Anàlisi 3

Anàlisi (III) Derivades Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Concepte de derivada 1.1 Derivada d’una funció en un punt Sigui f una funció definida en el punt ax = . S'anomena derivada de f en el punt ax = , i

es representa per )(' af , el límit següent (si existeix):

( ) ( )

'( )x a

f x f af a lím

x a→

−=−

També es pot expressar: 0

( ) ( )'( )

h

f a h f af a lím

h→

+ −=

Si existeix )(' af es diu que f és derivable en el punt ax = .

L’expressió ( ) ( )f x f a

x a

−−

es diu taxa de variació de la funció en l’interval [ ],a x ; la derivada

en un punt representa la taxa de variació instantània de la funció f en el punt ax = .

Exemple : Si 3( )f x x= i 1a = : ( )3

2

1 1

1'(1) 1 3

1x x

xf lím lím x x

x→ →

−= = + + =−

Interpretació geomètrica:

La derivada d'una funció f en el punt ax = és el pendent de la recta tangent a la gràfica de

f en el punt ( , ( ))P a f a=

1.2 Derivades laterals

1.2.1 Derivada lateral per la dreta És el límit següent (si existeix):

0

( ) ( )' ( )

( ) ( )

x a

h

f x f af a lím

x af a h f a

límh

+

+

+ →

→

−= =−

+ −=

a x

f(a)

f(x)

f(x) – f(a)

x – a

t P

Q

ββββ

αααα

( ) ( )

'( )

( )

x a

f x f atg

x a

pendent de PQ

f a lím tg tg

pendent de t

recta tangent

β

β α→

− = =−

=

= = =

a

αααα

' ( )tg f aα +=

Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _2

1.2.2 Derivada lateral per l’esquerra És el límit següent (si existeix):

0

( ) ( )' ( )

( ) ( )

x a

h

f x f af a lím

x af a h f a

límh

−

−

− →

→

−= =−

+ −=

Teorema : La condició necessària i suficient perquè f sigui derivable en ax = és que les derivades laterals en ax = existeixin i coincideixin. En aquest cas: '( ) ' ( ) ' ( )f a f a f a− += =

Si les derivades laterals existeixen en

ax = però no coincideixen, es diu que f té un punt angulós en ax = .

1.3 Recta tangent i recta normal a una corba L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt ))(,( afa és:

))((')( axafafy −=−

La recta perpendicular a la tangent en el punt ))(,( afa s'anomena normal a la gràfica en

aquest punt. La seva equació és:

)()('

1)( ax

afafy −−=−

(suposant que '( ) 0f a ≠ ).

Si '( ) 0f a = , l’equació de la normal és: x a= (recta paral·lela a l’eix d’ordenades) i la de la

tangent: ( )y f a= (recta paral·lela a l’eix d’abscisses)

a αααα

' ( )tg f aα −=

a

Punt angulós

a

f (a) tangent

normal

Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _3 Exemple : Calculem les equacions de la tangent i la

normal a la gràfica de ( )f x ln x= en el punt (1, 0).

( )

( )

1/( 1)

1 1 1

1/( 1)

1

1'(1)

1 1

1

x

x x x

x

x

ln x ln ln xf lím lím lím ln x

x x

ln lím x ln e

−

→ → →

−

→

− = = = = − − = = =

Tangent: 1y x= −

Normal: ( 1) 1y x y x= − − ⇔ = − +

1.4 Derivada infinita

Es diu que f té derivada infinita en ax = si hi és contínua i ∞=−−

→ ax

afxfax

)()(lím

Ho denotarem: ∞=)(' af

En aquest cas la funció f no és derivable en x a=

En els punts de derivada infinita la tangent a la gràfica és paral·lela a l'eix d'ordenades. De manera anàloga es defineixen les derivades laterals infinites . Si hi ha derivades laterals infinites de signe diferent en ax = , es diu que f té un punt de retrocés en ax = . 1.5 Funció derivada Si f és derivable en tots els punts del conjunt fDomE ⊂ podem definir la funció:

Ef :' ℝ

a )(' af

que assigna a cada nombre Ea∈ la derivada de f en ax = . Es diu funció derivada (o

derivada primera ) de f .

