ANALISIS CINEMATICO DE MECANISMOS

Presenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando ReynaIngeniería Mecatronica

Tema 8. Análisis de Velocidad (Método Analitico)

CENTROS INSTANTÁNEOS DE VELOCIDAD*Un centro instantáneo de velocidad se define como un punto común a dos cuerpos en movimiento plano que tiene la misma velocidad instantánea en cada cuerpo. Los centros instantáneos en ocasiones también se denominan centros o polos. Puesto que se requieren dos cuerpos o eslabones para crear un centro instantáneo (IC, por sus siglas en ingles), se puede predecir con facilidad la cantidad de centros instantáneos que se puede esperar en cualquier conjunto de eslabones.

La formula para la combinación de n cosas tomadas de r a la vez es:

𝐶=𝑛 (𝑛−1 ) (𝑛−2 )….(𝑛−𝑟− 𝑙)

𝑟 !

Aqui r = 2 y se reduce a:

Por la ecuación 6.8b, se puede ver que un mecanismo de cuatro barras tiene 6 centros instantáneos, uno de seis tiene 15 y uno de ocho tiene 28.

𝐶=𝑛 (𝑛−1)2

La figura 6-5 (p. 252) muestra un mecanismo de cuatro barras en una posición arbitraria. También muestra una gráfica lineal que es útil para rastrear los centros instantáneos encontrados. Esta grafica particular puede crearse al trazar un circulo en el cual se marcan tantos puntos como eslabones hay en el ensamble.

Luego se traza una línea entre los puntos que representan pares de eslabones cada vez que se encuentra un centro instantáneo. La grafica lineal resultante es el conjunto de líneas que conectan puntos. No incluye el circulo, que se utilizo solo para colocar los puntos.

Algunos centros instantáneos son encontrados por inspección con solo la definición del centro instantáneo. Observe en la figura 6-5a que cada una de las cuatro juntas de pasador satisface la definición. Claramente deben tener la misma velocidad en ambos eslabones en todo momento

Estos han sido rotulados I1,2, I2,3, I3,4 e I1,4. El orden de los subíndices no importa. El centro instantáneo I2,1 es el mismo que I1,2.

Estos centros instantáneos de junta de pasador en ocasiones se denominan centros instantáneos “permanentes”, ya que permanecen en el mismo lugar en todas las posiciones del mecanismo. En general, los centros instantáneos se moverán a nuevas ubicaciones conforme el mecanismo cambia de posición, de ahí el adjetivo de instantáneo.

Regla de Kennedy:Tres cuerpos cualesquiera en movimiento plano tendrán exactamente tres centros instantáneos, y quedarán en la misma línea recta.

ANÁLISIS DE VELOCIDAD CON CENTROS INSTANTÁNEOSUna vez que se encuentran los centros instantáneos, pueden utilizarse para realizar un análisis grafico muy rápido de la velocidad del mecanismo. Observe que, según la posición particular del mecanismo que se va a analizar, algunos de los centros instantáneos pueden estar muy alejados de los eslabones.

Observe que, según la posición particular del mecanismo que se va a analizar, algunos de los centros instantáneos pueden estar muy alejados de los eslabones.

Por ejemplo, si los eslabones 2 y 4 son casi paralelos, sus líneas extendidas se cortaran en un punto muy alejado y desde un punto de vista practico no estará disponible para el análisis de la velocidad.

ANÁLISIS DE VELOCIDAD CON CENTROS INSTANTÁNEOSLa figura 6-9 muestra el mismo mecanismo de la figura 6-5 (p. 252) con I1,3 localizado y rotulado. De acuerdo con la definición de centro instantáneo, ambos eslabones que comparten el centro instantáneo tendrán velocidad idéntica en ese punto.

La figura 6-9 muestra el mismo mecanismo de la figura 6-5 (p. 252) con I1,3 localizado y rotulado. De acuerdo con la definición de centro instantáneo, ambos eslabones que comparten el centro instantáneo tendrán velocidad idéntica en ese punto.

La velocidad del punto A se muestra en la figura 6-9. La magnitud de VA puede calcularse con la ecuación 6.7 (p. 248). Su dirección y sentido se determinan mediante inspección como se hizo en el ejemplo 6-1 (p. 248). Observe que el punto A también es el centro instantáneo I2,3. Tiene la misma velocidad como parte del eslabón 2 y como parte del eslabón 3.

Como el eslabón 3 gira de hecho en torno a I1,3 en este instante, la velocidad angular w3 se encuentra al reacomodar la ecuación 6.7:

𝜔3=𝑣𝐴

(𝐴𝐼 1,3)

Una vez que se conoce w3, la magnitud de VB también se encuentra con la ecuación 6.7:

Una vez que se conoce VB, w4 se encuentra con la ecuación 6.7:

𝑣𝐵= (𝐵 𝐼1,3 )𝜔3

𝜔4=𝑣𝐵

(𝐵𝑂4)

Por ultimo, la magnitud de VC (o la velocidad de cualquier otro punto en el acoplador) se encuentra con la ecuación 6.7:

𝑣𝐶= (𝐶 𝐼1,3 )𝜔3

ANÁLISIS DE VELOCIDAD DE DESLIZAMIENTO

Cuando existe una junta deslizante entre dos eslabones y ninguno es el eslabón de bancada, el análisis de la velocidad es más complicado.

