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Analisis de controladores para un Robot de 4GDLMiyagusuku Rıos, Renato - Villalta Ramirez, Oscar Alfonso y Paredes Merino, Jorge Salvador

Abstract

El presente trabajo muestra el diseno de controladores para un brazo robotico de 4 grados de libertad. En el presente trabajose desarrolla un analisis de 3 tipos de controladores, controladores clasicos tipo PID, controladores por Torque Computado loscuales son optimizados empleando Algoritmos Geneticos y finalemente un controlador Neuro Fuzzy.

Index Terms

Controladores, PID, Torque Computado, Algoritmos Geneticos, Redes neuronales y Fuzzy

CONTENTS

I Introduccion 1

II Modelo del Robot 1

III Controladores 2III-A PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2III-B Control por Torque Computado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2III-C Control por Torque Computado empleando AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2III-D Neuro Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

IV Simulacion 3

V Resultados 3V-A Control por Torque Computado con sintonizacion manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4V-B Control por Torque Computado usando AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4V-C Control usando Neuro Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

VI Observaciones 5

VII Conclusiones 6

VIII Recomendaciones 6

References 7

Appendix A: Planos 7

Appendix B: Pruebas adicionales y Sintonizacion usando AG 8B-A P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9B-B PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9B-C PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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I. INTRODUCCION

EL desarrollo tecnologico de los robots y su creciente usoen trabajos que requieren de gran precision y velocidad

requieren han fomentado el rapido desarrollo de algoritmosde control que puedan satisfacer dichas condiciones, por talrazon el diseno de robots toma como herramientas tecnicasde Inteligencia Artificial tales como Algoritmos Geneticos,Redes neuronales (Neural networks) y logica difusa paracomplementer los algoritmos ya existenetes.

II. MODELO DEL ROBOT

Para realizar el control se ha escogido un robot de 4GDL: 3rotacionales y 1 prismatico. Para todas las medidas y calculosse uso el Sistema Internacional de Unidades.

Fig. 1. Robot de 4GDL

Para el diseno del robot se realizo un modelo utilizandoCAD1 el cual puede observarse en la figura 2. Todas las piezasfueron disenandas en Solidworks y los planos pueden verse enel Apendice A.

El calculo de la dinamica se realizo usando el metodo deLagrange-Euler, el cual es ampliamente discutido en [2] y [3],con la ayuda del software Maple13 y Matlab2009 para obtenerla dinamica del robot que puede ser expresada de la siguienteforma:

τ = Hq + C +G (1)

Donde H es la matriz de inercia, C la matriz de Coriolis yG la matriz de Gravedad.

Los parametros fisicos del robot como distancias centros demasa e inercias fueron escogidos segun los datos obtenidosen el programa SolidWorks y replanteados para un manejomas sencillo. Tambien es posible utilizar distintos toolbox dematlab como el Robotics Toolbox [6] o metodos iterativos parasu calculo como los descritos en [5]. Se realizo un modelo enSimulink para la simulacion de la dinamica de nuestro robot,la cual se puede aprecira en la figura 4

1Computer Asisted Design

Fig. 2. Diseno del Robot

Fig. 3. Posicion Inicial y Ejes en cada junta

Fig. 4. Dinamica del manipulador de 4GDL

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III. CONTROLADORES

Como fue mencionado anteriormente se realizara el analisisde 3 algoritmos de control un PID, un Control por TorqueComputado y un control con NeuroFuzzy.

A. PID

Los controladores PID (Proporcional Integral Derivativo)son controladores que tienen una altta performance en sistemaslineales o en sistemas no lineales en un determinado punto deoperacion, inicialmente se planteo el uso de controladores deeste tipo dada su simplicidad.

