Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler y el modelo de Vlasov Modificado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

“ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO ELMODELO DE WINKLER Y EL MODELO DE VLASOV

MODIFICADO”

Tesis presentada por:

OSCAR GUILLERMO CRUZ LUPACA

Para optar el título profesional de INGENIERO CIVIL

Director de tesis:

Ing. Calixtro Yanqui Murillo

Arequipa, Enero del 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Título de la Tesis:

“ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO ELMODELO DE WINKLER Y EL MODELO DE VLASOV

MODIFICADO”

Nombre del Tesista:

OSCAR GUILLERMO CRUZ LUPACA

Aprobado por: ……………………………………………………………………….......

Jurado de la Tesis:

Nombre Firma

Ing. Calixtro Yanqui Murillo ……………………………………………………

Ing. Fernando Enciso Miranda …………………………………………………….

Ing. Nestor Tupa Fernández …………………………………………………….

Arequipa 16 de enero del 2012

Dedicatoria i

Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

Dedicatoria

A mis padres, que siempre estuvieron a mi ladodándome su cariño y comprensión.

A mis hermanos, por los buenos consejos y su apoyoconstante hacia mí.

Agradecimientos ii


Agradecimientos

Antes y durante el curso del presente trabajo, muchaspersonas han contribuido de varias formas y por ello

les expreso mi gratitud.

Expresar un sincero agradecimiento a mi director deTesis M. S. Calixtro Yanqui Murillo, por el

asesoramiento, la gran ayuda y colaboración brindadaen el presente trabajo.

Al ing. John Aragón Brousset, por su desinteresadoapoyo y consejos brindados.

También deseo expresar mi apreciación profunda a losprofesores Ing. Vitaliano Pérez Pachari, Ing. Fidel Copa

Pineda, Ing. Fernando Enciso Miranda y al Ing.Humberto Cabrera Roa, por la influencia que ellos han

tenido en mi desarrollo profesional durante mis estudiosen la Facultad de Ingeniería Civil.

A todos mis profesores de la Facultad de IngenieríaCivil por su apoyo constante y desinteresado.

Resumen iii


RESUMEN

Todas las construcciones realizadas en el campo de la ingeniería civil utilizan algún tipo decimentación, la cual tiene por función transmitir las cargas producidas en la superestructurahacia el suelo de asiento. Uno de los mayores problemas en el análisis de cimentaciones es elcálculo de la distribución de presiones que el suelo ejerce sobre la cimentación, lo cualpresenta una dificultad considerable debido a la interacción estática entre el suelo y laestructura.

Uno de los modelos más utilizados en la práctica es el modelo de Winkler, el cual presentaciertos problemas, tal como la necesidad de la evaluación del módulo de reacción delsubgrado, k , que no tiene un único valor para un suelo en particular o un sistema de cargassobre la losa, otra desventaja del modelo de Winkler es que da un desplazamiento constante dela losa para una carga uniformemente distribuida, lo cual ocasiona momentos flectores yfuerzas cortantes nulas en la losa, generando un diseño deficiente, sin embargo, el modelo deWinkler ha sido utilizado para múltiples diseños por ingenieros prácticos debido a susimplicidad.

Varios investigadores han tratado de mejorar el modelo de Winkler para considerar la energíade deformación cortante en el suelo. De todos los modelos, el modelo de Vlasov modificado,desarrollado bajo la teoría de la elasticidad, ha atraído la atención de muchos ingenieros, yaque se presenta como un modelo mixto debido a la semejanza que presenta con el modelo deWinkler. Por otro lado la idealización del suelo como un medio homogéneo, semi-infinito ylinealmente elástico representa de forma aproximada el comportamiento de suelos cohesivos,aunque su implementación resulta ser muy complicada.

En los primeros capítulos del presente trabajo se muestra un breve repaso de conceptosfundamentales de la mecánica de suelos y del método de elementos finitos utilizado en elanálisis estructural, en el cuarto capítulo se presenta la implementación del MEF en el análisisde losas de cimentación a través del modelo de Winkler, mientras que en el quinto y sextocapítulo se hace un estudio del modelo de Vlasov y su implementación por el MEF;finalmente en el último capítulo se consideró el análisis de losas de cimentación a través de losmodelo de Winkler y Vlasov modificado, implementándose una rutina en el programaMathcad; cabe resaltar que la rutina implementada fue realizada con el único objetivo de servirde guía al lector para la utilización del MEF.

Abstract iv


ABSTRACT

There are many different sorts of foundation, which their main functions are to support varioustypes of civil engineering structures and to transfer the loads of the structure to the soil. One ofthe hardest problem in foundation analysis is to determinate the distribution of soil pressureunder the foundation because of soil-structure interaction.

One of the methods that is applied is Wrinkle’s method which has some deficiencies, such asthe necessity of consider the soil subgrade property k , that not have a single value because ofthe soil or load distribution; other disadvantage is that the displacement is constant when theload over the mat is constant producing null bending moments and shear forces in the mat , asa result, it is usual getting a deficient design, however, Wrinkle’s method has been applied foryears because of its simplicity.

Many researchers have tried to improve Wrinkle’s method taking consideration shear strainenergy. Modified Vlasov´s foundation model, developed under theory of elasticity, hasattracted many engineers because it is a mixed method similar to Wrinkle’s method. On theother side the idealization of a homogeneous soil, half-infinite and linearly elastic roughlyrepresents the behavior of cohesive soil, although its implementation is very complicated.

The firsts chapters of this book develop a summary of fundamental soil mechanic conceptsand finite element method applied to structural analysis. The fourth chapter presents theimplementation of FEM in the analysis of mat foundations through the Winkler model, , whilein the fifth and sixth chapter is made a study of the Vlasov’s model and its implementation bythe FEM, and finally the last chapter considered the analysis of mat foundations over theWinkler model and modified Vlasov, implementing a routine in Mathcad program, it shouldbe noted that the routine ,that was implemented, was conducted with the sole purpose ofguiding the reader to use FEM.

Contenido v


CONTENIDO

DEDICATORIA i

AGRADECIMIENTOS ii

RESUMEN iii

ABSTRACT iv

CONTENIDO v

CAPÍTULO 1LOSAS DE CIMENTACIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN 1

1.2. TIPOS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN 2

1.3. CAPACIDAD DE CARGA EN LOSAS DE CIMENTACIÓN 41.3.1. Ecuación general para la capacidad de carga en suelos 41.3.2. Capacidad de carga admisible 51.3.3. Evaluación de la Capacidad de carga en losas de cimentación 6

1.4. ASENTAMIENTOS ADMISIBLES EN LOSAS DE CIMENTACIÓN 8

1.4.1. Cálculo de asentamientos elásticos basados en la teoría de la elasticidad 91.4.2. Asentamiento por consolidación 131.4.3. Asentamientos admisibles en losas de cimentación 14

1.5. METODOLOGÍAS PARA EL ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN ESTÁTICASUELO-ESTRUCTURA 19

1.5.1. Planteamiento del problema de contacto 201.5.2. Principales modelos de suelos 211.5.3. Modelos matemáticos empleados en la solución del problema de contacto 28

1.6. MÓDULO DE BALASTO 30

1.6.1. Obtención del módulo de balasto 31

CAPÍTULO 2EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL Y BIDIMENSIONAL

2.1 INTRODUCCIÓN 34

2.2 ESFUERZOS Y EQUILIBRIO 37

2.2.1. Esfuerzos 372.2.2. Equilibrio 38

2.3 CONDICIONES DE FRONTERA 40

2.4 RELACIONES DEFORMACIÓN UNITARIA-DESPLAZAMIENTO 41

Contenido vi


2.5 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA 42

2.5.1. Teoría de Elasticidad en dos dimensiones 432.5.2. Deformación plana 432.5.3. Esfuerzo plano 44

2.6 ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO 45

2.7 FUNCIONES DE FORMA 46

2.7.1. Forma de los elementos 492.7.2. Formulación isoparamétrica 502.7.3. Convergencia a la solución 522.7.4. Propiedades de las funciones de interpolación 53

2.8 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS 53

2.8.1. Fórmula para dos puntos de evaluación 542.8.2. Generalización del método 552.8.3. Uso de la cuadratura de Gauss en dos y tres dimensiones 58

2.9 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES 59

2.9.1. Construcción del método de elementos finitos 602.9.2. Esquema de numeración 602.9.3. Funciones de forma lineal 612.9.4. Funciones de forma cuadrática 68

2.10 ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES 72

2.10.1. Triangulo de deformación unitaria constante 732.10.2. Elemento finito bidimensional cuadrilátero de cuatro nodos 85

2.11 ANÁLISIS DE FLEXIÓN EN VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOSFINITOS 94

2.11.1. Planteamiento del método de elementos finitos en vigas 962.11.2. Matriz de rigidez del elemento 992.11.3. Términos de fuerza 1002.11.4. Matriz de rigidez de vigas sobre soportes elásticos 101

CAPÍTULO 3EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS APLICADO A LOSAS


3.2. ANÁLISIS DE LOSAS DELGADAS CON PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS(TEORÍA DE KIRCHHOFF) 104

3.2.1. Teoría clásica de flexión en placas 1043.2.2. Relaciones entre desplazamientos y deformación unitarias 1063.2.3. Estado de tensiones 1073.2.4. Fuerzas internas 108

Contenido vii


3.3. ELEMENTO FINITO RECTANGULAR DE 12 GDL PARA LOSAS 111

3.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO PARA LOSAS 118

3.4.1. Energía potencial de un elemento placa 1213.4.2. Vector de fuerzas nodales equivalentes 1233.4.3. Condiciones de contorno 1243.4.4. Análisis de conformidad del elemento 127

3.5. CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 129

3.6. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES 133

CAPÍTULO 4ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE

WINKLER


4.2. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍADE WINKLER 138

4.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE ALMODELO DE WINKLER 139

4.3.1. Aplicación del método de elementos finitos a una fundación de Winkler 1394.3.2. Enfoque de la energía potencial 141


4.5. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES ENLA LOSA DE CIMENTACIÓN 145

CAPÍTULO 5APLICACIÓN DEL MÉTODO VARIACIONAL A LA TEORÍA DE FUNDACIONES

ELÁSTICAS


5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS VARIACIONALES 149

5.2.1. Cálculo variacional 1495.2.2. Métodos variacionales directos 149

5.3. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO VARIACIONAL USADO EN LAREDUCCIÓN DE PROBLEMAS BIDIMENSIONALES A PROBLEMASUNIDIMENSIONALES EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD 151

5.4. MODELOS DE CÁLCULO PARA LAS DEFORMACIONESBIDIMENSIONALES DE FUNDACIONES ELÁSTICAS 160

5.5. MODELO PLANO DE FUNDACIONES ELÁSTICAS CON DOSPARÁMETROS 167

5.5.1. Ecuación diferencial básica 167

Contenido viii


5.5.2. Selección de la función de distribución transversal de desplazamientos 1685.5.3. Efecto de las cargas verticales concentradas 1705.5.4. Efecto de las cargas verticales distribuidas 172

5.6. FUNDACIONES ELÁSTICAS DE DOS CAPAS 174

CAPÍTULO 6ANÁLISIS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE

VLASOV


6.2. DESARROLLO DEL MÉTODO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍADE VLASOV 180

6.2.1. Modelo tridimensional para el cálculo de deformaciones en una fundaciónelástica 180

6.2.2. Modelo tridimensional de dos parámetros para fundaciones elásticas 1866.2.3. Ecuación diferencial para la flexión en losas sobre fundaciones elásticas

con dos parámetros 1886.2.4. Evaluación de la función de forma ( ) 1906.2.5. Desplazamiento del suelo fuera del dominio de la losa 1916.2.6. Determinación del parámetro 192

6.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE ALMODELO DE VLASOV 194

6.3.1. Energía de deformación del sistema 1946.3.2. Energía de deformación del elemento 1966.3.3. Calculo de la matriz de rigidez local del elemento rectangular 1966.3.4. Calculo de la rigidez en los bordes 2026.3.5. Calculo de la rigidez en las esquinas 205


6.5. CALCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LALOSA DE CIMENTACIÓN 207

CAPÍTULO 7PROGRAMACIÓN, ANÁLISIS DE RESULTADOS Y COMPARACIÓN DE AMBOS

MODELOS

7.1. DESCRIPCIÓN DE LA PROGRAMACIÓN EJECUTADA EN MATHCAD 211

7.1.1. Fase de entrada 2117.1.2. Procesamiento de datos 2127.1.3. Fase de salida 214

7.2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER 214

7.2.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente 2147.2.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual 2177.2.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas 221

Contenido ix


7.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE VLASOVMODIFICADO 224

7.3.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente 2247.3.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual 2277.3.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas 230

7.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS POR AMBAS MODELOS 232

7.4.1. Comparación de ambos modelos con la teoría de la Elasticidad 2337.4.2. Comparación de valores obtenidos con el MEF y los resultados obtenidos

por Straughan a través del método de diferencias finitas para el modelode Vlasov modificado 243

7.4.3. Comparación de resultados obtenidos con el modelo de Vlasov modificadoy con el modelo de Winkler 246

CONCLUSIONES 253

RECOMENDACIONES 255

BIBLIOGRAFÍA 256

ANEXO 1.A: Incremento del esfuerzo vertical en el suelo producido por lascargas de la cimentación 258

ANEXO 7.A: Análisis de losas de cimentación mediante el modelo de Winkler 263

ANEXO 7.B: Análisis de losas de cimentación mediante el modelo de Vlasovmodificado 283

ANEXO 7.C: Resultados nodales de los ejercicios desarrollados 309


CAPÍTULO

1LOSAS DE CIMENTACIÓN

1.1 INTRODUCCIÓN

En general, una cimentación es un elemento que transmite las fuerzas generadas en lasuperestructura hacia el terreno de fundación. Un diseño adecuado garantiza la estabilidad dela estructura, razón por la cual demanda una considerable importancia en el planeamiento deobras civiles tales como edificaciones, obras hidráulicas, obras de transportes, entre otras;además de ser constructivamente el punto de partida de toda estructura.

Las investigaciones sobre la capacidad de carga y estabilidad de cimentaciones en suelos quese han venido desarrollando hasta tiempos recientes, si bien es cierto no resuelven el problemade las cimentaciones por la serie de simplificaciones que adoptan, dan un rumbo al análisis defundaciones, lo que hace pensar que el arte de cimentar tiende cada día más a lo científico.

En la actualidad existen varias formas y técnicas para lograr una cimentación adecuada,utilizándose aquella que cumpla con los requerimientos de estabilidad y resistencia del suelo yque cuya construcción garantice también la economía del proyecto; siendo una de estas formasla cimentación mediante losa.

Una losa de cimentación es aquel elemento estructural de fundación cuyas dimensiones enplanta son mucho mayores a su espesor. En cuanto al análisis estructural se puede decir que escomplicado debido a su interacción con el suelo y la superestructura.

- 2 - Cap.1 – Losas de cimentación


El planteamiento de una losa de cimentación tiene una serie de ventajas en lo referente a losasentamientos totales y diferenciales, así como también en minimizar las presionestransmitidas al suelo, pero conlleva a un fuerte consumo de recursos en comparación con otrostipos de cimentación. La idea que la losa de cimentación es la solución a casi todos losproblemas es falsa ya que presenta algunos problemas estructurales y geotécnicos.

Generalmente, se utilizan losas de cimentación cuando se tienen los siguientes casos:

• Cuando el área de cimentación es mayor que el 50% del área techada; esto se da enedificios altos con más de 10 pisos o en suelos con capacidad portante baja (<1.5 kg/cm ).

• Cuando se requiere un sótano en un suelo con nivel freático alto.

• Cuando se requiere reducir los asentamientos diferenciales en terrenos heterogéneos ocon oquedades en el suelo.

• También se utilizan en cimentaciones compensadas donde se excava sótanos con lafinalidad de aumentar la capacidad de carga del terreno.

1.2 TIPOS DE LOSAS DE CIMENTACIÓN

Se plantea generalmente una cimentación por losa cuando el área de cimentación esmás del 50% del área techada de la edificación, es evidente la simplicidad de esta regla ya queno toma en cuenta los efectos de las presiones en el suelo ni las distancias entre columnas.

Las losas de cimentación pueden ser macizas, aligeradas o disponer de elementos de refuerzotales como pedestales para mejorar su resistencia al punzonamiento.

También se puede emplear losas en cimentaciones compensadas, este tipo de cimentación secaracteriza por la existencia de sótanos en la edificación de manera que el peso de terrenoexcavado es cercano al peso de la edificación; la losa distribuye uniformemente las presionesen toda su superficie presentando asentamientos diferenciales pequeños en el suelo.

Antes de dar una clasificación es preciso exponer los factores que determinan la correctaelección del tipo de cimentación para una determinada estructura; estos factores puedenagruparse en tres clases principales.

• Factores definidos por la superestructura; tales como los tipos de cargas que transmite,materiales de construcción, entre otros.

• Factores que dependen del suelo; tales como su resistencia, su compresibilidad,propiedades hidráulicas, etc.

• Factores económicos; los cuales buscan el balance entre la importancia de lasuperestructura y el costo de la cimentación.



Figura 1.1 esquema de una losa de cimentación

En la actualidad se usa una tipología amplia de losas de cimentación, siendo las siguientes lasmás comunes.

• Losas de canto constante: son las más utilizadas por la facilidad en su construcción, lautilización mínima de encofrado y la facilidad en la colocación del refuerzo de acero.(figura 1.2a).

a) b)

c) d)Figura 1.2 Tipos de losas de cimentación a) de canto constante b) con mayor espesor debajo de las columnas c)

losas nervadas d) con muros de sótano como parte de la cimentación



• Losas con mayor espesor bajo las columnas: para mejorar su resistencia alpunzonamiento. (figura 1.2b).

• Losas nervadas: las cuales contienen vigas que corren en dos direcciones en cuyasintersecciones se ubican las columnas. (figura 1.2c).

• Losas con muros de sótano como parte de la cimentación: donde los muros brindan unamayor rigidez a la losa. (figura 1.2d).

1.3 CAPACIDAD DE CARGA EN LOSAS DE CIMENTACIÓN

Actualmente los modelos utilizados para obtener la capacidad portante del suelo sonsuperposiciones de reglas empíricas dadas en la práctica que combinados con la teoría danresultados aceptables, estos modelos, generalmente, han sido desarrollados para el caso dezapatas rígidas de extensión infinita, pero para fines prácticos son utilizados en otros tipos decimentaciones, para cuyo caso incluyen algunos factores de corrección.

1.3.1. Ecuación general para la capacidad de carga en suelos

Las formulaciones presentadas a continuación son una combinación de resultadosobtenidos a través de la teoría de la plasticidad y expresiones empíricas basadas en datosexperimentales. = + + [1.1]

Donde:, ∶ Factores de forma, ∶ Factores de profundidad, ∶ Factores por inclinación de la carga, ∶ Factores de capacidad de carga= 45 + [1.2]= ( − 1) [1.3]= 2 + 1 [1.4]

Factores de forma= 1 += 1 += 1 − 0.4 [1.5]

Donde:∶ Longitud de la cimentación ( > )∶ Ancho de la cimentación



∶ Angulo de Fricción interna del suelo

Factores de profundidad

Condición (a): / ≤ 1= 1 + 0.4= 1 + 2 (1 − )= 1 [1.6]

Condición (b): / > 1= 1 + 0.4= 1 + 2 (1 − )= 1 [1.7]

Factores de inclinación de la carga= = 1 − °°= 1 − [1.8]

Donde:∶ Inclinación de la carga sobre la cimentación con respecto a la vertical∶ Profundidad de Desplante

1.3.2. Capacidad de carga admisible1

Las incertidumbres que presentan las ecuaciones anteriores debido a lassimplificaciones y suposiciones tomadas en cuenta para su desarrollo, así como la inexactituden la obtención de las propiedades del suelo conllevan a una cierta inseguridad en lautilización de estas ecuaciones, es por ello que se hace necesaria la utilización de un factor deseguridad para poder garantizar la resistencia del suelo ante las cargas solicitadas.

El valor del factor de seguridad debe ser evaluado dependiendo de la importancia de laestructura, la uniformidad del suelo, las incertidumbres en la determinación de las propiedadesdel suelo, entre otras. Generalmente, el valor del factor de seguridad oscila entre 2 a 5tomándose comúnmente el valor de 3.= = [1.9]



Algunos ingenieros prefieren usar las terminologías de capacidad última neta y capacidadadmisible neta, las cuales están definidas por las siguientes ecuaciones.( ) = − [1.10]

( ) = [1.11]Donde:∶ Capacidad de carga ultima∶ Carga correspondiente al suelo situado sobre la cimentación =∶ Factor de seguridad

1.3.3. Evaluación de la Capacidad de carga en losas de cimentación2

Para el análisis geotécnico de la capacidad portante en suelos se tiene que tomar encuenta todas las cargas que actúan sobre el cimiento, como las cargas provenientes de lascolumnas, el peso propio del cimiento, el peso del material de relleno, entre otras; en cambio,para determinar los esfuerzos en la losa solo es necesario tomar en cuenta las fuerzastrasmitidas por las columnas hacia la cimentación, debido a que las cargas como el pesopropio y el peso del relleno son contrarrestados por la reacción que ejerce el suelo sobre lacimentación.

La carga máxima aplicable en la cimentación está determinada tanto por la capacidad portanteadmisible del suelo y los asentamientos permisibles que pueden ser tolerados en lacimentación sin afectar la estabilidad de la estructura.

Tal como se vio, la capacidad portante última del suelo para una cimentación rectangular estádada por la ecuación (1.1)= + +Para el caso de una cimentación sobre un terreno arcilloso con = 0 la ecuación anterior sereduce a: = + [1.12]Donde el valor de es la cohesión del suelo obtenida en condición no drenada. El valor delcoeficiente esta dado por la ecuación (1.13) que fue obtenido por Prandtl para el caso desuelos puramente cohesivos.= ( + 2) [1.13]Donde se ve que el valor de esta dado por:= ( + 2) = 5.14 [1.14]También, las expresiones para y fueron dadas en las ecuaciones (1.5) y (1.6);considerando un ángulo de fricción nulo estas quedan reducidas a:



= 1 + = 1 + . = 1 + . [1.15]= 1 + 0.4 [1.16]Sustituyendo las ecuaciones (1.14), (1.15) y (1.16) en la ecuación (1.12), se tiene:= 5.14 1 + . 1 + 0.4 + [1.17]También se vio que la carga admisible última neta está dada por:

( ) = −Sustituyendo la ecuación (1.17) en esta última expresión se tiene;

( ) = − = 5.14 1 + . 1 + 0.4 [1.18]Y por último, para obtener la carga neta admisible bastara dividir la carga neta ultima por unfactor de seguridad apropiado, donde en el caso de arcillas generalmente se toma un valorpromedio de 3, valor que fue tomado para la ecuación (1.19).

( ) = ( ) = 1.713 1 + . 1 + 0.4 [1.19]

Para suelos granulares es conveniente calcular la carga neta admisible a través de los númerosde penetración estándar; cuya ecuación viene dada por:

( )( / ) = 11.98 . . . [1.20]

Donde:= Resistencia por penetración estándar corregida= Ancho de la cimentación (m)= 1 + 0.33 / ≤ 1.33= Asentamiento (mm)

Como es lógico, el ancho B en las losas de cimentación es grande, por lo tanto, el valor de3.28 + 1 puede aproximarse a 3.28 ; tomando en cuenta esta aproximación y sustituyendoel valor de en (1.20), la ecuación (1.20) queda dada por la siguiente expresión:

( )( / ) = 11.98 1 + 0.33 . [1.21]

Es necesario resaltar que debido a la formulación dada para el valor de ( ) quedará

limitado, tal como se ve en la ecuación (1.22).

( )( / ) ≤ 15.93 . [1.22]



Donde la carga neta aplicada a la losa de cimentación está dada por las cargas que transmitenlas columnas entre el área de la losa (carga muerta de la estructura más carga viva esperada) yel peso de la cimentación, menos el peso del suelo extraído para cimentar.= − [1.23]

Figura 1.3 Carga neta ejercida por una losa de cimentación sobre el suelo (Fuente: Braja M. Das, 1984,Principios de ingeniería de cimentaciones, fig5.4, P 303)

1.4 ASENTAMIENTOS ADMISIBLES EN LOSAS DE CIMENTACIÓN3

Tal como se dijo anteriormente, las cargas admisibles para el diseño de unacimentación dependen no solo de la capacidad de carga del terreno, sino también de losasentamientos totales y diferenciales que puedan ocurrir en la cimentación, ya que si estos sonexcesivos ocasionaran esfuerzos en los elementos de la superestructura afectandosignificativamente la estabilidad y la resistencia de la misma; es por ello que el valor de

deberá de ser menor o igual al valor de y al valor de carga que cause asentamientos

admisibles.

Los asentamientos en el suelo son la suma de los asentamientos inmediatos y losasentamientos ocasionados por el fenómeno de consolidación. Los asentamientos inmediatosse producen inmediatamente después de la construcción de la estructura, mientras que losasentamientos por consolidación se producen por la expulsión del agua intersticial en lossuelos arcillosos saturados, este fenómeno no ocurre de inmediato sino que se produce a lolargo del tiempo.

Para calcular los asentamientos en el suelo es necesario conocer primero el incremento deesfuerzos producidos por la cimentación en el suelo. En el anexo 1.A se muestra algunasexpresiones para calcular el incremento de esfuerzo vertical producido por distintos tipos decarga.



1.4.1. Cálculo de asentamientos elásticos basados en la teoría de la elasticidad

Utilizando la teoría de la elasticidad el asentamiento inmediato es calculado con lasiguiente expresión= ∫ = ∫ ∆ − ∆ − ∆ [1.24]

Donde:= Asentamiento elástico= Módulo de elasticidad del suelo= Espesor del estrato de suelo= Relación de Poisson del suelo∆ , ∆ ∆ = Incremento del esfuerzo debido a la carga neta aplicada a la cimentación en

las direcciones x, y, z, respectivamente.

Según Steinbrenner (1934) para el caso de = 0, = ∞ y considerando una cimentación

perfectamente elástica, el asentamiento del suelo es:

• Para la esquina de una cimentación flexible= (1 − ) [1.25]

• Para el centro de una cimentación flexible= (1 − ) [1.26]

Donde:

= ln + ln [1.27]

= /= Ancho de la cimentación= Longitud de la cimentación

El asentamiento promedio del suelo ante la acción de una zapata rectangular está dada por:

• Promedio para cimentaciones flexibles= (1 − ) [1.28]

Como se puede ver, las expresiones anteriores corresponden al caso de cimentacionesflexibles; para cimentaciones rígidas se tiene la siguiente expresión.

• Cimentación rígida



= (1 − ) [1.29]

Si el espesor de la capa de suelo no es infinita ( < ∞), ya que la capa de suelo se encuentrarestringida por un estrato rígido como se muestra en la figura1.4, el asentamiento en la capa deespesor H está dada por:

• Esquina de la cimentación flexible= (1 − ) [1.30]

• Centro de la cimentación flexible= (1 − )[(1 − ) + (1 − − 2 ) ] [1.31]

Figura 1.4Asentamientos elásticos para cimentaciones rígidas y flexibles (Fuente: Braja M. Das, 1984,Principios de ingeniería de cimentaciones, fig. 4.17, P 242)

Los valores para se dan en las figuras 1.5 y 1.6



Figura 1.5 Variación de con H/B (según Steinbrenner, 1934)




Asentamiento elástico de cimentaciones sobre arcillas saturadas ( = . )

Para evaluar el asentamiento promedio en arcillas saturadas, Janbu propuso la siguienteformulación: = [1.32]

Donde:= Función de ⁄⁄= Función de ⁄Los valores de se muestran en la figura1.7 y fueron dados por Christian y Carrier(1978).

Figura 1.7 Valores de para el cálculo del asentamiento elástico (según Christian y Carrier (1978)



1.4.2. Asentamiento por consolidación

El asentamiento por consolidación de una capa de arcilla de espesor puede serdeterminado por la siguiente expresión:= ∆

[1.33]

Nótese que:∆ = = Deformación unitaria vertical

Figura 1.8 Cálculo del asentamiento unidimensional (Fuente: Braja M. Das, 1984, Principios de ingeniería decimentaciones, fig. 1.22, P 45)

Donde:= Asentamiento∆ = Cambio de la relación de vacíos causada por la aplicación de la carga= Relación de vacíos inicial

Para arcillas normalmente consolidadas la curva de log toma la forma que se muestraen la figua1.8, y la variación de la relación de vacíos causada por el incremento de la cargaestá dado por:



∆ = log ∆[1.34]

Sustituyendo la ecuación (1.34) en (1.33), se tiene:= log ∆[1.35]

Para el caso de arcillas preconsolidadas se tienen los siguientes casos:

• Si + ∆ < se tiene:∆ = log ∆[1.36]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.33) se obtiene:= log ∆[1.37]

• Si < < + ∆ , entonces:∆ = ∆ + ∆ = log + log ∆[1.38]

Combinando las ecuaciones (1.33) y (1.38) obtenemos:= log + log ∆[1.39]

Donde:= Presión efectiva promedio sobre el estrato de arcilla antes de cimentar∆ = Incremento de presión sobre el estrato de arcilla luego de cimentar= Presión de preconsolidación= Relación de vacíos inicial del estrato de arcilla= Índice de compresión= Índice de expansibilidad= Espesor de la capa de arcilla

1.4.3. Asentamientos admisibles en losas de cimentación4

Una vez calculada la presión neta admisible en el suelo será necesario verificar queeste valor no cause asentamientos totales o diferenciales mayores a los límites fijados; ladeterminación de estos valores fijados representa un problema, debido a que se debe tener encuenta el tipo de suelo, la estructura y el tipo de movimiento de la estructura.

Antes será necesario definir la terminología utilizada para describir el movimiento vertical delcimiento. Con referencia a la figura 1.9 se definen los siguientes términos dados por Burland yWroth (1974).



Figura 1.9 Esquema donde se muestran las definiciones utilizadas para describir el movimiento vertical de unacimentación (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Curso aplicado de cimentaciones, fig2.30, P 69)

a) Asentamiento máximo: es el máximo desplazamiento vertical que sufre lacimentación de una edificación ( á ).

b) Asentamiento diferencial: es la diferencia entre los asentamientos de dos puntosdentro de una cimentación ( ); también es de importancia conocer el valor máximo de todoslos asentamientos diferenciales ( á ), el cual viene dado por la diferencia entre elasentamiento máximo y mínimo.

c) Distorsión angular (β): viene dada por la relación entre el asentamiento diferencial dedos puntos y la distancia que separa dichos puntos (L).

d) Flecha relativa: es el valor máximo Δ de un punto con referencia a la línea recta queune los extremos de la cimentación con curvatura del mismo signo, dividido por la distanciaentre dos puntos (Δ/ ).

e) Deformación angular: es la suma de dos distorsiones angulares a ambos lados de unpunto; si la deformación resulta positiva esta será cóncava hacia arriba si resulta un valornegativo esta será convexa.

Los valores límites para asentamientos tanto totales como diferenciales, generalmente, lo danlos reglamentos de construcción de los países, pero en general no existe un criterio único paradeterminar estos valores; es por ello que a continuación se presentan algunos criterios muyutilizados.

Las primeras recomendaciones sobre los asentamientos admisibles fueron dadas por Terzaghiy Peck en 1948, también por Skempton y Mc Donald en 1956 y la norma de URSS de 1962.Estas recomendaciones se reproducen en las siguientes tablas.



Tabla 1.1 criterios tradicionales sobre asentamientos admisibles (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Cursoaplicado de cimentaciones, cuadro 2.10, P 70)

Tabla 1.2 asentamientos máximos admisibles según Norma MV-101(Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989,Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.11, P 70)

Tabla 1.3 asentamientos máximos admisibles según Norma TLG-11464 (1972) (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz,1989, Curso aplicado de cimentaciones, cuadro 2.12, P 71)

Los criterios vistos anteriormente se basan en los asentamientos totales y asentamientosdiferenciales. En 1956 Skempton y Mac Donald, como consecuencia de sus investigacionesrealizadas, se dieron cuenta que más importante que estos asentamientos era la distorsión

Arena ArcillaCimentación por zapatas

* Los valores entre paréntesis corresponden a una recopilación realizada por Burland et. Al. (1977)

CRITERIOS TRADICIONALES SOBRE ASIENTOS ADMISIBLES

Cimentación por losaAsiento máximo 40-65 mm 65-100 mm(200)

Asiento máximo 25-40 mm 65 mm(120)*Asiento diferencial máximo 20-25 mm 40-50 mm(50)

Tipo de cimentación

ASIENTOS GENERALES ADMISIBLES SEGÚN NORMA MV-101

Estructuras de madera

Características del edificioAsiento general, máximo admisible en terrenos:

Sin cohesión(mm) Coherentes(mm)

Estructuras metálicas hiperestáticas

Edificios con muros de fabrica

Edificios con estructura de concreto armado de pequeña rigidez

Estructuras metálicas isostáticas

Obras de carácter monumental 12 25Edificios con estructura de concreto armado de gran rigidez 35 50

Estructuras provisionales

50 75

>50 >75

ASIENTOS ADMISIBLES SEGÚN NORMA TGL-11464 (1972)

Muros de carga, sin armar

Estructuras isostáticas de concreto armado o de acero sinarriostramiento

Muros de carga con zunchos al nivel de los forjados

Asiento máximo admisible en cm*

2.5 4

Tipo de estructuraTerreno granular o terreno cohesivo

de consistencia media o duraTerreno cohesivo deconsistencia plástica

Reticulada de concreto armado o de acero, con arriostramiento

Reticulada hiperestática, o de vigas continuas de concretoarmada o de acero, sin arriostramiento 3 5

5 82 4

3 5*En el caso de emparrillados o losas pueden aumentarse los valores en un 25%



angular ( ). Los criterios de seguridad en función de la distorsión angular son mostrados en latabla 1.4.

Tabla 1.4 Criterios de seguridad respecto a la distorsión angular (Fuente: José M. Rodríguez Ortiz, 1989, Cursoaplicado de cimentaciones, cuadro 2.13, P 72)

El Reglamento Nacional de Edificaciones en la norma E-050 Suelos y cimentaciones5, señalaque el asentamiento diferencial no debe de ocasionar una distorsión angular mayor que laindicada en la siguiente tabla.

1/2000

1/300 - 1/500 1/500

1/100

1/100 - 1/200

1/150

1/500 - 1/700

1/1500

1/2500

1/1000

Estructuras de paneles prefabricados

1/400 - 1/250

1/300

1/600

1/2000 - 1/1000

Limite de seguridad para tabiques de estructuras reticuladas

Limite peligroso para la flexión cóncava de muros de carga

Limite de seguridad para la flexión cóncava de muros de carga

Limite peligroso para la flexión convexa de muros de carga

Limite de seguridad de muros de carga

Limite peligroso para estructuras reticuladas de acero oconcreto y respecto al giro de estructuras rígidas elevadas

1/300

Limite peligroso para estructuras isostáticas y muros decontención

Limite de seguridad para estructuras isostáticas y muros

Limite de seguridad para estructuras reticuladas y respecto algiro de estructuras rígidas

Limite peligroso para tabiques de estructuras reticuladas

DISTINTOS CRITERIOS DE PELIGROSIDAD RESPECTO A LA DISTORSION ANGULAR

Tipo de estructura

Distorsión angular β=δS/LSowers(1962) Berran (1963)

NormasPolacas

Meyerhof(1977)

1/200 - 1/300 1/250



Tabla 1.5 Criterios de seguridad respecto a la distorsión angular según la norma E-050, Suelos y cimentaciones

El comité 336 (1988) del American Concrete Institute6 propone un método para encontrar losasentamientos diferenciales en losas de cimentación en función de la rigidez de la estructura,la cual está dada por .= ´

[1.40]

Donde:´ = Módulo de elasticidad del material usado en la estructura= Módulo de elasticidad del suelo= Ancho de la cimentación= Momento de inercia de la estructura por unidad de longitud en ángulo recto con B

El término ´ se expresa en la siguiente ecuación.´ = ´ + ∑ ´ + ∑ [1.41]

Donde:´ = Rigidez por flexión de la superestructura y cimentación por longitud unitaria enángulo recto con B´ ´ = Rigidez por flexión de los miembros enmarcados en ángulo recto con B∑ ´ = Rigidez por flexión de los muros cortantes= Espesor del muro cortante

1/650

1/750

Limite en que se debe esperar daño estructural en edificiosconvencionales

limite en que la perdida de verticalidad de edificios altos yrígidos pueden ser visibles

Limite en que se debe esperar dificultades con puentes grúas

Limite en que se debe esperar las primeras grietas en paredes

Limite seguro para edificios en los que no se permiten grietas

Limites para cimentaciones rígidas circulares o para anillos decimentación de estructuras rígidas, altas y esbeltas

Limite para edificios rígidos de concreto, cimentados sobre unsolado con espesor aproximado de 1.20m

Limite donde se esperan dificultades en maquinaria sensible aasentamientos

DESCRIPCIÓNDistorsión

angular(β=δ/l)

1/150

1/250

1/300

1/300

1/500

1/500



= Altura del muro cortante´ = Flexibilidad de la cimentación

La relación entre el asentamiento diferencial y el asentamiento total ( / ) viene dada enfunción del valor .

• Si > 0.5, la losa se puede tratar como rígida y por lo tanto, = 0• Si = 0.5, el valor de ≈ 0.1• Si = 0, entonces = 0.35 para losas cuadradas (B/L = 1) y = 0.50 para

cimentaciones largas (B/L = 0)

1.5 METODOLOGÍAS PARA EL ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN ESTÁTICASUELO-ESTRUCTURA7

Las vigas y losas de cimentación se emplean generalmente en estructuras quetransmiten grandes cargas o bien se apoyan en suelos relativamente blandos; el análisis deestos elementos de cimentación presenta una dificultad en determinar las presiones de contactoque se generan en la interfaz del suelo y la cimentación; otro problema radica en la dificultaden encontrar la Rigidez de la superestructura que afecta la rigidez de la cimentación, esteaporte de rigidez es de un complicado cálculo y las metodologías utilizadas no son del todosatisfactorias.

La utilidad de resolver el problema de la interacción suelo estructura consiste en conocer ladistribución de presiones que el suelo ejerce sobre la cimentación y los esfuerzos que estaspresiones causan sobre el elemento de cimentación, esto también permitirá conocer losesfuerzos adicionales causados en la superestructura producto de los asentamientos en elsuelo, lo cual conlleva a tener una idea más clara para un diseño optimo y racional.

La solución de este problema tiene una gran importancia práctica, pues solo de esta manera esposible conocer con cierto grado de precisión la distribución de esfuerzos en la cimentación,así como los esfuerzos y deformaciones que la estructura provoca en el suelo; un cálculo deestos esfuerzos realizado por métodos más elaborados repercute en el proyecto con un ciertoahorro de recursos y materiales sin que esto disminuya la seguridad obtenida con métodostradicionales, sino por el contrario, la seguridad se verá incrementada al reforzarse las zonasde altos esfuerzos.



1.5.1. Planteamiento del problema de contacto

El problema de contacto se da cuando en los contornos de dos cuerpos distintos existenzonas en las cuales se dan condiciones de interacción o contacto, las cuales son:

- Igualdad de desplazamientos en ambos cuerpos en la zona de contacto.- La presión de contacto entre los cuerpos debe ser tal que las deformaciones producto de

los esfuerzos en los cuerpos cumplan con la primera condición enunciada.

La solución del problema planteado consta de dos etapas; la primera consiste en conocer lapresión de contacto entre los cuerpos y la segunda consiste en conocer los desplazamientosque se producen debido a la interacción de estos dos cuerpos.

En el origen del tratamiento de este problema mixto se encuentran los trabajos de H. Hertz(1882 y 1884), de J. Boussinesq (1885), los de E. Winkler (1867) y H. Zimmerman (1888) afinales del siglo pasado, y en este siglo los de M. A. Saldowsky (1928), H. Borowicka (1936),Vlasov y Leont’ev (1960), entre otros.

Planteamiento general

El problema de la interacción estática es un problema tridimensional, pero en formasimplificada puede ser tratado como un problema bidimensional; para ello consideremos unaregión en el plano limitada por las siguientes condiciones:−∞ < < +∞0 ≤ ≤La región se apoya sobre una base rígida e indeformable que se encuentra a una profundidad Hde la superficie del estrato, tal como se muestra en la figura 1.10.

Figura 1.10 Planteamiento general del problema de interacción estática

La región en análisis está limitada en la parte superior por la línea ( = ) y en la parteinferior por la línea ( = 0) (figura 1.10); tal como se muestra existen regiones con limitesa en donde se produce el contacto entre los cuerpos que se encuentran en la superficie y la



capa de asiento denominados como Ω que pertenecen a la línea K . La totalidad de las zonasdonde se produce el contacto queda definida como:

Ω = ΩTambién existen zonas pertenecientes a la línea K donde no se produce el contacto entresuperficies, y por ello definimos la región Ω∗ como una parte de la línea K que no pertenece ala región de contacto Ω. Ω∗ = − ΩEs visto que de estas condiciones se pueden tener dos problemas:

a) La línea definida por representa una superficie rugosa , por lo tanto, se generaránesfuerzos tangenciales en esta zona; en la región Ω perteneciente a la recta se dandesplazamientos normales, mientras que en la región Ω∗ se dan las tensiones normales

b) Las condiciones en la recta son las mismas que el caso anterior, pero la superficiecorrespondiente a la recta no es rugosa, por consiguiente, no se producirán esfuerzostangenciales.

El planteamiento de las condiciones anteriores depende de la naturaleza del suelo en análisis;para el problema tridimensional el planteamiento del problema se realiza en forma análoga.

1.5.2. Principales modelos de suelos

Existe una gran dificultad para obtener un modelo de suelo que se acerque de formasatisfactoria al suelo real, debido a la complejidad de este, es por ello que los modelos desuelos simples han sido los más utilizados durante mucho tiempo. Los modelos estudiadospara describir el problema de interacción estática entre el suelo y la estructura se dividen encuatro grandes grupos:

- Modelos que se apoyan en el coeficiente de balasto.- Modelos que se apoyan en la teoría de la elasticidad.- Modelos Mixtos.- Modelos basados en la mecánica del medio discontinuo.



Figura 1.11 Principales modelos de idealización del suelo

Modelos que se definen a partir del coeficiente de balasto

Como inicio de estos modelos mencionamos al modelo de Winkler o método del coeficientede balasto, llamado así porque se utilizó por primera vez para calcular las traviesas de una víaférrea.

Las soluciones para el caso de vigas de extensión infinita aplicando este modelo fueron dadaspor Zimmerman en 1888; estas soluciones fueron empleadas en el libro de Hetenyi “Beams onelastic foundations” en 1946.

Mod

elos

Modelos basados en elcoeficiente de balasto

Modelo de Winkler

Coef. constante

Sin limitación de tensión

Con limitación de tensión

Variación lineal

Variación funcional

Variación aleatoria

Modelo de Pasternak

Modelos basados en la teoríade la elasticidad

Modelo de Boussinesq

Modelo het. isótropo

Modelo de Klein

Modelo de Sheviliakov

Variación funcional

con introducción deHipótesis complementarias

Modelo Westergaard

Modelo de Kany

Modelos que introducenvariación en hipótesis

Modelo de Frolich

Modelo de Salvadurai

Modelos Hiperbólicos

Modelos Mixtos

Modelo de Repnikov

Modelo de CherkasovModelos basados en la

mecánica del mediodiscontinuo



Otro aporte interesante a este modelo de suelo lo realizo N.N. Puzirieski en 1923, resolviendoel problema para una viga corta utilizando funciones iniciales.

La ecuación básica del modelo de Winkler se basa en considerar que los desplazamientosverticales del suelo son proporcionales a la presión ejercida por el suelo=Donde:= Presión que ejerce el suelo sobre la cimentación= Módulo de balasto= Ancho de la viga en análisis= Desplazamiento vertical de la cimentación

Este modelo tiene una gran ventaja por su sencillez, pero se aleja considerablemente delcomportamiento real del suelo, describiendo con una cierta precisión el comportamiento dealgunos tipos de suelos.

Teniendo en cuenta las limitaciones del modelo de Winkler, muchos autores han tratado demejorar este modelo debido a su simplicidad, uno de estos intentos de mejora es aquel queconsidera la variación lineal del módulo de balasto en una viga.= +En tanto D. N. Sovolev (1963) propuso que el módulo de balasto varía dentro de una viga conla siguiente función: = + ( )Donde el valor de representa el valor medio del coeficiente de balasto y la expresión( ) representa la variación del módulo de balasto en función de la variable x con respectoa su valor medio. La aplicación de este modelo fue realizada por A. A. Mustafaev (1978) parael análisis de cimentaciones de edificios prefabricados y cimentaciones sobre loess,obteniéndose resultados satisfactorios.

También existen métodos que utilizando el modelo de Winkler no utilizan valoresdeterminísticos sino valores aleatorios, tales como los presentados por V. V. Volotin y D. N.Sobolev en la publicación periódica “Mecánica de la Construcción y cálculo de Edificios” enel N° 1 de 1965; este modelo siguió siendo trabajado y acoplado a determinados problemasprácticos, obteniéndose resultados satisfactorios tales como los trabajos llevados a cabo en laUniversidad de Northwestern de Illinois, resaltando los trabajos realizados por E. Alonso en1974 y 1975 utilizando un modelo estocástico.

También se propusieron modelos con limitaciones en las cargas transmitidas al suelo deasiento (Modelo Elastoplástico) realizados por S. N. Klepicov (1966).



Otro esfuerzo por mejorar el modelo de Winkler es el modelo desarrollado por Pasternak(1954), que utiliza dos parámetros para lograr una mejor aproximación del problema. Estemodelo se basa en dos hipótesis principales:

- Bajo la carga actuante se produce un desplazamiento vertical w proporcional a laintensidad de la carga.

- La variación de la deformada produce una tensión de corte que es también proporcionala esta.

Este modelo, conocido también como el modelo de la membrana, tiene un tratamientocompleto para el caso de vigas, elementos con simetría axial y losas de cimentación, y puedeser fácilmente implementado por el método de elementos finitos y el método de diferenciasfinitas.

Modelos que se definen a partir de considerar al suelo como un semi-espacio elástico-lineal

Las bases para el análisis del suelo como un medio isótropo y semi-infinito fueron planteadaspor Boussinesq (1985), al encontrar mediante la teoría de potenciales una expresión generalpara calcular el asentamiento que produce una carga puntual al actuar sobre la superficie delsemi-espacio. La expresión hallada por Boussinesq es:= 1 −Los modelos basados en la teoría del medio continuo han tenido un mayor desarrollo encomparación con los modelos que se apoyan en el coeficiente de balasto, tal es el caso dealgunos autores como M. I. Gorbunov-Pasadov en su libro “cálculo de obras sobre baseselásticas”, publicado en 1973, que se apoya en los trabajos realizados por L. S. Guilman(1934) y H. Borowicha (1936).

Modelos elásticos homogéneos e isotrópicos

Un primer modelo que considera el medio homogéneo es aquel que idealiza al suelo con uncomportamiento elástico lineal y apoyado sobre un estrato indeformable; el suelo puede estarconstituido por capas (estratificado), y tal como se dijo líneas arriba, la superficie de contactoentre el estrato indeformable y el suelo en análisis puede ser rugosa o lisa.

Un modelo que tiene una buena aproximación al comportamiento real de un gran número desuelos es el presentado por G. K. Klein (1956), que sugiere una variación en el módulo deelasticidad, que está dada en la siguiente expresión:= +Donde:= Módulo de deformación cuando z=0



= Coeficiente que marca la variación del valor de E con la profundidad= Índice de heterogeneidad

Utilizando esta formulación, Klein encontró la siguiente expresión para relacionar eldesplazamiento vertical producido por una carga puntual P.= ( + )Donde r es la distancia del punto de aplicación de la carga al punto donde se pretendeencontrar el desplazamiento y los valores de y están dados en las siguientesexpresiones. = (1 − )= 2(3 + ) 11 + −Este modelo fue aplicado a la solución del problema de una placa cuadrada cargadauniformemente por Duraev (1976), obteniéndose resultados alentadores.

Adicionalmente se tiene los modelos que basados en la teoría de la elasticidad sus ecuacionestienen una forma similar a los modelos basados en el módulo de balasto, tal es el caso delmodelo de Vlasov y Leont’ev el cual será visto con mayor amplitud en los capítulos 5 y 6 delpresente documento.

Modelos que introducen hipótesis complementarias al modelo de Boussinesq

Dentro de este grupo de modelos se encuentra el modelo dado por Wieghardt (1922), el cualsupone que la deformación es una función continua de K y de la diferencia absoluta de lascoordenadas, tal como se muestra en la figura 1.12.

Figura 1.12 Sistema de coordenadas utilizada en el modelo de Wieghardt= (| − |)Por ejemplo, si la carga se encuentra distribuida en la longitud l de una viga, la deformada delterreno será:



= ( ) (| − |)Otro modelo que introduce una variación al modelo de Boussinesq es el modelo desarrolladopor Kany (1959), este modelo supone que la deformada de una viga apoyada en el semi-espacio tiene una deformación determinada, la forma de esta deformación queda determinadapor numerosos ensayos realizados a escala real. Este método se basa en tres principaleshipótesis.

- El suelo debe estar formando por capas horizontales y no debe mostrar ninguna variaciónde sus constantes elásticas en sentido horizontal.

- Las deformaciones del terreno bajo cualquier sección de la viga deben aumentarproporcionalmente a la carga aplicada en la solera (Ley de Hooke). No se tiene encuenta, por tanto, la relación entre el módulo de rigidez de la cimentación y la presiónque actúa en cada punto.

- La viga de cimentación debe ser de rigidez (EI) constante.

- La solicitación de la viga es plana (sin torsión) suponiéndose un reparto uniformetransversalmente al plano de cálculo. Por esta razón el método es aplicableprincipalmente a vigas de cimentación (o placas que trabajen como tal); en el caso deplacas se puede utilizar el método clásico de descomposición en vigas estableciendodespués las condiciones de continuidad expresadas por la igualdad de asientos, seobtiene así bastante precisión sobre todo si la placa es bastante rígida, en opinión delautor del método.

Otro método, el cual supone que no existe expansión en el sentido horizontal es el modelopropuesto por Westergaard (1938). Por ejemplo, para el caso de una carga puntual actuandosobre el semi-espacio Westergaard da la siguiente expresión:= 2Donde P es la carga, R es la distancia radial del punto de aplicación de la carga hasta el puntodonde se desea calcular el desplazamiento y G es el módulo de cortante. El valor de quedadeterminado por la siguiente expresión:

= (1 − 2 )2(1 − )Modelos que introducen una variación significativa sobre el elástico lineal

Dentro de este grupo se encuentran fundamentalmente los modelos de O. K. Frolich (1934) yel propuesto por A. P. S. Salvadurai (1937), entre otros.



El modelo propuesto por A. P. S. Salvadurai parte de las ecuaciones básicas del equilibrio delsemi-espacio elástico homogéneo e introduce en éstas propiedades que dependen de lamicroestructura del material; fruto de los estudios sobre la microestructura y su influencia enlas propiedades de deformación de los suelos reales, introduce en el modelo de Boussinesq dosparámetros nuevos.

Modelos Mixtos

Los modelos estudiados anteriormente describen de manera satisfactoria algunos tipos desuelo, pero su aplicación se restringe solo a algunos casos, es por ello que nace la necesidad decontar con otros modelos que describan el comportamiento de los suelos cuando los modelosanteriores muestren una aproximación no tan satisfactoria.

