Presentacin de PowerPoint

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANAMODULO DE ANALISIS ESTRUCTURALDOCENTEMs.C. ELKIN BETTIN FIGUEROA

MONTERA2013

ALGEBRA MATRICIAL PARA EL ANALISIS ESTRUCTURALMatriz: Es un arreglo rectangular de nmeros en m renglones y n columnas. Los nmeros, llamados elementos, se ordenan entre parntesis rectangulares, por ejemplo la matriz A se escribe como:

ALGEBRA MATRICIAL PARA EL ANALISIS ESTRUCTURALMatriz Rengln: La matriz consiste solo en elementos en un solo rengln. Aqu solo se usa un subndice para denotar un elemento ya que el subndice de rengln siempre se sobreentiende que es igual a 1,esto es a1 = a11 , a2= a12.

Matriz Columna: La matriz consiste solo en elementos en una sola columna. Aqu solo se usa un subndice para denotar un elemento ya que el subndice de columna siempre se sobreentiende que es igual a 1 , esto es a1 = a11 , a2 = a21.

ALGEBRA MATRICIAL PARA EL ANALISIS ESTRUCTURALMatriz Cuadrada: Cuando el numero de renglones en una matriz es igual al nmero de columnas.

Matriz Diagonal: Es cuando todos los elementos de una matriz cuadrada son ceros, con excepcin de los elementos de la diagonal principal.

Matriz Unitaria o Matriz Identidad: Es una matriz diagonal en donde todos sus elementos de la diagonal son iguales a 1.

ALGEBRA MATRICIAL PARA EL ANALISIS ESTRUCTURALMatriz Nula: Cuando todos los elementos de una matriz son ceros.

Matriz Simtrica: Una matriz cuadrada es simtrica si aij = aji.

OPERACIONES CON MATRICESIgualdad de Matrices: Se dice que las matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y cada uno de sus elementos correspondientes son iguales, esto es, aij = bij.

Adicin y sustraccin de matrices: Dos matrices pueden sumarse o restarse entre si cuando son del mismo orden.

OPERACIONES CON MATRICESMultiplicacin por escalar: Cuando una matriz se multiplica por un escalar, todos sus elementos se multiplican por el escalar.

Multiplicacin Matricial: Dos matrices pueden multiplicarse si el numero de columnas de la matriz A es igual al numero de renglones de la matriz B.

OPERACIONES CON MATRICESMultiplicacin Matricial: Dos matrices pueden multiplicarse si el numero de columnas de la matriz A es igual al numero de renglones de la matriz B.

REGLAS DE LA MULTIPLICACION DE MATRICESEl producto de las matrices no es conmutativo.AB diferente BA

La ley distributiva es validaA(B + C) = AB + AC

La ley Asociativa es validaA(BC) = (AB)C

MATRIZ TRANSPUESTAUna matriz puede ser transpuesta, intercambiando sus renglones por sus columnas.

INVERSA DE UNA MATRIZConsidere el conjunto siguiente de tres ecuaciones lineales.

Se puede escribir matricialmente como:

INVERSA DE UNA MATRIZLuego la expresin queda:

INVERSA DE UNA MATRIZLuego la expresin queda:

La matriz cuadrada C es la matriz adjunta. La matriz A-1 se obtiene de A reemplazando primero cada elemento aij por su cofactor |Cij|, y luego transponiendo la matriz resultante, lo que da la matriz adjunta y finalmente multiplicando la matriz adjunta por 1/ |A|.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS LOCALESEnerga de deformacin: Material elsticoAplicable el principio de superposicin

ENERGIA DE DEFORMACION POR FUERZA AXIALEnerga de deformacin U = Fx2 * L/(2AE)La derivada de la energa con respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en la direccin de la carga. U/ Fx = Fx * L/(AE) = x

ENERGIA DE DEFORMACION POR FLEXIONEnerga de deformacin U = Mz2 *dx/(2EIZ)La derivada de la energa con respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en la direccin de la carga. U/ MZ = Mz * L/(EIZ) = z

ENERGIA DE DEFORMACION POR TORSIONEnerga de deformacin U = MX2 *L/(2GIx)La derivada de la energa con respecto a la carga es igual a la deformacin de la barra en la direccin de la carga. U/ MX = MX * L/(GIx) =

ENERGIA DE DEFORMACION POR CORTANTEEnerga de deformacin U = f V2 *dx/(2GA)Para secciones rectangulares f = 1.2EXPRESION GENERAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION

MATRIZ DE RIGIDEZ Desde un punto de vista operativo relaciona los desplazamientos incgnita de una estructura con las fuerzas exteriores conocidas, lo cual permite encontrar las reacciones, esfuerzos internos y tensiones en cualquier punto de la estructura.Sistema de coordenadas locales del elementoGrados de libertad

ANALISIS DEL DESPLAZAMIENTO AXIAL U1 F1 = (AE/L) * U1 (positivo)

F7 = (AE/L) * U1 (negativo)

ANALISIS DEL DESPLAZAMIENTO NORMAL U2 f2 = (12EIZ/L3) * U2 f6 = (6EIZ/L2) * U2 f8 = - (12EIZ/L3) * U2 f12 = (6EIZ/L2) * U2

ANALISIS DEL DESPLAZAMIENTO NORMAL U3f3 = (12EIy/L3) * U3 f5 = -(6EIy/L2) * U3 f9 = - (12EIy/L3) * U3 f11 =- (6EIy/L2) * U3

ANALISIS DE LA TORSION U4f4 = (GIX/L) * U4 f10 = -(GIX/L) * U4

ANALISIS DE LA FLEXION SOBRE EL EJE Y , U5f3 = -(6EIy/L2) * U5 f5 = (4EIy/L) * U5 f9 = (6EIy/L2) * U5 f11 = (2EIy/L) * U5

ANALISIS DE LA FLEXION SOBRE EL EJE Z , U6f2 = (6EIZ/L2) * U6 f6 = (4EIZ/L) * U6 f8 = - (6EIZ/L2) * U6 f12 = (2EIZ/L) * U6

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRIDIMENSIONAL

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRIDIMENSIONAL

ORDENAMIENTO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Las primeras seis columnas, corresponden a las deformaciones del nudo inicial .La primera la deformacin axial en el eje X.La segunda la deformacin en el eje Y.La tercera la deformacin en el eje Z.La cuarta la torsin en el eje X.La quinta la flexin sobre el eje Y.La sexta la flexin sobre el eje Z.En la misma secuencia se ordenan las otras columnas para la deformacin del nudo final.PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ La matriz de rigidez es una matriz simtrica.Todos los trminos de la diagonal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.LIMITACIONES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ El material es perfectamente elstico y existe una relacin lineal entre las cargas y las deformaciones.Las deformaciones son pequeas, es decir, todos los clculos se hacen con las dimensiones iniciales.El efecto de las fuerzas axiales en la flexin es despreciable.Para que sea aplicable el principio de superposicin, es necesario que se cumplan todas las limitaciones anteriores.Las cargas se aplican en los nudos de manera gradual y proporcional.LIMITACIONES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ No se considera el efecto de las deformaciones causadas por las fuerzas cortantes.No se considera la rigidez de los nudos.Los elementos no se pandean por efecto de la carga axial y de la torsin.Los planos XY y XZ son planos principales de flexin y en ellos actan las cargas.En el caso de prticos uno de los planos de simetra debe coincidir con el plano de carga.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO PLANO

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE PORTICO PLANO

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE ENTRAMADO

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE ENTRAMADO

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA PLANA

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA ESPACIAL

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALESConvencin:Los sistemas locales de coordenadas se identifican con lneas continuas.El sistema global de coordenadas se identifica con lneas y trazos.Con letras maysculas se identifican las fuerzas y desplazamientos cuando se refieren al sistema global de coordenadas y con minscula las referidas al sistema local.MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara cerchas espaciales

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara cerchas espaciales

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara cerchas planas

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara entramados

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara entramados

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara entramados

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara prticos planos

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPara prticos planos

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADASPropiedad importante

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

MATRIZ DE RIGIDEZ CERCHAS ESPACIALES

MATRIZ DE RIGIDEZ CERCHAS ESPACIALES

MATRIZ DE RIGIDEZ CERCHAS PLANAS

MATRIZ DE RIGIDEZ ENTRAMADOS

MATRIZ DE RIGIDEZ ENTRAMADOS

MATRIZ DE RIGIDEZ PORTICO PLANO

MATRIZ DE RIGIDEZ PORTICO PLANO

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAPasos para la generacin de la matriz

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAEjemplo de aplicacin

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAEjemplo de aplicacin

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAEjemplo de aplicacin

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAEjemplo de aplicacin

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURASistema de numeracin de los nudos

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURASistema de numeracin de los nudos

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURASistema de numeracin de los nudos

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAAnlisis de cargas aplicadas en las luces

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURAAnlisis de cargas aplicadas en las luces

PROCEDIMIENTO GENERAL DE ANALISIS CON MATRICES