ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE ELEMENTOS A FLEXIÓN ...

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID E.T.S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

MSTER EN ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES

ANLISIS DE LAS RESPUESTAS DE ELEMENTOS A FLEXIN CON GRANDES DESPLAZAMIENTOS

ANTE CARGAS SEGUIDORAS

TRABAJO FIN DE MASTER

AUTOR: DANIEL RABASCALL VELASCO TUTOR: D. JUN CARLOS MOSQUERA FEIJOO

SEPTIEMBRE 2011

CONTENIDO PG.

OBJETIVOS ....................................................................................................... 7 METODOLOGA ................................................................................................ 7

CAPITULO I: INTRODUCCIN ......................................................................... 8

1.1 RESEA HISTRICA ......................................................................................... 9

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................... 11

CAPITULO II: MARCO TERICO PRELIMINAR. ANTECEDENTES ............. 12

2.1 PROBLEMA DE EULER .................................................................................... 13

2.2 MNSULA SOMETIDA A GRANDES DESPLAZAMIENTOS ........................... 16

2.3 MTODO DE ANLISIS EN SAP2000 PARA CASOS DE SEGUNDO ORDEN

NO LINEALES ................................................................................................19

2.4 FUERZAS SEGUIDORAS ................................................................................. 25

2.5 FORMULACIN DEL PROBLEMA DE SHVARTSMAN ................................... 26

2.6 FORMULACIN DEL PROBLEMA DE KWASNIEWSKI .................................. 28

2.7 MTODO DE CLCULO DE UNA MNSULA SOMETIDA A FUERZAS

SEGUIDORAS ................................................................................................. 31

CAPITULO III: FORMULACIN ANLITICA DE LAS FUERZAS SEGUIDORAS .......................................................................... 35

3.1 CRITERIOS PARA LA FORMULACIN DE LA FUERZA SEGUIDORA .......... 36

3.2 FORMULACIN DE LA FUERZA SEGUIDORA ............................................... 37

CAPITULO IV: ANLISIS Y RESULTADOS ................................................... 43 CASO 1: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CONSTANTE .......... 44

CASO 2: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS

DE CARGA ............................................................................................ 46

CASO 3: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS

DE CARGA Y GRANDES DESPLAZAMIENTOS ................................. 48

CONTENIDO PG.

CASO 4: MNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y VERTICAL Y

GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRTICA DE

PANDEO ............................................................................................... 53

CASO 5: MNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y AXIAL CON GRANDES

DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRTICA DE PANDEO ...... 59

COMPARACIN DE LA METODOLOGA DE ESTUDIO Y RESULTADOS CON

EL ANLISIS DE SHVARTSMAN .......................................................................... 61

COMPARACIN DE LA METODOLOGA DE ESTUDIO Y RESULTADOS CON

EL ANLISIS DE KWASNIEWSKI ......................................................................... 63

ANEXOS .......................................................................................................... 64 CONCLUSIONES ............................................................................................ 71 BIBLIOGRAFA ............................................................................................... 73

LISTA DE FIGURAS PG.

Figura 1: Representacin de la flexin de una mnsula sometida a una fuerza .......... 13

Figura 2: Representacin de la deformada y pandeo elstico simple a flexin ............ 14

Figura 3: Representacin grfica de los ejes locales en una mnsula sometida a una

fuerza axial ..................................................................................................... 17

Figura 4: Mtodo de Newton Raphson ......................................................................... 21

Figura 5: Diagrama Tensin - Deformacin .................................................................. 22

Figura 6: Comportamiento lineal y no lineal de un material .......................................... 23

Figura 7: Carga crtica vs Desplazamiento, estado de equilibrio de una mnsula ....... 24

Figura 8: Carga crtica vs Desplazamiento de un material lineal y no lineal ................ 25

Figura 9: Mnsula bajo dos fuerzas seguidoras ........................................................... 26

Figura 10: Configuraciones deformadas de una mnsula cargada por fuerzas

normales seguidoras ...................................................................................... 26

Figura 11: Columna sujeta a la combinacin de una fuerza muerta FD = (1- ) F y una fuerza seguidora de la fuerza FF = F en la punta A ........................... 28

Figura 12: Deformacin instantnea causada por aleteo o flameo de columna cargada

por fuerza puramente seguidora ..................................................................... 29

Figura 13: Representacin de la posicin inicial de la mnsula ................................... 31

Figura 14: Representacin de la mnsula en equilibrio para el paso n ........................ 32

Figura 15: Representacin de la mnsula en estado de no equilibrio .......................... 32

Figura 16: Representacin de la mnsula en equilibrio para el paso n + 1 .................. 33

Figura 17: Mnsula ....................................................................................................... 37

Figura 18: Radio de curvatura ...................................................................................... 38

Figura 19: Diagrama de cuerpo libre ............................................................................ 38

Figura 20: Seccin infinitesimal de la mnsula ............................................................. 40

Figura 21: Primer experimento de la mnsula sometida a una fuerza seguidora vertical

Belndez (11) ............................................................................................... 44

Figura 18: Modelo de la mnsula (Caso 1) ................................................................... 45

Figura 19: Segundo experimento de la mnsula sometida a una fuerza vertical

seguidora. Belndez (11) ............................................................................. 46


Figura 21: Modelo de la mnsula (Caso 3.1) ................................................................ 48



LISTA DE TABLAS

Tabla 1: Fuerzas, pendientes y coordenadas ............................................................... 27

Tabla 2: Propiedades de la columna ............................................................................ 29

Tabla 3: Resultados obtenidos usandoel mtodo de anlis de valor propio ................ 30

Tabla 4: Propiedades de la mnsula (Caso 1) ............................................................. 44

Tabla 5: Desplazamientos (Caso 1) ............................................................................. 45

Tabla 6: Propiedades de la mnsula (Caso 2) ............................................................. 46

Tabla 7: Propiedades de la mnsula (Caso 3.1) .......................................................... 48

Tabla 8: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.1) ................... 49

Tabla 9: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.2) ................... 50

Tabla 10: Fuerza seguidora vs Pendiente .................................................................... 51

Tabla 11: Propiedades de la mnsula (Caso 4) ........................................................... 53

Tabla 12: Escaln de carga vs Fuerza vertical ............................................................. 54

Tabla 13: Escaln de carga vs Fuerza lateral .............................................................. 55

Tabla 14: Escaln de carga vs Desplazamiento en x ................................................ 56

Tabla 15: Escaln de carga vs Desplazamiento en z ................................................ 57

Tabla 16: Fuerza vertical vs Desplazamiento en x ..................................................... 58

Tabla 17: Propiedades de la mnsula (Caso 5) ........................................................... 59

Tabla 18: Desplazamiento en z vs Desplazamiento en x ........................................ 60

LISTA DE GRFICAS

Grfica 1: Desplazamiento de la mnsula (Caso 1) ..................................................... 45

Grfica 2: Desplazamiento de la mnsula (Caso 2) ..................................................... 47

Grfica 3: Desplazamiento de la mnsula (Caso 3.1) .................................................. 49

Grfica 4: Desplazamiento de la mnsula (Caso 3.2) .................................................. 50

Grfica 5: Pendiente vs Fuerza Seguidora ................................................................... 51

Grfica 6: Fuerza vertical vs Escaln de carga ............................................................ 54

Grfica 7: Fuerza lateral vs Escaln de carga .............................................................. 55

Grfica 8: Desplazamiento en x vs Escaln de carga ................................................ 56

Grfica 9: Desplazamiento en z vs Escaln de carga ................................................ 57

Grfica 10: Desplazamiento en x vs Fuerza vertical .................................................. 58

Grfica 11: Desplazamiento en z vs Desplazamiento en x Fuerza seguidora ......... 60

Grfica 12: Desplazamiento en z vs Desplazamiento en x Fuerza no seguidora y

fuerza seguidora ........................................................................................... 61

SIMBOLOGA

= Radio de curvatura. = Esbeltez de la pieza.

= Longitud de pandeo.

ngulo constante al cual se aplica la fuerza. Desplazamiento horizontal.

Desplazamiento vertical.

A = rea transversal

b = Ancho de la mnsula

e Espesor de la mnsula E = Mdulo de elasticidad del material. F = Fuerza. Fx = Fuerza nodal en el eje x. Fy = Fuerza nodal en el eje y.

= Fuerza en el escaln de carga.

I = Momento de inercia de la seccin trasversal respecto del eje neutro. Curvatura de la mnsula.

L = longitud de la mnsula. m = Masa

M = Momento flector. Momento de reaccin.

= Fuerza normal en el punto de aplicacin de la carga en el escaln de carga.

Fuerza de reaccin que acta sobre el extremo fijo de la mnsula en direccin x.

Fuerza de reaccin que acta sobre el extremo fijo de la mnsula en direccin y.

= Escaln de carga en el paso n.

= Escaln de carga final

= Deformada de la mnsula en .

