Análisis de Fourier Usando Matlab

8/19/2019 Análisis de Fourier Usando Matlab

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Señales y Sistemas IGrupo 2Análisis de Fourier Usando

Matlab

Jan Bacca Rodríguez

[email protected]

mailto:[email protected]:[email protected]


2/35

Matlab trabaja únicamente con señalesdiscretas.

Las únicas señales que son discretas entiempo y recuencia son las señales

peri!dicas discretas. "ara los otros casos se requerir#n

apro$imaciones para poder lle%ar a caboan#lisis de &ourier en Matlab.

Introducción

∑=

−

=0

0

2

0

][1

N n

n N

jk

k en x N

a

π

∑=

=0

0

2

][ N k

n N

jk

kean x

π


3/35


4/35

Matlab asume que el %ector x contiene elperíodo de la señal que %a de n = 0 a N-1.

Los coe,cientes en X ser#n tambi-n los de k= 0 a N-1.

fft e ifft se calculan por medio de unalgoritmo conocido como la ransormadaR#pida de &ourier /&ast &ourier ransorm0

Serie de Fourier en Tiempo

Discreto


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1alcular los coe,cientes de &ourier de la señal)

Eemplo

n j j

n j j

n j n j

e

j

ee

j

e

ee j n x

128

3

128

3

8

3

128

3

12

2

1

2

2

1

1][

π

π

π

π

π π π π

++−=

−+=

−−

+−

+

24

1

122

=⇒= N

M

N

M π π

2 La señal tiene 34 coe,cientes.

++=

8

3

12sen1][

π π nn x


6/35

Los otros 35 coe,cientes ser#n 6.

en Matlab)

x = ones(1,24)+sin([0:23]*pi/12+3*pi/8);X = fft(x)/24

Eemplo

j

eaa

j

ea

j j

2,1,

2

83

10

83

1

π π

==−=−

−


7/35

X =

o!"#ns 1 t$%o"&$ '

10000 041 - 0113i 00000 + 00000i -00000+ 00000i -00000 + 00000i

o!"#ns t$%o"&$ 10

-00000 - 00000i 00000 - 00000i 00000 - 00000i 00000 + 00000i-00000 - 00000i

o!"#ns 11 t$%o"&$ 1'

-00000 - 00000i -00000 - 00000i 0-00000 + 00000i -00000 + 00000i

o!"#ns 1 t$%o"&$ 20

-00000 + 00000i 00000 - 00000i 00000 + 00000i 00000 + 00000i-00000 + 00000i

o!"#ns 1 t$%o"&$ 24

-00000 - 00000i -00000 - 00000i 00000 - 00000i 041 + 0113i

Eemplo


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Los coe,cientes dierentes de cero est#n enlas posiciones 5( 3 y 34( que corresponden alos coe,cientes 6( 5 y 37.

Los coe,cientes de la serie tienen periodo34

*l coe,ciente 37 es igual al coe,ciente 85

'i se pre,ere tener el coe,cientecorrespondiente a la recuencia 0 al centrodel %ector se usa la unci!n ffts$ift

X = ffts$ift(x)

Eemplo


9/35

"ara este caso(despu-s deffts$ift( los%alores en lasposiciones 5 y 3 se

mue%en a lasposiciones 57 y 54y el %alor en laposici!n 34 a la

posici!n 53. La señal original se

puede recuperarusando)

◦ x =24*ifft(X)

Eemplo


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Eemplo

2x = [1 2 0 0 0 2];2X = fft(x)/;


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'ea x[n] una señal de duraci!n M 'u transormada de &ourier ser#)

!elación entre la

Trans"ormada y la Serie deFourier en Tiempo Discreto

( ) ∑−

=

−=1

0

][ M

n

n j j en x e X ω ω

21onstruya a9ora una señal peri!dica deperíodo N ≥ M ( x p [n] 9aciendo copias de x[n]

2La serie de &ourier de x p [n] ser#

∑

−

=

−

=

1

0

2

][

1 N

n

n N

jk

k en x N a

π


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1omparando)

!elación entre laTrans"ormada y la Serie de

Fourier en Tiempo Discreto

( ) N

k

j k e X

N

a π ω

ω

2

1

==

2Los coe,cientes de la serie de x p [n] son

muestras de la transormada de x[n] di%ididas por N .