La figura 6-18 muestra una inversión del mecanismo de cuatro barras manivela-corredera en el cual la junta deslizante es flotante, es decir, no está conectada a la bancada.

En general se puede encontrar la velocidad de por lo menos uno de estos puntos directamente con la información de entrada conocida y la ecuación 6.7 (p. 248). Ésta y la ecuación 6.6 es todo lo que se requiere para determinar todo el resto. En este ejemplo, el eslabón 2 es el motriz y q 2 y w2 se dan para la posición de “marco congelado” mostrada.

1 Comience en el extremo del mecanismo del cual tenga la máxima información. Calcule la magnitud de la velocidad del punto A como parte del eslabón 2 (A2) con la ecuación escalar 6.7 (p. 248).

vA2 = (AO2 )ω2 (a)

2 Trace el vector de velocidad VA2 a una escala conveniente y con su raíz en el punto A y su dirección perpendicular al radio AO2. Su sentido es el mismo que el de w2 como se muestra en la figura 6-18.

3 Trace el eje de deslizamiento y el eje de transmisión por el punto A.

4 Proyecte VA2 sobre el eje de deslizamiento y sobre el eje de transmisión para crear las componentes VA2desl y Vtrans de VA2 sobre los ejes de deslizamiento y transmisión, respectivamente. Observe que la componente de transmisión es compartida por todos los vectores de velocidad verdaderos en este punto, ya que es la única componente que puede transmitir a través de la junta.

5 Observe que el eslabón 3 está conectado por medio de pasador al eslabón 2, de modo que VA3 = VA2.

6 Observe que la dirección de la velocidad del punto VA4 es predecible puesto que todos los puntos del eslabón 4 están en rotación pura alrededor del punto O4. Trace la línea p/p por el punto A perpendicular al eslabón efectivo 4, AO4. La línea pp es la dirección de la velocidad VA4.

7 Construya la magnitud del vector de velocidad VA4 y prolongue la proyección de la componente de transmisión Vtransm hasta que corte la línea p/p.

8 Proyecte VA4 sobre el eje de deslizamiento para crear la componente de deslizamiento VA4desl.

9 Escriba la ecuación vectorial de la velocidad relativa 6.6 (p. 246) para las componentes de deslizamiento del punto A2 contra el punto A4.

10 Las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 son idénticas porque comparten la junta deslizante y deben girar juntas. Se calculan con la ecuación 6.7 (p. 282):

Análisis gráfico de la velocidad de un mecanismo de leva y seguidor

Construya el radio efectivo de la leva R2efect en el punto de contacto instantáneo con el seguidor en esta posición (punto A en la figura). Su longitud es la distancia O2A. Calcule la magnitud de la velocidad del punto A como parte del eslabón 2 (A2) con la ecuación escalar 6.7 (p. 248).

2 Trace el vector de velocidad VA2 con su longitud igual a su magnitud νA2 a una escala conveniente y con su raíz en el punto A y su dirección perpendicular al radio O2A. Su sentido es el mismo que el de w2 como se muestra en la fi gura 6-19.

3 Construya el eje de deslizamiento (tangente común a la leva y seguidor) y su normal, el eje de transmisión, como se muestra en la figura 6-19.

4 Proyecte VA2 sobre el eje de transmisión para crear la componente Vtransm. Observe que la componente de transmisión es compartida por todos los vectores de velocidad verdaderos en este punto, ya que es la única componente que puede transmitir a través de la junta.

5 Proyecte VA2 sobre el eje de deslizamiento para crear la componente de deslizamiento VA2desl.

6 Observe que la dirección de la velocidad del punto VA3 es predecible puesto que todos los puntos del eslabón 3 están en rotación pura alrededor del punto O3. Construya el radio efectivo del seguidor R3efect en el punto de contacto instantáneo con el seguidor en esta posición (punto A en la fi gura). Su longitud es la distancia O3A.

7 Construya una línea en la dirección de VA3 perpendicular a R3efect. Construya la magnitud verdadera del vector de velocidad VA3 prolongando la proyección de la componente de transmisión Vtransm hasta que corte la línea VA3.

8 Proyecte VA3 sobre el eje de deslizamiento para crear la componente de deslizamiento VA3desl.

9 La velocidad de deslizamiento total en A es la diferencia vectorial entre las dos componentes de deslizamiento. Escriba la ecuación vectorial de velocidad relativa 6.6 (p. 246) para las componentes de deslizamiento del punto A3 contra el punto A2.