7

OBJETIVOS

Estudiar el comportamiento de elementos a flexin sometidos a fuerzas seguidoras cuando experimentan grandes desplazamientos.

Plantear un mtodo simplificado de modelizacin de la respuesta de elementos a flexin ante fuerzas seguidoras.

Automatizar el clculo de fuerzas seguidoras en un programa comercial de elementos finitos.

METODOLOGA

PRIMERA FASE:

Se aborda un estudio terico mediante tcnicas analticas y numricas para modelizar el comportamiento en grandes desplazamientos de elementos sometidos a flexin. Se compararn diferentes formulaciones.

Se realiza un estudio de estabilidad para las diferentes formulaciones.

Se modeliza el fenmeno de las fuerzas seguidoras. Se compararn las respuestas para diferentes formulaciones.

SEGUNDA FASE:

Se analiza diversos modelos de elementos mnsula.

Se extraen conclusiones sobre la formulacin de fuerzas seguidoras, con objetivo de buscar una implementacin simple mediante la tcnica de elementos finitos.

Se utiliza el programa SAP2000 como software de modelizacin de elementos finitos as como tcnicas numricas de optimizacin.

CAPITULO I INTRODUCCIN

9

1.1 RESEA HISTRICA

La historia de los sistemas de carga con fuerzas seguidoras se inici en

1928 con las obras de Nikolai (1) en la estabilidad de una mnsula sometida a compresin y torsin. El problema estndar, de una columna con una fuerza puramente seguidora, fue tratado analticamente por primera vez por von Beck (2) en 1952. El problema de la inestabilidad de las estructuras sometidas a fuerzas puramente no conservadoras, aunque no muy comn en la prctica de la ingeniera, ha estado continuamente presente en publicaciones desde los aos sesenta.

La primera monografa sobre el tema fue publicada por Bolotin (3) en

1963, tratando la estabilidad de cuerpos elsticos sometidos a fuerzas seguidoras, fuerzas que durante el proceso de prdida de estabilidad siguen una ley particular distinta al de las fuerzas debidas al peso. El problema se estudia para una pieza sometida a una fuerza de compresin, manteniendo una direccin tangencial a la deformada de la pieza.

En ese mismo ao Timoshenko y Gere (4) estudian el comportamiento

de una fuerza no conservadora sobre una columna, donde se asume que la columna est sometida a compresin por una fuerza que genera un pandeo en la direccin tangente a la curva de deflexin en la punta de la columna.

Las investigaciones precedentes (1) (2) (3) (4), coinciden en que una

fuerza seguidora es aquella que mantiene la direccin siempre tangencial a la curva de deflexin en la parte superior de la columna, no obstante al pasar los aos se ampla dicha hiptesis asumiendo que la fuerza puede ser tambin normal a la curva de deflexin en la parte superior de la columna.

Lo cierto es que la fuerza seguidora ocurre en ocasiones especiales,

siendo tan particulares, el tratamiento de este fenmeno ha sido muy criticado hasta la actualidad considerndolos puramente acadmicos y artificiales, no solamente por la poca relevancia de los resultados que se obtienen sino por la necesidad de llevar los ordenadores a los laboratorios, prefiriendo los cientficos utilizar los teclados antes que los experimentos.

Si bien esta situacin particular se ha mantenido durante estas ltimas

dcadas, el problema de la columna de Beck (2) es conocido como un anlisis clsico tratado por numerosos investigadores (8) (9) (13) (21), quizs el primer experimento fu la observacin del aleteo o flameo, introducindole a la columna un cohete slido con un motor de combustible en su extremo libre.

Este experimento permiti demostrar que el mtodo de Euler, es

aplicable si las fuerzas son conservadoras, de lo contrario no es aplicable. Sugiyama (8) en 1987 le dio un enfoque mecnico al estudio de la

fuerza seguidora al demostrar que una fuerza reut cuasi pura, se lleva acabo por un chorro de aire que incide sobre el modelo y causa inestabilidad por

10

aleteo o flameo. El estudio concluye que los problemas no conservadores de estabilidad elstica de ninguna manera son artificiales, sino ms bien realistas y que el buen desarrollo de la teora de la estabilidad no conservadora no est asegurada si un investigador procede a su estudio sin combinar la teora con la parte experimental.

11

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se parte del ejemplo de una mnsula sometida a una fuerza seguidora en su extremo libre, con la intencin de encontrar una ecuacin que describa la flecha en el extremo libre. Cuando los desplazamientos son grandes, el ngulo que describe la directriz de la mnsula es grande, por lo que no es posible seguir las mismas hiptesis que describen los libros de resistencia de materiales, siendo ahora el problema ms difcil debido a la presencia de un trmino no lineal en la ecuacin de la flecha.

El objetivo del presente trabajo se centra en el estudio de grandes desplazamientos en elementos a flexin bajo fuerzas seguidoras, limitado al caso de una mnsula y considerando la no linealidad geomtrica. Se orienta hacia una visin ms profunda y no tan desarrollada sobre el comportamiento estructural de la mnsula cuando es sometida a una fuerza posterior a la crtica y a estudiar el anlisis de las respuestas debido a las fuerzas seguidoras y a los desplazamientos mediante el mtodo de elementos finitos.

Se formula una solucin analtica exacta, partiendo del mtodo numrico de Euler. Se desarrollan cinco casos de fuerzas seguidoras con distintas hiptesis, debido a que esta investigacin se centra en fuerzas que se aplican en sucesivos escalones de carga lo que produce un anlisis esttico, el anlisis dinmico de la mnsula no ser considerado.

El aporte de este trabajo con respecto a los realizados por las referencias mencionadas anteriormente, es que se comparan distintos casos de fuerzas seguidoras con un ngulo constante de 90, sometidos a grandes desplazamientos y se comprueban que los ejemplos experimentales pueden ser desarrollados mediante programas de elementos finitos.

Se utiliza el programa SAP2000, el cual se basa en el anlisis

estructural mediante el mtodo de elementos finitos, con tcnicas analticas avanzadas que permiten el anlisis paso a paso de pequeos y grandes desplazamientos considerando la no linealidad geomtrica de cualquier elemento o estructura.

CAPITULO II: MARCO TERICO PRELIMINAR.

ANTECEDENTES

13

2.1 PROBLEMA DE EULER Estudio de la flexin de una mnsula

Se considera una pieza prismtica delgada de longitud L en posicin horizontal, empotrada en un extremo y sometida a una fuerza vertical F en el extremo libre con la intencin de determinar la forma de la pieza prismtica y las coordenadas xf,yf del extremo libre para grandes flexiones.

Hiptesis

La pieza prismtica tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su seccin trasversal, la deformacin debida a su propio peso es despreciable y se desprecian las deformaciones por cortante, por lo tanto cuando el espesor de la pieza prismtica es pequeo comparado con el radio de curvatura, la seccin trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuacin de Euler - Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura de la pieza prismtica deformada.

El radio de curvatura

Figura 1: Representacin de la flexin de una mnsula sometida a una fuerza

14

El momento flector M en el punto P (x, y) es M =F( -x)

Pandeo elstico

La teora de deformacin de la mnsula, desarrollada por Leonhard Euler (21) en 1744, para el pandeo elstico se basa en los supuestos de que un elemento inicialmente recto est cargado concntricamente, y las fibras permanecen en rgimen elstico hasta que ocurre la deformacin. Cuando la mnsula se deforma, se debe asumir una forma de pandeo simple.

El pandeo es un fenmeno de inestabilidad que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y se manifiesta por la aparicin de importantes desplazamientos transversales en la direccin principal de compresin.

Cuando la carga de compresin aumenta progresivamente llega a un valor en el cual el elemento esbelto, en lugar de limitarse a acortar su altura, curva su eje; una vez que esto ocurre aunque no se incremente el valor de la carga el elemento contina curvndose hasta el colapso definitivo. El valor de la carga para el cual el elemento puede pandear puede ser sensiblemente inferior a la carga que resiste el material.

Ninguna pieza sometida a compresin est exenta de sufrir el pandeo. Se trata de una flexin lateral que est en relacin con la esbeltez.

Figura 2: Representacin de la deformada y pandeo elstico simple a flexin

La carga crtica se puede calcular igualando el momento exterior

ocasionado por la fuerza F, con el momento resistente interior que aparece en esa misma seccin, de manera que la mnsula pandea mantenindose en uno de sus planos de simetra, si la existencia de restricciones exteriores o bien si las secciones transversales son de plano medio.

15

El siguiente ejemplo evidencia lo enunciado anteriormente: Si la

mnsula flecta alrededor de su eje x se tiene que y si se supone que los desplazamientos de su eje son suficientemente pequeos para que la curvatura pueda considerarse igual a , se tiene:

0 1 Donde es la fuerza, es el mdulo de elasticidad, es el momento

de inercia alrededor del eje X y es la flecha mxima. 1 Representa la ecuacin de equilibrio de la mnsula ligeramente

deformada; su solucin proporciona la carga que puede mantenerla en equilibrio en estas condiciones, es decir, la carga crtica de pandeo elstico o carga crtica de Euler.