Fig. 5. Controlador PID

Un controlador PID es un mecanismo de control por real-imentacion que corrige el error entre la salida deseada y laobtenida por la planta, su ley de control es la siguiente:

τ(t) = Kp ∗ e(t) +Ki ∗∫ t

e(t)dt+Kdde(t)

dt(2)

Existen diversos metodos para el calculo de las gananciasKp, Ki, Kd. Puede usarse un diseno mediante LGR (Lu-gar geometrico de las raices) descrito en [4] o metodos desintonizacion como Ziegler-Nichols, Gallier-Otto o GrahamLathrop.

B. Control por Torque Computado

El controlador por torque computado con linealizacionutiliza un controlador PID o PD el cual es multimplicadopor la matriz de Inercia adicionalmente se estiman los torquesgenerados por la Gravedad y Coriolis los cuales son agregados,esto alivia bastante al controlador PID, la ley de control serıala siguiente:

τcontrol = H ∗ u1(t) +G+ C (3)

De 1 y 3 tenemos:

Hq + C +G = H ∗ u(t) +G+ C (4)

u(t) = q (5)

El esquema del controlador serıa el mostrado en la figura6.

Fig. 6. Torque Computado

C. Control por Torque Computado empleando AG2 Para una sintonizacion PID usando algoritmos geneticos

los valores de Kp, Ki y Kd van variando aleatoriamenteencontrando en cada generacion el mejor valor y reduciendoel rango de busqueda. Para realizar la busqueda se basan enprincipios evolutivos como la supervivencia del mas apto, lareproduccion sexual y la mutacion, estos principios fueronplantedos por John Henry Holland en 1975 [1].

D. Neuro Fuzzy

La logica difusa (Fuzzy Logic) es una herramienta de lainteligencia artificial que puede ser empleada para el controlde robots. Para la optimizacion de ls reglas fuzzy puedenemplearse diversas tecnicas, entre las que estan la optimizacionmediante algoritmos geneticos y el uso de redes neuronales, ennuestro caso emplearemos la ultima, haciendo uso del toolboxde fuzzy de matlab[7].

El esquema del controlador neuro fuzzy es el mostrado enla figura 7.

Fig. 7. Neuro Fuzzy

Para el entranamiento con el anfis de matlab fue enecesariotomar data, esta data fue obtenida de las simulaciones, perotambien puede obtenerse de data real de manipuladores insta-lados en la fabricas o laboratorios, por lo que su fidelidad esmucho mayor que los otros metodos. Parte de la data empleadapara el entrenamiento se muestra en la figura

2AG: Algoritmos Geneticos

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Una vez obtenida la data se elige el tipo de entrenamientoy se procede a entrenar, este proceso puede resultar algo largoy depende mucho del tipo de entrenamiento y el numero deneuronas elegidas. La evolucion del entrenamiento es mostradaen la figura 8.

Fig. 8. Entrenamiento del controlador

Finalmente es conveniete realizar una verificacion dl con-trolador, esto puede realizarse desde el mismo toolbox con laopcion Test FIS. La figura 9 nos muestra dicha validacion,en color azul se encunetra la data ingresada y en rojo la dataobtenida mediante el controlador.

Fig. 9. Verificacion de la data

IV. SIMULACION

Para la simulacion se desarrollaron modelos en simulinkpara los diversos controladores. La figura 10 nos muestra eldiagrama del controlador PID, la figura 11 el diagrama del

controlador por torque computado, el diagrama del controladorneuro fuzzy es similar pero el bloque PID es reemplazado porel controlador Neuro Fuzzy mostrado en la figura 12.

Fig. 10. Control PID

Fig. 11. Control por Torque Computado

Fig. 12. Controlador Neuro Fuzzy

V. RESULTADOS

El controlador PID mostro resultado muy pobres, al realizarcambios en las referencias o trayectorias complejas la nolinealidad de la planta era muy grande y el controlador fallabano lograndose un control adecuado.

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En el control por torque compuado se obtubieron resultadosmucho mejores, se podia realizar distintas trayectorias sinmayores problemas con excepcion de la sintonizacion del PID,la cual era algo tediosa, esto se soluciono mediante el uso dealgoritmos geneticos.