También, es evidente que en algunos casos los modelos planteados a través de la teoría delmedio continuo tienen una mejor aproximación que las obtenidas con el coeficiente de balastoy viceversa, es por ello que se plantean modelos mixtos que engloban las dos ramas deanálisis. Uno de los autores que trabajó en el desarrollo de los modelos mixtos es L. N.Repnikov (1967), que propuso un modelo que engloba las dos metodologías y limita losresultados a los obtenidos con uno u otro modelo. La ecuación dada es:= 1 − ( , )( − ) + ( − ) + 1 ( , )Donde y son coordenadas relativas de x e y, respectivamente. Como se puede notar elprimer término del lado derecho representa el desplazamiento correspondiente a laformulación dada por Boussinesq y el segundo término es aquel correspondiente al modelo deWinkler. Este modelo representa de manera satisfactoria a algunos suelos que presentan unarelación lineal entre el esfuerzo y la deformación.

Una expresión más general es dada por Cherkasov (1958) que toma en cuenta elcomportamiento no lineal de los suelos; este modelo surge como resultado de los estudios delautor sobre el comportamiento mecánico de los suelos, y cuya expresión que relaciona eldesplazamiento vertical con la carga aplicada se muestra a continuación:( , ) = 1 − ( , )( − ) + ( − ) + 1 ( , ) + ( , ) ( , )En la expresión anterior se aprecia que el primer sumando coincide con la formulación deBoussinesq, conservando el comportamiento lineal del suelo, el segundo sumando coincidecon la expresión del modelo de Winkler y el tercer sumando toma en cuenta la no linealidaddel suelo, considerando una cierta hiperbolicidad en el suelo.



Modelos basados en la Mecánica del medio discontinuo

La mecánica del medio discontinuo, desarrollada en estos últimos tiempos por C. Yanqui8,presenta una idealización del medio no continuo, cuya estructura presenta la característica deser heterogénea, irregular y asimétrica, idealizándola como una sustancia discontinua con unordenamiento perfecto que se ajusta a formas geométricas matemáticamente definidas. Estemodelo propone una solución mediante la evaluación de potenciales, utilizando el principiodel valor medio.

Este modelo muestra una buena aproximación a los resultados experimentales obtenidos enarenas por Faber (1933); la forma parabólica de la curva obtenida por este modelo es tambiénconfrontada con los experimentos realizados por Leussink y Schweickert (1963) donde seobserva claramente el cambio de concavidad de la distribución de presiones; cuando la zapatacuadrada (1x1m) se desplanta sobre la superficie, la curva es cóncava hacia arriba, perocuando se desplanta a una profundidad de 0.7m, para niveles bajos de presión, la concavidades hacia abajo; lo cual predice el modelo planteado.

El modelo también fue comparado con los datos experimentales obtenidos por los HermanosReimbert y los experimentos realizados por Schultze, obteniéndose respuestas satisfactorias.La buena aproximación con los datos experimentales y la simplicidad de sus ecuaciones hacende este modelo confiable y sugiere una mayor utilización por parte de los ingenieros en lapráctica.

1.5.3. Modelos matemáticos empleados en la solución del problema de contacto

Las ecuaciones que plantean los modelos de suelos utilizados, generalmente, soncomplejas y en muchos casos su respuesta analítica es imposible, es por ello que se planteanmétodos de cálculo para encontrar la solución al problema de la interacción estática entre elsuelo y la estructura; estos métodos matemáticos pueden ser agrupados en:

- Métodos analíticos- Métodos numéricos- Métodos que plantean un sistema de ecuaciones- Métodos empíricos basados en la experiencia



Figura 1.13 Métodos matemáticos para la solución del problema de interacción suelo-estructura

Métodos analíticos

Dentro de los métodos analíticos se encuentran dos formas de solución, uno que corresponde ala utilización de la teoría de transformadas integrales (I. N. Snneddon, 1972), que resuelve elproblema planteando una ecuación integral; la otra forma de solución es mediante la soluciónde la ecuación diferencial, esta forma de solución ha sido aplicada a la solución del modelo deWinkler y al modelo de Pasternak; dentro de esta forma de solución se encuentran lascondiciones de contorno desarrolladas por Hetenyi, Timoshenko, entre otros.

Métodos numéricos

- Integración numérica de la ecuación diferencial.- Empleo del método de las características.- Método de diferencias finitas; empleado de forma directa para la solución de la ecuación

o ecuaciones diferenciales o indirectamente a través del método de las característicascomo se hace en la teoría del estado limite, V. V. Sokolovski (1960).

- Los residuos ponderados; que operan directamente sobre la ecuación diferencial.Generalmente, este método se aplica a problemas que no plantean ecuaciones lineales; la

Mét

odos

mat

emát

icos

de

solu

ción

Analíticos

Transformadas integrales

Solución de ecuacionesdiferenciales

Con condiciones decontorno

Funciones iniciales

Numéricos

Ecuaciones integrales decontorno

resolución de la ecuacióndiferencial

Integración numérica

Método de lascaracteristicas

Diferencias finitas

Residuos ponderados

elementos finitos

Plan. sist. de ecuaciones

Series de potencias

Met. basados en la teoríadel cálculo de estructuras

empíricos



aplicación y su base teórica se encuentran desarrolladas en el libro de B. A. Finlayson(1972). Estos residuos apoyados en el método de Galerkin constituyen uno de losprocedimientos más comúnmente usados en el método de los elementos finitos.

Otra rama para la solución numérica del problema es mediante la aplicación directa delmétodo de los elementos finitos, que se ha extendido en estos últimos tiempos y cuyaimplementación en programas informáticos se realiza de manera sencilla.

Métodos que plantean un sistema de ecuaciones

Una forma de resolución mediante un sistema de ecuaciones es aquella que utiliza series depotencias que ha sido utilizada por H. Borowicka (1936) para encontrar la solución de una losacircular sobre el semi-espacio planteado por Boussinesq; posteriormente, Garbunov-Pasadov(1937, 1949) aplico este método matemático a la solución de varios problemas planteadossobre el semi-espacio de Boussinesq.

Otra forma de solución es aquel que aplica los métodos de solución propios del cálculo deestructuras, tal como se muestran en los trabajos de J. Ohde (1942), B. M. Yemochkin (1947)y el método empleado por Kany (1959).

Métodos empíricos basados en la experiencia

Son aquellos que se encuentran con ayuda de resultados empíricos, los cuales son dadosgracias a la experiencia de diversos autores; el ejemplo más resaltante es el de M. Kany (1959)que basa su solución en considerar que la deformada del terreno tiene una forma dada,determinada a partir de datos experimentales.

1.6 MÓDULO DE BALASTO

El módulo de balasto se define como la rigidez del suelo cuando el terreno esidealizado como un conjunto infinito de muelles biarticulados; su valor está dado por larelación entre la presión de contacto (p) y la deformada del suelo (w). Lo cual se ve en laecuación (1.42). = [1.42]

Figura 1.14 Idealización del suelo como un conjunto de resortes biarticulados

El nombre de balasto es debido a que este modelo de análisis fue utilizado por primera vez enel cálculo de traviesas de un ferrocarril, debido a que el balasto es la capa de grava que secoloca sobre la explanación para el asentado y colocado de las traviesas de las vías férreas.



El módulo de balasto no es una característica única del suelo, sino que también depende de lascaracterísticas geométricas de la cimentación y de la rigidez de la superestructura, es por elloque se hace difícil extrapolar los resultados obtenidos en el ensayo de placa de carga.

Teniendo en cuenta esta dificultad, muchos autores sugieren hacer modificaciones al valor delmódulo de balasto obtenido, como ejemplo, podemos citar al ACI(1993) que sugiere variar elvalor del módulo de balasto desde la mitad hasta 5 o incluso 10 veces del valor obtenido,tomándose como valor de diseño aquel que dé los resultados menos favorables.

En la aplicación de los métodos de cálculo, otros autores sugieren variar el módulo de balastoa lo largo de la ubicación de los puntos analizados dentro de una cimentación, esto quieredecir, aumentar su valor en las zonas próximas a los bordes y esquinas debido a que se haobservado que el modelo de Winkler da en estas zonas valores de presión bajos en relacióncon otros modelos de cálculo más elaborados.

1.6.1. Obtención del módulo de balasto

El módulo de balasto puede ser obtenido de las siguientes formas:

- A partir del ensayo de placa de carga.- A partir de los parámetros característicos del suelo.

a) A partir del ensayo de placa de carga

Este ensayo se realiza generalmente con placas cuadradas (30cmx30cm) y circulares (30, 60 ó76.2cm de diámetro); en el estudio geotécnico el tamaño de la placa está dado por el subíndiceque acompaña a la letra k ( , entre otros).

El valor del módulo de balasto depende de las dimensiones de la placa, esto es debido a que amayores dimensiones de la placa el bulbo de esfuerzos será más grande y tendrá un mayoralcance, afectando también a los estratos inferiores que aportan rigidez al suelo, y por lo tanto,modifican el valor del módulo de balasto obtenido.

El obtener un valor adecuado del módulo de balasto para losas de cimentación es máscomplicado, ya que el valor depende también de la rigidez de la superestructura y de lacimentación.

Terzaghi propone un método para la obtención del módulo de balasto corregido tomando encuenta las dimensiones de la cimentación.



Valores de propuestos porTerzaghi

Suelo ( / )Arena seca o húmeda

- Suelta- Media- Compacta

Arena Sumergida

- Media- Suelta- Compacta

Arcilla

- = 1.2 /- = 2.4 /- > 4.0 /

0.64 – 1.92 (1.3)1.92 – 9.6 (4.0)9.60 – 32 (16.0)

(0.8)(2.5)(10.0)

1.6 – 3.2 (2.5)3.2 – 6.4 (5.0)>6.4 (10)

Tabla 1.6 Valores de propuestos por Terzaghi Tabla 1.7 Valores de propuestos por diversosautores

Corrección del coeficiente de balastro para cimentaciones reales

Para el caso de cimentaciones corridas y cuadradas de ancho o lado B Terzaghi propusomodificar el valor obtenido con el ensayo de placa.= .

Para suelos cohesivos [1.43]= .Para suelos granulares [1.44]

También propuso la siguiente relación para zapatas rectangulares:= 1 + [1.45]

Donde:= Ancho equivalente de la Zapata (m)= Lado mayor o longitud de la cimentación (m)= Coeficiente de balasto obtenido en el ensayo de placa de 30 x 30 cm.= Coeficiente de balasto de la zapata cuadrada o corrida de ancho b= Coeficiente de balasto de la zapata rectangular

El ancho equivalente de la cimentación (b) depende de la rigidez de la estructura y de lacimentación; un valor apropiado en el caso de losas de cimentación para b puede ser la luzmedia entre las columnas.

Valores de propuestos por diversosautores

Suelo ( / )Arena fina de playaArena floja, seca o húmedaArena media, seca o húmedaArena compacta, seca ohúmedaGravilla arenosa flojaGravilla arenosa compactaGrava arenosa flojaGrava arenosa compactaMargas arcillosasRocas blandas o algoalteradasRocas sanas

1.0 – 1.51.0 – 3.03.0 – 9.09.0 - 20.04.0 – 8.09.0 – 25.07.0 – 12.012.0 – 30.020.0 – 40.030.0 – 500800 – 30 000



b) A partir de los parámetros característicos del suelo

Muchos autores proponen expresiones para el cálculo del módulo de balasto a partir de losparámetros propios del suelo, tales como el módulo de elasticidad del suelo y el módulo dePoisson del terreno.

Entre las formulaciones más utilizadas podemos nombrar la de Vasic= ( ) [1.46]

Y también la enunciada por Klepicov9= / ( ) [1.47]

Donde A es el área de la base de la cimentación y (ω) es un coeficiente para la forma de lacimentación, que para zapatas o losas se puede obtener de la tabla 1.8 en función del largo (L)y del ancho (b) de la cimentación:

L/b 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0ω 0,88 0,87 0,86 0,83 0,80 0,77 0,74 0,73 0,71 0,69 0,67

Tabla 1.8 valores de en función de L/b para la fórmula de Klepicov

Referencias

1 Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWSpublishing, pp.164-166 ,1999.

2 Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWSpublishing, pp. 297-303, 1999.

3 Braja M. Das, Principios de Ingeniería de Cimentaciones, Cuarta edición, California State University PWSpublishing, pp. 240-292, 1999.

4 José M. Rodríguez Ortiz, Curso aplicado de cimentaciones, Cuarta edición, servicios de publicaciones delColegio de Arquitectos de Madrid, Madrid, pp.64-74 ,1989.

5 Reglamento Nacional de Edificaciones, Grupo Editorial Megabyte, Lima, pp. 342-367, 2007.6 American Concrete Institute Committee 336 (1988), suggested Design Procedures for Combined Footings and

Mats, Journal of the American Concrete Institute, vol. 63, N° 10, pp. 1041-1077.7 Jaime Santos Miñon, Cátedra de geotecnia, Revista de obras públicas, febrero marzo 1980, Madrid, PP 181-

191, 19808 Yanqui Murillo C., Mecánica del medio discontinuo, Universidad Nacional de San Agustín, Arequipa, 19939 Edward Tsudik, Ph. D., PE. Analysis of Beams and Frames on Elastic Foundation. Trafford Publishing


CAPÍTULO

2EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOSUNIDIMENSIONAL Y BIDIMENSIONAL

2.1. INTRODUCCIÓN

En muchas aplicaciones de ingeniería o de física en general se presentan problemasque por su complicada geometría, distribución de cargas o propiedades del material es difícil oimposible obtener una respuesta analítica, por ello surge la necesidad de emplear métodosaproximados de cálculo.

El método de elementos finitos es un método de cálculo aproximado que brinda respuestas enpuntos discretos de un medio continuo, para ello se tiene que resolver un sistema deecuaciones algebraicas, las cuales cumplen con ciertas restricciones (condiciones de borde ycontinuidad).

La esencia del método de elementos finitos es la aproximación, esta se hace tanto a lageometría del problema como a la solución que se pretende encontrar (comportamiento físicode un cuerpo). Para describir una geometría aproximada se debe tener en cuenta que laubicación de cada punto sea dada en forma única; el método de elementos finitos aproxima lageometría de un elemento (dominio) dividiéndola en sub dominios, conocidos como elementosfinitos, unidos unos con otros mediante nodos; la ubicación de los puntos en cada subdominioviene descrita por funciones de interpolación.

- 35 - Cap. 2 – El método de elementos finitos unidimensional y bidimensional


Los elementos finitos son aproximaciones numéricas a la solución de un problemamatemático, que a su vez es una representación aproximada del comportamiento físico de unfenómeno. El método de elementos finitos (MEF) tiene una amplia aplicación en problemas deingeniería como son: el análisis estructural, transferencia de calor, flujo de fluidos, transportede masa y potencial electromagnético; este método actualmente es muy utilizado por surelativa facilidad para ser implementado en programas de computo, esto gracias al avancetecnológico y al desarrollo de los sistemas CAD, lo cual sugiere la necesidad de conocer losaspectos básicos del desarrollo de este método, así como las ecuaciones que gobiernan undeterminado problema para poder utilizar ciertos programas de cómputo que tienen como baseel MEF y garantizar que los resultados obtenidos se aproximen a la realidad.

En el campo del análisis estructural, el MEF da una respuesta aproximada al comportamientofísico de los diferentes elementos estructurales, los cuales están sometidos a cargas externas;para entender mejor la aplicación del método de elementos finitos en el análisis estructural sedará una pequeña descripción de los principales elementos estructurales.

Elementos estructurales

Son elementos básicos muy utilizados en la construcción de obras civiles, estos pueden ser:resortes, barras, vigas, marcos, placas y cascarones; en el caso de los elementos que no puedanser considerados dentro de los anteriores su modelamiento y análisis se realiza como uncuerpo sólido; los cuerpos solidos pueden ser tridimensionales o pueden modelarse de manerabidimensional.

Resortes: aportan rigidez en una sola dirección, estos resortes pueden ser translacionales orotacionales.

Barras: son elementos rectos con sección transversal pequeña en comparación con sulongitud, son diseñados para soportar solamente cargas axiales de tracción y compresión.

Vigas: soportan cargas perpendiculares al eje longitudinal del elemento; en una viga se originauna fuerza cortante y un momento flector.

Marcos: son una combinación del elemento viga y del elemento barra; en cada elemento delmarco se desarrolla una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento flector, si se trata deun marco bidimensional; en el caso de un marco tridimensional se generará una fuerza axial,dos fuerzas cortantes, dos momentos flectores, y un momento torsor en cada elemento delmarco.

Placas: su espesor es mucho menor en comparación con sus otras dos dimensiones. Las placasforman un plano y sobre estas actúan las cargas normales a dicho plano; en el interior de lasplacas se generan dos momentos flectores, dos fuerzas cortantes que actúan fuera del plano yun momento torsor.



Cascarones: tienen un espesor relativamente delgado, sus formas tridimensionales tratan deexplotar al máximo su geometría para ofrecer una gran rigidez, respondiendo principalmentemediante esfuerzos de membrana; en los cascarones se generan una fuerza cortante en el planode la lámina, dos fuerzas cortantes fuera del plano de la lámina, dos momentos flectores y unmomento torsor.

Solidos tridimensionales: se emplea para modelar cualquier tipo de estructura, pero se usageneralmente cuando no se puede modelar por un tipo de elemento estructural anteriormentevisto, ya sea por su complejidad geométrica, por las condiciones de soporte, entre otras.

Solidos tridimensionales modelados como bidimensionales: en ocasiones, los cuerpos solidostridimensionales pueden ser modelados como cuerpos bidimensionales ya que presentanciertas características. Estos modelos son:

• Modelo de deformación plana: empleado cuando una estructura presenta una seccióntransversal constante y una longitud considerable; en este modelo se supone que no ocurredeformaciones en el eje longitudinal y las cargas se aplican en el plano de corte; unejemplo de este tipo son las secciones de túneles, tuberías, cimientos corridos, entre otros.

• Modelo de esfuerzo plano: el esfuerzo normal al plano es nulo. Generalmente, se utilizapara analizar cuerpos planos.

• Modelo de plano axisimétrico: es usado cuando el cuerpo tiene un eje axisimétrico y cuyosesfuerzos son analizados en un plano de corte que contiene al eje axisimétrico; algunosejemplos de este modelo son los reservorios de agua, los tanques elevados cilíndricos,entre otros.

Figura 2.1 Cuerpo solido tridimensional



2.2. ESFUERZOS Y EQUILIBRIO

Para plantear el problema general de elasticidad se considera el sólido mostrado en lafigura 2.1; sobre este volumen actúa un vector de tracción externa que tiene un superíndicen que indica el vector unitario normal a la superficie en la cual actúa esta carga; tambiénactúan las fuerza de cuerpo b, que tiene unidades de fuerza sobre unidad de volumen; todasestas cargas originan en el elemento un desplazamiento representado por u; estas fuerzas ydesplazamientos originan en el cuerpo esfuerzos y deformaciones representados por ,respectivamente.

2.2.1. Esfuerzos

El cuerpo mostrado en la figura 2.1 se mantiene en equilibrio debido a que en él segeneran fuerzas internas; si se realiza un corte, como se ve en la figura 2.2, se observa quepara un diferencial de área (ΔS) con un vector dirección n existe una fuerza Δf; si la porción deárea ΔS se hace muy pequeña se puede definir el vector como:= → [2.1]

Figura 2.2 Equilibrio entre los esfuerzos internos y externos

Se observa también, que el vector de reacción depende de la posición del punto dentro delcuerpo y del plano de corte; teniendo en cuento esto, se concluye que un punto tiene infinitasdistribuciones de esfuerzos. Para obtener solo una distribución de esfuerzos por punto es muyconveniente analizar los esfuerzos en solo tres planos perpendiculares entre sí, tal como seobserva en la figura 2.3.



Figura 2.3 Esfuerzos en un elemento cubico diferencial con referencia al sistema cartesiano xyz

Por lo tanto, la matriz de esfuerzos queda definida como:

= [2.2]

Pero para fines prácticos es mejor expresar los esfuerzos en forma vectorial mediante la reglade Voigt1.

= [2.3]

2.2.2. Equilibrio

Para plantear las ecuaciones de equilibrio es necesario analizar tanto los puntosinternos del cuerpo como los puntos que conforman la frontera del cuerpo.

Primeramente se analizará los puntos situados en la superficie del cuerpo, para ello seconsidera un área diferencial en la superficie del elemento cuya dirección está definida por elvector unitario n, sobre esta área diferencial actúa el vector de tracción externa ; esta fuerzagenerará esfuerzos internos definidos en las coordenadas x, y , z.



Figura 2.4 cuña tetraédrica ubicada en la superficie del elemento

Para que exista equilibrio en el elemento se tendrá que satisfacer la relación de Cauchy2:= ; ∀ ∈ [2.4]

La ecuación anterior puede escribirse en forma alternativa como:= ; ∀ ∈ [2.5]

Donde la matriz depende del vector normal, n.

La ecuación (2.4) en forma extendida es:+ + =+ + =+ + = [2.6]

Para el caso de los puntos situados en el interior del elemento se considera un elementohexaédrico sometido tanto a las fuerzas de cuerpo (b) y a los esfuerzos internos producto delas fuerzas de tracción. (Figura 2.5)



Figura 2.5 Variación de esfuerzos en un elemento hexaédrico diferencial sometido a fuerzas de cuerpo b

Por equilibrio de momentos se obtiene:=== [2.7]

Realizando la sumatoria de fuerzas en cada dirección e igualando a cero las ecuacionescorrespondientes, se tiene:+ + + = 0+ + + = 0+ + + = 0 → + = 0 [2.8]

Donde la matriz L es una matriz de operadores diferenciales.

2.3. CONDICIONES DE FRONTERA

Las condiciones de frontera son aquellas que actúan en los bordes del elemento, comopueden ser las cargas que actúan en la superficie del cuerpo o las restricciones en losdesplazamientos o condiciones preestablecidas de acuerdo al problema tratado. Generalmente,las restricciones en los desplazamientos son dadas por las condiciones de apoyo; por lo tanto,se puede afirmar que el comportamiento de un cuerpo depende de las condiciones de frontera.



2.4. RELACIONES DEFORMACIÓN UNITARIA-DESPLAZAMIENTO

La deformación es un concepto geométrico que mide el efecto del cambio de laconfiguración de un cuerpo. Si se considera el cuerpo mostrado en la figura 2.6 y se analiza elmovimiento del punto P de una configuración inicial a una final P*, se observa que hay undesplazamiento asociado a este cambio de posición, este desplazamiento viene dado por elvector u. Para observar mejor el fenómeno de las deformaciones se analiza los vectores deposición de los puntos Q y P, los cuales cambian a otras posiciones en una configuración finalQ* y P*; a este cambio de posición también está asociado un cambio de longitud del segmentolínea. La deformación normal queda definida entonces como el cambio de longitud delsegmento línea con respecto a su longitud original. Teniendo en cuenta esta definición se danlas siguientes ecuaciones para las deformaciones normales:=== [2.9]

Donde , , son componentes del vector de desplazamiento u.

Figura 2.6 Configuración de un cuerpo antes y después de la deformación

Para medir el cambio de forma, se observa que los vectores P y Q forman un ángulo rectoentre sí, luego de ocurrir el cambio de configuración del cuerpo los vectores ya no forman unángulo recto. La distorsión ocurrida en el ángulo de los vectores es definida en cada planocartesiano como: = += += + [2.10]

Al igual que los esfuerzos, las deformaciones pueden agruparse en un formato matricial o enun formato vectorial, que es mayormente usado en ingeniería.



= [2.11]

= [2.12]

2.5. RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

Los materiales linealmente elásticos relacionan los esfuerzos con las deformacionesunitarias mediante la ley de Hooke. Para el caso tridimensional de materiales isotrópicos seconsidera el cubo elemental mostrado en la figura 2.7.

Figura 2.7 Superficie deformada de un cubo elemental correspondiente al plano xy

Al considerar la figura 2.7 se obtienen las siguientes relaciones:= − −= − + −= − − +=== [2.13]

Donde G es el módulo de corte del material, y está definido por:= ( ) [2.14]



Para obtener los esfuerzos en términos de deformaciones se tiene que despejar los términos deesfuerzos; para ello se tiene en cuenta que:+ + = ( ) + + [2.15]

Sustituyendo la ecuación (2.15) y el término + en el conjunto de ecuaciones (2.13) se

obtiene la relación buscada.= [2.16]

En forma extendida la ecuación anterior resulta:

= ( )( )1 − 1 − 1 − 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0.5 − 0 00 0.5 − 00 0 0.5 −

[2.17]

2.5.1. Teoría de Elasticidad en dos dimensiones

En muchos casos es posible analizar un elemento estructural en forma bidimensional,ya que su geometría cumple con ciertas características; también podemos decir que el tiempode desarrollo de un modelo bidimensional es menor que el tiempo empleado en un modelotridimensional y la precisión que se consigue con modelos bidimensionales es buena. Talcomo se mencionó, los modelos bidimensionales pueden ser de deformación plana, deesfuerzo plano y modelo axisimétrico.

2.5.2. Deformación plana

Este tipo de modelo es utilizado cuando se tiene una dimensión mucho mayor a lasotras dos, además, todas las secciones transversales al eje longitudinal tienen la mismageometría, las mismas cargas y las mismas condiciones de contorno.

Este modelo considera que las deformaciones en la dirección longitudinal son nulas.= 0 = 0 = 0 [2.18]

La primera restricción implica que:= [2.19]

Mientras que las otras dos restricciones implican:= = 0 [2.20]

Aplicando estas restricciones al conjunto de ecuaciones (2.13) se obtiene la siguienteexpresión:



= ( )( ) 1 − 01 − 00 0 0.5 − [2.21]

Lo que se expresa en formato matricial como:= [2.22]

En ciertos problemas pueden existir deformaciones iniciales y/o esfuerzos iniciales ;tomando en cuenta lo anterior se puede reescribir la ecuación (2.22) de una manerageneralizada. = ( − ) + [2.23]

También, de las ecuaciones (2.13) se deduce que el esfuerzo normal está dado por:= ( )( ) + [2.24]

Las relaciones de deformación-desplazamiento se obtienen combinando las ecuaciones (2.9) y(2.10) con las restricciones dadas en la ecuación (2.18).= , = , = + [2.25]

Las ecuaciones de equilibrio en el interior de un cuerpo para este modelo son:+ + = 0+ + = 0 [2.26]

Las ecuaciones de equilibrio en la frontera de un cuerpo se desprenden del modelotridimensional anteriormente analizado, y están dadas por:= += + [2.27]

2.5.3. Esfuerzo plano

En otros casos los problemas pueden ser representados como modelos laminares,debido a que una dimensión (espesor) es mucho menor que las otras dos; en este modelo losmovimientos fuera del plano de la lámina son libres, lo cual origina que los esfuerzos en estadirección se desvanezcan. Las restricciones del modelo de esfuerzo plano son expresadascomo: = 0, = = 0 [2.28]

Aplicando las restricciones anteriores al conjunto de ecuaciones (2.13) se obtiene:= − += = 0 [2.29]



Teniendo en cuenta las expresiones anteriores y remplazándolas en la ecuación (2.17) seobtiene:

= ( ) 1 01 00 0 [2.30]

También se puede expresar la ecuación anterior en formato matricial como:= [2.31]

Igual que en el caso del modelo de deformación plana, es posible tener esfuerzos ydeformaciones iniciales.= ( − ) + [2.32]

2.6. ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

La energía potencial total ( ) se define como la suma de la energía de deformaciónunitaria (U) y el potencial de trabajo (WP).= + [2.33]

Para materiales linealmente elásticos la energía de deformación unitaria por unidad devolumen está dada por el área bajo la curva esfuerzo-deformación correspondiente a la partelineal (figura 2.8).= ∫ [2.34]

Figura 2.8 Curva esfuerzo deformación unitaria

Mientras que el potencial de trabajo está dado por:= − ∫ − ∫ − ∑ [2.35]

En la ecuación anterior, el primer término representa el trabajo realizado por las fuerzas decuerpo, como es el peso propio, el segundo término representa el trabajo que realizan lasfuerzas de tracción que actúan sobre la superficie del cuerpo y el tercer término representa eltrabajo que realizan las cargas puntuales; como puede notarse todos los términos del lado



derecho de la ecuación anterior tienen signo negativo, esto se debe a que se trata de fuerzasexternas.

Al sustituir estas dos últimas expresiones en la ecuación (2.33), se obtiene una expresión parala energía potencial total en función de los desplazamientos y deformaciones.= ∫ − ∫ − ∫ − ∑ [2.36]

Aquí se consideran sistemas conservativos, donde la energía potencial es independiente de latrayectoria, lo cual quiere decir que si el sistema se desplaza de una configuración dada a otray luego regresa a su configuración inicial, entonces, la fuerza que actúa sobre dicho sistemarealiza un trabajo nulo.

El potencial total en un medio continuo se obtiene sumando el potencial de cada uno de loselementos que lo conforman.= ∑ [2.37]

El principio de la energía potencial estacionaria, establece que las condiciones de equilibriode un cuerpo se producen cuando la energía potencial ( ) se hace estacionaria con respecto alcampo de desplazamientos.= 0 [2.38]

2.7. FUNCIONES DE FORMA3

En los problemas de ingeniería se trata de encontrar valores de una determinadafunción, que puede tener un dominio unidimensional, bidimensional o tridimensional; si setiene una función unidimensional ( ) y se pretende obtener una aproximación con la función( ), esta función aproximada estará determinada en función de la variable y de coeficientesindeterminados. = ( , , , … , ) [2.39]

En la ecuación anterior , , … , son coeficientes indeterminados y dependen de ciertoscriterios para minimizar el error. Si la aproximación se realiza sobre todo el dominio delproblema, la aproximación se denomina aproximación global, también, si los coeficientesindeterminados no están ligados a ningún punto en particular la aproximación recibe elnombre de no nodal. Generalmente, la función es producto de una combinación lineal defunciones simples ( ).( ) = ( ) + ( ) +. . . + ( ) [2.40]

( ) = [ ( ) ( ) ( )] ⋮ [2.41]



También, es común emplear combinaciones lineales en las cuales los parámetros son valoresde las variables que se están aproximando , , … , (desplazamientos nodales), evaluadosen ciertos puntos dentro del dominio; estos puntos de análisis son comúnmente denominadosnodos. ( ) = ( ) + ( ) +. . . + ( ) [2.42]

( ) = [ ( ) ( ) ( )] ⋮ [2.43]

Las funciones , , … , son conocidas como funciones de forma y los valores, , … , son valores nodales de la función del problema físico.

Las funciones de forma pueden determinarse a partir de las funciones base, que describen elcomportamiento físico en análisis, haciendo que el valor de la función de interpolación seaigual al valor nodal en la posición de los nodos ̅ .( , , , … , ) = [2.44]

Es posible generar funciones de manera más directa, siempre y cuando estas funciones deforma al ser evaluadas en un nodo resulten tener el valor nodal de la función que se pretendedescribir; un tipo de estas funciones son los polinomios de Lagrange, ya que estas funcionesson iguales a la unidad en el nodo correspondiente, mientras que en los demás nodosadquieren un valor nulo.( ̅ ) = 0 ≠1 = [2.45]

Cabe resaltar que la ecuación (2.40) es una aproximación global no nodal mientras que laecuación (2.42) es una aproximación global nodal; ambas funciones de aproximación songlobales porque la variable x sigue siendo cualquier punto del dominio, una mejor explicaciónacerca de las funciones de aproximación se puede encontrar en la referencia [3].

Para el caso de problemas bidimensionales y tridimensionales, la variable x es sustituida por elvector = { } , por lo tanto, las ecuaciones (2.40) y (2.42) quedan reescritas de lasiguiente manera:

( , , ) = [ ( ) ( ) ( )] ⋮ = ( ) [2.46]

( , , ) = [ ( ) ( ) ( )] ⋮ = ( ) [2.47]



En muchos casos, la geometría del problema hace que las funciones de aproximación globaltengan un gran error en el análisis, por lo que es conveniente dividir el dominio del problema( ) en subdominios ( ), haciendo posible proponer funciones simples a cada subdominio;estas funciones deben de cumplir condiciones de continuidad a través de los subdominios, estetipo de aproximación es conocida como aproximación local.=∪ [2.48]∩ = ∅ ≠ [2.49]

Igualmente que en el caso de aproximación global, se puede encontrar una aproximación localno nodal (ecuación 2.50) y nodal (ecuación 2.51).( ) = ( ) ∀ ⊂ [2.50]( ) = ( ) ∀ ⊂ [2.51]

Un caso de especial interés es la aproximación local nodal, que toma valores exclusivos de unelemento (subdominio); en este tipo de aproximación se basa el método de los elementosfinitos.

Figura 2.9 Tipos de aproximación (fuente Sergio Gallegos Cázares, 2008, Análisis de sólidos y estructuralmediante el método de elementos finitos, fig. 2.23, P. 74)

Métodos deaproximación

Global o sobre todoel dominio

Usa coeficientesindeterminados

Usa valores nodales

Local o porsubdominios

Usa coeficientesindeterminados

Usa valores nodalesen todo el dominio

Usa valores nodalesen el subdominio

Método deElementos Finitos



2.7.1. Forma de los elementos

Tal como se mencionó antes, el método de elementos finitos busca aproximar lageometría del dominio de un problema y la función solución de dicho problema.

Para representar la geometría las coordenadas del dominio se expresan en términos de lascoordenadas nodales y de las funciones de interpolación.= ( ) , = ( ) , = ( ) [2.52]

También, para describir la solución aproximada del problema que se plantea en el dominio, seutilizan valores nodales y funciones de forma.= ( ) [2.53]

Las funciones de interpolación, tanto para describir la geometría, como las usadas paraencontrar la solución aproximada no tienen que ser necesariamente las mismas, e incluso estaspueden tener una cantidad de nodos distinta; teniendo en cuenta esta idea surge una primeraclasificación de los elementos finitos:

E. Superparamétricos: Son aquellos que tienen un número de nodos mayor para describir lageometría del dominio que para encontrar la solución del problema.

E. Isoparamétricos: Aquellos que utilizan igual número de nodos para describir la geometríadel dominio como para encontrar la solución del problema planteado.

E. Subparamétricos: el número de nodos utilizados para dar una respuesta al problema esmayor que el utilizado para describir la geometría del dominio.

En el análisis por el método de elementos finitos, la formulación más empleada es laisoparamétrica, debido a que presenta una serie de ventajas, pero la clasificación quizá másimportante es aquella que depende del tipo de continuidad que ofrecen las ecuaciones deinterpolación a través de las fronteras de cada elemento; por ejemplo, una función deinterpolación del Tipo es aquella que requiere continuidad de la función misma; del Tipo

requiere continuidad de la función y de su primera derivada, donde el superíndice indica lacontinuidad de la función de interpolación. La continuidad de una función depende de laecuación diferencial que gobierna el problema; también se puede ver que a mayor grado decontinuidad será más complicado hallar las funciones de forma.



2.7.2. Formulación isoparamétrica

La formulación isoparamétrica es aquella donde las funciones de interpolación son lasmismas tanto para determinar la geometría del dominio como para la solución que se pretendeencontrar.

Las funciones de interpolación pueden tomarse sobre el sistema coordenado del dominio, peroesto resulta poco práctico cuando se tienen distorsiones en los elementos, quedando restringidasu utilización a elementos cuadriláteros regulares; por otro lado, es posible utilizar un espacionatural, el cual es independiente de la forma de los elementos en el espacio cartesiano.

El espacio natural es empleado para definir la geometría de los elementos de maneraadimensional y con ejes normalizados que tienen valores de -1 a 1 (figura 2.10).

a) b) c)Figura 2.10 sistemas de coordenadas naturales a) unidimensional) bidimensional; c) tridimensional

Para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas naturales es necesario encontrar unarelación entre éstas; para ello se muestra la figura 2.11.

Figura 2.11 mapeo de puntos del espacio natural y espacio cartesiano

De la figura anterior se observa que:= ( , ) = ( ) [2.54]= ( , ) = ( ) [2.55]



También se observa que los puntos A y a se relacionan con los puntos B y b mediante lassiguientes expresiones.= + ∆ a [2.56]= + ∆ [2.57]

Desarrollando este último término en series de Taylor4 alrededor del punto , se tiene:= ( ) = ( + Δ ) = ( ) + [{∆ } + 0(∆ )] [2.58]

Igualando la ecuación (2.56) con (2.58) se obtiene:∆ = [{∆ } + 0(∆ )] [2.59]

Cuando el punto B se aproxima al punto A se definen los siguientes diferenciales:= lim → (Δ ) [2.60]= lim → (Δ ) [2.61]= = [2.62]

Donde J es conocido como el Jacobiano de transformación de un sistema a otro.= [2.63]

= [2.64]

= [2.65]

Las ecuaciones (2.63), (2.64) y (2.65) representan los Jacobianos de transformación para una,dos y tres dimensiones, respectivamente.

El procedimiento anterior también es utilizado para expresar la función u en términos de lasvariables naturales.≈ = ( ) = ( ) = ( ) [2.66]

Donde la función ( ) define la solución aproximada del problema en función de lascoordenadas naturales.

En una dimensión se tiene:



= [2.67]

Para el caso bidimensional:= += + [2.68]

Para el caso tridimensional:= + += + += + + [2.69]

2.7.3. Convergencia a la solución3

Es fundamental que la aproximación por el método de elementos finitos converja haciala solución exacta cuando la discretización se realice de una manera muy refinada, para ellolas funciones de aproximación deben cumplir ciertas condiciones básicas:

Continuidad: es la existencia de continuidad de la función y de sus derivadas respectivas,donde es el dominio, es la frontera y = ∪ ; si una función u y sus derivadas hasta elorden n son continuas en , entonces se dice que es una función continua de clase ( ).

Como ejemplo se muestra una viga sometida a una carga puntual, la continuidad de la funciónw es de clase ( ), ya que la función es continúa en todo el dominio (x), su primera derivada(w´) y la segunda derivada (w´´) también lo son; mientras que la tercera derivada deja de sercontinua. (Figura 2.12).

Figura 2.12 viga sometida a una carga puntual en el centro de luz

Suavidad: para que una función tenga suavidad tiene que cumplir las siguientes características:



- El mapeo de coordenadas reales a coordenadas naturales debe ser de punto a punto; estoquiere decir que si se tienen dos puntos distintos en coordenadas reales, en coordenadasnaturales también le corresponderán dos ubicaciones distintas.

- El mapeo se realiza en todo el dominio; lo que quiere decir que a todo punto dentro deldominio en coordenadas reales le corresponde una ubicación en coordenadas naturales yviceversa.

- Las funciones de forma deben de tener el grado de continuidad apropiado según lafunción que representen.

- El jacobiano de transformación debe de ser positivo, esto garantiza que no existiránelementos muy distorsionados.

Completes: las funciones de interpolación deben proporcionar una base completa paradescribir la solución.

2.7.4. Propiedades de las funciones de interpolación

- No negatividad.0 ≤ ( ) ≤ 1 : = 1, 2, … ,- Interpolación nodal.( ) =- Partición de la unidad.∑ ( ) = 1Donde NP es el número de funciones de interpolación y es la función delta de Kroneckery toma el valor de 1 cuando = y cero si ≠ .

2.8. INTEGRACIÓN NUMÉRICA: CUADRATURA DE GAUSS5

Comúnmente, para el cálculo de las matrices de rigidez de los elementos finitos sepresenta la necesidad de integrar determinadas funciones, en muchos casos estas integrales soncomplicadas e incluso imposibles de resolver de una manera analítica, por lo que surge lanecesidad de recurrir a las soluciones numéricas de las integrales.

La metodología más empleada es la cuadratura de Gauss, debido a que se puede obtener unabuena aproximación de la integración tomando menos puntos de muestreo con relación a otrosmétodos de cálculo numérico.

Para el mejor entendimiento de este método se considera la integral mostrada en la ecuación(2.70), debe notarse que el dominio de esta expresión va de -1 a 1 y que se considera solo unadimensión. = ∫ ( ) [2.70]



Figura 2.13 integral aproximada de una función, utilizando un punto de evaluación

Como primera aproximación la integral es evaluada en el punto medio del dominio de lafunción y multiplicada por el intervalo de integración.= ∫ ( ) ≈ 2 (0) [2.71]

Debe notarse que si la función y(x) es un polinomio de primer grado (lineal) la solución seráexacta; la idea anterior puede ser generalizada como:= ∫ ( ) ≈ ∑ ( ) [2.72]

El método de Gauss Brinda el valor de la integral evaluando puntos situados simétricamentecon relación al punto medio del intervalo de evaluación y multiplicándolos por sus respectivospesos ; estos puntos son localizados de manera que su ubicación de la mejor aproximación.

2.8.1. Fórmula para dos puntos de evaluación

Si se considera la siguiente integral:= ∫ ≈ + [2.73]

Se observa que existen cuatro términos desconocidos. Para generar una respuesta aproximadase considera que la función y(x) es un polinomio de tercer grado.= + + + [2.74]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (2.73), se tiene:= ∫ ( + + + ) = 2 + [2.75]

Figura 2.14 Integral aproximada de una función considerando 2 puntos de evaluación



En la figura 2.14 se consideran puntos de evaluación simétricos, con ellos se determina que= = y = − = . Si se define una integral aproximada ( ), se obtiene:= (− ) + ( ) = 2 ( + ) [2.76]

El error de la integración está dado por:= − [2.77]

El error mínimo se obtendrá si se deriva la ecuación (2.77) con respecto a .= 0 = 2 − 2 [2.78]= 0 = − 2 [2.79]

La solución del sistema de ecuaciones anterior se muestra a continuación:= 1 = ±Los valores anteriores definen los puntos dentro del dominio de la función para obtener unresultado exacto si la función y(x) es un polinomio de tercer grado; como también se vio, parael caso de una función lineal se obtuvo un valor exacto de la integral cuando solo se tomó unpunto de evaluación; si se prosigue con aumentar los puntos de evaluación se notará que setiene la siguiente relación entre los puntos de evaluación y el grado de la función polinómicapara obtener un resultado exacto.= 2 − 1 [2.80]

Donde:= Grado del polinomio= Número de puntos de evaluación

La relación anterior indica que si la función a evaluar es un polinomio de m grado, entonces setendrá un resultado exacto de su integral si se toman n puntos de evaluación.

2.8.2. Generalización del método

Generalizando los conceptos vistos anteriormente, se puede considerar la función( ): Ω → de la cual se quiere obtener su integral.∫ ( ) Ω [2.81]

Donde:( ) = Es una función realΩ = Dominio del elemento (1, 2 ó 3 dimensiones)



También cabe recordar que en el método de elementos finitos, generalmente, lascaracterísticas geométricas de los elementos vienen dadas por funciones de variables naturales,por lo que la ecuación (2.81) es modificada a:∫ ( ) = ∫ ( )∫ ( , ) = ∫ ∫ ( ( , ), ( , ))∫ ( , , ) = ∫ ∫ ∫ ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))En las expresiones anteriores J es el determinante del jacobiano de la transformación decoordenadas cartesianas a coordenadas naturales, tanto para una, dos y tres dimensiones.

La función ( , , ) también puede ser expresada por otra ( , , ) en coordenadasnaturales; considerando esta función en una dimensión vemos que:∫ ( ) [2.82]

Ahora, esta función ( ) puede también ser sustituida por otra función conocida, ( ), y unresiduo. ∫ ( ) = ∫ ( ) + [2.83]

La integral ∫ ( ) puede ser expresada como la sumatoria de valores ( ) multiplicados

por su respectivo peso , obteniéndose un resultado exacto si se considera una funciónadecuada. Tomando en cuenta esta última sustitución, la ecuación (2.82) toma la siguienteforma: ∫ ( ) = ∑ ( ) + [2.84]

Una buena solución para determinar la función ( ) es expresarla como polinomios deLagrange, debido a que estos polinomios valen 1 en los puntos correspondientes y 0 en losdemás puntos. ( ) = ∑ , [2.85]

El residuo se puede formar por el siguiente producto polinómico:( ) = ( )( + + + ) [2.86]

Donde la función ( ) representa un polinomio de grado n formado por la posición de lospuntos de muestreo.( ) = ( − )( − ) … ( − ) [2.87]

Tomando en cuenta todas estas sustituciones, la ecuación (2.83) puede ser escrita ahora de lasiguiente forma:



∫ ( ) = ∑ ∫ , + ∑ ∫ ( ) [2.88]

Comparando la expresión anterior con la ecuación (2.84), los factores de peso por cada puntoevaluado son calculados con la siguiente ecuación:= ∫ , [2.89]

Donde: i=1, 2, 3,…, n

Aplicando estos factores de peso se integrará exactamente polinomios hasta un grado de n-1.La posición de los n puntos de muestreo se fija para que los residuos correspondientes a lossiguientes n términos desaparezcan. Para ello:∫ ( ) = 0 [2.90]

Donde: i=1, 2, 3,…, n-1

Al tomar estos puntos de evaluación se garantiza que la integración será exacta para funcionespolinómicas de grado 2n-1. La tabla siguiente muestra los valores de los puntos de muestreo ysus correspondientes pesos asignados para determinar las integrales:

N° de Puntos de evaluación (n) Posición de puntos de evaluación ( ) Pesos correspondientes ( )

1 0.000 000 000 000 000 2.000 000 000 000 000

2 ±0.577 350 269 189 626 1.000 000 000 000 000

3 ±0.774 596 669 241 483 0.555 555 555 555 555

0.000 000 000 000 000 0.888 888 888 888 888

4 ±0.861 136 311 594 053 0.347 854 845 137 454

±0.339 981 043 584 856 0.652 145 154 862 546

5 ±0.906 179 845 938 664 0.236 926 885 056 189

±0.538 469 310 105 683 0.478 628 670 499 366

0.000 000 000 000 000 0.568 888 888 888 889

6 ±0.932 469 514 203 152 0.171 324 492 379 170

±0.661 209 386 466 265 0.360 913 934 572 691

±0.238 619 186 083 197 0.467 913 934 572 691

Tabla 2.1 Posición de puntos de evaluación y sus respectivos pesos (fuente: Sergio Gallegos Cázares, 2008,Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, tabla. 5.1, P. 185)

La cuadratura de Gauss en comparación con otras formas de integración numérica demuestraser más óptima; como ejemplo mencionaremos las metodologías de integración más usadascomo la regla del trapecio que toma dos puntos de evaluación = −1 = 1 con suscorrespondientes pesos = = 1 y cuyo residuo está dado por:= − [2.91]



El residuo desaparecerá si la función es lineal, mientras que para una función polinómica desegundo grado existirá un residuo que es determinado por la ecuación (2.91), es por ello que sedice que esta formulación tiene precisión de segundo orden.

La regla de Simpson utiliza tres puntos de evaluación = −0, = 1 = 1 con lossiguientes pesos w = 1 3⁄ , = 4 3 = 1/3⁄ , y el residuo correspondiente está dadopor: = − [2.92]

Lo anterior indica que la solución de la integral utilizando esta regla dará un resultado exactopara funciones polinómicas hasta de tercer grado, y para funciones polinómicas de cuartogrado se obtendra un residuo que puede ser determinado por la ecuación (2.92). Por lo tanto, laregla de Simpson tiene una precisión de cuarto orden.

2.8.3. Uso de la cuadratura de Gauss en dos y tres dimensiones

Para el caso de dos dimensiones primeramente se integra con respecto a una variable yluego con respecto a la otra.= ∫ ∫ ( , ) = ∫ [∑ ( , )] =∑ ∑ , = ∑ ∑ [2.93]

En la figura 2.15 se muestra la ubicación de los puntos de evaluación en el sistema decoordenadas naturales, cuyos valores son: = ±0.5773 … . y = ±0.5773 …

Figura 2.15 cuatro puntos de Gauss en una cuadratura de dos dimensiones

Por lo tanto, la ecuación (2.93) quedara en su forma extendida como:= ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , ) [2.94]

Y para el caso de tres dimensiones se tiene la siguiente formulación:= ∫ ∫ ∫ ( , , ) = ∑ ∑ ∑ [2.95]



2.9. ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONALES

En el problema unidimensional, las ecuaciones para los desplazamientos, esfuerzos ydeformaciones unitarias dependen solo de la variable x; por lo tanto, estas ecuaciones sonescritas de la siguiente manera:= ( ), = ( ), = ( ) [2.96]

También, el diferencial de volumen en un elemento unidimensional puede ser dado en funciónde la variable en análisis.= [2.97]

Donde A representa el área de la sección transversal a la dirección x, a su vez, las cargasaplicadas al elemento dependen solo de la variable x:= ( ), = ( ) [2.98]

Donde b representa las fuerzas de cuerpo que tienen unidades de fuerza sobre unidad devolumen, un ejemplo de este tipo de fuerza es el peso propio del cuerpo; T viene dado por lasfuerzas de tracción que actúan en la superficie del cuerpo; adicionalmente a estas cargaspodemos tener fuerzas puntuales Pi que actúan en un lugar específico. Una representación delmodelo unidimensional se ve en la figura 2.16.

Figura 2.16 Elemento unidimensional sometido a múltiples cargas



2.9.1. Construcción del método de elementos finitos

Para el análisis de una estructura por el método de elementos finitos, primeramente, setiene que modelar la geometría del elemento; una forma muy conveniente de modelar la barramostrada en la figura 2.16 consiste en discretizarla en elementos de sección transversalconstante, estas secciones toman los valor medios dentro de los elementos, tal como semuestra en la figura 2.17a; también, en la figura 2.17b se muestra la aproximación de la barraque se ha modelado con 6 elementos y 7 nodos. Las cargas tanto de cuerpo y de tracción sereparten entre los elementos correspondientes; esta distribución de cargas se verá másadelante.

a) b)Figura 2.17 a )Discretización de la estructura b)Numeración de nodos y elementos

2.9.2. Esquema de numeración

La facilidad del MEF para su programación es lograda gracias a la conectividad de loselementos. Como se ve en la figura 2.17b, donde se dividió la estructura en 6 elementos, acada elemento le corresponde 2 nodos, esto por ser un problema unidimensional donde soloexiste un grado de libertad por nodo.

En el MEF se distinguen también dos sistemas de coordenadas, el primero local (dentro decada elemento finito) y otro global (en toda la estructura); para un elemento unidimensional dedos nodos (figura 2.17b) le corresponde un nodo inicial (1) y un nodo final (2), mientras queen un sistema global la numeración será distinta; por ejemplo, el elemento 2 tiene dos nodosen coordenadas locales (1 y 2 respectivamente) mientras que en coordenadas globales a estosnodos les corresponden las numeraciones 3 y 4 respectivamente.



2.9.3. Funciones de forma lineal

Consideremos un elemento unidimensional típico de dos nodos con coordenadas.

Figura 2.18 Elemento unidimensional en coordenadas cartesianas

Tal como se mencionó anteriormente, es conveniente transformar los valores de coordenadascartesianas (x) a coordenadas naturales (ξ), donde las coordenadas naturales varían de -1 a +1(figura 2.19).

Figura 2.19 Elemento unidimensional en coordenadas naturales

Para el cambio de coordenadas se expresa la variable ξ en función de x.= + . [2.99]

La ecuación lineal anterior toma los valores de cuando es evaluada en = −1 =+1, respectivamente.= (−1) += (+1) + [2.100]

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema anterior de ecuaciones lineales.==Al sustituir los valores de a y b en la ecuación (2.99), se tiene.= + [2.101]

Reordenando la expresión anterior se obtiene:= + [2.102]



Donde se observa que en coordenadas naturales ξ toma el valor de -1 cuando en el sistemacartesiano le corresponde el valor de y toma el valor de +1 si = .

a) b)Figura 2.20 a) Función real de desplazamientos b) función aproximada linealmente de desplazamientos.

En la figura 2.20a se observa la función de desplazamiento real, la cual puede ser aproximadapor una función lineal, tal como se muestra en la figura 2.20b.

Con la ecuación (2.42) se puede hallar las funciones de forma que aproximen losdesplazamientos dentro del elemento.≈ ( ) = ( ) + ( ) [2.103]

a) b)Figura 2.21 a) F. de forma en función de ξ b) F. de forma en función de ξ

Como se observa, la función toma un valor unitario en el nodo 1 y el valor de cero en elnodo 2, en cambio la función toma el valor de 1 en el nodo 2 y el valor de cero en el nodo1.

