ANALISIS DE DEFLECCIONES Y ESTABILIDAD EN VIGAS COLUMNA.

1. INTRODUCCION Con este ensayo se pretende estudiar de una manera más fiel y consecuente al modelo matemático

planteado y muy conocido, de las llamadas vigas columna, que en su geometría no lineal se les

distingue como la elástica, cuando son sometidas a cargas axiales iguales o superiores a las críticas.

Para este efecto se parte utilizando la teoría de perturbaciones con un método llamado Linsted-

Poincare que permite hallar soluciones periódicas uniformemente validas de la ecuación.

𝑑2𝑢

𝑑𝑡2+ 𝑢 + 𝜖𝐹 (𝑢,

𝑑𝑢

𝑑𝑡) = 0 , (1)

2. DEFLECCIONES

Figura 1

Viga Columna Empotrada-Libre: Para una viga con un extremo libre sometido a una carga axial

mayor a su carga crítica, y el otro extremo empotrado, en un estado de grandes deflexiones, la

ecuación diferencial no lineal se puede escribir así:

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2+ 𝑘2 sin 𝜃 = 0 , (2)

Donde 𝑘2 = 𝑃𝐸𝐼⁄ , con las condiciones 𝜃(0) = 𝛼, 𝑑𝜃

𝑑𝑠⁄ (0) = 0 . Expandiendo la función seno en

sus primeros cuatro términos en serie de Taylor, y haciendo 𝜃 = 𝛼𝑢 ; 𝑡 = 𝑘𝑠 , se obtiene:

𝑑2𝑢

𝑑𝑡2+ 𝑢 − 𝜖𝑢3 +

3

10𝜖2𝑢5 −

3

70𝜖3𝑢7 = 0 , (3)

Donde 𝑢(0) = 1 , ��(0) = 0 , 𝑦 𝜖 = 𝛼2

6⁄ .

Al buscar una solución periódica usando el método de Linsted-Poincare, en la ecuación (3) se hace

𝛾 = 𝜔𝑡 = 𝜔𝑘𝑠, y siendo �� =𝑑𝑢

𝑑𝛾 , �� =

𝑑2𝑢

𝑑𝛾2 , queda:

𝜔2�� + 𝑢 − 𝜖𝑢3 +3

10𝜖2𝑢5 −

3

70𝜖3𝑢7 = 0 , (4)

Cuya solución (eliminando al reemplazar cada término en (4) los múltiplos potencias de є mayores

a 4) aproximada será:

𝑢 = 𝐴 cos 𝛾 + 𝐵 cos 3𝛾 + 𝐶 cos 5𝛾 + 𝐷 cos 7𝛾 , (5)

Con

𝜔 = 1 −3

8𝜖 +

3

256𝜖2 −

2997

286720𝜖3 , (6)

𝐴 = 1 +1

32𝜖 +

61

5120𝜖2 +

5858534

96976925𝜖3 ,

𝐵 = −1

32𝜖 −

15

1024𝜖2 −

4473

573440𝜖3 ,

𝐶 =7

2560𝜖2 +

93

49152𝜖3 ,

𝐷 = −61

458752𝜖3 ,

Para la deflexión de la elástica, observando el sistema de coordenadas X, Y de la figura (1), la solución

en términos de la variable y s, será:

𝑦 =𝜔𝛼

𝑘{𝐴 sin 𝛾 + 3𝐵 sin 3𝛾 + 5𝐶 sin 5𝛾 + 7𝐷 sin 7𝛾} , (7)

𝑥 =𝜔2𝛼2

2{𝐶1𝛾 + 𝐶2 sin 2𝛾 + 𝐶3 sin 4𝛾 + 𝐶4 sin 6𝛾 + 𝐶5 sin 8𝛾 + 𝐶6 sin 10𝛾 + 𝐶7 sin 12𝛾 +

𝐶8 sin 14𝛾} + 𝑠 cos 𝛼 , (8)

