltas.

P(t)

t

To To To

Una funcin peridica P(t) de perodo To puede ser expresada a travs de las series de Fourier como la sumatoria de funciones armnicas:

( ) ( ) ( ) =

=++=

110 cos

nn

nn tnsenbtnaatP

con la frecuencia de la carga 0

2T =

el valor de los coeficientes ( )dttPT

aTo

=00

01

( ) ( )dttntPT

aTo

n =00

cos2 .............3,2,1=n

MasterResaltado



( ) ( )dttnsentPT

bTo

n =00

2 .............3,2,1=n

en estructuras de comportamiento lineal, la respuesta final ser la superposicin de las respuestas de cada trmino de la serie de Fourier. De esta manera la ecuacin de equilibrio ser:

( ) ( )tnsenbtnaaukucumn n

nn ++=++ =

=1 10 cos2

&&&

el segundo miembro de la ecuacin es una suma de funciones armnicas y por el principio de superposicin la solucin particular ser la suma de las soluciones particulares de cada trmino (no se considera por simplicidad la respuesta transitoria).

El primer trmino representa una fuerza constante

2aukucum 0=++ &&&

con la solucin particular ( )k2

atu 0p = Los trminos restantes corresponden a fuerzas armnicas

( )tnaukucum n cos=++ &&&

con solucin particular ( ) ( ) ( )n222222n

p tncosn4n1

ka

tu

+

=

y finalmente ( )tnsenbukucum n =++ &&&

con solucin particular ( ) ( ) ( )n222222n

p tnsenn4n1

kb

tu

+

=

de esta forma la solucin particular queda:

( ) ( ) ( )

( ) ( )n222222n

n222222

n0

p

tnsen1n n4n1

kb

tncos1n n4n1

ka

2atu

= +

+

= +

+=

Para obtener la solucin completa se debe agregar la solucin homognea e introducir las condiciones iniciales (rgimen transitorio).

Cuando la fuerza peridica externa tiene una forma irregular o se conoce en forma experimental a travs de tablas o grficos se puede utilizar el mtodo de la integracin de Fourier con procedimientos numricos.



P(t)

0 t

P1 P2 P3 PN-1 PN

=N t

Sean P1, P2, P3, ....PN los valores conocidos de la fuerza P para N puntos equidistantes dentro de un perodo , los valores de los coeficientes sern:

==N

1ii0 PN

2a iN

1iin

tn2cosPN2a =

=

iN1i

intn2senP

N2b =

=

la respuesta permanente se obtiene con la Ec. ( ) donde la relacin de frecuencias es n

2=

2.2.3 CARGAS DE VARIACIN ARBITRARIA

Existen muchas ocasiones en la prctica en las cuales las acciones dinmicas no responden a una variacin armnica, ni siquiera peridica, sino que la fuerza actuante puede tener una magnitud y una duracin variable cualquiera en el tiempo. Ejemplos de acciones de variacin arbitraria son los choques, el sismo o la onda de presin debida a una explosin.

Los mtodos de clculo para hallar la respuesta de una estructura a cargas de variacin arbitraria difieren de los vistos anteriormente, avanzando en generalidad. En esta seccin se analizar el mtodo de la integral de convolucin o integral de Duhamel.

2.2.3.1 IMPULSO INTEGRAL DE CONVOLUCIN

La forma ms simple de carga de variacin cualquiera es la de un impulso, que es una fuerza de gran magnitud en un intervalo muy corto de tiempo. Una fuerza arbitraria ser considerada una sucesin de impulsos de duracin infinitesimal y la respuesta total ser la superposicin de la respuesta de cada impulso.

De la dinmica del cuerpo rgido, recordamos que el impulso queda determinado por el cambio en la cantidad de movimiento del sistema, causado por tal impulso.

Entonces el impulso I

12 umumtPI && == con 2um & : cantidad de movimiento del sistema despus de aplicar el impulso

1um & : cantidad de movimiento del sistema antes de aplicar el impulso

t1 t2

MasterResaltado

MasterResaltado



en general dtPItt

t= +

y el impulso unitario esta dado por 10

=== + dtPdtPlmI tttt Si bien el impulso unitario no tiene significado fsico (pues la fuerza debera tender hacia infinito

cuando el tiempo tiende hacia cero), ser de utilidad en el desarrollo del siguiente anlisis.