1

tangent

normal

a

'( )f a = + ∞= + ∞= + ∞= + ∞

a

'( )f a = − ∞= − ∞= − ∞= − ∞

a

' '( ) ( )f a f a− +− +− +− += − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞

punt de retrocés


La funció derivada es denota de diferents formes: dx

dfDfxfy ,,)(','

Exemple : funció derivada de 3( )f x x=

( )3 3

2 2 2'( ) 3x a x a

x af a lím lím x a x a a

x a→ →

−= = + + =−

, per tant: 2'( ) 3f x x=

1.6 Derivades d’ordre superior Si 'f és derivable es pot calcular la seva derivada, que s'anomena derivada segona (o

segona derivada ) de f : ( ) '''( ) '( )f x f x= .

Es representa de diferents formes: 2

22 ,,)('',''

dx

fdfDxfy .

Per recurrència es poden definir les derivades successives: tercera, quarta,..., enèsima: [ ]'''( ) ''( ) 'f x f x= . . . . ( ) '1 )()( xfxf nn −=

2 Derivades de les funcions elementals

2.1 Taula de derivades

( )y f x= ' '( )y f x=

y k= ( )k∈ℝ ' 0y = y x= ' 1y = ry x= ( r ∈ℝ ) 1' ry rx −=

y x= 1'

2y

x=

ny x= 1

1'n n

yn x −

=

y ln x= 1'yx

=

ay log x= 1'y

xlna=

xy e= ' xy e= xy a= ( 0a > ) ' ·xy a lna=

y sin x= 'y cos x= y cos x= 'y sin x= −

y tg x= 2

1'ycos x

= = 21 tg x+

y cotg x= 2

21' (1 )y cotg x

sin x−= = − +

y arcsin x= 2

1'1

yx

=−


y arccos x= 2

1'1

yx

−=−

y arctg x= 2

1'1

yx

=+

y arccotg x= 2

1'1

yx

−=+

2.2 Regles de derivació

2.2.1 Derivades i operacions amb funcions

Si f i g són derivables també ho són f g+ , ·f g , i f

g (si el denominador no

s’anul·la) i es compleix: ( ) ' ' 'f g f g+ = + ( · ) ' '· · 'f g f g f g= +

( · ) ' · ' ( )k f k f k= ∈ℝ

'

2'· · 'f f g f g

g g

= −

Si ,f g i h són derivables, també ho és · ·f g h i es compleix:

( · · ) ' '· · · '· · · 'f g h f g h f g h f g h= + +

2.2.2 Derivada d’una funció composta (regla de la c adena)

Si f és derivable en ax = i g és derivable en ( )y f a= llavors

))(())(( xfgxfg =� també és derivable en ax = i es compleix:

( ) '( ) '( ( ))· '( )g f a g f a f a=� (regla de la cadena )

Per reiteració, si h és derivable en ( ( ))z g f a= s'obté: ( ) '( ) '( ( ( ))· '( ( ))· '( )h g f a h g f a g f a f a=� �

Exemple : 3 3 23

1( ( )) ' ( ( ))· ·(3 1)y sin ln x x y cos ln x x x

x x= + ⇒ = + +

+

2.2.3 Derivada de la funció recíproca (o inversa)

Si f és derivable en ax = (amb 0)(' ≠af ) i existeix la funció recíproca 1f − ,

aquesta és derivable en ( )y f a= i es compleix:


)('

1))((')( 1

afaff =−

Exemple : La recíproca de nxxf =)( és n xxf =− )(1 , llavors:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' '

1

' 11 · 1

n n nn n n n n

n nx x x n x x x

n x

−

−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2.2.4 Derivada logarítmica

S'utilitza sobretot per a derivar funcions potencials-exponencials de la forma: )()( xgxfy = (amb 0)( >xf )