𝐶1 =1

2𝜔𝑘𝐴2 +

27

6𝜔𝑘𝐵2 +

125

10𝜔𝑘𝐶2 +

343

14𝜔𝑘𝐷2 ,

𝐶2 =3

2𝜔𝑘𝐴𝐵 +

15

2𝜔𝑘𝐵𝐶 +

35

2𝜔𝑘𝐶𝐷 −

1

4𝜔𝑘𝐴2 ,

𝐶3 = −3

4𝜔𝑘𝐴𝐵 +

5

4𝜔𝑘𝐴𝐶 +

21

4𝜔𝑘𝐵𝐷 ,

𝐶4 = −3

4𝜔𝑘𝐵2 −

5

6𝜔𝑘𝐴𝐶 +

7

6𝜔𝑘𝐴𝐷 ,

𝐶5 = −7

8𝜔𝑘𝐴𝐷 +

15

8𝜔𝑘𝐵𝐶 ,

𝐶6 = −21

10𝜔𝑘𝐵𝐷 −

25

20𝜔𝑘𝐶2 ,

𝐶7 = −35

12𝜔𝑘𝐶𝐷 ,

𝐶8 = −49

24𝜔𝑘𝐷2 ,

Ahora, de manera intuitiva se puede observar (figura 2), que en la deflectada de la viga elástica, el

ángulo deberá realizar un recorrido de 4L (Periodo 𝑇𝑠 de la solución de en términos de s), para

retornar a su valor inicial.

Figura 2

Si el valor de la frecuencia del sistema es 𝑘𝜔, es decir:

𝑘𝜔 = (2𝜋

𝑇𝑠) =

2𝜋

4𝐿 , (9)

Obsérvese que 𝑇𝑠 = 2 ∗ 𝑘𝑙𝑒 ∗ 𝐿 , donde 𝑘𝑙𝑒 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟)

Se obtiene

𝑃 =𝑃𝑐𝑟

𝜔2 , (10)

Donde

𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸𝐼4𝐿2 , (11)⁄

Que es el valor correspondiente a la carga P, cuando =1, o lo mismo, la primera aproximación del

problema no lineal, si se acepta el enfoque de solución periódica de la teoría de perturbaciones, sin

hacer cambios de variable como cambiar la longitud de arco s, por la variable x.

Ahora hacemos la siguiente sustitución en las ecuaciones (7) y (8)

𝛾 = 𝜔𝑘𝑠 =𝜋

2𝐿𝑠 , (12)

Con s en factores de L (𝑠 = 𝑛𝐿 , 0 ≤ 𝑛 ≤ 1), y tenemos la solución periódica aproximada de (2).

Se puede comprobar fácilmente que la solución dada por (7) y (8) sirve para otros casos con

condiciones de borde donde se guarda una regularidad entre los puntos de inflexión en términos de

la longitud de la viga como son:

Viga simplemente apoyada: Ahora, de manera intuitiva se puede observar (figura 3), que en la

deflectada de la viga elástica, el ángulo deberá realizar un recorrido de 2L (Periodo 𝑇𝑠 de la solución

de en términos de s), para retornar a su valor inicial. Y la ecuación para el argumento se hace:

𝛾 = 𝜔𝑘𝑠 =𝜋

𝐿𝑠 , (13)

𝑘𝑙𝑒 = 1

Figura 3

Viga empotrada-empotrada: Se observa (figura 4), que en la deflectada de la viga elástica, el ángulo

deberá realizar un recorrido de longitud L (Periodo 𝑇𝑠 de la solución de en términos de s), para

retornar a su valor inicial .

𝛾 = 𝜔𝑘𝑠 =2𝜋

𝐿𝑠 , (14)

𝑘𝑙𝑒 =1

2

Figura 4

3. ESTABILIDAD 3.1-Viga columna con momentos en sus extremos (sin deriva): Para este caso tenemos una viga

columna sometida a momentos M1 y M2, restituidores que ejercen dos resortes de diferente rigidez

ubicados en sus extremos cuando se le aplica una carga axial P como se observa en la Figura 5.

