ANLISIS DE CONSISTENCIA

El hidrlogo o especialista que desea desarrollar un estudio hidrolgico, debe buscar la informacin hidrometeorolgica de la cuenca en estudio, en las instituciones encargadas de su recopilacin (Senamhi), pero una vez que sta se ha obtenido, una de las interrogantes que se debe hacer es:

Es confiable la informacin disponible?

La respuesta a esta pregunta, se obtiene realizando un anlisis de consistencia de la informacin disponible, mediante criterios fsicos y mtodos estadsticos que permitan identificar, evaluar y eliminar los posibles errores sistemticos que han podido ocurrir, sea por causas naturales u ocasionados por la intervencin de la mano del hombre.La no homogeneidad e inconsistencia, son los causales del cambio a que estn expuestas las informaciones hidrolgicas, por lo cual su estudio, es de mucha importancia para determinar los errores sistemticos que puedan afectarlas.

Inconsistencia es sinnimo de error sistemtico y se presenta como saltos y tendencias, y no homogeneidad es definido como los cambios de datos vrgenes con el tiempo.

La no homogeneidad en una serie de tiempo hidrolgica, se debe a factores humanos (tala indiscriminada de una cuenca, construccin de estructuras hidrulicas, etc.) o a factores naturales de gran significancia, como los desastres naturales (inundaciones, derrumbes, terremotos, huracanes, etc.)

Esta inconsistencia y no homogeneidad se pone de manifiesto con la presencia de saltos y/o tendencias en las series hidrolgicas (las cuales se muestran en las figuras ), afectando las caractersticas estadsticas de dichas series, tales como la media, desviacin estndar y correlacin serial.

Estacion Chamis: precipitacion (mm)Aforador Ronquillo: nivel del agua (m)13:4511:00Cuando se tienen datos de precipitacin y escorrenta, se comparan los diagramas, los cuales deben ser similares en su comportamiento.

La interpretacin de estas comparaciones, se efecta conjuntamente con el anlisis doble masa.

Ejemplo N 1:

Dada la serie de caudales promedios de la estacin del ro Bebedero, que se muestra en la tabla 8.1, elaborar el hidrograma.Caudales promedios anuales en m3/s del ro Bebedero, perodo 1954-1993.

Solucin:Graficando los pares de valores se obtiene la figura 8.4, en la cual, en el eje de la abscisas se coloca el tiempo en aos, y en el eje de ordenadas el caudal en m3/s.Realizando el anlisis visual de la serie histrica, se observa que partir del ao 1979 se produce un salto, esto se explica fsicamente ya que en ese ao existe un trasvase al ro Bebedero, al entrar operar el proyecto hidroelctrico Arenal-Tempisque.

2.ANLISIS DOBLE MASA

Este anlisis se utiliza para tener una cierta confiabilidad en la informacin, as como tambin, para analizar la consistencia en relacionado a errores, que pueden producirse durante la obtencin de los mismos, y no para una correccin a partir de la recta doble masa

El diagrama doble masa se obtiene ploteando en el eje de las abscisas los acumulados, por ejemplo, de los promedios de los volmenes anuales en millones de m3(MM), de todas las estaciones de la cuenca y, en el eje de las ordenadas los acumulados de los volmenes anuales, en millones de m3, de cada una de las estaciones en estudio, como se muestra en la figura 8.5.Figura 8.5 Anlisis doble masa para determinar la estacin base

De estos doble masas se selecciona como la estacin ms confiable, la que presenta el menor nmero de quiebres, en el ejemplo de la figura 8.5, corresponde a la estacin C, la cual se usa como estacin base para el nuevo diagrama doble masa, es decir, se vuelve a construir el diagrama de doble masa colocando en el eje de las abscisas la estacin base y en el de las ordenadas la estacin en estudio, como se muestra en la figura 8.6.Figura 8.6 Anlisis doble masa para obtener los perodos de estudio (en este caso n1, n2, n3)

El anlisis doble masa propiamente dicho, consiste en conocer mediante los quiebres que se presentan en los diagramas, las causas de los fenmenos naturales, o si estos han sido ocasionados por errores sistemticos.

