Anàlisi (II) Límits i continuïtat Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Límits i asímptotes

1.1 Límits laterals i límit en un punt Definicions prèvies S'anomena successió de nombres reals un conjunt infinit i ordenat de nombres reals

(anomenats els termes de la successió). Exemples: 1, 10, 100, 1000, 10 000, ...

0, ...,161,

81,

41,

21

2,9; 2,99 ; 2,999 ... 3,1; 3,01; 3,001; 3,0001 ...

Es diu que una successió tendeix al nombre L (o que té per límit el nombre L ) si els

termes s'aproximen cada vegada més a L , de manera que la diferència amb L en valor absolut arriba a ser més petita que qualsevol nombre positiu prèviament fixat. Exemple: 2 ; 2,9; 2,99; 2,999,... , té límit 3L =

Es diu que una successió tendeix a més infinit si fixat un nombre K positiu, per gran que

sigui, els termes de la successió són més grans que K a partir d'un terme determinat. Exemple: 2, 4, 8, 16, 32,...

Es diu que una successió tendeix a menys infinit si la successió formada pels oposats

dels termes tendeix a més infinit. Exemple: 10, 100, 1000, ...− − − 1.1.1 Límit lateral per l'esquerra Es diu que el nombre L és el límit lateral per l'esquerra de la funció f en el punt x a= (o quan x tendeix a a per l'esquerra) si quan x pren per valor els termes d'una successió de nombres més petits que a que tendeix a a , les imatges ( )f x formen una successió que tendeix a L . En aquest cas es representa: ( )

x alím f x L−→

=

a

x alím f ( x ) L

−→=

x

f(x)

L

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 2Exemple: Considerem la funció:

24)(

2

−−

=xxxf

x 1,9 1,99 1,999 .... → −2

( )f x 3,9 3,99 3,999 .... → 4

Per tant: 2

2

4 42x

xlímx−→

−=

−

1.1.2 Límit lateral per la dreta Es diu que el nombre L és el límit lateral per la dreta de la funció f en el punt x a= (o quan x tendeix a a per la dreta) si quan x pren per valor els termes d'una successió de nombres més grans que a que tendeix a a , les imatges ( )f x formen una successió que tendeix a L . En aquest cas es representa:

( )x alím f x L

+→=

Exemple: Considerem la funció: 1

)(3

−−

=x

xxxf

x 1,1 1,01 1,001 .... → 1 +

( )f x 2,31 2,0301 2,003001 .... → 2

Per tant: 3

12

1x

x xlímx+→

−=

−

1.1.3 Límit en un punt Si els límits laterals per la dreta i per l'esquerra en el punt x a= existeixen i tenen el mateix valor L , es diu que L és el límit de la funció f en el punt x a= (o quan x tendeix a a ). En aquest cas es representa: ( )

x alím f x L→

=

L

a x

f(x)

x alím f ( x ) L

+→=

x x a

f(x)

f(x)

L

x alím f ( x ) L→

=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 3

Observació: Perquè existeixi el límit d'una funció en un punt no cal que estigui definida en aquest punt.

1.2 Límit infinit en un punt Es diu que la funció f té límit

més infinit quan x tendeix a a per l'esquerra si quan x pren per valor els termes d'una successió de nombres més petits que a que tendeix a a es compleix que les imatges ( )f x formen una successió de límit més infinit. En aquest cas s'escriu:

( )

x alím f x

−→= + ∞

Es diu que la funció f té límit més infinit quan x tendeix a a per la dreta si quan x pren per valor els termes d'una successió de nombres més grans que a que tendeix a a es compleix que les imatges ( )f x formen una successió de límit més infinit. En aquest cas s'escriu: ( )

x alím f x

+→= + ∞

Anàlogament es defineix el límit menys infinit per la dreta o per l'esquerra.