Analizaremos la respuesta de un sistema amortiguado de un grado de libertad a la accin de un impulso unitario en el tiempo t=0. El impulso provoca un movimiento libre amortiguado (limitaremos el anlisis al movimiento tipo sub-amortiguado).

La ecuacin de equilibrio es, de Ec.( ): 0=++ ukucum &&&

cuya solucin, de Ec.( ) ( )

++= tsenuutuetu d

d

nd

tn 000 cos &

En los grficos siguientes se observa la accin y la respuesta:

Si el desplazamiento y velocidad iniciales son nulos en el instante inmediato anterior a la aplicacin del impulso y denominamos a =0tu& y +=0tu& la velocidad antes y despus de aplicar el impulso, siempre en el tiempo t=0.

El impulso unitario aplicado 1000 === + == umumumI tt &&& De donde se pueden obtener las condiciones iniciales del movimiento libre sub-amortiguado:

( ) 000 == =tuu ( ) muu t1

00 == =&& y reemplazando en Ec. ( ) queda

( ) ( ) tsenmetgtu d

d

tn

==

llamando g(t) a la funcin respuesta del impulso unitario.

Si el impulso no es unitario, sino de magnitud I, la velocidad inicial luego del impulso ser

mIu =0& y la respuesta ser: ( ) ( )tgItsenm

eItu dd

tn ==

Adems, si en lugar de aplicar el impulso en el tiempo t=0, se aplica I en un instante de tiempo , y suponiendo que el desplazamiento es nulo en ese instante, la respuesta tendr una traslacin en el tiempo

( ) ( ) ( )( )

==

tsenmeItgItu d

d

tn t

grficamente:

P(t)

t t

u(t)

P(t)

t t

u(t)

P



Ahora consideremos una fuerza cualquiera a la que igualamos a una sucesin de impulsos. El valor

de la fuerza P() producir un impulso en el tiempo igual a I=P() y la respuesta a este impulso, segn Ec. ( ) es

( ) ( ) ( ) = tgPtu la respuesta total estar dada por la suma de todas las respuestas a impulsos elementales actuando en distintos instantes de tiempo (se aplica superposicin)

en el lmite cuando 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dtgtPtu

tgPtut =

0

reemplazando por Ec. ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] dtsenePmtu dtt

d

n =01

que es la respuesta de una estructuta de un grado de libertad, sub-amortiguada, bajo la accin de una fuerza arbitraria. La integral se llama integral de convolucin o integral de Duhamel, y se aplica a cualquier carga en todo sistema de comportamiento lineal. Se observa que esta solucin no tiene en cuenta las condiciones iniciales (antes de aplicar cada impulso las condiciones iniciales son nulas).

La secuencia de clculo se representa grficamente, donde se observa primeramente la descomposicin de la accin dinmica en impulsos de duracin infinitesimal, el clculo de la respuesta a cada uno de esos impulsos y finalmente la respuesta total como superposicin de las respuestas anteriores.

En los casos en que la fuerza tiene una expresin sencilla se podr integrar la Ec. (2.30) por mtodos analticos y obtener la integral exacta, de otra forma se deber integrar a travs de mtodos numricos.

P()

u1(t) t

t

t

uk(t)

(t) ........

........



Si el sistema vibratorio es no amortiguado, la Ec. (2.30) queda:

( ) ( ) ( ) dtsenPmtu nt

n= 01

Ejemplo:

Analizaremos una carga constante en el tiempo y aplicada en forma instantnea en una estructura de un grado de libertad sin amortiguamiento.

De Ec. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tnn

nt

nt

mPdtsenP

mtu 02

00

cos1 == ( ) [ ] ( )t

mPt

mPtu n

nn

n cos1cos0cos 2

02

0 ==

la respuesta es una funcin armnica de amplitud constante, por la ausencia de amortiguamiento, de valor

(para =t ) ( )kPtumx 0

2= Se observa que el desplazamiento mximo al aplicar una fuerza en forma instantnea es el doble que

el mismo efecto al aplicarla en forma esttica, oscilando la estructura respecto de una nueva posicin de equilibrio esttico, como se observa en la figura.

