ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi ...

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ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi • analisi modale • analisi della risposta armonica • analisi di transitorio dinamico

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ANALISI DINAMICA CON IL MEF

Principali tipi di analisi

• analisi modale

• analisi della risposta armonica

• analisi di transitorio dinamico

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i

j

k

xy

v

Accelerazione

sieTe

est LLPUL

V

eTTe

V

eTTe

V

Ti

Ti

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvvdL

Contributo inerzia

Contributo smorzamentoyv

xv

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1

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i

j

k

xy

vc

Smorzamento

sieTe

est LLPUL

V

eTTe

V

eTTe

V

Ts

Ts

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvcvdL

Contributo inerzia

Contributo smorzamentoyvc

xvc

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/2

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ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/3

e

V

TTe

e

V

Te

V

TeTe

UdVBDBU

UdVNNUdVNcNPU

dVNcNV

T dVNNV

T

eeeeeee PUKUCUM

FUKUCUM

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Equazione di equilibrio dinamico

tFUKUCUM

Velocità nodali

Spostamenti nodali

Matrice di rigidezza

Forze esterne

Accelerazioni nodali

Matrice di smorzamento

Matrice di massa

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/4

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FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1

Matrice di massa “consistent”: dVNNM Te

dVNdVNNdVNN

dVNdVNNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNNdVN

dVNNdVNNdVN

dVNNN

NNN

NN

NN

NN

dVNN T

21515131511

21515131511

15132

131311

15132

131311

151113112

11

151113112

11

151311

151311

15

15

13

13

11

11

000

000

000

000

000

000

000000

00

00

00

Elemento triangolare

piano

• simmetrica• sostanzialmente piena

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FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/2

Matrice di massa “lumped”: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modo fisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, meno ovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti:

• la struttura della matrice di massa è diagonale

m/3

m/3

m/3

dVMj

j

m/4

m/4

m/4

m/4

XX

XX

XX

M

000000000000000000000000000000

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FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/3

• La formulazione “consistente” produce errori minori in valore assoluto• Le matrici “consistente” e “lumped” tendono a produrre rispettivamente una sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie• La struttura diagonale può risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioni iterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione

-20

-15

-10

-5

0

5

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Erro

re p

erce

ntua

le

ConsistentLumped

Trave appoggiata, 10 elementi

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ANALISI MODALE/1

Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni

tFUKUCUM

Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo

0 UKUM

x

m

c k

Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative forme modali.

ni ......321

)()()3()2()1( ...... ni YYYYY Forme modali

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ANALISI MODALE/7

Struttura reale(continuo)

Modello ad EF(discretizzato)

pulsazioni proprie n gradi di libertà

n pulsazioni proprie

Relazione ?

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ANALISI MODALE/8Tipico andamento spaziale delle Forme modali

1° modo2° modo5° modo9° modo

1 solo elemento: rappresentazione poco accurata del campo di velocità ed

accelerazione

Trave appoggiata, 10 elementi

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ANALISI MODALE/9Trave appoggiata, 10 elementi

-1.00E+00

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

8.00E+00

9.00E+00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Erro

re p

erce

ntua

le

Modi calcolati in modo accurato ≈ n° g.d.l./2

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SIMMETRIA STRUTTURALE/1Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.

In una struttura simmetrica le forme modali sono simmetriche o anti-simmetriche.Esse possono quindi essere ottenute tutte, combinando un’analisi con vincoli di simmetria con una con vincoli di antisimmetria

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SIMMETRIA STRUTTURALE/2Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica5

m

ms=0.01 m

1° modo proprioDeformata assiale

f = 260 Hz

Modello conelementi piani

assialsimmetrici

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SIMMETRIA STRUTTURALE/3Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica5

m

ms=0.01 m

1° modo proprioDeformata flessionale

f = 20 Hz

Modello conelementi trave

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EFFETTO SCELTA ELEMENTO/1Selezionando un particolare tipo di elemento si vedono solo i modi propri la cui

forma modale rispetta le ipotesi alla base dell’elemento stesso.

