Analisi Non Lineare

Politecnico di TorinoI Facolt di Ingegneria

Anno Accademico 2003/2004

Corso di Scienza delle Costruzioni DTitolare: Prof. Alberto Carpinteri

ESERCITAZIONI DI ANALISI NON-LINEARE DELLE

STRUTTURE

Ing. Marco Paggi

Indice

1 Instabilit dellequilibrio elastico 51.1 Lastra compressa nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Guscio cilindrico con carico concentrato: fenomeno dello snap-through . . 12

1.3 Telaio piano a due campate diseguali e dodici piani . . . . . . . . . . . . . 16

2 Collasso rigido-plastico 23

2.1 Analisi incrementale plastica di una trave incastrata alle estremit soggetta

ad un carico distribuito uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Analisi elasto-plastica in piccoli spostamenti di un telaio piano a due cam-

pate diseguali e dodici piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Instabilit dellequilibrio elasto-plastico 333.1 Analisi elasto-plastica in grandi spostamenti di un telaio piano a due cam-

pate diseguali e dodici piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

Elenco delle figure

1 Mesh indeformata con i vincoli ed i carichi per la lastra quadrata (a/b = 1). 62 Prima deformata critica per la lastra con a/b = 1 . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Seconda deformata critica per la lastra con a/b = 1 . . . . . . . . . . . . . 7

4 Terza deformata critica per la lastra con a/b = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Convergenza della soluzione numerica a quella analitica al crescere della

risoluzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Diagramma del carico critico adimensionalizzato in funzione del rapporto

a/b (tratto da [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Prima deformata critica per la lastra con a/b = 1.8 . . . . . . . . . . . . . 11

8 Seconda deformata critica per la lastra con a/b = 1.8 . . . . . . . . . . . . 11

9 Terza deformata critica per la lastra con a/b = 1.8 . . . . . . . . . . . . . . 11

10 Schema del guscio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

11 Vista di un quarto di guscio nel piano X Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 Curva carico-spostamento del nodo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

13 Deformata del guscio in uno dei passi nel tratto OM . . . . . . . . . . . . . 15

14 Deformata del guscio in uno dei passi nel tratto PQ. . . . . . . . . . . . . 15

15 Schema del telaio a due campate diseguali e dodici piani. . . . . . . . . . . 17

16 Discretizzazione ad elementi finiti del telaio indeformato con i carichi ap-

plicati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

17 Prima, seconda e terza deformata critica del telaio. . . . . . . . . . . . . . 21

18 Prima, seconda e terza deformata critica per una trave incastrata soggetta a

carico di punta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

19 Carico adimensionalizzato in funzione della freccia in mezzeria adimensio-

nalizzata durante lanalisi incrementale plastica. . . . . . . . . . . . . . . . 27

20 Mesh deformate in corrispondenza del carico applicato ed in corrispondenza

della formazione delle cerniere plastiche di estremit. . . . . . . . . . . . . 27

21 Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 6, 7, 8, 9, 10 e 11. 30

3

22 Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 12, 13, 14, 15, 16

e 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

23 (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento oriz-zontale dellultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione del-le cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di

collasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

24 Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 1, 6, 7, 8, 9 e 10. . 35

25 Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 11, 12, 13, 14, 15,

e 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

26 (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento oriz-zontale dellultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione del-le cerniere plastiche nei vari passi di carico e deformata finale al limite di

collasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

27 Confronto tra le curve del moltiplicatore dei carichi in funzione dello sposta-

mento orizzontale dellultimo piano, per le analisi rigido-plastica ed elasto-

plastica in grandi spostamenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

28 Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento del piano

pi alto delledificio ottenuta da Orbison et al. [2]. . . . . . . . . . . . . . . 3929 Schema del telaio analizzato in [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3930 Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento del piano

pi alto delledificio ottenuta da Bozzo e Gambarotta [3]. . . . . . . . . . . 4031 Schema del telaio con il modello delle sollecitazioni, del materiale e della

geometria considerato in [3]. E inoltre illustrata la localizzazione dellecerniere plastiche nei vari passi di carico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4

