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Revista de la Ingeniería Industrial, Vol. 7, No. 1, 2013, 37-50 ISSN 1940-2163 AcademiaJournals.com

ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA CALCULAR LOS

NIVELES DE INVENTARIO Y MINIMIZAR LOS COSTOS DEL ALMACÉN DE REFACCIONES

DE UNA EMPRESA VIDRIERA

I.I. Juan Pablo Sánchez Olivos 1, M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez2, Dr. Guillermo Cortés Robles3, Dr. Daniel Hernández Marín4, M.C. José Efraín Ferrer Cruz 5

Resumen—En el presente artículo se describe el uso de la simulación como herramienta de evaluación de alternativas

para la minimización de los costos del almacén de una empresa vidriera. Estos costos han aumentado en los últimos años,

condición que perjudica la rentabilidad de la empresa. En consecuencia, se requiere un análisis de los modelos

matemáticos existentes para conocer cuándo y cuánto debe pedir la empresa para manejar adecuadamente su almacén de

acuerdo a las necesidades actuales. Los modelos matemáticos a evaluar son: modelo heurístico de la empresa, lote

económico de pedido, lote económico de pedido para la demanda normal, modelo matemático de una empresa externa de

consultoría y un modelo optimizador. Por medio de la aplicación de la metodología de simulación se analizarán los costos

totales de cada modelo matemático y se elegirá aquél que conlleve los menores costos del inventario y minimice el riesgo

de ruptura de existencias.

Palabras Clave— Inventarios, Evaluación, Simulación, Optimización, Plant Simulation.

Introducción Todas las empresas quieren obtener mayores ganancias agregando valor a sus productos y tratando de mejorar

continuamente sus procesos. No obstante, en cualquier empresa existen actividades que se consideran necesarias,

pero que no agregan valor al producto. Un ejemplo de este tipo de actividades son los almacenes, debido a que se

considera que el dinero está “inmóvil” cuando un producto, insumo o refacción, tiene un tiempo de residencia en

estas áreas, ya que no genera ninguna ganancia. Sin embargo, su importancia para la operatividad de la empresa no

está a discusión, debido a que esta actividad asegura tener las piezas adecuadas en el momento necesario. El tenerlos

o no, representa costos; el tenerlos en demasía representa incrementar los costos de almacenaje, y el no tenerlos,

incrementar los costos de penalización. Es por esto que es de gran necesidad optimizar su funcionamiento. En los últimos años, una empresa dedicada a la fabricación de vidrio ha experimentado un incremento en los

costos de llevar el inventario. Se cree que esto se debe a que el almacén se administra utilizando técnicas heurísticas

y por ello es conveniente reestructurar las prácticas del almacén para que se ajusten a las necesidades actuales. Por lo

antes descrito, se define el objetivo del presente proyecto como: determinar el mejor modelo matemático de

selección de los niveles de inventario para los productos de mayor importancia económica existentes en el almacén

de refacciones de una empresa vidriera, con el objeto de minimizar los costos totales del inventario y los riesgos de

ruptura de inventario. Los modelos matemáticos a evaluar y su descripción se muestran en el cuadro 1.

1 El I. I. Juan Pablo Sánchez Olivos es alumno de la maestría en ingeniería industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba.

juanpablosanol@gmail.com 2 El M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez es profesor de la maestría en ingeniería industrial del Instituto Tecnológico de Orizaba. t_moras@yahoo.com.mx 3 El Dr. Guillermo Cortés Robles es profesor de la maestría en ingeniería administrativa del Instituto Tecnológico de Orizaba. gc_robles@hotmail.com 4 El Dr. Daniel Hernández Marín es Gerente de Planta de Sílices de Veracruz. daniel.hernandez@sivesa.com.mx 5 M.C. José Efraín Ferrer Cruz es profesor de Ingeniería en el Instituto Tecnológico de Tuxtepec. ferrerpeee@yahoo.com.mx

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Modelo matemático Descripción

1. Actual (modelo heurístico de

la empresa).

En la empresa se manejan ciertos niveles de inventario que se obtuvieron

por medio de la experiencia de los años. Este modelo se toma en

consideración porque:

Representa seguir tal como se encuentra funcionando actualmente el

almacén. Si resulta ser la mejor alternativa se deberían mantener los

niveles de inventario.

Si existe una alternativa mejor al estado actual, los resultados permitirán determinar el porcentaje de mejora sobre éste.

2. Lote económico de pedido.

Modelo determinístico

(EOQ).

Es la fórmula con mayor popularidad sobre los cálculos de los niveles de

inventario. De no haberse hecho un análisis de los modelos matemáticos,

quizás se hubiera implementado este modelo matemático para tratar de

mejorar el modelo actual.

3. Lote económico de pedido

demanda normal. Modelo

estocástico.

Este modelo matemático sirve para contemplar la incertidumbre presente

en el sistema. Se tomó en cuenta la distribución normal para la demanda

debido a que el análisis estadístico de la información sugiere que tal

distribución se puede utilizar para modelar la demanda observada.

4. Modelo matemático de una

empresa externa de

consultoría.