Exemple : 4( ) xy sin x=

a) Apliquem logaritmes a cada membre: 4( ) xln y ln sin x =

b) Baixem l’exponent del segon membre: 4 ( )ln y x ln sin x=

c) Derivem cada membre: '

4 ( ) 4y cos x

ln sin x xy sin x

= +

d) Aïllem la derivada:

[ ]4' 4 ( ) 4 ' ( ) 4 ( ) 4xcos xy y ln sin x x y sin x ln sin x xcotg x

sin x

= + ⇔ = +

En general, si )()( xgxfy = , la derivada és:

( ) '( )' ( ) · '( )· ( ) ( )·

( )g x f x

y f x g x ln f x g xf x

= +

2.2.5 Derivada implícita

S’utilitza per derivar funcions en què la variable dependent, y , no està aïllada.

Exemple : 2 2x y y sin x cos y+ = Derivem cada membre, tenint en compte que ( )y f x= :

( )2 2 2 2

2

2

2 ' 2 ' ( ) ' ' 2 2

2'

2

xy x y y y sinx y cos x sin y y y x y sin x sin y x y y cos x

x y y cos xy

x y sin x sin y

+ + + = − ⇔ + + = − − ⇔

− −⇔ =+ +


3 Teoremes relatius a funcions derivables

3.1 Derivabilitat i continuïtat Teorema: f derivable en x a f contínua en x a= ⇒ = El recíproc no és cert: pot ser que f sigui contínua en ax = sense ser-hi derivable. Exemples : a) xxf =)( és contínua en 0=x però no hi és derivable: ' (0) 1 ' (0) 1f i f+ −= = −

b)

=

≠

=

00

01

·)(

xsi

xsix

sinxxf és contínua en 0=x però no hi és derivable.

En efecte: 0 0 0

1·

( ) (0) 1

0x x x

x sinf x f x

lím lím lím sinx x x→ → →

− = = −

que no existeix

3.2 Estudi de la derivabilitat d’una funció

Teorema: Si f és contínua en ax = es compleix: ' ( ) '( )

x af a lím f x

−−→

= i ' ( ) '( )x a

f a lím f x++

→= (si aquests límits existeixen).

Exemple 1 : Estudiem la derivabilitat de la funció: ( ) 2 ( 3)f x ln x= + − en 4=x .

La funció és contínua en 4=x perquè és composició de funcions contínues. Notem que la funció es pot definir a trossos de la manera següent:

2 ( 3) 4( )

2 ( 3) 3 4

ln x si xf x

ln x si x

+ − ≥= − − < <

Llavors:

14

3'( )1

3 43

si xxf x

si xx

> −= − < < −

4 4

1' (4) '( ) 1

3x xf lím f x lím

x− −−→ →

−= = = −−

4 4

1' (4) '( ) 1

3x xf lím f x lím

x+ ++→ →

= = =−

Hi ha un punt angulós en 4=x .

Exemple 2 : Estudiem la derivabilitat de

≥++−<−

=012

012)(

2 xsixx

xsiexf

x

4

2


Òbviament:

>+−<

=022

02)('

xsix

xsiexf

x

Estudiem la situació en 0=x .

a) Vegem primerament si )(xf és contínua en 0=x :

( )( )

0 0

2

0 0

(0) 1

( ) 2 1 1

( ) 2 1 1

x

x x

x x

f

lím f x lím e

lím f x lím x x

− −

+ +

→ →

→ →

=

= − =

= − + + =

⇒ )(xf és contínua en 0=x

b) Derivabilitat:

( )

'

0 0

'

0 0

(0) '( ) 2 2

(0) '( ) 2 2 2

x

x x

x x

f lím f x lím e

f lím f x lím x

− −

+ +

−→ →

+→ →

= = =

= = − + =

⇒ )(xf és derivable en 0=x i, per tant, en ℝ .

3.3 Teorema (o regla) de l’Hôpital

Siguin f i g dues funcions que compleixen:

a) ( ) ( ) 0x c x clím f x lím g x

→ →= = ,

b) Existeix '( )

'( )x c

f xlím

g x→

En aquestes condicions es compleix: ( ) '( )

( ) '( )x c x c

f x f xlím lím

g x g x→ →=

Aquest teorema també es compleix quan if g tendeixen a infinit i quan x tendeix a infinit.

