Análisis de experimentos con submuestras balanceadas

OBJETIVO

Presentar un algoritmo para analizar cualquier diseño experimental con igual número de submuestras en las unidades experimentales.

.....Algoritmo Diseños experimentales con submuestreo

3

Unidad experimental vs Unidad de observaciónUnidad experimental: estructura básica del material experimental a la que se asigna y aplica un tratamiento, independiente de las otras unidades, y en la que se registran los valores que toma la variable-respuesta.

Unidad de observación: individuo al que se hace la medición (de la variable respuesta).

En ocasiones, unidad de observación (o simplemente observación) y unidad experimental, son lo mismo.


4

Submuestreo: ¿qué es? y ¿para qué? En los diseños con submuestreo se toma (al azar) más de una observación por unidad experimental.

En contraparte, en los diseños estándar se toma una sola observación por unidad experimental.

El submuestro nos permite, además de estudiar la variabilidad entre unidades experimentales bajo condiciones similares, estimar la variabilidad de observaciones en las unidades experimentales.


5

Submuestreo en imágenes

En este ejemplo ilustrativo tenemos n unidades experimentales con r = 3 submuestras en cada una.

…Unidad experimental 1 Unidad experimental 2

Unidad experimental n

PROBLEMÁTICA Aunque los investigadores usan el submuestreo regularmente en sus experimentos:

Con frecuencia interpretan las submuestras como repeticiones o usan los promedios para el análisis de varianza.

En la mayoría de los libros sólo se presenta la forma de hacer el análisis con submuestreo en los diseños completamente al azar (dca) y bloques (dbca), dejando implícito que la extensión a otros diseños es directo (lo que no es cierto).


7

Análisis de un DCA con submuestreoFV GL SC CM Fcal

UE n 1 Y

rC

kik i

.,

2

trat t 1 Y

rnC

kk

t

k

..2

1

SCtrat

t 1

CMtrat

CMEE

EE t nkk

t( )

1

1 SC UE SCtrat( )

SCEE

n t CMEE

CMEM

EM n r 1 SCT SC UE ( ) SCEM

nr n

Total rn 1 Y Ckijk i j

2

, ,


8

Análisis de un DBCA con submuestreoFV GL SC Fcal

UE tb 1 Y

rC

iki k

.2

,

bloq b 1 Y

rtC

ii

b

..2

1

CMbloq

CEEE

trat t 1 Y

rbC

kk

t

. .2

1

CMtrat

CMEE

EE b t 1 1 SC UE SCbloq SCtrat( ) CMEE

CMEM

EM tb r 1 YY

rijkj

ik

i

22

.

,k

Total rtb 1 Y Cikji j

2

,k ,

DISEÑO DE LAS UNIDADES EXPERIMENTALES

Cualquier diseño experimental puede ser conceptuado a través de un diseño de las unidades experimentales.

Puesto que cada observación es tomada en una unidad experimental


10

Modelo general con submuestreo

Y Uij i ij

Yij i i ij

E Ui i var U i 2 E ij 0 var ij m 2 cov ,U i ij 0

Con el supuesto adicional de que i N~ , .0 2

O bien,presentando Ui, en su parte fija más su parte aleatoria,


11

Identidad fundamental de las SC

SCT SC UE SCEM ( )En cualquier diseño experimental con submuestreo, la suma de cuadrados total (SCT) se particiona en la suma de cuadrados de las unidades experimentales, SC(UE), y la suma de cuadrados de las observaciones en las unidades experimentales, (SCEM).

Esta partición de la SCT, constituye el punto central para el análisis de cualquier diseño experimental con submuestreo


12

Datos de un diseño con submuestreoSea Yij la j-ésima observación de la i-ésima unidad experimental, con i = 1, 2, …, n y j =1, 2, …, r,

i-ésima unidad experimental (UE) 1 2 . . . n

1 Y11 Y21 . . . Yn1 2

j-ésima submuestra

r

Y12

Y r1

Y22

Y r2

. . . . . .

Yn2

Ynr

total de la i-ésima UE Y1. Y2. . . . Yn.


13

Diseño de las unidades experimentalesSea Yij la j-ésima observación de la i-ésima unidad experimental, con i=1, 2, …, n y j =1, 2, …, r,

i-ésima unidad experimental (UE) 1 2 . . . n

1 Y11 Y21 . . . Yn1 2

j-ésima submuestra

r

Y12

Y r1

Y22

Y r2

. . . . . .

Yn2

Ynr

total de la i-ésima UE Y1. Y2. . . . Yn.

SCT SC UE SCEM ( )

Yij i i ij

Presentación de los datos

Modelo lineal:

Identidad fundamental de las sumas de cuadrados


14

Diseño de las unidades experimentales Las sumas de cuadrados de la identidad fundamental en el diseño de

las unidades experimentales están dadas por: SC UE r Y Yi

I

n( ) . ..