1 Instabilit dellequilibrio elastico

1.1 Lastra compressa nel piano

Si vogliano valutare numericamente i primi tre carichi critici e le corrispondenti deformate

critiche per instabilit dellequilibrio elastico di una lastra compressa nel piano. Le di-

mensioni della lastra siano 1 m 1 m in pianta, con uno spessore di 1 mm. Il materialecostituente assunto omogeneo, isotropo, elastico lineare con i seguenti parametri meccani-

ci: modulo di Young E = 70 109 N/m2, coefficiente di Poisson = 0.3. Si vuole inoltreconfrontare la soluzione numerica con quella analitica riportata in [1], valutando la veloci-t di convergenza alla soluzione teorica di riferimento allaumentare della discretizzazione

del reticolo ad elementi finiti. Si ripete infine il calcolo dei primi tre carichi critici di una

lastra compressa nel piano come la precedente ma con dimensioni in pianta 1 m 1.8 m espessore 1 mm. Anche per questo problema si confronter la soluzione numerica con quella

analitica, proponendo unanalisi critica sugli andamenti delle auto-deformate ottenute.

La mesh in condizioni indeformate per la lastra quadrata rappresentata in Figura 1. I

nodi dei quattro lati della lastra sono vincolati con appoggi ad asse verticale, mentre i nodi

del lato opposto al carico sono vincolati con cerniere che impediscono sia gli spostamenti

nel piano che quelli ortogonali ad esso.

Per risolvere il problema con il codice di calcolo LUSAS si eseguono i seguenti passi:

(1) Definizione della geometria.Con il comando Geometry>Surface>Coordinates si definisce la geometria

della superficie assegnando le coordinate dei quattro vertici della lastra.

(2) Definizione della mesh.Con il comando Attributes>Mesh>Surface si modella la lastra con elementi

finiti quadrilateri tipo Thin shell dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. In

questa fase si stabilisce il numero di elementi finiti con cui discretizzare il piano medio

della lastra.

(3) Assegnazione delle propriet geometriche.

5

Nel menu Attributes>Geometric>Surface si specifica lo spessore della la-

stra pari a 0.001 m.

(4) Definizione del materiale.Con lopzione Attributes>Material>Isotropic si definisce un materiale

elastico lineare, omogeneo ed isotropo con il modulo elastico ed il rapporto di Poisson

richiesti.

(5) Assegnazione dei vincoli.Si definiscono i vincoli appoggio e cerniera e si assegnano ai lati della lastra.

(6) Assegnazione del carico.Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire un

carico distribuito lineare di compressione avente intensit pari ad 1 Pa.

Figura 1: Mesh indeformata con i vincoli ed i carichi per la lastra quadrata (a/b = 1).

Eseguiti i precedenti passi preliminari, si procede al calcolo dei carichi critici per insta-

bilit dellequilibrio elastico e le corrispondenti deformate critiche. A tal fine si utilizza la

funzione Linear buckling analysis (tra le propriet del menu Model data>Loadcase).Risolvendo il problema si ottengono le deformate critiche riportate nelle Figure 2, 3 e 4 cor-

rispondenti ai primi tre carichi critici di instabilit per la lastra quadrata (rapporto tra i latia/b = 1). Nel seguito si denoter con a la lunghezza del lato maggiore della lastra, mentrecon b la lunghezza del lato minore. E importante osservare come le deformate ottenute dif-

feriscano tra loro per il numero di semionde lungo il lato compresso. Nel caso della prima

6

deformata critica si ha una sola semionda lungo tale lato, mentre per la seconda deformata

critica si hanno due semionde e cos via per la terza. Al contrario, lungo il lato ortogonale

al precedente si osserva sempre una sola semionda, indipendentemente dal carico critico

indagato.