Al inicio del proyecto se tenía una propuesta por parte de una empresa

externa de consultoría sobre los niveles de inventario. Por motivos de

confidencialidad solo se expondrá que este modelo matemático considera

niveles de confianza para establecer los niveles de inventario.

5. Optimizador GAWizard de

Plant Simulation.

Este modelo analiza los factores involucrados en los inventarios (demanda,

tiempos entrega, cantidades solicitadas), los cuales se comportan de manera probabilística. La mejor forma de tomar en cuenta la variabilidad

en dichos factores es por medio de un modelo de simulación. A su vez, con

la ayuda del optimizador GAWizard de Plant Simulation, se pretendía

minimizar los costos totales del inventario.

Cuadro 1. Modelos evaluados para minimizar los costos en el almacén.

En el presente artículo se desarrolla la metodología de simulación recomendada por la Asociación de Ingenieros

Alemanes (Bangsow, 2010) para evaluar y seleccionar el mejor modelo matemático que minimice los costos totales

del inventario. La metodología comprende los siguientes pasos: formulación del problema, prueba de solvencia de la

simulación, formulación de objetivos, recolección y análisis de los datos, modelación, ejecutar las corridas de la

simulación, análisis e interpretación de los resultados, documentación.

La naturaleza del problema de los inventarios consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Los modelos de inventarios ayudan a responder las

preguntas esenciales de los inventarios: ¿Cuándo hacer un pedido o una orden de producción?, ¿Cuál es el tamaño

óptimo del pedido? Las respuestas a estas preguntas se basan en la búsqueda de la minimización de los costos del

almacén. En la figura 1 se puede observar la clasificación de los modelos de inventarios con base en las

características de la demanda. Se incluye un listado de tan solo unos cuantos modelos representativos de cada tipo de

inventarios. Se observan la diferenciación entre los modelos determinísticos y los estadísticos y los diversos intentos

para optimizar los modelos propuestos tradicionalmente propuestos en la literatura.

Simulación

En un contexto global, Plant Simulation es una de las herramientas de la plataforma tecnológica de Siemens y

está orientada al manejo del ciclo de vida del producto, PLM (Product Life cycle Management) por sus siglas en

inglés. Plant Simulation pertenece a la división llamada Tecnomatix; la cual es una completa cartelera de soluciones

de fabricación digital que ofrece la innovación mediante la vinculación de todas las disciplinas de fabricación, desde

el diseño de procesos y productos, simulación de procesos y validación, hasta la ejecución de fabricación. De

manera particular, Plant Simulation es un software de simulación de eventos discretos que permite la creación de un

modelo computarizado dinámico de un sistema complejo, explora sus características y optimiza el desempeño del

sistema.

GAWizard es una herramienta de Plant Simulation que sirve para optimizar los resultados de las variables de

salida. El GAWizard soporta la integración de algoritmos genéticos dentro del modelo de simulación. Se recomienda

utilizar esta herramienta cuando se quiera optimizar una tarea que tenga un amplio rango de valores de entrada.

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Los algoritmos genéticos son un procedimiento de optimización estocástica que en la mayoría de los casos

producen una solución aproximada a la óptima. Para la mayoría de las aplicaciones prácticas dichas soluciones aproximadas son suficientes. Los algoritmos genéticos administran muchas propuestas de solución durante la

optimización. De acuerdo con la evolución en biología esas propuestas de solución son llamadas individuos. Los

individuos gestionados en una optimización simple son combinados en cada una de las generaciones.

Para llevar a cabo el análisis de los niveles de inventario adecuados para el almacén de la empresa vidriera, se

propuso evaluar los cinco modelos matemáticos mencionados en el cuadro 1 a través de un modelo de simulación

que compararía los resultados obtenidos y permitiera elegir el modelo matemático que minimizara los costos totales

del inventario. A continuación se describe la aplicación de la metodología propuesta por la Asociación de Ingenieros

Alemanes para efectuar un estudio de simulación y lograr el objetivo mencionado.

Formulación del problema En conjunto con los responsables del almacén de refacciones, se determinó la necesidad de minimizar los costos

de operación del almacén. Existen muchas respuestas para las preguntas básicas para la gestión de los niveles de

inventario, ¿cuánto pedir? y ¿cuándo pedir? la respuesta adecuada depende invariablemente del comportamiento de

la demanda. En esencia, se debería analizar cada uno de los comportamientos de la demanda de los productos para

asignarle a cada uno su mejor tratamiento y así obtener el costo mínimo en el manejo del inventario. Sin embargo, en

un almacén donde existe un total de 4,690 productos diferentes, este tipo de análisis exhaustivo sería impráctico. Se

tomó así la decisión de evaluar cuál es la mejor respuesta para calcular los niveles de inventario tomando en cuenta

el análisis del 80-20. En este caso, el análisis 80-20 indicaría que el 20% de los productos provoca el 80% de los

costos del inventario. La sorprendente respuesta al realizar este análisis en la empresa bajo estudio fue que tan sólo

el 5% de los productos del almacén producen el 80% de los costos totales.

Prueba de solvencia de la simulación

Se consideró que la simulación era una técnica adecuada para el presente estudio dado que los datos a representar

(tiempos de pedidos, de entrega de proveedores, de descarga, y cantidades solicitadas) se comportaban

probabilísticamente y que era preciso modelar turnos de trabajo (ShiftCalendar en Plant Simulation) dentro del

modelo de simulación para representar las condiciones de trabajo.