Considerando una ecuación lineal para describir los desplazamientos dentro de un elemento setiene: = + [2.104]

Y analizando las funciones en los valores nodales (figura 2.20), se obtiene:= = −1= = +1



Utilizando los valores nodales anteriores se obtiene el siguiente sistema de ecuacioneslineales: = (−1) += (+1) + [2.105]

Resolviendo el sistema anterior se hallan los valores de a y b.==Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación (2.104), se tiene:= + [2.106]

Y reordenando la ecuación anterior se halla la función de aproximación buscada.= + [2.107]

Comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.103), donde x es una función de lavariable , se observa que las funciones toman los valores de:= [2.108]= [2.109]

La ecuación (2.103) puede expresarse de forma matricial de la siguiente manera:= [2.110]

Donde: = [ ]= [ ]Es posible notar que las funciones de interpolación para aproximar los desplazamientos soniguales a las funciones utilizadas para aproximar la geometría del elemento (formulaciónisoperimétrica).

La deformación unitaria para el caso unidimensional viene dada por la siguiente expresión:= [2.111]

Utilizando la regla de la cadena la expresión anterior es expresada en función de la coordenadanatural . = = [2.112]



De la ecuación (2.101) se encuentra el valor de .= [2.113]

También: =Cuya expresión desarrollada viene dada por:= [2.114]

Sustituyendo las ecuaciones (2.113) y (2.114) en la ecuación (2.112) se obtiene:= (− + ) [2.115]

Y al expresar la ecuación anterior en forma matricial, se tiene:= [−1 1]= [2.116]

Donde el valor B viene dado por:= [−1 1] [2.117]

Utilizando la ley de Hooke para el caso unidimensional se obtiene:= [2.118]

Sustituyendo la ecuación (2.116) en la ecuación (2.118), se tiene:= [2.119]

El valor del esfuerzo obtenido con la ecuación anterior es constante dentro del elemento, estose debe a que las funciones de interpolación son lineales, y al ser los desplazamientosproporcionales a las funciones de forma, éstos también variarán linealmente; por otra parte, ladeformación es igual a la primera derivada del desplazamiento, por lo tanto, su valor dentrodel elemento será constante, y por último, el esfuerzo es proporcional a la deformación y serátambién constante.

Enfoque de la energía potencial

La energía potencial total en una estructura dada por:= ∑ ( ∫ − ∑ ∫ − ∑ ∫ − ∑ ) [2.120]

Mientras que la energía potencial para un elemento está dada por:



= ∫ − ∫ − ∫ − ∑ [2.121]

El primer término del lado derecho representa la energía de deformación unitaria del elemento.= ∫ [2.122]

Sustituyendo las ecuaciones (2.116) y (2.119) en la ecuación (2.122), se tiene:= ∫ [2.123]

Sacando fuera de la integral los términos constantes e independientes de x, se tiene:= ∫[ ] [2.124]

Sustituyendo el valor de dx por ( 2⁄ ) , se obtiene:= ∫ [2.125]

Integrando la expresión anterior y sustituyendo el valor de B, se tiene:= −11 [−1 1] [2.126]

Efectuando la multiplicación y ordenando, resulta:= 1 −1−1 1 [2.127]= [2.128]

Donde la matriz es conocida como la matriz de rigidez del elemento y viene dada por:= 1 −1−1 1 [2.129]

Términos de fuerza

De la ecuación (2.121) se extrae el término de las fuerzas de cuerpo, dado por:∫ = ∫ ( + ) [2.130]

La ecuación anterior también puede ser expresada como:∫ = ∫ [ ] [2.131]

El área de un elemento se considera constante al igual que la fuerza de cuerpo, por lo tanto,pueden ser sacados fuera de la integral al igual que los desplazamientos nodales.

∫ = [ ] ∫∫ [2.132]



Sustituyendo la ecuación (2.113) en la ecuación anterior y notando que − es la longituddel elemento ( ), se tiene:∫ = ∫ =∫ = ∫ =Por lo tanto, el término que representa las fuerzas de cuerpo se reduce a:∫ = [ ] 11 [2.133]

Lo cual se puede reducir a la siguiente expresión:∫ = [2.134]

Donde el vector es el vector de fuerzas de cuerpo.= 11 [2.135]

Analizando de una manera simple el significado de este término, vemos que la fuerza total decuerpo que actúa sobre el elemento es igual al volumen multiplicado por lo cual es igual a

, el divisor de la ecuación (2.135) indica que esta fuerza será repartida de igual forma encada nodo y será igual a la mitad.

El siguiente paso es analizar las fuerzas de tracción.∫ = ∫ ( + ) [2.136]

Al igual que en el caso anterior es sustituido por el producto de las funciones deinterpolación con los desplazamientos nodales.

∫ = [ ] ∫∫ [2.137]

Y al sustituir el valor de dx se tiene:

∫ = [ ] ∫∫Realizando la integración y ordenando la ecuación anterior se obtiene.∫ = [ ] 11 [2.138]∫ = [2.139]



Donde tiene el siguiente valor:= 11 [2.140]

El significado físico es similar al dado para las fuerzas de cuerpo.

Ensamble de la matriz de rigidez global de la estructura

La ecuación (2.120) puede escribirse de la siguiente forma.= − [2.141]

Donde el término K representa la matriz de rigidez global de la estructura, esta matriz escuadrada y de orden igual al número de grados de libertad de la estructura.

a) b)Figura 2.17 (repetida) a)Discretización del elemento b)Numeración de nodos y elementos

Por ejemplo, en la figura 2.17 se tienen siete grados de libertad, por lo tanto, la matriz globalserá de 7x7; si para este caso se toma el elemento 4, el cual está determinado por los nodos 4 y5, para el caso unidimensional cada nodo tendrá solo un grado de libertad, y en consecuencia,la numeración de los grados de libertad será la misma que la utilizada para los nodos. Lamatriz de rigidez local del elemento 4 es:

= −−La ubicación de los términos correspondientes al elemento 4 en la matriz de rigidez global semuestra a continuación.



=0 0 0 0 0 0 00 0 0 + / − / 0 00 0 00000

00000000

− /0000+ / 0 00000

00000000

Si se realiza el procedimiento anterior con todos los elementos que integran la estructura y sesuman las matrices globales K, se obtendrá la matriz de rigidez total de la estructura.

Ensamble del vector de fuerzas

Igualmente que en el caso anterior, el vector total de cargas será un vector con el número denodos igual al número de grados de libertad globales de la estructura. Para el caso delelemento 4 se tiene el siguiente vector local de cargas.=Y su ubicación dentro del vector de cargas globales será:= [0 0 0 0 0]Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera vienen dadas por las restricciones en los desplazamientos, que enmuchos casos sugieren que sean iguales a cero o iguales a un valor determinado.

2.9.4. Funciones de forma cuadrática

En muchas ocasiones se requiere una mayor precisión en la evaluación de losdesplazamientos dentro del elemento finito, esto se logra utilizando funciones de formacuadrática en lugar de las funciones de forma lineal vistas anteriormente.

a) b)Figura 2.22 a) Elemento en coordenadas cartesianas “x” b) Elemento representado en coordenadas naturales

“ξ”

Como se ve en la figura 2.22, para el punto en coordenadas cartesianas le corresponde elvalor de = −1, para el punto le corresponde el punto = 0 en coordenadas naturales y



para el punto le corresponde = +1 en coordenadas naturales. La función lineal quedescribe el valor de en función de x es:= 2 ( )( ) [2.142]

La función aproximada que describe los desplazamientos está dada por la siguiente formula:= + + [2.143]= [2.144]

Figura 2.23 Aproximación de la función de desplazamientos utilizando funciones de forma cuadrática

La función de desplazamientos puede ser aproximada por una función cuadrática, de lasiguiente forma: = + + [2.145]

Evaluando los valores de en los nodos 1, 2 y 3 se obtiene el siguiente sistema lineal deecuaciones. = (−1) + (−1) += (0) + (0) += (+1) + (+1) +Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:= −==Sustituyendo en la ecuación cuadrática los valores hallados se obtiene:= − + + [2.146]

Reduciendo la expresión anterior y reordenándola a la forma de la ecuación (2.143) se obtiene:= (1 − ) + (1 + )(1 − ) + (1 + ) [2.147]



Y comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.143), se observa que:= (1 − ) [2.148]= (1 + )(1 − ) [2.149]= (1 + ) [2.150]

Donde , son las funciones buscadas de forma cuadrática.

Figura 2.24 Funciones de forma cuadrática para elementos finitos unidimensionales

La deformación unitaria para el caso unidimensional fue dada en las ecuaciones (2.111) y(2.112) tanto en función de x y en función de , respectivamente.==Derivando la ecuación (2.142) en función de x, se tiene.= [2.151]

Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (2.112), se obtiene:= [2.152]

Derivando la ecuación (2.147) en función de , resulta:

== − −2 [2.153]

Expresando la ecuación anterior de manera reducida, se tiene:= [2.154]

Donde el valor de B está dado por:



= − −2 [2.155]

Es de notarse que la deformación unitaria varía linealmente dentro del elemento, por lo tanto,los esfuerzos también variarán de forma lineal; esta variación lineal da una mejoraproximación con relación a la obtenida con funciones de forma lineal (esfuerzo constantedentro del elemento).

Aplicando el principio de energía potencial y siguiendo un procedimiento similar al utilizadopara encontrar la matriz de rigidez del elemento con funciones de forma lineal, se tiene lasiguiente expresión:= ∫ [2.156]

Al efectuar las operaciones correspondientes se obtiene:

= 7 −8 1−8 16 −81 −8 7 [2.157]

También, el término de las fuerzas de cuerpo está dado por:= ∫ [2.158]

Por lo tanto, las fuerzas de cuerpo para este elemento están dadas por:

= 1/62/31/6 [2.159]

Las fuerzas de tracción que actúan sobre el elemento están dadas por la siguiente expresión:= ∫ [2.160]

Desarrollando las integrales se obtiene:

= 1/62/31/6 [2.161]



2.10. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES

Para el caso del problema de elasticidad bidimensional, las posiciones de los puntosdentro de un elemento están definidas por sus coordenadas (x,y), por lo tanto, losdesplazamientos correspondientes están dados también en función de las coordenadas (x,y).= ( , )= ( , )= ( , )( , ) [2.162]

El vector de esfuerzos y el vector de deformaciones están dados por:

= [2.163]

= [2.164]

Figura 2.25 Cargas y restricciones sobre un cuerpo de espesor t

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo bidimensional de espesor t son:= [ ] Fuerzas de cuerpo= [ ] Fuerzas de Tracción= Fuerzas puntuales

Para el caso de esfuerzo plano el vector de deformaciones está dado por:



= + [2.165]

La relación esfuerzo-deformación para el caso bidimensional, tal como se vio anteriormente,está dado por:

= ( ) 1 01 00 0=2.10.1. Triangulo de deformación unitaria constante

El triángulo de deformación constante utiliza funciones de forma del tipo lineal, demodo que los desplazamientos producidos por la aplicación de cargas resulten lineales, de estaforma la deformación y el esfuerzo resultarán constantes dentro del elemento.

Para este análisis se considera el elemento triangular de tres nodos mostrado en la figura(2.26), donde cada nodo puede desplazarse tanto en dirección x como en la dirección y.

Figura 2.26 Elemento triangular con 6 grados de libertad en coordenadas xy

De la figura anterior se define el vector de desplazamientos nodales como:= [ ] [2.166]

Resulta más conveniente expresar las coordenadas x,y en coordenadas normalizadas , ; paraello se realiza la transformación de coordenadas, como se muestra en la figura 2.27.



Figura 2.27 Transformación de coordenadas cartesianas x,y a coordenadas naturales ,Para transformar la ubicación de cada punto del elemento de coordenadas cartesianas acoordenadas naturales se utiliza funciones de interpolación lineal.= + += + + [2.167]

De acuerdo con la figura 2.27, se sustituyen los valores nodales correspondientes.( , ) = ( , ) ⇒ = 1 ∧ = 0( , ) = ( , ) ⇒ = 0 ∧ = 1( , ) = ( , ) ⇒ = 0 ∧ = 0Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.167) se tiene el siguiente sistema de ecuacioneslineales: = + = += + = += =Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:= − = −= − = −= =Sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones (2.167), se tiene:= ( − ) + ( − ) += ( − ) + ( − ) + [2.168]

Como se mencionó anteriormente, los puntos dentro de un elemento pueden expresarse enbase a valores nodales y funciones de interpolación, tal como se muestra en las expresionessiguientes: = + += + + [2.169]

Reordenando las ecuaciones (3.168), se tiene:



= ( ) + ( ) + (1 − − )= ( ) + ( ) + (1 − − ) [2.170]

Comparando las ecuaciones anteriores con las ecuaciones (2.169) se obtiene las funciones deinterpolación buscadas.=== 1 − − [2.171]

El siguiente paso es expresar los desplazamientos en función de las coordenadas x, y.( , ) = ´ + ´ + ´( , ) = ´ + ´ + ´ [2.172]

Es posible expresar las ecuaciones anteriores en coordenadas naturales ( , ); si se realiza estatransformación, las ecuaciones mantendrán la misma forma lineal, esto debido a que losvalores ´ son constantes.( , ) = + +( , ) = + + [2.173]

Figura 2.28 Geometría del elemento en coordenadas naturales y valores correspondientes de desplazamientos

Observando la figura 2.28 y evaluando las ecuaciones anteriores en los nodos, se obtiene:= 1 ∧ = 0 ⇒ ( , ) = ( , ) ∧ ( , ) = ( , )= 0 ∧ = 1 ⇒ ( , ) = ( , ) ∧ ( , ) = ( , )= 0 ∧ = 0 ⇒ ( , ) = ( , ) ∧ ( , ) = ( , )Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.173) se obtiene el siguiente sistema deecuaciones: = + = += + = += =



Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene los valores de los coeficientes .= − = −= − = −= =Sustituyendo los valores obtenidos de en la ecuación (2.173), se tiene:= ( − ) + ( − ) += ( − ) + ( − ) + [2.174]

Los desplazamientos , son expresados en función de los valores nodales del elemento y delas funciones de forma; como se muestra en las siguientes ecuaciones.= + += + + [2.175]

Ordenando la ecuación (2.174) y reescribiéndola de acuerdo a la forma de la ecuación (2.175),se tiene: = ( ) + ( ) + (1 − − )= ( ) + ( ) + (1 − − ) [2.176]

Comparando la expresión anterior con la ecuación (2.175) se obtiene los valores de, , que resultan ser iguales a las funciones de interpolación que describen lageometría del elemento. En la figura 2.29 se puede apreciar las funciones de interpolación,donde se ve que la función toma el valor de 1 cuando es evaluada en el nodo 1 y cero enlos demás nodos, la función toma el valor de 1 en el nodo 2 y cero en los demás nodos, y

el valor de 1 en el nodo 3 y cero en los demás nodos.=== 1 − −

Figura 2.29 Funciones de forma para elementos finitos bidimensionales lineales



Por lo tanto, los desplazamientos , son expresados con la siguiente ecuación:

= 00 0 0 00 [2.177]

= [2.178]

El vector de deformación unitaria para el caso bidimensional está dado por la ecuación(2.165).

= +Los términos de los desplazamientos son expresados en función de coordenadas cartesianas (x,y), y estas coordenadas a su vez son expresadas en términos de coordenadas naturales ( , ).= ( ( , ), ( , ) )= ( ( , ), ( , ) ) [2.179]

Utilizando la regla de la cadena se expresa los términos de la ecuación (2.165) en función delas coordenadas ( , ).= += += += +Las ecuaciones anteriores escritas de manera matricial resultan:

== [2.180]

Las ecuaciones anteriores son reescritas de la siguiente forma:



== [2.181]

Donde J representa la matriz jacobiana de transformación de coordenadas.

= [2.182]

Los valores de la matriz jacobiana son obtenidos derivando las ecuaciones (2.170) conrespecto a y . = [2.183]

Donde los subíndices indican diferencia; por ejemplo = − . También, la inversa de lamatriz jacobiana está dada por:= ( ) [2.184]

El determinante del jacobiano está dado por:( ) = − = 2 [2.185]

Se puede observar que el determinante de J ( ( )) es el doble del área del elementotriangular, el cual adquiere un valor positivo cuando los nodos 1, 2 y 3 son ordenados ensentido contrario a las manecillas del reloj.

Despejando las ecuaciones (2.181), se tienen las siguientes ecuaciones:

== [2.186]

Las ecuaciones anteriores en forma extendida están dadas por:= ( ) += ( ) +



+ = ( ) + + +Derivando los términos de la ecuación (2.174) en función de , se obtiene:= ( ) [ ( − ) + ( − )]= ( ) [ ( − ) + ( − )]+ = ( ) [ ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − )]Reordenando los términos anteriores y teniendo en cuenta que = − , = −

, etc., se tiene:

= ( ) + ++ ++ + + + + [2.187]

Ordenando los términos de manera matricial se obtiene:

= ( ) 00 0 0 00 [2.188]

Expresando esta última ecuación de manera abreviada se tiene:= [2.189]

Donde el término B está dado por:

= ( ) 00 0 0 00 [2.190]

Matriz de rigidez del elemento

La energía total en un elemento está dada por la siguiente ecuación:Π = ∫ − ∫ − ∫ − ∑ [2.191]

Tomando en cuenta que el espesor del elemento es constante e igual a dentro del elemento,y a su vez el término = ; la ecuación anterior queda de la siguiente manera:Π = ∫ − ∫ − ∫ − ∑ [2.192]

Para obtener la matriz de rigidez del elemento se extrae el primer término del lado derecho dela ecuación anterior.



= ∫ [2.193]= ∫ [2.194]

Sacando los términos constantes fuera de la integral se obtiene:= ∫ [2.195]

E integrando la ecuación anterior:= [2.196]= [2.197]

Donde el término representa el área del elemento y es la matriz de rigidez del elemento,la cual está dada por:= [2.198]

Matriz de rigidez global de la estructura

La matriz de rigidez de la estructura se puede obtener sumando la energía potencial dedeformación de cada elemento.= ∑ [2.199]

Lo cual en términos de desplazamientos globales se expresa como:= [2.200]

Términos de fuerza

Primeramente se analizará el término de la ecuación (2.192) correspondiente a las fuerzas decuerpo. ∫ = ∫ + [2.201]

Sustituyendo los valores por los valores dados en la ecuación (2.175), se tiene:∫ = ∫ ( + + ) + ( + + )Sacando los términos constantes fuera de la integral, se obtiene:∫ = ( ∫ ) + ∫ + ( ∫ ) +∫ + ( ∫ ) + ∫

[2.202]

Las integrales de las funciones de forma se muestran a continuación:



∫ = ∫ ∫ ( ) = 2 ∫ ∫ =∫ = ∫ ∫ ( ) = 2 ∫ ∫ =∫ = ∫ ∫ ( ) = 2 ∫ ∫ (1 − − ) =Sustituyendo las integrales anteriores en la ecuación (2.202) y ordenando de manera matricial,se obtiene:

∫ = [ ] [2.203]

∫ = [2.204]

Donde el término representa las fuerzas de cuerpo.= [ ] [2.205]

Cabe resaltar que la notación anterior es para cada elemento; para representar el aporte de lasfuerzas de cada elemento sobre la estructura, es necesario colocar dichas fuerzas encoordenadas globales.

El siguiente paso es expresar las fuerzas de tracción que actúan sobre los bordes de loselementos. Para el caso de cargas distribuidas que actúan en la dirección de los ejescoordenados se observa la figura 2.30.

Figura 2.30 Cargas distribuidas sobre la longitud de un elemento en las direcciones x, y

El término de la energía potencial, correspondiente a las fuerzas de tracción mostradas en lafigura 2.30, está dado por:



∫ = ∫ + [2.206]

A su vez, las fuerzas de tracción y los desplazamientos pueden ser expresados en términos delos valores nodales.= += + [2.207]= += + [2.208]

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación (2.206), se tiene:∫ = ∫ ( + )( + ) + ( + ) +∫ = ∫ + + + + ++ + [2.209]

Los términos , , , , son constantes y por lo tanto, son sacados fuera de la

integral. Las expresiones a integrar se reducen a las siguientes ecuaciones:∫ =∫ =∫ =Donde: = ( − ) + ( − )Sustituyendo los valores obtenidos de las integrales anteriores en la ecuación (2.209) yordenando de manera matricial, se tiene:

∫ = [ ] 2 +2 ++ 2+ 2 [2.210]

∫ = [ ] [2.211]

Donde el término está dado por:

= 2 +2 ++ 2+ 2 [2.212]



Para el caso de cargas perpendiculares al lado del elemento, como se muestra en la figura 2.31,debe descomponerse esta carga en sus componentes paralelas a x e y.

Figura 2.31 Cargas distribuidas perpendiculares a la longitud

De la figura anterior se observa que:= − = −= − = −==Los términos de cargas puntuales son fácilmente ubicados en el vector de cargas globales, estose realiza colocando directamente su valor en su ubicación correspondiente en coordenadasglobales teniendo en cuenta la dirección en la que actúan.= + [2.213]

Donde son los componentes cartesianos de la carga puntual P; son los

desplazamientos nodales en coordenadas globales correspondientes a los grados de libertad2 − 1 2 , respectivamente.

La energía potencial total de la estructura, expresada en función de los desplazamientosnodales, está dada por:Π = − [2.214]

Donde F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema en coordenadasglobales (fuerzas de cuerpo, fuerzas de tracción y cargas puntuales).

Derivando la ecuación (2.214) en función de se tiene:= 0 = − [2.215]= [2.216]



Construcción del modelo bidimensional con elementos finitos

Consideremos el cuerpo mostrado en la figura 2.32, que está sometido a un conjunto de cargas(fuerzas de cuerpo, fuerzas de tracción y cargas puntuales) y restricciones (desplazamientosnulos); el objetivo en este tipo de problemas es calcular los esfuerzos y desplazamientos endistintos puntos del cuerpo. La solución analítica del problema resulta imposible en este casodebido a la complejidad de las cargas aplicadas y la difícil geometría del cuerpo plano, es porello que se recurre a métodos aproximados de cálculo como el método de elementos finitos.

Figura 2.32 Cuerpo bidimensional sometido a un conjunto de cargas y restricciones

Para la utilización del elemento triangular de esfuerzo constante, la discretización se realizadividiendo el cuerpo en triángulos de lados rectos, tal como se muestra en la figura 2.33; cadatriangulo se compone de tres nodos, los cuales a su vez tienen dos grados de libertad (un gradode libertad en x y uno en y), por lo tanto, cada elemento constara de seis grados de libertad.

Figura 2.33 Discretización de un cuerpo bidimensional en triángulos y numeración de elementos y nodos



Los nodos y grados de libertad de cada elemento tienen una numeración local y unanumeración global, por ejemplo, en la figura 2.34 se observa de manera aislada el elemento 2con sus respectivos nodos con una numeración local y con una numeración global.

a) b)Figura 2.34 a) Elemento 2 con nodos expresados en coordenadas globales b) Elemento 2 expresado en

coordenadas locales.

Para obtener un orden con fines de programación, se establece que en coordenadas globaleslos grados de libertad en la dirección x toman el valor de 2 − 1 y en la dirección y toman elvalor de 2 , donde es el nodo en numeración global; por lo tanto, el vector dedesplazamientos en coordenadas globales está dado por:= [ … ] [2.217]

Donde N es el número total de grados de libertad.

2.10.2. Elemento finito bidimensional cuadrilátero de cuatro nodos

Para el presente análisis se considera el elemento de cuatro nodos mostrado en la figura2.35.

Figura 2.35 elemento cuadrilátero de 4 nodos en coordenadas x,y con desplazamientos en grados de libertadlocal

Los desplazamientos que ocurrirán en los puntos interiores del elemento están dados enfunción de sus coordenadas x,y, tal como se muestra a continuación.= ( , )( , ) [2.218]



La geometría del elemento puede ser aproximada por medio de valores nodales y funciones deforma mediante las siguientes ecuaciones.= + + += + + + [2.219]

Tal como se mencionó, es conveniente representar la geometría de un elemento encoordenadas naturales ( , ), como se muestra en la figura 2.36.

Figura 2.36 Elemento cuadrilátero de cuatro nodos expresado en coordenadas naturales ( , )

Para realizar la transformación de coordenadas se eligen las siguientes funciones polinómicas:= + + += + + + [2.220]

Para encontrar las constantes , , … , se consideran los valores nodales ( , ) en laecuación (2.220) y se evalúan estas expresiones con los valores nodales en coordenadasnaturales ( , ); donde i representa la numeración de los nodos en coordenadas locales(Figura 2.37).

Figura 2.37 Paso de coordenadas cartesianas (x , y) a coordenadas naturales ( , )

De la figura 2.37 se obtienen los siguientes valores:( , ) = ( , ) ⇒ = −1 ∧ = −1( , ) = ( , ) ⇒ = +1 ∧ = −1( , ) = ( , ) ⇒ = +1 ∧ = +1( , ) = ( , ) ⇒ = −1 ∧ = +1



Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.220) se obtiene el siguiente sistema deecuaciones: = − − + += + − − += + + + += − + − += − − + += + − − += + + + += − + − +Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtienen los valores de las constantes .= == == == =Sustituyendo los valores de , , … , en la ecuación (2.220) se obtienen las siguientesecuaciones:= + + += + + + [2.221]

Reordenando las ecuaciones anteriores, se tiene:= (1 − )(1 − ) + (1 + )(1 − ) + (1 + )(1 + ) + (1 − )(1 + )= (1 − )(1 − ) + (1 + )(1 − ) + (1 + )(1 + ) + (1 − )(1 + )Si se compara las ecuaciones anteriores con la ecuación (2.219) es evidente que los valores de, , están dados por:= (1 − )(1 − )= (1 + )(1 − )= (1 + )(1 + )= (1 − )(1 + ) [2.222]



Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas de una manera más compacta para los fines deprogramación. = (1 + )(1 + ) [2.223]

Los desplazamientos de un punto dentro del elemento se encuentran por medio de lasfunciones de interpolación y de los valores nodales, tal como se muestra en las siguientesecuaciones: = + + += + + + [2.224]

Para encontrar las funciones de interpolación se consideran las mismas funciones utilizadaspara describir la geometría del elemento en coordenadas naturales (formulaciónisoparamétrica). = + + += + + + [2.225]

Sustituyendo los valores correspondientes a los desplazamientos nodales, se obtiene:= == == == =Sustituyendo los valores obtenidos de en la ecuación (2.225) y ordenando los términos deuna manera conveniente, se tienen las siguientes expresiones:= (1 − )(1 − ) + (1 + )(1 − ) + (1 + )(1 + ) + (1 − )(1 + )= (1 − )(1 − ) + (1 + )(1 − ) + (1 + )(1 + ) + (1 − )(1 + )Y comparando estas últimas expresiones con la ecuación (2.224), se tiene:= (1 − )(1 − )= (1 + )(1 − )= (1 + )(1 + )= (1 − )(1 + ) [2.226]



Figura 2.38 Funciones de forma para un elemento finito rectangular de 4 nodos

Se observa que las funciones de forma para el cálculo de los desplazamientos son las mismasque las utilizadas para describir la geometría del elemento.

Expresando la ecuación (2.222) en forma matricial, se tiene:

= 00 00 00 00 [2.227]

= [2.228]

La relación entre la deformación unitaria y el desplazamiento está dada por la ecuación(2.165), la cual se muestra a continuación.

= = +Para expresar los términos del vector de deformación unitaria en función de las coordenadasnaturales se utiliza la regla de la cadena, como se muestra a continuación.



= += += += +Agrupando las ecuaciones anteriores de manera matricial se obtienen las siguientes dosrelaciones matriciales:

== [2.229]

Donde J representa el jacobiano de transformación y está dado por:

= [2.230]

Derivando las ecuaciones (2.226) en función de , se obtiene:J = x (−1 + η) + x (1 − η) + x (1 + η) + x (−1 − η) y (−1 + η) + y (1 − η) + y (1 + η) + y (−1 − η)x (−1 + ξ) + x (−1 − ξ) + x (1 + ξ) + x (1 − ξ) y (−1 + ξ) + y (−1 − ξ) + y (1 + ξ) + x (1 − ξ)Para evitar una notación muy amplia como la ecuación anterior, ésta es reducida por lasiguiente: = [2.231]

El siguiente paso es despejar los términos

== [2.232]

Donde la inversa del jacobiano está dada por:



= ( ) −−La transformación de coordenadas , a coordenadas , requiere la utilización deljacobiano. = ( ) [2.233]

Matriz de rigidez del elemento

Para hallar la matriz de rigidez del elemento se considera el término de la energía dedeformación unitaria del elemento; dado por:= ∫ [2.234]

Se considerará para el presente análisis que el elemento tiene un espesor constante e igual a ,sustituyendo este término en la ecuación anterior, se tiene:= ∫ [2.235]

De la ecuación (2.232) se obtienen los términos del vector de deformación unitaria en funciónde . = ( ) −= ( ) − ++ = ( ) − + + − [2.236]

Ordenando las ecuaciones anteriores de manera matricial, se obtiene:

= ( ) −0 0− − 0 0− [2.237]

= [2.238]

En la ecuación (2.238) la matriz A y el vector C están dados por:

= ( ) −0 0− − 0 0− [2.239]



= [2.240]

Los términos del vector C se obtienen derivando las ecuaciones (2.226) en función de .Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (2.224), se tiene:= (−1 + ) + (1 − ) + (1 + ) + (−1 − )= (−1 + ) + (−1 − ) + (1 + ) + (1 − )= (−1 + ) + (1 − ) + (1 + ) + (−1 − )= (−1 + ) + (−1 − ) + (1 + ) + (1 − )Ordenando las ecuaciones anteriores de manera matricial, resulta:

= −1 +−1 +0000−1 +−1 +

1 −−1 −00001 −−1 −

1 +1 +00001 +1 +

−1 −1 −0000−1 −1 − [2.241]

= [2.242]

De la ecuación anterior se observa que el valor de la matriz G está dado por:

= −1 +−1 +0000−1 +−1 +

1 −−1 −00001 −−1 −

1 +1 +00001 +1 +

−1 −1 −0000−1 −1 − [2.243]

Sustituyendo la ecuación (2.242) en la ecuación (2.238), se tiene:= [2.244]

Ahora se define la matriz B como:= [2.245]

Sustituyendo la ecuación (2.245) en la ecuación (2.244), resulta:= [2.246]



Para el cálculo de los esfuerzos dentro de un elemento, se sustituye la ecuación (2.246) en laecuación = .= [2.247]

Donde la matriz D está dada por:

= ( ) 1 01 00 0Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente, en la ecuación (2.235), se obtiene lasiguiente expresión.= ∫ ∫ ( ) [2.248]

De la ecuación anterior se encuentra la matriz de rigidez del elemento, la cual está dada por:= ∫ ∫ ( ) [2.249]

Vector de fuerzas del elemento

Fuerzas de cuerpo

Dentro de la ecuación de la energía potencial de un elemento, el término de las fuerzas decuerpo está dado por:∫ [2.250]

La ecuación anterior está dada como una función continua; para fines de cálculo aproximado,este término es reemplazado por fuerzas y desplazamientos evaluados en los nodos; como semuestra a continuación.∫ = ∑ [2.251]

Las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen están dadas por = [ ] y son constantesdentro de un elemento; también, el valor de está dado por la siguiente expresión:= ∫ ∫ ( ) [2.252]

Igual que en el caso de la matriz de rigidez del elemento, el término de fuerzas de cuerpo debeser evaluado numéricamente.

Fuerzas de tracción

Para el análisis de las fuerzas de tracción que actúan sobre el borde de un elemento (figura2.39), se considera un borde constante e igual a ; también, se observa en la figura 2.39 que= 0 = 0.



Figura 2.39 Cargas aplicadas sobre el borde 1-2 de un elemento

Si las cargas sobre el borde son constantes, el vector de fuerzas de tracción queda dado por:= [ 0 0 0 0] [2.253]

Las cargas puntuales son colocadas en el vector de fuerzas globales, tal como para el caso delelemento finito triangular de tres nodos. El ensamblaje de la matriz de rigidez total se obtienecon los procedimientos antes señalados.

2.11. ANÁLISIS DE FLEXIÓN EN VIGAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOSFINITOS

Las vigas son estructuras sometidas a cargas perpendiculares a su eje, dichas cargasproducen momentos flectores y fuerzas cortantes; otros efectos como momentos torsores yfuerzas axiales no tienen una notoria influencia.

Figura 2.40 Viga sometida a cargas y análisis de un elemento diferencial de viga

Para el análisis de vigas por el método de elementos finitos, primeramente se desarrollarán lasformulas correspondientes al problema de flexión en vigas, para ello se considera la vigamostrada en la figura 2.40, aquí se muestra una viga sometida a una carga distribuida porunidad de longitud q(x), a cargas puntuales Q y a momentos flectores M. Si se toma unelemento diferencial, dx, en la viga y sobre este elemento se formulan las ecuaciones deequilibrio, se obtiene:∑ = 0, + ( ) − − = 0



= ( ) [2.254]∑ = 0, − + + ( ) + + = 0= − [2.255]

Sustituyendo la ecuación (2.255) en la ecuación (2.254), se tiene:= − ( ) [2.256]

De acuerdo con las hipótesis de Bernoulli, las cuales indican que las secciones transversales aleje longitudinal permanecen planas luego de la flexión y que los desplazamientos sonpequeños en comparación con la altura de la sección transversal de la viga; se puedeconsiderar la figura siguiente:

Figura 2.41 Elemento diferencial de viga antes y después de la flexión

De la figura anterior se obtiene la siguiente relación:= − [2.257]

La ecuación que relaciona los desplazamientos en la dirección x con su respectivadeformación es: = [2.258]

Al sustituir la ecuación (2.257) en la ecuación anterior se obtiene la expresión que relaciona eldesplazamiento vertical con la deformación en x.



= − [2.259]

Si la viga está constituida por un material linealmente elástico, el esfuerzo y la deformación serelacionan por: = [2.260]

Si se sustituye la ecuación (2.259) en la ecuación anterior se obtendrá la ecuación querelaciona los esfuerzos en la viga con la deflexión de la misma.= − [2.261]

Los esfuerzos generan en la viga momentos flectores, los cuales están dados por:= ∫ [2.262]

Sustituyendo la ecuación (2.261) en la ecuación anterior y considerando un ancho constante eigual a b se tiene: = ∫ − [2.263]

Sacando los términos que no dependen de la variable z y recordando que el momento deinercia de la sección transversal de la viga está dado por: = ∫ ; la ecuación (2.263) sereduce a: = − [2.264]

Y por último, sustituyendo la ecuación (2.264) en la ecuación (2.256) se tiene:= ( ) [2.265]

2.11.1. Planteamiento del método de elementos finitos en vigas

Para el análisis de vigas, se consideran a éstas como longitudinalmente indeformables,esta hipótesis lleva a considerar solo cuatros grados de libertad en cada elemento finito (figura2.42), por lo tanto, se considerará el siguiente vector de desplazamientos por elemento.= [ ] = [ ] [2.266]

Figura 2.42 Grados de libertad correspondientes a un elemento de viga

Los giros están dados por la primera derivada de los desplazamientos en función de x.



= [2.267]

La ecuación anterior obliga a buscar una función de aproximación continua en sí misma y ensu primera derivada; además, como se tiene cuatro grados de libertad en un elemento, seráconveniente tomar una función polinómica de tercer grado y de cuatro términos.= + + + [2.268]

Para hallar las funciones de forma de una manera sencilla es conveniente emplear una variablenatural , la cual varía de -1 a +1. La relación entre la variable x y está dada por:= + [2.269]

Y su función inversa es:= − [2.270]

La ecuación (2.268) en función de la variable tendrá la misma forma que esta ecuación enfunción de x, esto debido a que la función de trasformación de coordenadas es lineal, por lotanto: = + + + [2.271]

Y derivando la ecuación anterior en función de , se obtiene la siguiente función:= = = ( + 2 + 3 ) [2.272]

Figura 2.43 Trasformación de coordenadas cartesianas “x” a coordenadas naturales “ ” con los valoresnodales correspondientes

En la ecuación anterior, l se refiere a la longitud del elemento. Si se sustituyen los valoresnodales mostrados en la figura 2.43 en las ecuaciones (2.271) y (2.272) se obtiene el siguientesistema de ecuaciones lineales.= − + −= ( − 2 + 3 )= + + += ( + 2 + 3 )



Al resolver el sistema de ecuaciones anterior, se obtienen los valores de las constantes , lascuales se escriben a continuación:= 2 + + 2 −= −3 − + 3 −= − += + − +Sustituyendo los valores de las constantes, , en la ecuación (2.271) y reordenando estaexpresión, se tiene:= (2 − 3 + ) + (1 − − + ) + (2 + 3 − ) +(−1 − + + ) [2.273]= + + + [2.274]

Donde: = (2 − 3 + )= (1 − − + )= (2 + 3 − )= (−1 − + + ) [2.275]

El jacobiano de transformación se obtiene de la ecuación (2.269), y viene dado por:= = [2.276]

La deformación en términos de valores nodales se obtiene sustituyendo la ecuación (2.273) enla ecuación (2.259).= − ( )

= −= [2.277]

Donde: = − [2.278]



Las derivadas de las funciones de forma, en función de la variable natural , se obtienen pormedio de la regla de la cadena.= = [2.279]= = [2.280]

Por lo tanto, la matriz B en función de la coordenada queda dada de la siguiente manera:= −= −= − [2.281]

De la última ecuación se deduce que:= [2.282]

2.11.2. Matriz de rigidez del elemento

La matriz de rigidez de un elemento viga está dada por la siguiente expresión:= ∫ [2.283]

Si se considera una viga de ancho b y un módulo de elasticidad E, la ecuación anterior quedade la siguiente manera:= ∫ ∫= ∫ ∫ [2.284]

En la ecuación (2.284), la integral ∫ representa el momento de inercia de la seccióntransversal, dado por I, sustituyendo este término en la ecuación anterior, se obtiene:= ∫ [2.285]

Resulta conveniente realizar un cambio de variable en la ecuación (2.285), para lo cual serecuerda que: =Por lo tanto, la ecuación (2.285) queda dada de la siguiente manera:= ∫ [2.286]

Efectuando el producto de la integral anterior e integrando los términos, se tiene:



= ∫

= 12/ 6/6/ 4/ −12/ 6/−6/ 2/−12/ −6/6/ 2/ 12/ −6/−6/ 4/ [2.287]

2.11.3. Términos de fuerza

Para el presente análisis solo se considerarán las cargas uniformemente distribuidas porunidad de longitud perpendiculares al eje del elemento:( ) = ∫ [2.288]

Haciendo un cambio de variable de x a , la ecuación anterior resulta:

( ) = ∫ = /2/12/2− /12 [2.289]

La expresión anterior corresponde al caso de una carga uniformemente distribuida, donde lacarga ( ) es positiva si actúa en sentido del desplazamiento. El vector obtenido en laecuación (2.289) coincide con las fuerzas de empotramiento perfecto en una viga, lo cual esobvio.

Los momentos flectores y las fuerzas cortantes se obtienen a partir de las siguientes relaciones:= =Sustituyendo la ecuación (2.273) en las relaciones anteriores y recordando que = , se

tiene: = [6 + (3 − 1) − 6 + (3 + 1) ] [2.290]= (2 + − 2 + ) [2.291]



2.11.4. Matriz de rigidez de vigas sobre soportes elásticos6

Las vigas sobre soportes elásticos resultan de gran utilidad en las cimentaciones deWinkler; para este análisis se considera la rigidez por unidad de longitud que aporta el estratodebajo de la viga, el término que se agrega a la energía potencial es aquel que se obtiene por ladeformación del suelo (idealizado como un conjunto infinito de resortes biarticulados).

Figura 2.44 Viga apoyada sobre un medio elástico (cimentación de Winkler)∫ [2.292]

Sustituyendo el término de la deformación w por el producto de las funciones de forma yvalores nodales se tiene:∫ ( )∫ ∫ [2.293]

En la ecuación anterior se observa que la matriz de rigidez proveniente del suelo viene dadapor: = ∫ [2.294]

Donde N es la matriz de funciones de forma; sustituyendo las ecuaciones (2.273) en laecuación anterior e integrando se obtiene:

= 156 2222 4 54 −1313 −354 13−13 −3 156 −22−22 4 [2.295]

Este término, correspondiente al aporte de rigidez del suelo, debe de sumarse a la matriz derigidez de la viga.



Referencias

1 Belytschko T., Liu W. K. y Moran B., Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley &Sons, 2000.

2 Shames y Cozzarelli, Elastic and inelastic stress Analysis, Prentice-Hall, 1992.3 Gallegos Cázares Sergio, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, Editorial

LIMUSA S. A., Monterrey, pp. 51-132, 2000.4 John H. Mathews y Kurtis D. Fink, Métodos numéricos con MATHLAB, Prentice Hall, Madrid, pp. 203-263,

2000.5 John H. Mathews y Kurtis D. Fink, Métodos numéricos con MATHLAB, Prentice Hall, Madrid, pp. 423-432,

2000.6 Tirupathi R. Chandrupatla, Ashok D. Belegundu, Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería,

Segunda edición, PRENTICE HALL, México, pp. 249-251, 1999.


CAPÍTULO

3EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOSAPLICADO A LOSAS

3.1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día, tanto el análisis y el diseño de edificaciones requiere un menor tiempopero una mayor seguridad, es por ello que se hace necesario sistematizar los métodos decálculo estructural para conseguir mayor precisión en los resultados y un menor tiempo deanálisis.

Hasta antes de 1960 las losas eran analizadas como un emparrillado de vigas por un grannúmero de ingenieros estructuralistas, debido a que solo se tenía soluciones “exactas” paraalgunos casos simples de losas bidireccionales, lo cual generaba resultados muyconservadores; el principal problema que presenta el idealizar la losa como un conjunto devigas es la distribución inadecuada de momentos y fuerzas cortantes en la losa, otra desventajaencontrada es que no indica nada acerca de los momentos torsores.

Actualmente, con el avance de los programas informáticos y el desarrollo de los métodosnuméricos de análisis estructural es posible realizar cálculos más acelerados y con una mayorconfiabilidad en los resultados; uno de estos métodos que ha logrado una gran aceptación porparte de ingenieros prácticos es el método de elementos finitos, el cual es aplicable a un grannúmero de problemas no solo estructurales sino también en otras ramas de la física.

Para el análisis de losas planas, actualmente se presentan dos teorías muy difundidas, laprimera es la teoría clásica de Kirchhoff, aplicada para el caso de losas delgadas con pequeños

- 104 - Cap3 – El método de elementos finitos aplicado a losas


desplazamientos; la otra teoría, con una mayor aplicación en la actualidad, es lacorrespondiente a Reissner-Mindlin[1][2] que es aplicada tanto a losas delgadas y gruesasdebido a su relativa facilidad para ser implementada por el método de elementos finitos encomparación con el modelo de Kirchhoff, debido a que solo requiere una función deinterpolación con continuidad mientra que para la teoria de Kirchhoff se requiere unafunción de interpolación con continuidad . La utilización del modelo de Reissner-Mindlinrequiere un profundo conocimiento de la teoría y debe emplearse con mucho cuidado,mientras que la teoría de Kirchhoff, aunque resulta ser más complicada su implementación porel MEF, tiende a ser más segura.

En el presente capitulo primero serán descritos algunos conceptos elementales de flexión enlosas delgadas correspondientes a la teoría de Kirchhoff, para luego definir la matriz de rigidezdel elemento placa considerando un cuadrilátero de 4 nodos y 12 grados de libertad; tanto losmomentos flectores y fuerzas cortantes se hallan mediante el cálculo de los desplazamientosverticales, que son calculados mediante el ensamblaje de la matriz de rigidez global de laestructura.

3.2. ANÁLISIS DE LOSAS DELGADAS CON PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS(TEORÍA DE KIRCHHOFF)3

3.2.1. Teoría clásica de flexión en placas

Se puede considerar como una placa delgada con pequeños desplazamientos cuando larelación entre el espesor y el lado más corto es menor a 1/20, y cuando el desplazamientomáximo en la dirección normal al plano medio de la placa no supera 1/5 del espesor de lamisma. Muchos tipos de placas utilizadas en la construcción de obras civiles caen dentro deestos parámetros, como ejemplos tenemos las losas de entrepisos armadas en dos direcciones,techos de reservorios de agua, tableros de puentes, etc.

Para el análisis del elemento placa delgada, generalmente, se utilizan las suposiciones dadaspor Kirchhoff, que son enunciadas a continuación:

a) La deformación en el plano medio de la placa se considera nula.

b) Las secciones planas inicialmente normales a la superficie media permanecen planas ynormales a la superficie media luego de la flexión, lo cual sugiere que las deformacionescortantes en la dirección vertical son despreciables.= = 0

c) Los esfuerzos normales al plano de la placa son pequeños en comparación con los otrosesfuerzos, por lo tanto, pueden ser despreciados.= 0



d) La deflexión del plano medio es pequeña en comparación con el espesor de la placa, locual implica que la pendiente de la deflexión es muy pequeña y la raíz cuadrada de lapendiente es despreciable en comparación con la unidad (Ecuación de curvatura).

Esta teoría ha mostrado tener resultados satisfactorios en placas con un espesor hasta a 1/10del lado menor de la misma, pero si el espesor excede este valor, las suposiciones a y b no seaproximan a la realidad y, en consecuencia, su estudio estará fuera del presente análisis.

Figura 3.1 Placa de espesor constante “t” ubicada en el plano xy sometida a cargas perpendiculares a su plano

Para el presente análisis se considera la placa de espesor constante igual a , mostrada en lafigura 3.1, paralela al plano xy; el plano z=0 coincide con el plano medio de la placa, por lotanto, la superficie superior e inferior de la placa se ubican en el plano − 2⁄ y 2⁄ ,respectivamente; sobre la placa actúa una carga uniformemente distribuida e igual a p queactúa de forma perpendicular a la losa.

Figura 3.2 Segmento diferencial de una placa de espesor t antes y después de la flexión (plano x,z), gráficobasado en la teoría de Kirchhoff

La deflexión del punto A visto en el plano xz se muestra en la figura 3.2, y por analogía en elplano yz se tendrá una configuración similar. De esta figura se observa que:



= − = − [3.1]

3.2.2. Relaciones entre desplazamientos y deformaciones unitarias

Las relaciones entre las deformaciones unitarias y los desplazamientos para un casogeneral se muestran a continuación:= = += = += = + [3.2]

De las hipótesis enunciadas por Kirchhoff ( = = 0), las relaciones anteriores son

reducidas a: = = = + [3.3]

Sustituyendo la ecuación (3.1) en la ecuación (3.3) se tiene:= = −= = −= + = −2 [3.4]

El conjunto de ecuaciones anteriores también puede ser expresado en formato matricial.

= −−−2 =Donde b está definido como el vector de curvatura y su uso es muy habitual en la teoría deplacas. Este vector de curvatura no depende de la variable z, sino solo de la posición de lasuperficie media de la placa.



3.2.3. Estado de tensiones

Como se vio en el capítulo 2 del presente documento, las relaciones entre los esfuerzosy las deformaciones se determinan mediante la ley de Hooke generalizada.= − −= − + −= − − +== = 0= = 0 [3.5]

Donde E es el módulo de elasticidad del material y es el módulo de Poisson. El valor de Grepresenta el módulo cortante y guarda la siguiente relación con el módulo de elasticidad.= ( ) [3.6]

En las ecuaciones (3.5) el primer subíndice indica la dirección de la normal al plano sobre elcual actúa los esfuerzos y el segundo subíndice indica la dirección del esfuerzo.

Utilizando las hipótesis a y b de Kirchhoff, las ecuaciones (3.5) quedan reducidas a:= −= −= [3.7]

Despejando los esfuerzos en la ecuación anterior y sustituyendo el valor de G, se tiene:= += += [3.8]

Agrupando las ecuaciones anteriores de forma matricial se obtiene:

= ( ) 1 01 00 0 [3.9]

Sustituyendo la ecuación (3.4) en la ecuación (3.8) se obtiene la relación entre los esfuerzos ylos desplazamientos verticales w.



= += += (1 − ) [3.10]

3.2.4. Fuerzas internas

Los esfuerzos analizados en las ecuaciones anteriores varían linealmente dentro delespesor t de la placa, estos esfuerzos producen en el interior de la placa momentos flectores

, un momento torsor y fuerzas cortantes fuera del plano de la placa

.

El momento flector en x ( ) es producido por los esfuerzos , tal como se muestra en lafigura 3.3.

Figura 3.3Esfuerzos de flexión en una placa en la dirección x

De la figura anterior se observa que el momento (momento por unidad de ancho) estádado por: = ∫ //Sustituyendo el valor de , dado en la ecuación (3.10), en la ecuación anterior, se tiene:= ∫ // +Integrando la expresión anterior se obtiene el valor de en función del desplazamiento w.= ( ) + [3.11]

Para el cálculo de se sigue un procedimiento análogo al anterior, obteniéndose:= ( ) + [3.12]



Figura 3.4 Esfuerzos cortantes que generan el momento en una placa de espesor t

De la figura 3.4 se deduce el valor de , el cual está dado por:= ∫ //Sustituyendo el valor de en la ecuación anterior, se tiene:= (1 − ) ∫ //Integrando la expresión anterior se obtiene:= ( ) (1 − ) [3.13]

De manera similar se obtiene el valor de , el cual viene dado por:= ( ) (1 − ) [3.14]

Los momentos y fuerza cortantes verticales generados por las cargas varían de un punto a otrodentro de la placa, estas variaciones establecen relaciones, las cuales se conocen comoecuaciones de equilibrio. Si se considera una porción infinitesimal de una placa, sobre la cualactúa una carga uniformemente distribuida igual a p, esta carga generará en la placa fuerzasinternas, las cuales se muestran en la figura 3.5.

Figura 3.5 Elemento diferencial de una placa sobre la cual actúa una carga repartida p, generando fuerzasinternas



Considerando primero el equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:+ − + + − + = 0+ + = 0 [3.15]

El siguiente paso es efectuar el equilibrio de momentos alrededor del eje x, para lo cual sedesprecian los efectos de segundo orden.+ − + + − − = 0+ − = 0 [3.16]

Al efectuar el equilibrio de momentos alrededor del eje y se obtiene:+ − = 0 [3.17]

El momento es igual a debido a que el esfuerzo = ; teniendo en cuenta esta

observación y sustituyendo las ecuaciones (3.16) y (3.17) en la ecuación (3.15), se tiene.+ 2 + = − [3.18]

Para obtener una ecuación diferencial en términos del desplazamiento vertical w se tiene quesustituir las ecuaciones (3.11-3.14) en la ecuación (3.18).

( ) + 2 ( ) + = −Efectuando las operaciones correspondientes se llega a la expresión final:+ 2 + = [3.19]

Donde D está dada por la siguiente ecuación:= ( ) [3.20]

Los valores de las fuerzas cortantes verticales por unidad de longitud se obtienen a partir delas ecuaciones (3.16) y (3.17) al sustituir los valores de , por las ecuaciones

(3.11), (3.12) y (3.13), respectivamente.

= − ( ) + ( )



= − ( ) + [3.21]

Utilizando el mismo procedimiento se calcula la fuerza cortante vertical por unidad delongitud en y. = − ( ) + [3.22]

3.3. ELEMENTO FINITO RECTANGULAR DE 12 GDL PARA LOSAS

Para el análisis de placas por el MEF, generalmente se utilizan los elementos finitostriangulares y rectangulares debido a la facilidad con la que se puede aproximar cualquier tipode geometría y por la facilidad del cálculo de las matrices de rigidez de los elementos.

La utilización de elementos triangulares resulta muy útil para describir geometríascomplicadas debido a la simplicidad geométrica de los mismos; muchos elementostriangulares tanto conformes como no conformes han sido desarrollados, pero solo muy pocoshan dado resultados satisfactorios; por otro lado, los elementos finitos rectangulares muestranuna mejor aproximación y una menor dificultad en su implementación, es por ello que sonmuy utilizados en el análisis de losas.