La regla de l'Hôpital serveix per a resoldre diferents tipus d'indeterminacions en el càlcul de límits.

Exemples :

1. ( )2

3 2 20 0 0

110 1 11

0 3 33 1x x x

x arctg x xlím lím límx x x→ → →

−− += = = = +

2. 20 0 0

1 01

/ 2 0 1x x x

cos x sin x cos xlím lím lím

x x→ → →

− = = = =

3. ( )2

2

3 33 3 3

2 2

xx x

x x x

lnlnlím lím lím

x x→+∞ →+ ∞ →+∞

∞ = = = = + ∞ ∞

0

1


4. ( ) [ ]1 1 1

2

1( 1) 1( 1) 0·( )1 1/

( )x x x

ln x xlím ln x ln x lím límx

ln x ln x

+ + +→ → →

− ∞ −− = − ∞ = = = = −∞

2 2

1 1

( ) 0 ( ) 20

1 0 1x x

x ln x ln x ln xlím lím

x+ +→ →

+ = = = = − −

5. [ ]2

1 1 1 1

2

1 111 1 1 0 1

1 1 11 ( 1) 0 2x x x x

x ln x x xlím lím lím límxln x x x ln x ln x

x x x

→ → → →

− − − − = ∞ − ∞ = = = = = −− − + +

6. 0

1( 1) 0ln x

xlím x

+→ − = Sigui 0

1( 1) 0ln x

xA lím x

+→ = − = ; prenent logaritmes:

[ ]1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) 0ln x ln x

x x xln A ln lím x ln A lím ln x ln A lím ln x ln x ln A

+ + +→ → →

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

(segons l’exemple 4) Per tant: 1A =

4 Aplicacions a l’estudi de la gràfica d’una funció

4.1 Extrems relatius: màxims i mínims

Definició prèvia Si a i r són nombres reals, amb 0r > , s’anomena entorn de centre a i radi r l’interval obert ( , )a r a r− + . Es representa: ( )rE a

4.1.1 Màxim relatiu Es diu que la funció f té un màxim relatiu en el punt x a= si existeix un entorn

( )rE a tal que si ( )rx E a∈ i x a≠ es compleix: ( ) ( )f x f a< . Si la desigualtat es

compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu màxim absolut . 4.1.2 Mínim relatiu Es diu que la funció f té un mínim relatiu en el punt x a= si existeix un entorn ( )rE a

tal que si ( )rx E a∈ i x a≠ es compleix: ( ) ( )f x f a> . Si la desigualtat es compleix

per a qualsevol x del domini de f , es diu mínim absolut .

a

r

a + r a – r


Per a l’existència d’extrems relatius en un punt no cal que la funció hi sigui derivable, ni tan sols contínua. 4.1.3 Relació amb la derivada Condició necessària: Si f té un extrem relatiu en x a= i és derivable en x a= ,

es compleix: '( ) 0f a =

Nota : La condició anterior no és suficient: pot ser '( ) 0f a = sense que hi hagi extrem

en el punt x a= (per exemple: 3( )f x x= en 0x = )

Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera i segona en el punt x a= .

Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a > , f té un mínim relatiu en x a= .

Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a < , f té un màxim relatiu en x a= .

(Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)

Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui un extrem en x a=

amb ''( ) 0f a = (exemple: 4( )f x x= en 0x = ).

4.2 Monotonia: creixement i decreixement

4.2.1 Creixement en un punt i en un interval

4.2.1.1 Es diu que la funció f és creixent en el punt

a Dom f∈ si existeix un

entorn ( )rE a tal que:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r

r

x E a i x a f x f a

x E a i x a f x f a

∈ < ⇒ ≤

∈ > ⇒ ≥ Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estrictament creixent en el punt a .