En este ltimo caso, permite determinar el rango de los periodos dudosos y confiables para cada estacin en estudio, la cual se deber corregir utilizando ciertos criterios estadsticos. Para el caso de la figura 8.6, el anlisis de doble masa, permite obtener los perodos, n1, n2, n3, que deben estudiarse, con el anlisis estadstico.

Anlisis de Saltos

1. Consistencia de la MediaEl anlisis estadstico consiste en probar, mediante la prueba t (prueba de hiptesis), si los valores medios de las submuestras, son estadsticamente iguales o diferentes con una probabilidad del 95% o con 5% de nivel de significacin, de la siguiente manera:Clculo de la media y de la desviacin estndar para las submuestras, segn:

Clculo del (tc) calculado segn:

Clculo del t tabular tt:El valor crtico de t se obtiene de la tabla t de Student (Ver tabla), con una probabilidad al 95%, con un nivel de significacin del 5%, es decir con /2 = 0.025 y con grados de libertad y = n1 + n2 - 2.

2. Consistencia de la Desviacin Estndar

El anlisis estadstico consiste en probar, mediante la prueba F, si los valores de las desviaciones estndar de las submuestras son estadsticamente iguales o diferentes, con un 95% de probabilidad o con un 5% de nivel de significacin, de la siguiente forma:Clculo de las varianzas de ambos perodos:

c) Clculo del F tabular (valor crtico de F Ft), se obtiene de las tablas F (Ver tabla) para una probabilidad del 95%, es decir, con un nivel de significacin = 0.05 y grados de libertad:donde:G.L.N = granos de libertad del numeradorG.L.D = grados de libertad del denominador

Correccin de los datos

En los casos en que los parmetros media y desviacin estndar de las submuestras de las series de tiempo, resultan estadsticamente iguales, la informacin original no se corrige, por ser consistente con 95% de probabilidad, aun cuando en el doble masa se observe pequeos quiebres. En caso contrario, se corrigen los valores de las submuestras mediante las siguientes ecuaciones: La ecuacin (8.7), se utiliza cuando se deben corregir los valores de la submuestra de tamao n1, y la ecuacin (8.8), si se deben corregir la submuestra de tamao n2.

Anlisis de Tendencias

Antes de realizar el anlisis de tendencias, se realiza el anlisis de saltos y con la serie libre de saltos, se procede a analizar las tendencias en la media y en la desviacin estndar.Tendencia en la Media

La tendencia en la media Tm, puede ser expresada en forma general por la ecuacin polinomial:

Los parmetros de regresin de estas ecuaciones, pueden ser estimados por el mtodo de mnimos cuadrados, o por el mtodo de regresin lineal mltiple.

El clculo de la tendencia en la media, haciendo uso de la ecuacin (8.10), se realiza mediante el siguiente proceso:

Clculo de los parmetros de la ecuacin de simple regresin lineal.

Evaluacin de la tendencia Tm

Para averiguar si la tendencia es significativa, se analiza el coeficiente de regresin Bm o tambin el coeficiente de correlacin R.El anlisis de R segn el estadstico 1, es como sigue:

Clculo del estadstico t segn:donde:tc= valor del estadstico t calculado. n = nmero total de datosR = coeficiente de correlacin2. Clculo de tEl valor crtico de t, se obtiene de la tabla de t de Student (Ver tabla), con 95% de probabilidad o con un nivel de significacin del 5 %, es decir:

Correccin de la informacin:

La tendencia en la media se elimina haciendo uso de la ecuacin:

donde Tm es el promedio de la tendencia en la media o promedio de los valores corregidos de saltos.Tendencia en la desviacin estndar

La tendencia en la desviacin estndar, generalmente se presenta en los datos semanales o mensuales, no as en datos anuales. Por lo que, cuando se trabajan con datos anuales, no hay necesidad de realizar el anlisis de la tendencia en la desviacin estndar.