Exemple: Considerem la funció: 3

2)(−

=x

xf

x 3,1 3,01 3,001 .... → 3 +

( )f x 20 200 2000 .... → ∞+

Per tant: 3

23x

límx+→

= + ∞−

x 2,9 2,99 2,999 .... → 3 −

( )f x 20− 200− 2000− .... → ∞−

Per tant: 3

23x

límx−→

= − ∞−

a

x a

x a

lím f ( x )

lím f ( x )−

+

→

→

= + ∞

= − ∞

x a=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 4

1.3 Límit en l'infinit

Es diu que la funció f té per límit el nombre real k quan x tendeix a més infinit si quan x pren per valor els termes d'una successió de límit més infinit, les imatges ( )f x formen una successió que té per límit el nombre k .

En aquest cas s'escriu : ( )

xlím f x k→ +∞

=

Es diu que la funció f té per límit el nombre real k quan x tendeix a menys infinit si quan x pren per valor els termes d'una successió de límit menys infinit, les imatges ( )f x formen una successió que té per límit el nombre k .

En aquest cas s'escriu: ( )xlím f x k→ −∞

=

Propietat : Es compleix: ( ) ( )

x xlím f x lím f x→ −∞ → +∞

= −

Exemple: Considerem la funció: 312)( 2

2

+−

=xxxf

x 10 100 1000 .... → ∞+

( )f x 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2

Per tant: 2

2

2 1 23x

xlímx→+∞

−=

+

x 10− 100− 1000− .... → ∞−

( )f x 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2

Per tant: 2

2

2 1 23x

xlímx→−∞

−=

+

1.4 Límit infinit en l’infinit

D’una manera anàloga s’interpreten les frases: “ f té límit més infinit quan x tendeix a més infinit “, “ f té límit menys infinit quan x tendeix a més infinit “ , etc.

k

xlím f x k→+∞

=( )

y k=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 5

1.5 Asímptotes

1.5.1 Asímptota vertical Es diu que la recta d’equació x a= és una asímptota vertical de la funció f si el límit quan x tendeix a a és infinit (per la dreta, per l’esquerra o per tots dos costats). (Vegeu la figura de l’apartat 1.2 ) 1.5.2 Asímptota horitzontal Es diu que la recta d’equació y k= és una asímptota horitzontal per la dreta de la funció f si ( )

xlím f x k→ +∞

= . (Vegeu la figura de l’apartat 1.3 )

Es diu que la recta d’equació y k= és una asímptota horitzontal per l’esquerra de la funció f si ( )

xlím f x k→ −∞

= . (Anomenarem asímptota horitzontal la que ho és per la dreta i

per l’esquerra.)

( )xlím f x→ + ∞

= + ∞( )xlím f x→ − ∞

= + ∞

( )xlím f x→ + ∞

= − ∞( )

xlím f x→ − ∞

= − ∞

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 6 1.5.3 Asímptota obliqua

Es diu que la recta d’equació y m x n= + és una asímptota obliqua per la dreta de la funció f si ( ) ( ) 0

xlím f x m x n→+∞

− + =

Anàlogament es defineix una asímptota obliqua per l’es-querra. A l’apartat 3.5 explicarem com es calculen les asímptotes obliqües.

2 Funcions contínues

2.1 Continuïtat. Definicions

Es diu que la funció f és contínua en el punt a∈ si es compleixen les tres condicions següents:

a) fDoma∈ (és a dir: existeix )(af ) b) Existeix ( )

x alím f x→

c) Es compleix: ( ) ( )x alím f x f a→

=

Si f no és contínua en el punt a es diu que hi és

discontínua o que hi té una discontinuïtat.

Es diu que f és semicontínua per la dreta en el punt a si es compleix: ( ) ( )

x alím f x f a

+→=

Es diu que f és semicontínua per l’esquerra en el punt a si es compleix: ( ) ( )

x alím f x f a

−→=

Es diu que f és contínua en l’interval obert ),( ba si ho és en tots els seus punts. Es diu que f és contínua en l’interval tancat [ ]ba , si ho és en tots els punts de l’interval

obert ),( ba i és semicontínua en a per la dreta i semicontínua en b per l’esquerra.

xlím f x m x n→+∞

=− + 0( ) ( )

y m x n= +

x

f x m x n− +( ) ( )

a

f(a)

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 7 2.2 Tipus de discontinuïtats

Es diu que f té una discontinuïtat evitable en el punt x a= si existeix ( )

x alím f x→

però no coincideix

amb )(af o bé )(af no existeix.