Mínim sense continuïtat Mínim amb continuïtat però sense derivabilitat

Mínim amb derivabilitat

a a a

a x1

f (a) f (x1)

f (x2)

x2


4.2.1.2 Es diu que la funció f és creixent en l’interval ( , )a b si per a qualsevol

parell de punts 1 2ix x de l’interval, amb 1 2x x< , es compleix:

( ) ( )1 2f x f x≤ .

Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament creixent en l’interval.

Teorema : Una funció és creixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.2 Decreixement en un punt i en un interval. 4.2.1.1 Es diu que la funció f és decreixent en el punt a Dom f∈ si existeix un

entorn ( )rE a tal que:

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r

r

x E a i x a f x f a

x E a i x a f x f a

∈ < ⇒ ≥

∈ > ⇒ ≤

Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estric-tament decreixent en el punt a . 4.2.1.3 Es diu que la funció f és decreixent en l’interval ( , )a b si per a qualsevol parell de punts

1 2ix x de l’interval, amb

1 2x x< , es compleix:

( ) ( )1 2f x f x≥ .

Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament decreixent en l’interval.

Teorema : Una funció és decreixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.3 Relació amb la derivada Condicions suficients: Suposem que f és derivable en el punt x a= .

Si '( ) 0f a > , f és creixent (estrictament) en x a= .

Si '( ) 0f a < , f és decreixent (estrictament) en x a= .

(Si '( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)

Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser creixent o decreixent en x a=

amb '( ) 0f a = (per exemple: 3( )f x x= en 0x = ). Conseqüència: Si '( ) 0f a > en tots els punts d’un interval, la funció f serà creixent en l’interval.

Si '( ) 0f a < en tots els punts d’un interval, la funció f serà decreixent en l’interval.

a x1

f (a)

f (x1)

f (x2)

x2


Condicions necessàries: Suposem que f és derivable en el punt x a= .

Si f és creixent en x a= , es compleix: '( ) 0f a ≥ .

Si f és decreixent en x a= , es compleix: '( ) 0f a ≤ .

Teorema : a) Si f és contínua en x a= i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de

a la funció és creixent i a la dreta és decreixent, la funció presenta un màxim relatiu en x a= .

b) Si f és contínua en x a= i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de a la funció és decreixent i a la dreta és creixent, la funció presenta un mínim relatiu en x a= .

4.3 Curvatura: concavitat i convexitat

4.3.1 Funció còncava Es diu que la funció f és còncava en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sobre de la gràfica. Es diu que la funció f és còncava en un punt x a= si ho és en un entorn d’aquest

punt. En cas que f sigui derivable en x a= la tangent en el punt ( ), ( )a f a estarà per

sota de la gràfica. 4.3.2 Funció convexa Es diu que la funció f és convexa en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sota de la gràfica. Es diu que la funció f és convexa en un punt x a= si ho és en un entorn d’aquest

punt. En cas que f sigui derivable en x a= la tangent en el punt ( ), ( )a f a estarà per

sobre de la gràfica.

a b

Funció còncava en un interval

a

Funció còncava en un punt


b a

Funció convexa en un interval

a

Funció convexa en un punt

Teorema: Si una funció és convexa o còncava en tots els punts d’un interval, ho serà en tot l’interval. 4.3.3 Relació amb les derivades Condicions suficients: Suposem que f admet segona derivada en el punt x a= .

Si ''( ) 0f a > , f és còncava en x a= .

Si ''( ) 0f a < , f és convexa en x a= .

(Si ''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)

Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser còncava o convexa en x a= amb

''( ) 0f a = (per exemple: 4( )f x x= en 0x = ). Conseqüència: Si ''( ) 0f a > en tots els punts d’un interval, la funció f serà còncava en l’interval.

Si ''( ) 0f a < en tots els punts d’un interval, la funció f serà convexa en l’interval.

Condicions necessàries: Suposem que f té derivada segona en el punt x a= .

Si f és còncava en x a= , es compleix: ''( ) 0f a ≥ .

Si f és convexa en x a= , es compleix: ''( ) 0f a ≤ .