La tendencia en la desviacin estndar Ts, se expresa en forma general por la ecuacin polinomial. Para calcular y probar si la tendencia en la desviacin estndar es significativa, se sigue el siguiente proceso:

La informacin ya sin tendencia en la media Yt, se divide en perodos de datos anuales.Se calcula las desviaciones estndar para cada perodo de toda la informacin:Se calculan los parmetros de la ecuacin (8.19), a partir de las desviaciones estndar anuales y el tiempo t (en aos), utilizando las ecuaciones de la (8.11) a la (8.14), dadas para la tendencia en la media.Se realiza la evaluacin de Ts siguiendo el mismo proceso descrito para Tm.

Si en la prueba R resulta significativo, la tendencia en la desviacin estndar es significativa, por lo que se debe eliminar de la serie, aplicando la siguiente ecuacin:

donde: Zt = serie sin tendencia en la media ni en la desviacin estndar. Las dems variables han sido definidas en prrafos anteriores.

Para que el proceso preserve la media y la desviacin estndar constante. la ecuacin toma la forma:La serie Z es una serie homognea y consistente al 95% de probabilidad.

Ejemplo 1:

Con el registro de volmenes anuales de caudales en MM3, que se muestra en la tabla 8.2, se realiz el anlisis de doble masa, y se obtuvo un quiebre que permiti separar los datos en los perodos 1964-1985 y 1986-1999.Realizar el anlisis estadstico de saltos en la media y desviacin estndar para ambos perodos. Si obtiene diferencia significativa (al 95 % de probabilidad), realizar la correccin del primer perodo.

Tabla 8.2 Volmenes anuales de caudales en MM3

COMPLETACIN Y EXTENSIN DE DATOS HIDROMETEREOLGICOSLa completacin y extensin de series es uno de los problemas ms comunes de la hidrologa. El uso de una estacin cercana puede ser ventajoso para estos fines.

La extensin de series cortas es uno de los aspectos ms importantes, puesto que se modifican sustancialmente los estadsticos muestrales, acercndose a sus equivalentes poblacionales. A s por ejemplo, la media de una serie corta es totalmente diferente a la media de la serie larga y de la misma manera se pueden comparar todos los otros estadsticos de la serie histrica.

METODOLOGAS

Existen varios procedimientos para efectuar la completacin y extensin de datos hidrometereolgicos mediante la aplicacin de tcnicas estadsticas y matemticas. En todos los casos, debe analizarse profundamente la confiabilidad de la tcnica o metodologa utilizada por las siguientes razones:

a). El aumentar la longitud de un registro implica disminuir el error estndar en la estimacin de parmetros ya que si la serie tiende al infinito el estimador se aproxima ms al parmetro poblacional.

b). Si la tcnica es inadecuada, lejos de mejorar los estadsticos los empeora. En este caso es preferible quedarse con los registros cortos.

Los modelos de regresin simple y mltiple son muy usados en hidrologa para transferir informacin desde uno o varios puntos a otra estacin de registro con datos faltantes y/o de serie corta.

La completacin y la extensin de series histricas se realiza con datos consistentes es decir, despus de haber analizado la confiabilidad de las muestras. Dicho en otras palabras, para esta etapa de completacin y/o extensin, la muestra debe estar libre de saltos y de tendencias

TIPOS DE CORRELACINLas tcnicas que se utilizan para la completacin, en orden de prioridad son:Regresin lineal simple, entre stas:Correlacin cruzada entre dos o ms estaciones situacin (1) sin desfase ver figura Autocorreccin situacin ( 2) ver figuraRelleno con criterios prcticos.Para la extensin se usan modelos de: Regresin lineal simple y la regresin lineal mltiple

(1) Correlacin cruzada sin desfase (correlacin espacial)(2) Correlacin serial con desfase (correlacin temporal o autocorrelacin)(3) Correlacin cruzada con desfase (correlacin espacial y temporal) SERIE HISTRICA DE CAUDALES DE LAS CUENCAS A Y B