Exemple: 2 4( )

2xf xx−

=−

té una discontinuïtat evitable en 2x = ja que 2

( ) 4xlím f x→

=

però (2)f no existeix.

Es diu que f té una discontinuïtat de salt en el punt x a= si ( ) ( )

x a x alím f x lím f x

+ −→ →≠

(independentment de si existeix o no )(af )

Exemple: 2

3 1 0( )

1 0x si x

f xx si x+ <⎧

= ⎨ − ≥⎩ té una discontinuïtat de salt en 0x = ja que

0( ) 1

xlím f x

−→= i

0( ) 1

xlím f x

+→= − (límits laterals diferents)

Es diu que f té una discontinuïtat infinita o asimptòtica en el punt x a= si un dels límts laterals (o tots dos) en a és ∞+ o ∞−

Exemple: 3( )2

f xx

=−

té una discontinuïtat infinita en 2x = ja que 2

( )xlím f x

−→= − ∞

i 2

( )xlím f x

+→= + ∞

a

a

k1

k2

a

( )x alím f x→

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 8

Es diu que f té una discontinuïtat essencial en el punt x a= si algun dels límts laterals en a no existeix ni és infinit.

Exemple: 1( ) sinf xx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

en 0x =

2.3 Propietats de les funcions contínues. Teorema de

Bolzano 2.3.1 Propietats Si f i g són funcions contínues en el punt x a= també ho són:

,·, gfgf ± i gf (aquesta última si 0)( ≠ag )

Si f és contínua en el punt a i g és contínua en el punt )(af , llavors fg és contínua en el punt a .

a f(a) g(f(a)) g o f

Si f és contínua i injectiva en el seu domini, la recíproca 1−f també ho és en el seu. 2.3.2 Teorema de Bolzano

Si f és contínua en l’interval tancat [ ]ba , i )(af i

)(bf tenen signe diferent, existeix un nombre ),( bac∈ tal que 0)( =cf

Aplicació a la resolució d’equacions Exemple: Calculem la solució de l’equació: 2ln x x= − aproximant-la fins a les centèsimes.

a

f(b)

a b

f(a)

c

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 9 Considerem la funció: ( ) ln 2f x x x= − + 1) ( )f x és contínua en l’interval tancat [ ]1, 2 2) (1) 1 0f = − < i (2) ln(2) 0f = > 3) Segons el teorema de Bolzano existeix un

nombre c comprès entre 1 i 2 tal que ( ) 0f c = , és a dir: ln 2c c= − (solució de

l’equació) 4) Per un procés de tempteig comprovem:

(1,55) 0f < i (1,56) 0f > , per tant: 1,55 1,56c< < 2.4 Continuïtat de les funcions elementals

1. Les funcions polinòmiques són contínues en tot el seu domini ; no tenen cap

asímptota (excepte les lineals, que tenen per asímptota la mateixa funció). Conseqüència:

x a xlím k lím k k→ → ± ∞

= = , on k representa un nombre real.

2. Les funcions racionals són contínues en tot el seu domini. En els punts en què el denominador s’anul·la tenen discontinuïtats evitables o infinites (en aquest últim cas hi tenen asímptotes verticals).

3. Les funcions exponencials són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix d’abscisses com a asímptota horitzontal.

4. Les funcions logarítmiques són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix d’ordenades com a asímptota vertical.

5. Les funcions trigonomètriques són contínues en tot el seu domini. La funció ( )f x tg x= té discontinuïtats infinites en els punts en què no existeix.