Siendo la magnitud de cada momento proporcional al ángulo de giro de la viga en sus extremos.

Figura 5

𝑀1 = 𝑘1

1 , 𝑘1

= 𝑓1

𝐸𝐼

𝐿 , (15)

𝑀2 = −𝑘2

2 , 𝑘2

= 𝑓2

𝐸𝐼

𝐿 , (16)

𝑄1 = (𝑀2 − 𝑀1

𝐿) = −𝑄2

Las 𝑘��, 𝑖 = 1, 2. Son la rigidez al giro del resorte, y las𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, 2. Los factores de rigidez del

resorte.

𝑖, 𝑖 = 1, 2. Son los ángulos de giro de la viga en los extremos 1 y 2. L: longitud de la viga. E:

módulo de elasticidad. I: Momento de inercia.

La ecuación de equilibrio quedara:

𝑑𝜃

𝑑𝑠= −𝑘2𝑦 − {

𝑓22+ 𝑓11

𝐿2 } 𝑥 +𝑓11

𝐿 , (17)

Con 𝑘2 = 𝑃𝐸𝐼⁄ ,

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2= −𝑘2 sin 𝜃1 − {

𝑓22+ 𝑓11

𝐿2 } cos 𝜃2 , (18)

Ahora para estudiar la estabilidad se busca encontrar la longitud efectiva de la viga columna en

cuestión, calculando los puntos de momento cero en la columna (valor de s donde la ecuación (17)

se hace cero), y la distancia entre ellos nos dará la longitud buscada. Como el interés de este punto

es la longitud efectiva para unos valores fijos de rigidez de estos resortes, valor que como la carga

critica no varía para diferentes valores de (valor inicial del problema de la carga axial y que cambia

con el valor de P).

También es de notar, que si para las mismas condiciones de rigidez en los resortes de los apoyos la

ubicación de los puntos de inflexión de la viga no varía con el aumento de la carga P (aumento de

), Para resolver la ecuación (18), se puede utilizar el primer término en serie de Taylor para las

funciones sin 𝜃 , cos 𝜃. Ya que en la teoría de perturbaciones, esta es la parte inicial no perturbada

de la ecuación.

sin 𝜃1 ≈ 𝜃1 , (19)

cos 𝜃2 ≈ 1 , (20)

Si se resuelve la parte de (ec.18) correspondiente a (ec.19) con las consideraciones de

transformación correspondientes en (ec.2) para una solución periódica (Nótese que se aplica el

principio de superposición para este problema que en un comienzo es no lineal, y donde a la parte

correspondiente a la carga axial en (18) se le asignan las condiciones de la viga simplemente apoyada

(ver figura (3), y ecuación (13)) ).

𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2,

Para encontrar una solución particular al término de la derecha correspondiente ha 𝜃2 , se asume

valiéndonos del orden del operador principal que es 𝑑2𝜃

𝑑𝑠2 que este término constante debió partir de

una función del tipo 𝜃2 = 𝐴𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐶,

Se obtendrá una solución de la forma:

𝜃 = 𝛼 cos (𝜋

𝐿𝑠) − {

𝑓22+ 𝑓11

2𝐿2 } 𝑠2 + {𝑓11

𝐿} 𝑠 + 𝐶 , (21)

De las condiciones

𝜃(𝑠 = 0) = 1

, nos da que: 𝐶 = 1

−

Y de 𝜃(𝑠 = 𝐿) = 2

, resulta la ecuación:

{1 +1

2𝑓1} 1

− {1 +1

2𝑓2} 2

= 2 , (22)

Si ahora se lleva la relación dada por (19) y la ecuación (21) a la siguiente relación

𝑑𝑦

𝑑𝑠= sin 𝜃 , (23)

𝑦(𝑠) = 𝛼 (𝐿

𝜋) sin (

𝜋

𝐿𝑠) − (

𝑓22+ 𝑓11

6𝐿2 ) 𝑠3 + {𝑓11

2𝐿} 𝑠2 + (1

− )𝑠 + 𝐶2 ,

E integramos con las condiciones 𝑦(𝑠 = 0) = 0 , y, 𝑦(𝑠 = 𝐿) = 0 (no hay deriva) para hallar una

solución aproximada ha 𝑦(𝑠), nos da como resultado la ecuación:

{1 +1

3𝑓1} 1

− {𝑓2

6} 2

= , (24)

De las cuales despejamos:

1

=𝛼(6 + 𝑓2)

(6 + 2𝑓1 +12

𝑓1𝑓2 + 2𝑓2) , (25)

2

=−𝛼 (6 + 𝑓1 + 3𝑓2 +

12

𝑓1𝑓2)

(6 + 5𝑓2 + 2𝑓1 +32

𝑓1𝑓2 +14

𝑓1(𝑓2)2 + (𝑓2)2) , (26)

Llevando las ecuaciones (25) y (26) a la ecuación (21), derivando respecto a s, e igualando a cero, se

halla la ecuación f(s) para resolver con un método como el de Newton para hallar los ceros

correspondientes a los puntos de inflexión de la viga columna, que para este caso serán dos (𝑆1, 𝑆2)

en el intervalo 0 ≤𝑠

𝐿≤ 1.

𝑓(𝑠) = −𝜋 sin𝜋

𝐿𝑠 − [

(6 + 𝑓2)𝑓1

(6 + 2𝑓1 +12 𝑓1𝑓2 + 2𝑓2)

]𝑠

𝐿

+ [(6 + 𝑓1 + 3𝑓2 +

12 𝑓1𝑓2) 𝑓2

(6 + 5𝑓2 + 2𝑓1 +32 𝑓1𝑓2 +

14 𝑓1(𝑓2)2 + (𝑓2)2)

]𝑠

𝐿

+ [(6 + 𝑓2)𝑓1

(6 + 2𝑓1 +12

𝑓1𝑓2 + 2𝑓2)] , (27)

En la definición de la rigidez al giro de los resortes en los extremos de la viga columna (𝑘�� = 𝑓𝑖𝐸𝐼

𝐿),

el factor 𝑓𝑖 de rigidez es un porcentaje del valor 𝐸𝐼𝐶

𝐿𝐶⁄ de la columna. Asumiendo que el resorte

representa la rigidez aportada por las vigas que llegan al nudo donde se localizan los extremos de la

columna, podemos relacionar los valores de las 𝑓𝑖 con la rigidez relativa de los nomogramas de

Jackson y Moreland del código ACI 318 con la siguiente expresión, donde se ha tomado un valor

para 𝐸𝐼𝐶

𝐿𝐶⁄ = 1 , y, se le impuso la condición para evitar la división por cero, cuando 𝑓𝑖 se hace

cero (articulación), entonces 𝑖

= 50

𝑖

=50

1 + 24𝑓𝑖 , (𝑖 = 1, 2) (28)

𝑓1 𝑓2 𝑆2 𝑆1 𝑘𝑙𝑒 1

2

𝑘𝑙𝑒 (𝐴𝐶𝐼)

0 0 1 0 1 50 50 1

1 1 0.9319 0.0680 0.86 2 2 0.85

1000000 1000000 0.7803 0.2196 0.56 2E-06 2E-06 0.5

0 1000000 0.7471 0 0.75 50 2E-06 0.7

0.2 10 0.8012 0.0151 0.79 8.62 0.21 0.76

NOTA: Los resultados encontrados con este modelo en la teoría de perturbaciones son mayores a

los del ACI, como para el caso de la viga empotrada-empotrada. Pero se puede responder que esta

forma perfecta de deflexión que hace la longitud efectiva igual al 0.5L en el caso empotrado-

empotrado, surge cuando se impone el modelo de la forma de onda lisa con periodo L sin tener en

cuenta como prioridad el cambio forzado de rigidez en los extremos de la viga dado por los resortes.

