Anàlisi (I) Repàs de funcions Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Definicions prèvies 1.1 Funcions. Imatges i antiimatges S'anomena funció real de variable real (o simplement funció) una correspondència que a cada nombre real x li assigna com a màxim un altre nombre real y . Es representa de qualsevol de les formes següents:

yxf →: ; )(xfy = ; :

( )f

x f x

El nombre y s'anomena imatge de x .El nombre x es diu antiimatge de y i es representa:

)(1 yf − . Un nombre x no pot tenir més d'una imatge, però un nombre y sí que pot tenir més d'una antiimatge. La lletra x s'anomena variable independent i la lletra y , variable dependent.

Exemple: La funció que a cada nombre real li assigna la meitat del seu triple és: 2

3)( xxf = . La

imatge de 12x = és 18212·3)12( ==f . L'antiimatge de 15y = és 10)15(1 =−f (perquè

(10) 15f = ) Per a calcular les antiimatges de b cal resoldre l’equació ( )f x b= 1.2 Domini i recorregut S'anomena domini (o camp d’existència) de la funció f el conjunt de nombres que tenen imatge, és a dir el conjunt d'antiimatges. Es representa: Dom f (o també: D f )

{ }( )Dom f x f x= ∈ ∈

S'anomena recorregut ( o conjunt imatge) de la funció f el conjunt de nombres que tenen alguna antiimatge, és a dir el conjunt d'imatges. Es representa: Rec f (o també: Im f ) Observació: El domini forma part de la definició d'una funció. Si no s'especifica s'entendrà que és el conjunt màxim de nombres que admeten imatge. A vegades ve determinat pel significat de la variable x ; per exemple, si 2( )f x x= representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat x , el domini de f és ( )0, +∞ Exemples:

1) Si 34

13)( 2 +−−

=xx

xxf el domini de ( )f x és: { } { }2 4 3 0 1,3Dom f x x x= ∈ − + ≠ = −

2) Si 123)( −= xxf el domini de f(x) és: { }3 12 0 [4, )Dom f x x= ∈ − ≥ = +∞

1.3 Gràfica S'anomena gràfica (o gràfic) de la funció f respecte d'un sistema d'eixos de coordenades perpendiculars el conjunt de punts ( , )x y del pla tals que )(xfy = . Es representa: ( )Graf f .

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 2 { }2( ) ( , ) ( )Graf f x y y f x= ∈ =

Noteu que el domini de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'abscisses, i el recorregut de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'ordenades. 1.4 Diferents tipus de funcions Funció injectiva: Una funció f és injectiva si no hi ha dos nombres diferents 1x i 2x de Dom f que tinguin la mateixa imatge; és a dir si 2121 )()( xxxfxf =⇒= Qualsevol recta paral·lela a l'eix d'abscisses tallarà la gràfica en un punt com a màxim. Exemples: 1) La funció 2)( xxf = no és injectiva, ja que 25)5()5( ==− ff .

2) La funció 3)( xxf = sí que és injectiva, ja que si 1 2( ) ( )f x f x= , 3 31 2és a dir x x=

1 2:necessàriament serà x x=

Observació: Per a veure si una funció f és o no injectiva cal plantejar l'equació: ( )f x k= . Si per a alguns valors de k admet més d'una solució, la funció no és injectiva. Funció exhaustiva o sobrejectiva: Una funció f és exhaustiva o sobrejectiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals . Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica. en un punt com a mínim. Exemple: xxxf −= 3)( és sobrejectiva però no és injectiva, ja que (0) (1)f f= . Observació: Per a veure si una funció f és o no sobrejectiva cal plantejar l'equació: ( )f x k= i comprovar que té solucions per a qualsevol valor de k . Funció bijectiva: Una funció f és bijectiva si és a la vegada injectiva i sobrejectiva. Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica en un sol punt. Exemple: 5)( xxf =

Dom f

Rec

f

x

f(x) (x , f(x))

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 3 1.5 Simetries Una funció f és parella si compleix: )()( xfxf =− per a qualsevol fDomx∈ . La seva gràfica és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (simetria axial). Exemple: 4)( xxf = Una funció f és imparella si compleix: )()( xfxf −=− per a qualsevol fDomx∈ . La seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades (simetria central) Exemple: 3)( xxf = 1.6 Periodicitat Sigui T un nombre real positiu. Una funció f és periòdica de període T si compleix:

( ) ( ) ( 2 ) ...f x f x T f x T= + = + = (dins del domini de f ). És a dir, els valors de f es repeteixen si x varia “de T en T ”.