2 La ecuaci!n de síntesis de los ak nos

permitir# recuperar x p [n]

2 x p [n] = x[n] para 0≤n


13/35

+plica para señales discretas de duraci!n,nita M ≤ N .

*s útil debido a que se puede calcularnum-ricamente.

ransormada R#pida de &ourier /&&0)+lgoritmo r#pido para el c#lculo de la :&. N es la potencia de un entero /i.e. N = 2k0

Trans"ormada Discreta deFourier #DFT$

[ ] ∑∑ −

=

−

=

−==

1

0

21

0

2

][1

][][ N

n

n N

jk N

n

n N

jk

ek X N

n xen xk X

π π


14/35

La :& de cualquier longitud se puedecalcular usando fft.

X = fft(x,N) es la :& de N puntos de x[n] ( completando con ceros al ,nal si esnecesario.

'i N


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Los %alores de recuencia correspondientesa las muestras en X[k] est#n uniormementedistribuidos en el inter%alo [0, 2π ).

o#e& = [0:N-1]*2*pi/N

'i se usa ffts$ift( los %alores derecuencia estar#n en el inter%alo [-π ,π )

o#e& = [-N/2:N/2-1]*2*pi/N

Trans"ormada Discreta deFourier #DFT$


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2 1alcular |X(e j ω

)| a inter%alos de recuenciaa0 3π;73b0 3π;


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n = [0:31];

x = os(3*pi*n/8);

X32 = s(ffts$ift(fft(x)));

X0 = s(ffts$ift(fft(x,4)));

X120 = s(ffts$ift(fft(x,128)));

.32 = [-1:1']*2*pi/32;

fi&"%es"p!ot(3,1,1)

ste#(.32, X32)

xis([-pi pi 0 20])

Eemplo


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Eemplo

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20


19/35

fft se usa con señales discretas deduraci!n ,nita.

"ara usarla con señales continuas( se debemuestrear y recortar la señal.

1!mo escoger T ( M ( N para que Y[k] sea unabuena apro$imaci!n de X(j ω )>

Apro%imando la Trans"ormada deFourier en Tiempo &ontinuo con

fft


20/35

Muestreo) x[n] = x(nT)

La recuencia de muestreo ser#

'ea x(t) tal que X(j ω ) = 0 para |ω |>ω x

'i se quiere apro$imar el espectro de X(j ω ) para |ω |


21/35

Los espectros de la señal original y la señalmuestreada est#n relacionados así)

Recorte) *l tomar solo M muestras de laseñal equi%ale a multiplicar la señal por unpulso rectangular w[n] de duraci!n M

y[n] = x[n]w[n]

Apro%imando laTrans"ormada de Fouriercon fft

( )

=

=

π

ω ω

ω ω

2

11 s j j X T T

j X T

e X

A i d l


22/35

*n recuencia estoequi%ale a unacon%oluci!n con la

señal)

La con%oluci!n sua%izael espectro de la señaloriginal.

Apro%imando laTrans"ormada de Fourier con

fft

=−

−

2sen

2sen

)( 21

T

T M

eeW M

T j j

ω

ω ω

ω


23/35

La resoluci!n de la%entana ser# elanc9o del l!bulo

principal) de donde)

M s

r

ω ω =

r

s M ω

ω ≥

r

MT ω

π 2≥

Apro%imando la Trans"ormadade Fourier con fft


24/35

La :& de N puntos de x[n] est# dada por)

'i se desea que las muestras en recuenciaest-n separadas una distancia de al menos

∆ω)

Apro%imando laTrans"ormada de Fouriercon fft

=

= N jk X T e X k Y s N

jk ω π

1

][

2

ω

ω

∆≥ s N


25/35

'uponga que la banda de recuencias deinter-s es -20 < ω < 20 y el inter%alo demuestreo en recuencia ∆ω = π 20.+pro$imar X(j ω ) para las resoluciones)

a) 2π

!) 2π "

#) 2π 2"

"ara 9allar la transormada de &ourier de

x(t) se escribe como x(t) = $(t)%(t) con

◦)

◦) %(t) = cos(&0t) ' cos(&2t)

Eemplo ( ))12cos()10cos()()( 10 t t t (et x t

+= −

)()( 10 t (et $ t

−=


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(j ω ) = π ( δ ( ω '&0)'δ ( ω -&0)'δ ( ω '&2)δ ( ω -&2))

Eemplo10

1

1)(

+=

ω

ω

j

j *

( ) ( ) ( )

( )

+−+

++

+

+−

+

++=

10

112

110

112

1

10

110

1

10

110

1

21)(

ω

ω ω ω

ω

j

j j j

j X

2

2

2

2

12

10

1

10

1

10

10

1

10

1

)(

+

+

++

+

+

+=

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

j

j j X


27/35

*sta señal no est#limitada en bandapero su potenciadisminuyer#pidamentecuando ω crece.