Formulación de objetivos

Se determinaron tres objetivos principales para evaluar cuál de los cinco modelos matemáticos era el mejor:

Minimizar costos del inventario.

Minimizar los productos en el almacén.

Evitar la ruptura de inventario.

Figura 1. Clasificación de los modelos de inventarios.

MODELOS

de inventarios

Determinísticos

Demanda conocida

Estáticos

Demanda constante

Lote económico de

pedido

Dinámicos

Demanda variable

Programación dinámica

Programación entera

Estocásticos

Demanda incierta

Estáticos

Un solo periodo

Programación dinámica

Dinámicos

Varios periodos

Lote económico pedido

demanda incierta

40

Los dos primeros objetivos son directamente proporcionales, dado que si se disminuye el número de productos

en el almacén el costo del inventario se decrementa. El tercer objetivo indica que no deben existir faltantes en el inventario debido a la importancia que tienen los productos en el proceso. Ocasionalmente se ha encontrado que una

reducción de costo puede producir un incremento en el riesgo de ruptura. Esta condición no era un estado aceptable

en el sistema que se evalúa.

Recolección y análisis de los datos

La recolección y análisis de los datos son tareas muy importantes de la simulación. . A través de varias reuniones

con los encargados del sistema se recolectó la información necesaria para la realización del modelo de simulación, la

cual se clasificó de la siguiente manera:

1. Proceso. o Forma en la que los clientes del proceso son atendidos.

o Manera en la que se colocan los pedidos a los proveedores.

o Demanda de los productos.

2. Costos.

o Costos de los productos.

o Costos de almacenamiento.

o Costos de pedidos.

3. Tiempos.

o Tiempos de atención a los clientes.

o Frecuencia con que los clientes van a realizar los pedidos.

o Tiempo que el departamento de compras se tarda en liberar la solicitud de pedido a los proveedores.

o Tiempo que se tardan los proveedores en entregar los productos.

o Tiempo de descarga de los materiales una vez que llegan al estacionamiento de la empresa

vidriera.

De los datos recolectados del proceso se definió la cantidad de productos que se pueden simular dado el número

de datos obtenidos (si se tenían muy pocos datos, por una baja rotación del producto u otra razón, no se podía

simular las condiciones de ese producto). El total de productos a simular, para evaluar los modelos matemáticos y

obtener los niveles de inventario, fue de 29.

Con la información de los costos se pudo calcular el tamaño de lote y punto de reorden para los modelos de

inventario de lote económico de pedido y lote económico de pedido cuando la demanda sigue una distribución

normal. Las fórmulas aplicadas a los 29 productos se describen a continuación.

Lote económico de pedido (modelo matemático 2)

El lote económico es la cantidad que se pedirá al proveedor para satisfacer la demanda en un periodo de tiempo.

La fórmula para calcular el lote económico de pedido es la siguiente:

√

Donde:

Q*= cantidad óptima a ordenar

A= costo de pedir

D= demanda anual

i= costo anual de llevar inventario, en porcentaje

C= costo unitario

Punto de reorden. Es el momento en que el inventario baja hasta cierto nivel y debe hacerse un pedido. Para obtener el punto de reorden se debe aplicar lo siguiente:

r =

Donde:

r= punto de reorden

= tiempo de espera o de adelanto (lead time) T= tiempo de ciclo

d= demanda, en la misma unidad de tiempo que el lead time

m= Es la parte entera del cociente de /T

Lote económico con demanda incierta, normal (modelo matemático 3)

La fórmula para calcular el lote económico de pedido para cuando la demanda es incierta (en este caso la

demanda se comporta con base en una distribución normal) es la siguiente:

d; <T

d(-mT); ≥T

41

√

Donde: Q*= cantidad óptima a ordenar

A= costo de pedir

D= demanda anual

i= costo anual de llevar inventario, en

porcentaje

C= costo unitario

El punto de reorden se consigue aplicando la siguiente fórmula:

Adicional al punto de reorden, se debe calcular un stock de seguridad.

Donde:

w= stock de seguridad

r= punto de reorden

d= demanda, en la misma unidad de tiempo que el lead time

t= tiempo de espera o de adelanto (lead time)

En el cuadro 2 se muestran los niveles de inventario del sistema actual y de los modelos de lote económico de

pedido (EOQ), lote económico de pedido con demanda normal (LEP normal) y los niveles proporcionados por la

empresa externa de consultoría.

Como se puede notar en algunas celdas del cuadro 2, aparece el mensaje de “ERROR” o de “TIEMPO”. Esto se debe a que el modelo de la empresa externa de consultoría no propone una solución (en el caso de la leyenda

“ERROR”) o que propone un sistema de pedidos que solicite ciertas unidades cada determinado tiempo y no al

llegar al punto de reorden (en el caso de la leyenda “TIEMPO”).

Por otra parte, con la información recolectada de los costos, se pudieron evaluar los modelos matemáticos en

función del costo total del inventario.