Una forma intuitiva de encontrar un elemento que satisfaga la continuidad es tomando eldesplazamiento vertical, w, y sus derivadas cartesianas (giros) como grados de libertad en cadanodo, así se tendrá 3 GDL por nodo. Dentro de los elementos finitos rectangulares, aquel queha sido muy utilizado es el propuesto por Melosh, Zienkiewicz y Cheung (elemento MZC),mostrado en la figura 3.6, donde cada nodo tiene tres grados de libertad; un desplazamiento enla dirección z, una rotación alrededor del eje x y una rotación alrededor del eje y.

Figura 3.6 Elemento rectangular de 4 nodos y 12 grados de libertad (Fuente: Juan Tomás Celigueta Lizarza,Método de elementos finitos para análisis estructural, Tercera Edición, figura 7.14 pp. 138)

Las relaciones entre las rotaciones y el desplazamiento están dadas por las siguientesecuaciones: = = − [3.23]



El signo negativo en es debido a que un desplazamiento negativo producirá una rotación

positiva alrededor de y.

El vector de desplazamientos de un nodo es mostrado a continuación:

= = [3.24]

Donde i=1,…, 4 representa el número de nodo dentro de un elemento. El vector dedesplazamientos de un elemento rectangular en coordenadas locales está dado por:= [ ] [3.25]

O en una notación alternativa:= [ ]El siguiente paso consiste en brindar una función de aproximación para hallar eldesplazamiento en función de las coordenadas x,y; para lo cual se elige la siguiente funciónpolinómica de 12 términos.= ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ +´ + ´ + ´ [3.26]

De las relaciones entre el desplazamiento y los ángulos de rotación vistas en la ecuación(3.23), se deduce que:= = ´ + ´ + 2 ´ + ´ + 2 ´ + 3 ´ + ´ + 3 ´

[3.27]= − = − ´ − 2 ´ − ´ − 3 ´ − 2 ´ − ´ − 3 ´ − ´[3.28]

La ecuación (3.26) es una función incompleta de cuarto grado dentro del triángulo de pascal,pero es un polinomio completo de tercer grado con dos términos adiciones , , laelección de estos dos términos garantiza la continuidad del desplazamiento w a lo largo de losbordes de los elementos.

Para mayor facilidad se definen a continuación las variables naturales .= [3.29]= [3.30]

Donde:= Coordenada central del lado de un elemento finito en dirección x



= Coordenada central del lado de un elemento finito en dirección y= Son definidas en la figura 3.7.

Para obtener expresiones simplificadas de las funciones de forma es conveniente expresar losvalores en coordenadas naturales , , tal como se muestra en la figura 3.7.

Figura 3.7 Sistema de coordenadas naturales ξ , η en un elemento finito rectangular

La ecuación (3.26) puede expresarse en términos de las coordenadas naturales ,= + + + + + + + + + ++ [3.31]

La ecuación anterior tiene la misma forma que la ecuación (3.26), debido a la linealidad de lasecuaciones (3.39) y (3.30); también, las derivadas parciales de la función anterior en términosde se muestran a continuación.= + + 2 + + 2 + 3 + + 3 [3.32]= + 2 + + 3 + 2 + + 3 + [3.33]

De las ecuaciones (3.29) y (3.30) se obtienen las derivadas de en función de ,respectivamente. = y = [3.34]

Por medio de la regla de la cadena se obtienen las expresiones en función de las

coordenadas naturales , .== [3.35]

Sustituyendo las ecuaciones (3.32), (3.33) y (3.34) en la ecuación (3.35), se tiene:



= ( + + 2 + + 2 + 3 + + 3 ) [3.36]− = − ( + 2 + + 3 + 2 + + 3 + ) [3.37]

Tomando los valores nodales (en coordenadas naturales) del elemento mostrado en la figura3.7, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales.= − − + + + − − − − + += ( − − 2 + + 2 + 3 − − 3 )= (− + 2 + − 3 − 2 − + 3 + )= + − + − + + − + − − −= ( + − 2 + − 2 + 3 + + 3 )= (− − 2 + − 3 + 2 − + 3 + )= + + + + + + + + + + += ( + + 2 + + 2 + 3 + + 3 )= (− − 2 − − 3 − 2 − − 3 − )= − + + − + − + − + − −= ( − + 2 + − 2 + 3 − − 3 )= (− + 2 − − 3 + 2 − − 3 − )El sistema de ecuaciones en forma matricial se muestra a continuación.

=100100100100

−10−110−110−1−10−1

−110−110110110

10210−210−2102

1−11−11111−1−11−1

1−201−20120120

−10−310−310−3−10−3

−11−2−11211−2112

−12−11−2−112−1−1−2−1

−130−130130130

1−13−11311−3−1−1−3

1−31−13113−1−1−3−1= [3.38]= [3.39]

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se tiene:



= =2−3−30401001−1−1

1−1−101−100110−1

−1111−10−1−10010

23−30−40−100111

−11−10−1−100−1101

−11−1−1−10−110010

233040−100−1−1−1

−1−1−10−11001101

111−110−1−100−10

2−3−30−40100−111

−11101100−110−1

−11−1110−1100−10Sustituyendo los valores , obtenidos en el paso anterior, en la ecuación (3.31) y ordenandolos términos de manera conveniente se obtienen las funciones de forma buscadas.= ∑ [3.40]

Donde n es el número de grados de libertad del elemento finito rectangular, y las funciones deforma son desarrolladas a continuación.= (2 − 3 − 3 + 4 + + − − )= (1 − − + − + + − )= (−1 + + + − − − + )= (2 + 3 − 3 − 4 − + + + )= (−1 + − − − − + + )= (−1 + − − − − + + )= (2 + 3 + 3 + 4 − − − − )= (−1 − − − + + + + )= (1 + + − + − − − )= (2 − 3 − 3 − 4 + − + + )= (−1 + + + + − + − )= (−1 + − + + − + − )Las funciones de forma obtenidas en el paso anterior pueden ser reescritas de la siguientemanera: = (1 − )(1 − )(2 − − − − )= (1 − )(1 + )(1 − )



= − (1 + )(1 − )(1 − )= (1 + )(1 − )(2 + − − − )= (1 + )(1 + )(1 − )= (1 − )(1 − )(1 + )= (1 + )(1 + )(2 + + − − )= − (1 + )(1 − )(1 + )= (1 − )(1 + )(1 + )= (1 − )(1 + )(2 − + − − )= − (1 − )(1 − )(1 + )= − (1 + )(1 + )(1 − ) [3.41]

O de una manera más compacta:= (1 + )(1 + )(2 + + − − )= − (1 + )(1 − )(1 + )= (1 − )(1 + )(1 + ) [3.42]

Donde n representa el número de nodo (n=1,2…,4)

Las funciones de forma en coordenadas naturales son mostradas a continuación:



.



Figura 3.8 Funciones de forma para un elemento rectangular de 12 GDL

3.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO PARA LOSAS

El desplazamiento vertical de un punto dentro de un elemento finito en función de losvalores nodales y las funciones de forma se da a través se la siguiente ecuación:= [3.43]

Donde: = [ ]= [ ]El vector de deformación unitaria en función del desplazamiento vertical, w, está dado por laecuación (3.4), el cual es expresado a continuación.

= = −−−2 = [3.44]



Sustituyendo la ecuación (3.43) en la ecuación anterior se obtiene:

= = −−−2 = [3.45]

La ecuación (3.45) puede ser expresada de manera más compacta como:

= = ( )= = = [3.46]

Donde:

= −y =Los términos de la matriz son desarrollados a continuación:= = (6 − 6 )= = 0= = (2 − 6 − 2 + 6 )= = (−6 + 6 )= = 0= = (−2 − 6 + 2 + 6 )= = (−6 − 6 )= = 0= = (−2 − 6 − 2 − 6 )



= = (6 + 6 )= = 0= = (2 − 6 + 2 − 6 )= = (6 − 6 )= = (−2 + 2 + 6 − 6 )= = 0= = (6 + 6 )= = (−2 − 2 + 6 + 6 )= = 0= = (−6 − 6 )= = (2 + 2 + 6 + 6 )= = 0= = (−6 + 6 )= = (2 − 2 + 6 − 6 )= = 0= = (4 − 3 − 3 )= = (1 + 2 − 3 )= = (−1 − 2 + 3 )= = (−4 + 3 + 3 )= = (−1 − 2 + 3 )= = (−1 + 2 + 3 )



= = (4 − 3 − 3 )= = (−1 + 2 + 3 )= = (1 − 2 − 3 )= = (−4 + 3 + 3 )= = (1 − 2 − 3 )= = (1 + 2 − 3 )3.4.1. Energía potencial de un elemento placa

La energía potencial total en un elemento está dada por:= ∫ − ∫ − ∑ [3.47]

El primer término del lado derecho representa la energía de deformación unitaria, y de estetérmino se obtiene la matriz de rigidez del elemento.= ∫ = ∫= ∫ ( )= ∫ [3.48]

Sustituyendo el valor de B por en la ecuación anterior, se tiene:= ∫= ∫ [3.49]

De la ecuación anterior se deduce la matriz de rigidez del elemento, la cual viene dada por lasiguiente expresión:= ∫ = ∫ ∫ ∫ // [3.50]

Como se observa, la integral anterior está dada en términos de x e y mientras que la matrizesta dada en términos de , por este motivo se requiere hacer un cambio de variables enlos términos diferenciales, para ello se observa que = = .= ∫ ∫ ∫ //Integrando respecto a z se tiene:



= ∫ ∫ [3.51]

la matriz de rigidez del elemento puede obtenerse a partir de la ecuación (3.51) mediantemétodos de integración numérica, tal como el método de Gauss, o efectuando el productomatricial y obtener una expresión final, lo cual resulta ser un tanto laborioso.

El desarrollo del producto matricial resulta ser extenso, es por ello que solo se muestra elresultado final. = ( ) ( + + + ) [3.52]

Donde:

=6 00 −608 −6066

00000−604608

−303303600000000

−302304608

30−3−30−3−60−66

00000000000

−304302604−608

=6 68 000 3306

34068000000

−3−30−6−606320640−68

000000000

−6−60−3−303−306

640320−340−68

000000000000

=1 0 −−20 −1−01

−00000020

100−10−1000000−0

000−00−20

−10100−101

00000000−0

00000000−20



= ( )

21 38 −308 −21−3321−3−8038

−30−2308213−3−21−3−321

−3203−20−38

302−30−8308

−21−332133−213−321

3−20−3203−80−38

30−8−30230−2−3083.4.2. Vector de fuerzas nodales equivalentes

El vector de fuerzas equivalentes en los nodos de un elemento, causadas por laaplicación de una carga uniformemente distribuida, p, está dado por:= ∫ [3.53]

La ecuación anterior expresada en términos de esta dada por:= ∫ [3.54]

El desarrollo de la expresión anterior es mostrado a continuación:

= ∫ ∫ = ∫ ∫

(1 − )(1 − )(2 − − − − )( − 1)( − 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 − )(1 + )(1 − )(2 + − − − )( − 1)( + 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 + )(1 + )(1 + )(2 + + − − )( − 1)( + 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 + )(1 − )(1 + )(2 − + − − )( − 1)( − 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 − )= 8 8 8 8 [3.55]

Para calcular el vector global de cargas aplicadas a la losa se tendrá que sumar los valorescorrespondientes a cada grado de libertad. Para el caso de fuerzas y momentos puntuales, laubicación dentro de la matriz de cargas globales se realiza de manera similar al análisismatricial en estructuras reticulares.



3.4.3. Condiciones de contorno

Para el estudio de las condiciones de contorno asociadas a una placa rectangular, seconsidera un elemento rectangular de dimensiones x sometido a una carga uniformementedistribuida, p; aplicando el principio de trabajo virtual se obtienen las ecuaciones de equilibrioasociadas a las condiciones de contorno.= ∫ = = ∫ [3.56]

Figura 3.9 Fuerzas cortantes y momentos flectores en el interior de una placa sometida a una carga distribuida,p.

Sustituyendo el valor de las deformaciones unitarias en función de las curvaturas (b) seobtiene: ∫ = ∫Al realizar la integración en función de z del término del lado derecho de la ecuación anteriorse obtienen los momentos en la placa.∫ = ∫Sustituyendo los términos del lado derecho y reordenado la ecuación anterior, se obtiene:∫ + 2 + + ∫ = 0∫ + + + + ∫ = 0Al integrar por partes la expresión de la izquierda, se halla:∫ + 2 + + + ∫ + ∫ −∫ + − ∫ + + ∫ +∫ = 0



Las integrales 4° y 5° contienen los términos + y + , que representan las

fuerzas cortantes , respectivamente. Sustituyendo dichas cantidades en la ecuación

anterior, se tiene.∫ + 2 + + + ∫ + ∫ −∫ [ ] − ∫ + ∫ + ∫ = 0Las dos últimas integrales también pueden ser integradas por partes, con lo que se obtiene:∫ + 2 + + + ∫ + ∫ −∫ [ ] − ∫ − ∫ + −∫ + = 0Agrupando términos la ecuación anterior queda reducida a:∫ + 2 + + + ∫ + ∫ −∫ + − ∫ + + += 0Intercambiando la derivada y la variación en la 2° y 3° integral, se obtiene:∫ + 2 + + + ∫ +∫ − ∫ + − ∫ + ++ = 0 [3.57]

Cualquier variación arbitraria de la deflexión debera satisfacer la ecuación (3.57) y, por lotanto, serán nulos los factores que estén asociados a o a su derivada.

La anulación del primer término de la ecuación (3.57) proporciona la ecuación de equilibrio enel interior de la placa, la cual fue deducida anteriormente (ecuación 3.18) a través de otrametodología. + 2 + + = 0La anulación de los demás términos proporcionará las condiciones de borde de la placa, lascuales dependiendo de las condiciones del problema pueden ser de distintos tipos.



I. En los lados paralelos al eje Y ( = 0 ∧ = )a) = 0b) = 0 → =c) + = 0d) = 0 → =II. En los lados paralelos al eje X ( = 0 ∧ = )a) = 0b) = 0 → =c) + = 0d) = 0 → =Generalmente en la práctica, las condiciones de apoyo de una placa vienen dadas por lacombinación de dos condiciones de contorno; por ejemplo, para una losa empotrada lascondiciones (b) y (d) son asociadas a este tipo de apoyo, las condiciones (a) y (d) implican unapoyo simple y la combinación de las condiciones (a) y (c) estarán asociadas a un borde libre.

La condición de tipo (c) corresponde a un estado libre de tensiones cortantes en el borde. Unaexplicación intuitiva fue presentada por Thomson y Tait. Si se analiza un lado de la placaparalelo al eje X, y sobre este lado de la placa actúa el momento torsor , podemos

considerar un elemento diferencial dx, sobre este segmento el momento total tendrá el valor de, este momento puede ser reemplazado estáticamente por un par de fuerzas de igual

magnitud pero de dirección contraria separadas una distancia dx (figura 3.10)

Figura 3.10 Par de fuerzas estáticamente equivalentes al momento torsor para el análisis de esfuerzosgenerados en el borde paralelo al eje x de una placa

Si se considera otro elemento diferencial contiguo al anterior, el valor resultante del momento

torsor en este segmento es + / ; este momento puede ser remplazado

estáticamente por un par de fuerzas iguales y de valor + / separadas una de



la otra por una distancia dx, en la frontera entre ambos elementos diferenciales la fuerza neta

resultante es paralela a la dirección z y de valor + / − .

Figura 3.11 Fuerza resultante vertical producida en el borde de la placa

Con el artificio anterior se ha sustituido el momento torsor por una fuerza transversal

distribuida de valor / sobre el lado en análisis (figura 3.11). La fuerza lateral total se

denomina fuerza cortante efectiva ( ) y es la suma de la fuerza equivalente al torso más el

esfuerzo cortante , esta fuerza efectiva será nula si el lado es libre, es decir:≡ + = 03.4.4. Análisis de conformidad del elemento

La función de aproximación correspondiente al elemento MZC (ecuación 3.26)garantiza la continuidad del desplazamiento en sus bordes, pero no garantiza la continuidad

entre elementos de las primeras derivadas parciales ( , ); para mostrar en forma clara lo

anteriormente dicho se considera el elemento mostrado en la figura 3.12.

Figura 3.12 Elemento rectangular en coordenadas x,y utilizado para el análisis de continuidad

Si se analiza el borde = , la ecuación de desplazamiento en el borde 2-3 (ecuación 3.26)queda reducida a: = ( , ) = + + +



Como se observa en la ecuación anterior existen cuatro coeficientes que pueden ser

determinados mediante los cuatro valores nodales conocidos , , , . Al estar

definidos totalmente los desplazamientos w en los bordes, el elemento satisfará la condición decontinuidad inter-elemental de los desplazamientos.

Por otro lado, si se analiza la continuidad de la derivada de w en función de x correspondienteal lado 2-3, cuando = , la ecuación (3.26) queda reducida en este borde a:= ´´ + ´´ + ´´ + ´´Esta ecuación presenta cuatro coeficientes pero solo dos valores nodales conocidos

( ), por lo tanto, se concluye que la continuidad de la primera derivada entre

elementos contiguos no está asegurada; de manera similar se concluye que tampoco está

asegurada la continuidad entre elementos de la derivada .

Para el caso de las derivadas cruzadas también se presenta el problema de discontinuidad,

para observar ello se deriva la ecuación (3.26) en función de x y luego en función de y.= ´´ + 2 ´´ + 3 ´´Como se observa, en esta ecuación existen tres coeficiente y tan solo dos valores nodales

conocidos , por ello tampoco se asegura la continuidad entre elementos de la

derivada cruzada en el borde 2-3 y en general en todos los bordes.

Lo anterior puede verse de una manera más clara del modo siguiente; si se consideran doselementos contiguos que tienen como lado en común el borde 6-3, como se muestra en lafigura 3.13.

Figura 3.13 Representación de en elementos contiguos con lado en común 6-3

Si se considera que todos los desplazamientos y giros en el elemento A son nulos mientras que

en el elemento B el giro en x ( ), correspondiente al nodo 5, tiene un valor unitario, los

demás valores nodales son iguales a cero; el valor del giro en x correspondiente al lado 6-3 del



elemento A tiene un valor nulo ( = 0) debido a que la función w toma un valor

constante e igual a cero en todo el elemento incluyendo el borde 6-3; ahora se considera ellado 6-3 correspondiente al elemento B, en este elemento la función de desplazamiento en el

borde 6-3 toma el valor de ( − 1)( − 1)(1 + )/8 y el giro toma el valor de( − 1)( − 1)/16.

Para que exista continuidad inter-elemental de las primeras derivadas los valores obtenidospara el mismo lado correspondiente a los elementos adyacentes deben ser iguales, pero talcomo se observa esto no sucede, por lo tanto, se concluye que no está asegurada la continuidadde las primeras derivadas ni de las derivadas cruzadas entre elementos; sin embargo, elelemento converge a la solución cuando se refina el tamaño de la malla, brindando resultadossatisfactorios.

El elemento MZC satisface la prueba de la parcela, lo cual asegura la convergencia alaumentar la discretización de la malla. Una gran desventaja de este elemento es que deja desatisfacer la prueba de la parcela cuando se utilizan formas de cuadriláteros arbitrarios. Parasatisfacer la no conformidad del elemento muchos autores sugieren la introducción del término

a cada nodo, por ejemplo, Bogner, Fox y Schmidt desarrollaron un elemento de 16

términos como producto de polinomios cúbicos completos (elemento BFS), este elemento si escontinuo en las primeras derivadas pero presenta el mismo problema que el elemento MZC, yaque no converge a la solución cuando se toman cuadriláteros de formas arbitrarias.

3.5. CÁLCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

Una vez calculados los desplazamientos globales de los nodos, el siguiente paso esencontrar las deformaciones en cada elemento, para lo cual se expresan los desplazamientosglobales en coordenadas locales para cada elemento. La relación entre las deformaciones y eldesplazamiento vertical está dada por la ecuación (3.4), siendo la deformación unitaria en x lasiguiente: = −Sustituyendo la función w por el producto de funciones de forma y valores nodales conocidos,se tiene. = − [3.58]

Lo cual es desarrollado en forma extendida en la siguiente ecuación:



= −(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )

Para el cálculo de la deformación en y se sigue un procedimiento similar al caso anterior, conlo cual se obtiene:= − = − [3.59]

= −(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0

La expresión para hallar las deformaciones cortantes, , en función de los desplazamientos

nodales se muestra a continuación.= −2 = −2 [3.60]



= −2

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2Como se puede observar, las deformaciones varían dentro del elemento en función de lascoordenadas naturales para cualquier plano paralelo al plano medio, pero también varíande manera lineal en función de z dentro del espesor de la placa; de ello se concluye que lasdeformaciones máximas se encuentran en los bordes superior e inferior de la placa,2 − /2⁄ , respectivamente.

á =á =

á = [3.61]

Los esfuerzos dentro del elemento son calculados en función de las deformaciones, a partir delas ecuaciones (3.8).= += += [3.62]

Igualmente que en el caso de las deformaciones, los valores máximos y mínimos de , ,se encuentran en los bordes inferior y superior de la placa.

á = − í = ( ) +á = − í = ( ) +



á = − í = ( ) [3.63]

La determinación de los componentes de esfuerzos , no es posible realizarla a

través del uso de la ley de Hooke, puesto que de acuerdo a la ecuación (3.8) estos no estánrelacionados con los desplazamiento; sin embargo, es posible utilizar La ecuación diferencialde equilibrio para un elemento tipo placa bajo un estado general de esfuerzos, la cual semuestra a continuación.+ + = 0+ + = 0+ + = 0 [3.64]

Para el cálculo de los esfuerzos cortantes se tendrá que integrar las primeras dosexpresiones de la ecuación (3.64).= ∫ +/ = − ( ) − + [3.65]= ∫ +/ = − ( ) − + [3.66]

De las ecuaciones anteriores se observa que los esfuerzos varían de manera

parabólica dentro del espesor de la placa; para el análisis de estos esfuerzos por el método deelementos finitos es necesario expresar las ecuaciones (3.65) y (3.66) en términos de valoresnodales y funciones de forma.= − ( ) − + [3.67]= − ( ) − + [3.68]

El componente de esfuerzo es fácilmente determinado al reemplazar las ecuaciones (3.65) y(3.66) en la tercera expresión de la ecuación (3.64)= − ( ) − + + 2 + [3.69]

La distribución de los esfuerzos normales, , dentro del espesor de la placa es descrita poruna función cubica dependiente de z; si también se consideran espesores pequeños de placa, sepuede decir que los esfuerzos son muy pequeños en comparación con los esfuerzos en elplano xy, tal como se menciona en las hipótesis planteadas por Kirchhoff.



3.6. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES

Los momentos generados en la placa son calculados a través de las ecuaciones (3.11),(3.12) y (3.13), los cuales también pueden ser escritos en función de los esfuerzos. Para el casode los momentos flectores , se tiene:= ( ) + = ( ) += [3.70]

Sustituyendo la primera expresión de la ecuación (3.62) en la ecuación (3.70), se tiene= ( ) + [3.71]

= ( )

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )+

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0Para el caso de los momentos se tiene:= ( ) + = ( ) += [3.72]

La ecuación anterior en función de los desplazamientos nodales y de las funciones de formaes: = ( ) + [3.73]



= ( )

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0+

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )E igualmente, para el caso de los momentos la ecuación (3.13) expresada en función de

los esfuerzos , resulta.= ( ) (1 − ) = ( )= [3.74]

Y expresando la función anterior en términos de las funciones de forma y valores nodales setiene: = ( ) ( )

[3.75]

= ( ) ( )

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2Las fuerzas cortantes tanto en x e y se obtienen a partir de las ecuaciones (3.21) y (3.22). Laecuación para las fuerzas cortantes en términos de las funciones de forma y de los valoresnodales se muestra a continuación.



= − ( ) + = − ( ) + [3.76]

= − ( )

(6 − 6 )0(−6 + 6 )(−6 + 6 )0(−6 + 6 )(−6 − 6 )0(−6 − 6 )(6 + 6 )0(−6 − 6 )+

−6(2 − 6 )06(−2 + 6 )0−6(2 + 6 )06(−2 − 6 )0A través de la ecuación anterior también se puede obtener una expresión para los esfuerzoscortantes , para ello se sustituye la ecuación (3.76) en la ecuación (3.67).= 1 − [3.77]

Derivando la ecuación anterior en función de z se encuentra que el máximo valor del esfuerzocortante se da cuando z=0 ,y su valor está dado por:

á = [3.78]

Y para el caso de las fuerzas cortantes se tiene:= − ( ) + = − ( ) + [3.79]

= − ( )

(6 − 6 )(6 − 6 )0(6 + 6 )(6 + 6 )0(−6 − 6 )(6 + 6 )0(−6 + 6 )(6 − 6 )0+

−60(−2 + 6 )60(2 + 6 )−60(−2 − 6 )60(2 − 6 )Como en el caso anterior, el esfuerzo cortante es expresado en función de la fuerza

cortante . El esfuerzo cortante máximo para este caso se muestra a continuación.



= 1 − [3.80]

á = [3.81]

Referencias

1 C. M. Wang, J. N. Reddy and K. H. Lee, shear Deformable Beams and Plates Relationships with ClassicalSolutions, First edition, Elsevier Science Ltd, Oxford, 2000.

2 Gallegos Cázares Sergio, Análisis de sólidos y estructural mediante el método de elementos finitos, EditorialLIMUSA S. A., Monterrey, pp. 329-365, 2000.

3 Ugural A. C., Stresses in plates and Shells, Mc Graw Hill, New Jersey, pp. 1 -26 , 1981.


CAPÍTULO

4ANÁLISIS DE LOSAS DECIMENTACIÓN UTILIZANDO ELMODELO DE WINKLER

4.1. INTRODUCCIÓN

El modelo de Winkler presenta una idealización muy simple para calcular lasreacciones del suelo como consecuencia de las cargas aplicadas a la cimentación. El modelode Winkler idealiza al suelo como un conjunto de resortes linealmente elásticos,independientes y paralelos, parecida a una base liquida; la principal característica de estemodelo es la relación lineal entre los desplazamientos y las presiones de contacto.= [4.1]

En la ecuación anterior el factor de proporcionalidad, , recibe el nombre de modulo dereacción del subgrado o modulo de balasto, el cual no es solo propiedad del suelo sinotambién del tamaño, forma de la cimentación y de la distribución de cargas.

La representación hecha por el modelo de Winkler no tiene en cuenta los esfuerzos cortantesgenerados en el suelo, es por ello que las cargas que afectan a un punto no se expanden a otrosadyacentes, este es el principal inconveniente de este modelo de suelo lo cual conlleva aimprecisiones, y en consecuencia, a un error significativo en el cálculo de presiones en el

- 138 - Cap. 4 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler


suelo; otra desventaja del modelo de Winkler es que da un desplazamiento constante de la losade cimentación para una carga uniformemente distribuida, ocasionando momentos flectores yfuerzas cortantes nulas en la losa, con lo cual se realizara un diseño deficiente; sin embargo, elmodelo de Winkler ha sido utilizado para los diseños más comunes por ingenieros prácticosdebido a su simplicidad.

Existen problemas para los cuales los conceptos de Winkler proporcionan una excelentedescripción del comportamiento de la cimentación; algunos ejemplos son los cascaronescilíndricos1, las vigas de cimentación2 que soportan paredes o placas, entre otros. Es sabidotambién que las propiedades de los suelos varían en diferentes regiones en contacto con lacimentación, por este motivo resulta más conveniente el análisis de cimentaciones utilizandoeste modelo variando las propiedades del suelo en diferentes zonas de la cimentación,conduciendo a una respuesta más satisfactoria.

Numerosos intentos han sido desarrollados en los últimos años para mejorar el modelo deWinkler, implementando varias hipótesis de interacción entre los resortes. Algunasidealizaciones desarrolladas a partir del modelo de Winkler han tenido una gran aceptaciónpor parte de los ingenieros de cimentaciones; tal es el caso del modelo propuesto porFilonenko-Borodich (1940), que introduce una membrana en la superficie de la cimentaciónuniendo los resortes; Pasternak (1954), cuyo modelo asume una interacción cortante entre losresortes, Hetényi (1946), Vlasov y Leont’ev (1960) entre otros. Cabe resaltar que los cambiosrealizados al modelo de Winkler implican un aumento en la dificultad de los cálculos.

4.2. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍADE WINKLER

Para el presente análisis se considera la placa mostrada en la figura 4.1, sobre la cualactúa una carga distribuida perpendicular al plano de la losa, que depende solo de lascoordenadas x e y; esta placa se encuentra apoyada sobre un estrato de suelo idealizado comoun conjunto de resortes biarticulados que tienen una constante por unidad cuadrada igual a(módulo de balasto).

Figura 4.1 Losa de cimentación apoyada sobre un suelo idealizado bajo las hipótesis de Winkler



La losa está sometida a la carga distribuida ( , ), cargas externas provenientes de lasuperestructura, y ( , ), presión de contacto ejercida por el suelo. De acuerdo a la ecuación(3.19) (flexión de placas delgada), se obtiene:+ 2 + = ( , ) − ( ) [4.2]

Donde:= ( )= Espesor de la losa de cimentación= Módulo de elasticidad del material de la losa de cimentación= Módulo de Poisson del material de la losa de cimentación

Sustituyendo la ecuación (4.1) en la ecuación (4.2) se obtiene la ecuación diferencialcorrespondiente al modelo de Winkler.+ 2 + + = ( , ) [4.3]

La ecuación (4.3) presenta una gran dificultad matemática y por ello solo ha sido resuelta paraalgunos casos específicos3; estas soluciones obtenidas no son suficientes para la mayoría decasos vistos en la práctica, y por ello en los últimos tiempos se ha optado por la utilización demétodos numéricos, como el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos,que permiten resolver la ecuación (4.3) para la mayoría de problemas prácticos.

4.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE ALMODELO DE WINKLER

4.3.1. Aplicación del método de elementos finitos a una fundación de Winkler

El método de elementos finitos se basa en la división de un cuerpo en pequeñoselementos que se interconectan a través de nodos, cada elemento representará entonces unsubdominio que contiene valores nodales de desplazamientos (desplazamientos y/o giros enlos grados de libertad); las incógnitas del problema planteado a través del MEF serán estosdesplazamientos y/o giros ocurridos en los GDL. Una idealización aproximada para el análisisde losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler es mostrada en la figura 4.2, dondese ha elegido elementos rectangulares de 4 nodos.



Figura 4.2 Idealización de una losa de cimentación utilizando la hipótesis de Winkler para ser analizada através del MEF

Para el presente análisis se considera el elemento finito rectangular de cuatro nodos con tresGDL por nodo (elementos MZC), dicho elemento se encuentra apoyado sobre cuatro resortescon constante elástica igual a (figura 4.3)

Figura 4.3 Elemento finito rectangular de 12 GDL para el análisis de losas de cimentación idealizando el suelocomo un conjunto de resortes biarticulados

Los desplazamientos dentro de un elemento finito pueden ser aproximados a través delproducto de las funciones de forma y los desplazamientos nodales.= [4.4]

Donde: = [ ]= [ ]Asimismo, las funciones de forma fueron descritas en el capítulo 3 del presente documento.



4.3.2. Enfoque de la energía potencial

Para el elemento mostrado en la figura 4.3, la energía total existente está dada por:= ∫ + ∫ − ∫ − ∑ [4.5]

Los dos primeros términos del lado derecho representan la energía de deformación unitaria dela losa de cimentación y la energía de deformación unitaria del suelo, respectivamente; por lotanto, la energía de deformación unitaria del sistema está dada por:= ∫ + ∫ [4.6]

Expresando los términos anteriores a través de las funciones de forma y los desplazamientosnodales, se obtiene.= ∫ ( ) + ∫ ( )= ∫ + ∫ [4.7]

En la ecuación anterior el término B está dado por:= [4.8]

Donde:

= −Al sustituir la ecuación (4.8) en la ecuación (4.7), se obtiene:= ∫ + ∫= ∫ + ∫ [4.9]

Donde el término dentro del paréntesis representa la matriz de rigidez del elemento finito parael caso de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler.= ∫ + ∫= + [4.10]

El primer sumando de la ecuación anterior fue visto en el capítulo 3 del presente documento,reproduciéndose a continuación:= ( ) + + + [4.11]



Donde:

=6 00 −608 −6066

00000−604608

−303303600000000

−302304608

30−3−30−3−60−66

00000000000

−304302604−608

=6 68 000 3306

34068000000

−3−30−6−606320640−68

000000000

−6−60−3−303−306

640320−340−68

000000000000

=1 0 −−20 −1−01

−00000020

100−10−1000000−0

000−00−20

−10100−101

00000000−0

00000000−20

= ( )

21 38 −308 −21−3321−3−8038

−30−2308213−3−21−3−321

−3203−20−38

302−30−8308

−21−332133−213−321

3−20−3203−80−38

30−8−30230−2−308Las variables presentes en las ecuaciones anteriores fueron definidas en el capítulo anterior.



El segundo sumando de la ecuación (4.10) representa el aporte de rigidez del suelo. Encoordenadas naturales la matriz de rigidez del suelo es reescrita de la siguiente manera:= ∫ ∫ [4.12]

Sustituyendo las funciones de forma en la ecuación anterior se obtiene:

= ∫ ∫

(1 − )(1 − )(2 − − − − )( − 1)( − 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 − )(1 + )(1 − )(2 + − − − )( − 1)( + 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 + )(1 + )(1 + )(2 + + − − )( − 1)( + 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 + )(1 − )(1 + )(2 − + − − )( − 1)( − 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 − )

(1 − )(1 − )(2 − − − − )( − 1)( − 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 − )(1 + )(1 − )(2 + − − − )( − 1)( + 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 + )(1 + )(1 + )(2 + + − − )( − 1)( + 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 + )(1 − )(1 + )(2 − + − − )( − 1)( − 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 − )[4.13]

Realizando las integrales anteriores se obtiene la matriz de rigidez del suelo, que deberá sersumada a la matriz de rigidez de la placa para obtener la rigidez total de un elemento.

=

172731504613150− 46131506133150199315013715751973150− 5815755815756133150− 1371575− 1993150

461315016315− 12519931508315275581575− 210542251371575− 4105− 275

− 4613150− 12516315− 1371575− 275− 4105− 5815754225− 2105− 19931502758315

61331501993150− 137157517273150461315046131506133150− 137157519931501973150− 581575− 581575

19931508315− 2754613150163151251371575− 4105275581575− 2105− 4225

1371575275− 41054613150125163151993150− 2758315581575− 4225− 2105

1973150581575− 58157561331501371575199315017273150− 461315046131506133150− 1993150− 1371575

− 581575− 21054225− 1371575− 4105− 275− 461315016315− 125− 19931508315275

5815754225− 2105199315027583154613150− 125163151371575− 275− 4105

61331501371575− 199315019731505815755815756133150− 1993150137157517273150− 4613150− 4613150

− 1371575− 4105275− 581575− 2105− 4225− 19931508315− 275− 461315016315125

− 1993150− 2758315− 581575− 4225− 2105− 1371575275− 4105− 461315012516315[4.14]

Los términos de fuerza son los mismos que los descritos en el capítulo 3 para el caso de losas.El procedimiento de ensamblaje de la matriz global de rigidez es el mismo que el utilizado enlos elementos estructurales anteriormente tratados.




Las deformaciones producidas en la losa de cimentación para cada elemento soncalculadas a partir de las siguientes ecuaciones:

= −(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )

[4.15]

= −(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0

[4.16]

= −2

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2

[4.17]



Donde cada subíndice 1, 2, …, 12 representa el número de grado de libertad correspondiente alelemento en coordenadas locales. El desarrollo de las ecuaciones (4.15), (4.16) (4.17) fueexpuesto en el capítulo anterior.

Los esfuerzos dentro de cada elemento son calculados en función de las deformaciones através de la ecuación (3.8).= += += [4.18]

Las presiones ejercidas en el suelo son obtenidas a través de la ecuación (4.1) multiplicandolos desplazamientos verticales en cada punto con el módulo de balasto; cabe resaltar que estametodología no dice nada acerca de los esfuerzos producidos en el estrato de suelo, peropueden calcularse a través de otras metodologías.

4.5. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LALOSA DE CIMENTACIÓN

Los momentos producidos en la losa de cimentación son calculados a través de lasecuaciones siguientes:= ( ) + [4.19]

= ( )

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )+

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0= ( ) + [4.20]



= ( )

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0+

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )= ( ) ( )[4.21]

= ( ) ( )

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2Mientras que las fuerzas cortantes en la losa son obtenidas con las siguientes ecuaciones.= − ( ) + = − ( ) + [4.22]



= − ( )

(6 − 6 )0(−6 + 6 )(−6 + 6 )0(−6 + 6 )(−6 − 6 )0(−6 − 6 )(6 + 6 )0(−6 − 6 )+

−6(2 − 6 )06(−2 + 6 )0−6(2 + 6 )06(−2 − 6 )0= − ( ) + = − ( ) + [4.23]

= − ( )

(6 − 6 )(6 − 6 )0(6 + 6 )(6 + 6 )0(−6 − 6 )(6 + 6 )0(−6 + 6 )(6 − 6 )0+

−60(−2 + 6 )60(2 + 6 )−60(−2 − 6 )60(2 − 6 )

Referencias

1 Edmund S. Melerski, Design Analysis of Beams, Circular Plates and Cylindrical Tanks on ElasticFoundations, Second edition, Taylor & Francis Group, London, 2000.

2 M. Hetényi, Beams on Elastic Foundations, University of Michigan, 1946.3 S. Timoshenko, S Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, Second edition, McGraw Hill, New

York, pp. 259 – 281, 1959.


CAPÍTULO

5APLICACIÓN DEL MÉTODOVARIACIONAL A LA TEORÍA DEFUNDACIONES ELÁSTICAS

5.1. INTRODUCCIÓN

Matemáticamente se habla de un problema extremo cuando se desea calcular el mayoro el menor valor posible de una cierta cantidad; por ejemplo, se podría querer encontrar elmayor pico de una montaña o el punto más bajo de un valle o la ruta más corta entre dospuntos o el mayor volumen para la sección transversal de una pieza de metal o la menorperdida en un problema de iluminación o calor, entre otros; para la solución de tales problemasuna rama especial de la matemática, llamada el “calculo variacional”, ha sido desarrollada.

En muchas de las ecuaciones planteadas en el cálculo variacional, a través de sus principios, laintegración en forma exacta solo es posible en muy restringidos casos y por ello se hacenecesaria la implementación de métodos matemáticos aproximados (métodos variacionales).

Para el caso de los problemas de mecánica1, el cálculo variacional es utilizado para darsolución a problemas complejos a través de sus principios2, tales como: el principio de energíapotencial, el principio de trabajo virtual, el principio de Hamilton, el principio de D’Alembertentre otros.

- 149 - Cap5 – Aplicación del método variacional a la teoría de fundaciones elásticas


En el presente capitulo se planteará el problema de fundaciones elásticas, luego se aplicará elprincipio de trabajos virtuales para obtener las ecuaciones correspondientes a este problema;para la resolución de las ecuaciones será necesario utilizar el método variacional general,obteniéndose una expresión simple que será aplicada para encontrar los desplazamientosverticales en una fundación elástica, y con ello hallar los esfuerzos producidos en el suelo porla acción de diferentes tipos de cargas.

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS VARIACIONALES

Antes de describir los métodos variacionales, utilizados para resolver los problemasplanteados por el cálculo variacional, será necesario dar algunos conceptos relacionados a estetipo de cálculo.

5.2.1. Cálculo variacional3

El problema matemático de calcular los valores máximos o mínimos de una magnitudvariable (funcional) ,cuyos valores se determinan mediante la elección de una o variasfunciones, es dado como una rama especial del cálculo, llamado “Calculo variacional”; estáteoría matemática muestra que el resultado final puede ser establecido sin tomar en cuenta lacantidad infinita de posibles rutas. Se puede restringir un experimento matemático a rutascercanas a la ruta exacta. Una ruta tentativa, la cual difiere de la ruta exacta en un gradoinfinitesimal, es llamada variación de la ruta exacta y el cálculo variacional investiga elcambio en el valor de una funcional causada por tal variación infinitesimal de la ruta.

5.2.2. Métodos variacionales directos

La integración de las ecuaciones diferenciales obtenidas utilizando el enfoquevariacional han sido resueltas en forma finita solo para un pequeño número de casos, es porello que surge la necesidad de obtener métodos de solución para estos problemas. La ideafundamental de los llamados métodos variacionales directos consiste en que el problemavariacional se considera como límite para un cierto problema sobre el extremo de una funciónde un número finito de variables. Este último problema se resuelve por los métodos comunes yluego se obtiene, mediante el paso al límite, la solución del problema variacionalcorrespondiente.

La funcional [ ( )] se puede considerar como una función de infinitos números de variables,esta afirmación se hace completamente evidente si se supone que las funciones admisiblespueden ser desarrolladas en series de potencias:( ) = + + + + +O en series de Fourier:( ) = + ∑ ( cos + sen )O en general, en alguna serie del tipo:



( ) = ∑ ( )Donde ( ) son funciones asumidas y, por lo tanto, conocidas. La función y(x) se puederepresentar en forma de la serie ( ) = ∑ ( ). Notamos que para definircompletamente y(x) es suficiente dar los valores de todos los coeficientes , y enconsecuencia, el valor de la funcional [ ( )] se determina en este caso fijando la sucesióninfinita de números , , , … , , …, es decir, la funcional es una función de un conjuntoinfinito de variables:[ ( )] = ( , , , … , , … )En consecuencia, la diferencia entre los problemas variacionales y los problemas sobre elextremo de una función de un número finito de variables consiste en que en el caso variacionalse tiene que investigar el extremo de una función de un conjunto infinito de variables; por estarazón, la idea fundamental de los métodos directos consiste en que el problema variacional seconsidera como límite para un problema sobre el extremo de una función de un número finitode variables.

L. Euler, en el primer periodo de sus investigaciones en el campo del análisis variacional,aplicaba un método llamado ahora método de diferencias finitas; este método en lo sucesivono se aplicaba en lo absoluto durante mucho tiempo, y solo en los últimos cuatro deceniosrenació con éxito en los trabajos de los matemáticos soviéticos.

En la actualidad, otro método directo conocido como el método de Ritz4 tiene una granaplicación en la resolución de distintos problemas variacionales.

Un tercer método directo propuesto por L. V. Kantorovich, el cual es aplicable a las funcionesque dependen de funciones de varias variables independientes, encuentra cada vez mayoraplicación en los mismos campos en los cuales se aplica el método de Ritz. A parte de losmétodos antes descritos en la actualidad se han desarrollado otros métodos directos.



5.3. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO VARIACIONAL USADO EN LAREDUCCIÓN DE PROBLEMAS BIDIMENSIONALES A PROBLEMASUNIDIMENSIONALES EN LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD5

El método variacional general permite simplificar los problemas complejos planteadosen la teoría de la elasticidad; para tener una idea clara de este método se considera el problemabidimensional de una placa plana de espesor constante igual a sobre la cual actúan cargasparalelas a su plano, debido a que el espesor es pequeño en comparación con las demásdimensiones se puede considerar un estado de esfuerzo plano ( = = = 0), por lo

tanto, solo se considerarán los esfuerzos generados en el plano de la placa , ,(Figura 5.1).

Figura 5.1 Placa bidimensional de espesor δ sometida a cargas externas (fuente: V. Z. Vlasov and N. N.Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations,1966, figure

1.a, pp. 1)

Los desplazamientos dentro de la placa son solo funciones de las variables x e y( ( , ) ( , )) al igual que los esfuerzos ( , ) y las deformaciones ( , ).

Para el presente problema se adoptan como incógnitas las funciones de desplazamientos( , ) ( , ), las cuales son determinadas de acuerdo a las condiciones de equilibrio ycompatibilidad del problema, para ello se considera que las deformaciones en el plano de laplaca se relacionan con los desplazamientos mediante las siguientes ecuaciones:=== + [5.1]

Considerándose como desplazamiento positivo cuando su orientación es la misma que ladirección positiva del eje correspondiente. Mediante la ley de Hooke se obtienen las relacionesentre los esfuerzos y deformaciones correspondientes al problema de esfuerzo plano:= +



= += = ( ) [5.2]

Donde E es módulo de elasticidad y es el módulo de Poisson del material de la placa. Alsustituir la ecuación (5.1) en la ecuación (5.2) se obtienen las relaciones entre los esfuerzos ylos desplazamientos.= += += = ( ) + [5.3]

Para obtener una solución aproximada y simple, las funciones de desplazamientos,( , ) ( , ), son expresadas mediante series finitas.( , ) = ∑ ( ) ( ) ( = 1, 2, 3, … )( , ) = ∑ ( ) ( ) ( = 1, 2, 3, … ) [5.4]

Donde las funciones ( ) y ( ) son asumidas, y en consecuencia, conocidas;generalmente, estas funciones son adimensionales, mientras que las funciones ( ) y ( )tendrán unidades de longitud y serán las incógnitas del problema; las funciones ( ) y ( )son comúnmente conocidas como desplazamientos generalizados, esto debido a quedeterminan de manera generalizada los desplazamientos en una sección dada, Por ejemplo, enuna sección x=constate la función ( ) define en una forma generalizada losdesplazamientos longitudinales de la sección transversal en análisis en función de x, y ladistribución transversal de este desplazamiento está dada por la función ( ); igualmente,para los desplazamientos transversales cada una de las n funciones ( ) determinan lamagnitud de los desplazamientos transversales ( , ) para la totalidad de la secciónx=constante. Las distribuciones de los desplazamientos longitudinales y transversales sobre lasección x=constante son dadas por las funciones ( ) y ( ), respectivamente, las cualesson llamadas funciones de distribución transversal de desplazamientos.

Las funciones ( ) y ( ) aproximan el estado de deformación de la placa en la direccióntransversal, y pueden ser elegidas de diferentes formas; para aclarar mejor este punto seconsidera la flexión en una viga sometida solo a cargas perpendiculares al eje longitudinal(figura 5.2).



Figura 5.2 Porción de viga sometida a cargas perpendiculares al eje longitudinal x

Asumiendo que las secciones permanecen planas durante la flexión y que no existendeformaciones en la dirección y, tal como se ve en la figura 5.3 (Hipótesis de Bernoulli), losdesplazamientos desconocidos ( , ) y ( , ) pueden ser representados como:( , ) = ( ) ( ) = ( )( , ) = ( ) ( ) = ( ) 1 [5.5]

Donde: ( ) = ( ) = 1En la ecuación anterior la coordenada y es medida desde el eje central de la sección; lasfunciones restantes ( ), ( ) (i = 2 … m y k = 2 … n) son consideradas nulas.

De acuerdo a la ecuación (5.5) el desplazamiento generalizado ( ) representa el ángulo deinclinación de la sección y el desplazamiento generalizado ( ) representa la deflexión delplano medio de la placa (figura 5.3).

Figura 5.3 Desplazamientos generalizados en una porción de viga y su relación con los desplazamientos u(x,y) yv(x,y).



Para corregir la hipótesis de considerar una deformación vertical nula es posible introducir unsegundo término a la ecuación (5.5), el cual es conocido de la teoría de la deformación demateriales para la flexión de una viga sometida a una carga anti simétrica con respecto al eje x.(figura 5.4).

Figura 5.4 Viga sometida a cargas anti-simétricas( , ) = ( ) + ( )( , ) = ( ) 1 + ( ) [5.6]

Para este caso, las funciones de distribución transversal de desplazamientos ( ) y ( )son dadas de la siguiente manera:( ) = ( ) =( ) = 1 ( ) =Los primeros términos del lado derecho de la ecuación (5.6) representan los desplazamientoscuando se asume que las secciones permanecen planas; los segundos términos sonintroducidos para corregir las imprecisiones debido a esta hipótesis, considerando lasdeformaciones transversales no nulas.

Figura 5.5 Funciones de distribución transversal de desplazamientos para el caso de una viga con cargas anti-simétricas

Un procedimiento diferente puede ser adoptado para encontrar una mayor precisión en lasolución del problema de una viga, para ello se considera que la viga es dividida en franjashorizontales, cada una de las cuales permanece plana. Como ejemplo, en la figura 5.6 sepresenta una placa con el borde superior libre y el borde inferior restringido horizontal y



verticalmente; esta placa es dividida en tres partes a lo largo de su altura, se asume tambiénque las secciones de cada franja permanecen planas luego de la flexión y que las

deformaciones transversales = son constantes (sobre cada sección del estrato). Para este

ejemplo la ecuación (5.4) es reescrita de la siguiente manera:( , ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )( , ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) [5.7]

Figura 5.6 Placa dividida en franjas horizontales, apoyada y fijada a un estrato indeformable con suscorrespondientes funciones de distribución transversal (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates

and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 3, pp. 4)

Las funciones ( ), ( ), ( ) , ( ), ( ) y ( ) son representadas en la figura 5.6.Es visto que el desplazamiento generalizado ( ) determina el desplazamiento horizontalsobre la superficie de la placa y el desplazamiento generalizado ( ) es igual a la deflexióndel borde superior de la placa; los restantes desplazamientos generalizados determinan losdesplazamientos en puntos interiores de la placa a lo largo de las líneas = e = ; otraobservación a tomar en cuenta, es que las funciones de distribución transversal satisfacen lasecuaciones de continuidad y las condiciones de borde para = 0 e = . También como eslógico se obtendrá una solución exacta del problema bidimensional cuando → ∞ y → ∞.

Como se puede ver en el ejemplo anterior, cada estrato considerado podría tener diferentesparámetros de deformación ( y ), diferentes espesores ( ) y distintas funciones dedistribución transversal.

La representación de los desplazamientos desconocidos por medio de series finitas esequivalente a reducir el problema de una placa a un sistema que tiene un número finito degrados de libertad en la dirección transversal y un número infinito de grados de libertad en ladirección longitudinal; tales sistemas pueden ser llamados discretos-continuos, en contrastecon los modelos bidimensionales convencionales de placas delgadas, cuyo comportamiento esdescrito por ecuaciones diferenciales parciales donde las placas son consideradas comocuerpos deformables bidimensionales que poseen un número infinito de grados de libertad enlas dos direcciones (x e y). Una gran ventaja de este modelo es que al asumir las funciones de



distribución transversal ( ( ), ( )) el problema bidimensional de la teoría de laelasticidad ha sido reducido a un problema unidimensional, dependiente solo de la variablelongitudinal x, puesto que los sufijos determinan m funciones ( ) y n funciones ( ) de lavariable longitudinal x para describir los desplazamientos longitudinales y transversales entoda la placa, ( , ) ( , ), respectivamente.

El problema puede ser considerado resuelto cuando Las funciones ( ) y ( ) soncalculadas, dichas funciones pueden ser obtenidas de las condiciones de equilibrio para unafranja elemental de longitud dx=1 delimitada por la sección x=constante y x+dx=constante(figura 5.7); de acuerdo con el principio de desplazamiento virtual de Lagrange, lascondiciones de equilibrio son obtenidas al igualar a cero el trabajo total de todas las fuerzasinternas y externas que actúan sobre los desplazamientos virtuales de esta franja.

Figura 5.7 Elemento de longitud dx=1 extraído del cuerpo mostrado en la figura 5.1 y sometido a esfuerzosinternos y externos. (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations,

Israel Program for Scientific Translations,1966, figure 1.b, pp. 1)

Tomando en cuenta la ecuación (5.4), los desplazamientos longitudinales virtuales de la franjaelemental son: = ( ) para = 1, donde j puede tener m valores diferentes; a su vez, los

desplazamientos transversales virtuales de la franja son dados en la función ̅ = ( ) para= 1, donde el subíndice h representa alguno de los n desplazamientos virtuales. Enconsecuencia la franja vertical considerada posee (m+n) grados de libertad en el plano de laplaca, m correspondientes a los desplazamientos longitudinales (paralelos al eje x), y ndesplazamientos transversales (paralelos al eje y).