3.2-Viga columna con momentos en sus extremos (con deriva):

Figura 6

𝑀1 = 𝑘1

1 , 𝑘1

= 𝑓1

𝐸𝐼

𝐿 , (29)

𝑀2 = 𝑘2

2 , 𝑘2

= 𝑓2

𝐸𝐼

𝐿 , (30)

Las 𝑘��, 𝑖 = 1, 2. Son la rigidez al giro del resorte, y las𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, 2. Los factores de rigidez del

resorte.

𝑖, 𝑖 = 1, 2. Son los ángulos de giro de la viga en los extremos 1 y 2. L: longitud de la columna. E:

módulo de elasticidad. I: Momento de inercia.

Para entender el modelo hay que tener en cuenta lo siguiente

a.) En la viga columna la rigidez en el nudo 2 es mayor a la del nudo 1. Por lo que en el equilibrio el

momento 𝑃∆ lo toma siempre el nudo 2. (𝑓1 ≤ 𝑓2 ↔ |𝑀1| < |𝑀2|).

b.) Como en el caso sin deriva se modela la columna como la superposición de dos casos. El primero

es la viga columna con deriva (ver sección 2 “DEFLECCIONES” solución de la ecuación (2)) donde

para un ángulo dado, se hallan las condiciones del equilibrio, y dependiendo de las condiciones

de borde se cambia el periodo de la solución (o el 𝑘𝑙𝑒 (𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎). Ver ecuaciones

9, 12, 13 y 14). Para la columna articulada-empotrada 𝑘𝑙𝑒 toma un valor de dos (2), pero el extremo

empotrado no permite giro y se necesita un modelo de elástica básico que imite el caso de los

extremos articulados donde la deriva implica el giro de ambos extremos. Siguiendo los nomogramas

de Jackson y Moreland (ACI) para pórticos con deriva se aprecia un valor de 𝑘𝑙𝑒 = 8 para 𝜓𝐴,𝐵 ≈

95. ( 𝑘𝑙𝑒 = 8 ↔ 𝑇𝑠 = 16. Ecuación (9)).

El segundo caso superpuesto es el efecto de los resortes en los extremos que actúan contra el giro

trayendo momentos y cortantes al equilibrio del modelo.

Nota: es de suma importancia entender que el efecto 𝑃∆ ya está incluido en la ecuación solución

del equilibrio con solo carga axial, por lo que al evaluar momentos respecto a los extremos 1, y 2

para hallar las reacciones 𝑄1,2 (ver ecuaciones 31 y 32) no se toma el momento de 𝑃

𝑄1 = − (𝑀2 + 𝑀1

𝐿) = 𝑄2 , (31)

𝑀 = 𝑃𝑦 − 𝑀1 − 𝑄1𝑥 , (32)

Llevando (31) a (32), la ecuación de equilibrio quedara:

𝑑𝜃

𝑑𝑠= −𝑘2𝑦 − (

𝑓22+ 𝑓11

𝐿2 ) 𝑥 +𝑓11

𝐿 , (33)

Con 𝑘2 = 𝑃𝐸𝐼⁄ , donde 𝑃 es la carga del problema de la ecuación (2) con 𝑇𝑠 = 16 ↔ 𝛾 =

𝜋

8𝐿𝑠 en el

mismo problema para un valor de 𝛼. (Ver figura 7)

Para resolver este problema usando la superposición de los dos casos

𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2,

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2= −(𝑘2) sin 𝜃1 − (

𝑓22+ 𝑓11

𝐿2 ) cos 𝜃2 , (34)

Trayendo las ecuaciones (19) y (20) a (34), se obtiene la ecuación a resolver.

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2 + 𝑘2𝜃1 = − {

𝑓22+ 𝑓11

𝐿2 } , (35)

La cual aunque es similar a una ecuación diferencial lineal, no se resuelve igual a como generalmente

se hace en la literatura de las E.D., esto equivale a mencionar que para encontrar una solución

particular al término de la derecha, se asume, valiéndonos del orden del operador principal que es 𝑑2𝜃

𝑑𝑠2 que este término constante debió partir de una función del tipo 𝜃2 = 𝐴𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐶, y así buscar

cumplir con la ecuación (33)

Figura 7

𝜃 = 𝛼 cos (𝜋

8𝐿𝑠) − (

𝑓22+ 𝑓11

2𝐿2 ) 𝑠2 + {𝑓11

𝐿} 𝑠 + 𝐶 , (36)

De las condiciones iniciales del modelo obtenemos el empalme de los dos casos mencionados en el

numeral (b.)