'e escoge ω x = "00

porque la magnitud

en ese %alor es &0 %eces menor que enω a = 20

Eemplo

0063.01000

2≈≤

π T


28/35

2 'e escoge T = 0+00" ( de dondeω

s = 00π .

2

a) ω r = 2π ⇒ M = 200b) ω r = 2π " ⇒ M = 1000

c) ω r = 2π 2" ⇒ M = 5000

2 *l número de muestras de la :& debesatisacer

Eemplo

r r

s M ω

π

ω

ω 400=≥

8000

20

400==

∆≥

π

π

ω

ω s N


29/35

T = 0+00" N = 000

a) M = 200

b) M = 1000

c) M = 5000

Eemplo ( ))12cos()10cos()()( 10 t t t (et x t

+= −

= 000';

N = 8000;

= '000;

t = 0::(-1)*;

x = exp(-t/10)*(os(10*t)+os(12*t));

X = s(fft(x(1:200),N)*);

n = 2*pi/*(0:N-1)/N;

fi&"%e

s"p!ot(2,2,2)

ste#(n(1:128),X(1:128))

o#e& = 0:20/'11:20;

X = (01+i*o#e&)/

((1+i*o#e&)2+100)+(01+i*o#e&)/

((1+i*o#e&)2+144);

$o!

p!ot(o#e&, s(X),%)

xis([0 20 0 ])


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Eemplo

0 5 10 15 20-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6


31/35

Matlab permite calcular num-ricamente larespuesta en recuencia de sistemascontinuos y discretos para %alores discretosde recuencia.

La respuesta en recuencia de un sistema esla transormada de &ourier de su respuestaimpulso.

Los comandos f%es and f%e5 permitene%aluar la respuesta en recuencia desistemas descritos por ecuacionesdierenciales o de dierencia sin tener la

respuesta impulso.

!espuesta en Frecuenciade Sistemas 'TI


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6 = f%es (, , .) calcula la respuestaen recuencia del sistema en tiempocontinuo descrito por la ecuaci!n)

freqs

∑∑=

−=

− = M

kk

k

k M

N

kk

k

k N .t

t x . !

.t

t y. a

00

)()(

2, ) %ectores de coe,cientes de la ecuaci!ndierencial. *l primer elemento de cada%ector corresponde a la deri%ada m#s alta.


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.) %ector de recuencias donde /(j ω ) ser#calculada.

f%es (, , .) sin argumentos de salida

gra,ca la magnitud y ase de /(j ω ) .

'i no se especi,ca .( matlab escoge un%ector de 200 recuencias donde calcular

/(j ω ) .

'i se reemplaza . por un número entero N

Matlab calcular# /(j ω

) para N recuencias

freqs


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[6,.] = f%e5 (, , N) calcula larespuesta en recuencia del sistema entiempo discreto descrito por la ecuaci!n)

freqz

2, ) %ectores de coe,cientes de la ecuaci!nde dierencias. *l primer elemento de cada%ector corresponde a la muestra actual.

[ ] [ ]∑∑==

−=− M

kk

N

kk kn x !knya

00


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N) ?úmero de recuencias uniormemente

distribuidas entre 0 y π en las que secalcular# /(e j ω ). 'i N no se especi,ca se usan "&2 puntos.

[6, .]=f%e5 (, , N,7.$o!e7) usa N

puntos entre 0 y 2π . 6 = f%e5 (, , .): . es el %ector de

recuencias donde se calcular# /(e j ω ). [6, f] = f%e5 (, , N, fs): fs es la

recuencia de muestreo de la señal 6 = f%e5 (, , , fs): es el %ector

de recuencias /z0 donde se calcular# /(e j ω ).

freqz

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