2 Funcions elementals

2.1 Funcions polinòmiques: 11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + +

El seu domini és . Si el grau és imparell, el recorregut és ; si el grau és parell, el recoregut és un interval infinit.

2.1.1 Funcions lineals i afins: ( )f x mx n= + ♦ Si 0n = es diu lineal ; si 0n ≠ es diu afí. ♦ Tenen per gràfica una recta. El coeficient m s'anomena pendent de la recta i és

igual a la tangent de l'angle α que la recta forma amb l’eix d'abscisses (mesurat en sentit positiu des de l’eix d’abscisses). Si 0m = la recta és paral·lela a l'eix d'abscisses ("horitzontal") i la funció es diu funció constant.

x –x

funció imparella

f(x)

f(– x) = –f(– x)

x –x

funció parella

f(x) = f(– x)

x + 2T x x + T

Funció periòdica

x + 3T

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 4 2.1.2 Funcions quadràtiques: 2( )f x ax bx c= + + Tenen per gràfica una paràbola.

♦ Si 0a > és còncava, amb un mínim en el vèrtex. Si 0a < és convexa, amb un màxim en

el vèrtex. Les coordenades del vèrtex són: 24,

2 4b ac bVa a

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎝ ⎠

♦ La gràfica talla l’eix d’ordenades en el punt (0, )c i l’eix d’abscisses en el punts: 1( , 0)x

i 2( , 0)x , on 1x i 2x són les solucions de l’equació: 2 0ax bx c+ + = (si en té).

♦ Si el vèrtex és ( , )V p q= , el recorregut és [ ),q +∞ , si 0a > o ( ], q−∞ , si 0a < .

2.1.3 Funcions potencials: ( ) ,nf x x amb n= ∈ Si l'exponent n és imparell, el recorregut és: Rec f = , i si és parell [0, )Rec f = +∞

♦ Totes les seves gràfiques passen pel punt (1, 1) .

(0 , )n

( )( 0)f x mx nm

= +>

α

(0 , )n ( )( 0)f x mx nm

= +<

α

0a <

c

0a >

c

V

V

2x1x

1x2x

p

q

p

q

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 5

2.2 Funcions racionals: ( )( ) , ( ) ( )( )

P xf x on P x i Q x són polinomisQ x

=

El seu domini és el conjunt de nombres reals que no anul·len el denominador: { }( ) 0Dom f x Q x= ∈ ≠

L’exemple més senzill és la funció de proporcionalitat inversa: ( ) ,kf x kx

= ∈

♦ El seu domini i el seu recorregut coincideixen

i són iguals a { }- 0 . És injectiva. ♦ La gràfica és una hipèrbola equilàtera amb

vèrtexs als punts ( )1 , ,V k k= ( )2 ,V k k= − − si 0k >

o ( )1 ,V k k= − − − , ( )2 ,V k k= − − −

si 0k < .

2.3 Funcions irracionals: ( ) ( ) , ( )nf x P x on P x és un polinomi= Si n és imparell el seu domini és . Si n és parell el domini és: { }( ) 0Dom f x P x= ∈ ≥ Les més senzilles són les funcions radicals: Si l'índex n és parell : [ )0,Dom f Rec f= = +∞ Si n és imparell : Dom f Rec f= =

( ) nf x x=

n parell

1

1

( ) nf x x=

n imparell

1

1

( ) nf x x=

= >( ) ( 0)k

f x kx

k

k

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 6

2.4 Funció valor absolut: 00

x si xx

x si x≥⎧

= ⎨− <⎩

♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ )0, +∞

♦ També es pot definir com 2x x=

2.5 Funció part entera: ( ) ( )f x E x=

♦ Es defineix la part entera de x com el nombre enter més gran entre tots els que són

mès petits o iguals que x (el que està més a prop de x per l’esquerra). Per exemple: (4) 4, (6,98) 6, ( 5,1) 6E E E= = − = − ♦ El seu domini és i el seu recorregut és el conjunt dels nombres enters.