Según el principio de trabajo virtual6, el trabajo realizado por las fuerzas externas y fuerzasinternas debe ser nulo sobre cada uno de los m+n desplazamientos virtuales dentro de la franjaen análisis, donde las fuerzas internas vienen dadas por los esfuerzos normales( , +

), los esfuerzos cortantes ( , + ), ambos producto de la interacción de la

franja en análisis con el resto de la placa y las cargas externas aplicadas sobre el elemento endirección longitudinal y vertical ( , ) y ( , ), respectivamente; las fuerzas internas son unproducto de los esfuerzos generados en el interior del segmento en análisis, y son los esfuerzos



normales y los esfuerzos cortantes . Realizando la sumatoria de los trabajos realizados

en cada dirección se obtiene:∫ + − ∫ − ∫ + ∫ ( , ) = 0∫ + − ∫ − ∫ + ∫ ( , ) = 0En las expresiones anteriores las derivadas solo afectan a las funciones de distribución

transversal de desplazamientos, ( ) y ( ); por otro lado, las funciones de

desplazamientos generalizados, ( ) y ( ), toman un valor unitario, como se dijo líneas

atrás, por lo tanto, dichas derivadas adquieren el valor de ´ ( ) = y ´ ( ) = ,

respectivamente; tomando en cuenta estas aclaraciones las expresiones anteriores se reducen a:∫ − ∫ ´ + ∫ ( , ) = 0 [5.8]( = 1, 2, 3 … )∫ − ∫ ´ + ∫ ( , ) = 0 [5.9]( = 1, 2, 3 … )Donde = . En la ecuación (5.8) el primer término representa el trabajo de las fuerzas

externas y el segundo término indica el trabajo de las fuerzas cortantes internas

; mientras que en la ecuación (5.9) el primer término representa el trabajo de las fuerzas

externas y el segundo término indica el trabajo de las fuerzas normales internas ;

los últimos términos en las ecuaciones (5.8) y (5.9) corresponden al trabajo virtual realizadopor las cargas exteriores aplicadas sobre la placa.

Sustituyendo las ecuaciones (5.1) y (5.4) en la ecuación (5.3) se obtiene:= (∑ ´ + ∑ ´ )= (∑ ´ + ∑ ´ )= = ( ) (∑ ´ + ∑ ´ ) [5.10]

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.10) en las ecuaciones (5.8) y (5.9) se obtiene unsistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en función de ( ) ( ), este sistema secompone de m ecuaciones correspondientes a los m grados de libertad de la franja en direcciónlongitudinal y n ecuaciones correspondientes a los grados de libertad transversales.



∑ ´´ − ∑ + ∑ − ´ + = 0 [5.11]= 1, 2, 3, … ,− ∑ − ´ + ∑ ´´ − ∑ + = 0 [5.12]= 1, 2, 3, … ,Donde las funciones ( ), ( ) (i, j = 1, 2, 3, …, m) y ( ), ( ) (k, h = 1, 2, 3, …, n)

han sido elegidas, y sus derivadas, por lo tanto, son conocidas. Los coeficientes de lasecuaciones (5.11) y (5.12) son obtenidos de las siguientes relaciones:= = ∫ = = ∫= = ∫ ´ ´ = = ∫ ´ ´= ∫ ´ = ∫ ´= ∫ ´ = ∫ ´ [5.13]

De las ecuaciones (5.11) y (5.12) también se observa que:= ∫ ( , )= ∫ ( , ) [5.14]

Donde las cargas ( , ) y ( , ) son consideradas positivas cuando actúan en la direcciónpositiva de los ejes coordenados correspondientes.

En las ecuaciones (5.14) notamos que solo se han incluido las cargas distribuidas sobre ambasdimensiones de la placa, pero también pueden actuar cargas distribuidas en los bordeslongitudinales de la placa, y por lo tanto, para un caso general estas deben ser incluidas. Si lasfuerzas cortantes y normales ( , 0) y ( , 0) por unidad de longitud actúan en el bordesuperior de la placa, además de las cargas ( , ) y ( , ), la ecuación (5.14) se reescribe dela siguiente manera.= ( ) (0) + ∫ ( , ) ( )= ( ) (0) + ∫ ( , ) ( ) [5.15]

Condiciones de borde

Las ecuaciones (5.11) y (5.12) representan en conjunto un sistema de ecuaciones de segundoorden, cuya solución contendrá un total de 2(m+n) constantes de integración, estas constantestendrán que ser determinadas a través de las condiciones de contorno del problema en análisis,por lo tanto, el número de las constantes de integración deberá de ser iguales a las condicionesgeométricas independientes analizadas en ciertas secciones donde los valores tales comodesplazamientos o esfuerzos sean conocidos inicialmente para determinar completamente lasfunciones .



En una sección transversal x=constante existirán m desplazamientos longitudinales y ndesplazamientos transversales, obteniéndose un total de m+n desplazamientoscorrespondientes a los grados de libertad considerados en la sección. Si se analiza, porejemplo, los desplazamientos en la sección inicial y final. (x=l y x=0) se obtendrán 2(m+n)condiciones conocidas, las cuales son iguales al número de constantes de integración en lasecuaciones (5.11) y (5.12). En forma general, las constantes de integración son determinadas através de los desplazamientos o esfuerzos que son conocidos en ciertas secciones de la placa oestrato en análisis.

Cuando las funciones ( ) y ( ) han sido seleccionadas, los esfuerzos y en la

sección x=constante pueden ser expresados a través de m+n magnitudes independientesgeneralizadas. El trabajo realizado por las fuerzas normales y fuerzas cortantes, y

, sobre alguno de los m+n desplazamientos virtuales de los grados de libertad

considerados es: ( ) = ∫ ( = 1, 2, 3, … , )( ) = ∫ ( = 1, 2, 3, … , ) [5.16]

Donde = . Las integrales expresadas en la ecuación (5.16) son evaluadas en latotalidad de la sección transversal, y representan las fuerzas generalizadas longitudinales ytransversales (cortantes) que actúan sobre la sección x=constante de la placa. La ecuación(5.16) puede ser expresada en términos de las funciones generalizadas ( ) y ( ) alsustituir la ecuación (5.10) en (5.16).( ) = ∫ (∑ ´ + ∑ ´ )( ) = ∫ ( ) (∑ ´ + ∑ ´ ) [5.17]

Y sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.13) en la ecuación (5.17), se obtiene:( ) = ∑ ´ + ∑( , = 1, 2, 3, … , )( ) = ( ) (∑ + ∑ ´ )( , = 1, 2, 3, … , ) [5.18]

Para imponer las 2(m+n) condiciones de borde será necesario utilizar la ecuación (5.18) sobrelas secciones x=0 y x=l.

Si también, se considera que en el extremo de la placa existen fuerzas distribuidas que solovarían en la dirección vertical (eje y), mientras que en la dirección longitudinal permanecenconstantes, tal como se muestra en la figura (5.8).



Figura 5.8 Equilibrio de fuerzas en una franja elemental situada en la coordenada = (fuente: V. Z. Vlasovand N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations,

1966, figure 4, pp. 8)

Al tomar una franja elemental igual a dx, se nota que sobre ésta actúan fuerzas internaslongitudinales y transversales, y , y cargas externas distribuidas. A través del

principio de trabajo virtual se obtienen las siguientes condiciones de equilibrio.∫( − ) = 0 ( = 1, 2, 3, … , )∫ − = 0 ( = 1, 2, 3, … , ) [5.19]

Al sustituir la ecuación (5.16) en la ecuación (5.19) se obtiene:( ) = ∫( ) = ∫ [5.20]

Por lo tanto, se ha obtenido la relación entre las fuerzas generalizadas, dadas en la ecuación(5.18), y las cargas externas aplicadas en la sección = .

5.4. MODELOS DE CÁLCULO PARA LAS DEFORMACIONESBIDIMENSIONALES DE FUNDACIONES ELÁSTICAS

El problema de un estrato de fundación bidimensional puede ser tratado como unproblema de deformación plana; este problema es muy común en la ingeniería decimentaciones, tal es el caso de los cimientos corridos, carreteras, entre otros. Para tratar esteproblema se considera un estrato elástico de altura H, sobre el cual actúan cargasperpendiculares al eje x que dependen solo de esta coordenada (figura 5.9).



Figura 5.9 Estrato de suelo sometido a cargas distribuidas actuantes en la superficie

Al tratarse de un problema de deformación plana, tanto los esfuerzos ( , , ), las

deformaciones ( , , ) y los desplazamientos ( , ) son funciones solo de las variables x

e y; en este problema las deformaciones , , toman un valor nulo y las relaciones entre

los esfuerzos y las deformaciones dadas por la ley de Hooke quedan reducidas a:= ( )( ) (1 − ) += ( )( ) + (1 − )= ( )( ) − [5.20]

Para obtener expresiones similar a las propuestas en la ecuación (5.2) se definen las siguientescaracterísticas: == [5.21]

Sustituyendo las ecuaciones (5.21) en el conjunto de ecuaciones (5.20) se obtienen relacionessimilares a las dadas en (5.2).= += += = ( ) [5.22]

También, los desplazamientos longitudinales y transversales son aproximados por lasfunciones ( , ) = ( ) ( ) y ( , ) = ( ) ( ), respectivamente; si se reemplazan

estas ecuaciones en las relaciones = , = y = + , se obtiene:



= ´ ( ) ( )= ( ) ´ ( )= ( ) ´ ( ) + ´ ( ) ( ) [5.23]

Sustituyendo estas últimas expresiones en la ecuación (5.22) se obtienen las ecuaciones dedesplazamientos en términos de las funciones generalizadas ( , ) y de las funciones dedistribución transversal de desplazamientos ( , ).= (∑ ´ + ∑ ´ )= (∑ ´ + ∑ ´ )= = ( ) (∑ ´ + ∑ ´ ) [5.24]

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (5.24) en las ecuaciones (5.8) y (5.9) (principio detrabajo virtual), se obtiene:∑ ´´ − ∑ + ∑ − ´ + = 0= 1, 2, 3, … , [5.25]− ∑ − ´ + ∑ ´´ − ∑ + = 0= 1, 2, 3, … , [5.26]

Donde los coeficientes , , , , , , son obtenidos a través de las

ecuaciones (5.13) y los términos son dados por la ecuación (5.15) y representan el

trabajo realizado por las cargas distribuidas ( , ) y ( , ) sobre los desplazamientos, en las direcciones correspondientes. En la mayoría de cimentaciones, las fuerzas( , ) ( , ) son dadas generalmente por el peso propio del estrato de suelo y puede serdespreciadas por ser pequeñas en comparación con las demás cargas actuantes; tomando encuenta esta última simplificación, los valores de quedan reducidos a:= ( ) (0)= ( ) (0) [5.27]

Donde ( ) y ( ) son las cargas aplicadas en la superficie del estrato de suelo ( = 0) en ladirección x e y, respectivamente. En las ecuaciones (5.25) y (5.26) notamos que las únicasfunciones no conocidas son y las cuales pueden ser obtenidas resolviendo estasecuaciones. Una vez encontradas las funciones , los desplazamientos quedandeterminados a partir de la ecuación (5.4), y por lo tanto, quedará resuelto el problema.



Es de notar que las ecuaciones (5.25) y (5.26) definen las deformaciones del modelo planopara cimentaciones sobre medios elásticos, pero esta solución no deja de ser aproximadadebido al número limitado de términos usados en la ecuación (5.4), se concluye por ello, queesta solución se aproxima a la solución exacta brindada por la teoría de la elasticidad cuandose emplea un mayor número de términos en la ecuación (5.4), pero el incrementar mástérminos dentro de esta ecuación no es una solución muy práctica, debido a que también seincrementa el orden de las ecuaciones diferenciales. Una forma más práctica de incrementar laprecisión es seleccionando de manera más rigurosa las funciones y , para lo cual espreciso basarse en datos experimentales o en hipótesis más rigurosas de análisis, obteniéndoseasí una aproximación adecuada con un mínimo numero de términos en las ecuaciones (5.25) y(5.26). Una gran ventaja que presenta este método es la forma generalizada con la cual trata elproblema de fundaciones elásticas, ya que diferentes modelos se obtienen a partir de éste alelegir diversas funciones y .

Una forma muy simple de analizar una cimentación mediante el modelo de Vlasov essuponiendo que los desplazamientos horizontales son nulos.( , ) = 0( , ) = ∑ ( ) ( ) [5.28]

Utilizando esta suposición, la ecuación (5.25) adquiere un valor nulo y solo se considerará laecuación (5.26), la cual queda reducida a:∑ ´´ − ∑ + = 0 [5.29]

Los coeficientes y están dados por:= ∫= ∫ ´ ´ [5.30]

En este modelo el suelo aledaño a la región cargada también ofrece resistencia a la carga P, enconsecuencia, sufrirá deformación vertical (figura 5.10); en forma esquemática este modelo esrepresentado por un conjunto infinito de resortes que interactúan entre ellos como resultado delas fuerzas de fricción.



Figura 5.10 Distribución de los desplazamientos verticales en un suelo sometido a una carga puntual (fuente: V.Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific

Translations, 1966, figure 6.a, pp. 11)

De la ecuación (5.26) se pueden obtener expresiones simples asumiendo algunas hipótesisadicionales; como ejemplo, se puede asumir que el suelo es un estrato delgado isótropo ylinealmente elástico que está asentado en una base indeformable; para este caso la función dedesplazamiento vertical puede asumirse como:( , ) = ( ) ( ) [5.31]

Donde se asume una variación lineal para la función ( )( ) = [5.32]

La función representa la distribución de los asentamientos en la superficie del suelo.Sustituyendo las ecuaciones (5.32) y (5.31) en la ecuación (5.29) se tiene:´´ − + = 0 [5.33]

El modelo descrito es conocido como modelo de dos parámetros o simplemente como modelode capa simple, cuyos coeficientes están determinados por:= ∫ == ∫ ´ = [5.34]

Las cargas en una cimentación son aplicadas en la superficie del estrato y están dadas solo enfunción de la variable x, por lo que la ecuación (5.27) queda reducida a:= ( ) [5.35]

Los esfuerzos producidos en el suelo se obtienen sustituyendo las ecuaciones (5.31) y (5.32)en la ecuación (5.24).



= ´ = − ( ) ( )= ´ = − ( ) ( )= = ( ) ´ = ( ) ´ ( ) [5.36]

Figura 5.11 Función lineal de distribución transversal de desplazamientos verticales (fuente: V. Z. Vlasov and N.N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966,

figure 7, pp. 11)

Tanto los esfuerzos y permanecen constantes en toda la altura H del estrato de suelo,

mientras que los esfuerzos cortantes ( ) varían linealmente (figura 5.11). Si el estrato de

suelo tiene en espesor considerable será necesario aproximar más la expresión correspondientea los desplazamientos verticales, debido a que los esfuerzos verticales no permaneceránconstantes a lo largo de la altura H del suelo (figura 5.12). Una expresión más aproximadapara este caso es mostrada a continuación.= ( )( ) [5.37]

La función anterior fue asumida por Vlasov y Leont’ev, basándose en datos experimentales yestudios anteriores.

Figura 5.12 Función hiperbólica de distribución transversal de desplazamientos verticales y su influencia en losesfuerzos (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel

Program for Scientific Translations, 1966, figure 8, pp. 12)



En la ecuación (5.37), la constante es la razón de decrecimiento de los desplazamientosverticales con la altura.

La solución del problema de fundaciones elásticas mediante el modelo de Vlasov, para unestrato de suelo, es determinado mediante la ecuación (5.33), donde los coeficientes estándados por: = ∫= ∫ ´ [5.38]

Como otro ejemplo también se puede considerar un estrato delgado de suelo donde losdesplazamientos horizontales no pueden ser despreciados, este estrato permanece apoyado yfijo sobre un estrato indeformable, para tal caso, las funciones aproximadas dedesplazamientos pueden ser expresadas de la siguiente forma:( , ) =( , ) = [5.39]

Donde las funciones y consideran una variación lineal a través de la altura H.( ) =( ) = [5.40]

Sustituyendo las ecuaciones (5.39) y (5.40) en las ecuaciones (5.25) y (5.26), se tiene:´´ − + − ´ + = 0− − ´ + ´´ − + = 0 [5.41]

Los coeficientes se obtienen al sustituir el conjunto de ecuaciones (5.40) en las ecuacionesdadas en (5.13).

Si el suelo está formado de varios estratos con propiedades diferentes, las funciones ypueden ser seleccionadas como se muestra en la figura 5.6, lo cual es conocido como modelomulticapa; también se puede asumir que el módulo de elasticidad varía sobre la altura delestrato.

Con los ejemplos tratados queda reafirmada la gran ventaja del modelo generalizado deVlasov, debido a los numerosos modelos de análisis que son obtenidos a través de lasecuaciones (5.25) y (5.26) para los problemas de cimentaciones bidimensionales (deformaciónplana). Para el diseño de estructuras de cimentación es muy importante la adecuada elecciónde las funciones y , ya que para dicha elección se tendrá que analizar las peculiaridadesdel problema considerado.



5.5. MODELO PLANO DE FUNDACIONES ELÁSTICAS CON DOSPARÁMETROS

5.5.1. Ecuación diferencial básica

La hipótesis de considerar nulos los desplazamientos horizontales resulta satisfactoriapara encontrar una solución simplificada al problema de una cimentación apoyada sobre unestrato elástico; también, para simplificar los cálculos es conveniente adoptar una únicafunción de distribución transversal de desplazamientos, , la cual será elegida teniendo encuenta las características del problema.

Al considerar el suelo como un medio semi-infinito, isotrópico y linealmente elástico elproblema bidimensional de un estrato de fundación resulta similar al problema de deformaciónplana estudiado por la teoría de elasticidad; este problema fue descrito en el apartado anterior,donde se obtuvo la siguiente ecuación:´´ − + = 0 [5.42]

Los coeficientes son obtenidos mediante las siguientes relaciones:= ∫ ( )= ∫ ´ ( ) [5.43]

Donde = .En la ecuación (5.42) el término representa el trabajo realizado por lascargas distribuidas ( ) en la superficie del estrato.( ) = ( ) ( ) [5.44]

Al multiplicar la ecuación (5.42) por se obtiene la siguiente expresión:

( ) ´´ − + = 02 ´´ − + = 0 [5.45]

Donde: = y = ( ) [5.46]

La diferencia entre la formulación dada en la ecuación (5.46) y la expresión obtenida bajo lahipótesis de Winkler, es que la ecuación (5.46) toma en cuenta un segundo término quecontiene la segunda derivada de la función de los desplazamientos verticales generalizadosmultiplicada por el coeficiente 2t, que depende de los esfuerzos cortantes generados en elsuelo. En conclusión, se puede decir que la ecuación (5.46) considerara los esfuerzos cortantes



internos producidos en el estrato suelo, lo cual conlleva a la expansión de la carga aplicada enun determinado punto hacia puntos cercanos, tal como se muestra en la figura 5.10.

Las propiedades de una fundación elástica, según este modelo, dependen de las doscaracterísticas descritas en la ecuación (5.46). La propiedad tiene el mismo significado queel dado por la hipótesis de Winkler, mientras que el factor se relaciona con las fuerzascortantes generadas en el estrato de suelo.

Para la solución de la ecuación (5.46) se requiere establecer las condiciones de bordecorrespondientes al problema tratado, que generalmente, son dadas como fuerzasgeneralizadas, desplazamientos generalizados o ambos. Tomando en cuenta que ( , ) =0 , ( , ) = ( ) ( ) y sustituyendo la ecuación (5.24) en la ecuación (5.16) se obtiene.= ∫ = 0= ∫ = ( ) ´ ∫ = 2 ´ [5.47]

5.5.2. Selección de la función de distribución transversal de desplazamientos

Como se vio en la sección anterior, los parámetros dependen de la función dedistribución transversal de desplazamientos, , la cual es seleccionada de acuerdo a lanaturaleza del problema. Para un estrato de pequeña altura se puede considerar que dichafunción varía de manera lineal a través de la altura H del estrato.( ) = [5.48]

En la ecuación anterior se considera que el estrato permanece fijo en la base, impidiéndose eldesplazamiento vertical y horizontal. Sustituyendo la ecuación (5.48) en la ecuación (5.43) seobtienen los coeficientes .= ∫ == ∫ ´ = [5.49]

Sustituyendo la ecuación (5.49) en la ecuación (5.46), se obtiene:= ( )= ( ) [5.50]

También es posible establecer una relación para las deformaciones verticales a partir de lasecuaciones (5.23) y (5.48).= − ( ) [5.51]



Los esfuerzos verticales son obtenidos a través de las ecuaciones (5.22) y (5.51).= − ( ) ( ) [5.52]

Tal como se muestra en la ecuación (5.52), los esfuerzos verticales se mantienen constantes através de la altura H del estrato, al igual que las deformaciones.

A partir de las ecuaciones (5.47) se obtiene la siguiente expresión para la fuerza cortantegeneralizada. = ( ) ´ ( ) = 2 ´ ( ) [5.53]

Para el caso de un estrato de suelo con una altura considerable, la función dada en laecuación (5.48) no resulta satisfactoria, debido a que los esfuerzos verticales presentan unavariación a lo largo de la altura H del estrato de suelo y no son constantes tal como lo describeesta ecuación; para tal caso, una función más aproximada es dada a continuación.( ) = ( )( ) [5.54]

En la ecuación anterior el término representa la razón de decrecimiento de losdesplazamientos a través de la altura H , y por lo tanto, depende de las propiedades del suelo.Para el caso de un estrato con una altura H muy grande es posible tratar al suelo como unmedio semi-infinito ( → ∞).

La distribución de esfuerzos verticales obtenidos al seleccionar la ecuación (5.54) comofunción de distribución transversal de desplazamientos, resulta:= − ( ) ( ) ( )

[5.55]

Los parámetros característicos del suelo, y , vienen dados por las siguientes ecuaciones.= ( )= ( ) [5.56]

Donde: == [5.57]

Y por último, para el caso de la fuerza cortante generalizada se obtiene:= ∫ = 2 ´ ( ) [5.58]

Utilizando la ecuación (5.54), los esfuerzos verticales muestran una variación hiperbólica a lolargo de la altura H del estrato de suelo, teniendo una mejor aproximación que la obtenida con



la ecuación (5.48), debido a que con esta función los esfuerzos verticales permanecenconstantes.

Otras funciones también pueden ser utilizadas para aproximar un resultado similar al obtenidocon la ecuación (5.54), como ejemplo se muestra la siguiente función:( ) = [5.59]

En conclusión, un gran número de funciones de distribución transversal de desplazamientospueden ser elegidas para describir la variación de los desplazamientos a lo largo de la altura H;estas funciones afectarán también la distribución de esfuerzos normales y cortantes.

La elección de las funciones y depende de las características del problema, y estasfunciones son elegidas a través de datos experimentales o a través de métodos basados en lateoría de la elasticidad.

5.5.3. Efecto de las cargas verticales concentradas

La función que describe los desplazamientos verticales en un estrato de sueloisotrópico y linealmente elástico sometido a una carga puntual (figura 5.13) es obtenida apartir de la ecuación (5.45), que para este caso toma la siguiente forma:2 ´´ − = 0 [5.60]

Figura 5.13 Carga puntual sobre una fundación elástica (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams, platesand shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 11, pp. 18)

La solución de la ecuación anterior está dada por:( ) = + [5.61]

Donde



=Y los valores de y son tomados de las ecuaciones (5.46) y (5.43).

El cálculo de las contantes de integración se realiza tomando en cuenta las condiciones deborde conocidas; para hallar el valor de se puede tomar en cuenta el desplazamientovertical cuando → ∞, el cual resulta ser nulo ( ( ) → 0), con lo que se obtiene:= 0El cálculo de se realiza a través de la ecuación (5.47), tomando en cuenta el trabajorealizado por la fuerza cortante generalizada sobre el desplazamiento virtual ̅( , ) = 1 (0)en la sección x=0, donde se tomó como desplazamiento generalizado un valor unitario( (0) = 1). La simetría del problema permite determinar que el valor de la fuerza cortante enx=0 es −P 2⁄ , por lo tanto, el trabajo realizado por esta fuerza resulta:(0) = − (0) [5.62]

Donde el valor de (0) es el valor de ( ) en la superficie del estrato considerado.Derivando la ecuación (5.61) y evaluando su valor cuando x=0, se tiene:´ ( ) = −´ (0) = − [5.63]

Igualando las ecuaciones (5.47) y (5.62), se obtiene:− (0) = 2 ´ (0) [5.64]

Al sustituir la ecuación (5.63) en la ecuación anterior, se obtiene el valor de C , el cual estadado por: = ( )Sustituyendo el valor de las constantes y en la ecuación (5.61), se obtiene la ecuación dedesplazamientos verticales para el estrato de suelo considerado en la figura 5.13.( , ) = ( ) ( ) [5.65]

Para definir totalmente la ecuación anterior es necesario seleccionar la función ( ), que seráseleccionada según las características del suelo a analizar; por ejemplo, utilizando la funciónlineal ( ) = ( − )/ , la ecuación (5.65) resulta:( , ) = ( ) [5.66]

Donde: = = ( )( ) [5.67]



Para un medio semi-infinito, isotrópico y linealmente elástico resulta más conveniente tomarla función dada en la ecuación (5.54); quedando la ecuación (5.65) transformada a :( , ) = ( ) ( )

[5.68]

Donde: = = ( )( )== [5.69]

5.5.4. Efecto de las cargas verticales distribuidas

Los desplazamientos producidos en la superficie del suelo pueden ser determinados demanera sencilla a partir de la ecuación (5.65)

Figura 5.14 Carga distribuida sobre una fundación elástica (fuente: V. Z. Vlasov and N. N. Leont’ev, Beams,plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966, figure 15.a, pp. 21)

El dominio de la ecuación, que describe los desplazamientos producidos por la carga ( ), esdividido en tres zonas. Para cada zona las funciones de desplazamientos en la superficie delsuelo están dadas por:

Para ≤ ≤ ( ) = ∫ ( ) ( ) + ∫ ( ) ( ) [5.70]

Para > ( ) = ∫ ( ) ( ) [5.71]

Para <



( ) = ∫ ( ) ( ) [5.72]

Donde: = ( )[5.73]

Para el caso particular de una carga uniformemente distribuida, q, las ecuaciones (5.70), (5.71)y (5.72) son reducidas a:

Para ≤ ≤ ( ) = 2 − ( ) − ( ) [5.74]

Para > ( ) = ∫ ( ) [5.75]

Para < ( ) = ∫ ( ) [5.76]

Si se asume como función transversal de desplazamientos la función lineal = , la

constante de integración adquiere el siguiente valor.= ( )[5.77]

Sustituyendo la ecuación (5.77) en la ecuación (5.70), se obtiene:

Para ≤ ≤ ( ) 2 − ( ) − ( ) [5.78]

Donde: = ( )( ) = ( )



5.6. FUNDACIONES ELÁSTICAS DE DOS CAPAS

Consideremos un terreno de fundación compuesto por dos estratos que poseen distintosmódulos de elasticidad y diferentes módulos de Poisson, estos estratos se encuentran apoyadosy fijos sobre un medio indeformable. (Figura 5.15).

Figura 5.15 Fundación elástica de dos estratos

Para el caso de deformación plana se pueden aproximar los desplazamientos como:( , ) = 0( , ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) [5.79]

Donde las funciones de distribución transversal de desplazamientos, y , son elegidasteniendo en cuenta las particularidades del suelo de fundación; por ejemplo, para una capasuperior delgada y una inferior gruesa (figura 5.16) se puede asumir las siguientes funciones:0 ≤ ≤ = ∧ = [5.80]≤ ≤ = 0 ∧ = ( )

[5.81]

Para este caso, la función generalizada ( ) representa el desplazamiento vertical de lasuperficie del suelo, la función generalizada ( ) define el desplazamiento vertical de lafrontera entre estratos y el factor determina la razón de decrecimiento de losdesplazamientos a través de la altura H.



Figura 5.16 Deformaciones verticales de una fundación elástica de dos capa ≪ (fuente: V. Z. Vlasov andN. N. Leont’ev, Beams, plates and shells on elastic foundations, Israel Program for Scientific Translations, 1966,

figure 20, pp. 26)

Sustituyendo las ecuaciones (5.79), (5.80) y (5.81) en la ecuación (5.26) se obtiene el siguientesistema de ecuaciones:( ´´ + ´´ ) − ( + ) + = 0

( ) ´´ + ( ) + ( ) ´ ´´ − − +´ = 0 [5.82]

Donde: = ∫ = = ∫ ´ == ∫ = = ∫ = −= ∫ = = ∫ =´ = ∫ = ´ = ∫ ´ = [5.83]

También, los valores de , , y están dados por:= = [5.84]= = [5.85]

Donde:= Módulo de elasticidad del estrato superior, correspondiente a h= Módulo de Poisson del estrato superior, correspondiente a h= Módulo de elasticidad del estrato inferior, correspondiente a h= Módulo de Poisson del estrato inferior, correspondiente a h



Igual que en el caso de una fundación elástica de una capa, se definen los siguientesparámetros: = ( ) = ( )= ( ) = ( ) [5.86]

Donde: ==La ecuaciones de (5.82) pueden ser reescritas de una manera más compacta, como:2 ´´ − + ´´ + + = 0´´ + + 2( + ) ´´ − ( + ) = 0 [5.87]

Los coeficientes y determinan los esfuerzos de compresión de la capa superior einferior, respectivamente, mientras que los coeficientes y consideran los esfuerzos decorte del suelo.

Para reducir el sistema de ecuaciones (5.87) a una sola ecuación diferencial se introduce lafunción F(x); los desplazamientos generalizados y son expresados en términos de F(x) ysus derivadas, de tal forma que cuando estas expresiones son introducidas en la segundaecuación de (5.87), esta llega a anularse. La expresión que satisface esta condición es:( ) = ( + ) ( ) − 2( + ) ´´( )( ) = ( ) + ´´( ) [5.88]

Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación (5.87) se obtiene:(3 + 4 ) − 2(3 + + ) ´´ + = ( ) [5.89]

La ecuación diferencial anterior define los esfuerzos y deformaciones en una fundación dedoble capa. Para resolver un problema específico es necesario agregar a la ecuación (5.89) lascondiciones de borde correspondientes, que son dadas como desplazamientos generalizados oesfuerzos generalizados.= ∫= ∫ [5.90]

Donde =Sustituyendo las ecuaciones (5.79), (5.80) y (5.81) en la ecuación (5.3) se obtienen losesfuerzos en función de los desplazamientos generalizados.



0 ≤ ≤ = ( ) ´ + ´≤ ≤ = ( ) ´ ( )[5.91]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (5.90) e integrando sobre toda la altura H delestrato, se tiene: = (2 ´ + ´ )= ´ + 2( + ) ´ [5.92]

Expresando las ecuaciones anteriores en términos de la función F(x), se obtiene.= −(3 + 4 ) + (3 + 2 ) ´= (3 + + 2 ) ´ [5.93]

El modelo de dos estratos también es llamado modelo de cuatro características. Este modelogenera una mejor aproximación que el modelo de una sola capa (modelo de dos parámetros).

Referencias

1 Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Editorial Board, Toronto, 1952,2 V. Slivker, Mechanics of Structural Elements, Springer, Berlin, 2007.3 L. Elsgoltz, Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Editorial MIR, Moscú, pp. 285-419, 19694 V. Slivker, Mechanics of Structural Elements, Springer, Berlin, pp. 496- 538, 2007.5 V.Z. Vlasov and N.N. Leont’ev, Beams, Plates and Shell on Elastic Foundations, Translate from russian,

Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, pp. 1-46, 1966,6 Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Editorial Board, Toronto, pp. 74-87, 1952,


CAPÍTULO

6ANÁLISIS DE LOSAS DECIMENTACIÓN UTILIZANDO ELMODELO DE VLASOV

6.1. INTRODUCCIÓN

Comúnmente, para el análisis de losas sobre apoyos elásticos se asume que losdesplazamientos son proporcionales a la presión de contacto entre el suelo y el cimiento(Modelo de Winkler); este modelo ha sido muy utilizado para el análisis y diseño decimentaciones debido a su gran simplicidad, aunque presenta muchas desventajas con relacióna los métodos planteados bajo la teoría de la elasticidad.

Para la utilización de método de Winkler se requiere la evaluación del módulo de reacción delsubgrado, , el cual no tiene un valor único para un tipo de suelo o un tipo de cimentaciónespecífica; otra deficiencia que presenta el modelo de Winkler es que cuando se aplica unacarga uniformemente distribuida sobre la cimentación, los desplazamientos verticales tanto delsuelo y de la cimentación resultan constantes (movimiento de solido rígido); por lo tanto, no segenerarán en la cimentación ni fuerzas de corte ni momentos flectores, conllevando a undiseño deficiente.

Debido a la simplicidad y practicidad matemática que presenta el modelo de Winkler, muchosinvestigadores han tratado de mejorarlo; tal es el caso de Biot (1937), Sovolev (1963)

- 179 - Cap. 6 – Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Vlasov


filonenko –Borodich (1940), Pasternak (1954), Vlasov y Leont’ev (1966), entre otros, dondealgunos de estos autores desarrollaron modelos basados en la teoría de la elasticidad o en datosexperimentales, obteniendo resultados satisfactorios solo para algunos tipos de suelos.

Uno de los modelos que ha llamado la atención de muchos ingenieros es el modelodesarrollado por Vlasov y Leont’ev que plantea una solución generalizada basada en elmétodo variacional; este modelo toma en cuenta la energía de deformación generada en elsuelo situado debajo de la cimentación y la energía del suelo que circunda a la misma, la cualno es tomada en cuenta por el modelo planteado por Winkler.

Una ventaja que presenta el modelo de Vlasov, es que puede ser analizado de manerabidimensional, presentando una ventaja sobre otros métodos que requieren un análisistridimensional, que en muchas ocasiones llega a ser muy laborioso; otra ventaja es que sepuede considerar una variación lineal del módulo de elasticidad del suelo, ( ). Vlasov yLeont’ev (1966) desarrollaron este modelo de dos parámetros donde la relación deldesplazamiento vertical w y la carga q queda definida como:= ∇ + 2 ∇ +Donde es un parámetro de corte del suelo y D es el término que representa la rigidez aflexión de la losa. Para el cálculo de los parámetros y , Vlasov y Leont’ev introdujeron eltérmino que describe el decrecimiento de los desplazamientos en función de la altura H delestrato.

Otra ventaja de este modelo es la determinación de los parámetros y , que solo están enfunción de las propiedades del material, como son el módulo de elasticidad, el módulo dePoisson ( ) y el parámetro ; aunque los autores del modelo no plantearon ningunaexpresión para determinar el parámetro , en estos últimos años muchos investigadores handesarrollado expresiones para determinarlo.

Yang (1972) utilizo el modelo de Vlasov de dos parámetros para el análisis de losas sobremedios elásticos, combinando los métodos de diferencias finitas y de elementos finitos pararesolver las condiciones de contorno en una losa, pero igual que en el caso anterior no dioninguna expresión para el cálculo de y utilizó las recomendaciones dadas por Vlasov yLeont’ev.

Vallabhan y Das (1987) desarrollaron una técnica iterativa para la evaluación del parámetroaplicada al caso de vigas sobre medios elásticos; ellos encontraron que el valor de dependeno solo de las propiedades del suelo, sino también de la razón entre la profundidad del estratoy la longitud de la viga; este modelo que tiene en cuenta la interacción entre el desplazamientovertical y el valor de es conocido como modelo modificado de Vlasov, el cual serádesarrollado en el presente capitulo.



6.2. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO BASADO EN LA TEORÍADE VLASOV

6.2.1. Modelo tridimensional para el cálculo de deformaciones en una fundaciónelástica1

Consideremos el estrato tridimensional de suelo de altura H sometido a cargasdistribuidas ( , , ), ( , , ) ( , , ) mostrado en la figura 6.1; producto de las

cargas se genera en el suelo esfuerzos y deformaciones, los cuales pueden ser calculados através de los desplazamientos ( , , ), ̅( , , ) ( , , ), estos desplazamientos a suvez pueden ser aproximados a través de series finitas.( , , ) = ∑ ( , ) ( ) = 1, 2, 3, … ,̅( , , ) = ∑ ( , ) ( ) = 1, 2, 3, … ,( , , ) = ∑ ( , ) ( ) = 1, 2, 3, … , [6.1]

En las ecuaciones anteriores, las funciones ( ), ( ) ( ) representan la variación

vertical (a través de la coordenada z) de los desplazamientos horizontales y verticales, estasfunciones son asumidas, y en consecuencia conocidas. Las funciones( , ), ( , ) ( , ) son conocidas como desplazamientos generalizados y tienen

unidades de longitud, por consiguiente, las funciones ( ), ( ) ( ) son

adimensionales y representan la variación de los desplazamientos generalizados a través de laaltura H del estrato.

Figura 6.1 Estrato de suelo tridimensional apoyado en un medio indeformable sometido a cargas distribuidas



Para el caso tridimensional, las deformaciones se relacionan con los desplazamientos a travésde las siguientes ecuaciones.= = += = += = + [6.2]

También, a través de la ley de Hooke para materiales linealmente elásticos se obtienen lasrelaciones entre los esfuerzos y las deformaciones.= + + = ( )= + ( + ) = ( )= + + = ( ) [6.3]

Donde: = = [6.4]

En la ecuación (6.4), y representan el módulo de elasticidad y el módulo de Poisson delestrato de suelo, respectivamente.

Sustituyendo las ecuaciones (6.2) en el conjunto de ecuaciones (6.3) se obtienen las relacionesentre los esfuerzos y los desplazamientos.= + + = ( ) += + + = ( ) += + + = ( ) + [6.5]

Los desplazamientos ( , , ), ̅( , , ) ( , , ) pueden ser expresados en términos delas funciones de distribución transversal de desplazamientos ( ( ), ( ) ( )) y de los

desplazamientos generalizados ( ( , ), ( , ) ( , )) a través de las ecuaciones (6.5)

y (6.1)



= ∑ + ∑ + ∑ ´= ∑ + ∑ + ∑ ´= ∑ ´ + ∑ + ∑ [6.6]= ( ) ∑ + ∑= ( ) ∑ ´ + ∑= ( ) ∑ ´ + ∑ [6.7]

Una manera para determinar los desplazamientos generalizados ( , ) es a través del

principio de desplazamientos virtuales de Lagrange2, donde las ecuaciones de equilibrio sonobtenidas teniendo en cuenta que el trabajo total de las fuerzas internas y externas sobre losdesplazamientos virtuales, es nulo.

Figura 6.2 Esfuerzos internos y externos en una columna de altura H y lados dx=1 y dy=1

Para este análisis se considera una columna de altura H y de lados iguales, dx=1 y dy=1, comose muestra en la figura 6.2, en este grafico se considera como trabajo positivo al realizado porfuerzas externas con dirección positiva y como trabajo negativo al producido por fuerzasinternas con dirección positiva a los ejes coordenados. Las condiciones de equilibriogeneralizadas para esta columna elemental son expresadas como:



∫ + − ∫ + ∫ + − ∫ −∫ + ∫ ( , , ) = 0∫ + ̅ − ∫ ̅ + ∫ + − ∫ −∫ + ∫ ( , , ) ̅ = 0∫ + − ∫ + ∫ + −∫ − ∫ + ∫ ( , , ) = 0Las expresiones anteriores pueden ser reducidas y reescritas para obtener el equilibrio en cadagrado de libertad de la columna elemental mostrada en la figura 6.2, la cual posee en total(m+l+n) grados de libertad, obteniéndose expresiones para los desplazamientos ( , , ),̅( , , ) ( , , ).∫ + ∫ − ∫ + ∫ ( , , ) = 0= 1, 2, 3, … ,∫ ̅ + ∫ − ∫ + ∫ ( , , ) ̅ = 0= 1, 2, 3, … ,∫ + ∫ − ∫ + ∫ ( , , ) = 0= 1, 2, 3, … ,Sustituyendo la ecuación (6.1) en la expresión anterior y realizando las derivadascorrespondientes, se obtiene:∫ + ∫ − ∫ ´ + ∫ = 0 [6.8]= 1, 2, 3, … ,∫ + ∫ − ∫ ´ + ∫ = 0 [6.9]= 1, 2, 3, … ,∫ + ∫ − ∫ ´ + ∫ = 0 [6.10]= 1, 2, 3, … ,En la deducción de las ecuaciones anteriores se utilizaron los siguientes desplazamientosvirtuales: ( , , ) = 1 ( )̅ ( , , ) = 1 ( )



( , , ) = 1 ( )Donde se deduce que los desplazamientos generalizados tienen valores unitarios en cadadirección. ( , ) = 1 ( , ) = 1 ( , ) = 1Las ecuaciones (6.8) (6.9) y (6.10) muestran que el trabajo total realizado por las fuerzasexternas e internas sobre los desplazamientos virtuales correspondientes es nulo.

Sustituyendo las ecuaciones (6.6) y (6.7) en las ecuaciones (6.8), (6.9) y (6.10) se obtiene elsiguiente sistema de ecuaciones diferenciales, donde los desplazamientos generalizados sonlas funciones incógnitas.∑ + − ∑ + ∑ + ∑ −+ = 0= 1, 2, 3, … , [6.11]∑ + − ∑ + ∑ + ∑ −+ = 0= 1, 2, 3, … , [6.12]− ∑ − − ∑ − + ∑ +− ∑ + = 0= 1, 2, 3, … , [6.13]

En las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) los coeficientes vienen dados por:= = ∫ = = ∫= = ∫ ´ ´ = = ∫ ´ ´= ∫ ´ = ∫ ´= ∫ ´ = ∫ ´= = ∫ = ∫ ´= = ∫ ´ ´ = ∫ ´= ∫ ´ = ∫= ∫ ´ = ∫ [6.14]



Los coeficientes presentados en la ecuación (6.14) son determinados cuando las funciones dedistribución transversal de desplazamientos son asumidas.

Los términos libres en las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) representan el trabajo realizadopor las cargas distribuidas ( , ) sobre los desplazamientos virtuales correspondientes,

y están dados por: = ∫ ( , , ) ( )= ∫ ( , , ) ( )= ∫ ( , , ) ( ) [6.15]

Las ecuaciones anteriores toman en cuenta el trabajo realizado por las fuerzas distribuidassobre todo el volumen del estrato de suelo (fuerzas de cuerpo), pero no toman en cuenta eltrabajo realizado por las fuerzas superficiales. En forma general la ecuación (6.15) puede serreescrita de la siguiente forma para tomar en cuenta el efecto de las cargas superficiales.= ∫ ( , , ) ( ) + ( , ) (0)= ∫ ( , , ) ( ) + ( , ) (0)= ∫ ( , , ) ( ) + ( , ) (0) [6.16]

Para el análisis de cimentaciones, generalmente, solo se toma en cuenta los incrementos deesfuerzos generados por las cargas superficiales, por lo que la ecuación (6.16) queda reducidaa: = ( , ) (0)= ( , ) (0)= ( , ) (0) [6.17]

Las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13) son ecuaciones generalizadas, de las cuales se puedenobtener varias soluciones asignando distintos valores a las funciones de distribucióntransversal de desplazamientos ( ), ( ) ( ); otro aspecto importante es debido a la

buena aproximación a las soluciones planteadas por la teoría de la elasticidad que se puedelograr al incrementar el número de términos en la ecuación (6.1) o eligiendo apropiadamentelas funciones ( ), ( ) ( ).



6.2.2. Modelo tridimensional de dos parámetros para fundaciones elásticas

Para el presente análisis consideremos el estrato de suelo mostrado en la figura 6.3,sobre el cual actúa una carga distribuida ( , ) en su superficie, generando en el suelodeslazamientos, deformaciones y esfuerzos. Generalmente, en cimentaciones sobrefundaciones elásticas los desplazamientos horizontales ( ̅) producidos en el suelo sonpequeños en comparación con los desplazamientos verticales ( ), por lo tanto, pueden serdespreciados. ( , , ) = 0 ̅( , , ) = 0 [6.18]

Los desplazamientos verticales pueden ser expresados por el producto de la función dedesplazamientos generalizados ( ( , ) ) y una función de distribución transversal dedesplazamientos ( ( )).( , , ) = ( , ) ( ) [6.19]

Figura 6.3 Estrato de suelo de altura H sometida a una carga distribuida p(x,y)

Sustituyendo las ecuaciones (6.18) y (6.19) en las ecuaciones (6.11), (6.12) y (6.13), el sistemade ecuaciones queda reducido a:( , ) + ( , ) − ( , ) + = 0 [6.20]

Donde los coeficientes vienen dados por:= ∫ ( ) = ∫ ´ ( ) [6.21]

En la ecuación (6.20), el término libre representa el trabajo realizado por la carga externa( , ) sobre el desplazamiento virtual ( , , ) = 1 ( ).= ( , ) (0) [6.22]

Donde el valor de (0) es el valor de ( ) en la superficie del estrato de suelo.



Para obtener una expresión más compacta y similar a la solución dada por Pasternak, sedefinen los siguientes valores:= ( ) = ( ) [6.23]

Sustituyendo la ecuación (6.23) en la ecuación (6.20) se obtiene una expresión final paracalcular los desplazamientos en una fundación elástica considerando dos parámetros.2 ( , ) + ( , ) − ( , ) + = 0 [6.24]

Como se puede observar, el parámetro comprende la deformación por compresión de unafundación elástica, teniendo un significado parecido al módulo de balasto; mientras que elparámetro representa la deformación por cortante en una fundación elástica.

Para resolver la ecuación (6.24) primero se tiene que elegir una función ( ) apropiada, lacual es obtenida a través de datos experimentales o aproximaciones basadas en la teoría de laelasticidad. Una función adecuada para un suelo homogéneo isotrópico y linealmente elásticoes mostrada a continuación.( ) = ( )( ) [6.25]

Sustituyendo la ecuación (6.25) en las ecuaciones (6.21) y (6.23) Los parámetrosquedan definidos como:= ( )= ( ) [6.26]

Donde: == [6.27]



6.2.3. Ecuación diferencial para la flexión en losas sobre fundaciones elásticas con dosparámetros

Consideremos una placa apoyada sobre una fundación elástica de altura H conpropiedades de deformación , módulo de elasticidad y módulo de Poisson del suelo,respectivamente; sobre la placa actúa una carga externa igual a ( , ) (figura 6.4). Para elpresente análisis se considera que las secciones transversales de la placa permanecen planasdurante la flexión (hipótesis de Kirchhoff), y la fricción entre la placa y el suelo es nula.

Figura 6.4 Losa de cimentación sometida a una carga distribuida q(x,y) y apoyada sobre un estrato de suelo dealtura H

La ecuación diferencial para la flexión de una placa sometida a cargas fue analizada en elcapítulo 3 del presente documento (ecuación 3.19). El contacto entre la placa y el sueloorigina una presión de contacto ( ( , )) sobre la superficie inferior de la placa (figura 6.5),por lo tanto, para este caso la ecuación (3.19) es reescrita como:( , ) + 2 ( , ) + ( , ) = ( , ) − ( , ) [6.28]

Donde ( , ) es la deflexión de la losa y el término D está dado por:= ( ) [6.29]E = Modulo de elasticidad de la placa= Módulo de Poisson de la placa

La ecuación (6.28) contiene dos funciones desconocidas, ( , ) y ( , ), y por ello esnecesario establecer una relación entre la carga de contacto, ( , ), y los desplazamientosproducidos en la losa; esta relación es obtenida teniendo en cuenta que las deflexiones de lalosa, en cada punto, son iguales a los desplazamientos verticales producidos en la superficie dela fundación elástica.



Figura 6.5 Deflexiones producidas en una losa de cimentación sometida a cargas externas (q) y cargas decontacto (p). Nótese la igualdad con los desplazamientos verticales de la superficie del suelo

La ecuación de equilibrio para el modelo de suelo con un estrato está dada en la ecuación(6.30) (de acuerdo a la ecuación 6.24), a su vez, los parámetros y están dados en lasecuaciones (6.23) y (6.21).−2 ( , ) + ( , ) + ( , ) = [6.30]

Donde: = ( , ) (0)Resulta conveniente seleccionar la función ( ) de tal forma que (0) = 1; tomando encuenta este artificio, el desplazamiento generalizado ( , ) representa entonces eldesplazamiento de la superficie de la fundación elástica, y la ecuación (6.30) se reduce a:−2 ( , ) + ( , ) + ( , ) = ( , ) [6.31]

Donde la deflexión de la losa es igual al desplazamiento vertical de la superficie de lafundación elástica. Sustituyendo la ecuación (6.31) en la ecuación (6.28), se obtiene:( , ) + 2 ( , ) + ( , ) − 2 ( , ) + ( , ) + ( , ) = ( , )+ 2 + − 2 + + = [6.32]

La ecuación (6.32) se diferencia de la ecuación correspondiente al modelo de Winkler debidoa que contiene un término adicional que toma en cuenta la influencia de las fuerzas cortantesen el suelo de fundación.



6.2.4. Evaluación de la función de forma ( )3La función de forma seleccionada, ( ), deberá satisfacer las condiciones particulares

del problema tratado; la elección de esta función se basa generalmente en datosexperimentales o en métodos rigurosos de análisis. Para el presente caso consideramos al suelocomo un medio isotrópico, homogéneo y linealmente elástico apoyado y fijado sobre unestrato indeformable (figura 6.4); como primera condición se obtiene que ( ) = 0 debido aque el estrato de apoyo es indeformable; también, como se vio anteriormente, es convenienteque el valor del desplazamiento generalizado sea el mismo que el desplazamiento de lasuperficie del suelo ( ( , , 0) = ( , )), con lo cual se concluye que (0) = 1; para estascondiciones Vlasov y Leont’ev sugirieron la siguiente ecuación:( ) = ( )( ) [6.33]

En la formula anterior, el parámetro representa la variación transversal de losdesplazamientos verticales. En el modelo propuesto por Vlasov y Leont’ev (1960) no se diouna expresión para determinar el parámetro . En 1987 Vallabhan y Das introdujeron unaexpresión para hallar el valor de γ correspondiente al caso de vigas sobre apoyos elásticos;para el caso de losas se introdujo una ecuación más general, la cual fue utilizada por Straughan(1990) para la solución del problema de losas sobre apoyos elásticos mediante la técnica dediferencias finitas; la ecuación utilizada por Straughan es mostrada a continuación.= ( ) ∫ ∫ (∇ )( ) ∫ ∫ [6.34]

La importancia del valor de radica en su influencia sobre la función de forma ( ), ya queesta función solo depende del valor de y de la altura del estrato de suelo (H), el cual esconocido por las condiciones del problema. A su vez, los parámetros solo dependen dela función de forma ( ) y de las propiedades de deformación del suelo, las cuales tambiénson conocidas; por lo tanto, se concluye que para poder encontrar los desplazamientos en elsuelo, primero se tendrá que encontrar un valor apropiado para .



6.2.5. Desplazamiento del suelo fuera del dominio de la losa

Los desplazamientos de la superficie del suelo circundante a la losa de cimentación seobtienen a través de la ecuación (6.30); para este caso la fuerza actuante sobre el suelo es nula,y en consecuencia el término adquiere también un valor nulo.−2 ( , ) + ( , ) + ( , ) = 0 [6.35]

Vlasov y Leont’ev (1966) asumieron una solución aproximada para la función dedesplazamientos verticales de los puntos localizados en la superficie del suelo fuera deldominio de la placa.

Figura 6.6 Losa de lados 2p x2l apoyada sobre una fundación elástica

Para una placa de lados 2p x 2l apoyada sobre una fundación elástica (figura 6.6), lasfunciones asumidas son:

Para la zona correspondiente a: < < ∞ ∧ − < <( , ) = ( ) [6.36]

Para la zona correspondiente a: − < < ∧ < < ∞( , ) = ( ) [6.37]

Para la esquina correspondiente a: < ∞ ∧ < ∞( , ) = ( ) ( ) [6.38]

Donde:= Desplazamiento vertical de la losa en == Desplazamiento vertical de la losa en == Desplazamiento vertical en la esquina de la losa

= [6.39]

Las funciones de desplazamientos verticales del terreno fuera del dominio de la losa se ilustranen la figura 6.7.