6. La funció ( )f x x= és contínua en tot el seu domini.

7. La funció part entera: ( ) ( )f x E x= té discontinuïtats de salt en tots els punts d’abscissa entera.

3 Càlcul de límits

3.1 Infinitèsims

3.1.1 Definicions Es diu que la funció f és un infinitèsim en el punt x a= si ( ) 0

x alím f x→

=

Es diu que els infinitèsims f i g en el punt x a= són equivalents si ( ) 1( )x af xlímg x→

=

Es representa: ( ) ( )f x g x en x a≈ =

c

lny x=

2y x= −

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 10 Propietat: Si f g en x a≈ = es compleix:

( ) · ( ) ( ) · ( )x a x alím f x h x lím g x h x→ →

= i ( ) ( )( ) ( )x a x a

h x h xlím límf x g x→ →

=

3.1.2 Exemples d’infinitèsims equivalents en x = 0

x sin x≈ xtgx≈ x arcsin x≈ x arctg x≈

kxx k +≈+ 1)1( 1 ( 1)xe ln x x− ≈ + ≈ 2

cos12xx≈−

3.1.3 Exemples d’aplicació al càlcul de límits

1)

0 0

(2 ) 2 2(5 ) 5 5x x

sin x xlím límsin x x→ →

= =

2) 2

0 0 0

1 / 2 02x x x

cosx x xlím lím límx x→ → →

−= = =

3.2 Àlgebra de límits

3.2.1 Regles generals (cas en què els límits són finits)

1) ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x alím f x g x lím f x lím g x→ → →

⎡ ⎤⎣ ⎦± = ±

2) ( )· ( ) ( )· ( )

x a x a x alím f x g x lím f x lím g x→ → →

⎡ ⎤⎣ ⎦ =

3) ( )( )

( ) ( )x a

x ax a

lím f xf xlím g x lím g x→

→→

= (sempre que els denominadors no siguin nuls)

4) ( )( )( ) ( ) x alím g xg x

x a x alím f x lím f x →→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= (sempre que les bases de les potències

siguin positives) 5) ( ) ( )n n

x a x alím f x lím f x→ →

= (si n és parell, els radicands han de ser no

negatius)

6) Si la funció g és contínua: ( )( ( )) ( )x ax a

g f x g lím f xlím→→

=

Nota: Aquestes regles també són vàlides si ∞±→x

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 11 3.2.2 Cas en què hi intervenen límits infinits

En les igualtats següents, k representa un límit finit. S’ha d’entendre que les igualtats són

simbòliques.

( ) ( )k k+ +∞ = − −∞ = +∞( ) ( )k k+ −∞ = − +∞ = −∞

( ) ( )( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ − −∞ = +∞( ) ( ) ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ − +∞ = −∞

·( ) ( 0)k si k±∞ = ±∞ ≠

(aplicant la “regla dels signes”) ( ) ·( )±∞ ±∞ = ±∞

0k=

±∞

k±∞

= ±∞ (aplicant la “regla dels signes”)

⎩⎨⎧

<∞−>∞+

=+ 00

0 ksiksik

⎩⎨⎧

<∞+>∞−

=− 00

0 ksiksik

1

0 0 1si k

ksi k

+ ∞ +∞ >⎧= ⎨ ≤ <⎩

0 1

0 1si k

ksi k

− ∞ >⎧= ⎨+∞ ≤ <⎩

0

( )0 0

k si ksi k

+∞ >⎧+∞ = ⎨ <⎩

( )+ ∞+∞ = +∞ ( ) 0− ∞+∞ =

n + ∞ = + ∞ n − ∞ = − ∞ (en aquest segon cas, n ha de ser imparell)

3.2.3 Casos d’indeterminació S’anomenen casos d’indeterminació aquells en què no es pot dir a priori el resultat del límit i aquest depèn de les funcions concretes involucrades.

( ) ( )+∞ + −∞ ( ) ( )+∞ − +∞ 0·( )± ∞ 00 ± ∞

± ∞ 00 0( )+∞ 1±∞

3.3 Alguns límits importants

11x

x

lím ex→ ± ∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

En general: ( )

( )11( )f x

f x

lím ef x→±∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

1x

sin xlímx→

= 0

1x

tg xlímx→

= 0x

sin xlímx→ ± ∞

= 0x

cos xlímx→ ±∞

=

2x

lím tg xπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

→− = + ∞

2x

lím tg xπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

→+

= − ∞

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 12

xlím ln x→+∞

= + ∞ 0xlím ln x→ +

= − ∞ 0nx

ln xlímx→+∞

= (n natural )

x

xlím e→+ ∞

= + ∞ 0x

xlím e→ − ∞

= x

nx

elímx→+∞

= + ∞ (n natural )

n

xlím x→ +∞

= + ∞ n

x

si n és parelllím x

si n és imparell→ −∞+ ∞⎧

= ⎨− ∞⎩ 0nx

klímx→ ± ∞

=

00x a

si kklímsi kx a→ +

+ ∞ >⎧= ⎨− ∞ <− ⎩

00x a

si kklímsi kx a→ −

− ∞ >⎧= ⎨+ ∞ <− ⎩

11 1 0

0...