4.4 Punts d’inflexió

4.4.1 Definició Es diu que la funció f té un punt d’inflexió en x a= si hi és contínua i en un entorn d’aquest punt es compleix que a l’esquerra de a és còncava i a la dreta de a és convexa (o al revés).

a a


Si hi ha inflexió en x a= i existeix '( )f a , la tangent en el punt ( ), ( )a f a travessa la

gràfica. 4.4.2 Relació amb la derivada segona Condició necessària: Si f té un punt d’inflexió en x a= i existeix ''( )f a es

compleix: ''( ) 0f a =

Nota : La condició anterior no és suficient: pot ser ''( ) 0f a = sense que hi hagi inflexió

en x a= (per exemple: 4( )f x x= en 0x = )

Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera, segona i tercera en el punt x a= . Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a > , f té un punt d’inflexió en x a= (de convexa a còncava)

Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a < , f té un punt d’inflexió en x a= (de còncava a convexa)

(Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)

Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui una inflexió en x a=

amb '''( ) 0f a = (exemple: 5( )f x x= en 0x = ).

4.5 Generalització dels criteris d’extrems i mono tonia

'( ) 0f a f és creixent en x a> ⇒ =

'( ) 0f a f és decreixent en x a< ⇒ =

Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt ax = es calculen les derivades successives en aquest punt. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell , la funció té un extrem relatiu en ax = (mínim si és positiva, màxim si és negativa). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell , la funció és creixent o decreixent en ax = segons que sigui positiva o negativa respectivament.

''( ) 0

''( ) 0

''( ) 0

f a f té mínim relatiu en x a

f a f té màxim relatiu en x a

f a i

> ⇒ = < ⇒ =

=

'''( ) 0 ( )

'''( ) 0 ( )

'''( ) 0

f a f és creixent en x a amb inflexió

f a f és decreixent en x a amb inflexió

f a i

> ⇒ = < ⇒ =

=

(4)

(4)

(4)

( ) 0

( ) 0

( ) 0 ...

f a f té mínim relatiu en x a

f a f té màxim relatiu en x a

f a i

> ⇒ =

< ⇒ = =

'( ) 0f a i=


4.6 Generalització dels criteris d’inflexions i cur vatura

''( ) 0f a f és còncava en x a> ⇒ =

''( ) 0f a f és convexa en x a< ⇒ =

Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt ax = es calculen les derivades successives en aquest punt a partir de la segona. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell , la funció és còncava o convexa en ax = (segons si és positiva o negativa respectivament). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell , la funció té un punt d’inflexió en ax = (de convexa a còncava si és positiva, de còncava a convexa si és negativa).

4.7 Relació entre les gràfiques de f i f ’ (exemple)

Observeu que: en l’interval en què la derivada és positiva la funció és creixent: (4, )+ ∞

en l’interval en què la derivada és negativa la funció és decreixent: ( , 4)− ∞

en el punt 4x = en què la funció té un extrem (mínim) la derivada val 0 . en els punts 1x = i 3x = en què la derivada té un extrem, la funció té inflexions.

'''( ) 0 ( )

'''( ) 0 ( )

'''( ) 0

f a f té inflexió en x a de convexa a còncava

f a f té inflexió en x a de còncava a concexa

f a i

> ⇒ = < ⇒ =

=

(4)

(4)

(4)

( ) 0

( ) 0

( ) 0

f a f és còncava en x a

f a f és convexa en x a

f a i

> ⇒ =

< ⇒ =

=

(5)

(5)

(5)

( ) 0

( ) 0

( ) 0 ...

f a f té inflexió en x a

f a f té inflexió en x a

f a i

> ⇒ =

< ⇒ = =

''( ) 0f a i=

f

f ’

