Analisis Cinematico de Trenes de Engranes

MECANISMOS Engranajes. Trenes de engranajes

Engranajes. Trenes de engranajes. Pag.- 1

TEMA: ENGRANAJES. TRENES DE ENGRANAJES.

1- INTRODUCCION.

2- TRENES DE ENGRANAJES ORDINARIOS.

2.1- Trenes de engranajes simples.

2.2- Trenes de engranajes compuestos.

3- TRENES DE ENGRANAJES EPICICLOIDALES.

3.1- Descripción.

3.2- Análisis cinemático de trenes epicicliodales.

3.2.1- Método tabular.

3.2.2- Método de Willis.



1- INTRODUCCION

Hasta el momento se ha estudiado la geometría de perfil de los dientes de los engranajes, las

propiedades de estos perfiles, los diferentes tipos de engranajes y su nomenclatura, pero desde el punto

de vista del estudio cinemático de estos elementos de máquinas solo se ha tratado la relación de

transmisión.

Se ha definido la relación de transmisión (i) como la relación existente entre las velocidades

angulares de las ruedas que forman un engranaje, esto es:

i = ωω

2

3

Para un engranaje como el mostrado en la figura 1 la relación existente entre el diámetro de la

circunferencia primitiva y el módulo es m dz

= , luego para cada una de las ruedas se obtendrá:

m dz

dz2

2

23

3

3

= =; m

r

rO

O

P

22

3

3

Figura 1.



puesto que el espesor del diente medido sobre la circunferencia primitiva (y por lo tanto el ancho del

hueco) debe ser igual en las dos ruedas para que estas puedan engranar; y este valor es igual a la mitad

del paso circular:

p p p p dz

dz

dz

dz

2 32 3

2

2

3

3

2

2

3

32 2= ⇒ = ⇒

⋅=

⋅⇒ =

π π

luego m2 = m3 =m. Es decir, para que dos ruedas engranen sus módulos han de ser iguales.

Por otra parte, atendiendo a la ley fundamental de engrane:

i O PO P

dd

= = = 3

2

2

3

3

2

ωω

y como d m z3 3= ⋅ y d m z2 2= ⋅ , se deduce que la relación de transmisión puede calcularse por

medio de la siguiente expresión:

i dd

zz

= = =ωω

2

3

3

2

3

2

2- TRENES DE ENGRANAJES ORDINARIOS

Un tren de engranajes está compuesto por dos o más ruedas que engranan entre sí con el

propósito de transmitir movimiento desde un eje a otro.

En los trenes de engranajes ordinarios, ninguno de los ejes posee movimiento relativo respecto a

la bancada.

Los trenes ordinarios pueden dividirse en dos tipos, dependiendo del número de ruedas que se

monten sobre cada uno de los ejes:

- Trenes simples.

- Trenes compuestos.

2.1- Trenes de engranajes simples.



En este tipo de trenes sólo hay una rueda por cada eje. En la figura 2 se muestra un tren de

engranajes de este tipo:

1

2 3 4 5 6

Fig-2. Tren simple de engranajes.

Teniendo en cuenta la relación de transmisión para cada par de ruedas que engranan entre si, se

obtiene que:

ωω

ωω

ωω

ωω

2

3

3

2

3

4

4

3

4

5

5

4

5

6

6

5

= = = =zz

zz

zz

zz

; ; ;

La relación de transmisión de un tren de engranajes se define como la razón existente entre la

velocidad angular de la primera rueda del tren y la última, para el tren de la figura 2 este valor será:

i zz

zz

zz

zz

zz

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

2

6

2

3

3

4

4

5

5

6

3

2

4

3

5

4

6

5

6

2

Como se ve, en trenes de engranajes simples, la relación de transmisión sólo dependerá de los

números de dientes de la primera y de la última rueda del tren, ya que la velocidad lineal de todas las

circunferencias primitivas es la misma. Por cada rueda que se le añada al tren el único efecto que

produce es el cambio del sentido de rotación de la última rueda.