0nn n n

n n nxn

x

si alím a x a x a x a lím a x

si a−

−→ →+∞ +∞+∞ >⎧

+ + + + = = ⎨−∞ <⎩

( )1

1 1 0... nn n nn n n nx x x

lím a x a x a x a lím a x lím a x−−→ − →− →+∞ ∞ ∞

+ + + + = = −

3.4 Exemples de càlcul de límits

3.4.1 Indeterminacions del tipus ∞∞

1) Funcions racionals

11 1 0

11 1 0

......

n n nn n n

m m mm m m

x x

a x a x a x a a xlím lím

b x b x b x b b x

−−

−−

→ ± ∞ → ± ∞

+ + + += =

+ + + +

0/

()

n m

si n ma b si n m

si n m el signe depènde cada cas particular

<

=

± ∞ >

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Exemples:

a) 2 2

3 3

2 5 2 2 03 5 3 3x x x

x xlím lím límx x x x→ → →+∞ + ∞ + ∞

+= = =

+

b) 3 3

3 3

2 5 2 2 16 5 6 6 3x x x

x xlím lím límx x x→ → →−∞ −∞ −∞

+= = =

+

c) 5 5 2

3 3

2 5 2 26 5 6 6x x x

x x xlím lím límx x x→ → →−∞ −∞ −∞

+= = = + ∞

+

d) 6 6 3

3 3

2 5 2 26 5 6 6x x x

x x xlím lím límx x x→ → →−∞ −∞ −∞

+= = = − ∞

+

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 13 2) Funcions irracionals Exemples:

a) ( )

2 2

24 4 1 1

5 5x x

x xlím límx x→ →+∞ + ∞

+ ∞ +⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥− ∞⎣ ⎦ −

b) ( )( )

3412

43

44 0 05 5x x

xxlím límx x→ →+∞ + ∞

++ ∞⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥∞− ⎣ ⎦ −

c) 22 2 2

2

( ) 11 1 1 1x x xx

xx x xlím lím lím límx x x x→ → →→−∞ + ∞ + ∞ + ∞

− −⎡ ⎤− +∞ − −= = = − = − = −⎢ ⎥−∞ −⎣ ⎦

3) Altres funcions Exemple:

11

25 2 15 2 155

5 35 3 5355 5

xx x

x x x

x x xx xx x x

x

lím lím lím++→ → →+ ∞ + ∞ + ∞

⎛ ⎞− − ⎜ ⎟− ∞⎡ ⎤ ⎝ ⎠= = = =⎢ ⎥ ++ ∞⎣ ⎦ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

3.4.2 Indeterminacions del tipus 00

Exemples:

a) 23 3

3 0 1 19 0 3 6x x

xlím límx x→ →

− ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥− +⎣ ⎦

b) 23 3

33 0 19 0 3 3x x

si xxlím límx x si x→ →

+

−⎧+ ∞ →+ ⎡ ⎤= = = ⎨⎢ ⎥− − − ∞ →⎣ ⎦ ⎩

c) ( )( )( )( ) ( )( )5 5 5

4 3 4 34 3 0 4 95 0 5 4 3 5 4 3x x x

x xx xlím lím límx x x x x→ → →

+ − + ++ − + −⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥− ⎣ ⎦ − + + − + +