Figura 6.7 Funciones de desplazamientos verticales de la superficie del suelo fuera del dominio de la placa

6.2.6. Determinación del parámetro

La determinación del parámetro se realiza a través de la ecuación propuesta por Dasy Vallabhan (1987), vista anteriormente en la ecuación (6.34).= ( ) ∫ ∫ ( )( ) ∫ ∫Para evaluar la expresión anterior, en primer lugar, se tiene que encontrar los términos delnumerador y denominador. Una forma aproximada de hallar los términos de la ecuación (6.34)es dividiendo la superficie del suelo en regiones, tal como se muestra en la figura 6.8.

Figura 6.8 División de la superficie del suelo en regiones

De acuerdo con la figura 6.8 y utilizando las ecuaciones (6.36) (6.37) y (6.38) se obtienen lassiguientes ecuaciones.

Para la dirección x (regiones II y VI)



( , ) = ( )∫ ∫ = ∫∫ ∫ (∇ ) = ∫ [6.40]

Para la dirección y (regiones IV y VIII)( , ) = ( )∫ ∫ = ∫∫ ∫ (∇ ) = ∫ [6.41]

Para las regiones aledañas a las esquinas (regiones III, V, VII y IX)( , ) = ( ) ( )∫ ∫ =∫ ∫ (∇ ) = [6.42]

Y para el suelo situado debajo de la losa (región I)∫ ∫∫ ∫ (∇ ) [6.43]

El valor de depende de la función de desplazamientos de la superficie del suelo ( , ), yesta función depende del valor , lo cual indica que estos valores se encuentran relacionadosentre sí, y no se puede encontrar uno sin encontrar el otro, esto obliga a utilizar una técnicaiterativa para hallar el parámetro y la función de desplazamientos, ( , ).

Un proceso iterativo fue propuesto por Vallabhan y Das (1987) para el caso de vigas sobreapoyos elásticos, que también puede ser aplicado a losas, dicho procedimiento consiste ensuponer un valor inicial de , luego de ello hallar los valores de , con estos parámetroses posible construir la matriz de rigidez del sistema suelo-cimiento; una vez obtenida la matrizde rigidez es posible hallar los desplazamientos de puntos discretos para luego obtener el valorde por medio de la ecuación (6.34), al obtener el valor de , este es comparado con el valorasumido en el primer paso.

Como es de esperarse, el valor de asumido no será igual al valor de encontrado con laecuación (6.34), es por ello que se repite este proceso con el nuevo valor hallado de ; elprocedimiento se repite hasta obtener una aproximación satisfactoria.

Una vez encontrado un valor adecuado de , se calculan los desplazamientos en el suelo, losmomentos flectores y fuerzas cortantes en la losa, lo cual permitirán realizar un diseñoapropiado.



6.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO FINITO CORRESPONDIENTE ALMODELO DE VLASOV

6.3.1. Energía de deformación del sistema

Para el sistema suelo-cimiento mostrado en la figura 6.4, la energía total está definidapor la siguiente expresión:= + + + [6.44]

Donde:= Energía Total del sistema suelo-cimiento= Energía de deformación acumulada en la losa= Energía de deformación acumulada en las vigas= Energía de deformación acumulada en el suelo= Energía potencial ocasionada por las cargas externas

Los términos de la ecuación (6.44) quedan definidos en las siguientes expresiones:= ∫ 2 2 [6.45]

= ∫ + ∫ [6.46]= ∫ ∫ ∫ + + + + + [6.47]= − ∫ [6.48]

Las ecuaciones (6.45) y (6.46) correspondientes a la energía de deformación tanto en vigascomo en la losa fueron descritas en los capítulos 2 y 3 del presente documento, es por ello queen este capítulo se desarrollara el término correspondiente a la energía de deformaciónalmacenada en el suelo (ecuación 6.47).= ∫ ∫ ∫ + + + + +Considerando nulos los desplazamientos horizontales, ( , , ) = 0 y ̅( , , ) = 0, yexpresando los desplazamientos verticales como el producto ( , , ) = ( , ) ( ) seobtienen las deformaciones generadas en el estrato de suelo a partir de la ecuación (6.2).= ( , , ) = 0 = + = 0= ( , , ) = 0 = + = ( , )

ε = ( , , ) = ( , ) = + = ( , )[6.49]



Los esfuerzos son obtenidos sustituyendo el conjunto de ecuaciones (6.49) en la ecuación(6.3). = ( , ) = ( ) = 0= ( , ) = ( ) ( , )

= ( , ) = ( ) ( , )[6.50]

Donde: = =Sustituyendo las ecuaciones (6.49) y (6.50) en la ecuación (6.47) se obtiene la energía dedeformación acumulada en el suelo.= ∫ ∫ ∫ ( , ) + ( ) ( , ) +( , )

[6.51]

En la ecuación anterior se puede separar la energía para el suelo situado en el dominio de laplaca y para el suelo situado alrededor de la misma.= ∫ ∫ ∫ ( , ) + ( ) ( , ) + ( , ) +∫ ∫ ( , ) + ( ) ( , ) + ( , )

[6.52]

Donde Ω es el dominio del suelo situado fuera de la losa. La función de desplazamientosgeneralizados ( , ) no depende de la variable z, es por ello que permanece constante alintegrar la ecuación anterior en función de z; también, si reemplazamos las ecuaciones (6.26) y(6.27) en la ecuación (6.52) se obtiene la ecuación de energía potencial en función de losparámetros .= ∫ ∫ ( , ) + 2 ( , ) + ( , ) + ∫ ( , ) +2 ( , ) + ( , )

[6.53]

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (6.44) se obtiene la energía total del sistema,que está dada por:



= ∫ ∫ 2 2 + ∫ +∫ + ∫ ∫ + 2 + + ∫ +2 + − ∫ ∫ [6.54]

6.3.2. Energía de deformación del elemento

La energía potencial total del sistema puede ser expresada como la sumatoria de laenergía potencial acumulada en cada elemento.= ∑ [6.55]

La ecuación de la energía potencial para cada elemento tiene una forma similar a la mostradapara todo el sistema, con la única diferencia que la energía almacenada fuera del elemento esexpresada como condiciones de borde. Para un elemento finito rectangular de placa dedimensiones 2 por 2 apoyado sobre una fundación elástica la energía potencial está dadapor:= ∫ ∫ 2 2 + ∫ ∫ +2 + + − ∫ ∫ [6.56]

6.3.3. Cálculo de la matriz de rigidez local del elemento rectangular

La matriz de rigidez del elemento placa sobre una fundación elástica es obtenida através de la minimización de la energía potencial, para ello recordamos que la función dedesplazamientos dentro de un elemento puede ser expresada de manera aproximada a travésdel producto de funciones de forma y desplazamientos nodales.= [6.57]

Donde: = [ ]= [ ]Las funciones de forma para un elemento rectangular fueron descritas en el capítulo 3 delpresente documento.

Sustituyendo la ecuación (6.57) en la ecuación (6.56) se obtiene la ecuación de la energíapotencial en función de los desplazamientos nodales y de las funciones de forma.



= ∫ ∫ 2 2 +∫ ∫ + 2 + +− ∫ ∫ [6.58]

Las funciones de forma de la matriz N están dadas en términos de las variables naturales y ,es por ello que debe realizarse un cambio de variables para evaluar las integrales de laecuación anterior.= ∫ ∫ +∫ ∫ + 2 + + −∫ ∫ [6.59]

Ordenando la ecuación anterior, se tiene:= ∫ ∫ +∫ ∫ + ∫ ∫ 2 + +− ∫ ∫ [6.60]

Derivando la ecuación anterior en función de los desplazamientos nodales e igualando a cerose tiene: ∫ ∫ +∫ ∫ + 2 ∫ ∫ + =∫ ∫ [6.61]

En la ecuación anterior, el primer sumando representa el aporte de rigidez de la losa, elsegundo término representa la rigidez del suelo correspondiente a los desplazamientosverticales, el tercer sumando representa el aporte de rigidez por cortante del suelo y el términodel lado derecho las fuerzas externas aplicadas al sistema.

El primer término del lado izquierdo de la ecuación (6.61) es reescrito en forma más abreviadacomo: = ∫ ∫ [6.62]

Donde la matriz está dada por:



= −La matriz de rigidez correspondiente a la losa fue presentada en el capítulo 3 del presentedocumento, y es reproducida a continuación.= ( ) + + + [6.63]

Donde:

=6 00 −608 −6066

00000−604608

−303303600000000

−302304608

30−3−30−3−60−66

00000000000

−304302604−608

=6 68 000 3306

34068000000

−3−30−6−606320640−68

000000000

−6−60−3−303−306

640320−340−68

000000000000

=1 0 −−20 −1−01

−00000020

100−10−1000000−0

000−00−20

−10100−101

00000000−0

00000000−20



= ( )

21 38 −308 −21−3321−3−8038

−30−2308213−3−21−3−321

−3203−20−38

302−30−8308

−21−332133−213−321

3−20−3203−80−38

30−8−30230−2−308El segundo sumando de la ecuación (6.61) representa el aporte de la rigidez vertical del sueloen coordenadas naturales, esta matriz de rigidez es reescrita de la siguiente manera:= ∫ ∫ [6.64]

La forma extendida de la matriz anterior es presentada a continuación.

= ∫ ∫

(1 − )(1 − )(2 − − − − )( − 1)( − 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 − )(1 + )(1 − )(2 + − − − )( − 1)( + 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 + )(1 + )(1 + )(2 + + − − )( − 1)( + 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 + )(1 − )(1 + )(2 − + − − )( − 1)( − 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 − )

(1 − )(1 − )(2 − − − − )( − 1)( − 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 − )(1 + )(1 − )(2 + − − − )( − 1)( + 1)(1 − )( − 1)( − 1)(1 + )(1 + )(1 + )(2 + + − − )( − 1)( + 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 + )(1 − )(1 + )(2 − + − − )( − 1)( − 1)(1 + )( − 1)( + 1)(1 − )[6.65]

Al realizar las integrales en la ecuación anterior, se obtiene la siguiente expresiónsimplificada.



=

172731504613150− 46131506133150199315013715751973150− 5815755815756133150− 1371575− 1993150

461315016315 2− 12519931508315 2275581575− 2105 242251371575− 4105 2− 275

− 4613150− 12516315 2− 1371575− 275− 4105 2− 5815754225− 2105 2− 19931502758315 2

61331501993150− 137157517273150461315046131506133150− 137157519931501973150− 581575− 581575

19931508315 2− 275461315016315 21251371575− 4105 2275581575− 2105 2− 4225

1371575275− 4105 2461315012516315 21993150− 2758315 2581575− 4225− 2105 2

1973150581575− 58157561331501371575199315017273150− 461315046131506133150− 1993150− 1371575

− 581575− 2105 24225− 1371575− 4105 2− 275− 461315016315 2− 125− 19931508315 2275

5815754225− 210519931502758315 24613150− 12516315 21371575− 275− 4105 2

61331501371575− 199315019731505815755815756133150− 1993150137157517273150− 4613150− 4613150

− 1371575− 4105 2275− 581575− 2105 2− 4225− 19931508315 2− 275− 461315016315 2125

− 1993150− 2758315 2− 581575− 4225− 2105 2− 1371575275− 4105 2− 461315012516315 2

El término de rigidez que toma en cuenta los esfuerzos cortantes generados en el suelo, deacuerdo con la ecuación (6.61), queda determinado como:= 2 ∫ ∫ + [6.66]

= 2 ∫ ∫ + ∫ ∫= 2 + [6.67]

Donde:



=

0 0 0 00 0 00 0 00 0

0 000

y

=

0 0 0 00 0 00 0 00 0

0 000



Por lo tanto, la matriz de rigidez del elemento finito correspondiente a una placa apoyadasobre un medio elástico e isotrópico queda dada por:= + + [6.68]

6.3.4. Cálculo de la rigidez en los bordes4

El suelo circundante a la cimentación producirá fuerzas en los bordes de la losa (figura6.9), estas fuerzas pueden ser reemplazadas por términos de rigidez en los nodos de borde; encada nodo de borde se tendrá dos rigideces: una translacional y una rotacional (figura 6.10).

Figura 6.9 Condiciones de borde en una losa de cimentación

Figura 6.10 Rigidez en el borde de la placa debida a las fuerzas existentes en el contorno

Los términos de rigidez en los bordes son obtenidos a través de la ecuación (6.53), tomando encuenta la energía potencial elástica acumulada en el suelo circundante, la cual está dada por:= ∫ ( , ) + 2 ( , ) + ( , )

[6.69]

Para una placa rectangular de dimensiones 2p por 2l en la dirección x e y, respectivamente, ladistribución de desplazamientos de la superficie del suelo fuera de la losa está dada por lasecuaciones (6.36), (6.37) y (6.38); por ejemplo, para el borde de la losa = la rigidezequivalente se obtiene sustituyendo la ecuación (6.36) en la ecuación (6.69).



= ∫ ( ) + 2 ( ) + 2 ( )En la ecuación anterior, los dos primeros sumandos representan la energía en el suelo debidoal desplazamiento vertical, y el tercer sumando representa la energía debida a la rotación/ en el borde x=p; teniendo esto en cuenta, la energía debida al desplazamiento verticalen el borde de la losa está dada por:( ) = ∫ ( ) + 2 ( )

( ) = ∫ ( ) + 2 ( )[6.70]

Donde es el desplazamiento vertical de la losa en el borde x=p. Desarrollando las

derivadas de la ecuación anterior y evaluando la función en x=p se obtiene la siguienteexpresión. ( ) = + [6.71]

Y sustituyendo el valor de = /2 en la ecuación (6.71), se tiene:( ) = 2 [6.72]

Minimizando la expresión de la energía de deformación, se encuentra que la fuerza en el bordede la losa está dada por:( ) = 2 [6.73]

Para el borde de la losa en y=l se obtiene una expresión análoga a la del caso anterior.( ) = 2 [6.74]

La energía de deformación debida a las rotaciones en el borde de la placa está dada por eltercer sumando de la ecuación (6.69).( ) = ∫ 2 ( , )

( ) = ∫ 2 ( , ) ( ) [6.75]

Integrando la ecuación anterior se tiene:( ) = ( , )[6.76]



Como es sabido, el término / representa el giro en la dirección x, es por ello que laecuación (6.76) puede ser reescrita como:( ) = (Θ ) [6.77]

Y por último, el momento resultante en el borde de la losa de cimentación es encontradominimizando la ecuación (6.77) en función del giro en x (Θ ).( ) = Θ

( ) = Θ [6.77]

Igualmente, para el borde ubicado en y=l se obtiene:( ) = Θ [6.78]

Las fuerzas distribuidas en los bordes pueden ser reemplazadas como fuerzas puntuales en losnodos de borde; una manera muy sencilla de realizar esto es utilizando un segmento igual a lasemisuma de los lados de dos elementos vecinos, como se muestra en la figura 6.10, donde senota que: ´ = ( + ) [6.79]

Por lo tanto, las fuerzas en un nodo ubicado en el borde x=p, producidas por la reacción delsuelo en el borde, están dadas por:= ´ 2= ´ (Θ ) [6.80]

Donde es el desplazamiento vertical del nodo 3 y (Θ ) es el ángulo de giro en x de estenodo. De manera similar se puede encontrar las fuerzas equivalentes en los nodos para elborde y=l. = ´ 2= ´ Θ [6.81]

Donde i expresa el nodo en análisis correspondiente al borde y=l.

Las ecuaciones (6.80) y (6.81) expresan fuerzas y momentos en los bordes de la placa, loscuales están dados en términos de desplazamientos y giros, respectivamente, por lo tanto,



concluimos que los términos ´ 2 , ´ , ´ 2 y ´ deben ser sumados a

la matriz de rigidez global de la estructura en los nodos correspondientes.

6.3.5. Calculo de la rigidez en las esquinas

La energía potencial acumulada en la zona ≤ ≤ ∞ , ≤ ≤ ∞ de una fundaciónelástica está dada por:= ∫ ∫ + 2 ) + [6.82]

Sustituyendo la ecuación 6.38 en la ecuación 6.82 se obtiene:= ∫ ∫ ( ) ( ) + 2 ( ( ) ( )) +( ) ( )) .

Desarrollando las integrales de la expresión anterior, se tiene.= [6.83]

Derivando la ecuación anterior en función del desplazamiento de la esquina , , se obtiene lafuerza generada en la esquina de una losa sobre una fundación elástica.= [6.84]

La fuerza de reacción del suelo sobre las demás esquinas tendrán también el valor de W .

Para obtener los desplazamientos en las esquinas, bastara con sumar el término a la

rigidez translacional correspondiente a los nodos de las esquinas dentro de la matriz de rigidezglobal.




Las deformaciones producidas en la losa de cimentación para cada elemento soncalculadas a partir de las siguientes ecuaciones:

= −(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )

[6.85]

= −(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0

6.86]

= −2

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2

[6.87]



Donde cada subíndice 1, 2, …, 12 representa el número de grado de libertad correspondiente alelemento en coordenadas locales. El desarrollo de las ecuaciones (6.85), (6.86) (6.87) fueexpuesto en el capítulo anterior.

Los esfuerzos dentro de cada elemento son calculados en función de las deformaciones através de la ecuación (6.88)= += += [6.88]

6.5. CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN LALOSA DE CIMENTACIÓN

Los momentos producidos en la losa de cimentación son calculados a través de lasecuaciones siguientes:= ( ) + [6.89]

= ( )

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )+

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0= ( ) + [6.90]



= ( )

(6 − 6 )(−2 + 2 + 6 − 6 )0(6 + 6 )(−2 − 2 + 6 + 6 )0(−6 − 6 )(2 + 2 + 6 + 6 )0(−6 + 6 )(2 − 2 + 6 − 6 )0+

(6 − 6 )0(2 − 6 − 2 + 6 )(−6 + 6 )0(−2 − 6 + 2 + 6 )(−6 − 6 )0(−2 − 6 − 2 − 6 )(6 + 6 )0(2 − 6 + 2 − 6 )= ( ) ( )[6.91]

= ( ) ( )

4 − 3 2 − 3 2(1 + 2 − 3 2)−1 − 2 + 3 2−4 + 3 2 + 3 2(−1 − 2 + 3 2)−1 + 2 + 3 24 − 3 2 − 3 2(−1 + 2 + 3 2)1 − 2 − 3 2−4 + 3 2 + 3 2(1 − 2 − 3 2)1 + 2 − 3 2Mientras que las fuerzas cortantes en la losa son obtenidas con las siguientes ecuaciones,dadas por Straughan (1990).= − ( ) + + 2 [6.92]= − ( ) + + 2 ( )= − ( ) + + 2= − ( ) + + 2 ( ) [6.93]



Referencias

1 V.Z. Vlasov and N.N. Leont’ev, Beams, Plates and Shell on Elastic Foundations, Translate from Russian,Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, pp. 30-40, 1966,

2 Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Editorial Board, Toronto, pp. 74-87, 1952,3 William Thomas Straughan, Analysis of plates on elastic foundations, presentación para la graduación en la

Universidad Tecnológica de Texas, realización parcial de los requerimientos para el grado de Doctor enFilosofía, Texas, pp. 22-29, 1990.

4 Ayse Turhan, A consistent Vlasov model for analysis of plates on elastic foundations using the finite elementmethod, presentación para la graduación en la Universidad Tecnológica de Texas, realización parcial de losrequerimientos para el grado de Doctor en Filosofía, Texas, pp. 50 - 57, 1992.


CAPÍTULO

7PROGRAMACIÓN, ANÁLISIS DERESULTADOS Y COMPARACIÓN DEAMBOS MODELOS

Uno de los objetivos de la presente tesis es demostrar la gran utilidad del método deelementos finitos en el análisis de estructuras, en este caso losas de cimentación; como sepuede observar el análisis de losas de cimentación a través de métodos analíticos resultaríacomplicado o imposible en la mayoría de casos prácticos, debido a las condiciones de cargassobre las losas o a la geometría de las mismas, es por ello que se hace necesaria la utilizaciónde métodos numéricos que permitan resolver el problema de una manera aproximada.

El método de elementos finitos es un método numérico que ha dado buenos resultados, no solopor la buena aproximación a la solución exacta, sino también por su fácil implementación enprogramas informáticos. La sistematización de este método a través de un ordenador permitedar una respuesta rápida, lo cual conlleva a realizar un diseño apropiado en un corto tiempo.

Para la realización de ejemplos de análisis de losas de cimentación, tanto para el modelo deWinkler y el modelo de Vlasov, se utilizó el programa Mathcad, que consiste en una hoja decálculo que permite realizar una programación rápida y sencilla debido a su interface; una delas grandes ventajas de Mathcad es que permite ver en la misma hoja de cálculo laprogramación ejecutada, las operaciones realizadas y los resultados buscados, demostrando ser

- 211 - Cap7 – Programación, Análisis de resultados y comparación de ambas metodologías


una herramienta muy útil para observar de manera global el proceso de cálculo de unaestructura a través del método de elementos finitos (MEF); otra de las ventajas de esteprograma es la fácil implementación de gráficos en dos o tres dimensiones que permitevisualizar de una mejor manera los resultados obtenidos.

7.1. DESCRIPCIÓN DE LA PROGRAMACIÓN EJECUTADA EN MATHCAD

La presente rutina se desarrolló utilizando las operaciones matriciales presentes enMathcad, tomando en cuenta la formulación del método de elementos finitos desarrollada parael caso de losas de cimentación, tanto para el modelo de Winkler (Capitulo 4) como para elmodelo de Vlasov (Capitulo 6), en ambos casos se utilizó para la discretización el elementoMZC de cuatro nodos y doce grados de libertad desarrollado por Melosh Zienkiewicz yCheung, correspondiente a placas delgadas sometidas a cargas perpendiculares a suplano(Teoría de Kirchhoff).

El presente programa permite analizar losas de formas arbitrarias, siempre y cuando lasgeometrías de éstas puedan ser aproximadas a través de rectángulos; los tipos de cargas quepueden ser implementados en el presente programa son las cargas repartidas uniformementesobre cada elemento, fuerzas puntuales, momentos puntuales y fuerzas de cuerpo (pesopropio); cabe resaltar que la versatilidad del presente programa está muy lejos de losprogramas de uso comercial, debido a las grandes limitaciones que presenta, ya que el objetivode su implementación es mostrar la programación para el análisis estructural de losas decimentación a través del método de elementos finitos y brindar al estudiante de pregradoejemplos, los cuales pueden ser fácilmente interpretados. La presente rutina no abarca el casode losas combinadas con vigas, aunque su implementación puede ser realizada por el lectorcomo un ejercicio que reforzara sus conocimientos en el MEF.

7.1.1. Fase de entrada

La fase de entrada para un programa simple de elementos finitos constara de lassiguientes operaciones:

Secuencia inicial: el programa lee los parámetros iniciales, en este caso, las propiedades dedeformación de los elementos involucrados: la resistencia a la compresión del concreto de lalosa, el módulo de Poisson de la losa y el espesor de la misma, además, los parámetros delsuelo tales como su módulo de elasticidad, módulo de Poisson y la razón de decrecimiento dedesplazamientos a través del estrato de suelo (γ), y para el caso del modelo de Winkler elmódulo de balasto.

Entrada de coordenadas nodales: las coordenadas de los nodos proporcionarán las posicionesde los nodos en la estructura, así como también, permitirán realizar la conectividad entreelementos.



Entrada de restricciones en los nodos: estas restricciones pueden darse en losdesplazamientos y en los giros nodales; un ejemplo de restricciones en los giros en una losa decimentación puede darse en el caso de una placa estructural ubicada sobre la losa decimentación, ya que la gran rigidez de la placa vertical restringirá los giros a lo largo de labase de la placa; en cuanto a la restricción en los desplazamientos, el programa realizadotambién permite analizar losas bidireccionales de entrepiso, esto se logra haciendo nulos losparámetros del suelo ( = = = 0).

Conectividad: la conectividad permitirá conocer cuáles son los nodos en común entreelementos, lo cual determinará totalmente la ubicación de los elementos dentro de la estructuray su interacción con los demás elementos.

Entrada de cargas externas: el programa desarrollado toma en cuenta las fuerzas de cuerpo(peso propio), cargas distribuidas sobre los elementos, cargas puntuales y momentos flectoresque actúan en los nodos de la losa de cimentación.

7.1.2. Procesamiento de datos

En esta parte se resolverán las ecuaciones correspondientes al problema de losas decimentación, planteadas a través del método de elementos finitos, utilizando tanto el modelode Winkler como el modelo de Vlasov modificado.

Como primer paso se calculan las dimensiones de los elementos rectangulares, y luego, conestos valores es posible calcular las matrices de rigidez de los elementos; para el caso delmodelo de Winkler la matriz de rigidez de cada elemento constara de la suma de dos matrices,una matriz que representa el aporte de rigidez de la losa y otra correspondiente a la rigidezvertical del suelo dada por el módulo de balasto (ecuación 7.1); para el modelo de Vlasovmodificado, la matriz de rigidez de cada elemento estará dada por tres sumandos, unocorrespondiente a la rigidez aportada por la losa, otro sumando que considera el aporte de larigidez vertical del suelo y un tercero dado por la resistencia del suelo a los esfuerzos cortantes(ecuación 7.2).

- Matriz de rigidez de un elemento “i” basado en el modelo de Winkler.[ ] = [ ] + [ ] [7.1]

- Matriz de rigidez de un elemento “i” basado en el modelo de Vlasov modificado..[ ] = [ ] + [ ] + [ ] [7.2]

Luego de calculadas las matrices de rigidez de cada elemento será necesario ensamblar lamatriz global de la estructura, lo cual debe de hacerse de manera ordenada, colocando primerolos GDL libres y luego los GDL restringidos; este último paso permitirá subdividir la matrizglobal de la siguiente manera:



= [ ] [ ][ ] [ ] [7.3]

Donde:= Código de grado de libertad no restringido= Código de grado de libertad restringido

Para el modelo de Winkler, la matriz de rigidez global del sistema será la definida en el pasoanterior, mientras que para el modelo de Vlasov modificado deberá aumentarse a los bordes ya las esquinas los términos correspondientes al suelo circundante, lo cual es sumado a losgrados de libertad correspondientes (ver capítulo 6).

Una vez definida la matriz de rigidez global del sistema, el siguiente paso es calcular el vectorde fuerzas en coordenadas globales, el cual tendrá que estar ordenado colocando primero lasfuerzas correspondientes a los GDL libres (acciones) y luego las fuerzas aplicadas en los GDLrestringidos (reacciones).{ } = { }{ } [7.4]

Donde:= Sub-vector de fuerzas aplicadas en los GDL no restringidos= Sub vector de fuerzas aplicadas en los GDL restringidos

Los desplazamientos globales de todo el sistema son calculados a través de la siguientecondición de equilibrio.{Δ} = [ ] [ ] [7.5]

Para facilitar los cálculos, la ecuación anterior puede ser separada en dos operacionesmatriciales. {Δ } = [ ] ({F } − [ ]{Δ }) [7.6]{ } = [ ]{Δ } + [ ]{Δ } [7.7]

Donde:Δ = Vector global de desplazamientosΔ = Vector de desplazamientos ocurridos en los GDL restringidos (desp. iniciales)Δ = Vector de desplazamientos ocurridos en los GDL libres.

En los problemas presentados en este capítulo no se considerarán asentamientos iniciales,({Δ } = {0}), por lo tanto, las ecuaciones anteriores quedan reducidas a:{Δ } = [ ] {F } [7.8]{ } = [ ]{Δ } [7.9]



Los desplazamientos globales para cada elemento son obtenidos de la matriz dedesplazamientos de todo el sistema, estos desplazamientos deberán ser luego transformados acoordenadas locales para hallar las fuerzas internas generadas en cada elemento. El algoritmoque desarrolla las operaciones anteriores es visto con mayor detalle en el anexo 7.A quecorresponde al modelo de Winkler, mientras que el algoritmo correspondiente al modelo deVlasov modificado se muestra en el anexo 7.B.

7.1.3. Fase de salida

Los resultados obtenidos a través de los algoritmos son mostrados mediante gráficas yvalores nodales, tanto para toda la estructura como para algún elemento en particular. En losejemplos desarrollados en este capítulo se muestran los siguientes resultados

• Desplazamientos verticales y giros ( , , ).

• Deformaciones ( , , ).

• Esfuerzos ( , , ).

• Momentos flectores y torsores ( , , ).

• Fuerzas cortantes en las direcciones x e y ( , )

• Presiones de contacto ( ).

7.2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE WINKLER

7.2.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente.

Para este primer ejemplo se considera una losa de cimentación de 12m de largo por10m de ancho y con un espesor de 30cm; la losa es de concreto con una resistencia a lacompresión igual a 210 / y un módulo de Poisson igual a 0.17, el módulo deelasticidad del concreto es obtenido a través de la formulación dada en el reglamento nacionalde edificaciones1 (norma E-070).= 15000 ´ [7.10]

Donde:= Módulo de elasticidad del concreto (kg/cm2)´ = Resistencia a la compresión del concreto (kg/cm2)

En cuanto a las propiedades de deformación del suelo, se utilizará los datos brindados en latabla 7.1, suponiendo que el suelo es una arcilla suave con un módulo de elasticidad igual a1280 tn/m2 y una relación de Poisson igual a 0.35.



Tabla 7.1 Parámetros de deformación para diferentes tipos de suelo (Braja M. Das 2001)

El módulo de balasto debería ser obtenido a través de un ensayo de placa de carga y luegohacer las correcciones respectivas, pero para los presentes ejemplos se utilizará la ecuacióndada por Klepicov (ecuación 7.11) para obtener el valor de en función de los parámetros dedeformación del suelo.= / ( ) [7.11]

Donde:= Módulo de elasticidad del suelo= Módulo de Poisson de suelo= Área de la base de cimentación= Coeficiente de forma de la cimentación (tabla 7.2)= Largo de la cimentación= Ancho de la cimentación

L/b 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0ω 0,88 0,87 0,86 0,83 0,80 0,77 0,74 0,73 0,71 0,69 0,67

Tabla 7.2 Valores de en función de L/b para la fórmula de Klepicov

Asumiendo un valor de = 0.876 se obtiene un valor para el módulo de balasto igual a= 152 / ; cabe resaltar de nuevo que este procedimiento solo se ha adoptado con lafinalidad de obtener un valor de módulo de balasto que permitirá realizar comparaciones entreel modelo de Winkler y el modelo planteado por Vlasov, ya que para el caso de un proyecto decimentación se deberá obtener el módulo de balasto a través del ensayo de placa de carga.

La losa está apoyada sobre el suelo, el cual es idealizado a través de las hipótesis de Winkler,y está sometida a una carga uniformemente distribuida de 4 / (figura 7.1).

Lb/pulg2 MN/m2Arena suelta 15000 - 4000 10.35 - 24.15 0.20 - 0.40

Arena densa media 2500 - 4000 17.25 - 27.60 0.25 - 0.40Arena densa 5000 - 8000 34.50 - 55.20 0.30 - 0.45Arena limosa 1500 - 2500 10.35 - 17.25 0.20 - 0.40

Arena y grava 10000 - 25000 69.00 - 172.50 0.15 - 0.35Arcilla suave 600 - 3000 4.10 - 20.70Arcilla media 3000 - 6000 10.70 - 41.40 0.20 - 0.50Arcilla Firme 6000 - 14000 41.40 - 96.60

Modulo de Elasticidad Es Relación de PoissonTipo de suelo



Figura 7.1 Losa de concreto sometida a una carga uniformemente distribuida

Para este ejemplo se adoptó una malla de 10 x 10 elementos, teniendo en total 121 nodos y100 elementos, la numeración tanto de nodos y elementos se muestra en la figura 7.2 a y 7.2b,respectivamente.

a) b)Figura 7.2 Discretización de la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 1 a) Numeración de nodos b)

Numeración de elementos.

Tomando en cuenta los datos anteriores, se obtuvo desplazamientos verticales constantes(figura 7.3), como era de esperar, ya que el modelo de Winkler idealiza al suelo como unconjunto independiente de resortes.

Figura 7.3 Desplazamientos verticales producidos en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo1(Modelo de Winkler)



Al mantenerse los desplazamientos constantes, los giros en x e y tomaran valores nulos en todala losa, lo cual es mostrado en el programa; por lo tanto, las deformaciones, esfuerzos,momentos flectores y fuerzas cortantes resultaran nulas en la losa, lo cual según la teoría de laelasticidad es erróneo para el caso de losas flexibles.

El desplazamiento constante ocurrido en la cimentación es igual a:= 0.026Y la presión entre el suelo y la cimentación también tendrá un valor constante e igual a:= 4 /Que tiene el mismo valor que la carga repartida en la cimentación. La finalidad de esteejemplo fue demostrar una de las desventajas del modelo de Winkler, ya que cuando actúancargas uniformemente distribuidas sobre toda la cimentación, las fuerzas internas resultannulas.

7.2.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual

En este ejemplo se analizará una losa de cimentación de 2m x2m con un espesor de0.30 cm; la losa está constituida por concreto con una resistencia a la compresión de 210kg/cm2; en cuanto al módulo de balasto, su valor es calculado a través de la ecuación (7.11)considerando =1280 tn/m2 y = 0.35. La losa está sometida a la acción de una cargapuntual de 12 tn (figura7.4) que actúa en el punto medio de la losa, los valores de entrada sonmostrados en la siguiente tabla.

Tabla 7.3 Datos de entrada para el ejemplo 2 basado en las hipótesis de Winkler

Resistencia a la compresión 210 kg/cm2Modulo de elasticidad 2173707 tn/m2Modulo de Poisson 0.17Largo 2 mAncho 2 mEspesor 0.3 m

Propiedades del suelo Modulo de Balasto 828.8 tn/m3

Numero de nodos 121Numero de elementos 100

Propiedades de la losa

Discretización



Figura 7.4 Losa de concreto sometida a una carga puntual de 12tn aplicada en el punto medio

Para la discretización de la losa, se consideró 100 elementos con 121 nodos, cuyo orden semuestra en la figura 7.5.



La grafica de los desplazamientos verticales se muestra en la figura 7.6; se puede apreciar eneste grafico que el desplazamiento máximo se encuentra en el punto medio de la losa y tieneun valor de 3.69 mm, mientras que los desplazamientos mínimos tienen un valor de 3.55 mm yse dan en las esquinas.

Figura 7.6 Desplazamientos verticales en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 2 (carga puntual)



Los diagramas de giros tanto en X (θx) y en Y (θy) se muestran en la figura 7.7a y 7.7b,respectivamente; para un mayor detalle en los giros nodales puede consultarse el anexo 7.Cdonde se muestran los giros en los nodos analizados.

a) b)Figura 7.7 Diagramas de giros a) giros b) giros

Los diagramas de deformaciones, esfuerzos, momentos flectores, fuerzas de corte y ladistribución de presiones de contacto son mostrados en las figuras siguientes, y los valoresnodales para la construcción de las gráficas se muestran en el anexo 7.C.

a) b) c)Figura 7.8 Diagramas de deformaciones a) deformaciones longitudinales b) deformaciones longitudinales

c) deformaciones cortantes



a) b) c)Figura 7.9 Diagramas de esfuerzos a) esfuerzos longitudinales b) esfuerzos longitudinales c) esfuerzos

cortantes

a) b) c)Figura 7.10 Diagramas de momentos a) momentos flectores b) momentos flectores c) momentos

torsores

a) b)Figura 7.11 Diagramas de fuerzas de corte a) fuerzas cortantes b) fuerzas cortantes



Figura 7.12 Diagrama de presiones de contacto entre el suelo y la losa

Los valores máximos y mínimos de las gráficas anteriores son mostrados en la tabla 7.4.

Tabla 7.4 Valores máximos y mínimos de los resultados correspondientes al ejemplo 2 desarrollado por elmodelo de Winkler

7.2.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas

En este ejemplo se considera una losa de concreto de 20m x 20m con un espesor de0.80m sometida a un conjunto de cargas puntuales y a una carga distribuida de 2 tn/m2, talcomo se muestra en la figura 7.13; los datos de entrada para la solución de este problema sonmostrados en la tabla 7.5, mientras que la numeración de nodos y elementos se muestra en lafigura 7.14.

Figura 7.13 Losa de concreto sometida a un conjunto de cargas puntuales y a una carga uniformementedistribuida

w θx θy σx σy τxy Mxx Myy Mxy Qx Qy p

(m) (rad) (rad) (tn/m/m) (tn/m/m) (tn/m/m) (tn/m) (tn/m) (tn/m2)

Máx. -3.55E-03 1.01E-04 1.01E-04 1.75E+00 1.75E+00 2.59E+01 3.91E+00 3.91E+00 3.88E-01 1.33E+01 1.33E+01 3.05E+00

Mín. -3.69E-03 -1.01E-04 -1.01E-04 -2.61E+02 -2.61E+02 -2.59E+01 -2.60E-02 -2.60E-02 -3.88E-01 -1.33E+01 -1.33E+01 2.94E+00

Valor



Tabla 7.5 Datos de entrada para el ejemplo 3 basado en las hipótesis de Winkler



Los diagramas de desplazamientos verticales, giros, deformaciones, esfuerzos, momentos,fuerzas de corte y distribución de presiones de contacto se muestran en las siguientes gráficas,mientras que los valores máximos y mínimos de estas cantidades son mostrados en la tabla7.6. Para un mayor detalle de las cantidades nodales puede consultarse el anexo 7.C.

Figura 7.15 Desplazamientos verticales en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 3 (cargaspuntuales y distribuida)

Resistencia a la compresión 210 kg/cm2Modulo de elasticidad 2173707 tn/m2Modulo de Poisson 0.17largo 20 mAncho 20 mEspesor 0.8 m

Propiedades del suelo Modulo de Balasto 207.2 tn/m3



Discretización







cortantes


torsores





Tabla 7.6 Valores máximos y mínimos de los resultados correspondientes al ejemplo 3 desarrollado por elmodelo de Winkler.

7.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN UTILIZANDO EL MODELO DE VLASOVMODIFICADO

7.3.1. Ejemplo 1: losa de cimentación cargada uniformemente.

Para este ejemplo se considera una losa de cimentación de dimensiones 12m x 10m conun espesor de 0.30m; se asume que la losa es de concreto con una resistencia a la compresiónde 210 / y está sometida a una carga uniformemente distribuida de 4 / (figura7.1).

Para el presente ejemplo se asumirá un suelo arcilloso blando, cuyo módulo de elasticidad esigual a 1280 tn/m2 y módulo de Poisson de 0.35, estos valores fueron extraídos de la tabla 7.1.Un resumen de los datos de entrada se muestra en la tabla 7.7.



Máx. -1.78E-02 2.01E-03 2.01E-03 3.52E+02 3.52E+02 1.27E+02 1.18E+01 1.18E+01 1.36E+01 2.15E+01 2.15E+01 7.90E+00

Mín. -3.81E-02 -2.01E-03 -2.01E-03 -1.11E+02 -1.11E+02 -1.27E+02 -3.75E+01 -3.75E+01 -1.36E+01 -2.15E+01 -2.15E+01 3.69E+00

Valor



Tabla 7.7 Datos de entrada para el ejemplo 1 basado en la metodología de Vlasov

La numeración de nodos y elementos es la misma que la utilizada en el primer ejemplodesarrollado mediante las hipótesis de Winkler y se muestra en la figura 7.2.

A continuación se muestran las graficas obtenidas para los desplazamientos verticales, giros,deformaciones, esfuerzos, momentos flectores, fuerzas de corte y presiones de contacto;asimismo, los resultados nodales se muestran el anexo 7.C.

Figura 7.22 Desplazamientos verticales en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 1basado en elmodelo de Vlasov (carga uniformemente distribuida)


Resistencia a la compresión 210 kg/cm2Modulo de elasticidad 2173707 tn/m2Modulo de Poisson 0.17largo 12 mancho 10 mespesor 0.3 m

Modulo de Elasticidad 1280 tn/m3Modulo de Poisson 0.35decremento de des. Vertical 1.0278altura del estrato 10 m



Discretización

Propiedades del suelo



a) ´ b) c)Figura 7.24 Diagramas de deformaciones a) deformaciones longitudinales b) deformaciones longitudinales



cortantes


torsores





Los valores máximos y mínimos de las gráficas anteriores se muestran en forma resumida enla tabla 7.8.

Tabla 7.8 Valores máximos y mínimos de los resultados correspondientes al ejemplo 1 desarrollado por elmodelo de Vlasov.

7.3.2. Ejemplo 2: losa de cimentación sometida a una carga puntual

Para el siguiente ejemplo se considera la losa de concreto mostrada en la figura 7.4 de0.30m de espesor y sometida a una carga puntual de 12tn aplicada en el centro de la losa. Losdatos de entrada para este problema se muestran en la tabla 7.9.

Tabla 7.9 Datos de entrada para el ejemplo 2 basado en las hipótesis de Vlasov

Las gráficas obtenidas a través del método de elementos finitos se muestran a continuación, ylos valores nodales correspondientes a este ejemplo se muestran en el anexo 7.C.



Máx. -5.39E-03 1.84E-03 1.77E-03 6.90E-02 7.91E-01 6.73E+01 2.21E+00 2.48E+00 1.01E+00 5.66E+00 6.14E+00 1.98E+01

Mín. -1.50E-02 -1.84E-03 -1.77E-03 -1.47E+02 -1.65E+02 -6.73E+01 -1.04E-03 -1.20E-02 -1.01E+00 -5.66E+00 -6.14E+00 2.61E+00

Valor

Resistencia a la compresión 210 kg/cm2Modulo de elasticidad 2173707 tn/m2Modulo de Poisson 0.17largo 2 mAncho 2 mEspesor 0.3 m

Modulo de Elasticidad 1280 tn/m3Modulo de Poisson 0.35Decremento de des. Vertical 1.848Altura del estrato 10 m




Discretización



Figura 7.29 Desplazamientos verticales en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 2 (carga puntual)





cortantes




torsores



Los valores máximos y mínimos de las gráficas anteriores son mostrados en la siguiente tabla.

Tabla 7.10 Valores máximos y mínimos de los resultados correspondientes al ejemplo 2 desarrollado por elmodelo de Vlasov.



Máx. -1.46E-03 1.82E-04 1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 2.51E+01 4.57E+00 4.57E+00 3.76E-01 1.36E+01 1.36E+01 1.21E+02

Mín. -1.71E-03 -1.82E-04 -1.82E-04 -3.05E+02 -3.05E+02 -2.51E+01 -1.03E-01 -1.03E-01 -3.76E-01 -1.36E+01 -1.36E+01 5.14E-01

Valor



7.3.3. Ejemplo 3: losa de cimentación sometida a cargas puntuales y distribuidas

En este tercer ejemplo se considera la losa de cimentación mostrada en la figura 7.13,la cual tiene un espesor de 0.80m; los datos correspondientes a la losa y al suelo se muestranen la tabla 7.11.

Tabla 7.11 Datos de entrada para el ejemplo 3 basado en las hipótesis de Vlasov

Las gráficas resultantes a través del método de elementos finitos son mostradas acontinuación, y los valores máximos y mínimos correspondientes a estas gráficas sonmostrados en la tabla 7.12.

Figura 7.36 Desplazamientos verticales en la losa de cimentación correspondiente al ejemplo 3 desarrollado apartir del modelo de Vlasov (cargas puntuales y distribuidas)


Resistencia a la compresión 210 kg/cm2Modulo de elasticidad 2173707 tn/m2Modulo de Poisson 0.17Largo 20 mAncho 20 mEspesor 0.8 m

Modulo de Elasticidad 1280 tn/m3Modulo de Poisson 0.35Decremento de des. Vertical 0.8206Altura del estrato 10 m


Discretización








cortantes


torsores




Figura 7.42 diagrama de presiones de contacto entre el suelo y la losa

Tabla 7.12 Valores máximos y mínimos de los resultados correspondientes al ejemplo 3 desarrollado por elmodelo de Vlasov

7.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS POR AMBOS MODELOS

Tanto el modelo de Vlasov como el modelo de Winkler son modelos muysimplificados para describir el comportamiento del suelo cuando sobre éste se asientanestructuras a través de sus cimentaciones. Como se dijo en capítulos anteriores, el modelo deWinkler idealiza al suelo como un conjunto de resortes biarticulados actuandoindependientemente, mientras que el modelo de Vlasov se basa en la teoría de la elasticidad yconsidera al suelo como un medio homogéneo y linealmente elástico, es por ello que unacomparación con valores obtenidos a través de métodos rigurosos de la teoría de la elasticidadresulta obligatoria.

También como es lógico, el presente trabajo debe de ser confrontado con investigacionesanteriores para validar los resultados obtenidos a través del MEF. Straughan en 1990 utilizo elmétodo de diferencias finitas para resolver problemas planteados a través del modelo deVlasov, es por ello que se utilizará los resultados obtenidos de la investigación realizada porStraughan para confrontarlos con los valores obtenidos en la presente tesis.

Por último, también resulta conveniente confrontar resultados obtenidos por el modelo deWinkler y el modelo de Vlasov para diversos tipos de carga. Las comparaciones descritas sondesarrolladas en los párrafos siguientes.



Máx. -1.55E-02 2.42E-04 2.42E-04 1.44E+02 1.44E+02 1.08E+02 3.20E+01 3.20E+01 1.15E+01 1.47E+01 1.47E+01 2.09E+01


Valor



7.4.1. Comparación de ambas metodologías con la teoría de la elasticidad

a) Comparación de desplazamientos verticales

El problema de interacción suelo estructura es muy complicado, ya que no solodepende de las propiedades del suelo, sino también de la rigidez de la cimentación, ladistribución de cargas, entre otros. Como casos extremos podemos considerar una zapataperfectamente flexible y una zapata muy rígida en comparación con el suelo, ambas sometidasa una carga distribuida uniformemente, en el primer caso la configuración de desplazamientostendrá la forma mostrada en la figura 7.43b (mayor asentamiento en la zona central); para elcaso de la zapata rígida, ésta se asentará como un sólido rígido (figura 7.43a).

a) b)Figura 7.43 Desplazamientos de una zapata corrida de acuerdo con la teoría de la elasticidad a) Zapata rígida.

b) Zapata flexible

El modelo de Winkler presenta en esta parte una gran deficiencia, debido que para el caso deuna cimentación flexible sometida a una carga uniformemente repartida, los desplazamientosverticales resultaran constantes para toda la cimentación, lo cual está en desacuerdo con lateoría de la elasticidad y con el comportamiento real de suelos cohesivos. Por otro lado, elmodelo de Vlasov presenta una configuración de desplazamientos verticales muy similar a lapresentada por la teoría de la elasticidad para el caso de una zapata flexible sometida a unacarga uniformemente distribuida (Figura 7.44).

Figura 7.44 Desplazamientos verticales correspondientes a una cimentación flexible sometida a una cargauniformemente distribuida, obtenidos a través del modelo de Vlasov.

El principal parámetro de comparación de los modelos de Vlasov y Winkler con los resultadosobtenidos a través de la teoría de la elasticidad son los desplazamientos verticales ocurridos en



la superficie del suelo, para ello es necesario recordar algunas formulaciones tratadas en elcapítulo 1 del presente documento.

Según Steinbrenner (1934) para el caso de = 0, = ∞ y considerando una cimentación

perfectamente flexible, el asentamiento del suelo es:

• Para la esquina de una cimentación flexible= (1 − ) [7.12]

• Para el centro de una cimentación flexible= (1 − ) [7.13]

Donde:

= ln + ln [7.14]

= /= Ancho de la cimentación= Longitud de la cimentación= Asentamiento elástico= Carga uniformemente distribuida sobre la cimentación= Módulo de elasticidad del suelo= Espesor del estrato de suelo= Relación de Poisson del suelo

Para un estrato de suelo con espesor finito ( < ∞), se tiene:

• Esquina de la cimentación flexible= (1 − ) [7.15]

• Centro de la cimentación flexible= (1 − )[(1 − ) + (1 − − 2 ) ] [7.16]

Los valores de son obtenidos a través de las figuras 7.45 y 7.46.





Para una cimentación rígida el desplazamiento producido por la acción de la carga es:= (1 − ) [7.17]

Donde el valor de se obtiene a partir de la figura 7.47.



Figura 7.47 Valores de para la ecuación 7.17

Para comparar las metodologías tratadas, con la teoría de la elasticidad, se consideran doscimentaciones perfectamente flexibles, una de forma cuadrada (L/B=1) y otra de formarectangular (L/B=2) sometidas a la acción de una carga uniformemente distribuida, q; es fácilnotar que si para el caso de carga uniformemente distribuida utilizamos el modelo de Winkler,los desplazamientos serán constantes en toda la cimentación y se nota también, que estedesplazamiento vertical será igual a q/ks , es aquí donde se muestra una de las grandesdesventajas de este modelo, ya que el módulo de balasto no tiene un valor único y los valoresobtenidos tienen una gran dispersión, por lo cual existen problemas para determinar losdesplazamientos a través de este modelo.

Por otro lado, si se utiliza el modelo de Vlasov modificado, la distribución de desplazamientosadquiere una forma de plato, similar a la descrita por la teoría de la elasticidad. Para apreciarde manera clara las discrepancias entre los desplazamientos obtenidos a través de modelo deVlasov modificado y la teoría de la elasticidad (ecuaciones 7.15 y 7.16) se muestran lossiguientes gráficos, donde las abscisas representan la relación entre la altura del estrato desuelo y el ancho de la cimentación mientras que el eje de las ordenadas está dado por eldesplazamiento de la cimentación multiplicado por / .

• Desplazamientos en la esquina para una Zapata cuadrada (L/B=1) perfectamenteflexible para valores H/B diferentes.



Figura 7.48 Comparación entre los desplazamientos obtenidos en la esquina de una cimentación flexible ycuadrada (L/B=1) por el modelo de Vlasov modificado y la teoría de la elasticidad para distintos valores del

módulo de Poisson del suelo

• Desplazamientos en el centro de una Zapata cuadrada (L/B=1) perfectamente flexiblepara valores H/B diferentes.

Figura 7.49 Comparación entre los desplazamientos obtenidos en el centro de una cimentación flexible ycuadrada (L/B=1) por el modelo de Vlasov modificado y la teoría de la elasticidad para distintos valores del

módulo de Poisson del suelo



• Desplazamientos en la esquina para una Zapata rectangular (L/B=2) perfectamenteflexible para valores H/B diferentes.

Figura 7.50 Comparación entre los desplazamientos obtenidos en la esquina de una cimentación flexible yrectangular (L/B=2) por el modelo de Vlasov modificado y la teoría de la elasticidad

• Desplazamientos en el centro de una Zapata rectangular (L/B=2) perfectamente flexiblepara valores H/B diferentes.

Figura 7.51 Comparación entre los desplazamientos obtenidos en el centro de una cimentación flexible yrectangular (L/B=2) por el modelo de Vlasov modificado y la teoría de la elasticidad



Como primera observación se ve que en las esquinas el desplazamiento obtenido por la teoríade la elasticidad resulta ser mayor que el obtenido por el modelo de Vlasov modificado,teniendo una mejor aproximación cuando el módulo de Poisson tiene un valor medio ( =0.35), en cambio, al analizar los desplazamientos en el punto medio de la cimentación, se notaque los valores comparados se asemejan cuando el módulo de Poisson se acerca al valorextremo de 0.5 (suelo incompresible).

Otra observación importante es que cuando la relación entre la altura del estrato y el ancho dela cimentación (H/B) es mayor a 4, los desplazamientos obtenidos a través del modelo deVlasov modificado se mantienen constantes, mientras que los valores obtenidos por la teoríade la elasticidad siguen elevándose de forma leve cuando sobrepasan este valor.

En líneas generales se puede decir que los desplazamientos obtenidos por el modelo de VlasovModificado dan resultados aceptables cuando son comparados con la teoría de la elasticidad,lo cual le da una gran ventaja en comparación con el modelo de Winkler.

Para el caso de una zapata infinitamente rígida ubicada sobre un medio semi-infinito ylinealmente elástico, los resultados obtenidos para diferentes relaciones de largo/ancho de unacimentación son mostrados en el siguiente gráfico.