2.2.3.2 CARGAS DE CORTA DURACIN - ESPECTROS DE RESPUESTA

En la seccin anterior se analizaron cargas dinmicas de variacin arbitraria en el tiempo a travs de la integral de Duhamel. Estas cargas se consideraban actuando durante todo el movimiento vibratorio.

Ahora analizaremos aquellas cargas que tienen una duracin definida y pequea en el tiempo, a las que se denominan pulsos. Ejemplos tpicos de estas acciones se presentan en las siguientes figuras, con una duracin de la carga de t1 segundos.

pulso rectangular pulso triangular pulso senoidal

P(t)

t

P(t)

Po

u(t) 2Po/k

Po/k

0 t

P(t)

t t1

P(t)

t1

P(t)

t1 t t

MasterResaltado



La respuesta a estas acciones puede hallarse utilizando la integral de convolucin utilizando superposicin de funciones P(t). Por ejemplo en el caso del pulso rectangular de duracin t1:

La caracterstica de la respuesta a estas acciones es que est compuesta por dos fases: una que corresponde con el movimiento forzado, mientras dura la aplicacin del pulso (to, t1) y una segunda fase de movimiento libre cuyas condiciones iniciales son las que tiene la estructura en el instante en que deja de aplicarse el pulso (t1). La respuesta a un pulso determinado depender slo de la relacin entre el tiempo de duracin de la carga y el periodo natural de la estructura (u =f (t1/T))

Los espectros de respuesta son grficos que muestran la mxima respuesta, a una carga dinmica dada, de un sistema de un grado de libertad (mximo desplazamiento, velocidad, aceleracin) para cada valor del perodo (o la frecuencia natural) del sistema. En el caso de cargas de corta duracin, el mximo desplazamiento ser el mayor que se produzca en ambas fases del movimiento, forzada o libre.

Los espectros de respuesta dependen de las caractersticas propias del sistema (perodo, amortiguamiento) y del tipo de fuerza aplicada (intensidad y duracin) y tienen aplicacin principalmente en el caso de acciones ssmicas y otro tipo de solicitaciones cuya magnitud y distribucin en el tiempo no se corresponda con expresiones matemticas sencillas.

Los espectros de respuesta tpicos representan la relacin ( )

=

Ttftu

mxest

1

t1: duracin de la carga

T: periodo natural de la estructura

u/est: factor de amplificacin Ejemplos de espectros de respuesta para carga tipo pulso rectangular y senoidal se presentan a continuacin.

Pulso rectangular: =+00Pkuum &&

1

1

tttt

>

Pulso senoidal:

=+

0

10 T

tsenPkuum

&& 1

1

tttt

>

t

P(t)

t t1

P(t)

=

P(t)

t1 t

+ t1 t1

Po Po

-Po

t

P(t)

t1 00,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4

t1/T

u / e

st



Si la duracin de la aplicacin de la carga (t1) es menor que aproximadamente la mitad del periodo, es decir t1



0=++ ukucum T &&& ( ) ( ) 0=+++ ukucuum g &&&&& ( )tpumukucum efg ==++ &&&&& ( )

( )tpef es la carga efectiva aplicada en la estructura a causa de un movimiento de su base. La Ec. ( ) indica que un movimiento en la base de aceleracin ( )tug&& es equivalente a aplicar una fuerza en la estructura de valor ( ) ( )tumtp gef &&= .

El signo negativo es indistinto ya que la accin ssmica puede tener cualquier sentido alternndose en el tiempo.

Dividiendo Ec. ( ) por la masa, queda

gnn uuuu &&&&& =++ 22 que es otra forma de expresar la ecuacin de equilibrio dinmico de un sistema de un grado de libertad bajo la aceleracin del suelo.