( )( ) ( )5 5

5 1 165 4 3 4 3x x

xlím límx x x→ →

−= = =

− + + + +

3.4.3 Indeterminacions del tipus ∞ − ∞ Exemples:

a) [ ] ( ) ( )4 3 4 23 2

2 3 2

3 3 14 453 59 1 9 9x x

x x x x xx xlím límx x x x x→ →+∞ + ∞

+ − − − − +− −− = ∞ −∞ = =

− + + − −

3 2

3 2

14 3 48 19 9x

x x xlímx x x→ +∞

+ − −=

+ − −

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 14

b) ( ) [ ]2 22 2 3 ( ) ( )xlím x x x x→ +∞

− − + = +∞ − +∞ =

( )( )

( )2 2 2 2

2 2

2 2 3 2 2 3

2 2 3x

x x x x x x x xlím

x x x x→+∞

− − + − + += =

− + +

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2 3 4

2 2 3 2 2 3x x

x x x x xlím límx x x x x x x x→ →+∞ + ∞

− − + −= = =

− + + − + +

2 2 2 2

2 2

44 4 2

2 22 2 3 2 2 3x x

xxlím lím

x x x x x x x xx x x

→ →+∞ + ∞

−− −

= = = = −− + + − +

+

c) ( ) [ ] 35 3 ( ) ( ) 5 1 ( )·1

5

xx x x

x xlím lím→ →+∞ + ∞

⎛ ⎞⎛ ⎞− = +∞ − +∞ = − = +∞ = +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3.4.4 Indeterminacions del tipus 1±∞ Propietat: Si ( ) 1

x alím f x→

= i ( )x alím g x→

= ± ∞ es compleix:

( )· ( ) 1( )( ) x alím g x f xg x

x alím f x e

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦→ −

→=

Exemples:

a) ( ) ( )1 4 1 4 1

42 3 24 · 1 ·2 1 2 12 3 1

2 1x x

x xxx lím límx x

x

xx

lím e e e→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∞ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ −+ +

→

+ ∞ + ∞

+∞+⎛ ⎞ ⎡ ⎤ =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

= = =

b) ( )

2

22

2112

2

22

1 3· 12 ( 2)12

3 11

xxx

xx

xlímxlímx xxx

xx

lím e e⎡ ⎤

+ +⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ +−∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦→

→

−+ −− −+→

+⎛ ⎞ ⎡ ⎤ =⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠= = =

( )22

( 2)( 1)( 2) 1 3/5

x

x xlímx xe e

→ +

⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎣ ⎦= =

3.4.5 Indeterminacions del tipus 0·( )± ∞ Exemple:

( ) [ ]2 2

22

3 3 1 11 ( )·0 3 3·1 35 5 ( 5)x x x

x xlím x lím límx x x→ → →+∞ + ∞ + ∞

⎡ ⎤− + ∞ −⎛ ⎞− = + ∞ = = = = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + + ∞ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 15

3.5 Càlcul de les asímptotes obliqües d’una funció Si la recta y m x n= + és una asímptota obliqua per la dreta de la funció ( )f x , es compleix:

( )

x

f xm límx→ + ∞

= ( )( )x

n lím f x m x→ +∞

= −

Les asímptotes per l’esquerra es calculen igual, substituint + ∞ per − ∞ Cas particular: Si la funció ( )f x és racional, només tindrà asímptota obliqua (pels dos

costats) si el grau del numerador és una unitat més gran que el del denominador. En aquest cas, el quocient entre el numerador i el denominador serà m x n+

Exemple: 3 2

2

4 2 5( )2 3x x xf xx x− −

=−

3 2 2

3 2

2

4 2 5 2 34 6 2 2

4 6

x x x x xx x x

x xx

− − −

− + +

− + Asímptota obliqua: 2 2y x= +

Observació: Si una funció té una asímptota horitzontal (per la dreta o per l’esquerra) no pot tenir-ne una d’obliqua pel mateix costat.

4 Estudi de la continuïtat d’una funció

4.1 Funcions racionals Exemple:

23

2)( 2

23

+−−−

=xx

xxxxf

{ } { }2 3 2 0 1, 2Dom f x x x= ∈ − + ≠ = −

Punts de discontinuïtat: 2,1 == xx

1. 3 2

22 2 2

2 ( 1)( 2) ( 1) 63 2 ( 1)( 2) ( 1)x x x

x x x x x x x xlím lím límx x x x x→ → →

− − + − += = =

− + − − −

Per tant, hi ha una discontinuïtat evitable en 2=x

2. 1

( 1)1x

x xlímx→

+= ∞

− . Per tant, hi ha una discontinuïtat infinita en 1=x i una

asímptota vertical d'equació: 1=x .