Figura 2: Prima deformata critica per la lastra con a/b = 1

Figura 3: Seconda deformata critica per la lastra con a/b = 1

Figura 4: Terza deformata critica per la lastra con a/b = 1

7

Il codice di calcolo fornisce i valori dei moltiplicatori del carico corrispondenti alle

diverse deformate critiche. Semplicemente moltiplicando il carico applicato per il fattore

si ottengono i valori dei carichi critici. E possibile calcolare tali carichi critici in modo

analitico applicando la seguente formula [1]

Nnmc = pi2D

a2

n2

(n2

a2+m2

b2

)2(1)

dove D rappresenta la rigidezza della lastra. I parametri n ed m denotano, rispettivamente,

il numero di semionde in cui la deformata pu essere decomposta lungo i lati maggiore

e minore. Il pi piccolo valore di Nnmc da considerarsi il carico critico per instabilit

dellequilibrio elastico della lastra. Tale valore si ottiene per m = 1, poich m compare

soltanto a numeratore

Nn1c = pi2D

b2

(nb

a+

1

n

a

b

)2(2)

A tale carico critico corrisponde una deformata con una sola semionda lungo il lato minore

b ed n semionde lungo il lato a. In particolare, calcolando Nn1c per n = 1, 2, 3 si ottiene

N11c = 253.1N (3)N21c = 395.4N (4)N31c = 703.0N (5)

Il carico critico per instabilit, ovvero il primo carico critico che si incontra facendo

crescere in modo monotono il carico da zero dunque pari a Nc = 253.1 N.

In Figura 5 si presenta il confronto in termini di errore percentuale relativo tra la soluzio-

ne numerica e quella analitica allinfittire della discretizzazione impiegata. Da tale Figura

si evince che, al fine di ottenere i valori dei primi tre carichi critici con un errore inferiore

al 3%, necessario utilizzare almeno sei elementi finiti su ciascun lato. In ogni caso, la

soluzione numerica rapidamente convergente a quella teorica attesa.

Ripetendo il calcolo dei moltiplicatori di carico critico per una lastra rettangolare con

a/b = 1.8 si ottiene, applicando leq. (2) con n = 1, 2, 3

N11c = 351.0N (6)N21c = 255.9N (7)N31c = 325.0N (8)

8

Figura 5: Convergenza della soluzione numerica a quella analitica al crescere della

risoluzione.

In questo caso il carico critico per instabilit pari a Nc = 255.9 N e corrisponde ad

una deformata critica costituita da due semionde lungo il lato maggiore. Dal diagramma

del carico critico adimensionalizzato in funzione del rapporto tra i lati del rettangolo, a/b,

rappresentato in Figura 6 si osserva infatti che, per lastre con2 < a/b Point>Coordinates si definiscono le coordinate

16

Figura 15: Schema del telaio a due campate diseguali e dodici piani.

dei nodi del telaio. I 39 nodi cos definiti verranno poi uniti da linee in modo da

ottenere gli elementi del telaio.

(2) Definizione della mesh di elementi finiti.Con il comando Attributes>Mesh>line si discretizza ad elementi finiti ogni

trave e pilastro del telaio. In particolare, si scelgono elementi finiti bi-dimensionali

17

lineari tipo Thin beam dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. Si suddivi-

dono le travi di maggior luce in sei elementi finiti, mentre per quelle di minor luce si

useranno quattro elementi. I pilastri verranno infine suddivisi in due elementi finiti.

(3) Assegnazione delle propriet geometriche.Nel menu Attributes>Geometric>Section Library si richiamano le ca-

ratteristiche geometriche delle sezioni delle travi in parete sottile tipo W da assegnare

alle corrispondenti linee.


elastico lineare, omogeneo ed isotropo con il modulo elastico ed il rapporto di Poisson

richiesti.

(5) Assegnazione dei vincoli.Si definisce il vincolo incastro da assegnare alle basi dei pilastri.

(6) Assegnazione del carico.Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire sia

in carico distribuito lineare q, sia i carichi orizzontali concentrati F . Tali carichi

verranno poi applicati alle travi ed ai nodi corrispondenti.