4 3

1


Criteris suficients per a l'existència d'extrems i inflexions i per a la monotonia i la curvatura a partir de les d erivades

successives

f ' (a) < 0

f ' (a) = 0

f ' (a) > 0

f’’(a) < 0

f decreixent i convexa

en x = a

Màxim en x = a

(convexa)

f creixent i convexa

en x = a

f '''(a)<0

f '''(a)>0

f '''(a)<0

f '''(a)>0

f '''(a)>0

f '''(a)<0

f’’(a) = 0

f decreixent amb inflexió en x = a

inflexió amb tangent horitzontal en x = a

f creixent amb inflexió

en x = a

f’’(a) > 0

f decreixent i còncava

en x = a

mínim en x = a

(còncava)

f creixent i còncava

en x = a

Aquestes condicions són suficients però no necessàries :

♦ Pot haver-hi mínim en x a= sense que necessàriament sigui ''( ) 0f a > (pot ser ''( ) 0f a = ).

♦ Pot haver-hi màxim en x a= sense que necessàriament sigui ''( ) 0f a < (pot ser ''( ) 0f a = ).

♦ Pot haver-hi inflexió en x a= sense que necessàriament sigui '''( ) 0f a = .

a a

a a a

a

a a a

a a a


4.5 Gràfica d’una funció. Exemple model

2

3

2

3

)1(12)(

−=

+−=

x

x

xx

xxf

1. Domini : { } { }2 2 1 0 1Dom f x x x= ∈ − + ≠ = −ℝ ℝ

2. Signe de la funció : Noteu que el denominador és positiu; per tant, el signe de f

només depèn del numerador: 00)( 3 >⇔> xxf 0>⇔ x

000)( 3 <⇔<⇔< xxxf .

Per tant f serà positiva si 0>x (gràfica al primer quadrant) i negativa si 0<x (gràfica al tercer quadrant).

3. Simetries :

−≠≠

−−−=−

)(

)(

)1()(

2

3

xf

xf

x

xxf per tant no és ni parella ni imparella: no té

cap mena de simetria. 4. Interseccions amb els eixos :

a) Amb l'eix d'abscisses: 0)( 3 =⇔=⇔= xxxf 00 . Intersecció: ),0( 0 .

b) Amb l'eix d'ordenades: 0)( =0f . Intersecció: )0,(0 .

5. Monotonia i extrems relatius : 2 2 3 3 2

4 3

3 ·( 1) 2( 1)· 3'( )

( 1) ( 1)

x x x x x xf x

x x

− − − −= = =− −

2

3

( 3)

( 1)

x x

x

−−

♦ Punts en què 'f és discontínua: 1=x .

♦ Punts en què 0)(' =xf :

==

⇔=−⇔=−3

00)3(·03 223

x

xxxxx

♦ Signe de la derivada:

• ⇒>⇒< 0)('0 xfx )(xf és estrictament creixent en )0,( ∞− .

• ⇒>⇒<< 0)('10 xfx )(xf és estrictament creixent en )1,0( .

• ⇒<⇒<< 0)('31 xfx )(xf és estrictament decreixent en )3,1( .

• ⇒>⇒> 0)('3 xfx )(xf és estrictament creixent en ),3( ∞+ . Extrems relatius : En 3=x la funció és contínua i passa de decreixent a creixent; per tant hi

ha un

mínim en el punt

=4

27,3))3(,3( f

6. Curvatura : 46

23232

)1(

6

)1(

)3(·)1(3)1(·)63()(''

−=

−−−−−−=

x

x

x

xxxxxxxf

♦ Punts en què ''f és discontínua: 1=x .

♦ Punts en què 0)('' =xf : 006 =⇔= xx .

0 1 3


♦ Signe de la derivada segona: • ⇒<⇒< 0)(''0 xfx )(xf és convexa en )0,( ∞− .

• ⇒>⇒<< 0)(''10 xfx )(xf és còncava en )1,0( .