La correlacin cruzada o simplemente correlacin, es la relacin entre variables correspondientes a dos estaciones vecinas. Puede ser correlacin en el espacio, sin desfase en el tiempo.Est. A: Y1, Y2, Y3,., YnEst. B: X1, X2, X3,., XnEn este caso se correlacionan datos de diferentes estaciones, resultando n pares correlacionados.La correlacin cruzada tambin se establece con desface en el tiempo.Est. A: Y1, Y2, Y3,., YnEst. B: X1, X2, X3,., XnEn general, en ese caso resultan n-k pares correlacionados: donde k es el desfase en el tiempo. Esta correlacin implica una prdida de la informacin disponible en k datos.

Auto correlacin: Llamada tambin correlacin seriada o serial, consiste en correlacionar datos correspondientes al registro de una misma muestra hidrometereolgica, considerando un desfase k en el tiempo.

Est. A: Y1, Y2, Y3,., Yn

Est. B: Y1, Y2, Y3,., Yn (para k=1)

En esta relacin resulta n-k pares correlacionados, perdindose tambin parte de la informacin equivalente a k datos de la serie.

K=1 el coeficiente de auto correlacin es de 1 orden.

K=2 El coeficiente de auto correlacin es de 2 orden.

En ingeniera hidrolgica slo se puede encontrar autocorrelaciones hasta de segundo orden

ANLISIS DE REGRESIN Y CORRELACIN

Frecuentemente es necesario investigar posibles relaciones (de causalidad o de interdependenca) entre dos o ms variables, tal relacin, en caso de existir deber ser estudiada a travs de los anlisis estadsticos de regresin y correlacin

Estos anlisis constituyen una de las herramientas estadsticas ms antiguas usadas en hidrologa. Primeramente fueron utilizadas para estimar datos faltantes y ampliar el registro de corta extensin, de una cierta estacin climatolgica o hidromtrica, en base a la informacin disponible en las estaciones cercanas.

Hoy en da, sus aplicaciones incluyen adems, el estudio de las relaciones entre dos o ms variables hidrolgicas y la investigacin de la dependencia entre los eventos sucesivos de una serie cronolgica de datos hidrolgicos.

La diferencia entre regresin y correlacin es bastante clara. La regresin permite obtener la ecuacin matemtica que expresa la variable dependiente (y), cuando otra u otras variables, llamadas independientes (x), se suponen conocidas y por lo tanto, permite calcular valores de 'y' a partir de los de 'x'.

En cambio, por medio de la correlacin, se calcula el grado de dependencia o asociacin entre dos o ms variables, representado numricamente por el llamado Coeficiente de Correlacin.

Una grfica en la que se indican los valores muestrales dibujados sobre un plano xy, se denomina: Diagrama de Dispersin.

En base a tal diagrama se podr detectar si los valores siguen un modelo LINEAL o no NO LINEAL, es decir; si los puntos se aproximan a una lnea recta o a una curva, como se ilustra en la figura siguiente.

La ecuacin matemtica (regresin) de la relacin o modelo lineal entre dos series de valores, se representa por medio de un polinomio de grado uno, en cambio, una relacin no lineal se reproduce matemticamente mediante un polinomio de grado superior.

regresin lineal de dos variables: y = a0 + a1 xregresin lineal mltiple: y = a0 + a1 x1 + + an xn

El diagrama de dispersin, adems de ayudar a definir el modelo a utilizar (lineal o no lineal), permite detectar los valores (parejas de datos) que se apartan de la NUBE DE PUNTOS y que al ser eliminados del anlisis de regresin, mejoran el ajuste de la recta o curva, de manera que se eleva la correlacin entre las dos variables.

El nmero de puntos que se considera permisible eliminar, depende de muchos factores como son: forma de la nube de puntos, nmero de puntos o parejas, naturaleza de los datos, etc. sin embargo, se puede aceptar en una primera aproximacin que el 10% del nmero total de puntos se pueden eliminar para mejorar el ajuste.