El signo de la relación de transmisión se considera positivo si la primera y la última rueda giran

en el mismo sentido, en caso contrario será negativo, de forma que si el número de ruedas del tren de

engranajes simples es par, la relación de transmisión será negativa y, si es impar positiva.

Las ruedas intermedias en los trenes simples se utilizan para conectar ejes con gran distancia

entre centros y para controlar el sentido de giro de la última rueda del tren.

2.2.- Trenes de engranajes compuestos



Se denominan ruedas compuestas aquellas que se montan sobre un mismo eje y giran de forma

solidaria con este. Por lo tanto, un tren de engranajes compuesto es aquel en el que aparecen ruedas

compuestas.

En la figura 3 se muestra un tren de engranajes compuesto, en el que las ruedas 3-4 y 5-6 son

compuestas.

2 3 4 5 6 7

Fig-3. Tren de engranajes compuesto.

La relación de transmisión se define como en los trenes de engranajes simples; luego, para el

tren mostrado en la figura 3:

i = ωω

2

7

Por otra parte, para cada par de ruedas engranando:

ωω

ωω

ωω

2

3

3

2

4

5

5

4

6

7

7

6

= = =zz

zz

zz

; ;

pero como ω3 = ω4 y ω5 = ω6 por ser las ruedas 3 y 4 y las 5 y 6 ruedas compuestas, la relación de

transmisión quedará:

i zz

zz

zz

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ωω

ωω

ωω

ωω

2

7

2

3

3

5

5

7

3

2

5

4

7

6



Se ve, por tanto, que la relación de transmisión puede expresarse como el conciente existente entre el

producto de las ruedas conducidas y el producto de las conductoras:

i = producto de los dientes de las ruedas conducidasproducto de los dientes de las ruedas conductoras

La ventaja que presentan los trenes compuestos sobre los simples es que se obtienen una

reducción de velocidad mucho mayor con ruedas más pequeñas.

Un ejemplo típico de aplicación de trenes compuestos de engranajes lo constituyen las cajas de

cambios utilizadas en automoción.

Para lograr reducciones mayores de 7:1 no suelen emplearse trenes simples (la última rueda

debería de ser 7 veces mayor que la primera) sino trenes compuestos o mecanismos de corona y

tornillo sin fín.

3.-TRENES DE ENGRANAJES EPICICLOIDALES.

3.1- Descripción.

A diferencia de los trenes de engranajes ordinarios, en los trenes epicicloidales el eje de una o

más ruedas presenta un movimiento de rotación respecto a la bancada, por lo que la trayectoria de los

puntos de las ruedas montadas sobre estos ejes son epicicloides; de ahí el nombre con que se conoce a

este tipo de trenes de engranajes.

A los trenes epicicloidales también se los conoce como trenes planetarios debido a la analogía

que presenta el movimiento de las rueda con los planetas del sistema solar: hay una serie de ruedas

(denominadas planetas) que presentan un movimiento de rotación alrededor de otra rueda

(denominada sol) tal y como puede apreciarse en la figura 4.

Aparece siempre un elemento sobre el que se montan los ejes de los planetas, denominado

brazo, y que presenta movimiento de rotación respecto a la bancada.



brazo

sol

anillo

planetas

anillo

brazo

planeta

sol

Fig-4. Tren de engranajes epicicloidales.

Los planetas pueden estar constituidos por ruedas simples (figura 4) o por ruedas compuestas

como en el tren mostrado en la figura 5.

planetas

brazo

soles

Fig-5. Tren epicicloidal con ruedas compuestas.

Las ruedas que componen un tren de engranajes epicicloidal no tienen porque ser cilíndricas (figuras 4

y 5) sino que puden ser también cónicas como en el ejemplo mostrado en la figura 6.

brazo

sol

planetas

Fig-6. Tren epicicloidal con ruedas cónicas.

3.2- Análisis cinemático de trenes epicicloidales.



