Limite de una función ................................................. Limite de una función en un punto.............................. Límites laterales........................................................... Limites infinitos........................................................... Límites en el infinito.................................................... Propiedades de los límites............................................ Operaciones con infinito.............................................. Cálculo de límites......................................................... Cálculo de límites cuando x tiende a ∞........................ Límite de la función exponencial................................. Límite de la función logarítmica.................................. Indeterminaciones........................................................

Comparación de infinitos................................................................. Límite de un número partido por cero.......................... Indeterminación infinito partido infinito...................... Indeterminación infininito menos infinito.................... Indeterminación cero partido cero................................ Indeterminación cero por infinito................................. Indeterminación uno elevado a infinito........................

Continuidad de funciones............................................. Continuidad de una función en un punto...................... Continuidad lateral........................................................ Continuidad de funciones.............................................. Discontinuidad de funciones......................................... Tipos de discontinuidad................................................ Discontinuidad evitable................................................ Discontinuidad inevitable............................................. Discontinuidad esencial................................................ Resumen.......................................................................

Continuidad en un intervalo. Teoremas........................... Continuidad en un intervalo cerrado............................ Teorema de Weierstrass............................................... Teorema de Bolzano.................................................... Propiedad de Darboux..................................................

Derivada....................................................................................... Tasa de variación media............................................... Concepto de derivada................................................... Interpretación geométrica de la derivada..................... Interpretación física de la derivada.............................. Función derivada.......................................................... Derivadas laterales.......................................................

Derivabilidad y continuidad............................................................. Resumen.......................................................................

Cálculo de derivadas................................................................ Derivadas inmediatas.................................................... Derivadas de sumas, productos y cocientes.................. Derivadas exponenciales............................................... Derivación logarítmica.................................................. Derivadas trigonométricas............................................. Derivadas trigonométricas inversas.................................... Derivada de la función compuesta....................................... Derivada de la función inversa............................................ Derivada de la función potencial-exponencial..................... Derivadas sucesivas............................................................... Derivación implícita............................................................ Diferencial de una función......................................................

Aplicaciones físicas y geométricas de la derivada Ecuación de la recta tangente. Ecuación de la recta normal. Aplicaciones físicas de la derivada.

Aplicaciones de las derivadas al estudio de las funciones Crecimiento y decrecimiento de una función. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos o locales. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión de una función. Esquema.

Aplicaciones de las derivadas. Optimización de funciones Problemas de optimización.

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución. Dominio de una función. Simetría de una función. Funciones periódicas. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas. Ramas parabólicas. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Resumen.

Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L´Hôpital Teorema de Rolle. Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regla de L'Hôpital.

Integral indefinida Concepto de integral. abla de integrales. Integrales potenciales. Integrales logarítmicas y exponenciales. Integrales trigonométricas. Integrales trigonométricas inversas.

Métodos de integración Integración por partes. Integrales racionales. Integración por sustitución o cambio de variable. Integrales trigonométricas.

Limite de una función

Límite de una función en un punto.

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).

Límites laterales.

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo:

Dada la función:

Hallar: .

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límites en el infinito

Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Cálculo de límites

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda: Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda: Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Cálculo de límites cuando x ∞

Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

.

Cálculo de límites cuando x -∞

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

Límite de la función exponencial

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Límite de la función logarítmica

Si a > 0 Si 0 < a < 1

Límites de logaritmos

Indeterminaciones

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Comparación de infinitos

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Hallar los límites por comparación de infinitos:

Límite de un número partido por cero

El límite puede ser +∞, −∞ ó no tener límite.

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por lo que el límite por la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será positivo y el denominador negativo, por lo que el límite por la derecha será: − ∞.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x 1.

Indeterminación infinito partido infinito

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:

Indeterminación infinito menos infinito

1. Por comparación de infinitos.

Por tener x^7 mayor orden.

1. Por comparación de infinitos.

El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.

El numerador es un infinito de orden superior.

El denominador es un infinito de orden superior

Como 4>7/2 el denominador tiene mayor orden.

El denominador tiene mayor orden.

El numerador tiene mayor orden.

2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

2. Con funciones racionales .

Ponemos a común denominador.

Calculamos los limites laterales.

No tiene Limite

Por tener x^2 mayor orden.

Porque 5/2>2

3^x tiene mayor orden

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado .

Indeterminación cero partido cero

1. Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

No tiene límite en x = −1

2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

Indeterminación cero por infinito

Se transforma a ó a

Introducimos el 1er factor en la raiz

Indeterminación uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

1er Método:

Sumamos y restamos 1

Ponemos a común denominador los últimos sumando

Sustituimos por el inverso del inverso

Elevaos al denominador y a su inverso

Continuidad de funciones

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

2º Método:

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Estudiar la continuidad de en x =2

f(2)= 4

Continuidad lateral

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:

Continuidad de funciones

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función es continua en − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función es continua en .

Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x = a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.

Discontinuidad de funciones

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en a.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite.

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable:

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y éste es finito.

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La función no está definida en x = a.

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.

La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:

Discontinuidad inevitable:

2. La imagen no coincide con el límite.

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Salto

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:

Discontinuidad esencial:

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.

En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.

Resumen

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

Continuidad lateral

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:

Continuidad de funciones

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son continuas en x=a, entonces:

f + g es continua en x = a.

f · g es continua en x = a.

f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.

f ο g es continua en x = a.

Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe .

Tipos

1. La función no está definida en x = a.

2. La imagen no coincide con el límite.

Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Tipos

1. Discontinuidad inevitable de salto finito

La diferencia entre los límites laterales es un número real.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Discontinuidad esencial

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

Continuidad en un intervalo. Teoremas

Continuidad en un intervalo

Continuidad en un intervalo cerrado:

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)

f es continua en a por la izquierda:

f es continua en a por la derecha:

Consecuencia

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4].

f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda .

f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.

f(2)= 4

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].

Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

es continua en el intervalo [−1, 4]

Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c (a, b) tal que f(c) = 0.

Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].

Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

f(0) = −1 < 0

f(1) = 1 > 0

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

Propiedad de Darboux

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.

Si observamos el dibujo podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:

Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Probar que la función f(x) = x(sen x +1) toma el valor 2.

La función es continua en toda por ser el producto de dos funciones continuas.

Tomamos el intervalo y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos:

Por tanto existe un c tal que f(c) = 2.

Derivada

Tasa de variación media

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

Concepto de derivada

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

Función derivada

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

No es derivable en x = 0.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

;

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

f(x) = x2 en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

En x = 0 la función es continua y derivable.

Resumen

Tasa de variación

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica de la tasa de variación media

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Interpretación geométrica de la derivada

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Interpretación física de la derivada

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir la derivada del espacio respecto al tiempo.

Función derivada

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Cálculo de derivadas

Derivadas inmediatas

Reglas de derivación

Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivadas exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivación logarítmica

Derivada de un logaritmo

Como , también se puede expresar así:

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivadas trigonométricas

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivadas trigonométricas inversas

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

Derivada de la función inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x

;

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x

;

Derivada de la función potencial-exponencial

Estas funciones son del tipo:

Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:

Derivar tomando logaritmos:

Derivadas sucesivas

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

→ → → →

Derivada enésima

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).

Calcula la derivada enésima de:

→ → → → →

Derivación implícita

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

 

 

Diferencial de una función

Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

Calcular la diferencial de las funciones:

→ ; →

Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado.S = x 2 dS = 2x dxd(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2

Aplicaciones físicas y geométricas de la derivada

Ecuación de la recta tangente

Pendiente de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.

Sea el punto de tangencia (a, f(a))

m = −3

f'(a) = 2a − 5

2a − 5 = −3a = 1

P(1, 2)

y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5

Ecuación de la recta normal

Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

Aplicaciones físicas de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e(t) = 3t² - t +1. El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Hallar la ecuación de la velocidad.

v(t)= e′(t) = 6t − 1

Hallar la velocidad en el instante t = 0.

v(0)= 6 · 0 − 1 = −1 m/s

Hallar la ecuación de la aceleración.

a(t) = v′(t) = e′′(t) = 6 m/s2

Aplicaciones de las derivadas al estudio de las funciones

Crecimiento y decrecimiento de una función.

Función estrictamente creciente

Función creciente

Función estrictamente decreciente

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Función decreciente

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

f '(x) = 3x2 −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = −2, por ejemplo.

f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f'(0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f'(2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Extremos relativos o localesSi f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Estudiar los máximos y mínimos de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Intervalos de concavidad y convexidad

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6(−1) < 0 Convexa.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Cóncava.

4. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, ∞)

Convexidad: (−∞, 0)

Puntos de inflexión de una función

En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Estudio de los puntos de inflexión

Calcular los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Esquema

Aplicaciones de las derivadas. Optimización de funciones

Optimización de funciones

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Ejemplo:

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:

2x + 2y = 12 → x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

Representación gráfica de funciones

Gráfica de una fución

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.

gráfica (f) = {(x, f(x)) / x D}

Para representarla calcularemos aquellos puntos o intervalos donde la función tiene un comportamiento especial, que determinaremos mediante el estudio de los siguientes apartados:

1.    Dominio de una función.

2.    Simetría.

3.    Periodicidad.

4.    Puntos de corte con los ejes.

5.    Asíntotas.

6.    Ramas parabólicas.

7.    Crecimiento y Decrecimiento.

8.    Máximos y mínimos.

9.    Concavidad y convexidad.

10.   Puntos de inflexión.

Ejemplo de representación de una función

Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen.

x-intercept

Punto de corte con OX:

Puntos de corte con el eje OY

Asíntotas:

Asíntota horizontal

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica

Dominio de una función

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

Cálculo del dominio de una función

Dominio de la función polinómica

El dominio de una función polinómica es

f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional

El dominio es menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

D =

Dominio de la función seno

D = .