( ) ( )f x E x=( )f x x=

n parell

( ) nf x x=

n imparell

( ) nf x x=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 7

2.6 Funció exponencial: ( ) , 0 1xf x a amb a i a= > ≠

♦ La gràfica és una corba còncava que passa pel punt (0, 1) ♦ La funció és creixent si 1a > i decreixent si 1a < . ♦ El domini és i el recorregut és l'interval ),0( ∞+ . És injectiva però no

sobrejectiva. ♦ La funció exponencial més important és la que té com a base el nombre

irracional 2,718281828...e = ... ( ) xf x e=

2.7 Funció logarítmica: log , 0 1ay x amb a i a= > ≠

2.7.1 Si 0a > i 1a ≠ es defineix el logaritme en base a del nombre positiu x com l'exponent a què cal elevar a perquè doni x . És a dir: xaxy y

a =⇔= log El logaritme només està definit per a nombres positius ; el nombre 0 i els negatius no tenen logaritme. 2.7.2 Propietats dels logaritmes Si 0x > i 0y > es compleix: 1) yxyx aaa loglog)·(log +=

2) yxyx

aaa logloglog −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3) xpx ap

a log·log =

4) p

xx ap

alog

log =

5) 01log =a

6) 1log =aa

7) pa pa =log

♦ S'anomena funció logarítmica de base a la que a cada nombre positiu x li assigna el seu

logaritme en base a : ( ) logaf x x= ♦ El seu domini és: (0, )Dom f = +∞ i el seu recorregut és . La gràfica passa pel punt

(1, 0) . És bijectiva. ♦ Si 1a > és convexa i creixent. Si 0 1a< < és còncava i decreixent.

1a >(0 , 1)

( ) xf x a=

0 1a< <(0 , 1)

( ) xf x a=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________8

♦ La funció logarítmica més important és la que té com a base el nombre irracional 2,718281828...e = anomenada logaritme neperià (o natural), que es representa: ( ) lnf x x=

(o ( )f x L x= )

2.8 Funcions trigonomètriques

2.8.1 Funció sinus: ( ) ( )f x sin x= ♦ És la funció que a cada nombre real x

li fa correspondre el sinus d'un angle de x radiants.

♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ ]1, 1−

♦ És periòdica, de període 2π 2.8.2 Funció cosinus: ( ) ( )f x cos x=

És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el cosinus d'un angle de x radiants.

Té els mateixos domini, recorregut i període que la funció sinus. Les gràfiques d’aquestes dues funcions s’anomenen sinusoide i cosinusoide .

2.8.3 Funció tangent: ( )f x tg x=

És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre la tangent d'un angle de x radiants. El seu recorregut és i el seu domini és:

· ,2

Dom f x x k kπ π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

És sobrejectiva, però no injectiva.

( )f x sin x=( )f x cos x=

ππ−

1

/ 2−π/ 2π

( )f x tg x=

> 1alogay x=

1

< <0 1a

logay x=

1

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________9

( )y f x=

( )y f x= −

0= +>

( )( )y f x kk

0= +<

( )( )y f x kk

0( )

( )y f x kk= +> 0

( )( )y f x kk= +<

La gràfica talla l’eix d’abscisses en els punts de la forma: ( ), 0k amb kπ ∈ És periòdica, de període π

Observació important: La variable x de les funcions trigonomètriques es mesura en radiants.

2.9 Funcions definides per intervals (o “a trossos”) Exemples:

1) 2

1 12

( ) 1 12 1

x si x

f x x si xx si x

⎧ + ≤ −⎪⎪

= − < <⎨⎪− + ≥⎪⎩

2) 2

1 0

( ) 2 0 2

1 2

si xx

f x x si x

x si x

⎧ <⎪⎪

= − + ≤ <⎨⎪ − ≥⎪⎩

3 Transformacions de la gràfica d’una funció

Funció original Translacions verticals

Reflexió entorn Translacions horitzontals de l’eix d’abscisses

–1 1

1 0

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________10

( )y f x= −( )y f x=( )=y f x

1· ( )

( )y k f xk=> 0 1

· ( )( )y k f x

k=< <

1( )y f k x

k=>

0 1( )

