Anàlisi 4

Anàlisi (IV) Càlcul integral Segon de ba txillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Integral indefinida. Primitives 1.1 Definicions

1.1.1 Primitiva d’una funció. Integral indefinida

• Si f i F són dues funcions definides en l’interval ( , )a b i es compleix que '( ) ( ) ( , )F x f x x a b= ∀ ∈ , es diu que F és una primitiva de f en ( , )a b .

• Si no s’especifica l’interval, se suposarà que ens referim a tot el domini de f .

• Integrar una funció consisteix a trobar-ne una primitiva: la integració és l’operació inversa de la derivació.

Exemple: La funció 4( ) 3F x x sin x= − és una primitiva de 3( ) 12f x x cos x= − en ℝ . Teorema: Si 1F i 2F són dues primitives de f , la diferència 1 2F F− és constant.

• Per tant, si F és una primitiva de f , totes les primitives seran de la

forma: F k+ , on k representa un nombre real qualsevol (vegeu la figura).

• S’anomena integral indefinida de la funció f el conjunt de les seves

primitives. Es representa: ( )f x dx∫

• Si F és una primitiva de f es compleix: ( ) ( )f x dx F x C= +∫

El nombre C s’anomena constant d’integració . L’expressió ( )f x dx es diu integrand ; el símbol dx es diu diferencial de x .

Exemples: cos x dx sin x C= +∫ ; 5

4

5

xx dx C= +∫

( )f x3( )F x

2( )F x

1( )F x

Anàlisi de 2n de batxillerat: 4. Càlcul integral Josep M. Lluch____________ _2

1.1.2 Taula d’integrals immediates

a) Funcions simples

b) Funcions compostes

1( ( ))( ( )) '( ) ( 1 )

1

rr u x

u x u x dx C rr

+

= + ≠ −+∫ 2

'( )( ( ))

( ( ))

u xdx tg u x C

cos u x= +∫

Cxudxxu

xu +=∫ )(ln)(

)(' 2

'( )( ( ))

( ( ))

u xdx cotg u x C

sin u x= − +∫

∫ += Cedxxue xuxu )()( )(' 2

'( )( ( ))

1 ( ( ))

u xdx arctg u x C

u x= +

+∫

∫ ≠>+= )10(ln

)(')(

)( aiaCa

adxxua

xuxu ( ( )) '( ) ln ( ( ) )tg u x u x dx cos u x C= − +∫

( ( )) '( ) ( ( ))sin u x u x dx cos u x C= − +∫ ( ( )) '( ) ln ( ( ))cotg u x u x dx sin u x C= +∫

( ( )) '( ) ( ( ))cos u x u x dx sin u x C= +∫ 2

'( )( ( ))

1 ( ( ))

u xdx arcsin u x C

u x= +

−∫

Exemples:

1. 1 1/ln(ln( ))

ln ln

xdx dx x C

x x x= = +∫ ∫ )ln)(( xxu =

2. ( ) ( )2

11 2

2 (1 ) 1

xdx dx arctg x Cx x x

= = ++ +

∫ ∫ ))(( xxu =

3. 2 2

3

6 3 2

3 3( )

1 1 ( )

x xdx dx arcsin x C

x x= = +

− −∫ ∫ ))(( 3xxu =

4. 22 2sin x dx sin xcos x dx sin x C= = +∫ ∫ ( ( ) )u x sin x=

( )k dx k x C k= + ∈∫ ℝ cos x dx sin x C= +∫

∫ += Cxdx 2

1dx tg x C

cos x= +∫

( )1

11

rr x

x dx C rr

+

= + ≠ −+∫ 2

1dx cotg x C

sin x= − +∫

1lndx x C

x= +∫

2

1

1dx arctg x C

x= +

+∫

x xe dx e C= +∫ lntg x dx cos x C= − +∫

( 0 1)ln

xx a

a dx C a i aa

= + > ≠∫ lncotg x dx sin x C= +∫

sin x dx cos x C= − +∫ 2

1

1dx arcsin x C

x= +

−∫


1.2 Propietats

a) [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ (No és vàlida amb productes ni amb

quocients) b) ( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫ (només és vàlida si k és un nombre)

c) '( ) ( )f x dx f x C= +∫ ( )C∈ℝ

1.3 Mètodes d’integració

1.3.1 Descomposició

[ ] ∫ ∫∫ ++=++ dxxfkdxxfkdxxfkxfk nnnn )(...)()(...)( 1111

Exemples:

1. 22 2 2

2 7 2 17 ln(1 ) 7

1 1 1

x xdx dx dx x arctg x C

x x x

+ = + = + + ++ + +∫ ∫ ∫

2. 1 2 2 2 2sin x+cos x sin x cos xdx= dx= dx+ dx=

sin xcos x sin xcos x sin xcos x sin xcos x∫ ∫ ∫ ∫

ln ln ln lnsin x

tg x dx+ cotg x dx= cos x + sin x +C = +C= tg x +Ccos x

−∫ ∫

3. 2 1 12 2 2

2 2 2 2

sin x cos x cos xtg x dx dx dx dx dx

cos x cos x cos x cos x

−= = = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

11

2dx dx tg x x C

cos x= − = − +∫ ∫

1.3.2 Canvi de variable o substitució Si )(xF és una primitiva de )(xf llavors:

∫∫ +=+==

==

= CxgFCuFduufdxxgdu

xgudxxgxgf ))(()()(

)('

)()('))((

Exemples:

1. 2

2 2 4 6 214 6 2 · (4 3) 4 6 2 ·(8 6)

2 (8 6)

u x xx x x dx x x x dx

du x dx

= − −− − − = − − − = = = −

∫ ∫


2 33/ 2 31/ 2 (4 6 2)1 1

·2 2 3/ 2 3 3

x xu uu du C C C

− −= + = + = +∫

2. ∫ ∫ ∫ ∫ =−

=−

=−

=−

dxx

dxx

dxx

dxx 2222 )2(1

2

22

5

)2(1

1

2

5

)41(2

15

82

5

2

2 5 1 5 5 (2 )

2 2 2 2 2 2 21

u x arcsinu arcsin xdu C C

du dx u

= = = = + = + = −

∫

3. 2 21 1x = sint

x x dx= = sint sin t cos t dt= sin t ·cos t ·cos t dt=dx = cos t dt

− −

∫ ∫ ∫

[ ]

3 32 2

3 2 3

3 3

( ) (1 )

3 3

u = cos t u cos t= sint cos t dt= = u du= +C= +C=

du = sint dt

cos arcsin x x= +C

− − − −

−− −

∫ ∫

1.3.3 Integració per parts

∫∫ −= dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()('

Exemples:

1. 3

3 4 3 44 3 33

3 34 4

sin xf '(x)= cos x f(x)= x sin x

xcos x dx= = sin x dx=g(x)= x g' (x)=

⇒ −

⇒ ∫ ∫

4 3 4 3 4 3 4 3

·3 3 3 3 9

x sin x cos x x sin x cos xC C

−− + = + +

2.

1'( ) ( )

ln 2 ln12

( ) ln '( )

f x f x xx xxdx x x dx

xxg x x g x

x

= ⇒ = = = − = = ⇒ =

∫ ∫

1 1ln ln 2 ln 2

2x x dx x x dx x x x C

x x− = − = − +∫ ∫


1.3.4 Integració de funcions racionals ( )( )( )

P xf xQ x

=

Suposarem que ( ) gra ( )grau P x u Q x< ; en cas contrari, s’efectua la divisió de ( )P x per ( )Q x . Si ( )A x és el quocient de la divisió i ( )R x el residu, la integral es descompon en dues:

( ) ( )

( )( ) ( )

P x R xdx A x dx dx

Q x Q x= +∫ ∫ ∫

1.3.4.1 Casos simples

a) CaxAdxax

A +−=−∫ ln ( )a A∈ ∈ℝ ℝ

b) 1

( 1)( ) ( 1)( )k k

A Adx C si k

x a k x a −

−= + ≠− − −∫

1.3.4.2 Cas en què el denominador només té arr els reals simples Si ))·....·()(()( 21 naxaxaxxQ −−−= es descompon la fracció de la forma:

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

−++

−+

−= ...