Pandeo inelstico.

La obtencin de la frmula de Euler (19), que permite calcular la carga crtica de piezas rectas comprimidas axialmente, est basada en la suposicin fundamental de que la pieza se comporta elsticamente hasta el inicio del pandeo, por lo tanto las ecuaciones no son aplicables a piezas cortas o de longitud intermedia.

La frmula , es vlida nicamente para el intervalo de valores de la relacin de esbeltez a los que corresponden esfuerzos crticos no mayores que el lmite de proporcionalidad, de manera que es aplicable hasta que:

Donde es el esfuerzo correspondiente al lmite de

proporcionalidad.

16

2.2 MNSULA SOMETIDA A GRANDES DESPLAZAMIENTOS

Anlisis terico

La deflexin de una mnsula bajo carga es conocida por la relacin entre la curvatura en cualquier punto de la mnsula y el momento aplicado en ese momento (apartado 2.1).

La relacin es:

1

Donde es la curvatura de la mnsula y el ngulo. Si se define la

ecuacin anterior con coordenadas cartesianas, se obtiene;

Donde la curvatura de la deflexin es;

1/

En este caso, la relacin entre la curvatura , el momento M y las

coordenadas cartesianas se definen por la ecuacin diferencial:

1/ 2

La ecuacin 2 amerita una solucin algortmica eficiente para resolver

las integrales elpticas, una solucin exacta es la del mtodo de Newton Raphson (15), muy usada en modelos de elementos finitos.

17

Modelo de elementos finitos

La mnsula curvada, se analiza ahora partir de un modelo utilizando el mtodo de elementos finitos como una mnsula recta. La mnsula tiene 2 nodos con tres grados de libertad en cada nodo. Estos se denotan como el desplazamiento de flexin v1,v2 , desplazamiento axial u1,u2 y giros v1,v2 , donde la prima () denota diferenciacin con respecto a la coordenada x.

Para una mnsula Euler la ecuacin de la energa elstica potencial Ueviene expresada como:

12

12

La ecuacin anterior se escribe en forma matricial de la siguiente

manera:

12

La mnsula curvada obtenida de la teora de grandes desplazamientos

tiene la tensin inicial debido a la carga vertical.

12

Donde F es una fuerza axial en la direccin local ,

Figura 3: Representacin grfica de los ejes locales en una mnsula sometida a una fuerza axial

18

La fuerza axial F para cada matriz inicial de esfuerzo se obtiene a partir de la siguiente ecuacin (figura 3).

Donde Fx y Fy son las fuerzas nodales y se pueden obtener de las fuerzas estticas.

Si la ecuacin anterior est escrita en la matriz de la forma:

12

Mediante un anlisis de elementos finitos, se obtienen la matriz de

rigidez elsticake, la masa de la matriz inicial me y la matriz de esfuerzo . Si estas matrices son transformadas en trminos de coordenadas de

referencia, se obtiene:

T

T

La ecuacin de Lagrange (10) que describe el movimiento de la estructura, se puede expresar matricialmente en la forma;

0

Para resolver esta ecuacin numricamente, es necesaria la automatizacin, usando un cdigo de programacin que permita un mtodo iterativo a partir de una estimacin inicial de la longitud. Usualmente el error en el clculo iterativo est en el orden de 103.

19

2.3 MTODO DE ANLISIS EN SAP2000 PARA CASOS DE SEGUNDO ORDEN NO LINEALES

El clculo se lleva a cabo asumiendo que la carga se aplica sobre el

elemento como suma de un conjunto de incrementos para cada uno de los cuales se obtiene una configuracin de equilibrio. Esta representa un estado del elemento, en el que los resultados son compatibles, se encuentran en equilibrio y satisfacen las ecuaciones constitutivas o de comportamiento del material del elemento en estudio.

El programa SAP2000 analiza la estructura para el caso de carga

impuesta utilizando el mtodo de Newton Raphson (15), una vez conocido el valor del esfuerzo axial, se puede conocer la rigidez de segundo orden de cada pieza prismtica k" y de la estructura K" .

"

Esto indica que la matriz K, es una funcin de las cargas, se asume que

el esfuerzo axial es conocido, por ejemplo nulo, a partir del cual la matriz K es constante e independiente de las cargas. Con estas premisas se aplican los mtodos lineales y se obtienen los desplazamientos nodales U y todos los esfuerzos internos. De esta manera el programa sigue los siguientes pasos:

1. Se adopta un valor del esfuerzo axial nulo.

2. Se determinan los coeficientes de estabilidad para cada pieza prismtica Ai,Bi, ..

3. Se plantea las ecuaciones de equilibrio " 4. Se resuelve el sistema de ecuaciones, determinando el valor de

5. Se calculan todos los esfuerzos, incluyendo el valor de los esfuerzos

axiales N. 6. Si la diferencia entre los desplazamientos U de dos iteraciones

sucesivas es menor que un determinado valor, el proceso se detiene, en caso contrario se contina en el paso siguiente.

7. Se adopta el valor del esfuerzo axial, determinado en el paso 5.

8. Se vuelve al paso 2, con un valor deFi mejorado.

20

El diagrama de flujo correspondiente es:

El hecho de comparar los desplazamientos y no los esfuerzos axiales se

debe a que las incgnitas del problema son los desplazamientos, a travs de los cuales se determinan los dems esfuerzos. En forma grfica se interpreta este proceso de la siguiente manera:

1. La funcin U es desconocida y se desea encontrar el punto de

correspondencia entre la carga F y U. 2. Resolver un primer valor ds U1. A travs de un procedimiento lineal

donde asumimos para Fi valores nulos. 3. Con estos desplazamientos se determinan los correspondientes

esfuerzos axiales N y a partir de los mismos los coeficientes de estabilidad y la matriz K.

4. Se obtiene el producto matricial " y se determina un punto de la funcin desconocida.

5. Una vez determinado el punto anterior, se sigue segn el procedimiento elegido.

Fi 0

Ai,Bi.

F KU

U K1F

UnU n1 error STOP

Nn 0

Fi n 1 Nn

21

A partir del desplazamiento hallado el mtodo de Newton Raphson (15), utiliza la tangente para encontrar un incremento de desplazamiento modificando las rigideces originales y determinando un nuevo valor mejorado y as sucesivamente hasta que la diferencia entre dos procesos iterativos sea menor que un determinado error.

Figura 4: Mtodo de Newton - Raphson

Estabilidad del equilibrio pandeo En nuestro caso la estructura tiene la particularidad de tener un sistema

de ecuaciones de equilibrio del tipo:

" 0 Esta ecuacin lineal se denomina homognea y la estructura que posee

este sistema cumple los siguientes requisitos:

1. La pieza prismtica es indeformable axialmente

2. La estructura es del tipo de nodos desplazables. Las cargas deben ser fuerzas actuando en los nodos de manera de equilibrarse pieza prismtica a pieza prismtica.

Material No lineal Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos

uno de tipo no lineal, cuya relacin es del tipo:

22

Figura 5: Diagrama Tensin - Deformacin En estas estructuras donde se cumple " 0, las piezas prismticas

solo estn sometidas a esfuerzos axiales de valor constante en toda su extensin. El valor de estos esfuerzos determinar si las piezas prismticas se encuentran en la zona elstica o anelstica del material. Por otra parte la ecuacin diferencial de la elstica " , a partir de la cual se determinaron los coeficientes de estabilidad, establece una relacin entre los esfuerzos y los desplazamientos a travs de propiedades mecnicas EI, y estas deben representar la situacin en que se encuentra la barra. Se debe utilizar el valor del modulo de elasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel de tensin a que est sometida.

Para tener en cuenta esto ltimo se utiliza ET cuando se determinan los

coeficientes de estabilidad. En la determinacin de Fcr, se debe incluir un nuevo paso a los ya enumerado anteriormente.

1. Adoptar un valor para las cargas.

2. Determinar el valor de los esfuerzos axiales.

3. Determinar el valor de 4. Determinar el valor del ET en funcin de . 5. Determinar los coeficientes de estabilidad.

6. Plantear la matriz K. 7. Evaluar el valor DK. 8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Fcr. 9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma

proporcional.

10. Volver a (2).

23

De esta manera y para el caso en particular que se estudia 0 . Hay que tener en cuenta el comportamiento anelstico del material en el anlisis de la estabilidad.

Este comportamiento provoca una disminucin general de la capacidad

de la estructura para soportar cargas y por lo tanto una descenso de la carga crtica de Pandeo.

Figura 6: Comportamiento lineal y no lineal de un material

En los sistemas no lineales la recta donde se interceptan las soluciones

se transforma en curva y las rigideces kij, que dependen de las cargas F, cambian y se trasladan modificando sus pendientes.

Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado

equilibrio indiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado. En el siguiente grfico se sintetizan los distintos comportamientos.

Figura 7: Carga crtica vs Desplazamiento, estado de equilibrio de una mnsula

24

La indeterminacin se manifiesta en la tendencia hacia la asntota

" 0 . Esta asntota corresponde a la calculada con los esfuerzos axiales finales, lo cual se debe a que en estas estructuras los esfuerzos axiales no crecen en forma uniforme.

En general los Software para resolver estos problemas, adoptan los

esfuerzos axiales iniciales que corresponden con la solucin lineal, esta aproximacin es perfectamente aceptable.

En estructuras donde aparecen todas las solicitaciones internas el

campo anelstico se manifiesta originndose articulaciones plsticas, provocando una disminucin de la rigidez general de la estructura lo que disminuye la capacidad resistente de la estructura y consecuentemente ocasiona un descenso de la carga crtica de pandeo.

En el siguiente grfico se indican todos los comportamientos

Figura 8: Carga crtica vs Desplazamiento de un material lineal y no lineal El clculo es vlido para pequeas deformaciones, por lo tanto se

procede a un clculo incremental. Es necesario comprobar que el estado deformado est en equilibrio y limitar el error admisible de iteracin. Se disminuye mucho el nmero de iteraciones necesarias y el clculo es compatible con grandes movimientos.

Una vez estudiado el mtodo de anlisis del SAP2000 y realizadas

numerosas pruebas, se determina que:

Al ejecutar el anlisis no lineal el programa determina la rigidez de la estructura al final de cada caso no lineal y a continuacin el programa ejecuta el anlisis de pandeo.

En los anlisis no lineales P-Delta con grandes desplazamientos, cuando el elemento llega a su capacidad de deformacin lo que sucede por lo general es que la solucin se encuentra con problemas de convergencia.

25

Para los casos lineales en los que se aplica una carga axial puntual o una carga axial puntual y una carga lateral, el anlisis lineal de pandeo que se produce es prcticamente el mismo, esto se debe a que la carga lateral en este caso particular no afecta la rigidez geomtrica de la estructura, sin embargo, si se ejecuta el anlisis no lineal P-Delta con grandes desplazamientos, la relacin es lineal al principio, pero la estructura se ablandar en cierto nivel de carga aplicada, considerando el giro de los miembros.

En el modelo se suponen nulas las deformaciones axiales.

2.4 FUERZAS SEGUIDORAS Esta fuerza puede ser puntual, distribuida o lateral, de la misma manera

la combinacin de estas fuerzas es tambin vlida. Esta fuerza puede ser aplicada a cualquier tipo de elemento con cualquier condicin de contorno.

Estudios realizados de fuerzas seguidoras

Existen numerosas investigaciones sobre la deformacin de una mnsula sometida a una fuerza seguidora. Argyris y Symeonidis (5) realizan un anlisis esttico no lineal de mnsulas sometidas a fuerzas seguidoras mediante el mtodo de elementos finitos, donde determinan las fuerzas crticas de aleteo o flameo. Saje y Srpcic (6) estudian diferentes mtodos para conseguir soluciones a la flexin de grandes mnsulas sometidas tanto a fuerzas seguidoras distribuidas como concentradas en el extremo libre (normal o tangencial al eje deformacin), obteniendo un sistema de ecuaciones trascendentes que se pueden resolver sin iteracin. Rao (9) estudia grandes desplazamientos en una mnsula uniforme y no uniforme con fuerzas seguidoras en el extremo libre, mediante el mtodo de disparo; en particular, cuando la fuerza mantiene un ngulo constante con el eje de la mnsula. Vitaliani (11) estudia grandes desplazamientos y la estabilidad de mnsulas sometidas a una fuerza seguidora transversal utilizando el mtodo de elementos finitos. Detinko (13) presenta una solucin analtica al problema de gran deflexin de arcos circulares de seccin uniforme, sometidos a fuerzas seguidoras terminales. Belndez (14) realiza un anlisis experimental y numrico de pequeos y grandes desplazamientos en una mnsula.

En la mayora de estas publicaciones se muestran formulaciones

analticas y los resultados obtenidos, pero no incorporan mayor detalle de programacin, propiedades del material, limitaciones del problema, etc. Entre las publicaciones ms destacadas en los ltimos cinco aos y que son objeto de comparacin en el presente trabajo se encuentran la de Shvartsman (19)(20) y la de Kwasniewski (21).

26

2.5 FORMULACIN DEL PROBLEMA DE SHVARTSMAN

Shvartsman (20) analiza una mnsula rectilnea no uniforme, sometida a dos fuerzas concentradas y tangenciales, bajo un anlisis esttico no lineal usando el mtodo de elementos finitos.

La mnsula tiene longitud L y rigidez a flexin EI s , la fuerza F1 se

aplica al extremo libre de la mnsula, mientras que F2 se aplica a una distancia Ldel extremo libre. Los ngulos de inclinacin de las fuerzas con respecto al eje deformado de la mnsula se mantienen constantes. Los ngulos 1 2 /2 corresponden a fuerzas seguidoras que actan en direccin perpendicular al eje de la deformada de la mnsula y los ngulos 1 2 0 corresponden a fuerzas seguidoras tangenciales.

Figura 9: Mnsula bajo dos fuerzas seguidoras.

Figura 10: Configuraciones de deformadas de una mnsula cargada por

fuerzas normales seguidoras.

, 2 , 0,5,

27

F (0) x(0)/L y(0)/L

1 35.43 0.8935 0.4124

3 98.37 0.3240 0.8148

5 144.84 0.1177 0.7208

10 204.58 0.2922 0.3194

12 216.09 0.2506 0.2477

15 227.60 0.1810 0.1896

20 240.11 0.0863 0.1506

25 249.45 0.0223 0.1466

Tabla 1: Fuerzas, pendientes y coordenadas , , 0,5, )

Conclusiones

La solucin del problema propuesto por Shvartsman para las ecuaciones de equilibrio en funcin a las condiciones de contorno, son nicas para una funcin continua EI s y para cualquier valor fijo de F1,F2,1,2y . Si las fuerzas seguidoras son tangenciales ( 0), el problema tiene una solucin nica ,lo que significa que la configuracin recta es slo una configuracin de equilibrio de la mnsula. Por lo tanto, la mnsula no considera la carga crtica de Euler (divergencia). De ello se deduce que la mnsula no uniforme en cuestin pueden presentar slo la inestabilidad dinmica por aleteo o flameo. Estas conclusiones generalizan los mismos resultados para mnsulas no uniformes en el marco de una fuerza seguidora concentrada en la punta. As, en contraste con los sistemas conservadores, los sistemas estudiados no conservadores siempre tienen una solucin nica (configuracin de equilibrio) que se pueden calcular por un mtodo directo. Se ha estudiado el comportamiento de una mnsula sometida a una fuerza seguidora intermedia actuando en la direccin normal al eje deformado de la mnsula ( ), las ecuaciones de equilibrio se integran numricamente por el mtodo de cuarto orden de Runge - Kutta con un tamao de paso fijo igual a 0,05L y las integrales se evalan numricamente utilizando la regla de Simpson. Los valores de las coordenadas x 0 e y 0 y la pendiente (en grados) en la punta de la mnsula se enumeran en la Tabla 1 para varios valores del parmetro de carga adimensional . Los resultados se comparan para dos modelos desarrollados y se observ que la discrepancia entre estas soluciones se encuentra dentro del 0,1%. En la figura 10 se muestran algunas deformadas tpicas de la mnsula. La trayectoria de la punta de la mnsula para el parmetro de carga vara entre 0 y 25, se muestra por una lnea discontinua. Estos resultados estn en concordancia con las soluciones elpticas. Cabe sealar que las soluciones analticas necesitan dos ecuaciones no lineales que hay que resolver.

28

2.6 FORMULACIN DEL PROBLEMA DE KWASNIEWSKI

Kwasniewski (21) estudia la columna de Beck, enfocndose en la verificacin y aplicacin del anlisis dinmico transitorio de elementos finitos basado en la integracin de tiempo explcito.

La columna tiene una masa (m) y rigidez a flexin EI, donde E es el

mdulo de elasticidad e I es el momento de inercia. El amortiguamiento interno no se considera y el amortiguamiento externo se considera proporcional a la velocidad (es decir, amortiguamiento viscoso).

Figura 11: Columna sujeta a la combinacin de una fuerza muerta FD 1 F y una fuerza seguidora de la fuerza FF F en la

punta A. La carga total F aplicada en la punta A est compuesta de dos fuerzas,

una fuerza muerta constante 1 y una fuerza seguidora , definiendo el nivel de carga cuando la columna rectaes igual a la

fuerza resultante F . El coeficiente identifica la disposicin de la carga para 0, la carga es puramente conservadora, y para 1 es perfectamente

seguidora (tangencial). La representacin ms comn de carga, como una sola fuerzaF actuando en un ngulo de , donde es la rotacin del extremo de la extremidad, es vlida slo para pequeas rotaciones y no es fsicamente significativo para grandes rotaciones.