0.5

m

ms=0.01 m

Modello conelementi trave

Modello conelementi shell

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UNITÀ DI MISURA/1È preferibile usare il sistema m.k.s

mk

msmkg

mN

2

kgsskgmsmkg 111

22

mk

mmsmkg

mmN

2

kg3

22 10110001sskgmms

mkg

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ANALISI RIDOTTA/1

Nell’analisi ridotta, lo stato di spostamento, velocità ed accelerazione della struttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi “Master”). Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi “Slave”) sono quindi calcolati a partire da quelli dei nodi Master.L’analisi ridotta può essere applicata anche in capo statico, per ridurre l’onere computazionale dell’analisi.

S

M

UU

U

S

M

FF

F

FUK

g.d.l. “Master”

g.d.l. “Slave”

S

M

S

M

SSSM

MSMM

FF

UU

KKKK

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ANALISI RIDOTTA/2

SSSSMSM

MSMSMMM

FUKUKFUKUK

MSMSSSS UKFKU 1

MMSMSSSMSMMM FUKFKKUK 1

SSSMSMMSMSSMSMM FKKFUKKKK 11

FUK Mˆˆ FKUM

ˆˆ 1

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S

M

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

FF

UU

KKKK

UU

CCCC

UU

MMMM

La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. “Master” non può essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata proposta da Guyan (”Guyan reduction”)

ANALISI RIDOTTA/3

Introducendo la suddivisione tra “Master” e “Slave” nell’equazione di equilibrio dinamico si ottiene:

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FUKUCUM MMMˆˆˆˆ

SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKMKK

KKMMKKMM11

11ˆ

SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKCKK

KKCCKKCC11

11ˆ

Si ottiene in tal modo:

ANALISI RIDOTTA/4

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ANALISI RIDOTTA/5

Criteri di selezione dei g.d.l. “Master” (MDOF):

• i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre

• scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazioni della struttura

• scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezza e/o elevata massa

• scelta automatica: si selezionano i dof per i quli il rapporto: assume i valori più bassi ii

iii m

kQ

Verifica qualità analisi: • la massa ridotta deve differire da quella totale per non più del 10-15%• studio di convergenza al variare del numero di MDOF

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ANALISI RIDOTTA/6

Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :

Algoritmo N° modi N° g.d.l. modello

Velocità RAM Hard disk

Note

Block Lanczos

Elevato Elevato Elevata Media Bassa Shell o shell+solid.Elementi distorti

Subspace iteration

Basso Elevato Media Bassa Elevata Elementi non distorti

Power Dynamics

Basso Elevato Elevata Elevata Bassa Richiede mesh fini

Reduced (Householder)

Tutti Medio-piccolo

Elevata Bassa Bassa Usa MDOF

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Potenziali applicazioni dell’analisi ridotta:

• riduzione degli oneri computazionali dell’analisi

• riduzione del numero di g.d.l. attivi nell’analisi modale, rispetto a quella statica, pur utilizzando un unico modello

• in modelli semplici, separazione dell’effetto dei diversi g.d.l. nodali (es. in una trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali, estensionali, etc.)

ANALISI RIDOTTA/7

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COMANDI ANSYS/1ANALISI NON RIDOTTA

/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

- LANB Block-Lanczos (Default)- SUBSP Subspace - …..

N° modi da estrarre(per SUBSP, al massimo n° g.d.l./2)

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

• OFF: forme modali normalizzate su [M]

• ON: forme modali normalizzate al valore 1

Per Power Dynamics:•MODOPT,SUBSP•EQSLV,PCG

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COMANDI ANSYS/2ANALISI NON RIDOTTA

LUMPM, OPZ Attiva la matrice di massa “Lumped”

OFF: matrice “consistent” (default)ON: matrice “lumped” (deafult per “Power Dynamics”)

/POST1SET,LIST Gli “n” modi richiesti compaiono come “n” substep del

Load step 1

SET,1,n Carica il modo “n”

PLDISP, PRDISP Rappresentano la deformata

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COMANDI ANSYS/3ANALISI RIDOTTA

/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

M, Node, Lab1, …

TOTAL, Ntot, Nrdof

Nodo in cui mettere il MDOF

g.d.l. da usare come MDOF:-UX, UY, UZ-ROTX, ROTY, ROTZ-ALL

Numero totale di MDOF

0 – considera tutti i g.d.l.1 – esclude i g.d.l. rotazionali

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COMANDI ANSYS/4ANALISI RIDOTTA

MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF

N° di modi da estrarre(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)

SOLVE

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)ON: calcola i risultati completi per gli elementi