𝜃(𝑠 = 0) = 1

, nos da que: 𝐶 = 1

−

Y de 𝜃(𝑠 = 𝐿) = 2

, resulta la ecuación:

{1 +1

2𝑓1} 1

− {1 +1

2𝑓2} 2

= (1 − 𝑢), (37)

𝑢 = cos 𝜋𝑘𝑙𝑒 ⁄ , 𝑘𝑙𝑒 = 8

Si ahora se lleva la ecuación (19) y (36) a la siguiente relación

𝑑𝑦

𝑑𝑠= sin 𝜃 , (23)

E integramos

𝑦(𝑠) = 𝛼 (8𝐿

𝜋) sin (

𝜋

8𝐿𝑠) − (

𝑓22+ 𝑓11

6𝐿2 ) 𝑠3 + {𝑓11

2𝐿} 𝑠2 + (1

− ) + 𝐶2 , (38)

0

1E-14

2E-14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

VIGA-COLUMNA CON Kle=8, PPcr, 0

Con las condiciones 𝑦(𝑠 = 0) = 0 , da que 𝐶2 = 0

Y con la condición, 𝑦(𝑠 = 𝐿) = 0 = ∆ para intenta reflejar la anulación de la deriva que está

involucrada en el modelo de 𝜃1, por el efecto de los momentos en los extremos involucrados en𝜃2

, nos da como resultado la ecuación:

{1 +1

3𝑓1} 1

− {𝑓2

6} 2

= (1 −8𝑣

𝜋) , (39)

𝑣 = sin 𝜋𝑘𝑙𝑒

⁄ , 𝑘𝑙𝑒 = 8

De las cuales despejamos:

1

= 𝛼

[(6 ∗ (1 −8𝜋

𝑣) ∗ (1 +12

𝑓2)) − 𝑓2(1 − 𝑢)]

(6 + 2𝑓1 + 2𝑓2 +12 𝑓1𝑓2)

, (40)

2

= 𝛼 (((1 −

8𝜋

𝑣) ∗ (6 + 3𝑓1)

(6 + 2𝑓1 + 2𝑓2 +12

𝑓1𝑓2)) + (

𝑓2(𝑢 − 1) ∗ (1 +12

𝑓1)

(6 + 2𝑓1 + 2𝑓2 +12

𝑓1𝑓2) ∗ (1 +12

𝑓2)))

+ 𝛼 (𝑢 − 1

1 +12 𝑓2

), (41)

Llevando las ecuaciones (40) y (41) a la ecuación (36), derivando respecto a s, e igualando a cero, se

halla la ecuación f(s) para resolver con un método como el de Newton para hallar los ceros

correspondientes a los puntos de inflexión de la viga columna, que para este caso serán dos (𝑆1, 𝑆2)

en el intervalo 0 ≤𝑠

𝐿≤ 𝑘𝑙𝑒 = 8, 0 ≤ 𝑓𝑖 ≤ 180.

𝑖

= (180 − 𝑓𝑖

1 + 0.45526𝑓𝑖) ∗ (

95

180) , (𝑖 = 1, 2) (42)

𝑓1 𝑓2 𝑆2 𝑆1 𝑘𝑙𝑒 1

2

𝑘𝑙𝑒 (𝐴𝐶𝐼)