Modelo de elementos finitos

Todas las simulaciones se realizan por ordenador, usando el programa LS-DYNA y se conservan las propiedades de la columna de Beck.

29

Propiedades Cantidad

rea transversal, A 1.2*104 m2 Momento de inercia, I 109 m4

Mdulo de elasticidad, E 10 GPa Rigidez, EI 10 N m2

Densidad, * 103 kg m3 Masa por unidad de logitud, m 0.12 kg m1

Largo de la columna, L 1 m Carga crtica de Euler FE 2EI/ 2L 2 24.67 N

Primera frecuencia natural

1.8752

5.1078 s1

Carga crtica de Beck FB 20.05EI/L2 200.50 N

Tabla 2: Propiedades de la columna

Figura 12: Deformacin instantnea causada por aleteo o flameo de la columna cargada por la fuerza puramente seguidora.

30

Entrada Resultados

DGs 1

Factor de amortiguacin DG/DGcr

Promedio de decremento logartmico

Frecuencia dominante

s 1

Primera frecuencia

natural s 1

0.00 0.00 0.00063 5.005 51.078 0.01 3.12*104 0.00162 5.005 51.078 0.10 1.56*103 0.01066 5.005 51.078 1.00 0.0156 0.10053 5.005 51.072

64.186 0.10 0.64546 4.943 50.821

Tabla 3: Resultados obtenidos usando el mtodo de anlisis de valor propio

Conclusiones Las pruebas virtuales del comportamiento estructural de la columna de

Beck, en las cuales se aplican fuerzas conservadoras y no conservadoras, se comparan con los resultados disponibles de soluciones analticas y semi - analticas. Sin embargo, existen algunas limitaciones para los clculos de elementos finitos. Se determina que la respuesta de los modelos aplicados de elementos finitos depende del nmero y tipo de elementos. Los modelos con un gran nmero de pequeos elementos deriva de error para los casos de carga constante. El rgimen de tiempo de integracin explcita requiere pasos de tiempo muy pequeo y est dedicado a los problemas transitorios que ocurren dentro de los intervalos de tiempo relativamente cortos. Se encontr que para la mayora de los escenarios los resultados estables se proporcionan para los 70 s. La mayora de las pruebas numricas se programaron durante 20 s. Los modelos de elementos finitos tambin estn limitados en cuanto a la deformacin, tipos de cepa y niveles de carga. Cuando la columna alcanza la carga crtica de pandeo, el desplazamiento horizontal empieza a crecer, lo que tambin est indicado en la evolucin temporal de la reaccin. Aunque la simulacin capta el pandeo, es difcil determinar con precisin el momento en que la deformacin ocurre, y a su vez el valor real de la carga crtica. Un aleteo o flameo intenso causa grandes deformaciones y por consiguiente la inestabilidad, no obstante cuando ocurren grandes deformaciones, la terminacin del anlisis es prematuro, por lo que es imposible rastrear el comportamiento de la columna a elevados niveles de carga. Por otro lado, hay muchas ventajas de la tcnica de solucin presentada. Este enfoque no se limita slo a la investigacin de las oscilaciones de estado de equilibrio en torno a la configuracin recta. Los resultados presentados dependen de la variacin de la carga en el tiempo y en la instancia de tiempo en el que se rompe la simetra del modelo por parte de la carga de impulso. De esta manera, la estabilidad de una columna bajo cargas especficas puede ser investigada y el comportamiento estructural global puede ser rastreado para aumentar gradualmente la carga.

31

2.7 MTODO DE CLCULO DE UNA MNSULA SOMETIDA A FUERZAS SEGUIDORAS La metodologa a utilizar para el clculo de la fuerza seguidora requiere

de algunas adaptaciones al mtodo de anlisis desarrollado en el apartado 2.3, para obtener los valores esperados.

El clculo se lleva a cabo suponiendo que la carga se aplica sobre el

elemento como suma de un conjunto de incrementos para cada uno de los cuales se obtiene una configuracin de equilibrio. Esta representa un estado del elemento, en el que los resultados son compatibles, se encuentran en equilibrio y satisfacen las ecuaciones constitutivas o de comportamiento del material del elemento en estudio.

Este anlisis se hace en mltiples pasos, y se parte de una carga

esttica, sobre la posicin inicial (configuracin recta); se realiza el clculo considerando el anlisis esttico no lineal para grandes desplazamientos en x e y y de esta manera poder obtener la rigidez de segundo orden de la estructura K" y al mismo tiempo una nueva configuracin de equilibrio.

"

Esto indica que la matriz K, es una funcin de las cargas, y que supone

que el desplazamiento es conocido, por lo tanto el estado de segundo orden ser el inicial del siguiente estado a analizar. Con estas premisas se aplican los siguientes anlisis estticos, para obtener los desplazamientos nodales U y todos los esfuerzos internos en los mltiples pasos.

De forma general, a continuacin se describen los pasos para el caso de

una fuerzaseguidora puntual y constante en el extremo: 1.- Datos de entrada: Configuracin inicial de la mnsula.

Figura 13: Representacin de la posicin inicial de la mnsula

32

2.- Aplicada la fuerza, se obtiene una deformada y al mismo tiempo un

nuevo estado de equilibrio.

Figura 14: Representacin de la mnsula en equilibrio para el paso n. 3.- Actualizacin de la fuerza seguidora: Solicitacin constante en el

intervalo tn atn 1, para el cual las fuerzas impuestas en el paso anterior dejan de ser las fuerzas de equilibrio.

Figura 15: Representacin de la mnsula en estado de no equilibrio

33

4.- Obtencin de la configuracin de equilibrio: En tn 1 se aplican las

nuevas fuerzas que van a equilibrar la mnsula.

Figura 16: Representacin de la mnsula en equilibrio para el paso n 1.

Este procedimiento se debe seguir hasta que 1 Donde;

= Escaln de carga en el pason. = Escaln de carga final = Fuerza en el escaln de carga. = Fuerza normal en el paso n. = Deformada de la mnsula en .

34

El diagrama de flujo correspondiente sera:

No

Si

Datos de entrada Configuracin inicial de la

mnsula

Solucin Anlisis esttico

(Grandes desplazamientos)

Pre proceso Modelo con actualizacin geomtrica

(Actualizacin del modelo de la mnsula pre esforzada)

Solucin Anlisis modal

Actualizacin de la fuerza seguidora La fuerza se desplaza respecto al estado de

equilibrio anterior de la mnsula y se hace necesario ajustar la nueva direccin de la fuerza, que va a ser

normal a la punta en el extremo libre.

Resultado Se obtiene la posicin final de

equilibrio para las condiciones de contorno y fuerzas impuestas.

tn 1 tf

STOP

CAPITULO III: FORMULACIN ANALTICA

DE LAS FUERZAS SEGUIDORAS

36

3.1 CRITERIOS PARA LA FORMULACIN DE LA FUERZA

SEGUIDORA

Se considera que los parmetros que permiten definir las ecuaciones de equilibrio de un elemento sometido a flexin son; el momento flector (M), la fuerza aplicada (F), la curvatura (k), el mdulo de elasticidad (E), el momento de inercia (I) y la geometra de la mnsula.

La configuracin deformada que se obtiene al acabar cada aumento especificado de la carga, es la geometra de referencia para el siguiente paso. La teora elstica de segundo orden consiste en resolver una sucesin de anlisis de primer orden, de una estructura cuya geometra cambia en cada paso con respecto a los anteriores. Estos clculos pronto se hacen inabordables a mano y se necesitan programas informticos.

Es necesario conocer la relacin momento - curvatura de las secciones, con el objeto de determinar la capacidad de ductilidad y la mxima capacidad a flexin del elemento para poder comparar estas cantidades con las demandas que se tienen en el diseo.

El anlisis de grandes desplazamientos es un caso de no linealidad geomtrica.

Se utiliza el SAP2000 para el anlisis aprovechando el clculo avanzado de integracin diferencial de la pendiente y curvatura de la mnsula.

3.2 FORMULACIN DE LA FUERZA SEGUIDORA

Se considera el caso de una mnsula delgada de seccin transversal rectangular hecha de un material elstico lineal. La Figura 17 muestra una mnsula de longitud L con una fuerza Faplicada concentrada en el extremo libre. En esta figura, y son los desplazamientos horizontales y verticales en el extremo libre, respectivamente, y 0 representa la pendiente mxima de la mnsula. El ngulo constante a la cual se aplica la fuerza est representado por .

Hiptesis

Para este estudio, se asume que las tensiones axiales son insignificantes, ya que cualquier cambio en la longitud se supone que es una pequea fraccin de la longitud original. Tambin se considera que la seccin transversal de la mnsula se mantiene constante a lo largo de la mnsula, lo que significa que el efecto del coeficiente de Poisson, se puede despreciar. A continuacin, se asume que el teorema de Euler Bernoulli es vlido y por lo tanto la curvatura de la mnsula es proporcional al momento flector. Por ltimo, se considera que la flecha por el peso de la mnsula es despreciable.