Figura 7.52 comparación entre los desplazamientos obtenidos en una cimentación infinitamente rígida por elmodelo de Vlasov modificado y la teoría de la elasticidad

En la figura anterior se nota la gran diferencia entre el análisis realizado por la teoría de laelasticidad (ecuación 7.17) y el realizado por el modelo de Vlasov modificado. Puede verseque el desplazamiento descrito por Vlasov varía de 1/2 a 1/3 del desplazamiento descrito porla teoría de la elasticidad, lo cual muestra una diferencia considerable entre las dos formas deanálisis para el caso de zapatas rígidas.

b) Comparación de presiones de contacto

Los resultados brindados por varios autores demuestran que la distribución de presiones decontacto en un suelo granular tiene una forma parabólica con concavidad hacia arriba (figura7.53), mientras que para el caso de un suelo cohesivos, la distribución de presiones adquiereuna forma parabólica con la concavidad hacia abajo (figura 7.54.a), lo cual se asemeja muchoa la distribución de presiones obtenida a través de la teoría de la elasticidad.



Figura 7.53 distribución de la presión de contacto para un suelo granular

a) b)Figura 7.54 distribución de la presión de contacto según la teoría de la elasticidad lineal a) fuerza centrada)

fuerza excéntrica

El problema de la distribución de presiones para una zapata corrida fue resuelto porBoussinesq2 (1985) a través de la teoría de la elasticidad para una carga de valor P aplicada enel punto medio, y por Egorov (1938), para el caso de una carga excéntrica. La distribución depresiones, según la teoría de la elasticidad, bajo una cimentación corrida está dada por lasiguiente función.= [7.18]

Donde:= Semiancho de la cimentación= Excentricidad de la carga

La figura 7.54 muestra la distribución de presiones de contacto para el caso de una cargapuntual centrada y una carga puntual con excentricidad ,e; para el caso de una carga centradala presión resulta ser infinita en los bordes y tiene un valor mínimo en el centro igual a:= [7.19]

Para la carga excéntrica, el esfuerzo máximo ocurre en el lado de la aplicación de la carga y elmínimo valor en el lado no cargado, también se puede ver que se presentará un valor nulo enla esquina de la cimentación cuando la excentricidad adquiera un valor de = /2 (figura7.54 b)



La distribución de presiones descrita por la teoría de la elasticidad difiere de las presionesreales observadas en suelos, teniendo un parecido con las presiones de contacto obtenidas parasuelos cohesivos; esta distribución es mostrada con un trazo discontinuo en la figura 7.54 a.

Para el caso de una zapata rígida rectangular, Gorbunov-Passadov (1965) resolvió el problemade contacto entre la zapata y un medio semi-infinito homogéneo y linealmente elástico,obteniendo la siguiente función de distribución:= [7.20]

De acuerdo a esta formulación, las presiones crecen infinitamente en los bordes, mientras queel valor mínimo se encuentra en el centro de la zapata y toma el valor de= 0.405 [7.21]

Donde:= Semilongitudes de los lados de la zapata= Esfuerzo promedio igual a P/4ab

Para el caso general de una cimentación rectangular rígida, C. Yanqui (1997) obtuvo ladistribución de presiones de contacto cuando la zapata es sometida a una carga puntualaplicada en cualquier punto de la cimentación.= [7.22]

La distribución de presiones obtenida por el modelo de Winkler correspondiente a una zapatarígida sometida a una carga céntrica resulta ser uniforme debido a la proporcionalidad entre laspresiones de contacto y los desplazamientos (desplazamiento de solido rígido), así mismo parael caso de una zapata muy flexible sometida a una carga uniformemente distribuida laspresiones de contacto también serán constantes, lo cual está en desacuerdo con lo planteadopor la teoría de la elasticidad.

Por otra parte, el modelo de Vlasov modificado muestra una distribución de presiones decontacto parecida a la obtenida por la teoría de la elasticidad (ecuación 7.20) para el caso deuna zapata rectangular infinitamente rígida, pero esta distribución depende mucho del módulode Poisson, mientras que la ecuación 7.20 es independiente de este parámetro, mostrando asíuna desventaja en el modelo de Vlasov modificado.



a) b)Figura 7.55 Presiones de contacto correspondientes a una zapata rígida sometida a una carga uniformemente

distribuida a) solución analítica de la teoría de la elasticidad b) obtenida a través del modelo de Vlasovmodificado.

En la figura 7.55 se muestra en forma clara que los valores máximos de las presiones seencuentran en las esquinas y bordes de la zapata, lo cual se obtuvo tanto por la ecuación (7.20)y el modelo de Vlasov modificado, en tanto que en el centro de la zapata las presiones sonmucho menores. Se debe resaltar que la distribución de presiones de contacto obtenida a travésdel modelo de Vlasov se acerca a los presentados por la teoría de la elasticidad cuando elmódulo de Poisson del suelo está en el rango de 0.45 a 0.5, mientras que para otros valores delmódulo de Poisson los resultados obtenidos por el modelo de Vlasov distan mucho de losresultados obtenidos analíticamente.

a) b)Figura 7.56 Presiones de contacto correspondientes a una zapata rígida sometida a una carga excéntrica a)

solución analítica de la teoría de la elasticidad b) obtenidos a través del modelo de Vlasov.

Igualmente en las figuras 7.56a y 7.56 b se muestran las distribuciones de contacto para unazapata infinitamente rígida sometida a una carga excéntrica; igual que en el caso anterior, laforma y los valores obtenidos a través del modelo de Vlasov modificado dependen del módulode Poisson, por lo que este modelo tiende a la teoría de la elasticidad (ecuación 7.22) cuandoel módulo de Poisson del suelo está en el rango de 0.45 a 0.5, descartándose el valor de 0.5debido a que según las formulaciones presentadas en el capítulo 6 el parámetro tiende alinfinito cuando = 0.5,



Como se pudo analizar en el párrafo anterior, el modelo de Vlasov tiene ciertos problemaspara representar la distribución de presiones, por lo que su uso en esta parte es muyrestringido.

7.4.2. Comparación de valores obtenido con el MEF y los resultados obtenidos porStraughan a través del método de diferencias finitas para el modelo de Vlasovmodificado

Para realizar la comprobación de los ejercicios desarrollados se tomó como referenciala investigación realizada por Straughan3 (1990), en esta investigación se utilizó el método dediferencias finitas para resolver las ecuaciones diferenciales planteadas por el modelo deVlasov Modificado. Straughan desarrollo una serie de ejemplos en losas rectangularessometidas a cargas distribuidas y puntuales con diferentes alturas del estrato de suelo.

El primer ejemplo en comparar consiste en una losa de cimentación de 30ft en la dirección X y40 ft en la dirección Y con un espesor de 0.5ft; se consideró que la losa tiene un módulo deelasticidad de 4.32x108 psf y un módulo de Poisson igual a 0.20. El suelo de asientoconsiderado tiene una profundidad de 20 ft, un módulo de elasticidad de 1.44x105 psf y unmódulo de Poisson igual a 0.35, sobre esta losa actúa una carga uniformemente distribuida de500 psf.

Figura 7.48 Losa de cimentación utilizada por Straughan

Las diferencias existentes entre el MEF y el MDF (Straughan) para este ejemplo sonmostradas a través de las gráficas de desplazamientos verticales, momentos flectores y fuerzasde corte en la sección A-A (figuras 7.49-7.51).



Figura 7.49 Comparación de desplazamientos verticales para el modelo de Vlasov modificado obtenidos a travésdel método de elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga distribuida)

Figura 7.50 Comparación de momentos Mxx para el modelo de Vlasov modificado obtenidos a través del métodode elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga distribuida)

Figura 7.51 Comparación de fuerzas cortantes Qx para el modelo de Vlasov modificado obtenidas a través delmétodo de elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga distribuida)

También se tomó en cuenta el caso de una losa sometida a una carga puntual de 30kip queactúa en el punto medio de la cimentación; la losa tiene las mismas dimensiones y propiedadeselásticas que la nombrada en el ejemplo anterior; el estrato de asiento para este caso tiene una



altura de 30ft, un módulo de elasticidad de 1.44x105 psf y un módulo de Poisson igual a 0.35.Los resultados obtenidos son mostrados en las figuras 7.52-7.54.

Figura 7.52 Comparación de desplazamientos verticales para el modelo de Vlasov modificado obtenidos a travésdel método de elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga puntual)

Figura 7.53 Comparación de momentos Mxx para el modelo de Vlasov modificado obtenidos a través del métodode elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga puntual)

Figura 754. Comparación de fuerzas cortantes Qx para el modelo de Vlasov modificado obtenidas a través delmétodo de elementos finitos y el método de diferencias finitas (carga puntual)



Como se puede observar en los gráficos anteriores, los resultados obtenidos a través de estosdos métodos numéricos son muy similares, mostrando diferencias en los extremos y donde sepresentan valores máximos y mínimos, aunque para fines prácticos estas diferencias resultanpoco significativas.

7.4.3. Comparación de resultados obtenidos con el modelo de Vlasov modificado y conel modelo de Winkler.

Caso de carga puntual

Para realizar esta comparación se tomará en cuenta los ejemplos desarrollados en este capítulo,evaluando primero el caso de una carga puntual de 12 tn soportada por una losa de 2m x 2mcon un espesor de 0.30m (ejemplo 2 para ambas metodologías).

a) Desplazamientos verticales

a) b)Figura 7.55 Comparación de desplazamientos verticales a) modelo de Winkler b) modelo de Vlasov

Para ver de una manera más clara la diferencia en los desplazamientos obtenidos, se graficanlos valores de la sección Y=1 (eje central de la zapata).

Figura 7.56 Comparación de desplazamientos verticales en Y=1 para una carga puntual



b) Momentos en X

a) b)Figura 7.57 Comparación de momentos flectores en X para una carga puntual centrada a) modelo de Winkler b)

modelo de Vlasov

E igualmente para la sección Y=1 se obtiene el siguiente grafico

Figura 7.58 Comparación de en la sección Y=1 sometida a una carga puntual centrada

c) fuerzas cortantes en la dirección X

a) b)Figura 7.59 Comparación de fuerzas cortantes para una carga puntual centrada a) modelo de Winkler b) modelo

de Vlasov



Figura 7.60 Comparación de en la sección Y=1 sometida a una carga puntual centrada

De acuerdo a las figuras 7.55 y 7.56 notamos que los desplazamientos difieren mucho entreellos en magnitud, aunque ambas funciones de distribución son muy similares en forma; porotro lado, los diagramas de momentos son muy similares, siendo levemente mayores losmomentos flectores obtenidos por el modelo de Vlasov modificado. También se nota en lasfiguras 7.59 y 7.60 que la distribución de fuerzas de corte resultan ser muy parecidas tanto enforma y en magnitudes.

d) Presiones de contacto

a) b)Figura 7.61 Comparación de presiones de contacto para una carga puntual centrada a) modelo de Winkler b)

modelo de Vlasov

En tanto, las distribuciónes de presiones obtenidas por ambas metodologías resultan ser muydistintas, ya que el modelo de Winkler presenta valores máximos en la región central de lacimentación, en cambio las presiones de contacto obtenidas por el modelo de Vlasovmodificado adquieren valores máximos en las esquinas y bordes de la cimentación.

Caso de cargas puntuales y distribuidas

Para esta comparación se consideró el ejemplo 3 desarrollado con el modelo de Winkler y eltercer ejemplo desarrollado con el modelo de Vlasov modificado.



a) Desplazamientos verticales

a) b)Figura 7.62 Comparación de desplazamientos para una losa sometida a cargas distribuidas y puntuales a)

modelo de Winkler b) modelo de Vlasov

Figura 7.63 Comparación de desplazamientos en distintos cortes

En este ejemplo se aprecia claramente la diferencia de la distribución de desplazamientos,tanto en forma como en magnitud; esta diferencia en los desplazamientos repercutirágrandemente en la distribución fuerzas internas. La diferencia en los desplazamientos se debea que en el modelo de Vlasov modificado se consideró la contribución de la energía dedeformación unitaria del suelo circundante, lo cual como se vio, se traduce en un incrementode rigidez en los bordes y esquinas de la losa de cimentación (menor asentamiento en el



perímetro de la losa); en cambio el modelo de Winkler no considera incremento alguno en larigidez del sistema, debido a que la cimentación se considera como un sistema aislado delsuelo circundante.

b) Momentos en la dirección X

a) b)Figura 7.64 Comparación de momentos flectores para una losa de cimentación sometida a la acción de cargas

distribuidas y puntuales a) modelo de Winkler b) modelo de Vlasov

Figura 7.65 Comparación de momentos flectores en distintos cortes para el caso de cargas distribuidas ypuntuales.

En la figura 7.65 se muestra claramente la gran diferencia en los diagramas de momentosflectores obtenidos por ambas metodologías; como se observa el modelo de Vlasov arroja



momentos positivos altos, mientras que el modelo de Winkler proporciona valores altos en losmomentos negativos. El objetivo de este ejemplo es mostrar las grandes incertidumbrespresentes en el análisis de losas de cimentación cuando se utilizan distintos modelos deanálisis.

c) Fuerzas cortantes en la dirección X

a) b)Figura 7.66 Comparación de fuerzas cortantes para una losa sometida a cargas puntuales y distribuidas a)

modelo de Winkler b) modelo de Vlasov

Figura 7.67 Comparación de fuerzas cortantes en distintos cortes para el caso de cargas distribuidas ypuntuales.



En la figuras 7.66 y 7.67 notamos que las fuerzas de corte correspondientes al modelo deVlasov son mayores que las obtenidas a través del modelo de Winkler, esto se debe alaumento de rigidez en los bordes, considerado en el modelo de Vlasov debido al suelocircundante.

d) Distribución de presiones de contacto

a) b)Figura 7.68 Comparación de presiones de contacto para cargas distribuidas y puntuales a) modelo de Winkler

b) modelo de Vlasov

Las diferencias correspondientes a las presiones de contacto entre ambos modelos, tambiénson muy notorias, tal como se muestra en la figura 7.68; se puede observar que la distribuciónde presiones obtenida a través del modelo de Vlasov presenta valores muy altos en lasesquinas y bordes de la losa, mientras que los valores en la región central de la losa sonrelativamente bajos, en cambio los resultados obtenidos por el modelo de Winkler muestranuna distribución más uniforme.

Referencias

1 Reglamento Nacional de Edificaciones, Grupo Editorial Megabyte, Lima, pp. 392, 2007.2 Yanqui Murillo C., Mecánica del medio discontinuo, Universidad Nacional de San Agustín, Arequipa, pp.

150 – 162, 1993.3 William Thomas Straughan, Analysis of plates on elastic foundations, presentación para la graduación en la

Universidad Tecnológica de Texas, realización parcial de los requerimientos para el grado de Doctor enFilosofía, Texas, 1990.

- 253 - Conclusiones


CONCLUSIONES

1. Se desarrolló satisfactoriamente la formulación matemática del método de elementosfinitos aplicada a una losa de cimentación, utilizando el modelo de Vlasov modificado y elmodelo de Winkler, lo cual resulto relativamente sencillo, demostrándose así que losmétodos estudiados en este trabajo son fácilmente implementados en un software.

2. Se desarrollaron ejemplos acerca del análisis estructural de losas de cimentación, basadosen los modelos de Vlasov modificado y Winkler, obteniéndose las distribuciones dedesplazamientos, deformaciones, esfuerzos y fuerzas internas para distintos tipos de carga.

3. Se demostró la gran utilidad del elemento MZC, que fue usado para el cálculo de fuerzasinternas en el análisis de losas delgadas.

4. Se desarrolló un modelo matemático aproximado, basado en la teoría de la elasticidad,para determinar los desplazamientos, momentos flectores, y fuerzas de corte en losassoportadas por fundaciones elásticas. La evaluación de parámetros para el modelo deVlasov modificado se desarrolló a través de los principios de la mecánica de sólidos en vezde la evaluación empírica o experimental del coeficiente de balasto o módulo de reaccióndel subgrado, .

5. El parámetro , que representa la resistencia a los desplazamientos verticales, y elparámetro , que representa la resistencia al corte del suelo, son calculados a través delmodelo de Vlasov, únicamente utilizando el módulo de Elasticidad, el módulo de Poisson,la geometría de la cimentación y la deformación del perfil del suelo de fundación.

6. Cuando en el modelo de Vlasov modificado las fuerzas cortantes en los bordes de la losason ignoradas al aplicarse una carga uniformemente distribuida, los resultados sonsimilares a los obtenidos con el modelo de Winkler, mostrándose así la gran importanciade las reacciones producidas por el suelo circundante en los bordes de la cimentación.

7. En lo referente a desplazamientos, se demostró que los resultados obtenidos por el modelode Vlasov modificado se acercan más a los resultados brindados por la teoría de laelasticidad que los resultados obtenidos a través del modelo de Winkler, lo cual repercutede manera directa en las fuerzas internas de la losa.

- 254 - Conclusiones


8. Se comprobó una gran deficiencia del modelo de Winkler, debido que para una cargauniformemente distribuida la distribución de desplazamientos resulta ser constante y, enconsecuencia, no se generan fuerzas internas en la cimentación, lo cual difiere no solo conla teoría de la elasticidad sino también con el comportamiento real de los suelo.

9. El modelo de Vlasov modificado y el modelo de Winkler brindan resultados muyparecidos cuando se trata de una carga puntual centrada, pero difieren bastante cuando seaplica un conjunto de cargas puntuales y distribuidas.

10. Un modelo de suelo es una representación muy simplificada de un tipo de suelo real, porlo que los resultados obtenidos predicen de una manera poco certera el comportamientoreal del suelo, generando incertidumbres en el diseño de cimentaciones.

- 255 - Recomendaciones


RECOMENDACIONES

1. Existen muchas simplificaciones hechas en esta investigación que deberían ser eliminadaso modificadas para reforzar más este trabajo.

2. En esta tesis, para la representación del suelo a través del modelo de Vlasov modificado seconsideró un módulo de elasticidad constante, para posteriores investigaciones podríatomarse en cuenta la variación del módulo de elasticidad con la profundidad del estrato desuelo.

3. En el presente trabajo, se considera que el estrato tiene una profundidad constante debajode la losa; el modelo de Vlasov podría ser reforzado considerando una altura variable delestrato de suelo debajo de la losa.

4. En lo concerniente al modelo de Winkler, se consideró un módulo de balasto constante;futuras investigaciones podrían determinar una variación en el módulo de balasto queacerque más este modelo al comportamiento real de algún tipo de suelo.

5. El modelamiento de la losa en esta investigación puede ser mejorado considerando vigasactuando con la losa, o pedestales en las columnas.

6. Los modelos presentados pueden ser mejorados utilizando elementos finitos basados en lateoría de Reissner-Mindlin para poder ser utilizado no solo para losas delgadas sinotambién para losas gruesas, lo cual permitirá ampliar su aplicación

7. El efecto de los desplazamientos horizontales del suelo han sido despreciados con lafinalidad de simplificar el modelo. Investigaciones adicionales deberían de demostrar lavalides de esta simplificación o en caso contrario incluir estos efectos en el modelo.

8. Para verificar los resultados obtenidos se recomienda realizar experimentos en pequeña ygran escala, con el fin de observar la aproximación de los modelos presentados alcomportamiento real de los suelos.

9. Los resultados obtenidos por ambas metodologías pueden ser comparados con algúnprograma informático, basado en la teoría de la elasticidad, que represente al suelo demanera tridimensional para observar de manera clara las diferencias entre ambasmetodologías y su aproximación a la teoría de la elasticidad.

- 256 - Bibliografía


BIBLIOGRAFÍA

[1] A.C. UGURAL, Stresses in plates and shells, Primera edición, McGraw Hill, NewJersey, 1981.

[2] AYSE TURHAN, A consistent Vlasov model for analysis of plates on elastic foundationsusing the finite element method, presentación para la graduación en la UniversidadTecnológica de Texas, realización parcial de los requerimientos para el grado de Doctoren Filosofía, Texas, 1992.

[3] BRAJA M. DAS, Principio de Ingenieria de Cimentaciones, Cuarta edición, CaliforniaState University PWS publishing, Sacramento, 1999.

[4] DARYL L. LOGAN, A first course in the Finite Element Method, Cuarta edición, RaulPrint O Pack, Delhi, 2007.

[5] GALLEGOS CÁZARES, Análisis de sólidos y estructural mediante el método deelementos finitos, Primera edición, Editorial LIMUSA, México D.F., 2008.

[6] HUMBERTO CABRERA ROA, Cátedra de Estructuras Laminares, UniversidadNacional de San Agustín. Arequipa, 2010.

[7] JIMÉNEZ SALAS, Geotecnia y Cimientos III, Primera edición, Editorial Rueda,Madrid, 1980.

[8] JOHN N. REDDY, An introduction to the Finite Element Method, Segunda edición,McGraw Hill, Texas, 1993.

[9] JOSÉ M. RODRÍGUEZ ORTIZ, Curso aplicado de cimentaciones, Cuarta edición,servicios de publicaciones del Colegio de Arquitectos de Madrid, Madrid, 1989.

- 257 - Bibliografía


[10] JOSÉ CALAVERA RUIZ, Cálculo de Estructuras de Cimentación, Cuarta edición,INTEMAC, Madrid ,1982.

[11] JUAN TOMÁS CELIGUETA LIZARZA, Método de los elementos finitos para análisisestructural, Tercera edición, tecnun, Madrid, 2008.

[12] L. ELSGOLTZ, Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Editorial MIR, Moscú,1969.

[13] MANUEL VÁZQUEZ Y ELOÍSA LÓPEZ, El método de los elementos finitos aplicadoal análisis estructural, Primera edición, Editorial Noela, Madrid, 2001.

[14] O. C. ZIENKIEWICZ, R L TAYLOR, The Finite Element Method, Vol 1, Cuartaedición, McGraw Hill, New York, 1989.

[15] S. TIMOSHENKO, S WOINOWSKY-KRIEGER, Theory of Plates and Shells, Segundaedición, McGraw Hill, New York, 1959.

[16] TIRUPATHI R. CHANDRUPATLA, ASHOK D. BELEGUNDU, Introducción alEstudio del Elemento Finito en Ingeniería, Segunda edición, PRENTICE HALL,México, 1999.

[17] V.Z. VLASOV AND N.N. LEONT’EV, Beams, Plates and Shell on ElasticFoundations, Translate from russian, Israel Program for Scientific Translations,Jerusalem, 1966.

[18] WILLIAM THOMAS STRAUGHAN, Analysis of plates on elastic foundations,presentación para la graduación en la Universidad Tecnológica de Texas, realizaciónparcial de los requerimientos para el grado de Doctor en Filosofía, Texas, 1990.

[19] YANQUI MURILLO C., Mecánica del medio discontinuo, Universidad Nacional de SanAgustín, Arequipa, 1993.

[20] YANQUI MURILLO C, Cátedra de Mecánica de suelos aplicada a cimentaciones,Universidad Nacional de San Agustín. Arequipa, 2010.

Anexo 1.A -258-


ANEXO 1.A

Incremento del esfuerzo vertical en el suelo producido por las cargas de lacimentación

1. Esfuerzo producido por una carga puntual

En 1885 Boussinesq desarrolló una expresión matemática para calcular el esfuerzo enel suelo homogéneo isotrópico y linealmente elástico producido por la acción de una cargaconcentrada “P” situada en la superficie del suelo. Dicho esfuerzo es dado por la ecuación(1A.1).

Figura 1A.1 Esfuerzo vertical en el punto A causado por una carga puntual∆ = / [1A.1]

Donde:= +, , Coordenadas del punto A

2. Esfuerzos producidos por una carga circular

El incremento de esfuerzo producido por una carga circular ubicada en la superficie delterreno se puede obtener por integración del caso anterior. Considerando la cimentación de lafigura 1A.2 cuyo diámetro es igual a B ,y que sobre ella actúa una carga por unidad de áreaigual a ; tomando un elemento diferencia de área , la carga sobre esta área se puedetomar como una carga puntual igual a que produce un incremento de esfuerzos en elpunto A situado a una profundidad z bajo el centro igual a:= ( ) / [1A.2]

Anexo 1.A -259-


Figura 1A.2 Incremento de esfuerzo vertical causado por una carga uniforme circular.

El incremento de esfuerzo total en el suelo causado por la carga circular se obtendrá por laintegración de la ecuación (1A.2).

∆ = 1 − / [1A.3]

3. Esfuerzos producidos por una carga rectangular

Integrando la ecuación (1A.1) puede determinarse el incremento de esfuerzo en elsuelo situado a una distancia z debajo de la esquina de una cimentación rectangular. Tomandouna carga diferencial igual a = , el incremento de esfuerzo que produce es tal

como se muestra en la ecuación (1A.4), para cuyo caso se debe recordar que = + .

Figura 1A.3 Incremento del esfuerzo vertical en el suelo producido por una carga rectangular

Anexo 1.A -260-


∆ = ( ) / [1A.4]

Integrando la ecuación (1A.4) se obtiene el incremento de esfuerzo en el suelo producido poruna carga repartida sobre una superficie rectangular.∆ = ∫ ∫ ( ) / = [1A.5]= √ × + tan √

[1A.6]

Donde:: Conocido como factor de influencia

Cuando los valores de m y n son pequeños, el argumento de es negativo y para este casola ecuacion(1A.6) tiene la siguiente forma:= √ × + tan − √

[1A.7]

Donde: = , =

Figura 1A.4 Esfuerzo debajo de cualquier punto situado dentro de la proyección de una cimentación rectangular

Los esfuerzos producidos en cualquier punto bajo una cimentación rectangular son calculadosdividiendo la cimentación en cuatro rectángulos tal como se muestra en la figura1A.4, luego secalcula el factor de influencia para cada segmento rectangular.∆ = ( + + + ) [1A.8]

Figura 1A.5 Esfuerzo sobre cualquier punto situado fuera de la proyección de una cimentación rectangular

Anexo 1.A -261-


Para el caso de un punto que esta fuera de la proyección de la cimentación la distribución derectángulos está dada como se muestra en la figura1A.5 y el aumento de presión en este puntoes ∆ = ( − − + ) [1A.9]

4. Incremento de esfuerzo vertical promedio debido a un área cargadarectangularmente

En muchos casos tal como para el cálculo de asentamientos se requiere hallar unincremento de esfuerzo promedio debajo de una esquina de la cimentación en los límites dez=0 y z=H, tal como se muestra la figura 1A.6 lo cual se evalúa con la siguiente expresión:∆ = ∫ = [1A.10]

Donde:: es función de y , = / , y = / .

Figura 1A.6 Incremento del esfuerzo promedio vertical debido a un área cargada rectangularmente

Los valores de se muestran en la figura 1A.7.

Anexo 1.A -262-


Figura 1A.7 Factor de influencia de Griffiths

Para la estimación de los asentamientos se requiere determinar el incremento promedio deesfuerzos en una capa limitada por , tal como se muestra en la figura1A.8. Para cuyocaso Griffiths propone:∆ ( @ ) = ( ) ( ) [1A.11]

Figura 1A.8 Incremento del esfuerzo promedio vertical entre = debajo de la esquina de unacimentación rectangular uniformemente cargada

ANEXO 7.A

Análisis de losas de cimentación mediante elmodelo de Winkler

I. Entrada de Datos1. Propiedades de la losa de cimentación

Resistencia a compresión del concreto f

´c

210:=

Módulo de Elasticidad de la losa E 150000 f

´c

⋅:= E 2.174 106×=

Módulo de Poisson de la losa ν 0.17:=

Espesor de la losa t 0.3:=

2. Propiedades del suelo

Módulo de balasto del suelo ks 828.80:=

3. Coordenadas de los nodos y restricciones

Número de nodos NN 121:=

Número de elementos NE 100:=

Colum. 0 : Vecto r q ue describ e la nu meració n de lo s no do sColum. 1 : Coordenadas X de los nodosColum. 2 : Coordenadas Y de los nodosColum. 3 : Restricciones en el desplazamiento verticales de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 4 : Restricciones en los giros en X de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 5 : Restricciones en los giros en X de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 6 : Número de elementos en los cuales esta presente el nodo (repetición del nodo en distintos elementos)

MaN1 2 3 4 5 6 7

12345678

0 0 0 0 0 1 10.2 0 0 0 0 2 20.4 0 0 0 0 2 20.6 0 0 0 0 2 20.8 0 0 0 0 2 21 0 0 0 0 2 21.2 0 0 0 0 2 21.4 0 0 0 0 2 2

:=

X MaN1⟨⟩

:= Y MaN2⟨⟩

:= resZ MaN3⟨⟩

:= resGX MaN4⟨⟩

:= resGY MaN5⟨⟩

:= Re MaN6⟨⟩

:=

Numeración de Nodos Nodo

Mi

i←

i 1 NN..∈for

M

:=

4. conectividad

Colum. 0 : Número de elemento (orden)Colum. 1 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 1 en coordenadas locales)Colum. 2 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 2 en coordenadas locales)Colum. 3 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 3 en coordenadas locales)Colum. 4 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 4 en coordenadas locales)

Numeración de Elementos j 1 NE..:= elemento j:=

MaE1 2 3 4

12345678910

1 2 13 122 3 14 133 4 15 144 5 16 155 6 17 166 7 18 177 8 19 188 9 20 199 10 21 2010 11 22 21

:=

N1 MaE1⟨⟩

:= N2 MaE2⟨⟩

:= N3 MaE3⟨⟩

:= N4 MaE4⟨⟩

:=

5. Fuerzas externas aplicadas en los nodos

Colum. 1 (Fz) : Positiva si actúa hacia arribaColum. 2 (Mx) : Positivo si actúa en dirección positiva del eje Xcolum. 3 (My) : Positivo si actúa en dirección positiva del eje X

FPE1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

:=

FPE1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

:=

Fz FPE1⟨⟩

:= Mx FPE2⟨⟩

:= My FPE3⟨⟩

:=

6. Cargas distribuidas en cada elemento

qe : Carga distribuida sobre el elemento señalado (positiva hacia arriba)

qe1

1234567

0000000

:=

Carga uniformemente distribuida sobre toda la losa, positiva hacia arriba (tn/m2) q 0:=

II. Procesamiento de Datos

1. Cálculo de las dimensiones de los elementos

Semi-longitud paralela al eje X Semi-longitud paralela al eje Y

a

ai

XN2

i( ) XN1

i( )−

2←

i 1 rows N1( )..∈for

a

:= b

bi

YN3

i( ) YN2

i( )−

2←


b

:=

k 1 NE..:=

2. Matrices de rigidez de los elementos

2.1. Aporte de rigidez de la losa "Kp"

Kp1k

bk

6 ak( )3⋅

6

0

6− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

3

0

3− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6−

0

6 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

3−

0

3 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3−

0

3 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

6−

0

6 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3

0

3− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

6

0

6− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

⋅:=

Kp1k

bk

6 ak( )3⋅

6

0

6− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

3

0

3− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6−

0

6 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

3−

0

3 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3−

0

3 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

6−

0

6 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3

0

3− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

6

0

6− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

⋅:=

Kp2k

ak

6 bk( )3⋅

6

6 bk

⋅

0

3

3 bk

⋅

0

3−

3 bk

⋅

0

6−

6 bk

⋅

0

6 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

3 bk

⋅

0

6

6 bk

⋅

0

6−

6 bk

⋅

0

3−

3 bk

⋅

0

3 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3−

3− bk

⋅

0

6−

6− bk

⋅

0

6

6− bk

⋅

0

3

3− bk

⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

6 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6−

6− bk

⋅

0

3−

3− bk

⋅

0

3

3− bk

⋅

0

6

6− bk

⋅

0

6 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⋅:=

Kp3k

ν2 a

k⋅ b

k⋅

1

bk

ak

−

1−

bk

−

0

1

0

0

1−

0

ak

bk

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

−

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

ak

0

0

1−

bk

−

0

1

bk

ak

1−

0

ak

−

1

0

0

bk

−

0

0

bk

0

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

2 ak

⋅ bk

⋅

0

ak

−

0

0

0

0

0

1

0

0

1−

0

ak

−

1

bk

−

ak

1−

bk

0

0

0

0

0

0

0

bk

−

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

0

0

0

0

0

ak

−

0

0

ak

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

1−

0

ak

1

0

0

1−

bk

0

1

bk

−

ak

−

0

0

0

0

0

0

bk

0

0

bk

−

0

2 ak

⋅ bk

⋅

ak

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2 ak

⋅ bk

⋅

0

⋅:=

Kp4k

1 ν−( )

30 ak

⋅ bk

⋅

21

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21−

3− bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3 ak

⋅

3 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

21−

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21

3 bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3− ak

⋅

3− bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

21

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21−

3− bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3 ak

⋅

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

21−

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21

3 bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3− ak

⋅

3 bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

⋅:=

Kpk

E t3⋅

12 1 ν2−( )⋅Kp1

kKp2

k+ Kp3

k+ Kp4

k+( )⋅:=

2.2. Aporte de rigidez vertical del suelo "Ks"

Ksk

ks ak

⋅ bk

⋅ Kssk

:=

2.3. Matiz de rigidez del elemento finito rectangular "Ke"

Kek

Kpk

Ksk

+:=

3. Calculo de los grados de libertad restringidos y libres

número de nodos NN 121=número de grados de libertad NGL NN 3⋅:= NGL 363=número de elementos NE 100=

número de grados de libertad restringidos NGLR

1

NN

i

resZi∑

= 1

NN

i

resGXi∑

=

+

1

NN

i

resGYi∑

=

+:=

NGLR 0=

numero de grados de libertad libres NGLL NGL NGLR−:=

NGLL 363=

4. Ordenamiento de los grados de libertad

i 1 NN..:=

GLRZi

resZi

3 Nodoi

⋅ 2−( )⋅:=

GLRGXi

resGXi

3 Nodoi

⋅ 1−( )⋅:=

GLRGYi

resGYi

3 Nodoi

⋅( )⋅:=

GLLZi

3 Nodoi

⋅ 2−( ) GLRZi

−:=

GLLGXi

3 Nodoi

⋅ 1−( ) GLRGXi

−:=

GLLGYi

3 Nodoi

⋅( ) GLRGYi

−:=

OR sort stack GLRZ GLRGX, GLRGY,( )( ):=

OL sort stack GLLZ GLLGX, GLLGY,( )( ):=

ORF m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix OR rows OR( ) NGLR− m+, rows OR( ), 1, 1,( )←

M

:=

OLF submatrix OL rows OL( ) NGLL− 1+, rows OL( ), 1, 1,( ):=

Orden OLF ORNGL

0=if

stack OLF ORF,( ) otherwise

:=

5. Orden de los grados de libertad por elemento:

j 1 NE..:=

OElemj

N1j

3⋅ 2− N1j

3⋅ 1− N1j

3⋅ N2j

3⋅ 2− N2j

3⋅ 1− N2j

3⋅ N3j

3⋅ 2− N3j

3⋅ 1− N3j

3⋅ N4j

3⋅ 2− N4j

3⋅ 1− N4j

3⋅( )T:=

6. Cálculo de la matriz de rigidez global "KG"

halla a B,( ) g rows B( )←

F u← Bu

a=if

u 1 g..∈for

F

:=

KG

Mm n, 0←

n 1 NGL..∈for

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )r

Orden,

halla OElemi( )

sOrden,

, Mhalla OElem

i( )r

Orden,

halla OElemi( )

sOrden,

, Kei( )

r s,+←

s 1 rows Ke1( )..∈for

r 1 rows Ke1( )..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

Kuu submatrix KG 1, NGLL, 1, NGLL,( ):=

Kur 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG 1, NGL, NGLL m+, NGL,( )←

M

otherwise

:= Krr 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG NGLL m+, NGL, NGLL m+, NGL,( )←

M

otherwise

:=

Kru 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG NGLL m+, NGL, 1, NGL,( )←

M

otherwise

:=

7. Cálculo del vector de fuerzas globales

fuerzas en coordenadas globales correspondientes a las cargas puntuales


CP

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mn 3⋅ 2− Fz

n←

Mn 3⋅ 1− Mx

n←

Mn 3⋅ My

n←

n 1 NN..∈for

M

:= FP

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla L

hOrden,( ) M

halla Lh

Orden,( ) CPh

+←

h 1 NGL..∈for

M

:=

fuerzas en coordenadas locales correspondientes a la carga distribuida sobre toda lalosa

Fek

q ak

⋅ bk

⋅

88

8 bk

⋅

3

8− ak

⋅

38

8 bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8− ak

⋅

3

T

:=

FD

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Fei( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

fuerzas en coordenadas locales correspondientes a la carga distribuida en el elemento

Fepk

qek

ak

⋅ bk

⋅

88

8 bk

⋅

3

8− ak

⋅

38

8 bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8− ak

⋅

3

T

:=

FDP

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Fepi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

Vector de fuerzas totales en coordenadas globales

FT FP FD+ FDP+:=

FTu submatrix FT 1, NGLL, 1, 1,( ):=

FTr 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix FT NGLL m+, NGL, 1, 1,( )←

M

otherwise

:=

8. Cálculo de desplazamientos en los grados de libertad libres


Δ

u

Kuu1−

FTu⋅:=

PP 0 NGLR 0=if

Mg

0←

g 1 NGLR..∈for otherwise

M

:= Δ Δ

u

NGLR 0=if

stack Δ

u

PP,( ) otherwise

:= Δ

o

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla Orden

hL,( ) M

halla Ordenh

L,( ) Δh

+←

h 1 NGL..∈for

M

:=

w

Mj

Δ

o

3 j⋅ 2−←

j 1 NN..∈for

M

:= θ

x

Mj

Δ

o

3 j⋅ 1−←

j 1 NN..∈for

M

:= θ

y

Mj

Δ

o

3 j⋅←

j 1 NN..∈for

M

:=

9. Cálculo de desplazamientos nodales en cada elemento

A a:= B b:=

Dlk

Mg

Δhalla OElem

k( )g

Orden,

←

g 1 12..∈for

M

:=

10. Cálculo de deformaciones en toda la estructura (Cara superior de la losa)

B1k

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

−

1

ak

−

2

ak

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

1

ak

0

0

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

−

0

0

0

1

bk

−

:=

B2k

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

2

bk

−

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

1

bk

−

0

0

0

1

bk

−

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

:=

B3k

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

0

0

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

−

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

:=

B3k

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

0

0

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

−

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

:=

B4k

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

1

bk

0

0

0

1

bk

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

1

ak

1

ak

0

0

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

2

bk

1

ak

−

2

ak

0

1

bk

−

:=

BNk

Mh g, B1

k( )h g,

←

Mh 3+ g, B2

k( )h g,

←

Mh 6+ g, B3

k( )h g,

←

Mh 9+ g, B4

k( )h g,

←

h 1 3..∈for

g 1 12..∈for

M

−:= εk

t

2BN

k⋅ Dl

k⋅:= ε

g

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

JK,

Mhalla OElem

i( )n

JK,

εi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

ε

g

x

Mj

ε

g

3 j⋅ 2−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= ε

g

y

Mj

ε

g

3 j⋅ 1−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= γ

g

xy

Mj

ε

g

3 j⋅Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:=

11. Cálculo de esfuerzos en toda la estructura (Cara superior de la losa)

DE

1 ν2−

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

⋅:=

DE

1 ν2−

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

⋅:=

σk

D εk

⋅:= σ

g

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

JK,

Mhalla OElem

i( )n

JK,

σi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

σ

g

x

Mj

σ

g

3 j⋅ 2−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= σ

g

y

Mj

σ

g

3 j⋅ 1−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= τ

g

xy

Mj

σ

g

3 j⋅Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:=

12. Cálculo de momentos en toda la estructura

Mgxxt2− E⋅

6 1 ν2−( )⋅ε

g

x ν ε

g

y⋅+( )⋅:= Mgyyt2− E⋅

6 1 ν2−( )⋅ε

g

y ν ε

g

x⋅+( )⋅:= Mgxyt2− E⋅ 1 ν−( )⋅

12 1 ν2−( )⋅γ

g

xy( )⋅:=

rw rows Mgxx( ):= i 1 rw 1−..:=

Mgxx_max max Mgxx( ):= Mgxx_min min Mgxx( ):=

Mgyy_max max Mgxx( ):= Mgyy_min min Mgxx( ):=

Mgxy_max max Mgxx( ):= Mgxy_min min Mgxx( ):=

mapi

Mgyy_min

max Mgxy( ) Mgxy_min−

rw 1−i+:=

j 1 20..:= colscalej⟨⟩

map:=

13. Cálculo de fuerzas cortantes en toda la estructura

Qgxk

t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅BQx

k⋅ Dl

k⋅:= ON

k

N1k

N2k

N3k

N4k

:=

QGx

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NN..∈for

Mhalla ON

i( )n

JK,

Mhalla ON

i( )n

JK,

Qgxi( )

n+←

n 1 4..∈for

i 1 NE..∈for

M

:= Qgx

Mj

QGxj

Rej

←

j 1 NN..∈for

M

:=

Qgyk

t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅BQy

k⋅ Dl

k⋅:=

QGy

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NN..∈for

Mhalla ON

i( )n

JK,

Mhalla ON

i( )n

JK,

Qgyi( )

n+←

n 1 4..∈for

i 1 NE..∈for

M

:= Qgy

Mj

QGyj

Rej

←

j 1 NN..∈for

M

:=

QGy

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NN..∈for

Mhalla ON

i( )n

JK,

Mhalla ON

i( )n

JK,

Qgyi( )

n+←

n 1 4..∈for

i 1 NE..∈for

M

:= Qgy

Mj

QGyj

Rej

←

j 1 NN..∈for

M

:=

14. Cálculo de las presiones de contacto

p ks w⋅( )−:=

III. Resultados

A. Resultados en toda la estructura

1. Gráficas de desplazamientos verticales y giros

Desplazamientos verticales "w"

X Y, w,( )

Giros en la dirección x "θx" Giros en la dirección x "θx"

X Y, θ

x

,( ) X Y, θ

y

,( )

X Y, θ

x

,( ) X Y, θ

y

,( )

2. Gráficas de deformaciones en toda la estructura (cara superior de la losa)

X Y, ε

g

x,( ) X Y, ε

g

y,( ) X Y, γ

g

xy,( )

3. Gráficas de esfuerzos en toda la estructura (cara superior de la losa)

X Y, σ

g

x,( ) X Y, σ

g

y,( ) X Y, τ

g

xy,( )

X Y, σ

g

x,( ) X Y, σ

g

y,( ) X Y, τ

g

xy,( )

4. Gráfica de momentos en toda la estructura

X Y, Mgxx,( ) X Y, Mgyy,( ) X Y, Mgxy,( )

5. Gráficas de fuerzas cortantes en toda la estructura

X Y, Qgx,( ) X Y, Qgy,( )


6. Gráfica de presiones de contacto

X Y, p,( )

B. Resultados por elemento

Número de elemento que se desea Graficar N 45:=

Longitud en la dirección x a aN

:=

Longitud en la dirección x b bN

:=

dominio del elemento en x a− a..:= y b− b..:=

Coordenadas Naturales ξ x( )x

a:= η y( )

y

b:=

Funciones de forma

N1 x y,( )1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 2 ξ x( )− η y( )− ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N1 x y,( )1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 2 ξ x( )− η y( )− ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N2 x y,( ) b1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 η y( )−( )

2⋅8

:=

N3 x y,( ) a1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 ξ x( )−( )

2⋅8

−:=

N4 x y,( )1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 2 ξ x( )+ η y( )− ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N5 x y,( ) b1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 η y( )−( )

2⋅8

:=

N6 x y,( ) a1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 ξ x( )+( )

2⋅8

:=

N7 x y,( )1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 2 ξ x( )+ η y( )+ ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N8 x y,( ) b1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 η y( )+( )

2⋅8

−:=

N9 x y,( ) a1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 ξ x( )+( )

2⋅8

:=

N10 x y,( )1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 2 ξ x( )− η y( )+ ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N11 x y,( ) b1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 η y( )+( )

2⋅8

−:=

N12 x y,( ) a1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 ξ x( )−( )

2⋅8

−:=

Desplazamiento por elemento

We1 x y,( ) DlN( )

1N1 x y,( )⋅ Dl

N( )2

N2 x y,( )⋅+ DlN( )

3N3 x y,( )⋅+ Dl

N( )4

N4 x y,( )⋅+ DlN( )

5N5 x y,( )⋅+ Dl

N( )6

N6 x y,( )⋅+:=

We2 x y,( ) DlN( )

7N7 x y,( )⋅ Dl

N( )8

N8 x y,( )⋅+ DlN( )

9N9 x y,( )⋅+ Dl

N( )10

N10 x y,( )⋅+ DlN( )

11N11 x y,( )⋅+ Dl

N( )12

N12 x y,( )⋅+:=

We x y,( ) We1 x y,( ) We2 x y,( )+:=

θx x y,( )y

We x y,( )d

d

:=

θy x y,( )x

We x y,( )d

d

−:=

Coodenada del punto dentro del elemento que se desea obtener resultados xp a:=

yp b−:=

1. Desplazamientos en el elemento seleccionado

We( ) θx( ) θy( )

We xp yp,( ) 3.676− 103−×= θx xp yp,( ) 7.68− 10

5−×= θy xp yp,( ) 5.268 1014−×=

2. Deformaciones en el elemento seleccionado (cara superior de la losa)

ε

e

x x y,( )t

2−

2x

We x y,( )d

d

2

:= ε

e

y x y,( )t

2−

2y

We x y,( )d

d

2

:= γ

e

xy x y,( ) t−y x

We x y,( )d

d

d

d

⋅:=

ε

e

x( ) ε

e

y( ) γ

g

xy( )

ε

e

x xp yp,( ) 5.847− 105−×= ε

e

y xp yp,( ) 1.571− 105−×= γ

e

xy xp yp,( ) 1.37 106−×=

ε

e

x xp yp,( ) 5.847− 105−×= ε

e

y xp yp,( ) 1.571− 105−×= γ

e

xy xp yp,( ) 1.37 106−×=

3. Esfuerzos en el elemento seleccionado (cara superior de la losa)

σ

e

x x y,( )E

1 ν2−ε

e

x x y,( ) ν ε

e

y x y,( )⋅+( )⋅:=

σ

e

y x y,( )E

1 ν2−ε

e

y x y,( ) ν ε

e

x x y,( )⋅+( )⋅:=

τ

e

xy x y,( )E

1 ν2−

1 ν−2

⋅ γ

e

xy x y,( )⋅:=

ε

e

x( ) ε

e

y( ) γ

g

xy( )

σ

e

x xp yp,( ) 136.857−= σ

e

y xp yp,( ) 57.423−= τ

e

xy xp yp,( ) 1.272=

4. Momentos en el elemento seleccionado

Mexx x y,( )t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅2

xWe x y,( )

d

d

2

ν2

yWe x y,( )

d

d

2⋅+

⋅:=

Meyy x y,( )t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅2

yWe x y,( )

d

d

2

ν2

xWe x y,( )

d

d

2⋅+

⋅:=

Mexy x y,( )t3

E⋅ 1 ν−( )⋅

12 1 ν2−( )⋅ x yWe x y,( )

d

d

d

d

⋅:=

Mexx( ) Meyy( ) Mexy( )


Mexx xp yp,( ) 2.053= Meyy xp yp,( ) 0.861= Mexy xp yp,( ) 0.019−=

5. Fuerzas cortantes en el elemento seleccionado

Qex x y,( )t3− E⋅

12 1 ν2−( )⋅3

xWe x y,( )

d

d

3

x 2

yWe x y,( )

d

d

2

d

d

+

⋅:=

Qey x y,( )t3− E⋅

12 1 ν2−( )⋅3

yWe x y,( )

d

d

3

y 2

xWe x y,( )

d

d

2

d

d

+

⋅:=

Qex( ) Qey( )

Qex xp yp,( ) 0.98−= Qey xp yp,( ) 20.952−=

ANEXO 7.B

Análisis de losas de cimentación mediante elmodelo de Vlasov Modificado

I. Entrada de Datos

1. Propiedades de la losa de cimentación

Resistencia a compresión del concreto f

´c

210:=

Módulo de Elasticidad de la losa E 150000 f

´c

⋅:= E 2.174 106×=

Módulo de Poisson de la losa ν 0.17:=

Espesor de la losa t 0.3:=

2. Propiedades del suelo

Módulo de Elasticidad del suelo Es 1280:=

Módulo de Poisson del suelo νs 0.35:=

Altura del estrato de suelo H 10:=

decrecimiento de desplazamientos γi 1.8479:=

ϕ z( )

sinh γi 1z

H−

⋅

sinh γi( ):=Función de forma "ϕ"

ks

Es 1 νs−( )⋅

1 νs+( ) 1 2 νs⋅−( )⋅0

H

zzϕ z( )

d

d

2⌠⌡

d⋅:= ks 236.1031=Parámetro Ks

ts

Es

4 1 νs+( ) 0

H

zϕ z( )( )2⌠

⌡

d⋅:= ts 550.2561=Parámetro ts

3. Coordenadas de los nodos y restricciones

Número de nodos NN 121:=

Número de elementos NE 100:=

Colum. 0 : Vecto r q ue describ e la nu meració n de lo s no do sColum. 1 : Coordenadas X de los nodosColum. 2 : Coordenadas Y de los nodosColum. 3 : Restricciones en el desplazamiento verticales de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)

Colum. 3 : Restricciones en el desplazamiento verticales de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 4 : Restricciones en los giros en X de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 5 : Restricciones en los giros en X de los nodos ("1" si esta restringido y "0" si es libre)Colum. 6 : Número de elementos en los cuales esta presente el nodo (repetición del nodo en distintos elementos)Colum. 7 : Ubicacción del nodo dentro de la estructura

"1" si esta en una esquina"2" si esta en un borde paralelo a x"3" si esta en un borde paralelo a y"0" si esta en el interior

MaN1 2 3 4 5 6 7

12345678

0 0 0 0 0 1 10.2 0 0 0 0 2 20.4 0 0 0 0 2 20.6 0 0 0 0 2 20.8 0 0 0 0 2 21 0 0 0 0 2 21.2 0 0 0 0 2 21.4 0 0 0 0 2 2

:=

X MaN1⟨⟩

:= Y MaN2⟨⟩

:= resZ MaN3⟨⟩

:= resGX MaN4⟨⟩

:=

resGY MaN5⟨⟩

:= Re MaN6⟨⟩

:= Desc MaN7⟨⟩

:=

Numeración de Nodos Nodo

Mi

i←

i 1 NN..∈for

M

:=

4. conectividad

Colum. 0 : Número de elemento (orden)Colum. 1 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 1 en coordenadas locales)Colum. 2 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 2 en coordenadas locales)Colum. 3 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 3 en coordenadas locales)Colum. 4 : Número de nodo correspondiente a la numeración global (nodo 4 en coordenadas locales)

Numeración de Elementos j 1 NE..:= elemento j:=

MaE1 2 3 4

12345678910

1 2 13 122 3 14 133 4 15 144 5 16 155 6 17 166 7 18 177 8 19 188 9 20 199 10 21 2010 11 22 21

:=

MaE1 2 3 4

12345678910

1 2 13 122 3 14 133 4 15 144 5 16 155 6 17 166 7 18 177 8 19 188 9 20 199 10 21 2010 11 22 21

:=

N1 MaE1⟨⟩

:= N2 MaE2⟨⟩

:= N3 MaE3⟨⟩

:= N4 MaE4⟨⟩

:=

5. Fuerzas externas aplicadas en los nodos

Colum. 1 (Fz) : Positivo si actua hacia arribaColum. 2 (Mx) : Positivo si actúa en dirección positiva del eje Xcolum. 3 (My) : Positivo si actúa en direccion positiva del eje X

FPE1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

:=

Fz FPE1⟨⟩

:= Mx FPE2⟨⟩

:= My FPE3⟨⟩

:=

6. Cargas distribuidas en cada elemento

qe : Carga distribuida sobre el elemento señalado (positiva hacia arriba)

qe1

1234567

0000000

:=

Carga uniformemente distribuida sobre toda la losa, positiva hacia arriba (tn/m2) q 0:=