( )y f k x

k=< <

1( )

yf x

=

Positivació Simetrització entorn Reflexió entorn de de l’eix d’ordenades l’eix d’ordenades

Dilatació vertical Dilatació horitzontal Contracció vertical Contracció horitzontal Inversió

4 Operacions amb funcions

4.1 Operacions algebraiques Suma i diferència: ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −

gDomfDomgfDom ∩=± )(

Producte: ( · )( ) ( ) · ( )f g x f x g x= gDomfDomgfDom ∩=)·(

Quocient: ( )( )( )

f f xxg g x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ per a tots els valors de x tals que ( ) 0g x ≠

{ }0fDom Dom f Dom g x g(x)g

⎛ ⎞= − ∈ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∩

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________11

4.2 Composició de funcions Siguin f i g dues funcions. S'anomena funció composta de f amb g la funció: ( )( ) ( ( ))g f x g f x= (es llegeix “ f composta amb g ”) { }gDomxffDomxfgDom ∈∈= )()(

Exemple: Si 2

13)( +=

xxf i 5

62)( −=

xxg tindrem:

( )

3 12 62 ( ) 6 6 10 3 52( ) ( ( ))

5 5 10 5

xf x x xg f x g f x

+⎛ ⎞ −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠= = = = =

Observació: La composició de funcions no és pas commutativa; en general: g f f g≠

5 Funcions recíproques 5.1 Funció recíproca o inversa

Sigui f una funció injectiva. S'anomena funció recíproca (o inversa) de la funció f la funció representada: 1f − que compleix:

1( ( ))f f x x− = i 1( ( ))f f x x− = . Si ( )b f a= , llavors 1( )a f b−= . Exemple: Si 53)( += xxf llavors:

35)(

5)(3))((

1

11

−=

⇔=+⇔=

−

−−

xxf

xxfxxff

gf

g f

x f(x) g(f(x)) Dom f

Dom g

a

b

a b

f (x)

(x)f 1−

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________12 Propietat important: Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques

respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants Propietat: 1Dom f Rec f −= 1Rec f Dom f −= Les parelles següents de funcions són recíproques l'una de l'altra:

a) kxxf =)( )0()(1 ≠=− ksikxxf

b) nxxf =)( 1( ) ( )i imparellnf x x n− = ∈ c) xaxf =)( xxf alog)(1 =−

d) xkxf =)(

xkxf =− )(1

5.2 Recíproques de les funcions trigonomètriques

5.2.1 Funció arc sinus: ( )f x arcsin x= És la funció que a cada nombre x de l'interval [ ]1,1− li assigna un nombre y de l'interval

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

tal que sin y x= . El seu domini és l'interval [ ]1,1− i el seu recorregut és

l'interval ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ

.

Exemples: 62

1 π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛arcsin ;

2)1( π=arcsin ;

323 π

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−arcsin ; )25,1(arcsin no

existeix.

Propietats: a) ( )sin arcsin x = x b) ( ) ,2 2

siarcsin sin x x x π π⎡ ⎤= ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

5.2.2 Funció arc cosinus: ( )f x = arccos x

És la funció que a cada nombre real x de l'interval [ ]1,1− li fa corespondre un nombre real y de l'interval [ ]π,0 tal que cos y x= . El seu domini és l'interval [ ]1,1− i el seu recorregut, l'interval [ ]π,0 .

Exemples: ( 1)arccos π− = ; 2

2 4arccos π⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 22 3

arccos π⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( 2)arccos − no

existeix. Propietats: a) ( )cos arccos x x= b) ( )arccos cos x x= si [ ]π,0∈x

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________13

5.2.3 Funció arc tangent: ( )f x arctg x= És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre un nombre real y de l'interval

,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ tal que tg y x= .

El seu domini és i el seu recorregut, l'interval ,2 2π π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Exemples: (1)4

arctg π= ;

( 3)3

arctg π− = − ; (0) 0arctg =

Propietats: a) ( )tg arctg x x=

b) ( )arctg tg x x= si ,2 2

x π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

0 –1

1

π/2

–π/2

f(x) = arcsin x

–1 1

π

0

π/2

f(x) = arccos x

( )f x arctg x=f(x) = arctg x π/2

–π/2

( )f x arctg x=