37

Figura 17: Mnsula El anlisis se inicia con un diagrama de cuerpo libre (figura 19), en la

cual se describen las fuerzas que actan sobre la mnsula deformada en el extremo fijo de la mnsula, llamada s, Mo es el momento de reaccin y de Rx y Ry son las fuerzas de reaccin que acta sobre el empotramiento de la mnsula en la direcciones x e y, respectivamente. La fuerza F se descompone en una componente horizontal, Fx, y un componente vertical Fy, sumando fuerzas en X y Y, se tiene:

0

0

Haciendo sumatoria de momentos en O se tiene:

0

La ecuacin de Euler Bernoulli para la ecuacin de momento - curvatura

de una mnsula de seccin transversal rectangular uniforme de material elstico lineal es:

38

,

Figura 18: Radio de curvatura

Si M x,y es el momento de flexin en funcin de las distancias x e y, representa la curvatura en cualquier punto a lo largo de la longitud de la mnsula, E es el mdulo de elasticidad e I es el momento de inercia de la seccin transversal respecto al eje neutro.

Figura 19: Diagrama de cuerpo libre

Para conocer el momento en cualquier punto de la mnsula es necesario hacer un corte de la misma, colocar las fuerzas que se generan y volver a hacer momento.

39

0 , 0

,

Por lo tanto

, Derivando respecto a s:

Si L, y son constantes,

El lado derecho de la ecuacin anterior est escrita en funcin dexe

y, el lado izquierdo en funcin del ngulo . La figura 20 representa una seccin infinitesimal de la seccin, donde el largo del arco es aproximadamente una recta, partiendo de este dato y usando la trigonometra, se tienen las siguientes relaciones:

Sustituyendo se tiene;

Esta ecuacin diferencial no lineal es la que describe la deformada de

una mnsula de material elstico sometido a una carga concentrada en el extremo de la mnsula (Figura 17).

40

Figura 20: Seccin infinitesimal de la mnsula Solucin analtica

La solucin debe ser resuelta a partir de la expresin obtenida para las coordenadas x e y a lo largo de la curvatura de la mnsula, por lo tanto para obtener una solucin analtica a la ecuacin anteriormente desarrollada, es necesario multiplicar la expresin anterior por .

0 Expresando la ecuacin anterior en funcin de la longitud del arco se

tiene: Expresando

12

Sustituyendo;

12 0

Partiendo de que la condicin de contorno en el extremo de la mnsula es:

Donde es la mxima pendiente desconocida en el extremo de la

mnsula, se puede integrar la ecuacin anterior y se obtiene:

12EI

dds F sen sen F cos cos C 0

41

Despejando C;

12

Aplicando la siguiente condicin de contorno:

La nueva ecuacin para la constante de integracin es:

2

2

2

Resolviendo la ecuacin:

2

2

Integrando las ecuaciones en funcin de dx y dy, se obtienen las

expresiones de las deflexiones horizontales y verticales en cualquier punto a lo largo del eje neutro de la mnsula. No existe una solucin analtica exacta de las integrales en el lado izquierdo de las ecuaciones, por lo tanto es necesario encontrar una solucin numrica de la ecuacin para encontrar la forma flectada de la mnsula.

Solucin numrica

Utilizando el mtodo de Euler, la ecuacin diferencial no lineal de segundo orden conseguida anteriormente,

42

Se puede reducir a dos ecuaciones diferenciales de primer orden no

lineal. La curvatura de la mnsula, que se denota como , se puede escribir como

Derivando ambos lados en funcin a s,

Integrando la ecuacin usando el mtodo de Euler

3

4 Las ecuaciones 3 y 4 son dos ecuaciones diferenciales de primer

orden que pueden ser usadas en un programa de clculo numrico, no obstante como se usar el programa SAP2000, este permite generar estos clculos mediante la formulacin de Euler Lagrange (10), que describe el movimiento de la mnsula para cada estado. Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones a resolver, precisa el mtodo de Newton - Raphson (15) de mltiples iteraciones para obtener la carga mxima y el desplazamiento del nodo, as el programa calcula la pendiente y la curvatura a lo largo de la mnsula, para los distintos efectos de segundo orden.

CAPITULO IV:

ANLISIS Y RESULTADOS

44

CASO 1: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CONSTANTE

Se parte del experimento realizado por Belndez (14), donde se aplica una fuerza de 3,92 N verticalmente hacia abajo en el extremo de la mnsula. La mnsula se fija a la parte superior de un banco por medio de una abrazadera como se muestra en la Figura 21.


Espesor (e 0,078 m Ancho b 3,04 m

Momento de inercia I 1.2022x10-12 m4 Mdulo de elasticidad, E 2,000E+11 kN/m2Largo de la mnsula, (L 0,30 m

Fuerza Lateral F 3,92 N

Tabla 4: Propiedades de la mnsula (Caso 1)

Figura 21: Primer experimento de la mnsula sometida a una fuerza vertical seguidora. Belndez (14).

45

Figura 22: Modelo de la mnsula (Caso 1)

CoordenadaX(m) CoordenadaZ(m) Desplazamientoenx(m) DesplazamientoenZ(m)

0 0 0 00 0,03333 0,002321 0,0000850 0,06667 0,008933 0,0007830 0,1 0,019246 0,002510 0,13333 0,03264 0,0054820 0,16667 0,048502 0,0097410 0,2 0,066256 0,0151860 0,23333 0,085374 0,0216080 0,26667 0,105372 0,0287210 0,3 0,1258 0,036192

Tabla 5: Desplazamientos (Caso 1)

Grfica 1: Desplazamientos de la mnsula (caso 1)

Los valores obtenidos experimentalmente muestran un desplazamiento horizontal de 0,125 m y un desplazamiento vertical de 0,27 m, lo cual muestra un error aproximado del 1 % en el sentido vertical, quizs la diferencia se debe a que el programa considera un empotramiento perfecto o a que la mnsula tiene empotrado un 1 cm dentro del banco.

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

DESPLAZA

MIENTO

VER

TICA

L(m

)

DESPLAZAMIENTOHORIZONTAL(m)

F=3,92N

46

CASO 2: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS DE CARGA Se parte del experimento realizado por Belndez (14), donde se aplica

una fuerza de 3,92 N al extremo de la mnsula en un ngulo descendente de 90 medido desde la horizontal como se muestra en la Figura 23. La mnsula se fija a la parte superior de un banco por medio de una abrazadera. Se utiliza un hilo dental ligero para colgar el peso del extremo de la mnsula y se utiliza un gancho de acero con el fin de aplicar la fuerza en el ngulo correcto, simulando as una fuerza aplicada de 90.


Espesor (e 0,078 m Ancho b 3,04 m

Momento de inercia I 1.2022x10-12 m4 Mdulo de elasticidad, E 2,000E+11 kN/m2Largo de la mnsula, (L 0,30 m


Figura 23: Segundo experimento de la mnsula sometida a una fuerza vertical seguidora. Belndez (14).

47


Grfica 2: Desplazamientos de la mnsula (caso 2) En la grfica 2, se observa que la flecha de la mnsula aumenta a

medida que la fuerza se incrementa. En el segundo experimento, el desplazamiento vertical mximo alcanzado es de 0,22 m y el horizontal es de 0,17 m, por lo tanto si el desplazamiento vertical obtenido es 0,16 m, el porcentaje (%) de error es de un 4 %, mientras que la diferencia en el desplazamiento horizontal es prcticamente despreciable, posiblemente la diferencia se deba a alguna propiedad especfica del material no controlada o al empotramiento de la mnsula. De esta manera se ha demostrado que es posible realizar los experimentos de fuerzas seguidoras utilizando un programa de elementos finitos y sus resultados son altamente confiables con los resultados experimentales obtenidos.