2.3 MTODOS DE RESOLUCIN

2.3.1 CLCULO DE LA FRECUENCIA NATURAL - MTODO DE RAYLEIGH

Es un mtodo aproximado para hallar la frecuencia natural de una estructura en base al principio de conservacin de la energa. En una estructura en donde no existen cargas exteriores ni amortiguamiento (movimiento libre no amortiguado), la energa total permanecer constante. Si se adopta un modo de vibracin (es necesario para el planteo energtico del mtodo) para una estructura de un grado de libertad, en movimiento libre no amortiguado, por ejemplo:

( ) tAsentu n= La velocidad ser: ( ) tAtu nn cos=& La energa potencial: ( ) tsenkAkutV n222 2

121 ==

La energa potencial mxima: 221 kAVmx =

La energa cintica: ( ) tmAumtT nn 2222 cos21

21 == &

La energa cintica mxima: 2221

nmx mAT = En estas condiciones para dos instantes cualquiera se tiene:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 = cte. T: energa cintica

ug

pef

=

MasterResaltado

MasterResaltado



V: energa potencial elstica.

Si denominamos 1 a la posicin de equilibrio esttico de la masa y 2 a la posicin de mximo apartamiento de 1:

221 21

nmx mATT == V1 = 0

T2 = 0 22 k21 AVV mx ==

Por lo tanto se tiene:

222

21

21 kAmA n =

obtenindose la frecuencia natural de la estructura mk=

expresin ya conocida, a la que se haba arribado anteriormente. Este mtodo presentado con una estructura simple, presenta ventajas en sistemas de varios grados de libertad y en estructuras con masa distribuida (con infinitos grados de libertad).

2.3.2 SOLUCIN DE LA EC. DE EQUILIBRIO DINMICO POR MTODOS

NUMRICOS

En los casos en que la fuerza externa aplicada en la estructura tiene una variacin compleja o no hay linealidad en alguna componente de la estructura, no es posible hallar la solucin exacta de la ecuacin diferencial de equilibrio dinmico, y sta debe ser integrada en forma numrica.

El problema numrico est en la clasificacin de problema de valor inicial (PVI), pues se trata de integrar en el tiempo una ecuacin diferencial de segundo orden contando con las condiciones iniciales del problema que permiten iniciar el clculo (desplazamiento y velocidad en el tiempo inicial).

La variable continua tiempo es discretizada en pasos, de manera que la fuerza exterior se expresar como un conjunto de valores correspondientes con cada tiempo del nuevo dominio discreto. Del mismo modo, la respuesta de la estructura (solucin de la integracin) estar dada slo en los puntos del dominio (en lugar de obtener u(t) ser ui)

Si se adopta un paso de tiempo ii ttt = +1 La ecuacin de equilibrio del movimiento quedar:

iiii pkuucum =++ &&& Como en todo procedimiento numrico, debe controlarse:

la convergencia, tal que a medida que el paso de tiempo sea menor, la solucin numrica tiende a la solucin exacta.

La estabilidad, de modo que la solucin no se aparte de la exacta por la acumulacin de errores.

Si bien existe una gran variedad de mtodos de resolucin numrica del problema dinmico, mencionaremos como ejemplos:

1) resolucin como sistema de ecuaciones de primer orden:

consiste en reemplazar la ecuacin diferencial de segundo orden por un sistema de dos ecuaciones de primer orden y resolverlas simultneamente.

Sea iiii pkuucum =++ &&& Si uz &= uz &&& =

MasterResaltado



Quedando el sistema

==

ii

iiii

zuczkupz

&&

con las condiciones iniciales ( )( )

====00

0

0

tuztuu

&

El sistema se puede resolver con distinto mtodos como los del tipo de Euler o Runge Kutta.

2) resolucin por el mtodo de diferencias finitas: se trata de reemplazar la derivada primera y segunda de u por una aproximacin en diferencias finitas.