• ⇒>⇒> 0)(''1 xfx )(xf és còncava en ),1( ∞+ . Inflexions : En 0=x la funció és contínua i passa de convexa a còncava, per tant hi ha una inflexió en el punt )0,0())0(,0( =f . 7. Asímptotes i discontinuïtats :

a) Verticals : Només n'hi pot haver en 1=x : ∞+=→

)(lím1

xfx

(El signe positiu es

dedueix de l'estudi del creixement i de la concavitat.) Per tant, la recta 1=x és asímptota vertical de la funció. Hi ha una discontinuïtat infinita en 1=x . b) Horitzontals : ( )

xlím f x→+ ∞

= + ∞ ; ( )xlím f x→− ∞

= − ∞ . Per tant, no n'hi ha ni per la

dreta ni per l'esquerra.

c) Obliqües : 3

2

( )1 ( )

( 1)x x

f x xlím lím m

x x x→ ∞ →∞= = =

−

3

2( ( ) )

2 1x x

xlím f x mx lím x

x x→ ∞ → ∞

− = − = − +

2

2

22 ( )

2 1x

x xlím n

x x→ ∞

−= = =− +

Per tant, la recta d'equació 2+=⇔+= xynmxy és

asímptota obliqua de la funció per l'esquerra i per la dreta.

1x ====

2y x= += += += +

0 1 3

274

0 1


5 Problemes d’optimització (o d’extrems condicionat s)

Aquests problemes consisteixen a trobar el valor màxim o mínim d'una magnitud (optimitzar-la) que depèn d'una altra, estant totes dues sotmeses a una condició que les relaciona o lliga. Cal expressar la magnitud a optimitzar com una funció f que depengui d'una sola variable

utilitzant la condició, i calcular el valor màxim o mínim de f . Exemple model : Calculem quines són les dimensions del triangle d'àrea màxima entre tots els que estan inscrits en una circumferència de radi 10r cm=

La funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas, maximitzar) és l'àrea del triangle:

xyxy

A ·2

·2 ==

De moment depèn de dues variables: x i y . El fet que el triangle estigui inscrit en la circumferència imposa a les variables la condició següent (teorema de Pitàgores):

222 10)10( =−+ xy

D'aquesta condició obtenim: 220 xxy −= . Substituint en l'expressió de l'àrea, podem expressar-la com una funció que depèn només de x :

Àrea = 220·)( xxxxA −= definida en l'interval [ ]0, 20

El valor màxim es presentarà per a algun valor de x en què )(' xf valgui 0 . (També es podria

donar en algun extrem de l'interval [ ]0, 20 , però tant )0(f com )20(f valen 0 .)

2

2

2

2

20

230

202

220·20)('

xx

xx

xx

xxxxxA

−

−=−

−+−= ;

==

⇒=−⇒=15

002300)(' 2

x

xxxxA

La solució 0=x no és vàlida (anul·la el denominador de la derivada). El valor màxim de l'àrea es dóna quan

cmx 15= . (Per confirmar que és un màxim i no un mínim es podria calcular

)('' xA i comprovar que 0)15('' <A ). Les dimensions són, doncs:

22 2 20·15 15 10 3base y cm= = − =

altura = cmx 15= . L'àrea màxima serà:

23752

15·310cmA == .

(Observeu que es tracta d'un triangle equilàter.)

2( ) · 20f x x x x= −= −= −= −

75 3

0 15 20

x

y

10

10


– 2 0 12− 2 12

3( ) 12f x x x= −

0si x< 0si x>

'( ) 0f x <

'( ) 0f x >[ ]2, 2si x∉ −

'( 2) 0f − = '(2) 0f = ( 2 , 2)si x∈ −

– 2 2 0

''( ) 6f x x=

Relació entre les derivades successives d'una funci ó, la monotonia, els extrems, la curvatura i els punts d'inflexió

'''(0) 0f >

Exemple:

''(0) 0f = ''( 2) 0f − < ''(2) 0f > ''( ) 0f x < ''( ) 0f x >

inflexió màxim mínim f f f en x = 0 en x = – 2 en x = 2 convexa còncava decreixent

si x < 0 si x > 0 en (– 2, 2) creixent en

2'( ) 3 12f x x= −

– 2 2

– 12

0

– 2 2 0

6

'''( ) 6f x =

3f(x) x 12x= −= −= −= −

( , 2)

(2, )

i− ∞ −+ ∞

Anàlisi 3

Education

Transcript of Anàlisi 3