Il problema in esame viene risolto agli elementi finiti attraverso loperazione di espansione

e di assemblaggio delle matrici locali di rigidezza degli elementi del telaio. Loperazione

di assemblaggio, infine, consegna la matrice di rigidezza globale, cos che il problema agli

autovalori per la ricerca dei carichi critici formulato nel seguente modo

Det([K] [Kg]) = 0 (10)

dove rappresenta il moltiplicatore dei carichi esterni e con [Kg] si denota la matrice

geometrica globale del telaio.

In Figura 16 si osserva il telaio discretizzato agli elementi finiti con i carichi applicati (inrosso) ed i gradi di libert bloccati per simulare la presenza di incastri al piede dei pilastri

18

(in verde). In Figura 17 sono rappresentate le prime tre deformate critiche per instabilit.Esse corrispondono ai seguenti moltiplicatori di carico critico

1 = 109.3

2 = 143.7

3 = 169.3

Confrontando tra loro le deformate critiche del telaio, lanalogia con la soluzione di Eulero

per le travi caricate di punta risulta immediata. E infatti lecito attendersi che, per mol-

tiplicatori di carico critico maggiori, la deformata del telaio presenti lunghezze libere di

inflessione minori. Come anche osservato in [1], il telaio in esame tende a comportarsi co-me una mensola tozza e le deformate critiche calcolate con LUSAS presentano visivamente

lunghezze libere di inflessione via via minori al crescere del carico critico (si veda anche laFigura 18 dove si sono rappresentate le prime tre deformate critiche calcolate con LUSAS

per una trave incastrata e caricata di punta).

19

Figura 16: Discretizzazione ad elementi finiti del telaio indeformato con i carichi applicati.

20

Figura 17: Prima, seconda e terza deformata critica del telaio.

21

Figura 18: Prima, seconda e terza deformata critica per una trave incastrata soggetta a carico

di punta.

22

2 Collasso rigido-plastico

2.1 Analisi incrementale plastica di una trave incastrata alle estremit

soggetta ad un carico distribuito uniforme

Si vuole eseguire una analisi incrementale plastica per una trave lunga l = 1 m con entrambi

gli estremi incastrati e soggetta ad un carico verticale distribuito uniforme q di intensit pari

a 100 N/m lungo lintera lunghezza della trave. La struttura realizzata in acciaio ed ha

i seguenti parametri meccanici: modulo elastico E = 200 GPa, coefficiente di Poisson

= 0.3, tensione di snervamento p = 248 MPa. Per semplicit, si assume di sezione

rettangolare con base b = 0.1 m ed altezza h = 0.2 m. I passi da eseguire in LUSAS per

risolvere il problema sono i seguenti:

(1) Definizione della geometria.Con il comando Geometry>Point>Coordinates si definiscono le coordinate

dei nodi del telaio. In questo caso, vista la semplicit del problema, non si sfrutta la

simmetria e si definiscono i nodi estremi e quello di mezzeria.

(2) Definizione della mesh di elementi finiti.Con il comando Attributes>Mesh>line si discretizza la trave ad elementi finiti.

In particolare, si scelgono elementi finiti tri-dimensionali lineari tipo Cross section

beam dotati di funzioni di forma di ordine quadratico. Si suddivide la trave in 40

elementi.

(3) Assegnazione delle propriet geometriche.Nel menu Attributes>Geometric>Line>Cross section beam si defi-

niscono le coordinate dei quattro vertici della sezione rettangolare. Sulla base di

questi dati il programma provvede a calcolare tutte le caratteristiche geometriche di

interesse.


elastico-plastico con modulo elastico e rapporto di Poisson desiderati. Per lanalisi

23

si assume un comportamento plastico regolato in base al modello Stress resultant,

supportato dal tipo di elemento finito scelto.

(5) Assegnazione dei vincoli.Si definisce il vincolo incastro e si assegna agli estremi della trave.

(6) Assegnazione del carico.Con il comando Attributes>Loading>Structural si procede a definire il

carico distribuito lineare q specificandone lintensit voluta.