El control empleando Neuro Fuzzy tambien obtuvo buenosresultados y el costo computacional para su entrenamiento fuemenor a la sintonizacion genetica.

Para el analisis de los controladores se uso la siguientetrayectoria: X = xr+0.5*sin(u/2)Y = yr+0.5*sin(u/2)Z = zr+0.5*u/10Siendo [xr, yr, zr] el vector de la posicion inicial del robotcon un q respectivo de [0 0.5 0 0 0.1]

A. Control por Torque Computado con sintonizacion manualSe realizo una sintonizacion manual, obteniendose los sigu-

intes valores para las ganancias: Kp = diag([100 100 100 10]);Ki = diag([1 1 0.01 0.01]); Kd = diag([0.1 0.1 0.5 0.1]);

Los resultados de la simulacion pueden observarse en lafigura 13. Ademas las figura 14 muestra los errores y la figura15 los torques de control necesarios.

Fig. 13. Resultados de la sintonizacion manual

B. Control por Torque Computado usando AGUsando algoritmos geneticos se obtuvieron las siquientes

ganancias: Kp = diag([138 78 79.1 15.4]); Ki = diag([12.21.79 0.309 0.496]); Kd = diag([0.269 0.499 0.979 0.119]);

La evolucion de los valores usando algoritmos geneticos seve en el Anexo B y los resultados de las simulaciones en lasfiguras 16,17 y 18

C. Control usando Neuro FuzzyDespus de realizado el entrenamiento usando el tool anfis

de matlab se obtuvieron las reglas para los controladores fuzzytal como se observan en la figura 19.

Fig. 14. Errores usando sintonizacion manual

Fig. 15. Torques usando sintonizacion manual

Fig. 16. Resultados de la sintonizacion genetica

Fig. 17. Errores usando sintonizacion genetica

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Fig. 18. Torques usando sintonizacion genetica

Fig. 19. Rglas Fuzzy

Los resultados de las simulaciones en las figuras 20,21 y22

Fig. 20. Resultados del Controlador Neuro Fuzzy

VI. OBSERVACIONES

• Una forma para verificar la dinamica del robot es quitarla actuacion de torques, es decir la caıda por efecto dela gravedad. Si se observa dicha caida del robot es un

Fig. 21. Errores usndo el Controlador Neuro Fuzzy

Fig. 22. Torques usando el Controlador Neuro Fuzzy

buen indicador del adecuado modelamiento dinamico,sin embargo a veces es necesario escalar las masas paraobtenerse valores calculables en la matriz de Coriolis. Deno disminuir las masas el lazo del Simulink no convergeraa ningun resultado y no simulara lo requerido, esto debidoa que la matriz de Coriolis calcula respecto de valoresgrandes de error de velocidad, y si la dinamica no poseeviscosidad ni parametros de friccion la velocidad no seve de ninguna forma restringida o limitada.

• Se observa que al realizar trayectorias circulares alrededordel eje 0 de la base, o cualquier trayectoria que exija queel sistema 1 rote a cerca de 180o, se dan saltos bruscos enla posicion y en la busqueda de la cinematica inversa. Seestima que esto se deba al error calculado para encontrarese angulo usando la cinematica inversa. Dado que alacercarse al valor de 180 el programa calculara segun elerror que existe y la cinematica inversa los valores develocidad angular que necesita cada junta, al acercarse a180 la cinematica puede calcular los valores del anguloo posicion de Z1 como (180o) o (- 180o) con lo cual (yestando muy cerca de 180o) el valor del error bien puedeser cercano a 0 (180o - 180o) o bien a 360 (180o - (-180o)), lo que darıa al robot una velocidad en sentidocontrario proporcional al error encontrado. Para corregiresto se puede hacer una modificacion en el programa demodo que tome el resultado con el menor error, es decir,

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si se encuentra en 179o y la cinematica inversa calcula180o y -180o, luego los posibles valores de error son 1o

y 359o, con lo cual decidira que trayectoria y que nuevasvelocidades tomar. Al escoger el menor error se aseguraque siga la trayectoria mas corta hacia el siguiente punto.Para visualizar esto probar una trayectoria circular en elprograma.