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

DESPLAZA

MIENTO

VER

TICA

L(m

)

DESPLAZAMIENTOHORIZONTAL(m)

F=3,92N

F=4,92N

F=5,92N

F=6,92N

F=7,92N

48

CASO 3: MNSULA SOMETIDA A FUERZAS SEGUIDORAS CON INCREMENTOS DE CARGA Y GRANDES DESPLAZAMIENTOS En este modelo se analiza una misma mnsula, con distintos intervalos

de carga.


rea transversal A 0,01 m2 Momento de inercia, I 8,33*106 m4

Mdulo de elasticidad, E 30000000 kN/m2Largo de la columna, L 10 m

Factor por paso 1,618 Factor de convergencia 0,01

0,5


Figura 25: Modelo de la mnsula (Caso 3.1)

Ta

Gr

Desplazam

0

00

01

12

34

abla 8: Des

rfica 3: D

mientoenx(

00,0679310,1573770,0662910,7310651,1714311,6497842,6391033,5839954,476381

splazamie

Desplazam

(m) Desp

entos para

mientos de

lazamientoe

00,02910

0,284570,74703

1,082151,12219

1,066800,68409

0,023590,77659

a el estado

e la mnsu

enz(m)

06

7235

5396

0897

9492

o de carga

ula (caso 3

Radian

00,029

0,2840,747

1,0821,122

1,0660,684

0,0230,776

a F = 25 kN

3.1)

es()0910645727035215321966808409735946592

N (Caso 3

49

.1)

50

Grfica 4: Desplazamientos de la mnsula (caso 3.2)

Desplazamientoenx(m) Desplazamientoenz(m) Radianes()0 0 0

0,101198 0,035833 0,1814430,291796 0,341981 0,4006050,257215 0,971402 0,6142110,191246 1,707888 0,7848390,557094 2,045469 0,8523230,999606 2,344551 0,9121982,060771 2,805019 1,0058853,266321 3,092914 1,0626554,532912 3,280117 1,081608

Tabla 9: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.2)

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

6 4 2 0 2 4 6 8 10 12

DESPLAZA

MIENTO

VER

TICA

L(m

)DESPLAZAMIENTOHORIZONTAL(m)

F=1kNF=3kNF=7kNF=15kNF=25kN

51

Fuerza(kN) Radianes()

0 0

1 14,30245896

3 56,23649514

7 127,1340635

15 147,1716008

25 119,4264061

Tabla 10: Fuerza seguidora vs Pendiente

Grfica 5: Pendiente vs Fuerza seguidora La ventaja de este enfoque se sustenta en que el problema puede ser

resuelto sin iteraciones. Dado que la solucin del problema de valor inicial es nico, la divergencia no se produce. Por lo tanto, la mnsula en cuestin puede perder la estabilidad slo por flameo o aleteo, tal y como se expone en el modelo de la columna de Beck (20), por lo tanto la estabilidad de la mnsula debe ser comprobada mediante un anlisis dinmico.

Es bien sabido que la convergencia del proceso iterativo depende de la

proximidad de la estimacin inicial de la solucin particular buscada. Adems, los problemas similares de valores de contorno conservadores (mnsula flexible sometida a fuerzas inclinadas) admiten mltiples soluciones de equilibrio. En esta oportunidad se introducen las cargas a la mnsula ya deformada para los siguientes efectos de segundo orden, de manera manual, para que el programa no haga iteraciones automticamente, sino deforme la mnsula bajo un comportamiento no lineal y siguiendo la fuerza seguidora impuesta en cada caso, donde el programa determina distintas soluciones y distintos desplazamientos para los casos de carga impuestos en cada paso.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25 30

0

FUERZA(kN)

52

Para obtener una mayor precisin de los distintos puntos de la

deformada es necesario discretizar la mnsula en mayor nmero de elementos, no obstante esto generara mayor tiempo de clculo.

De las grficas 3 y 4 se puede observar que existe una solucin

numrica de equilibrio distinta cuando se incrementan las cargas, siendo bastante coherente que para el caso 3.1, los desplazamientos aumenten.

En la grfica 5, se representan las soluciones numricas para cada

configuracin de equilibrio de una mnsula sujeta a dos fuerzas seguidoras normales , , siendo para este caso la pendiente mxima de 147.

53

CASO 4: MNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y VERTICAL GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRTICA DE PANDEO En este modelo se analiza una mnsula, sometida a una fuerza vertical

y lateral constante, utilizando la opcin de mltiples pasos o escalones de carga en SAP2000, donde el programa calcula automticamente distintas ecuaciones de equilibrio hasta alcanzar el pandeo crtico.




Fuerza Axial 6 Fuerza Lateral 0,045




Siguiendo la teora demostrada por Euler; 6,168kN

0,06m

54

F1 0,045kN,elegido para generar una deformacin elstica de 0,06 m.F2 6kN, elegido como factor de carga para alcanzar la carga crtica.

Grfica 6: Fuerza vertical (kN) Vs Escaln de carga

Tabla 12: Escaln de carga vs F. vertical (kN)

FUERZA MXIMA VERTICAL = 5,75459kN

7

6

5

4

3

2

1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FUER

ZAVER

TICA

L(kN)

ESCALNDECARGA

ESCALN DE CARGA FVERTICAL (kN) 0 0 1 -0,05946 10 -0,59996 20 -1,19988 30 -1,79972 40 -2,39936 50 -2,99969 60 -3,59948 70 -4,19911 80 -4,79804 90 -5,39381 97 -5,75459

55

Grfica 7: Fuerza lateral (kN) Vs Escaln de carga

Tabla 13: Escaln de carga vs F. lateral

FUERZA MXIMA LATERAL = 0,50228kN

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

FUER

ZALATERA

L(kN)

ESCALNDECARGA

ESCALN DE CARGA FLATERAL (kN) 0 0 1 0,0004498 10 0,0049 20 0,01078 30 0,01805 40 0,02736 50 0,03985 60 0,05769 70 0,08564 80 0,13647 90 0,26067 97 0,50228

56

Grfica 8: Desplazamiento en x (m) Vs Escaln de carga

Tabla 14: Escaln de carga vs Desplazamiento en x (m)

DESPLAZAMIENTO MXIMO EN X =0,79471kN

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

DESPLAZA

MIENTO

EN"X"

(m)

ESCALNDECARGA

NODO EXTREMO LIBRE ESCALN DE CARGA DESP. X (m)

0 0 1 0,0006 10 0,00664 20 0,01485 30 0,02529 40 0,039 50 0,05782 60 0,08526 70 0,12892 80 0,20935 90 0,40779 97 0,79471

57

Grfica 9: Desplazamiento en z (m) Vs Escaln de carga

NODO EXTREMO LIBRE ESCALN DE CARGA DESP. Z (m)

0 0 1 -0,000002 10 -0,0000222 20 -0,00005103 30 -0,00009198 40 -0,000156 50 -0,0002672 60 -0,0004834 70 -0,0009711 80 -0,00235 90 -0,0085 97 -0,03182

Tabla 15: Escaln de carga vs Desplazamiento en z (m)

DESPLAZAMIENTO MXIMO EN Z 0,03182kN

0,035

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

DESPLAZA

MIENTO

EN"Z"(m

)

ESCALNDECARGA

58

Grfica 10: Desplazamiento en x (m) Vs Fuerza Vertical

ESCALN DE CARGA FVERTICAL (kN) DESP. X (m) 0 0 0 1 -0,05946 6,00E-04 10 -0,59996 0,00664 20 -1,19988 0,01485 30 -1,79972 0,02529 40 -2,39936 0,039 50 -2,99969 0,05782 60 -3,59948 0,08526 70 -4,19911 0,12892 80 -4,79804 0,20935 90 -5,39381 0,40779 97 -5,75459 0,79471

Tabla 16: Fuerza Vertical vs Desplazamiento en x (m)

FUERZA CRTICA DE PANDEO Fcr 5,75459kN

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,00 0,60 1,20 1,80 2,40 3,00 3,60 4,20 4,80 5,39

DESPLAZA

MIENTO

EN"X"

(m)

FUERZAVERTICAL(kN) Fcr

59

CASO 5: MNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA LATERAL Y AXIAL CON GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRTICA DE PANDEO

En este modelo se utilizan las fuerzas correspondientes a los distintos

estados de equilibrio calculados automticamente por el programa en el caso 4, con las mismas fuerzas ahora siendo seguidoras, hasta alcanzar la carga crtica de Euler. Posteriormente se comparan los resultados con el caso anterior para conocer la influencia de una fuerza seguidora respecto a una no seguidora.




Fuerza Axial 6 Fuerza Lateral 0,045




60

CoordenadainicialenX

(m)

CoordenadainicialenZ

(m)

CoordenadafinalenX

(m)

CoordenadafinalenZ

(m)0 0 0,00 0,000 1,25 0,01 1,250 2,5 0,04 2,500 3,75 0,11 3,750 5 0,23 4,990 5,625 0,30 5,610 6,25 0,38 6,230 7,5 0,58 7,470 8,75 0,80 8,700 10 1,04 9,92

Tabla 18: Desplazamiento en z (m) vs Desplazamiento en x (m)

Grfica 11: Desplazamiento en z (m) Vs Desplazamiento en x (m) Fuerza seguidora

CASO DE CARGA QUE GENERA EL MXIMO DESPLAZAMIENTO:

F2 2,99969kNF1 0,03985kN

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 0,5 1 1,5

DESPLAZA

MIENTO

ENZ(m

)

DESPLAZAMIENTOENX(m)

ESCALNDECARGA1

ESCALNDECARGA2

ESCALNDECARGA3

ESCALNDECARGA4

ESCALNDECARGA5

ESCALNDECARGA6

ESCALNDECARGA7

ESCALNDECARGA8

ESCALNDECARGA9

ESCALNDECARGA10

ESCALNDECARGA11

61

Si comparamos los dos casos estudiados, se observa lo siguiente:

FUERZAS SEGUIDORAS FUERZAS NO SEGUIDORAS

La solucin se encuentra en el paso 55 La solucin se encuentra en el paso 97 La carga mxima Axial es: -2,99969 kN La carga mxima Axial es: -5,75459 kN

Estos datos permiten deducir que para el caso de carga estudiado y las

condiciones de contorno impuestas, la carga crtica seguidora es aproximadamente el 50 % de la carga crtica del caso 4, por lo tanto se puede determinar:

FUERZAS NO SEGUIDORAS: FUERZAS SEGUIDORAS:

I, 2,35I 1,20

Es necesario destacar que la convergencia del proceso iterativo depende en la proximidad de la estimacin inicial de la solucin particular buscada. Por otra parte, cualquier problema con condiciones de contorno similares y fuerzas conservadoras, para mnsula muy flexible admite mltiples soluciones de equilibrio, de esta manera queda demostrado que la carga crtica de pandeo para el caso de fuerzas seguidoras estticas es mucho menor que para el caso de fuerzas dinmicas.