2

1

SCEM Y Yij ij

r

i

n

.

2

11

SCT Y Yijj

r

i

n

..

2

11Suma de cuadrados total

Suma de cuadrados del error de muestreo

Suma de cuadrados de las unidades experimentales


15

Diseño de las unidades experimentales

11

12

1

21

22

2

1

2

1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

1 0 0 1

YY

YYY

Y

YY

Y

r

r

n

n

nrnr nr n

x x

0

1

1

11

12

1

21

22

2

1

2

11

12

1

21

22

2

1

2

n n

r

r

n

n

nrnr

r

r

n

n

nrnr

x1

x 1 x 1

Forma matricial del modelo de las unidades experimentales


16

Diseño de las unidades experimentalesEn el modelo matricial del diseño de las unidades experimentales:

•El vector y: es el de la variable-respuesta

•La matriz de 0’s y 1’s es la matriz diseño cuya primera columna es un vector 1, que representa la media global. Un 1 indica que la observación fue tomada de una determinada unidad experimental, de otro modo se pone 0.

•Luego siguen los vectores de efectos fijos y aleatorios.

Con el modelo matricial podemos reescribir las sumas de cuadrados de la identidad fundamental del siguiente modo.


17


yJAy

nr

n

ii

n

ii

nrrnr

Y

r

YUESC

11')(

1

2..1

2.

rr

r

rr

r

nrxnr

n

i

rrrr

rrrr

rrrr

rrrr

irr

00

00

y

11

11

con 11

1

OJ

JOOO

OJOO

OOJO

OOOJ

A

i r i i i i

r r r

r r r

r r r nr nr

e e e

0

1

0

A A

O O O

O J O

O O O

'

x

Jnr es una matriz de puros 1’s nr x nr


18


yJIy

nrnr

nrSCT

1'

yAIy

n

iinr r

SCEM1

1'


19

Matriz de varianzas y covarianzas del vector de observaciones y Esperanzas de las sumas de cuadradosPara escribir los elementos anteriores, se rescribieron las sumas de cuadrados, que ya están en forma matricial, usando formas cuadráticas. La matriz de varianzas y covarianzas del vector de observaciones, se establece con base en los supuestos del modelo lineal con submuestreo.Las esperanzas de sumas de cuadrados, se establecen con base en la definición de la esperanza de una forma cuadrática.Los resultados de este desarrollo, se escriben de forma directa en las siguientes diapositivas.


20

Matriz de varianzas y covarianzas del vector y

nrnr

Var

x

)(

ROO

ORO

OOR

y

R

2

m

m

m r r

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x

donde

22, iijij EYYCov

Puesto que

22var mijY


21

Esperanzas de las sumas de cuadrados

E SC UEr

n ri

n

i( ( )

2

1

21

1

1n ii

n

1 )()( 22222 rnnnrSCEME mmm


22

Esperanzas de los cuadrados medios en diseño de las UEFV GL SC E(CM)

UE

n 1 Y YC' P PC2 1

2 2

11 r

r

n ii

n

EM n r 1 Y Ynr' I PC2

m2

Total nr 1 Y Ynr C' I P1

22 2 r

rm donde


23

Por un procedimiento similar al anterior se desarrollaron las esperanzas de los cuadrados medios en los diseños completamente aleatorizado y de bloques. Los resultados se presentan enseguida.

Posteriormente estas E(CM*) del dca y dbca se concatenan con las del diseño general.


24

Esperanzas de los cuadrados medios en el Diseño Completamente Aleatorizado

22 2 r

rm donde

FV GL SC E(CM)

Trat t 1 Y YC' P PT 1 m k k

k

tr

rt

n2 2 2

11

EE n t Y Y' P PC T2 m r2 2

EM nr n Y Ynr' I PC2

m2

Total nr 1 Y Ynr C' I P1


25

Esperanzas de los cuadrados medios en el Diseño de Bloques

22 2 r

rm donde

FV GL SC E(CM)

bloq b 1 Y YB C' P PX

1 2 2

11r

rt

bB Bi

i

b

trat t 1 Y YT C' P PX

1

2

2

11r

rb

t kk

t

EE b t 1 1 Y YB T C' P P P PC X X2 1

m r

r2 2

2

EM bt r 1 Y Yrtb' I PC2

m2

Total rtb 1 Y Yrtb C' I P1


26

En este punto se desarrolló el análisis de diseños experimentales con igual número de submuestras en las unidades.