• Para algunos casos las sintonizaciones usando algoritmosgeneticos se han encontrado resultados menos satisfac-torios a comparacion con la sintonizacion a mano. Laexplicacion viene dada por los valores iniciales de ganan-cia con los cuales se inicia la iteracion, la cantidad degeneraciones y la cantidad de poblacion que combinadosmejoran o empeoran los resultados de mınimo error. Estasolicitud de mejora demanda mas tiempo y procesamientopor lo que no se presentan esos resultados.

• Para la sintonizacion mediante algoritmos geneticos delcontrol PD se debe tener en cuenta la sensibilidad larespuesta del sistema con respecto a la ganancia Kd. Losalgoritmos geneticos prueban en un rango muy grandecon un salto muy alto entre uno y otro valor, pero si semodifica el paso serıa muy pequeno para los valores deKp. Para mejorar esta situacion se agrega una gananciade 1/100 a la salida del Kd, con lo cual puede obtenersevalores en el rango de Kp y los algoritmos geneticosencuentran mas facilmente el conjunto.

VII. CONCLUSIONES

• El sistema no puede ser controlado de forma sencilla dadoque la dinamica no lo permite, principalmente porquela matriz de inercias se encuentra bastante acoplada,resultando no ser de diagonal dominante, lo cual nosindica que el efecto de un eslabon afecta a los otros.Si se intenta controlar uno de los eslabones este traeraefectos negativos o positivos en sus eslabones aledanos,pero tambien en los otros dependiendo de cual se hayamovido. No pudiendo eliminar el acoplamiento de loseslabones 2 a 2 con ningun metodo sencillo conocido sepaso a agregar la matriz de compensacion de inercias “H”.Otro factor que impide el control simple de lazo cerradoes la influencia de las masas y las inercias en la matriz deCoriolis, dado que estas permitiran y/o ayudaran al ma-nipulador a caer mas rapidamente sin presencia de torquesde control, generando grandes variaciones de posicion encorto tiempo, determinando ası altas velocidades y uncomportamiento erratico del manipulador. La estimacionde la matriz de Gravedad se realizo para aliviar el controlPID de la vibracion generada producto de los cambiosde configuracion de la estructura y el constante cambioen los torques ejercidos por la masa de los propioseslabones. El sistema controlado queda aliviado de toda ladinamica del acoplada de los eslabones y sus principalespropiedades fısicas normales, con lo cual el torque decontrol queda directamente proporcional a los valores deaceleraciones angulares en cada junta (a excepcion de laultima prismatica, en cuyo caso seria aceleracion lineal)y pudiendose variar ya los valores de Kp, Ki y Kd y delas trayectorias con mayor libertad.

• Para el diseno se debe tener en cuenta los materialesusados para cada eslabon de modo que la relacion deuno anterior con respecto al siguiente debe ser siempremayor, asegurando que no se sobrecarguen las juntaspara manipulacion de torques. Colocando las masas enla relacion adecuada se alivian tambien algunos valoresde inercia de uno respecto a otro y el efecto que esteproduce.

• Conforme se fue cambiando las trayectorias se sintoniz-aba con geneticos y fue mejorando el seguimiento. Lasgraficas de error en cada caso van mejorando el gradode precision del robot, haciendo que la ruta seguida seacasi perfecta. El hecho de usar controles P PD PI y PIDafecta en la rapidez con que se establece la trayectoriay las zonas en que lo hace. Cuando se le agrega Kdel seguimiento se hace mas suave. Al agregarse Ki elseguimiento llega a corregir los mınimos errores en lamayor parte de la trayectoria. La ganancia integral leagrega un pequeno impulso que le permite corregir latrayectoria, la ganancia derivativa ralentiza la llegadaque con la ganancia proporcional obtuvo, con lo quele permite corregir mas rapidamente o en todo caso noextremar el error.