Para evitar el juicio o criterio particular en el ajuste de un modelo de regresin a unos datos, es necesario obtener una definicin rgida de la recta o curva de mejor ajuste.

Al obtener la ecuacin de la recta de regresin por la tcnica de los mnimos cuadrados, se presentan tres casos, segn como se mida la distancia de cada punto a la recta.

Esto se logra a travs de la tcnica de los Mnimos Cuadrados, la cual indica que de todas las rectas o curvas que representan a una nube de puntos, la que tiene una suma mnima de los cuadrados de las distancias de cada punto a tal recta o curva, es la del mejor ajuste.

PRECIPITACION MENSUAL DE LA ESTACION PLUVIOMETRICA NIMA COLQUIAOENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIOAGOSTOSETIEMBREOCTUBRENOVIEMBREDICIEMBRE194581.90157.30215.101946247.90146.90284.7093.9032.6030.5032.7029.3093.8078.70141.10147.901947186.70200.20218.60101.7079.9031.0016.1045.10120.4077.1066.20123.601948290.10181.70170.00105.80165.0054.1033.9018.10100.80153.6081.1055.801949195.20138.40174.6090.1018.3046.4043.9028.4054.80133.4091.50107.401950278.60203.20185.0087.8020.1015.2018.8029.8042.7050.30143.10217.901951157.2084.60114.7025.9018.7024.5013.9014.4024.8044.4068.6058.801952207.40223.40194.7084.3028.3033.6019.7043.1097.7049.40119.80145.401953181.50272.00162.4090.1023.8029.4025.1034.4075.1082.90193.70148.701954198.10232.80167.6086.50106.8030.5020.9018.0042.6085.30113.40169.801955170.10214.70201.5071.0039.0022.7018.7015.4019.6059.3055.00103.501956131.70257.00173.10110.0044.2013.9023.6018.9037.4041.5023.0023.201957148.30195.20147.2059.3013.9013.9013.9037.5052.1058.8031.1092.401958101.20220.30181.5059.7033.7013.9017.1027.6045.60107.5076.40117.40195982.00286.80186.30249.4041.4051.7020.5036.5064.20139.2068.80201.801960113.20166.50122.70131.9024.5013.9013.9035.00111.80105.90100.6044.701961192.00316.00145.90156.4097.7027.4013.9013.9036.5056.50208.80119.001962172.60114.70181.9074.8036.9013.9013.9029.0033.8036.5056.30171.001963303.70166.20227.30190.3057.1015.4018.7023.3078.2068.20171.90123.801964128.80156.90230.2098.9060.1013.9013.0013.9051.0071.1092.5065.101965117.20240.70157.2053.7035.4015.4048.2048.4055.3079.6044.30150.301966263.70130.60154.0074.7050.4034.1013.9019.8060.00133.8086.40145.901967123.20251.90227.6053.5042.9025.9045.6041.4039.40133.8049.80120.401968135.30121.30129.0051.4058.4027.5016.5057.2037.10109.80118.60111.00196970.70144.00128.1067.603.701.200.005.4013.6076.0083.90193.501970186.3071.10131.1091.3015.800.000.900.4069.0073.7042.60145.401971120.70242.40179.4010.604.700.000.000.003.200.2041.1027.001972186.80192.60263.20104.5025.8012.5033.6031.0020.8051.1022.3082.60