Dominio de la función coseno

D = .

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Simetría de una función

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par, es decir:

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es una función impar, es decir:

f(-x) = -f(x)

Funciones periódicas

Periodicidad de una función

Una función es periódica cuando:

La función se repite de T en T, siendo T el período.

La función f(x) = x − E(x), es periódica de periodo 1.

sen (x + 2π) = sen x

En el caso de la función seno T = 2π

tg (x + π) = tg x

En el caso de la función tangente T = π

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es T/m.

Ejemplos

Hallar el periodo de las funciones:

1) f(x) = sen 2x 2) f(x) = tg (1/2)x 3) f(x) = E (1/2)x

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo

Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:

Punto de corte con el eje OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Ejemplo

Hallar el punto de corte con el ejes OY de la función:

Ejemplo de puntos de corte con los ejes

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

Puntos de corte con el eje OX

Puntos de corte con el eje OY

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:

Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ramas parabólicas

Las ramas parabólicas se estudian sólo si:

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.

Ejemplo

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.

Ejemplo

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente creciente en a si:

f'(a) > 0

Decrecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente decreciente en a si:

f'(a) < 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 02. f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 02. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo:

Calcular los máximos y mínimos de:

f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente. 2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Concavidad y convexidad

Si f y f' son derivables en a, a es:

Cóncava

Si f''(a) > 0

Convexa

Si f''(a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

4. Escribimos los intervalos:

Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad

Puntos de inflexión de una función

Si f y f' son derivables en a, a es un:

Punto de inflexión

Si f'' = 0

y f''' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si: f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Ejemplo

Hallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Puntos de inflexión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Ejemplo

Calcular los puntos de inflexión de la función:

Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de convexa a concava. Punto de inflexión (0, 0)

Resumen

Gráfica de una fución

gráfica (f) = {(x, f(x)) / x D}

Para representar una función tenemos estudiaremos los siguientes apartados:

Dominio de una función

D = {x / f (x)}

Dominio de la función polinómica

D =

Dominio de la función racional

El dominio es menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

D =

Dominio de la función radical de índice parEl dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.Dominio de la función exponencial

D = Dominio de la función seno

D = .Dominio de la función coseno

D = .Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

SimetríaSimetría respecto del eje de ordenadas

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen

f(-x) = -f(x)

Periodicidad

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es T/m.

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el ejes OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Asíntotas

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Ramas parabólicas

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:1. Derivar la función:2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. 5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos relativos

Para hallar los extremos relativos seguiremos los siguientes pasos:1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativof''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente. 2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.4. Escribimos los intervalos:

Puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:Un punto de inflexión en el punto, de la función, en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy

Teorema de Rolle

Si una función es:

Continua en [a, b] y Derivable en (a, b), y si f(a) = f(b), entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?

En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .

Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.

La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·

Teorema de Bolzano.

f(−1) = −1

f(0) = 3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.

Teorema de Lagrange o del valor medio

Si una función es:

Continua en [a, b]

Derivable en (a, b)

Entonces, existe algún punto c (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).

Ejemplo

¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?

f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

El valor del primer miembro es constante:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

Ejemplo

Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2].

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinómicas.

Y además g(0) ≠ g(2).

Como g' (0) = 0 no se puede aplicar el teorema de Cauchy.

Regla de L'Hôpital

Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe , este límite coincide con .

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma , donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

Ejemplos

Indeterminación infinito menos infinito

En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.

Indeterminación cero por infinito

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Indeterminaciones

En las indeterminaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

Integral Indefinida

Concepto de Integral

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Tabla de integrales

a, e, k, y C son constantes; u es una función y u' es la derivada de u.

Si u = x (u' = 1), tenemos una tabla de integrales simples:

Integrales Potenciales

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

Integrales logaritmicas y exponenciales

Integrales trigonométricas

Integrales trigonométricas inversas

Métodos de integración

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Integrales por sustitución o cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Integrales trigonométricas

Potencias pares de sen x o cos x

Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:

Potencias impares de sen x o cos x

Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:

Con exponente par e impar

El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

También se puede hacer por el cambio de variable t = sen x o t = cos x

Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se transforman los productos en sumas:

cos (-4x) = cos 4x