E da sottolineare come nel modello plastico Stress resultant il passaggio tra il com-

portamento elastico lineare e quello perfettamente plastico avvenga istantaneamente non

appena il momento applicato raggiunge il valore del momento plastico. Tale modello ba-

sato sul criterio di plasticizzazione di Von Mises. Per sezioni rettangolari la superficie di

plasticizzazione F definita nel seguente modo

p2 + rmx +3

4m2y + t

2 = 1 per my 23(1 p) mx

p2 +3

4m2x + rmy + t

2 = 1 per mx 23(1 p) my

6

5rp+

3

5p2 4p

2

5r+

9

10(r p)(my +mx)+

920mymx + t

2 = 1 per my 23(1 p) e my 2

3(1 p)

dove

my =|My|Mpy

=|My|

2pSA/2y

(12a)

mx =|Mx|Mpx

=|Mx|

2pSA/2x

(12b)

p =N

Np=

N

Ap(12c)

t =MzMzp

(12d)

r =1 t2 (12e)

A causa della non-linearit del materiale necessario ricorrere ad una procedura di tipo

incrementale. In altre parole, superato il limite elastico, i carichi vengono assegnati attraver-

so incrementi piccoli ma di entit finita. La risposta strutturale non-lineare agli incrementi

24

di carico viene determinata con procedimenti di tipo iterativo. Nel caso specifico il codice

di calcolo LUSAS fa uso dellalgoritmo iterativo Predictor-corrector. La fase di predizione

eseguita supponendo la struttura elastica con rigidezza pari a quella tangente nel punto

considerato; in seguito il risultato viene corretto per tener conto della non-linearit elasto-

plastica. In altre parole, ove lo stato tensionale si collochi al di fuori della superficie di pla-

sticizzazione F (situazione fisica non possibile), una procedura di correzione viene eseguitaper ricondurre lo stato tensionale sulla superficie di snervamento. Fissata una certa tolleran-

za, il procedimento di correzione pu giungere o meno a convergenza. Nel primo caso si

procede ad applicare il successivo incremento di carico, mentre nel secondo il programma

termina lanalisi supponendo di aver raggiunto un livello di carico in corrispondenza del

quale la rigidezza della struttura si annulla. Una riduzione del valore dellincremento di ca-

rico porta in genere a minor iterazioni di convergenza ma ad un maggior tempo complessivo

per completare lanalisi. Daltro canto, se si impiegano incrementi di carico relativamente

grandi al fine di ridurre il tempo di analisi, si paga la scelta con un numero di iterazioni

maggiore e con una conseguente maggior propagazione degli errori numerici.

Per il problema in esame si lasciato operare il programma in modo automatico per

quanto riguarda la scelta dellampiezza degli incrementi di carico. Lunico vincolo imposto

stato quello di vincolare gli incrementi di carico ad essere minori del valore del carico

iniziale.

Nel problema test trattato, essendo possibile eseguire lanalisi incrementale-plastica pas-

so a passo manualmente, disponibile la soluzione analitica di riferimento. In particolare,

essendo il momento massimo agli incastri, saranno tali punti a raggiungere per primi il

valore del momento plastico

M = ql2

12(13)

Mp = p2SA/2x = pb

h2

4(14)

Ponendo M = Mp, si determina il carico che porta alla formazione contemporanea delle

due cerniere plastiche nelle sezioni di estremit della trave

q1 = 1q = 12Mpl2

(15)

25

La terza ed ultima cerniera plastica si localizzer invece nella sezione di mezzeria allorquan-

do il carico applicato raggiunger il seguente valore

q2 = 2q = 16Mpl2

(16)

In Figura 19 si sono riportati i valori della freccia nella mezzeria della trave e del ca-

rico applicato q calcolati dal programma ad ogni passo. Essi sono stati rappresentati sul

piano adimensionalizzato che ha per ordinate il rapporto ql2/Mp e per ascisse i valori

32EI/(Mpl2).