Para realizar el análisis estadístico de los tiempos observados se utilizó la herramienta DataFit del software de

simulación Plant Simulation. Por medio de dicha herramienta es posible realizar pruebas de bondad de ajuste al

conjunto de datos recolectados. Las tres pruebas de bondad de ajuste que el DataFit ofrece son: Chi Cuadrada,

Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling. Con su utilización se puede conocer si es posible modelar los datos con

el uso de una distribución conocida; de no ser así, la herramienta proporciona una tabla con valores que permiten

emplear una distribución empírica. Las pruebas se emplearon utilizando un nivel de significancia del 0.05. El uso de

DataFit sugirió que sería posible modelar la mayoría de los datos observados con las distribuciones log normal y exponencial.

Modelación

Para una lograr una correcta representación del sistema real se realizaron dos pasos:

1. Obtener un modelo base de un modelo conceptual.

2. Transferir el modelo hacia un software de simulación.

A continuación se describe cada una de ellas.

1. Obtener un modelo base de un modelo conceptual

La creación del modelo conceptual se realizó al término de las pláticas con los encargados del sistema. La información recolectada se muestra en la figura 3.

Con esta información se tiene un panorama más amplio y conciso del sistema que se pretende simular. Este paso

muchas veces es omitido y tiene como consecuencia la reelaboración del modelo de simulación porque éste no se

apega a la realidad o está incompleto.

2. Transferir el modelo hacia un software de simulación.

Plant Simulation fue el software utilizado para realizar el modelo de simulación y evaluar las alternativas de los

niveles de inventario propuestos por los cinco modelos matemáticos para cada uno de los 29 productos principales

del almacén de la empresa. En la figura 4 se muestra la representación del layout del almacén de la empresa por

medio de los objetos del software de simulación

42

.

Se realizaron dos modelos de simulación. Primeramente se construyó un modelo que optimiza los niveles de

inventario a partir del sistema actual, el cual es el modelo matemático 5. Una vez que se obtuvieron los niveles de

inventarios de los cinco modelos matemáticos, entonces se procedió a construir un segundo modelo de simulación

que evalúa las cinco alternativas (modelos matemáticos) en función del costo. A continuación se detallan las características de cada uno de los modelos.

Modelo 1. Modelo optimizador

El modelo optimizador (modelo matemático 5) tiene como objetivo obtener los mejores niveles de inventario

resultantes de un optimizador de algoritmos genéticos, GAWizard, a partir del sistema actual. El mejor tamaño de

Producto

Actual (Modelo 1)

EOQ (Modelo 2)

LEP normal (Modelo 3)

Consultoría (Modelo 4)

Tam

lote PRO

Tam

lote PRO

Tam

lote PRO Tam lote PRO

1 12 12 9 5 9 9 6 8

2 120 221 128 16 128 19 14 18

3 100 120 165 62 165 68 55 68

4 80 65 147 50 147 57 40 50

5 60 70 121 48 121 55 41 51

6 130 100 182 24 182 27 17 19

7 10 10 99 13 99 16 17 19

8 30 21 59 13 59 17 22 28

9 40 61 80 6 80 9 9 11

10 50 50 77 29 77 32 24 29

11 80 60 144 33 144 36 27 33

12 0 0 116 21 116 24 18 22

13 100 100 81 14 81 17 32 40

14 220 180 138 99 138 109 90 TIEMPO

15 300 201 222 100 222 110 88 TIEMPO

16 110 91 79 25 79 28 32 40

17 80 61 98 37 98 44 33 41

18 150 174 125 11 125 14 11 17

19 250 151 180 38 180 42 0 0

20 100 201 137 13 137 17 10 13

21 126 160 140 13 140 16 13 16

22 500 301 453 85 453 95 119 TIEMPO

23 120 81 167 61 167 67 45 56

24 100 81 88 6 88 9 5 6

25 30 31 51 8 51 11 7 9

26 50 51 72 14 72 17 ERROR 0

27 100 101 197 28 197 31 33 41

28 80 81 119 10 119 13 8 10

29 200 201 555 126 555 139 94 117

Cuadro 2. Niveles de inventario para los 29 productos a analizar en los primeros cuatro modelos matemáticos

43

.

Figura 2. Modelo conceptual del sistema de inventarios de una empresa vidriera.

1. Un cliente llega al almacén a realizar un

pedido

2. El encargado del almacén busca el

material y lo despacha

3. El nivel del inventario se

decrementa con cada pedido

4. Al llegar al punto de reorden se emite una solicitud de pedido al

departamento de compras

5. Después de unos días, el departamento de compras emite el pedido al proveedor

6.El proveedor transporta y entrega el

material

7. El material llega y es descargado al

almacén

Figura 3. Layout del modelo de simulación construido en Plant Simulation.

44

lote y punto de reorden serían los que otorgaran el menor costo del inventario. En el cuadro 3 se pueden observar las características utilizadas en el GAWizard.

La función objetivo de este modelo incluye los costos de pedidos (el número de pedidos por el costo del pedido),

los costos de mantener el inventario (número de piezas en el inventario por el costo de mantener las piezas en el

inventario). A su vez, entre las principales restricciones destacan: que no exista ruptura de inventario, que se

respeten los horarios de oficina (en el caso del departamento de compras), y que se sigan las distribuciones de probabilidad de los tiempos del sistema.