• Se ha visto que el mejor resultado se ha conseguido us-ando Control PID sintonizado con algoritmos geneticos.

• Se ha verificado que los resultados se obtienen massatisfactorios con un buen entrenamiento en algoritmosgeneticos; el error se suaviza en casi todo el recorrido dela trayectoria, y vibra o varia en posiciones extremas; lostorques se aminoran, permitiendo un ahorro de energıaen los actuadores; en general la trayectoria es seguida deforma eficaz.

• El controladorusando Neuro Fuzzy probo ser efectivoy dado que puede ser entrenado con parametros realesofrece una mayor fidelidad. Adicionalmente el tiempo deentrenamiento resulto ser aun menor que el necesario paralos algoritmos geneticos, lo cual es una gran ventaja parasistemas complejos como los robots de mas de 3GDLcomo el analizado.

• En base al analisis realizado concluimos que el uso dealgoritmos de inteligencia artificial como los algoritmosgeneticos, las redes neuronales y la logica difusa mejoranotablemente el desempeno de los controladores y su usoes ampliamente recomendado.

VIII. RECOMENDACIONES

• Se recomienda usar sintonizacion de valores de gananciausando algoritmos geneticos para tal efecto. Este procesoha sido verificado a lo largo del informe y ofrece buenosresultados, con opcion a mejora con cada iteracion.

• Tener en cuenta la relacion masa longitud de cadaelemento-eslabon para no exigir demasiado torque alos eslabones base. Con esto tambien se modifican lasmatrices de inercia y de Coriolis, por lo tanto hay quetener cuidado con los cambios que se piensen realizar.

• En el caso de este robot, la matriz de Coriolis crecedemasiado al no tener entrada de torque por la velocidad

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de caıda como ya se explico en un apartado anterior, poreste motivo, si se requiere simular la caıda sin torquesde actuacion, se recomienda dividir las masas entre diez,exceptuando el ultimo efector, dado que de quitarle lamasa el peso sera insuficiente para generar algun efecto.

• Usar software adecuado para verificar que los datos yparametros obtenidos sean de confianza. Algunas buenasreferencias son: MatLab, Simulink, Maple, Solidworks,entre otros.

• Trabajar en un Sistema de Unidades homogeneo en todocalculo. Para nuestro caso, por ejemplo, se uso el SI pararealizar todo calculo: [m, kg.m2, rad, kg.m/s2].

REFERENCES

[1] John H. Holland, “Adaptation in Natural and Artificial Systems”, 1975[2] Barrientos, Penin, Balaguer, Aracil. “Fundamentos de Robotica”, Ed

McGraw-Hill, 1977[3] Craig, John J, “Robotica”, Ed. Pearson Education, 2006[4] Katsuhiko Ogata, “Ingenierıa de Control Moderna”, Pearson, 2003, 4ta

edicion[5] Ahmed A. Shabana, “Computational Dynamics”, Editorial John Wiley

& Sons.[6] Mathworks, “Robotics Toolbox de Matlab”[7] Mathworks, “Fuzzy Logic Toolbox de Matlab”

APPENDIX APLANOS

Fig. 23. Planos de la Base del robot. Eslabon 0

Fig. 24. Planos del eslabon con junta rotacional. Eslabon 1

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Fig. 25. Planos del brazo de alcance, junta rotacional. Eslabon 2

Fig. 26. Planos del efector con junta rotacional. Eslabon 3

APPENDIX BPRUEBAS ADICIONALES Y SINTONIZACION USANDO AG

Se realizaron pruebas adicionales con controladoresP(Proporcional), PI(Proporcional Integral) y PD (ProporcionalDerivativo), cuyas leyes de control son:

τ = Kp ∗ e(t) (6)

τ = Kp ∗ e(t) +Ki

∫ t

e(t) (7)

τ = Kp ∗ e(t) +Kdde(t)

dt(8)

Fig. 27. Planos del efector final extendible. Eslabon 4

Fig. 28. Estructura del Solido

Fig. 29. Vistas del Robot

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Manualmente los errores salıan relativamente grandes, ydemandaba mucho esfuerzo probar varios valores, por lo cualse ha considerado necesario usar un mecanismo que permitasintonizar los valores de ganancia con los cuales los resultadossean los requeridos. En este caso se han usado algoritmosgeneticos, con una poblacion de 25 y 25 a 100 generacionessegun fuese necesario.