Da tale grafico si osserva una riduzione della pendenza della curva in corrispondenza

del punto di coordinate (1; 12), allorquando si formano le cerniere plastiche agli incastri.

In corrispondenza del punto (16.3; 2.61) la rigidezza della trave si annulla, trasformandosi

essa in una catena cinematica. Dal confronto con la soluzione analitica si ha che la forma-

zione delle prime due cerniere plastiche di estremit prevista in modo esatto dal codice

LUSAS, mentre loccorrenza dellultima cerniera plastica avviene in corrispondenza del

punto (16.3; 2.61) invece del punto di coordinate (16; 2.66). Lerrore commesso ad ogni

modo accettabile e potrebbe essere ulteriormente ridotto agendo sulla tolleranza del metodo

iterativo.

In Figura 20 si sono rappresentate le mesh deformate in corrispondenza del carico

applicato ed in corrispondenza della formazione delle cerniere plastiche di estremit. Il

programma consente di visualizzare la posizione delle cerniere plastiche con un asterisco

colorato.

26

Figura 19: Carico adimensionalizzato in funzione della freccia in mezzeria adimensionaliz-

zata durante lanalisi incrementale plastica.

Figura 20: Mesh deformate in corrispondenza del carico applicato ed in corrispondenza

della formazione delle cerniere plastiche di estremit.

27

2.2 Analisi elasto-plastica in piccoli spostamenti di un telaio piano a

due campate diseguali e dodici piani

Si consideri il telaio a dodici piani precedentemente analizzato dal punto di vista della sta-

bilit elastica. Si vuole determinare il carico di collasso eseguendo unanalisi incrementa-

le plastica nellipotesi di piccoli spostamenti. A tal fine si assume un legame costitutivo

elastico-perfettamente plastico per gli elementi in acciaio del telaio con i seguenti parametri

meccanici: modulo di Young E = 200 GPa, coefficiente di Poisson = 0.3, tensione di

snervamento p = 248 MPa.

Per eseguire questo tipo di analisi con LUSAS necessario definire la geometria ed il re-

ticolo ad elementi finiti del telaio come gi precedentemente fatto per lo studio della stabilit

dellequilibrio elastico. In aggiunta a tali dati di ingresso bisogna specificare la legge costitu-

tiva elasto-plastica con il comando Attributes>Material>Isotropic. Per quanto

riguarda la fase plastica si assegna il valore della tensione di snervamento dellacciaio e si

seleziona il modello Stress resultant.

Nel precedente studio inerente lanalisi incrementale plastica di una trave incastrata a se-

zione rettangolare soggetta ad un carico distribuito uniforme, la struttura era stata modellata

con elementi finiti tipo Cross-section beam. Come precedentemente osservato, il raggiun-

gimento della condizione di plasticizzazione si ha quando il momento applicato uguaglia il

valore del momento plastico. A sua volta, il momento plastico dipende sia dalla tensione di

plasticizzazione del materiale, sia dalla geometria della sezione trasversale

MP = 2PSA/2x (17)

dove SA/2x rappresenta il momento statico di mezza sezione rispetto allasse X . Si pu cos

definire il modulo plastico rispetto allasse X come quella costante che lega il momento

plastico alla tensione di plasticizzazione

MP = Zxp dove Zx = 2SA/2x (18)

In modo analogo si definisce il modulo plastico rispetto allasse Y . Nella modellazione

ad elementi finiti con elementi tipo Cross-section beam, utilizzabili unicamente per travi a

sezione rettangolare o circolare, il codice LUSAS provvede automaticamente al calcolo dei

28

moduli plastici a partire dai dati geometrici della sezione. Nel problema in esame, dovendo

modellare travi in parete sottile con sezione ad I , si deve far uso degli elementi tipo Thin

beam e specificare manualmente i valori dei moduli plastici di ogni sezione. Nella Tabella

1 si sono riportati i valori dei momenti plastici per le travi costituenti il telaio (per maggioridettagli riguardanti le caratteristiche geometriche delle sezioni in esame si faccia riferimento

al manuale [4]).