Modelo 2. Modelo de evaluación de alternativas.

El modelo de evaluación de alternativas tiene como objetivo evaluar los cinco modelos matemáticos para elegir

cuál es la mejor forma de calcular los niveles de inventario y, por ende, determinar los mejores niveles de inventario

que minimicen el costo del inventario. La comparación de los costos de inventario se realizó por medio de gráficas y

numéricamente. Esta evaluación se llevó a cabo con ayuda del objeto de análisis Experiment Manager de Plant

Simulation. En el cuadro 4 se pueden observar las características ocupadas en el Experiment Manager.

Validación del modelo

Se realizó la validación del modelo de simulación de la evaluación de las alternativas del sistema actual por

medio de la prueba t-apareada. Esta prueba indicó si los resultados del modelo son significativamente diferentes a

los del sistema real. La medida de desempeño que se evaluó es la cantidad de piezas que salen del almacén al mes

para los 29 productos. Se eligió esta medida dado que se quiso probar los niveles de inventario y si se toman

decisiones con base en cantidades erróneas, las conclusiones no serían útiles.

Se propusieron las siguientes hipótesis para la validación:

H0: La cantidad media de piezas despachadas en un mes para los 29 productos obtenida por el modelo de simulación, no presenta una diferencia significativa con respecto a la cantidad media

de piezas despachadas para los 29 productos en un mes del sistema real que se está estudiando.

H1: La cantidad media de piezas despachadas en un mes para los 29 productos obtenida por el

modelo de simulación, presenta una diferencia significativa con respecto a la cantidad media de

piezas despachadas en un mes para los 29 productos del sistema real.

Se utilizó la siguiente ecuación:

El desarrollo de algunos cálculos de la ecuación anterior se muestra en el cuadro 5.

Característica Valor

Variables de entrada Tamaño de lote y punto de reorden

Variable de salida Costo total del inventario

Dirección de la optimización Minimizar

Número de generaciones 15

Tamaño de la generación 200

Observaciones individuales 30 (número óptimo de corridas)

Referencia de ajuste Absoluta

Selección de los padres Determinística

Selección de la descendencia 1 de 4

Cuadro 3. Características relevantes utilizadas en el GAWizard para optimizar el sistema actual.

Característica Valor

Variables de entrada Tamaño de lote y punto de reorden

Variable de salida Costo total de llevar el inventario

Observaciones por experimento 30 (número óptimo de corridas)

Nivel de confianza 95%

Cuadro 4. Características relevantes utilizadas en el Experiment Manager para comparar los resultados de los

cinco modelos matemáticos.

)(ˆ)(2/1,1)( nnn ZarVtZ

45

Datos Valores

12Z -2

0.05

n 12

Var[Z12] 100.98

tn-1,0.95 0.6974

Cuadro 6. Datos para la prueba t-apareada.

Los datos a utilizar en la fórmula de la t-apareada se

sintetizan en el cuadro 6. Finalmente, se sustituyen los datos

obtenidos en el intervalo de confianza al 95%.

Debido a que el intervalo resultante (-9.01, 5.01) sí contiene al 0, se acepta la hipótesis nula y se concluye que la

diferencia ̅=x-y no es estadísticamente significativa, por lo que se puede deducir que el modelo es válido.

Ejecución de las corridas de simulación

Para determinar el número óptimo de corridas del modelo de simulación se empleó la prueba nβ (Law y Kelton,

2000). Esta prueba sirve para obtener resultados estadísticamente confiables. Una vez que se establece este valor, se

introduce al objeto Experiment Manager y se cambian automáticamente (por efecto del software de simulación,

Plant Simulation) las semillas del generador de números pseudoaleatorios. Con esto se evita caer en el error de

emitir conclusiones a partir de una sola corrida del modelo de simulación y poder establecer un intervalo de confianza para los resultados.

Al igual que en la prueba t-apareada, para determinar el número óptimo de corridas, se tomó como medida de

desempeño la cantidad de piezas solicitadas en el almacén durante un mes para los 29 productos. Para estimar la

cantidad de piezas solicitadas por el almacén durante un mes con un error absoluto () de 24 piezas y un nivel de confianza del 95% se utilizó la fórmula:

Los datos que se ocuparon en la ecuación anterior se presentan en el cuadro 7.

Replicación

Cantidad de piezas en

el sistema real

Xj

Cantidad de piezas

en el modelo

Yj

Diferencia

Zj (Zj-Z12)

2

1 1,899 1,842 57 3,481

2 1,045 1,101 -56 2,916

3 1,318 1,306 12 196

4 1,704 1,685 19 441

5 1,668 1,712 -44 1,764

6 1,238 1,262 -24 484

7 1,276 1,289 -13 121

8 1,408 1,400 8 100

9 1,152 1,137 15 289

10 1,417 1,438 -21 361

11 1,513 1,539 -26 576

12 1,391 1,342 49 2,601

13,330

12Z -2

Cuadro 5. Cálculos de la prueba t-apareada para la validación del modelo de simulación.