𝑉 𝑑𝑒𝑠𝑙32=𝑉 𝐴 3𝑑𝑒𝑠𝑙−𝑉 𝐴2𝑑𝑒𝑠𝑙

10 La velocidad angular del eslabón 3 se calcula con la ecuación 6.7:

𝜔3=𝑉 𝐴 3

𝐴𝑂3

Relación de velocidad angularLa relación de velocidad angular mV se define como la velocidad angular de salida dividida entre la velocidad angular de entrada. Para un mecanismo de cuatro barras esta se expresa como:

𝑚𝑉=𝜔4

𝜔2

Esta relación se deriva para cualquier mecanismo al construir un par de eslabones efectivos como se muestra en la figura 6-10a (p. 260). La definición de pares de eslabón efectivos es dos líneas, mutuamente paralelas, trazadas por los pivotes fi jos que cortan el acoplador extendido. Estas se muestran como O2A′ y O4B′ en la figura 6-10a. Observe que existe una infinidad de posibles pares de eslabones efectivos. Deben ser paralelos entre si pero pueden formar cualquier ángulo con el eslabón 3.

La componente de la velocidad VA′ queda a lo largo del eslabón AB. Igual que con un miembro sometido a dos fuerzas en el cual una fuerza aplicada en un extremo transmite solo su componente que queda a lo largo del eslabón hasta el otro extremo, esta componente de velocidad se transmite a lo largo del eslabón hasta el punto B.

Esto en ocasiones se llama principio de transmisibilidad. Entonces se pueden igualar estas componentes en uno u otro extremo del eslabón.

La figura 6-10b muestra el mismo mecanismo de la figura 6-10a, pero ahora se trazaron los eslabones efectivos de modo que no solo son paralelos sino colineales, por lo que quedan en la parte superior uno de otro. Ambos cortan el acoplador extendido en el mismo punto, el cual es el centro instantáneo I2,4.

Esto permite escribir una ecuación para la relación de velocidad angular en función de las distancias de los pivotes fijos al centro instantáneo I2,4.

𝑚𝑉=𝜔4

𝜔2=𝑂2 𝐼 2,4𝑂4 𝐼 2,4

La potencia P en un sistema mecánico se define como el producto punto o escalar del vector de fuerza F y el vector de velocidad V en cualquier punto:

𝑃=𝐅 ∙𝐕=𝐹 𝑥𝑉 𝑥+𝐹 𝑦𝑉 𝑦

En un sistema rotatorio, la potencia P se transforma en el producto del par de torsión T y de la velocidad angular w la que, en dos dimensiones, tiene la misma dirección (z):

𝑃=𝑇𝜔

La potencia fluye a través de un sistema pasivo y:

La eficiencia mecánica se define como:

Los sistemas de mecanismos articulados pueden ser muy eficientes si están bien hechos con cojinetes de baja fricción en todos los pivotes. Las perdidas con frecuencia menores al 10%. Por simplicidad, en el análisis siguiente se supondrá que las perdidas son cero (es decir, un sistema conservador).

Entonces, si Tent y went representan par de torsión y velocidad angular de entrada y Tsal y wsal representan par de torsión y velocidad angular de salida, entonces:

Observe que la relación de par de torsión (mT = Tsal/Tent)es la inversa de la relacion de la velocidad angular.La ventaja mecánica (mA) se define como:

Si se supone que se aplican las fuerzas de entrada y salida con los radios rent y rsal, perpendiculares a sus vectores de fuerza respectivos,

Método Analítico de análisis de Velocidades

Mecanismo de cuatro barras con juntas de pasadorEn la sección 4.5 (p. 162) se derivaron las ecuaciones de posición para el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador. El mecanismo se mostro en la figura 4-6 (p. 164) y se muestra de nuevo en la figura 6-20 en la que también se señala una velocidad angular de entrada w2 aplicada al eslabón 2. Esta velocidad w2 puede ser una velocidad de entrada variable con el tiempo. La ecuación de lazo vectorial se muestra en las ecuaciones 4.5a y 4.5c repetidas aquí para su conveniencia.

Como antes, se sustituyen los vectores por la notación de numero complejo y se denotan sus longitudes escalares como a, b, c, d como se muestra en la figura 6-20a.

Para obtener una expresión para la velocidad, se diferencia la ecuación 4.5 con respecto al tiempo.

Pero,

Y

Observe que el termino q1 se elimina porque ese ángulo es constante, y por lo tanto su derivada es cero. Observe también que la ecuación 6.14 es, en realidad, la velocidad relativa o ecuación de diferencia de velocidad.

donde:

La estrategia de solución será la misma que para el análisis de posición. En primer lugar, se sustituye la identidad de Euler de la ecuación 4.4a (p. 165) en cada termino de la ecuación 6.14c:

Se multiplica por el operador j:

Los términos coseno se vuelven imaginarios o términos dirigidos hacia y y como j2 = –1, los términos seno se vuelven reales o dirigidos hacia x.

Ahora es posible separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes reuniendo todos los términos reales e imaginarios por separado:

Observe que las j se cancelaron en la ecuación 6.17e. Se pueden resolver estas dos ecuaciones, 6.17d y 6.17e, simultáneamente mediante sustitución directa para obtener:

Una vez que se resuelven para w3 y w4, entonces se puede resolver para la velocidad lineal al sustituir la identidad de Euler en las ecuaciones 6.15.