0 0 8 0 8 100 100 8

1 1 6.9079 0.1102 6.8 65 65 6.3

4.5821 4.5821 5.1271 0.2295 4.9 30 30 5

32.096 32.096 2.5236 0.3042 2.21 5 5 2.2

48.5856 48.5856 2.1230 0.3070 1.82 3 3 1.82

95.6218 95.6218 1.6181 0.3044 1.31 1 1 1.3

180 180 1.2957 0.2953 1 0 0 1

0 180 1.1119 0 1.1119 95 0 2

4.5821 32.0960 2.3184 0.2218 2.0966 30 5 3

0.5768 16.7310 2.7145 0.0715 2.6430 10 75 4

NOTA: Se observa que los resultados para valores de 𝑓1 = 𝑓2 son muy cercanos a los observados en

los nomogramas. Pero cuando 𝑓1 < 𝑓2 , las diferencias resaltan entre el modelo y los nomogramas.

También es de notar que para ajustar la escala vertical del nomograma se debe recurrir a lo que ya

se conoce como es el caso de la columna libre – empotrada 𝑓1 = 0, 𝑓2 = 180 donde 𝑘 = 2 para

realizar los desplazamientos necesarios en la grafica.

Figura 8. Distribución de momentos para el caso empotrado-empotrado.

3.3-Otras formas de equilibrio para la Viga columna con momentos en sus extremos (con

deriva):

Figura 9

𝑀1 = 𝑘1

1 , 𝑘1

= 𝑓1

𝐸𝐼

𝐿 , (43)

Las 𝑘��, 𝑖 = 1. Es la rigidez al giro del resorte, y 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1. El factor de rigidez del resorte.

𝑖, 𝑖 = 1. Es el ángulo de giro de la viga en el extremo 1. L: longitud de la columna. E: módulo de

elasticidad. I: Momento de inercia.

Para entender el modelo hay que tener en cuenta lo siguiente

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

MOMENTO

a.) Aunque no aparece representado en el extremo 2 el momento como la reacción de un resorte al

giro, el valor de este lo toma la función 𝜃 que será solución para el caso donde solo hay la carga

axial.

b.) Este nuevo caso de equilibrio parte de la viga-columna simplemente apoyada con carga axial,

hasta derivar (a medida que aumenta el grado de fijación o empotramiento en el extremo 2) en el

caso de la viga simplemente apoyada o libre en un extremo y empotrada en el otro, pero la forma

de la elástica en el equilibrio ya no se da como en la figura (1), si no como en la figura (9) suponiendo

que el ángulo en el extremo 2 es cero.

c.) Del equilibrio:

Nota: De nuevo, es de suma importancia entender que el efecto 𝑃∆ ya está incluido en la ecuación

solución del equilibrio con solo carga axial para 𝜃1, por lo que al evaluar momentos respecto a los

extremos 1, y 2 para hallar las reacciones 𝑄1,2 (ver ecuaciones 44 y 45) no se toma el momento de

𝑃.

𝑄1 = − (𝑀1

𝐿) = 𝑄2 , (44)

𝑀 = 𝑃𝑦 − 𝑀1 − 𝑄1𝑥 , (45)

Llevando (44) a (45), la ecuación de equilibrio quedara:

𝑑𝜃

𝑑𝑠= −𝑘2𝑦 − (

𝑓11

𝐿2 ) 𝑥 +𝑓11

𝐿 , (46)

Con 𝑘2 = 𝑃𝐸𝐼⁄ , donde 𝑃 es la carga del problema de la ecuación (2) con 𝑇𝑠 = 2𝑁 ↔ 𝛾 =

𝜋

𝑁𝐿𝑠 en

el mismo problema para un valor de 𝛼. (Ver figura 10)

Figura 10. Elástica para otro caso v-c. Libre en 1 empotrada en 2

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y1= (N/)*seno(s/NL), N= 2/3

Figura 11. . Elástica para la misma solución, en el caso v-c. Empotrada en 1 libre en 2. Se muestra como parte de un ejercicio de modelación. Ya que solo confrontando con datos reales se podría observar cual es más adecuado o certero, entre este y el dela figura 10.

Para resolver este problema usando la superposición de los dos casos

𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2, (47)

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2= −(𝑘2) sin 𝜃1 − (

𝑓11

𝐿2 ) cos 𝜃2 , (48)

Trayendo las ecuaciones (19) y (20) a (48), se obtiene la ecuación a resolver.