)01.5,01.9(

01.72

98.100,2

)(ˆ,

25.011

2/112

t

nZarVtZ n

i

nstnin i

)(:min)(*

2

2/1,1

46

Datos Valores

12X 1,419.08

Var[Z12] 31,840.94

24

0.05

ti-1,0.95 0.6974

Cuadro 7. Datos para la prueba n*()

La sustitución de los valores quedó de la siguiente manera:

El proceso de selección del número de corridas es un

proceso iterativo que se realiza hasta encontrar un valor que

cumpla con la condición especificada. En el cuadro 8 se

muestra dicho proceso. Por lo tanto, el número óptimo de corridas fue de 30.

Análisis e interpretación de los resultados

Dado que se realizaron dos modelos de simulación, se muestran los resultados de cada uno por separado.

1. Resultados obtenidos del modelo optimizador Como ya se explicó previamente, el GAWizard es el optimizador de Plant Simulation que obtuvo los mejores

tamaños de lote y puntos de reorden para cada uno de los 29 productos analizados.

La forma en la que se evaluó el rendimiento del optimizador fue por medio de una gráfica que muestra las

condiciones de la optimización (figura 5). En dicha figura se puede apreciar que los mejores niveles de inventario se

obtienen desde el principio de la optimización. Esto se concluye porque la peor solución y la mejor se aproximan

desde la tercera generación. Dado que en las generaciones posteriores se mantiene una distancia estrecha entre estas

dos soluciones, se concluye que se ha encontrado la mejor respuesta (el mínimo costo total del inventario).

i Resultado de la fórmula Relación Error absoluto Recomendación

12 35.9263 ≥ 24 Seguir buscando

15 32.1334 ≥ 24 Seguir buscando

20 27.8283 ≥ 24 Seguir buscando

25 24.8904 ≥ 24 Seguir buscando

30 22.7217 ≤ 24 Número óptimo

Cuadro 8. Cálculo del número óptimo de corridas.

Figura 4. Gráfica de la actuación del optimizador.

24431,840.944

,:12min 95.01i

ti i

47

Con este modelo de simulación optimizado se determinaron os niveles de inventario del modelo matemático 5

que generaron los menores costos totales del almacén y no presentaron ruptura de inventario.

2. Resultados obtenidos del modelo de evaluación de alternativas

Se analizaron 29 productos para seleccionar cuál es el mejor modelo matemático de los cinco para la elección de

los niveles de inventario del almacén de refacciones de la empresa vidriera. Para realizar la evaluación se diseñaron

cinco experimentos, los cuales fueron los siguientes:

Experimento 1. Modelo empírico actual de la empresa.

Experimento 2. Lote económico de pedido. Modelo determinístico.

Experimento 3. Lote económico de pedido cuando la demanda es normal. Modelo estocástico.

Experimento 4. Modelo matemático de una empresa externa de consultoría.

Experimento 5. Modelo optimizador.

Cada uno de los experimentos se corrió 30 veces con diferentes números pseudoaleatorios para contemplar la variedad existente en el sistema real. A continuación se muestra un ejemplo de cómo se evaluaron los experimentos

para uno de los 29 productos. En la figura 6 se muestran los intervalos obtenidos por los resultados de cada

experimento para un producto determinado.

Los mejores resultados son los del optimizador (experimento 5), debido a que aparece más abajo en el eje Y de la

gráfica (eje Y=costo total del inventario), lo que indica que tiene menores costos totales en el inventario que las

demás alternativas. En segundo lugar se ubica el sistema actual (experimento 1) por tener mayores costos del

inventario que el experimento 5 pero menores a los demás. Para ejemplificar con mayor claridad esta diferencia de

costos se muestra en el cuadro 9, donde se encuentran los parámetros numéricos de los experimentos obtenidos por el Experiment Manager de Plant Simulation.

Aunque se puede observar en el cuadro 9 que el experimento 1 (modelo heurístico) tiene un menor valor mínimo

en el costo total del inventario que las alternativas restantes, se nota que su valor máximo es muy grande, motivo por

el cual esta alternativa demuestra poca estabilidad.

El optimizador (experimento 5) es la alternativa de menor promedio del costo total del inventario y la de menor

desviación estándar. Por lo tanto se elige como el mejor modelo matemático para la elección de los niveles de inventario del producto analizado. De igual manera que se evaluaron las cinco alternativas para el producto antes

citado, se procedió a analizar los otros 28 productos. Al término de la evaluación de resultados se identificaron las

posiciones que ocuparon cada una de las alternativas, asignándole el primer lugar a la alternativa con menor valor

promedio del costo total del inventario y desviación estándar, y así consecutivamente. Por ejemplo, en el caso

expuesto anteriormente, el optimizador ocuparía el primer lugar, el modelo actual el segundo lugar, el lote

Figura 5. Gráfica de los resultados de cada uno de los modelos matemáticos para un producto.

Experimento Costo total

del inventario

Desviación

estándar Mínimo Máximo

Límite del

intervalo

izquierdo

Límite del

intervalo

derecho

1 1,207,494 2,086,807 87,111 7,101,041 428,054 1,986,934

2 3,184,110 2,770,055 88,463 9,136,682 2,149,470 4,218,749

3 2,714,784 2,448,330 91,801 9,136,682 1,800,312 3,629,256

4 32,464,781 5,481,521 22,031,446 44,031,446 30,417,387 34,512,175

5 158,867 17,593 131,004 204,649 152,296 165,439

Cuadro 9. Resultados numéricos de los modelos matemáticos.