Si se utilizan diferencias centradas:

tuuu iii

= +2

11& ( )2 112t

uuuu iiii += +&&

reemplazando en Ec. ( )

( ) iiiiiii pku

tuu

ct

uuum =+

++ ++

22 11

211

de esta ltima ecuacin es posible despejar 1+iu en forma explcita en funcin de los parmetros en un paso de tiempo anterior, por lo que recibe el nombre de mtodo explcito. Sin embargo, estos mtodos, que no requieren la resolucin de un sistema de ecuaciones, tienen condicionamientos en cuanto a la estabilidad, debiendo cumplirse que el paso de tiempo est relacionado con el periodo de la estructura en:

Tt 1



3 ESTRUCTURAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Cuando un sistema requiere mas de una coordenada para describir el movimiento se trata de un sistema de varios grados de libertad. En general un sistema de n grados de libertad requiere de n coordenadas independientes para determinar su movimiento.

Los grados de libertad de un sistema se determinan por el nmero de masas multiplicado por los desplazamientos posibles de cada masa.

3.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINMICO

El anlisis realizado para el sistema de un grado de libertad es trasladable a sistemas de mltiples grados de libertad. Existir una ecuacin diferencial del movimiento para cada grado de libertad. Si cada ecuacin involucra a mas de una coordenada se dice que es un sistema acoplado, en cambio si cada ecuacin contiene solo una coordenada se trata de un sistema desacoplado.

Veamos un sistema de dos grados de libertad como el siguiente.

u1 u2

k1 k2

m1 P1(t) m2 P2(t)

c1 c2

a partir del diagrama de cuerpo libre para cada grado de libertad planteamos las ecuaciones de movimiento

u1 u2

P1(t) P2(t)

k1u1 k2(u2-u1)

c1 u1 m1 c2 (u2-u1) m2

( ) ( )22212221222

1221212212111

Pukukucucum

Pukukkucuccum

=++

=++++

&&&&

&&&& (3.1)

en la ecuacin correspondiente con la coordenada u1 aparece involucrada la coordenada u2, de manera que se trata de un sistema acoplado.

Si expresamos (3.1) en forma matricial:

pukucum =++ &&&

con

=2

1m00m

m matriz masa

MasterResaltado

MasterResaltado



+=22

221ccccc

c matriz amortiguamiento

+=22

221kkkkk

k matriz rigidez

y

=2

1uu

u

=2

1uu&&&u

=

2

1uu&&&&&&u

=

2

1PP

p

son los vectores desplazamiento, velocidad, aceleracin y cargas exteriores.

El acoplamiento del sistema se advierte en las matrices k, m y c. Para que exista desacoplamiento total las matrices deben ser diagonales de manera de tener ecuaciones que contengan una sola coordenada. En este ejemplo la matriz m diagonal significa que el sistema es desacoplado dinmicamente. Las matrices k y c no diagonales indican que hay acoplamiento elstico y cinemtico respectivamente.

En general es posible encontrar un sistema de coordenadas en el cual cada ecuacin contenga slo una coordenada. Estas coordenadas se denominan principales. De esta forma cada ecuacin se soluciona independientemente de las otras y la solucin total del movimiento ser la combinacin de las soluciones para cada coordenada.

Analizaremos primeramente un sistema de dos grados de libertad para luego generalizarlo a n grados de libertad.

3.2 VIBRACIONES LIBRES 3.2.1 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIN

Sean dos masas mi conectadas por barras de rigidez ki

m2 u2

k2

m1 u1

k1

Las ecuaciones de equilibrio dinmico para cada coordenada

( )0ukukum

0ukukkum

221222

2212111

=+

=++

&&

&&

en forma matricial

0ukum =+ && (3.2) Una solucin posible esta dada por

( ) ( )( ) ( )

+=+=tsenAtutsenAtu

n22

n11

en forma matricial ( ) ( ) += tsent nAu (esta solucin supone que las dos masas se mueven con la misma frecuencia y ngulo de fase pero

distinta amplitud)

MasterResaltado



al derivar y reemplazar en(3.2)

( ) ( ) += tcost nn Au& ( ) ( ) ( )ttsent 2nn2n uAu &&&& =+= ( ) 0umk = 2n (3.3) se obtiene la ecuacin caracterstica del sistema. Este sistema tiene una solucin trivial con u1= u2 =0,

y una no trivial cuando el determinante es nulo.