A. P

Usando algoritmos geneticos para optimizar el P (25 gen-eraciones)y probado para la trayectoria 1 se obtuvo la gananciaKp = diag([87.9035 81.7222 64.2208 48.4494]) con un erroren el algoritmo genetico de 1.266

La evolucion de los valores usando algoritmos geneticos seve en la figura 30 y los resultados de las simulaciones en lasfiguras 31,32 y 33

Para la trayectoria 2 se obtuvo la ganancia Kp =diag([108.1198 54.190 56.9472 31.3429]) con un error en elalgoritmo genetico de 1.205.

Los resultados de las simulaciones en las figuras 34,35 y36

Fig. 30. P: Resultados de la sintonizacion genetica

B. PI

Usando algoritmos geneticos para optimizar el PI (25generaciones)y probado para la trayectoria 1 se obtuvo laganancia Kp = diag([103.6215 66.4162 82.4860 48.5827]) yKi = diag([0.9781 0.7864 0.4957 0.1949]) con un error en elalgoritmo genetico de 1.1053.

La evolucion de los valores usando algoritmos geneticos seve en la figura 37 y los resultados de las simulaciones en lasfiguras 38,39 y 40

Para la trayectoria 2 se obtuvo la ganancia Kp =diag([65.2224 50.9227 50.0 30.1211]) Ki = diag([0.99130.6589 0.8772 0.6102]) con un error en el algoritmo geneticode 0.635.

Los resultados de las simulaciones en las figuras 41,42 y43

C. PD

Usando algoritmos geneticos para optimizar el PD (25generaciones)y probado para la trayectoria 1 se obtuvo la

Fig. 31. P: Seguimiento de la Trayectoria 1

Fig. 32. P: Errores usando sintonizacion genetica 1

Fig. 33. P: Torques usando sintonizacion genetica 1

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Fig. 34. P: Seguimiento de la Trayectoria 2

Fig. 35. P: Errores usando sintonizacion genetica 2

ganancia Kp = diag([98.2534 99.2525 93.4563 10.0120]) Kd =diag([0.1171 0.1055 0.4502 0.1557]) El error en el algoritmogenetico de 1.4021

Los resultados de las simulaciones en las figuras 44,45 y46

Para la trayectoria 2 se obtuvo la ganancia Kp= diag([103.8043 96.3893 98.3076 10.9613]) y Kd =diag([2.0316 5.7324 4.2997 7.2180]) con un error en elalgoritmo genetico de 0.635.

Los resultados de las simulaciones en las figuras 47,48 y49

Fig. 36. P: Torques usando sintonizacion genetica 2

Fig. 37. PI: Resultados de la sintonizacion genetica

Fig. 38. PI: Seguimiento de la Trayectoria 1

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Fig. 39. PI: Errores usando sintonizacion genetica 1

Fig. 40. PI: Torques usando sintonizacion genetica 1

Fig. 41. PI: Seguimiento de la Trayectoria 2

Fig. 42. PI: Errores usando sintonizacion genetica 2

Fig. 43. PI: Torques usando sintonizacion genetica 2

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Fig. 44. PD: Seguimiento de la Trayectoria 1

Fig. 45. PD: Errores usando sintonizacion genetica 1

Fig. 46. PD: Torques usando sintonizacion genetica 1

Fig. 47. PD: Seguimiento de la Trayectoria 2

Fig. 48. PD: Errores usando sintonizacion genetica 2

Fig. 49. PD: Torques usando sintonizacion genetica 2