2

6

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 16

4.2 Funcions definides a trossos

Exemples:

a) Estudiem la continuïtat de

2

2 22

3 2 0( )

2 3 0 26 2

x si x

x si xf x

x si x

si xx

⎧ + < −⎪⎪

− − ≤ <⎪= ⎨− < ≤⎪

⎪>⎪

⎩

Per començar estudiem els punts que separen els

intervals de definició: 2 , 0 2ix x x= − = =

1. 2 2

( ) 2 12x x

xlím f x lím→ →− −− −

= + =

2

2 2( ) 3 1

x xlím f x lím x→ →+ +− −

= − = ⇒ f és contínua en 2x = −

( 2) 1f − = 2. 2

0 0( ) 3 3

x xlím f x lím x→ →− −

= − = −

0 0

( ) 2 3 3x xlím f x lím x→ →+ +

= − = − ⇒ f té una discontinuïtat evitable en 0x =

(0)f no existeix 3.

2 2( ) 2 3 1

x xlím f x lím x→ →− −

= − =

⇒ f té una discontinuïtat de salt en 2x =

2 2

6( ) 3x xlím f x lím

x→ →+ += =

En els altres punts del seu domini, la funció f és contínua.

b) Quin ha de ser el valor de m perquè la funció següent sigui contínua en 3 ?x =

3 2 3

( )7 3

x si xf x

mx si x− <⎧

= ⎨ − ≥⎩

3 3( ) 3 2 7

x xlím f x lím x→ →− −

= − =

3 3

( ) 7 3 7x xlím f x lím m x m→ →+ +

= − = −

(3) 3 7f m= − S’ha de complir: 3 7 7m − = , és a dir: 14 / 3m =

2 – 2

1

3

– 3

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 17

OPERACIONS AMB LÍMITS DE FUNCIONS (quadres sinòptics)

Observació: En els quadres següents, a tant pot ser un nombre real com

+ ∞ o − ∞

A) SUMA : ( ) ( )x alím f x g x→ +

( )x alím g x→

=

( )

x alím f x→

=

2k

∞+

∞−

1k 21 kk + ∞+

∞−

∞+ ∞+ ∞+ ?

∞− ∞− ? ∞−

B) PRODUCTE: ( )· ( )x alím f x g x→

( )

x alím g x→

=

( )

x alím f x→

=

02 >k

02 <k

0 ∞+

∞−

01 >k 21 ·kk 21 ·kk 0 ∞+ ∞−

01 <k 21 ·kk 21 ·kk 0 ∞− ∞+

0 0 0 0 ? ?

∞+ ∞+ ∞− ? ∞+ ∞−

∞− ∞− ∞+ ? ∞− ∞+

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 18

C) QUOCIENT: ( )( )x af xlím g x→

( )x alím g x→

=

( )

x alím f x→

=

02 >k

02 <k

+0

−0

∞+

∞−

01 >k

2

1

kk

2

1

kk

∞+

∞−

+0

−0

01 <k

2

1

kk

2

1

kk

∞−

∞+

−0

+0

0 0 0 ? ? 0 0

∞+ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ? ? ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞+ ? ?

D) POTÈNCIA: ( )( ) ( ( ) 0)x ag xlím f x f x→ >

( )

x alím g x→

=

( )x alím f x→

=

02 >k

02 <k 0

∞+

∞−

0 + 0 ∞+ ? 0 ∞+

10 1 << k 21kk 2

1kk 1 0 ∞+

1 1 1 1 ? ?

11 >k 21kk 2

1kk 1 ∞+ 0

∞+ ∞+ 0 ? ∞+ 0

QUADRE D'INDETERMINACIONS

( ) ( )( ) ( )+∞ − +∞+∞ + −∞

00

± ∞± ∞

0·( )± ∞

00

0)(+∞

1 ± ∞