Profilo Zx [m3] Zy [m3]

w12x16 3.294 104 3.703 105

w12x35 8.390 104 1.885 104

w12x45 1.060 103 3.114 104

w12x53 1.277 103 4.769 104

w14x22 5.441 104 7.194 105

w14x68 1.885 103 6.047 104

w14x74 2.065 103 6.653 104

w14x90 2.573 103 1.239 103

w16x26 7.243 104 8.980 105

w21x44 1.563 103 1.671 104

Tabella 1: Moduli plastici Zx e Zy delle travi costituenti il telaio in esame.

Eseguita lanalisi non-lineare con LUSAS, nelle Figure 21 e 22 si mostra la localizza-

zione delle cerniere plastiche che si manifestano in corrispondenza dei vari passi di carico.

In Figura 23 si rappresentato il moltiplicatore di carico in funzione dello spostamento oriz-

zontale dellultimo solaio delledificio. A partire dal 6 passo di carico si ha la formazione

di cerniere plastiche. In corrispondenza del 17 passo di carico la struttura si trasformata

in una catena cinematica. E importante osservare come le cerniere plastiche si localizzino

prevalentemente agli estremi delle travi, mentre gli estremi dei pilastri sono interessati da

plasticizzazione solo quando la struttura assai prossima al collasso. Il moltiplicatore di

collasso ottenuto attraverso lanalisi rigido plastica risulta sensibilmente inferiore rispetto a

quello relativo allinstabilit globale dellequilibrio elastico dello stesso telaio.

29

Figura 21: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

30


31

(a)

(b)

Figura 23: (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontaledellultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione delle cerniere plastiche neivari passi di carico e deformata finale al limite di collasso.

32

3 Instabilit dellequilibrio elasto-plastico

3.1 Analisi elasto-plastica in grandi spostamenti di un telaio piano a

due campate diseguali e dodici piani

In questo esempio si vuole studiare il telaio piano a due campate diseguali e dodici piani og-

getto delle precedenti analisi da un punto di vista di stabilit dellequilibrio elasto-plastico.

Per risolvere questo problema si parte dai dati di ingresso utilizzati per lanalisi elasto-

plastica in piccoli spostamenti descritta nel precedente paragrafo. Volendo ora considerare

leffetto dei grandi spostamenti sul comportamento della struttura, necessario far uso del-

la formulazione Total Lagrangian attivabile nel menu di risoluzione non-lineare. Questaformulazione permette di calcolare le tensioni e le deformazioni rispetto alla configurazio-

ne iniziale indeformata. Essa basata sulle deformazioni di Green-Lagrange ed dunque

valida nelle ipotesi di piccole deformazioni. Inoltre, nel caso di grandi rotazioni, la formu-

lazione Updated Lagrangian in genere preferibile. In tale caso il calcolo delle tensioni e

delle deformazioni viene eseguito rispetto allultima configurazione geometrica dellanalisi

che ha ottenuto convergenza. Per il problema in esame, caratterizzato principalmente da

grandi spostamenti, si far uso della formulazione Total Lagrangian.

In questo modo, accanto alla non-linearit del materiale, possibile considerare anche

leffetto della non-linearit geometrica. Per il problema in esame si sono rappresentate le

posizioni delle cerniere plastiche nelle Figure 24 e 25. In Figura 26 si rappresentato lan-

damento del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontale dellultimo

piano del telaio. In Figura 27 si propone il confronto tra la curva carico-spostamento ottenu-

ta dalla presente analisi e quella concernente lanalisi elasto-plastica in piccoli spostamenti

calcolata nel precedente capitolo. Per quanto riguarda lanalisi di instabilit linearizzata

discussa nel Paragrafo 1.3 si era ottenuto un moltiplicatore di collasso ins = 103, troppo

grande da poterlo rappresentare in scala in Figura 27. Il carico di primo snervamento in

corrispondenza del quale si presenta la prima cerniera plastica si ha per = 1.5, in buonaccordo con i risultati ottenuti in [2, 3]. La lieve differenza tra il moltiplicatore di collassoottenuto dalla presente analisi (coll = 2.1) e quelli ottenuti in [2, 3] (coll = 2) da imputareal fatto che ai carichi nodali concentrati sulle travi considerati in tali studi si siano sostituiti

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i carichi distribuiti equivalenti. La differenza comunque modesta.