)(

)(

2

2

1

1

Les constants dels numeradors es calculen efectuant l'operació del segon membre i igualant numeradors.

Llavors: CaxAaxAdxxQ

xPnn +−++−=∫ ln...ln

)(

)(11

Exemple:

∫ ∫ −+−−−=

+−−−−

(*))3)(2)(1(

13910

652

13910 2

23

2

dxxxx

xxdx

xxx

xx

2

2

10 9 13

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

10 9 13 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

x x A B C

x x x x x x

x x A x x B x x C x x

− − = + + ⇔− + − − + −

⇔ − − = + − + − − + − +

Donem valors a x a cada membre:

510503

315452

26121

=⇒=⇒==⇒=⇒−==⇒−=−⇒=

CCx

BBx

AAx

Per tant:


(*) = ∫ ∫ ∫ +−+++−=−

++

+−

Cxxxdxx

dxx

dxx

3ln52ln31ln23

5

2

3

1

2

1.3.4.3 Cas en què el denominador només té una arrel real múltiple Si kaxxQ )()( −= es descompon la fracció de la forma:

k

k

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

)(...

)()(

)(2

21

−++

−+

−=

Les constants dels numeradors es calculen efectuant les operacions del segon membre i igualant numeradors. Llavors:

∫ +−−

−−−

−−

−−

−−= − Caxk

A

ax

A

ax

A

ax

AaxAdx

xQ

xPk

k13

42

321 ))(1(

...)(3)(2

ln)(

)(

Exemple:

∫ ∫ −−−=

−+−−−

dxx

xxdx

xxx

xx3

2

23

2

)3(

24

27279

24 (*)

CxBxAxxx

C

x

B

x

A

x

xx +−+−=−−⇔−

+−

+−

=−

−−)3()3(24

)3()3(3)3(

24 22323

2

Donem valors a x a cada membre:

52451

53920

53

−−=−⇒=−−=−⇒=

=−⇒=

BAx

BAx

Cx

−===

⇒

5

2

1

C

B

A

Per tant:

(*) = ∫ ∫ ∫ +−

+−

−−=−

−−

+−

Cxx

xdxx

dxx

dxx 232 )3(2

5

3

23ln

)3(

5

)3(

2

3

1

Si el denominador té arrels simples i múltiples es combinen els dos

procediments anteriors. 1.3.4.4 Cas en què el denominador és un trinomi de segon grau sense

arrels reals. Exemples:

1. ( ) ( )2 22 2

5 5 5 5/ 3

4 7 4 4 3 2 3 21

3

dx dx dx dxx x x x x x

= = = =+ + + + + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫


2 2

2

5 3 1/ 3 5 3 1 5 3313 3 1 32

133

xu

dx du arctg u Cux du dx

+ = = = = = + = ++ =+

∫ ∫

5 3 2

3 3

xarctg C

+ +

2. 2 2 2 2

5 1 2 10 1 2 4 14

4 5 2 4 5 2 4 5 4 5

x x xdx dx dx

x x x x x x x x

+ + − = = + = − + − + − + − + ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

2 2 2

1 2 4 1 14 1 1ln 4 5 7

2 4 5 2 4 5 2 4 4 1

xdx dx x x dx

x x x x x x

−= + = − + + =− + − + − + +∫ ∫ ∫

2 22

1ln 4 5 7 ln 4 5 7 ( 2)

( 2) 1x x dx x x arctg x C

x= − + + = − + + − +

− +∫

2 Integral definida

2.1 Definició

• Suposem que la funció )(xf està definida en un interval tancat [ ]ba, . Considerem un conjunt de punts: bxxxxa n =<<<<= ...210 (partició de l'interval). En cada interval [ ]ii xx ,1− ( ni ,...,1= ) prenem un nombre iα i formem la suma:

))((...))(( 1011 −−++−= nnnn xxfxxfS αα = ∑=

=−−

ni

i

iii xxf1

1))((α

Aquesta suma representa la suma d'àrees dels rectangles de base 1−− ii xx i

altura )( if α i depèn de l'elecció dels ix i dels iα . Si nS té límit quan n → + ∞ i

1 0i ix x−− → (independentment dels ix i dels iα ) , es diu que )(xf és integrable

en l'interval [ ]ba,

• El límit de nS s'anomenarà integral definida de )(xf en l'interval [ ]ba, i es

representa: ( )b

af x dx∫ (a i b es diuen límits d'integració [inferior i superior

respectivament])

• Si )(xf és positiva la integral definida representa l'àrea del recinte comprès entre la gràfica de )(xf , l'eix d'abscisses i les rectes bxiax == .

• Si )(xf és negativa l'àrea del recinte serà: ( )b

af x dx∫


2.2 Propietats

a) ( ) ( )b b

a ak f x dx k f x dx k= ∀ ∈∫ ∫ ℝ (només vàlida si k és un nombre)

b) [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ (no és vàlida amb productes ni

amb quocients)

c) Si [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≤ llavors: ( ) ( )b b

a af x dx g x dx≤∫ ∫

d) Si a c b< < llavors: ( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫

Si ab < definim ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ També definim: ( ) 0

a

af x =∫

2.3 Teoremes

2.3.1 Si )(xf és contínua en l'interval [ ]ba, , llavors és integrable en aquest

interval.

2.3.2 Teorema del valor mitjà : Si )(xf és contínua en l'interval [ ]ba, , existeix

un nombre [ ]bac ,∈ tal que ( ) ( )·( )b

af x dx f c b a= −∫ .

1α2α 3α 4α 5α nα

1x0a x= 2x 3x 4x5x 1nx − nx b=

1( )f α

3( )f α

2( )f α

4( )f α5( )f α

( )nf α


2.3.3 Teorema fonamental del càlcul integral

Sigui )(xf una funció contínua en l'interval [ ]ba, . Per a cada [ ]bat ,∈ definim

( ) ( )t

aA t f x dx= ∫

Llavors )(tA és derivable i )()(' tftA =

Exemple : 2 2

3

't

cos x dx cos t = ∫

2.3.4 Regla de Barrow: Si )(xF és una primitiva de )(xf es compleix:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

Aquest nombre es representa també així: [ ]b

axF )(

Exemple : 73 3 37 2

11

7 1114

3 3 3

xx dx

= = − =

∫

2.3.5 Teorema del canvi de variable : Suposem que )(xf , ( ) , '( )g x g x i

( ( ))f g x són contínues en [ ]ba, i es compleix que ( )g a α= i ( )g b β= . En aquestes condicions es compleix:

( ( ))· '( ) ( )b

af g x g x dx f u du

β

α=∫ ∫

Exemple :

2

5 252

2 4

( )

2 ( ) 2

(2) 4, (5) 25

u x x

xcos x dx du x dx cosu du

u u

= = = = = = =

∫ ∫

[ ]25

425 4sinu sin sin= = −

2.3.6 Integració per parts d’una integral definida

[ ]'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )b bb

aa af x g x dx f x g x f x g x dx= −∫ ∫

a bt

A(t)

f(x)


- 1 2

f(x)

0

Exemple :

2

1

'( ) ( )2ln1

( ) ln '( )

e

xf x x f x

x x dx

g x x g xx

= ⇒ = = =

= ⇒ =

∫

2 2 2 2 2 2

11 1 1

ln ln 1 1

2 2 2 4 2 4 4 4

e e eex x x x x x e e e

dx += − = − = = − + = ∫

2.4 Aplicacions de la integral definida

2.4.1 Càlcul d’àrees de superfícies planes

a) Àrea del recinte limitat per la gràfica d’una funci ó, l'eix d'abscisses i dues rectes verticals