48

Figura 8. Segunda mejor alternativa.

0%

79%

17%

4% 0%

Optimizador

Actual

LEP normal

EOQ

Empresa externa

económico de pedido demanda normal el tercero, el lote económico el cuarto y el modelo matemático de la empresa

externa, el quinto lugar. Esta identificación de posiciones sirvió para la elección del mejor modelo matemático para la determinación de los niveles de inventario.

Se contabilizó la cantidad de veces que aparece cada alternativa en primer lugar. Se pudo observar que el mejor

modelo matemático fue el optimizador, donde se percibe que el 100% de las veces fueron mejores los resultados del

optimizador para los 29 productos que los resultados de los demás modelos.

La figura 8 muestra que el segundo mejor modelo matemático es el modelo actual. Esto se debe a que las demás

alternativas fueron penalizadas en gran medida por presentar ruptura de inventario. Por lo que se intuye que los

puntos de reorden no están considerando la totalidad del tiempo que conlleva realizar un pedido como puede ser el

tiempo de entrega, tiempo de pedido

y/o tiempo de descarga.

La evaluación de alternativas para

determinar el mejor modelo matemático de selección de niveles de

inventario se hizo para 29 productos

para ahorrar tiempo de análisis. Debido

a que al concluir la evaluación no hubo

ninguna duda de que el mejor modelo

matemático fue el modelo optimizador

en todos los casos, se calcularon los

niveles de inventario para los demás

productos de mayor importancia

económica (los cuales fueron 38, que

sumados a los 29 da un total de 67

productos) por medio del modelo matemático 5 y sólo se comparó dicho modelo contra el sistema actual para observar el porcentaje de mejora.

Una vez hecha la evaluación y el respectivo cálculo de los tamaños de lote y puntos de reorden usando el modelo

matemático 5 y el actual, para poderlos comparar, incluyendo los 67 productos (esta cantidad equivale al 5% de los

productos que hacen el 80% de los costos del inventario), se obtuvieron los costos totales del almacén con los

nuevos niveles de inventario. La figura 9 ilustra la comparación del comportamiento del presupuesto mensual del

almacén durante un año entre el sistema actual y el sistema propuesto por el optimizador para un producto en una

corrida de simulación.

Después de realizar 30 corridas de simulación (número óptimo de corridas) para el modelo optimizador y para el

modelo actual, se obtuvieron los resultados económicos para los 67 productos. Éstos se pueden clasificar en dos

categorías:

1. Costos de inventario esperados para los productos que se penalizaron por presentar ruptura de inventario.

Se registró un total de 38 productos penalizados en el modelo actual. El modelo optimizador no presentó

ninguna ruptura.

2. Costos de inventario para los productos no penalizados. Al obtener los costos totales de ambos sistemas

(actual y propuesto) se calcularon los ahorros que se podrían tener de implementar los niveles del modelo

optimizador. Se obtuvo un total de 29 productos no penalizados en ninguno de los dos modelos.

Figura 9. Comparación de los costos totales del almacén para el sistema actual y para el sistema

propuesto por el modelo matemático 5 (optimizador) para un producto dado.

010,00020,00030,00040,00050,000

En

ero

Feb

rero

Mar

zo

Ab

ril

May

o

Jun

io

Juli

o

Ag

ost

o

Sep

tiem

bre

Oct

ub

re

Nov

iem

bre

Dic

iem

bre

Presu

pu

est

o m

en

sua

l

Actual

Optimizador

49

Se consideró necesario realizar la división de los resultados, dado que no sería adecuado comparar los costos del

sistema propuesto contra el actual para los productos que están penalizados. Esto se debe porque al estar penalizados los productos del sistema actual, contemplan costos muy elevados que en la realidad no son tangibles en el sistema

contable actual y de haber realizado la comparación contra el sistema propuesto parecería que se ahorraron

cantidades muy grandes y en realidad lo único que se consiguió es evitar la ruptura de inventario. Fue necesario

incluir la penalización en los modelos de simulación, debido a que se necesita “castigar” a los sistemas que presenten

ruptura de inventario porque los productos que se encuentran en el almacén son indispensables para el correcto

funcionamiento de la empresa vidriera y se debe satisfacer la demanda de ellos en cada momento.

1. Costos de inventario esperados para los productos con penalización en el sistema actual. Los resultados

económicos obtenidos por el optimizador para este tipo de productos se dieron a la empresa mediante

intervalos de confianza al 95%. Por razones de confidencialidad no se pueden mostrar los montos

económicos para los 38 productos penalizados.

2. Ahorros del sistema propuesto contra el sistema actual para los productos que no tuvieron penalización. Los ahorros potenciales para los productos que no tuvieron penalización van desde el 1% hasta el 91% de

mejora en los costos totales del inventario sobre el sistema actual. Estos porcentajes de ahorro corresponden

a la cantidad de $2,452,730.37 pesos con tan sólo 29 productos del almacén.