De esta forma 0mk = 2n

0m00m

kkkkk

2

12n

22

221 =

+

( ) 0

mkkkmkk

2n222

22

n121 =+

( ) ( ){ } 0kmkmkkmm 12n122214n21 =+++ al resolver el determinante queda un polinomio de grado dos en wn2, cuyas races, llamadas

autovalores, sern wn12 y wn2 2 y las races reales y positivas de stas son las frecuencias naturales del sistema: wn1 y wn2. Estas frecuencias son distintas en general y la menor frecuencia se denomina principal.

Sustituyendo cada frecuencia en (3.3) obtenemos un sistema de dos ecuaciones homogneo por lo cual los valores de las incgnitas son expresados en funcin de un valor arbitrario de una de ellas.

Para el caso de la frecuencia natural wn1 tendremos

( )( ) 0umkuk 0ukumkk 2221n22

2212

1n21

=+=+

las soluciones para este sistema son infinitas mantenindose siempre una relacin entre u1 y u2 que

estar dada por: 2

21n2

2

2

12

1n21

1

2mk

kk

mkkuu

=+=

valores de u1 y u2 forman los denominados autovectores y se adopta la siguiente notacin, donde el segundo subndice indica la frecuencia:

212

111uu

==

para la frecuencia w1 el autovector

=21

111

r El mismo procedimiento realizado para la frecuencia wn1 se sigue para la segunda frecuencia,

obtenindose:

222

121uu

==

con

=22

122

r

De manera que para cada frecuencia natural (autovalores) existir un autovector asociado que representa los desplazamientos mximos relativos en cada coordenada cuando el sistema vibra de una



forma sincrnica con esa frecuencia. Esta forma particular de vibracin del sistema en el cual todas los grados de libertad vibran en forma sincrnica con una frecuencia dada se denomina modo de vibracin.

En forma grfica:

11 12

21 22

modo 1 modo 2

Existirn tantos modos de vibracin como grados de libertad tiene el sistema y el movimiento en general ser una superposicin de todos los modos por lo tanto no armnico.

La matriz modal resulta de ordenar los vectores columna de cada modo.

[ ]212221

1211 =

=

El primer modo de vibracin es el que corresponde a la frecuencia natural ms baja y se denomina modo fundamental (todas las masas estn en fase) y los siguientes se denominan primer, segundo, etc. armnicos. (el movimiento de las masas esta fuera de fase).

3.2.2 COORDENADAS PRINCIPALES

Una importante propiedad que verifican los modos de vibracin es la ortogonalidad.

Sean dos modos i y j cualesquiera de un sistema de n grados de libertad. Segn (3.3) se cumple para cada modo:

ii2in = km (3.4)

donde el primer miembro de(3.4) representa la fuerza de inercia aplicada en cada masa.

1i f1i 1j f1j

2i f2i 2j f2j

modo i modo j

Por la ley de Betti, se cumple:

jTii

Tj ff =

reemplazando de (3.4)

MasterResaltado



jTi

2nii

Tj

2nj = mm

( ) 0iTj2ni2nj = m como en general 2nj

2ni entonces se obtiene la condicin de ortogonalidad

0iTj = m para i j (3.5)

Si premultiplicamos (3.4) por Tj i

Tji

Tj

2in = km

si aplicamos (3.5) 0iTj = k para i j (3.6)

Las ecuaciones (3.5) y (3.6) indican que los vectores modales son ortogonales por lo que son independientes y forman una base de un sistema de coordenadas n-dimensional. De esta forma cualquier vector en este espacio puede ser expresado como combinacin lineal de los vectores modales.

=

=n

1iiiy u (3.7)

u2 12 22

u1 = 11 x Y1 12 x Y2

2221122

2121111

yyuyyu

+=+=

en forma matricial yu = (3.8) representa un cambio de coordenadas a travs de la matriz modal. El vector desplazamiento de

cada masa en las coordenadas originales (u) es expresado como combinacin lineal de un nuevo sistema de coordenadas (y) a travs de los coeficientes de la matriz modal.