Grfica 12: Desplazamiento en z Vs Desplazamiento en x Fuerza no seguidora y Fuerza seguidora

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

DESPLAZA

MIENTO

ENZ(m

)

DESPLAZAMIENTOENX(m)

FUERZANOSEGUIDORA

FUERZASEGUIDORA

62

COMPARACIN DE LA METODOLOGA DE ESTUDIO Y RESULTADOS OBTENIDOS EN EL CASO 3 CON LOS ANLISIS SHARVTSMAN

Semejanzas:

1. El anlisis se limita al estudio de mnsula.

2. No se considera la amortiguacin externa debido a que es un anlisis esttico.

3. En el estudio se comparan dos modelos, sometidos a dos fuerzas puntuales y seguidoras.

4. Se estudia el anlisis para grandes desplazamientos.

5. Se hace un anlisis esttico no lineal.

6. Se sigue el criterio de Euler.

7. El comportamiento de la mnsula se puede obtener con las condiciones de contorno.

8. Ambos casos estudiados llevan a diferentes ecuaciones de equilibrio para una misma mnsula cuando se incrementan las cargas.

Diferencias:

B.S. SHVARTSMAN DANIEL RABASCALL

Se desconoce. El anlisis se hace mediante elementos finitos utilizando el programa SAP2000 .

Se desconocen los parmetros de entrada.

Se consideran todos los parmetros de elasticidad, rigidez y geometra.

63

COMPARACIN DE LA METODOLOGA DE ESTUDIO Y RESULTADOS OBTENIDOS EN EL CASO 4 Y 5 CON LOS ANLISIS DE LESLAW KWASNIEWSKI

Semejanzas:

1. El anlisis se limita al estudio de mnsula.

2. No se considera la amortiguacin externa debido a que es un anlisis esttico.

3. En el estudio se comparan dos modelos, sometidos a dos fuerzas puntuales y seguidoras.

4. Se estudia el anlisis para grandes desplazamientos.

5. Se hace un anlisis esttico no lineal.

6. Se sigue el criterio de Euler.

7. El comportamiento de la mnsula se puede obtener con las condiciones de contorno.

8. Ambos casos estudiados llevan a diferentes ecuaciones de equilibrio para una misma mnsula cuando se incrementan las cargas.

Diferencias:

L. KWASNIEWSKI DANIEL RABASCALL Se considera el amortiguamiento externo proporcional a la velocidad (viscosa)

No se considera el amortiguamiento externo debido a que es un anlisis esttico

Se estudia una fuerza axial seguidora y a una fuerza lateral no seguidora en el extremo con una fuerza de impulso

Se estudia una fuerza axial y lateral seguidora en el extremo

Se hace un anlisis dinmico no lineal Se hace un anlisis esttico no lineal

El anlisis se hace mediante utilizando el programa LS-DYNA

El anlisis se hace utilizando el programa SAP2000

Los resultados dependen de la variacin de carga en el tiempo y en la instancia de tiempo en el que se rompe la simetra del modelo por parte de la carga de impulso

Los resultados dependen de los casos de carga impuestos y de las caractersticas del material

La mnsula presenta inestabilidad por aleteo o flameo La mnsula no presenta inestabilidad

20,05 La carga crtica en el anlisis dinmico:

1,20 La carga crtica en el anlisis esttico:

ANEXOS

65

3.5 PASOS GENERALES PARA EL CLCULO DE UNA MNSULA SOMETIDA A GRANDES DESPLAZAMIENTOS Y FUERZA SEGUIDORA EN SAP2000

MATERIAL

PPROPIEDADES

SECCIN

ALTO Y ANCHO DE LA SECCIN

TIPO DE MATERIAL

66

TIPO DE SECCIN

(Particular para secciones de

hormign)

REA DE CORTE: SE MODIFICA

PARA EVITAR QUE DEFORME EN SUS

PLANOS TRANSVERSALES

67

PATRONES DE CARGA

TIPO DE CARGA FACTOR MULTIPLICADOR

CASOS DE CARGA

TIPO DE CASO DE CARGA

68

PANDEO

CARGA APLICADA AL

PANDEO

FACTOR DE ESCALA

No. DE MODOS DE PANDEO TOLERANCIA

PARA LA CONVERGENCIA

DE LOS AUTOVALORES

INICIAR DESDE EL PRIMER

ESTADO

TIPO DE ANLISIS

CARGA APLICADA AL ANALISIS ESTTICO

69

CARGA APLICADA PARA EL ANLISIS NO LINEAL

TIPO DE ANLISIS

PARMETRO DE GEOMETRA

NO LINEAL

CONTROL DE APLICACIN DE

LA CARGA

DIRECCIN DEL DESPLAZAMIENTO

A MONITOREAR

NODO A MONITOREAR

CONTROL DE APLICACIN DE

LA CARGA

70

ANLISIS EN MULTIPLES

PASOS

MINIMO 10 PASOS, MXIMO

100.

PARMETROS DE CONTROL PARA EL ANLISIS

NUMRICO

MTODO DE DESCARGA DE RTULAS:

- DESCARGAR LA

ESTRUCTURA

71

CONCLUSIONES

1. Las teoras clsicas de vigas Euler Bernoulli permiten resolver

problemas tpicos de ingeniera, pero no entregan buenas previsiones cuando se producen grandes desplazamientos ante fuerzas seguidoras.

2. Se ha encontrado una expresin analtica exacta, para las coordenadas x e y a lo largo de la longitud de la mnsula curva, sin embargo, las expresiones para dx y dy no pueden integrarse, por lo tanto es imprescindible usar un programa que utilice el mtodo de elementos finitos (en este trabajo se ha utilizado el SAP2000).

3. Una vez analizados los casos propuestos se ha demostrado que:

3.1.- La fuerza seguidora puede ser estudiada mediante un programa comercial que utilice el mtodo de elementos finitos.

3.2.- Al incrementar la carga en una mnsula sometida a fuerzas seguidoras aumentan los desplazamientos.

3.3.- Se obtienen distintos estados de equilibrio cuando se estudian grandes desplazamientos.

3.4.- Es posible determinar la carga crtica de pandeo en un anlisis esttico no lineal para cualquier mnsula sometida a fuerzas seguidoras. 3.5.- Los resultados obtenidos mediante el programa SAP2000, estn bastante ajustados a la realidad.

4. El estudio de fuerzas seguidoras y grandes desplazamientos debe

hacerse mediante un anlisis no lineal, debido a los cambios significativos que ocurren en la geometra de la estructura al aparecer un nuevo estado de equilibrio.

5. El anlisis realizado en este trabajo es fcilmente ajustable al anlisis de fuerzas hidrostticas

6. Se ha conseguido la semiautomatizacin para el estudio de la fuerza seguidora.

7. Se ha propuesto una metodologa para el estudio de la fuerza seguidora en una mnsula.

8. Un elemento a flexin sometido flexin bajo fuerzas seguidoras genera mayores desplazamientos que ante fuerzas no seguidoras.

72

FUTUROS PROYECTOS

Utilizar la formulacin encontrada e introducirla en un programa que maneje el lenguaje del mtodo elementos finitos y que permita comprobar los resultados obtenidos.

Realizar el estudio de fuerzas seguidoras modificando los ngulos y ajustar la metodologa para los nuevos casos.

Realizar el estudio de fuerzas distribuidas seguidoras, en mnsulas y comparar con los resultados obtenidos para el caso de fuerzas puntuales.

Realizar el anlisis de fuerzas seguidoras para distintas condiciones de

contorno (empotrado empotrado y articulado articulado). Realizar el estudio de fuerzas seguidoras utilizando materiales no lineales.

Realizar un anlisis dinmico de fuerzas seguidoras, donde se determine la

inestabilidad por aleteo o flameo.

73

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