PRECIPITACION MENSUAL DE LA ESTACION PLUVIOMETRICA JATUN SORATERAAOENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIOAGOSTOSETIEMBREOCTUBRENOVIEMBREDICIEMBRE19452851.782.31946111.849.610925.50.200020.418.438.542.8194766.674.479.833.512.32.60319.825.94.441.219481285453.724.540.290013.446.912.112.8194964.243.752.426.502.80.12.34.640.225.618.51950110.970.469.636.40000015.343.297195150.740.361.10000007.501.6195249.561.262.910.60000.117137.338.3195367109.647.135.4000018.324.555.641.5195479.2112.554.520.421.400.300.616.834.346.9195550.676.678.88.33.800009.911.428.5195631.210954.813.55.10001.6000.2195755.555.548.614.5000008.2027.4195831.275.655.200000012.515.97.2195910.3115.246.9232.1004.45.137.515.170196027.544.724.122.200009.5185.98.21961105.9129.158.25534.30001.37.2112.511.6196273.778.8149.725.80.6000.710.7210.246.2196312352.887.51.5000011.311.15435.4196425.844.68330.190000.78.627.36.1196526.61.5459.30006.33.615.35.237.31966103.427.347.922.52.90007.343.426.250.1196745.6214838.701.27.19.33.630.612.532.3196839.233.854.148.82.6000.419.624.624.119692139.847.126.300000.918.124.155.21970106.98.935.429.19.100021.8125.453.8197142.272.611627.4000006.61.242.9197263.5106.2144.813.800001.512.6048.2

PRECIPITACION MENSUAL DE LA ESTACION PLUVIOMETRICA BELLAVISTAAOENEROFEBREROMARZOABRILMAYOJUNIOJULIOAGOSTOSETIEMBREOCTUBRENOVIEMBREDICIEMBRE194559.7104.81621946219.1100.8213.754.86.93.80.3645.141.479.7871947136.8147.9158.170.129.811.40.312.14455.614.9841948249.9109.2110.55310023.55.10.331.895.629.530.81949128.689.5125.156.83.411.76.710.815.282.955.241.61950217.3140.3138.7761001.94.835.688.6190.81951102.883.1122.65.930004.220.81.19.61952100.5122.9126.126.60.8506.838.7877.479.21953133.8214.89673.75.501.5341.253.1112.285.31954157220.3110.145.247.237.107.538.471.897.61955102.6151.9156.422.213.6000025.228.160.8195665.8213.6110.632.216.101.509.55071957111.9111.998.934.20006.50.222.1458.6195865.8150.1111.45.600006.529.636.720.1195926225.495.750.210.46114.816.177.835.1139.6196058.791.452.348.72.500024.540.717.622.11961207.8251.9117.2111.171.60008.920.1220.3218.71962146.6156.2291.155.67.6007.826.910.325.994.31963240.3106.8172.89.4111.3027.927.6109.173.7196455.589.3161.457.920.60006.726.553.522.8196557.912.290.319.300013.615.230.710.582.11966204.962.195.648.314.700017.585.262107.3196796226.3163.224.89.34.21718.410.461.735.968.7196881.866.9103.612.2277.61.39.91040.456.954.2196947.4859560.800.10.26.136.633.177.686.41970163.127.528.361.74204.71.361.73318.5158.2197189.3147.3174.643.6500105.315.1144.31972129.3112.520083.800.10.40.4016.9044.8

CORRECCIN DE ERROR SISTEMATICOS

Cuando trabajemos con valores anuales de precipitacin y con el fin de corregir esos valores para obtener la media real en una determinada estacin podremos emplear el mtodo de las dobles acumulaciones con el fin de eliminar errores sistemticos. En el caso de existir un error sistemtico al dibujar el grfico de dobles acumulaciones correspondientes a dos estaciones, y detectados tanto la estacin con el error sistemtico como el tramo afectado por ese error, se proceder segn se describe a continuacin.

COMPLETADO DE DATOS EN ESTACIONES

Del mismo modo que se indic para corregir datos, el completado solo debe emplearse con datos anuales de precipitacin. Si se conoce un dato bi , del ao i se obtiene el dato correspondiente ai como:

VERIFICACIN DE LA HOMOGENEIDADToda obtencin de datos adolece de errores de diversa ndole:

- Errores por la modificacin del medio circundante- Errores debido al aparato- Errores de medicin y observacin- Errores de transmisinErrores de archivo y publicacin

El mtodo empleado para detectar dichas anomalas son las curvas de doble masa o doble acumulacin

*