E importante osservare come in questo caso lanalisi incrementale elasto-plastica in

piccoli spostamenti non sia cautelativa. Il corrispondente moltiplicatore di collasso (ep =2.3), infatti maggiore di quello ottentuo dallanalisi elasto-plastica in grandi spostamenti(coll = 2.1) di circa il 10%. Il problema in questione rappresenta dunque un esempio dicollasso strutturale in cui tutte e due le ipotesi di linearit, sia geometrica che fisica, devono

essere abbandonate simultaneamente. Questi problemi fortemente non-lineari non possonoessere formulati n in termini di autovettori, n di analisi limite. Venendo meno la linearit

non possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e dunque il carico

ultimo pu essere determinato soltanto con unanalisi incrementale. Allinterno di ciascun

passo di carico la convergenza alla soluzione dovr essere ricercata a mezzo di algoritmi

ricorsivi computazionalmente onerosi.

Una stima approssimata della capacit portante di una struttura, prendendo in conside-

razione linterazione tra i diversi meccanismi di collasso, pu essere ottenuta attraverso le

formule di Rankine e di Merchant-Rankine. Nel caso in esame, partendo dal valore del

moltiplicatore di collasso ottenuto da unanalisi linearizzata dinstabilit (ins) e da quello

ottenuto da unanalisi incrementale elasto-plastica in piccoli-spostamenti (ep), applicando

la formula di Rankine si ottiene

coll = ep1

1 +epins

= 2.25 (19)

Applicando invece la formula di Merchant-Rankine si ha

coll = ep1

0.9 +epins

= 2.5 (20)

Si pu pertanto concludere che, in casi in cui la snellezza della struttura sia rilevante, lin-

stabilit dellequilibrio elasto-plastico pu avvenire prima del collasso plastico ed quindi

la condizione pi critica che deve essere considerata a livello progettuale.

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Figura 25: Localizzazione delle cerniere plastiche nei passi di carico 11, 12, 13, 14, 15, e

16.36

(a)

(b)

Figura 26: (a) Curva del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamento orizzontaledellultimo piano. (b) Schema riassuntivo della localizzazione delle cerniere plastiche neivari passi di carico e deformata finale al limite di collasso.

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Figura 27: Confronto tra le curve del moltiplicatore dei carichi in funzione dello spostamen-

to orizzontale dellultimo piano, per le analisi rigido-plastica ed elasto-plastica in grandi

spostamenti.

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Figura 28: Curva del moltiplicatore dei

carichi in funzione dello spostamento del

piano pi alto delledificio ottenuta da

Orbison et al. [2].

Figura 29: Schema del telaio analizzato in

[2].

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Figura 30: Curva del moltiplicatore dei ca-

richi in funzione dello spostamento del pia-

no pi alto delledificio ottenuta da Bozzo

e Gambarotta [3].

Figura 31: Schema del telaio con il model-

lo delle sollecitazioni, del materiale e del-

la geometria considerato in [3]. E inoltreillustrata la localizzazione delle cerniere

plastiche nei vari passi di carico.

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Riferimenti bibliografici

[1] A. Carpinteri. Analisi non-lineare delle strutture. Pitagora Editrice Bologna, 1998.

[2] J.G. Orbison, W. McGuire, and J.F. Abel. Yield surface applications in nonlinear steelframe analysis. Computer methods in applied mechanics and engineering, pages 557

573, 1982.

[3] E. Bozzo and L. Gambarotta. Inelastic analysis of steel frames for multistory buildings.Computers & Structures, pages 707713, 1985.

[4] American Institute of Steel Construction (AISC). Manual of steel construction. VIIedizione, New York, 1970.

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