De primer cal determinar les solucions de l'equació

0)( =xf compreses entre a i b : nxxx ,...,, 21 Llavors:

1 2

1

( ) ( ) ... ( )n

x x b

a x xf x dx f x dx f x dxÀrea= + + +∫ ∫ ∫

Exemple : L'àrea del recinte

limitat per la gràfica de 3)( xxf = , l'eix d'abscisses i

les rectes 21 =−= xix és

0 23 3

1 0A x dx x dx

−= + =∫ ∫

0 24 4

1 0

1 16 17

4 4 4 4 4

x x

−

+ = + =

a bx x1 2

f


a x x b1 2

f

g

b) Àrea del recinte limitat per dues gràfiques i dues rectes verticals

De primer cal deter-minar les abscisses dels punts d'intersecció de les dues gràfiques compreses entre a i b :

nxxx ,...,, 21 . Llavors:

1 2

1

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ... ( ( ) ( ))n

x x b

a x xf x g x dx f x g x dx f x g x dxÀrea= − + − + + −∫ ∫ ∫

Exemple : Àrea del recinte limitat per les gràfiques de 2)( xxf = i 2)( 2 +−= xxg

−

=⇔=⇔+−=⇔=1

1222)()( 222 xxxxxgxf

1

2 2

1( 2)x x dxÀrea

− = − − + = ∫

131

2

11

2(2 2) 2

3

xx dx x

− −

= − = − =

∫

22 2 82 2

3 3 3u = − − − + =

2.4.2 Càlcul de volums i superfícies de cossos de r evolució

Considerem la gràfica d’una funció integrable en l’interval [ ],a b i el cos geomètric generat

per la gràfica en girar entorn de l’eix d’abscisses (cos de revo-lució )

1- 1

f(x)

g(x)

a b

( )f x


Volum del cos : [ ] 2( )b

aV f x dxπ= ∫

Àrea de la superfície : [ ] 22 ( )· 1 '( )b

aA f x f x dxπ= +∫

Exemple : El volum del cos engendrat per la recta d'equació 62 −= xy en girar

entorn de l'eix d'abscisses entre els punts 83 == xix és:

82

3(2 6)V x dxπ= − =∫

8

2

3(4 24 36)x x dxπ − + =∫

83

2

3

412 36

3

xx xπ

− + =

( ) 3512 5004· 768 288 36 108 108

3 3u

ππ − + − − + =

L’àrea de la superfície cònica és:

8 82

332 (2 6)· 1 4 2 5 6 50 5A x dx x xπ π π = − + = − = ∫

Es pot comprovar que aquests resultats coincideixen amb els obtinguts amb

les fórmules de la geometria elemental: 2

3

r hV

π= ( , , )A r g h altura r radi g generatriuπ= = = =

2.4.3 Longitud d’un arc

Considerem corba formada per la gràfica d’una funció contínua definida en l’interval [ ],a b . La longitud de la corba és:

[ ] 21 '( )b

aL f x dx= +∫

3

8

( ) 2 6f x x= −


Exemple : La longitud de la gràfica de 3( )f x x= entre 0x = i 2x = és:

( )22

22 2 23

30 0 0

' 3 91 1 1

42

xL x dx dx x dx

x

= + = + = + =

∫ ∫ ∫

2 11/ 2 11/ 21/ 2

0 1 1

91

494 9 9 4 4

1 ·49 4 4 9 9

0 1

2 11/ 2

u x

du dxx dx u du u du

x u

x u

= + =+ = = = =

= ⇒ = = ⇒ =

∫ ∫ ∫

11/ 2 3/ 23/ 2

11/ 23/2

11

4 2 4 2 8 11· 1 3,5

9 3 9 3 27 2

uu

= = − ≅

0 2

3( )f x x=

Anàlisi 4

Education

Transcript of Anàlisi 4