Cuando i=j las ecuaciones (3.5) y (3.6) sern distintas de cero y constituyen las llamadas matriz masa principal y matriz rigidez principal dadas por,

iTi

iTi

==

kKn

mMn (3.9)

Estas matrices son diagonales por lo tanto no existir acoplamiento en este nuevo sistema de coordenadas lo que permite resolver las ecuaciones (3.2) en forma independiente para cada coordenada. Estas coordenadas se denominan principales.



Entonces, dado un sistema de varios grados de libertad que se encuentre acoplado en forma dinmica o elstica en sus coordenadas originales, es posible encontrar otro sistema de coordenadas donde cada ecuacin sea independiente. Esta transformacin se logra por medio de la matriz modal.

Aplicaremos la transformacin mencionada al problema anterior de dos grados de libertad. Inicialmente, el planteo de las ecuaciones:

0ukum =+ && si reemplazamos yu = yu && = yu &&&& = 0ykym =+ && premultiplicamos por T 0kym =+ yTT && de (3.9) 0ykyMn =+ && queda de esta forma un sistema de ecuaciones independientes en Y

0yy

K00K

yy

M00M

2

1

2n

1n

2

1

2n

1n =

+

&&&&

que se pueden resolver en forma independiente para cada modo de vibracin, como sistemas de un grado de libertad como los ya analizados, siendo las soluciones:

( )( )22n22

11n11tsenAytsenAy

+=+=

A y dependen de las condiciones iniciales que deben transformarse a coordenadas principales, ( ) ( )00 uy = 1

( ) ( )00 uy && = 1 Una vez obtenidas las soluciones en coordenadas principales, para conocer los desplazamientos

reales de cada masa se debe aplicar la transformacin (3.8) entonces

yu = se tienen los desplazamientos reales superponiendo los desplazamientos de cada modo (mtodo de

superposicin modal).

2221212

2121111yyuyyu

+=+=

3.2.3 - MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

Si bien el amortiguamiento en las estructuras en general es muy pequeo y de difcil determinacin, existen casos como los prximos a la resonancia en los cuales el amortiguamiento tiene gran importancia. La ecuacin diferencial de equilibrio dinmico para un sistema de varios grados de libertad en movimiento libre amortiguado es, en expresin matricial: 0ukucum =++ &&&

MasterResaltado



donde

=2221

1211cccc

c es la matriz de amortiguamiento

La transformacin (3.8) que convierte en diagonales la matriz masa y la matriz rigidez, no

transforma en general a la matriz amortiguamiento en diagonal, es decir, no desacopla al sistema cinemticamente.

Para simplificar el problema se asignar a cada modo un amortiguamiento y se construye una matriz Cn diagonal sin necesidad de hallar la matriz c

ii

i

cr

ii M2

CCC

i== (para cada modo)

=222

111M20

0M2

Cn

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas principales son

0yKnyCnyMn =++ &&& y se resuelven en forma independiente para cada modo como sistemas de un grado de libertad. Una vez obtenidas las soluciones en cada modo se aplica la transformacin (3.8) obtenindose los desplazamientos reales de cada masa en las coordenadas originales.

para cada modo ( ) ( )iditii tseneAty nii += con Ai y i dependientes de las condiciones iniciales ( ) ( )i01ii0 uy = ( ) ( )i01ii0 uy && = luego ( ) ( )tt yu =

3.3 VIBRACIONES FORZADAS 3.3.1 FUERZAS

Si en un sistema vibratorio de varios grados de libertad acta una fuerza externa, las ecuaciones de

equilibrio sern: pukucum =++ &&& (3.10) un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales no homogneas acopladas.

Aplicamos la transformacin yu = y premultiplicamos por T

pykycym =++ TTTT &&& PnyKnyCnyMn =++ &&& se obtiene as un sistema de ecuaciones desacoplado. Pn es el vector carga exterior en coordenadas principales.



Las ecuaciones se resuelven en forma independiente para cada modo en coordenadas principales y luego

Anal is is Dina Mico Dee Structur As

Documents

Transcript of Anal is is Dina Mico Dee Structur As