Aunque se expondrán dos métodos diferentes con el fin de calcular la relación de transmisión de

un tren epicicloidal, ambos están basados en el mismo concepto: la velocidad absoluta de cualquier

rueda puede descomponerse en suma de dos velocidades:

- La velocidad angular del brazo.

- La velocidad angular de la rueda con respecto al brazo.

Esto expresado en una fórmula quedaría de la siguiente forma:

ω ω ωi b i b= + /

donde: wi representa la velocidad angular absoluta de una rueda cualquiera.

wb es la velocidad angular absoluta del brazo.

wi/b es la velocidad relativa de la rueda respecto al brazo.

3.2.1- Método tabular.

Para operar con este método se procederá de la siguiente forma:

a) Se supondrá el tren epicicloidal bloqueado y se girará una vuelta a todo el sistema (cálculo

de la velocidad angular del sistema).

b) Se fija el brazo y se gira una vuelta en sentido contrario al anterior a la rueda que está

unida a la bancada. Se calcula el número de vueltas que girará el resto de las ruedas, que se

comportarán, al haber fijado en brazo, como en un tren ordinario (movimiento respecto al

brazo).

c) Se suman las vuelta que han girado cada una de las ruedas en los pasos a) y b)

(composición del movimiento), y se calcula la relación de transmisión como el cociente entre

el número de vueltas total de la rueda conductora entre el de la conducida.

A modo de ejemplo se calculará la relación de transmisión para el tren mostrado en la figura 7.



b

4

2

3

2

b

3

4

Fig-7. Tren de engranajes epicicloidales

2 3 4 brazo

Movimiento del brazo +1 +1 +1 +1

Movimiento relativo al brazo

-1 − z

z2

3

+ ⋅ zz

zz

2

3

3

4

0

Movimiento total

0 1 2

3

−zz

1 2

4

+zz

+1

En la tabla se presentan los valores de velocidad del brazo, los de las ruedas con respecto al

brazo y los absolutos de cada una de la rueda (suma de los valores anteriores); de dicha tabla se

desprende que la relación de transmisión será:

i nn z

z

b= =+

4 2

4

1

1

En el caso en el que el tren epicicloidal tenga más de una entrada, tal como el mostrado en la

figura 8, se aplicará un sistema de superposición de movimiento. De esta forma si representando por n2

y n6 las velocidades de rotación de los ejes de entrada y por nb la velocidad de rotación del eje de

salida, se tendrá:

( ) ( )00 62 == += n conbn conbb n nn

Donde el primer término se obtiene cuando se bloquea la entrada 2 y el segundo cuando se

bloquea la entrada 6.



salida

Z=108

Z=36

Z=24

Z=32

Z=48entrada 1

entrada 2

2

3

4

5

6

Fig-8. Tren epicicloidal con doble entrada.

3.2.2- Método de Willis.

Este método se basa en la relación que existe entre las velocidades angulares relativas al brazo

de las ruedas cuyos ejes no tiene movimiento respecto a la bancada. Dicha relación será fácil de

calcular, ya que al considerarse el movimiento respecto al brazo el cálculo se realizará como si el tren

fuese ordinario y no epicicloidal.

Para las ruedas 2 y 4 del mismo ejemplo realizado en el apartado anterior (ver figura 7), se

obtendrá:

n n nn n n

b b

b b

4 4

2 2

/

/

= −= −

Dividiendo entre sí ambas ecuaciones: nn

n nn n

b

b

b

b

4

2

4

2

/

/

=−−

, pero por otra parte n2=0 y la relación de

velocidades relativas al brazo es: nn

zz

b

b

4

2

2

4

/

/

= − se obtiene que:

i nn z

z

b= =+

4 2

4

1

1



BIBLIOGRAFIA: Título: KINEMATICS AND DYNAMICS OF MACHINES. Autor: Geroge H. Martin. Editorial: McGraw Hill. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS. Autor: A. de Lamadrid. Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid. Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill.

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