Documentación

Se elaboró un reporte del proyecto que incluye el análisis de los resultados de los modelos matemáticos, la

funcionalidad del modelo optimizador y los resultados económicos obtenidos por éste. Dicho reporte se le entregó al

gerente de producción de la empresa vidriera, el cual se mostró satisfecho con los resultados obtenidos. No obstante,

antes de implementar los niveles de inventario propuestos se consultará con los clientes de los materiales dichos

cambios para tener su aprobación.

Comentarios finales Conclusiones

Con los resultados obtenidos por los modelos de simulación se concluye que la mejor alternativa de selección de

los niveles de inventario es el optimizador GAWizard (modelo matemático 5). Esto no parece ser una conclusión

sorprendente debido a que el optimizador busca diferentes valores para el tamaño de lote y punto de reorden, observa

sus resultados, y elige los mejores niveles en función al costo. De implementarse el modelo matemático del

optimizador ningún producto presentaría ruptura de inventario y se podrían tener ahorros por casi $2.5 millones de

pesos. Esta cantidad representaría un 40% de mejora sobre el sistema actual.

Por otra parte, se pudo observar que en los otros cuatro modelos matemáticos (del modelo 1 al 4) la mayoría de

los productos presentaron ruptura de inventario, por lo que se considera que al calcular los niveles de inventario con

esos modelos matemáticos se estaría omitiendo información importante para establecer un punto de reorden

adecuado. Si por alguna razón se deseara aplicar un modelo matemático de inventarios tradicional como lo puede ser el lote económico de pedido o el lote económico de pedido para la demanda normal, se deberían incrementar los

puntos de reorden para evitar rupturas de inventario.

Recomendaciones

Se sugiere realizar el análisis de los niveles de inventario al menos una vez por semestre, porque se sabe que los

datos (la demanda, los costos, entre otros) cambian a través del tiempo. Un paso importante para el cálculo de los

niveles de inventario para los productos restantes (95%) es realizar la clasificación ABC para obtener los tamaños de

lote y punto de reorden para los productos B por medio del modelo optimizador, y para los productos C elegir un

método de pedido visual (establecer una línea a cierto nivel del contenedor de las piezas para que al llegar a esa línea

se deberá realizar un pedido para llenar el contenedor, o establecer un sistemas de tarjetas con una funcionalidad

similar a la de la línea en el contenedor).

Referencias

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Springer. Alemania, 2010.

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Jiménez Sánchez, J.E. Estado del arte de los modelos matemáticos para la coordinación de inventarios en la cadena de suministro. Publicación

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Krajewski, L. y Ritzman, L. Administración de operaciones: estrategia y análisis, Pearson Educación, 2006.

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Law, A. M y Kelton, W. D., Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill International Editions, U.S.A., 2000.

Míguez Pérez, M. y Bastos Boubeta, A. I. Introducción a la gestión de stocks. El proceso de control, valoración y control de stocks. Ideas propias

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Muller, M. Fundamentos de administración de inventarios. Editorial Norma, 2004.

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Taha, H. A. Investigación de operaciones. Editorial Pearson Educación. 7ª. edición. México, 2004.

Winston, W. Investigación de operaciones, aplicaciones y algoritmos. Editorial Thomson. México, 2004.

Notas Bibliográficas El I.I. Juan Pablo Sánchez Olivos es egresado del Instituto Tecnológico de Orizaba. Actualmente es estudiante de la maestría en Ingeniería

Industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es simulación de procesos. Correo electrónico:

juanpablosanol@gmail.com El M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez estudió la licenciatura en Ingeniería Industrial en la Universidad de las Américas, Puebla,

México. Posteriormente, estudió la maestría en Ingeniería Industrial en Texas Tech University, U.S.A. Es profesor de la maestría en Ingeniería

Industrial del Instituto Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es simulación de procesos. Correo electrónico: t_moras@yahoo.com.mx El Dr. Guillermo Cortés Robles estudió la maestría en ingeniería industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba y el doctorado en

ingeniería industrial en el Instituto Nacional Politécnico de Toulouse. Es profesor de la maestría en Ingeniería Administrativa del Instituto

Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es TRIZ. Correo electrónico: gc_robles@hotmail.com

El Dr. Daniel Hernández estudió el doctorado en Planeación Estratégica y Dirección de Tecnología en la Universidad Popular Autónoma

del Estado de Puebla. Es profesor en el Instituto Tecnológico Estudios Superiores de Monterrey y Gerente de Planta de la empresa Sílices de

Veracruz. Correo electrónico: daniel.hernandez@sivesa.com.mx El M.C. José Efraín Ferrer Cruz es egresado del Instituto Tecnológico de Tuxtepec, Oaxaca. Realizó la maestría en Ciencias en Ingeniería

Industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba, Ver. También cuenta con una maestría en Electrónica por parte de la Universidad del Centro de

Veracruz, Ver., y una maestría en Educación por parte de la Universidad Interamericana para el Desarrollo, Oaxaca. Es profesor del Instituto

Tecnológico de Tuxtepec en las áreas de electrónica,simulación de procesos e investigación de nuevas tecnologías. Correo electrónico:

ferrerpeee@yahoo.com.mx