𝑑2𝜃

𝑑𝑠2 + 𝑘2𝜃1 = − {

𝑓11

𝐿2 } , (49)

Al resolver la ecuación homogénea en (49) se introduce una ecuación lineal para N, que refleje el

grado de fijación o empotramiento en el extremo 2 (ya se mencionó en el numeral b. de esta

sección.). Se propone la ecuación

𝑁 = 1 − {(1

3) ∗ (

𝑓2

𝐴)}, (50)

Se observa de (50) que cuando 𝑓2 es cero, N se hace 1 que corresponde al caso de la viga columna

simplemente apoyada en sus extremos y sin deriva (𝜃 = ¨ cos(𝜋𝑠𝐿⁄ )), y cuando 𝑓2 = 𝐴, N= 2/3,

que corresponde a la viga columna simplemente apoyada (o libre)- empotrada con deriva entre sus

extremos (𝜃 = ¨ cos(3𝜋𝑠2𝐿⁄ )) y el ángulo en el extremo 2 es cero.

La constante A se toma como el valor que toma 𝑓1 cuando N= 2/3 y la longitud efectiva de la viga

columna tomada como la distancia entre puntos de inflexión tiende a un mínimo cercano a 0.5 como

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y= y1 + y2

el caso empotrado-empotrado (Aunque se podría calibrar dicho factor de acuerdo a otro resultado

observado).

𝜃 = 𝛼 cos (𝜋

𝑁𝐿𝑠) − (

𝑓11

2𝐿2 ) 𝑠2 + {𝑓11

𝐿} 𝑠 + 𝐶 , (51)

𝜃(𝑠 = 0) = 1

, nos da que: 𝐶 = 1

−

Si en 𝜃(𝑠 = 𝐿) = 𝛼𝑢 con 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

𝑁),

Nota: digamos que se conserva el ángulo del modelo de la viga-columna con carga axial 𝜃(𝑠 = 𝐿) =

𝜃1(𝑠 = 𝐿).

1

= (𝛼

1 + (12 𝑓1)

), (52)

En la figura (10) se observa la forma de la elástica para A=1000, Pero aunque toma una forma similar

a la que se le reconoce en libros, el valor de la longitud efectiva o distancia entre puntos de inflexión

no es 𝑘 = 1 como en los libros, sino un valor cercano a 0.55.

𝐴 = 1000 (53)

Figura 12. Elástica caso empotrado en 1-empotrado en 2

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y= y1 + y2

Figura 13. Distribución de momentos caso empotrado en 1-empotrado en 2.

Para evaluar , se hace la siguiente igualdad en 𝑠 = 𝐿 , donde 𝑦 = , 𝑥 𝐿.

𝑑𝜃

𝑑𝑠= −

𝑀

𝐸𝐼= −

𝑃

𝐸𝐼𝑦 − (

𝑓11

𝐿2 ) 𝑥 +𝑓11

𝐿

𝑑𝜃

𝑑𝑠(𝐿) = − (

𝛼𝜋𝑣

𝑁𝐿)

𝑃∆=𝜋2𝐸𝐼

𝑁2𝐿2∆

∆=𝛼𝑁𝑣

𝜋𝐿 (53)

d.) En la viga columna la rigidez en el nudo 2 es mayor a la del nudo 1. Por lo que en el equilibrio el

momento 𝑃∆ lo toma siempre el nudo 2. (𝑓1 ≤ 𝑓2 ↔ |𝑀1| < |𝑀2|) Razón por la cual, los momentos

en el caso empotrado-empotrado no son similares en ambos extremos, luego en la elástica,

aparecen dos puntos de inflexión con más tendencia a ubicarse equidistantes cerca al apoyo 1, y no

uno solo centrado, esto varia la longitud efectiva que resulta menor a la del caso de equilibrio

hipotético donde 𝑘 = 1.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

MOMENTO