1. Primero sobre las observaciones Yij

2. Luego sobre las observaciones Yi. /r

Se dividió en dos pasos:


27

SC y E(CM) sobre Yij

FV GL SC E(CM)

Modelo r X 1 Y Ynr

' P PX 1 2 1

1

1

r nrnr nr

r

X

X I J X ' '

EE n r X Y Y' P PC X2

2

r

EM n r 1 Y Ynr' I PC2

m2

Total nr 1 Y Ynr nr' I P 1

X C Anr k nr n n kx x x

2

A

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 1 1 1

2 2 2 2

1

n n n n

n n n n

n n n n n tt t t t

x

con

y en el DCA


28

SC y E(CM) sobre Yi. / rFV GL SC E(CM)

Modelo r A 1 Z

r

Z

rn

'PA P1

2 1

1

1

r Ar

nrn n

r

' 'A I J A

EE n r A Z

r nZ

r

'I PA

m r2 2

Total n 1 Z

r

Z

rn n

'

I P1

Z Y

Y

Y

Yn

C

.

.

.

2

1

2

donde

EL ALGORITMO DE TRES PASOS

Con base en el desarrollo presentado, el análisis de cualquier diseño experimental con el mismo número de submuestras en las unidades se resume en tres pasos.


30

Paso 1

Se ajusta un modelo basado en las unidades experimentales puede ver modelo (2) ó (10) para obtener la suma de cuadrados total (SCT), la suma de cuadrados de las unidades (SC(UE)) y la suma de cuadrados del error muestral (SCEM). En este paso se usarán los datos originales Yij como variable respuesta.


31

Paso 2 Enseguida se ajusta el modelo del diseño particular, usando como variable respuesta a las Yi./r (total de la i-ésima unidad experimental entre la raíz cuadrada del número de submuestras). En este paso se particiona la SC(UE), del Paso 1, en las sumas de cuadrados de las fuentes de variación correspondientes al diseño experimental particular.

Por ejemplo, en el diseño completamente al azar, la partición de la SC(UE) se hace en la suma de cuadrados de tratamientos (SCtrat) y la suma de cuadrados del error experimental (SCEE); en el diseño de bloques completos al azar, la partición de la SC(UE) se hace en la suma de cuadrados de bloques (SCbloq), la SCtrat y la SCEE.


32

Paso 3Los valores de las sumas de cuadrados obtenidos en los pasos anteriores, se ordenan. Se toman las sumas de cuadrados en que se particionó la SC(UE) en el Paso 2 y la SCEM y la SCT obtenidos en el Paso 1 para que la Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA) de su diseño con submuestreo quede completa.


33

En la computadora con SASDATA DCAS;INFILE 'A:\EJDCA.DAT';INPUT TRAT $ UE RESP;PROC ANOVA; CLASS UE;MODEL RESP = UE;TITLE 'PARTICION 1: "SCT = SC(UE) + SCEM"';PROC SORT; BY TRAT UE;PROC MEANS; BY TRAT UE; VAR RESP;OUTPUT OUT=B SUM=SRESP;DATA DOS; SET B; RESPM=SRESP/SQRT(9);KEEP TRAT RESPM;PROC ANOVA; CLASS TRAT;MODEL RESPM = TRAT;TITLE 'PARTICION 2: "SC(UE) = SCtrat + SCEE"';RUN;

Para un diseño completamente aleatorizado


34

En la computadora con SASDATA DBCAS;INFILE 'A;\EJDBCA.DAT';INPUT BLOQUE TRAT RESP;UE = (10 *BLOQUE) + TRAT;PROC ANOVA; CLASS UE;MODEL RESP=UE;TITLE 'PARTICION 1: "SCT = SC(UE)+ SCEM";PROC SORT;BY BLOQUE TRAT;PROC MEANS; BY BLOQUE TRAT; VAR RESP;OUTPUT OUT=B SUM=SRESP;DATA NUEVAS; SET B; Y=SRESP/SQRT(3);KEEP BLOQUE TRAT Y;PROC ANOVA; CLASSES BLOQUE TRAT;MODEL Y=BLOQUE TRAT;TITLE 'PARTICION 2: "SC(UE) = SCbloq + SCtrat + SCEE"';RUN;

Para un diseño de bloques


35

En la computadora con SASDATA DCLS; INFILE 'A:\EJDCL.DAT';INPUT HIL COL TRAT $ RESP; UE=(HIL * 10)+ COL;PROC ANOVA; CLASS UE;MODEL RESP=UE;TITLE 'PARTICION 1: SCT = SC(UE) + SCEM ';PROC SORT;BY HIL COL TRAT;PROC MEANS; BY HIL COL TRAT; VAR RESP;OUTPUT OUT=B SUM=SRESP;DATA NUEVAS;SET B;Y=SRESP/SQRT(3);KEEP HIL COL TRAT Y;PROC ANOVA; CLASSES HIL COL TRAT;MODEL Y = HIL COL TRAT;TITLE 'PARTICION 2: SC(UE) = SCHIL +SCcol + SCtrat + SCEE ';RUN;

Para un diseño en cuadrado latino


36

Gracias Gracias por su por su

atenciónatención [email protected]@[email protected][email protected]

Arturo A. Alvarado SeguraArturo A. Alvarado Segura

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