II. Procesamiento de Datos

1. Cálculo de las dimensiones de los elementos

Semi-longitud paralela al eje X Semi-longitud paralela al eje Y

a

ai

XN2

i( ) XN1

i( )−

2←


a

:= b

bi

YN3

i( ) YN2

i( )−

2←


b

:=

k 1 NE..:=

2. Matrices de rigidez de los elementos

2.1. Aporte de rigidez de la losa "Kp"

Kp1k

bk

6 ak( )3⋅

6

0

6− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

3

0

3− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6−

0

6 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

3−

0

3 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3−

0

3 ak

⋅

3

0

3 ak

⋅

6

0

6 ak

⋅

6−

0

6 ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3

0

3− ak

⋅

3−

0

3− ak

⋅

6−

0

6− ak

⋅

6

0

6− ak

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3− ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

6 ak

⋅

0

4 ak( )2⋅

6− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

⋅:=

Kp2k

ak

6 bk( )3⋅

6

6 bk

⋅

0

3

3 bk

⋅

0

3−

3 bk

⋅

0

6−

6 bk

⋅

0

6 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

3 bk

⋅

0

6

6 bk

⋅

0

6−

6 bk

⋅

0

3−

3 bk

⋅

0

3 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3−

3− bk

⋅

0

6−

6− bk

⋅

0

6

6− bk

⋅

0

3

3− bk

⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

6 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6−

6− bk

⋅

0

3−

3− bk

⋅

0

3

3− bk

⋅

0

6

6− bk

⋅

0

6 bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

4 bk( )2⋅

0

6− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⋅:=

Kp3k

ν2 a

k⋅ b

k⋅

1

bk

ak

−

1−

bk

−

0

1

0

0

1−

0

ak

bk

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

−

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

ak

0

0

1−

bk

−

0

1

bk

ak

1−

0

ak

−

1

0

0

bk

−

0

0

bk

0

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

2 ak

⋅ bk

⋅

0

ak

−

0

0

0

0

0

1

0

0

1−

0

ak

−

1

bk

−

ak

1−

bk

0

0

0

0

0

0

0

bk

−

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

0

0

0

0

0

ak

−

0

0

ak

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

1−

0

ak

1

0

0

1−

bk

0

1

bk

−

ak

−

0

0

0

0

0

0

bk

0

0

bk

−

0

2 ak

⋅ bk

⋅

ak

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2 ak

⋅ bk

⋅

0

⋅:=

Kp3k

ν2 a

k⋅ b

k⋅

1

bk

ak

−

1−

bk

−

0

1

0

0

1−

0

ak

bk

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

−

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

ak

0

0

1−

bk

−

0

1

bk

ak

1−

0

ak

−

1

0

0

bk

−

0

0

bk

0

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

2 ak

⋅ bk

⋅

0

ak

−

0

0

0

0

0

1

0

0

1−

0

ak

−

1

bk

−

ak

1−

bk

0

0

0

0

0

0

0

bk

−

0

2− ak

⋅ bk

⋅

bk

0

0

0

0

0

ak

−

0

0

ak

2− ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

1−

0

ak

1

0

0

1−

bk

0

1

bk

−

ak

−

0

0

0

0

0

0

bk

0

0

bk

−

0

2 ak

⋅ bk

⋅

ak

0

0

0

0

0

0

0

0

ak

−

2 ak

⋅ bk

⋅

0

⋅:=

Kp4k

1 ν−( )

30 ak

⋅ bk

⋅

21

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21−

3− bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3 ak

⋅

3 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

21−

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21

3 bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3− ak

⋅

3− bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3− ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

21

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21−

3− bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3 ak

⋅

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3 ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

21−

3− bk

⋅

3 ak

⋅

21

3 bk

⋅

3 ak

⋅

21−

3 bk

⋅

3− ak

⋅

21

3− bk

⋅

3− ak

⋅

3 bk

⋅

2− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

2 bk( )2⋅

0

3 bk

⋅

8− bk( )2⋅

0

3− bk

⋅

8 bk( )2⋅

0

3 ak

⋅

0

8− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

2 ak( )2⋅

3 ak

⋅

0

2− ak( )2⋅

3− ak

⋅

0

8 ak( )2⋅

⋅:=

Kpk

E t3⋅

12 1 ν2−( )⋅Kp1

kKp2

k+ Kp3

k+ Kp4

k+( )⋅:=



Ksk

ks ak

⋅ bk

⋅ Kssk

:=

2.3. Aporte de rigidez cortante del suelo "Kt"

Ktk

2 ts⋅ Ktxk

Ktyk

+( ):=

2.4. Matiz de rigidez del elemento finito rectangular "Ke"

Kek

Kpk

Ksk

+ Ktk

+:=

3. Cálculo de los grados de libertad restringidos y libres

número de nodos

número de nodos NN 121=

número de grados de libertad NGL NN 3⋅:= NGL 363=

número de elementos NE 100=

número de grados de libertad restringidos NGLR

1

NN

i

resZi∑

= 1

NN

i

resGXi∑

=

+

1

NN

i

resGYi∑

=

+:=

NGLR 0=

número de grados de libertad libres NGLL NGL NGLR−:=

NGLL 363=

4. Ordenamiento de los grados de libertad

i 1 NN..:=

GLRZi

resZi

3 Nodoi

⋅ 2−( )⋅:=

GLRGXi

resGXi

3 Nodoi

⋅ 1−( )⋅:=

GLRGYi

resGYi

3 Nodoi

⋅( )⋅:=

GLLZi

3 Nodoi

⋅ 2−( ) GLRZi

−:=

GLLGXi

3 Nodoi

⋅ 1−( ) GLRGXi

−:=

GLLGYi

3 Nodoi

⋅( ) GLRGYi

−:=

OR sort stack GLRZ GLRGX, GLRGY,( )( ):=

OL sort stack GLLZ GLLGX, GLLGY,( )( ):=

ORF m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix OR rows OR( ) NGLR− m+, rows OR( ), 1, 1,( )←

M

:=

OLF submatrix OL rows OL( ) NGLL− 1+, rows OL( ), 1, 1,( ):=

Orden OLF ORNGL

0=if

stack OLF ORF,( ) otherwise

:=

5. Orden de los grados de libertad por elemento:

j 1 NE..:=

OElemj

N1j

3⋅ 2− N1j

3⋅ 1− N1j

3⋅ N2j

3⋅ 2− N2j

3⋅ 1− N2j

3⋅ N3j

3⋅ 2− N3j

3⋅ 1− N3j

3⋅ N4j

3⋅ 2− N4j

3⋅ 1− N4j

3⋅( )T:=

6. Cálculo de la matriz de rigides global "KGI" (sin considerar cond. de borde)

halla a B,( ) g rows B( )←

F u← Bu

a=if

u 1 g..∈for

F

:=

KGI

Mm n, 0←

n 1 NGL..∈for

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )r

Orden,

halla OElemi( )

sOrden,

, Mhalla OElem

i( )r

Orden,

halla OElemi( )

sOrden,

, Kei( )

r s,+←

s 1 rows Ke1( )..∈for

r 1 rows Ke1( )..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

7. Cálculo de la matriz de rigidez del suelo en los bordes de la losa "KGB"

h 1 NN..:=

TNBh

3

2ts⋅

0

0

Desch

1=if

2 a1

⋅

2ks ts⋅

0

ts

2 ts⋅

ks⋅

⋅ Desch

2=if

2 b1

⋅

2ks ts⋅

ts

2 ts⋅

ks⋅

0

⋅ Desch

3=if

0

0

0

Desch

0=if

:= TBGh

Mi i, 0←

i 1 NGL..∈for

M3 h⋅ 2− 3 h⋅ 2−, TNB

h( )1

←

M3 h⋅ 1− 3 h⋅ 1−, TNB

h( )2

←

M3 h⋅ 3 h⋅, TNB

h( )3

←

M

:= KGBD

1

NN

k

TBGk∑

=

:=

KGB

Mm n, 0←

Nn

n←

n 1 NGL..∈for

m 1 NGL..∈for

Mhalla N( )

sOrden, halla N( )

sOrden, , KGBD

halla N( )s

Orden, halla N( )s

Orden, ,←

s 1 rows KGBD( )..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

KGB

Mm n, 0←

Nn

n←

n 1 NGL..∈for

m 1 NGL..∈for

Mhalla N( )

sOrden, halla N( )

sOrden, , KGBD

halla N( )s

Orden, halla N( )s

Orden, ,←

s 1 rows KGBD( )..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

8. Cálculo de la matriz de rigidez Gobal del sistema "KGB"

KG KGI KGB+:=

Kuu submatrix KG 1, NGLL, 1, NGLL,( ):=

Kur 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG 1, NGL, NGLL m+, NGL,( )←

M

otherwise

:= Krr 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG NGLL m+, NGL, NGLL m+, NGL,( )←

M

otherwise

:=

Kru 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix KG NGLL m+, NGL, 1, NGL,( )←

M

otherwise

:=

9. Cálculo del vector de fuerzas globales


CP

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mn 3⋅ 2− Fz

n←

Mn 3⋅ 1− Mx

n←

Mn 3⋅ My

n←

n 1 NN..∈for

M

:= FP

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla L

hOrden,( ) M

halla Lh

Orden,( ) CPh

+←

h 1 NGL..∈for

M

:=

fuerzas en coordenadas locales correspondientes a la carga distribuida sobre toda la losa

fuerzas en coordenadas locales correspondientes a la carga distribuida sobre toda la losa

Fek

q ak

⋅ bk

⋅

88

8 bk

⋅

3

8− ak

⋅

38

8 bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8− ak

⋅

3

T

:=

FD

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Fei( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

fuerzas en coordenadas locales correspondientes a la carga distribuida en el elemento

Fepk

qek

ak

⋅ bk

⋅

88

8 bk

⋅

3

8− ak

⋅

38

8 bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8 ak

⋅

38

8− bk

⋅

3

8− ak

⋅

3

T

:=

FDP

Mm

0←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Mhalla OElem

i( )n

Orden,

Fepi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

Vector de fuerzas totales en coordenadas globales

FT FP FD+ FDP+:=

FTu submatrix FT 1, NGLL, 1, 1,( ):=

FTr 0 ORNGL

0=if

m 0 ORNGL

0=if

1 otherwise

←

M submatrix FT NGLL m+, NGL, 1, 1,( )←

M

otherwise

:=


Δ

u

Kuu1−

FTu⋅:=

PP 0 NGLR 0=if

Mg

0←


M

:= Δ Δ

u

NGLR 0=if

stack Δ

u

PP,( ) otherwise

:= Δ

o

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla Orden

hL,( ) M

halla Ordenh

L,( ) Δh

+←

h 1 NGL..∈for

M

:=

PP 0 NGLR 0=if

Mg

0←


M

:= Δ Δ

u

NGLR 0=if

stack Δ

u

PP,( ) otherwise

:= Δ

o

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla Orden

hL,( ) M

halla Ordenh

L,( ) Δh

+←

h 1 NGL..∈for

M

:=

w

Mj

Δ

o

3 j⋅ 2−←

j 1 NN..∈for

M

:= θ

x

Mj

Δ

o

3 j⋅ 1−←

j 1 NN..∈for

M

:= θ

y

Mj

Δ

o

3 j⋅←

j 1 NN..∈for

M

:=

11. Cálculo de desplazamientos nodales en cada elemento

A a:= B b:=

Dlk

Mg

Δhalla OElem

k( )g

Orden,

←

g 1 12..∈for

M

:=

12. Cálculo de deformaciones en toda la estructura (Cara superior de la losa)

B1k

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

−

1

ak

−

2

ak

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

1

ak

0

0

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

−

0

0

0

1

bk

−

:=

B2k

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

2

bk

−

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

1

bk

−

0

0

0

1

bk

−

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

:=

B3k

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

0

0

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

−

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

:=

B3k

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

0

0

0

0

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

1

bk

0

0

0

1

bk

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

2

bk

1

ak

2

ak

−

0

1

bk

−

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

1

ak

−

1

ak

−

0

0

:=

B4k

0

3

2 bk( )2⋅

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

1

bk

0

0

0

1

bk

0

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

0

0

0

0

0

3

2 ak( )2⋅

0

1

2 ak

⋅ bk

⋅−

0

0

1

ak

1

ak

0

0

3

2 ak( )2⋅

−

3

2 bk( )2⋅

−

1

2 ak

⋅ bk

⋅

0

2

bk

1

ak

−

2

ak

0

1

bk

−

:=

BNk

Mh g, B1

k( )h g,

←

Mh 3+ g, B2

k( )h g,

←

Mh 6+ g, B3

k( )h g,

←

Mh 9+ g, B4

k( )h g,

←

h 1 3..∈for

g 1 12..∈for

M

−:= εk

t

2BN

k⋅ Dl

k⋅:= ε

g

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

JK,

Mhalla OElem

i( )n

JK,

εi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

ε

g

x

Mj

ε

g

3 j⋅ 2−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= ε

g

y

Mj

ε

g

3 j⋅ 1−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= γ

g

xy

Mj

ε

g

3 j⋅Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:=

13. Cálculo de esfuerzos en toda la estructura (Cara superior de la losa)

DE

1 ν2−

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

⋅:=

DE

1 ν2−

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ν0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ν1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 ν−2

⋅:=

σk

D εk

⋅:= σ

g

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla OElem

i( )n

JK,

Mhalla OElem

i( )n

JK,

σi( )

n+←

n 1 12..∈for

i 1 NE..∈for

M

:=

σ

g

x

Mj

σ

g

3 j⋅ 2−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= σ

g

y

Mj

σ

g

3 j⋅ 1−Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:= τ

g

xy

Mj

σ

g

3 j⋅Re

j

←

j 1 NN..∈for

M

:=

14. Cálculo de momentos en toda la estructura

Mgxxt2− E⋅

6 1 ν2−( )⋅ε

g

x ν ε

g

y⋅+( )⋅:= Mgyyt2− E⋅

6 1 ν2−( )⋅ε

g

y ν ε

g

x⋅+( )⋅:= Mgxyt2− E⋅ 1 ν−( )⋅

12 1 ν2−( )⋅γ

g

xy( )⋅:=

rw rows Mgxx( ):= i 1 rw 1−..:=

Mgxx_max max Mgxx( ):= Mgxx_min min Mgxx( ):=

Mgyy_max max Mgxx( ):= Mgyy_min min Mgxx( ):=

Mgxy_max max Mgxx( ):= Mgxy_min min Mgxx( ):=

mapi

Mgyy_min

max Mgxy( ) Mgxy_min−

rw 1−i+:=

j 1 20..:= colscalej⟨⟩

map:=

15. Cálculo de fuerzas cortantes en toda la estructura

Qgxk

t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅BQx

k⋅ Dl

k⋅:= ON

k

N1k

N2k

N3k

N4k

:=

QGx

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NN..∈for

Mhalla ON

i( )n

JK,

Mhalla ON

i( )n

JK,

Qgxi( )

n+←

n 1 4..∈for

i 1 NE..∈for

M

:= Qg1x

Mj

QGxj

Rej

←

j 1 NN..∈for

M

:= Qstx 2 ts⋅ θ

y

−( )⋅:=

Qgx Qg1x Qstx−:=

Qgyk

t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅BQy

k⋅ Dl

k⋅:=

QGy

Mm

0←

JKm

m←

m 1 NN..∈for

Mhalla ON

i( )n

JK,

Mhalla ON

i( )n

JK,

Qgyi( )

n+←

n 1 4..∈for

i 1 NE..∈for

M

:= Qg1y

Mj

QGyj

Rej

←

j 1 NN..∈for

M

:= Qsty 2 ts⋅ θ

x

⋅:=

Qgy Qg1y Qsty−:=

16. Cálculo de las presiones de contacto

pint ks w⋅ 2ts

2 ε

g

x⋅

t

2 ε

g

y⋅

t+

⋅+:=

Fb KGB Δ⋅:=

p0

Mm

0←

Lm

m←

m 1 NGL..∈for

Mhalla Orden

hL,( ) Fbhalla Orden

hL,( )←

h 1 NGL..∈for

M

:= PB

Mj

p03 j⋅ 2−←

j 1 NN..∈for

M

:=

h 1 NN..:= pexth

PBh

a1

b1

⋅Desc

h1=if

PBh

2 a1

⋅ b1

⋅Desc

h2=if

PBh

2 a1

⋅ b1

⋅Desc

h3=if

0 Desch

0=if

:= p pint pext+( )−:=

III. Resultados

A. Resultados en toda la estructura

1. Gráficas de desplazamientos verticales y giros

Desplazamientos verticales "w"

X Y, w,( )

Giros en la dirección x "θx" Giros en la dirección y "θy"

X Y, θ

x

,( )X Y, θ

y

,( )

2. Gráficas de deformaciones en toda la estructura (cara superior de la losa)

X Y, ε

g

x,( ) X Y, ε

g

y,( ) X Y, γ

g

xy,( )

3. Gráficas de esfuerzos en toda la estructura (cara superior de la losa)

X Y, σ

g

x,( ) X Y, σ

g

y,( ) X Y, τ

g

xy,( )

4. Gráfica de momentos en toda la estructura

X Y, Mgxx,( ) X Y, Mgyy,( ) X Y, Mgxy,( )

5. Gráficas de fuerzas cortantes en toda la estructura


6. Gráfica de presiones de contacto

X Y, p,( )

X Y, p,( )

B. Resultados por elemento

Número de elemento que se desea Graficar N 5:=

Longitud en la dirección x a aN

:=

Longitud en la dirección x b bN

:=

dominio del elemento en x a− a..:= y b− b..:=

Coordenadas Naturales ξ x( )x

a:= η y( )

y

b:=

Funcines de forma

N1 x y,( )1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 2 ξ x( )− η y( )− ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N2 x y,( ) b1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 η y( )−( )

2⋅8

:=

N3 x y,( ) a1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 ξ x( )−( )

2⋅8

−:=

N4 x y,( )1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 2 ξ x( )+ η y( )− ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N5 x y,( ) b1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 η y( )−( )

2⋅8

:=

N6 x y,( ) a1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 ξ x( )+( )

2⋅8

:=

N7 x y,( )1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 2 ξ x( )+ η y( )+ ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N8 x y,( ) b1 ξ x( )+( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 η y( )+( )

2⋅8

−:=

N9 x y,( ) a1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 ξ x( )+( )

2⋅8

:=

N9 x y,( ) a1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 ξ x( )+( )

2⋅8

:=

N10 x y,( )1 ξ x( )−( ) 1 η y( )+( )⋅ 2 ξ x( )− η y( )+ ξ x( )

2− η y( )2−( )⋅

8:=

N11 x y,( ) b1 ξ x( )−( ) 1 η y( )−( )⋅ 1 η y( )+( )

2⋅8

−:=

N12 x y,( ) a1 ξ x( )+( ) 1 η y( )+( )⋅ 1 ξ x( )−( )

2⋅8

−:=

Desplazamiento por elemento

We1 x y,( ) DlN( )

1N1 x y,( )⋅ Dl

N( )2

N2 x y,( )⋅+ DlN( )

3N3 x y,( )⋅+ Dl

N( )4

N4 x y,( )⋅+ DlN( )

5N5 x y,( )⋅+ Dl

N( )6

N6 x y,( )⋅+:=

We2 x y,( ) DlN( )

7N7 x y,( )⋅ Dl

N( )8

N8 x y,( )⋅+ DlN( )

9N9 x y,( )⋅+ Dl

N( )10

N10 x y,( )⋅+ DlN( )

11N11 x y,( )⋅+ Dl

N( )12

N12 x y,( )⋅+:=

We x y,( ) We1 x y,( ) We2 x y,( )+:=

θx x y,( )y

We x y,( )d

d

:=

θy x y,( )x

We x y,( )d

d

−:=

Coordenada del punto dentro del elemento que se desea obtener resultados xp a:=

yp b−:=

1. Desplazamientos en el elemento seleccionado

We( ) θx( ) θy( )

We( ) θx( ) θy( )

We xp yp,( ) 1.576− 103−×= θx xp yp,( ) 1.6− 10

4−×= θy xp yp,( ) 0=

2. Deformaciones en el elemento seleccionado (cara superior de la losa)

ε

e

x x y,( )t

2−

2x

We x y,( )d

d

2

:= ε

e

y x y,( )t

2−

2y

We x y,( )d

d

2

:= γ

e

xy x y,( ) t−y x

We x y,( )d

d

d

d

⋅:=

ε

e

x( ) ε

e

y( ) γ

g

xy( )

ε

e

x xp yp,( ) 4.372− 105−×= ε

e

y xp yp,( ) 7.136 106−×= γ

e

xy xp yp,( ) 6.174− 107−×=

3. Esfuerzos en el elemento seleccionado (cara superior de la losa)

σ

e

x x y,( )E

1 ν2−ε

e

x x y,( ) ν ε

e

y x y,( )⋅+( )⋅:=

σ

e

y x y,( )E

1 ν2−ε

e

y x y,( ) ν ε

e

x x y,( )⋅+( )⋅:=

τ

e

xy x y,( )E

1 ν2−

1 ν−2

⋅ γ

e

xy x y,( )⋅:=

ε

e

x( ) ε

e

y( ) γ

g

xy( )

ε

e

x( ) ε

e

y( ) γ

g

xy( )

σ

e

x xp yp,( ) 95.15−= σ

e

y xp yp,( ) 0.663−= τ

e

xy xp yp,( ) 0.573−=

4. Momentos en el elemento seleccionado

Mexx x y,( )t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅2

xWe x y,( )

d

d

2

ν2

yWe x y,( )

d

d

2⋅+

⋅:=

Meyy x y,( )t3

E⋅

12 1 ν2−( )⋅2

yWe x y,( )

d

d

2

ν2

xWe x y,( )

d

d

2⋅+

⋅:=

Mexy x y,( )t3

E⋅ 1 ν−( )⋅

12 1 ν2−( )⋅ x yWe x y,( )

d

d

d

d

⋅:=


Mexx xp yp,( ) 1.427= Meyy xp yp,( ) 9.947 103−×= Mexy xp yp,( ) 8.602 10

3−×=

5. Fuerzas cortantes en el elemento seleccionado


12 1 ν2−( )⋅3

xWe x y,( )

d

d

3

x 2

yWe x y,( )

d

d

2

d

d

+

⋅ 2 ts⋅x

We x y,( )d

d

⋅+

−:=


12 1 ν2−( )⋅3

xWe x y,( )

d

d

3

x 2

yWe x y,( )

d

d

2

d

d

+

⋅ 2 ts⋅x

We x y,( )d

d

⋅+

−:=

Qey x y,( )t3− E⋅

12 1 ν2−( )⋅3

yWe x y,( )

d

d

3

y 2

xWe x y,( )

d

d

2

d

d

+

⋅ 2 ts⋅y

We x y,( )d

d

⋅+

−:=

Qex( ) Qey( )

Qex xp yp,( ) 0.812= Qey xp yp,( ) 1.282=

γII. Evaluaión del parámetroEl valor del parametro γf debera ser muy proximo al valor γi, el cual fue utilizado paracomenzar el proceso iterativo, de no ser asi debera realizarse de nuevo los calculo conel valor de γf; hasta lograr una buena aproximacion entre los valores γi y γf.

Definición de λ λ ks

2 ts⋅:=

a) En la region interior (I)

Sumando en el numerador

Ni1

NN

i

LLi∑

=NN

max X( ) min X( )−( ) max Y( ) min Y( )−( )⋅[ ]⋅:=

LL

Mi

θ

x

iθ

y

i−( ) θ

x

iθ

y

i−( )⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Ni1

NN

i

LLi∑

=NN

max X( ) min X( )−( ) max Y( ) min Y( )−( )⋅[ ]⋅:=

Sumando en el denominador

LL

Mi

wi

wi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Di1

NN

i

LLi∑

=NN

max X( ) min X( )−( )⋅ max Y( ) min Y( )−( )⋅:=

b) En la region correspondiente a las esquinas (III, V, VII, IX)


PP

Mi

wi

Desci

1=if

0 otherwise

←

i 1 NN..∈for

M

:= FF

Mi

1 LLi

0≠if

0 LLi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:=LL

1

2M

iPP

iPP

i⋅←

i 1 NN..∈for

M

⋅:=

Ne1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

:=


LL1

4 λ2⋅ Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

⋅:=

De1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

:=

c) En la región VIII


PPh

wh

Xh

min X( )=if

0 Xh

min X( )≠if

:= FF

Mi

1 PPi

0≠if

0 PPi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:= LL

Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Ny_izqλ2

1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max Y( ) min Y( )−( )⋅:=


Dy_izq1

2 λ⋅1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max Y( ) min Y( )−( )⋅:=

d) En la region correspondiente a las región IV

d) En la region correspondiente a las región IV


PPh

wh

Xh

max X( )=if

0 Xh

max X( )≠if

:= FF

Mi

1 PPi

0≠if

0 PPi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:= LL

Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Ny_derλ2

1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max Y( ) min Y( )−( )⋅:=


Dy_der1

2 λ⋅1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max Y( ) min Y( )−( )⋅:=

e) En la region correspondiente a las región VI


PPh

wh

Yh

min Y( )=if

0 Yh

min Y( )≠if

:= FF

Mi

1 PPi

0≠if

0 PPi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:= LL

Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Nx_botλ2

1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max X( ) min X( )−( )⋅:=


Dx_bot1

2 λ⋅1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max X( ) min X( )−( )⋅:=

e) En la region correspondiente a las región II


PPh

wh

Yh

max Y( )=if

0 Yh

max Y( )≠if

:= FF

Mi

1 PPi

0≠if

0 PPi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:= LL

Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

PPh

wh

Yh

max Y( )=if

0 Yh

max Y( )≠if

:= FF

Mi

1 PPi

0≠if

0 PPi

0=if

←

i 1 NN..∈for

M

:= LL

Mi

PPi

PPi

⋅←

i 1 NN..∈for

M

:=

Nx_topλ2

1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max X( ) min X( )−( )⋅:=


Dx_top1

2 λ⋅1

NN

i

LLi∑

=

1

NN

i

FFi∑

=

⋅ max X( ) min X( )−( )⋅:=

Calculo del valor de γ

γf

1 2 νs⋅−( ) Ni Ne+ Ny_izq+ Ny_der+ Nx_top+ Nx_bot+( )⋅

2 1 νs−( )⋅ Di De+ Dy_izq+ Dy_der+ Dx_top+ Dx_bot+( )⋅H⋅:=

γf 1.84791=

Anexo 7.C -309-

Anexo 7.C

Resultados nodales de los ejercicios desarrollados

Resultados del ejemplo N°2 utilizando el modelo de Winkler (carga puntual)

Nodow

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)1 -3.55E-03 -7.69E-05 7.69E-05 1.47E+00 1.47E+00 2.25E+00 -0.022 -0.022 -0.034 0.708 0.708 2.942 -3.56E-03 -7.90E-05 7.46E-05 -8.68E+00 6.01E-01 3.83E+00 0.13 -9.01E-03 -0.057 0.685 0.331 2.9533 -3.58E-03 -8.25E-05 6.60E-05 -1.96E+01 7.79E-01 5.48E+00 0.293 -0.012 -0.082 0.705 0.322 2.9654 -3.59E-03 -8.66E-05 5.01E-05 -3.20E+01 6.27E-01 5.61E+00 0.48 -9.40E-03 -0.084 0.678 0.298 2.9745 -3.60E-03 -9.00E-05 2.72E-05 -4.22E+01 4.10E-01 3.59E+00 0.633 -6.14E-03 -0.054 0.422 0.272 2.9816 -3.60E-03 -9.13E-05 5.18E-14 -4.62E+01 3.06E-01 1.14E-10 0.693 -4.59E-03 -1.72E-12 9.05E-12 0.262 2.9837 -3.60E-03 -9.00E-05 -2.72E-05 -4.22E+01 4.10E-01 -3.59E+00 0.633 -6.14E-03 0.054 -0.422 0.272 2.9818 -3.59E-03 -8.66E-05 -5.01E-05 -3.20E+01 6.27E-01 -5.61E+00 0.48 -9.40E-03 0.084 -0.678 0.298 2.9749 -3.58E-03 -8.25E-05 -6.60E-05 -1.96E+01 7.79E-01 -5.48E+00 0.293 -0.012 0.082 -0.705 0.322 2.96510 -3.56E-03 -7.90E-05 -7.46E-05 -8.68E+00 6.01E-01 -3.83E+00 0.13 -9.01E-03 0.057 -0.685 0.331 2.95311 -3.55E-03 -7.69E-05 -7.69E-05 1.47E+00 1.47E+00 -2.25E+00 -0.022 -0.022 0.034 -0.708 0.708 2.9412 -3.56E-03 -7.46E-05 7.90E-05 6.01E-01 -8.68E+00 3.83E+00 -9.01E-03 0.13 -0.057 0.331 0.685 2.95313 -3.58E-03 -7.80E-05 7.80E-05 -6.61E+00 -6.61E+00 5.92E+00 0.099 0.099 -0.089 0.504 0.504 2.96614 -3.59E-03 -8.32E-05 7.08E-05 -1.89E+01 -4.84E+00 8.31E+00 0.283 0.073 -0.125 0.73 0.544 2.97915 -3.61E-03 -8.95E-05 5.50E-05 -3.38E+01 -2.15E+00 8.77E+00 0.507 0.032 -0.132 0.714 0.667 2.98916 -3.62E-03 -9.49E-05 3.04E-05 -4.67E+01 5.65E-01 5.80E+00 0.701 -8.48E-03 -0.087 0.448 0.789 2.99617 -3.62E-03 -9.71E-05 5.19E-14 -5.19E+01 1.75E+00 1.26E-10 0.779 -0.026 -1.90E-12 -3.57E-11 0.838 2.99918 -3.62E-03 -9.49E-05 -3.04E-05 -4.67E+01 5.65E-01 -5.80E+00 0.701 -8.48E-03 0.087 -0.448 0.789 2.99619 -3.61E-03 -8.95E-05 -5.50E-05 -3.38E+01 -2.15E+00 -8.77E+00 0.507 0.032 0.132 -0.714 0.667 2.98920 -3.59E-03 -8.32E-05 -7.08E-05 -1.89E+01 -4.84E+00 -8.31E+00 0.283 0.073 0.125 -0.73 0.544 2.97921 -3.58E-03 -7.80E-05 -7.80E-05 -6.61E+00 -6.61E+00 -5.92E+00 0.099 0.099 0.089 -0.504 0.504 2.96622 -3.56E-03 -7.46E-05 -7.90E-05 6.01E-01 -8.68E+00 -3.83E+00 -9.01E-03 0.13 0.057 -0.331 0.685 2.95323 -3.58E-03 -6.60E-05 8.25E-05 7.79E-01 -1.96E+01 5.48E+00 -0.012 0.293 -0.082 0.322 0.705 2.96524 -3.59E-03 -7.08E-05 8.32E-05 -4.84E+00 -1.89E+01 8.31E+00 0.073 0.283 -0.125 0.544 0.73 2.97925 -3.61E-03 -7.82E-05 7.82E-05 -1.78E+01 -1.78E+01 1.22E+01 0.266 0.266 -0.183 0.895 0.895 2.99226 -3.62E-03 -8.79E-05 6.32E-05 -3.69E+01 -1.48E+01 1.42E+01 0.554 0.222 -0.214 0.966 1.357 3.00427 -3.63E-03 -9.72E-05 3.60E-05 -5.61E+01 -1.05E+01 1.04E+01 0.842 0.157 -0.156 0.646 1.966 3.01228 -3.64E-03 -1.01E-04 5.20E-14 -6.42E+01 -8.73E+00 1.54E-10 0.963 0.131 -2.31E-12 -2.45E-11 2.115 3.01529 -3.63E-03 -9.72E-05 -3.60E-05 -5.61E+01 -1.05E+01 -1.04E+01 0.842 0.157 0.156 -0.646 1.966 3.01230 -3.62E-03 -8.79E-05 -6.32E-05 -3.69E+01 -1.48E+01 -1.42E+01 0.554 0.222 0.214 -0.966 1.357 3.00431 -3.61E-03 -7.82E-05 -7.82E-05 -1.78E+01 -1.78E+01 -1.22E+01 0.266 0.266 0.183 -0.895 0.895 2.99232 -3.59E-03 -7.08E-05 -8.32E-05 -4.84E+00 -1.89E+01 -8.31E+00 0.073 0.283 0.125 -0.544 0.73 2.97933 -3.58E-03 -6.60E-05 -8.25E-05 7.79E-01 -1.96E+01 -5.48E+00 -0.012 0.293 0.082 -0.322 0.705 2.96534 -3.59E-03 -5.01E-05 8.66E-05 6.27E-01 -3.20E+01 5.61E+00 -9.40E-03 0.48 -0.084 0.298 0.678 2.97435 -3.61E-03 -5.50E-05 8.95E-05 -2.15E+00 -3.38E+01 8.77E+00 0.032 0.507 -0.132 0.667 0.714 2.98936 -3.62E-03 -6.32E-05 8.79E-05 -1.48E+01 -3.69E+01 1.42E+01 0.222 0.554 -0.214 1.357 0.966 3.00437 -3.64E-03 -7.55E-05 7.55E-05 -3.88E+01 -3.88E+01 1.94E+01 0.582 0.582 -0.292 1.709 1.709 3.01838 -3.65E-03 -8.98E-05 4.57E-05 -7.18E+01 -3.41E+01 1.79E+01 1.076 0.511 -0.269 1.268 3.512 3.02839 -3.66E-03 -9.69E-05 5.22E-14 -8.75E+01 -3.19E+01 2.56E-10 1.313 0.478 -3.84E-12 -1.95E-11 4.238 3.03240 -3.65E-03 -8.98E-05 -4.57E-05 -7.18E+01 -3.41E+01 -1.79E+01 1.076 0.511 0.269 -1.268 3.512 3.02841 -3.64E-03 -7.55E-05 -7.55E-05 -3.88E+01 -3.88E+01 -1.94E+01 0.582 0.582 0.292 -1.709 1.709 3.01842 -3.62E-03 -6.32E-05 -8.79E-05 -1.48E+01 -3.69E+01 -1.42E+01 0.222 0.554 0.214 -1.357 0.966 3.00443 -3.61E-03 -5.50E-05 -8.95E-05 -2.15E+00 -3.38E+01 -8.77E+00 0.032 0.507 0.132 -0.667 0.714 2.98944 -3.59E-03 -5.01E-05 -8.66E-05 6.27E-01 -3.20E+01 -5.61E+00 -9.40E-03 0.48 0.084 -0.298 0.678 2.97445 -3.60E-03 -2.72E-05 9.00E-05 4.10E-01 -4.22E+01 3.59E+00 -6.14E-03 0.633 -0.054 0.272 0.422 2.98146 -3.62E-03 -3.04E-05 9.49E-05 5.65E-01 -4.67E+01 5.80E+00 -8.48E-03 0.701 -0.087 0.789 0.448 2.99647 -3.63E-03 -3.60E-05 9.72E-05 -1.05E+01 -5.61E+01 1.04E+01 0.157 0.842 -0.156 1.966 0.646 3.01248 -3.65E-03 -4.57E-05 8.98E-05 -3.41E+01 -7.18E+01 1.79E+01 0.511 1.076 -0.269 3.512 1.268 3.02849 -3.67E-03 -6.18E-05 6.18E-05 -8.75E+01 -8.75E+01 2.59E+01 1.312 1.312 -0.388 3.001 3.001 3.04150 -3.68E-03 -7.68E-05 5.24E-14 -1.38E+02 -6.40E+01 2.93E-10 2.07 0.96 -4.40E-12 9.81E-12 13.306 3.04751 -3.67E-03 -6.18E-05 -6.18E-05 -8.75E+01 -8.75E+01 -2.59E+01 1.312 1.312 0.388 -3.001 3.001 3.04152 -3.65E-03 -4.57E-05 -8.98E-05 -3.41E+01 -7.18E+01 -1.79E+01 0.511 1.076 0.269 -3.512 1.268 3.02853 -3.63E-03 -3.60E-05 -9.72E-05 -1.05E+01 -5.61E+01 -1.04E+01 0.157 0.842 0.156 -1.966 0.646 3.01254 -3.62E-03 -3.04E-05 -9.49E-05 5.65E-01 -4.67E+01 -5.80E+00 -8.48E-03 0.701 0.087 -0.789 0.448 2.99655 -3.60E-03 -2.72E-05 -9.00E-05 4.10E-01 -4.22E+01 -3.59E+00 -6.14E-03 0.633 0.054 -0.272 0.422 2.98156 -3.60E-03 3.48E-14 9.13E-05 3.06E-01 -4.62E+01 -5.32E-11 -4.59E-03 0.693 7.97E-13 0.262 -2.19E-12 2.98357 -3.62E-03 3.48E-14 9.71E-05 1.75E+00 -5.19E+01 -1.03E-10 -0.026 0.779 1.54E-12 0.838 -3.63E-12 2.99958 -3.64E-03 3.49E-14 1.01E-04 -8.73E+00 -6.42E+01 -1.30E-10 0.131 0.963 1.95E-12 2.115 -9.63E-12 3.015

Anexo 7.C -310-

Valorw

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)

Máx -3.55E-03 1.01E-04 1.01E-04 1.75E+00 1.75E+00 2.59E+01 3.91E+00 3.91E+00 3.88E-01 1.33E+01 1.33E+01 3.05E+00

Mín. -3.69E-03 -1.01E-04 -1.01E-04 -2.61E+02 -2.61E+02 -2.59E+01 -2.60E-02 -2.60E-02 -3.88E-01 -1.33E+01 -1.33E+01 2.94E+00

59 -3.66E-03 3.50E-14 9.69E-05 -3.19E+01 -8.75E+01 -8.91E-11 0.478 1.313 1.34E-12 4.238 -2.08E-11 3.03260 -3.68E-03 3.50E-14 7.68E-05 -6.40E+01 -1.38E+02 3.82E-11 0.96 2.07 -5.73E-13 13.306 -2.21E-11 3.04761 -3.69E-03 3.49E-14 5.25E-14 -2.61E+02 -2.61E+02 1.90E-10 3.908 3.908 -2.84E-12 3.37E-11 -6.02E-11 3.05462 -3.68E-03 3.47E-14 -7.68E-05 -6.40E+01 -1.38E+02 2.64E-10 0.96 2.07 -3.96E-12 -13.306 -4.46E-12 3.04763 -3.66E-03 3.46E-14 -9.69E-05 -3.19E+01 -8.75E+01 1.62E-10 0.478 1.313 -2.42E-12 -4.238 1.59E-11 3.03264 -3.64E-03 3.45E-14 -1.01E-04 -8.73E+00 -6.42E+01 1.37E-11 0.131 0.963 -2.06E-13 -2.115 1.87E-11 3.01565 -3.62E-03 3.45E-14 -9.71E-05 1.75E+00 -5.19E+01 2.59E-12 -0.026 0.779 -3.89E-14 -0.838 1.98E-12 2.99966 -3.60E-03 3.45E-14 -9.13E-05 3.06E-01 -4.62E+01 3.54E-11 -4.59E-03 0.693 -5.31E-13 -0.262 -7.08E-12 2.98367 -3.60E-03 2.72E-05 9.00E-05 4.10E-01 -4.22E+01 -3.59E+00 -6.14E-03 0.633 0.054 0.272 -0.422 2.98168 -3.62E-03 3.04E-05 9.49E-05 5.65E-01 -4.67E+01 -5.80E+00 -8.48E-03 0.701 0.087 0.789 -0.448 2.99669 -3.63E-03 3.60E-05 9.72E-05 -1.05E+01 -5.61E+01 -1.04E+01 0.157 0.842 0.156 1.966 -0.646 3.01270 -3.65E-03 4.57E-05 8.98E-05 -3.41E+01 -7.18E+01 -1.79E+01 0.511 1.076 0.269 3.512 -1.268 3.02871 -3.67E-03 6.18E-05 6.18E-05 -8.75E+01 -8.75E+01 -2.59E+01 1.312 1.312 0.388 3.001 -3.001 3.04172 -3.68E-03 7.68E-05 5.26E-14 -1.38E+02 -6.40E+01 6.78E-11 2.07 0.96 -1.02E-12 3.05E-11 -13.306 3.04773 -3.67E-03 6.18E-05 -6.18E-05 -8.75E+01 -8.75E+01 2.59E+01 1.312 1.312 -0.388 -3.001 -3.001 3.04174 -3.65E-03 4.57E-05 -8.98E-05 -3.41E+01 -7.18E+01 1.79E+01 0.511 1.076 -0.269 -3.512 -1.268 3.02875 -3.63E-03 3.60E-05 -9.72E-05 -1.05E+01 -5.61E+01 1.04E+01 0.157 0.842 -0.156 -1.966 -0.646 3.01276 -3.62E-03 3.04E-05 -9.49E-05 5.65E-01 -4.67E+01 5.80E+00 -8.48E-03 0.701 -0.087 -0.789 -0.448 2.99677 -3.60E-03 2.72E-05 -9.00E-05 4.10E-01 -4.22E+01 3.59E+00 -6.14E-03 0.633 -0.054 -0.272 -0.422 2.98178 -3.59E-03 5.01E-05 8.66E-05 6.27E-01 -3.20E+01 -5.61E+00 -9.40E-03 0.48 0.084 0.298 -0.678 2.97479 -3.61E-03 5.50E-05 8.95E-05 -2.15E+00 -3.38E+01 -8.77E+00 0.032 0.507 0.132 0.667 -0.714 2.98980 -3.62E-03 6.32E-05 8.79E-05 -1.48E+01 -3.69E+01 -1.42E+01 0.222 0.554 0.214 1.357 -0.966 3.00481 -3.64E-03 7.55E-05 7.55E-05 -3.88E+01 -3.88E+01 -1.94E+01 0.582 0.582 0.292 1.709 -1.709 3.01882 -3.65E-03 8.98E-05 4.57E-05 -7.18E+01 -3.41E+01 -1.79E+01 1.076 0.511 0.269 1.268 -3.512 3.02883 -3.66E-03 9.69E-05 5.26E-14 -8.75E+01 -3.19E+01 -3.06E-11 1.313 0.478 4.59E-13 4.21E-11 -4.238 3.03284 -3.65E-03 8.98E-05 -4.57E-05 -7.18E+01 -3.41E+01 1.79E+01 1.076 0.511 -0.269 -1.268 -3.512 3.02885 -3.64E-03 7.55E-05 -7.55E-05 -3.88E+01 -3.88E+01 1.94E+01 0.582 0.582 -0.292 -1.709 -1.709 3.01886 -3.62E-03 6.32E-05 -8.79E-05 -1.48E+01 -3.69E+01 1.42E+01 0.222 0.554 -0.214 -1.357 -0.966 3.00487 -3.61E-03 5.50E-05 -8.95E-05 -2.15E+00 -3.38E+01 8.77E+00 0.032 0.507 -0.132 -0.667 -0.714 2.98988 -3.59E-03 5.01E-05 -8.66E-05 6.27E-01 -3.20E+01 5.61E+00 -9.40E-03 0.48 -0.084 -0.298 -0.678 2.97489 -3.58E-03 6.60E-05 8.25E-05 7.79E-01 -1.96E+01 -5.48E+00 -0.012 0.293 0.082 0.322 -0.705 2.96590 -3.59E-03 7.08E-05 8.32E-05 -4.84E+00 -1.89E+01 -8.31E+00 0.073 0.283 0.125 0.544 -0.73 2.97991 -3.61E-03 7.82E-05 7.82E-05 -1.78E+01 -1.78E+01 -1.22E+01 0.266 0.266 0.183 0.895 -0.895 2.99292 -3.62E-03 8.79E-05 6.32E-05 -3.69E+01 -1.48E+01 -1.42E+01 0.554 0.222 0.214 0.966 -1.357 3.00493 -3.63E-03 9.72E-05 3.60E-05 -5.61E+01 -1.05E+01 -1.04E+01 0.842 0.157 0.156 0.646 -1.966 3.01294 -3.64E-03 1.01E-04 5.26E-14 -6.42E+01 -8.73E+00 -7.95E-11 0.963 0.131 1.19E-12 5.37E-12 -2.115 3.01595 -3.63E-03 9.72E-05 -3.60E-05 -5.61E+01 -1.05E+01 1.04E+01 0.842 0.157 -0.156 -0.646 -1.966 3.01296 -3.62E-03 8.79E-05 -6.32E-05 -3.69E+01 -1.48E+01 1.42E+01 0.554 0.222 -0.214 -0.966 -1.357 3.00497 -3.61E-03 7.82E-05 -7.82E-05 -1.78E+01 -1.78E+01 1.22E+01 0.266 0.266 -0.183 -0.895 -0.895 2.99298 -3.59E-03 7.08E-05 -8.32E-05 -4.84E+00 -1.89E+01 8.31E+00 0.073 0.283 -0.125 -0.544 -0.73 2.97999 -3.58E-03 6.60E-05 -8.25E-05 7.79E-01 -1.96E+01 5.48E+00 -0.012 0.293 -0.082 -0.322 -0.705 2.965100 -3.56E-03 7.46E-05 7.90E-05 6.01E-01 -8.68E+00 -3.83E+00 -9.01E-03 0.13 0.057 0.331 -0.685 2.953101 -3.58E-03 7.80E-05 7.80E-05 -6.61E+00 -6.61E+00 -5.92E+00 0.099 0.099 0.089 0.504 -0.504 2.966102 -3.59E-03 8.32E-05 7.08E-05 -1.89E+01 -4.84E+00 -8.31E+00 0.283 0.073 0.125 0.73 -0.544 2.979103 -3.61E-03 8.95E-05 5.50E-05 -3.38E+01 -2.15E+00 -8.77E+00 0.507 0.032 0.132 0.714 -0.667 2.989104 -3.62E-03 9.49E-05 3.04E-05 -4.67E+01 5.65E-01 -5.80E+00 0.701 -8.48E-03 0.087 0.448 -0.789 2.996105 -3.62E-03 9.71E-05 5.25E-14 -5.19E+01 1.75E+00 -1.17E-10 0.779 -0.026 1.75E-12 3.40E-11 -0.838 2.999106 -3.62E-03 9.49E-05 -3.04E-05 -4.67E+01 5.65E-01 5.80E+00 0.701 -8.48E-03 -0.087 -0.448 -0.789 2.996107 -3.61E-03 8.95E-05 -5.50E-05 -3.38E+01 -2.15E+00 8.77E+00 0.507 0.032 -0.132 -0.714 -0.667 2.989108 -3.59E-03 8.32E-05 -7.08E-05 -1.89E+01 -4.84E+00 8.31E+00 0.283 0.073 -0.125 -0.73 -0.544 2.979109 -3.58E-03 7.80E-05 -7.80E-05 -6.61E+00 -6.61E+00 5.92E+00 0.099 0.099 -0.089 -0.504 -0.504 2.966110 -3.56E-03 7.46E-05 -7.90E-05 6.01E-01 -8.68E+00 3.83E+00 -9.01E-03 0.13 -0.057 -0.331 -0.685 2.953111 -3.55E-03 7.69E-05 7.69E-05 1.47E+00 1.47E+00 -2.25E+00 -0.022 -0.022 0.034 0.708 -0.708 2.94112 -3.56E-03 7.90E-05 7.46E-05 -8.68E+00 6.01E-01 -3.83E+00 0.13 -9.01E-03 0.057 0.685 -0.331 2.953113 -3.58E-03 8.25E-05 6.60E-05 -1.96E+01 7.79E-01 -5.48E+00 0.293 -0.012 0.082 0.705 -0.322 2.965114 -3.59E-03 8.66E-05 5.01E-05 -3.20E+01 6.27E-01 -5.61E+00 0.48 -9.40E-03 0.084 0.678 -0.298 2.974115 -3.60E-03 9.00E-05 2.72E-05 -4.22E+01 4.10E-01 -3.59E+00 0.633 -6.14E-03 0.054 0.422 -0.272 2.981116 -3.60E-03 9.13E-05 5.25E-14 -4.62E+01 3.06E-01 -8.49E-11 0.693 -4.59E-03 1.27E-12 1.32E-11 -0.262 2.983117 -3.60E-03 9.00E-05 -2.72E-05 -4.22E+01 4.10E-01 3.59E+00 0.633 -6.14E-03 -0.054 -0.422 -0.272 2.981118 -3.59E-03 8.66E-05 -5.01E-05 -3.20E+01 6.27E-01 5.61E+00 0.48 -9.40E-03 -0.084 -0.678 -0.298 2.974119 -3.58E-03 8.25E-05 -6.60E-05 -1.96E+01 7.79E-01 5.48E+00 0.293 -0.012 -0.082 -0.705 -0.322 2.965120 -3.56E-03 7.90E-05 -7.46E-05 -8.68E+00 6.01E-01 3.83E+00 0.13 -9.01E-03 -0.057 -0.685 -0.331 2.953121 -3.55E-03 7.69E-05 -7.69E-05 1.47E+00 1.47E+00 2.25E+00 -0.022 -0.022 -0.034 -0.708 -0.708 2.94

Anexo 7.C -311-

Resultados del ejemplo N°3 utilizando el modelo de Winkler (puntuales y repartidad)

Nodow

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)1 -3.81E-02 2.01E-03 -2.01E-03 -1.03E+01 -1.03E+01 1.27E+02 1.103 1.103 -13.574 -14.098 -14.098 7.8972 -3.43E-02 1.72E-03 -1.73E-03 2.53E+02 2.87E+01 7.03E+01 -26.988 -3.06E+00 -7.496 -6.797 -2.984 7.1013 -3.14E-02 1.65E-03 -1.18E-03 2.66E+02 2.49E+01 -1.63E+01 -28.396 -2.656 1.743 10.345 -2.723 6.54 -2.94E-02 1.74E-03 -9.73E-04 -1.11E+02 -1.33E+01 2.57E+01 11.81 1.42E+00 -2.742 -0.791 -21.488 6.0865 -2.75E-02 1.51E-03 -7.25E-04 3.06E+02 2.18E+01 7.35E+01 -32.661 -2.32E+00 -7.844 -12.371 -2.405 5.76 -2.68E-02 1.40E-03 0.00E+00 3.52E+02 1.53E+01 -1.04E-11 -37.534 -1.63E+00 1.11E-12 -1.99E-13 -2.962 5.5447 -2.75E-02 1.51E-03 7.25E-04 3.06E+02 2.18E+01 -7.35E+01 -32.661 -2.32E+00 7.844 12.371 -2.405 5.78 -2.94E-02 1.74E-03 9.73E-04 -1.11E+02 -1.33E+01 -2.57E+01 11.81 1.42E+00 2.742 0.791 -21.488 6.0869 -3.14E-02 1.65E-03 1.18E-03 2.66E+02 2.49E+01 1.63E+01 -28.396 -2.656 -1.743 -10.345 -2.723 6.510 -3.43E-02 1.72E-03 1.73E-03 2.53E+02 2.87E+01 -7.03E+01 -26.988 -3.06E+00 7.496 6.797 -2.984 7.10111 -3.81E-02 2.01E-03 2.01E-03 -1.03E+01 -1.03E+01 -1.27E+02 1.103 1.103 13.574 14.098 -14.098 7.89712 -3.43E-02 1.73E-03 -1.72E-03 2.87E+01 2.53E+02 7.03E+01 -3.06E+00 -26.988 -7.496 -2.984 -6.797 7.10113 -3.09E-02 1.57E-03 -1.57E-03 1.75E+02 1.75E+02 4.15E+01 -18.636 -18.636 -4.43 -1.781 -1.781 6.40914 -2.81E-02 1.52E-03 -1.21E-03 1.84E+02 1.65E+02 2.56E-01 -19.673 -17.619 -0.027 -0.589 -2.143 5.83215 -2.60E-02 1.52E-03 -9.12E-04 1.44E+02 2.03E+02 1.90E+01 -15.317 -21.649 -2.024 -0.807 -11.15 5.39616 -2.45E-02 1.41E-03 -5.65E-04 2.30E+02 1.50E+02 3.84E+01 -24.524 -1.60E+01 -4.094 -1.422 -2.085 5.08417 -2.39E-02 1.36E-03 0.00E+00 2.99E+02 1.33E+02 -6.57E-12 -31.889 -14.179 7.00E-13 1.65E-12 -2.161 4.96218 -2.45E-02 1.41E-03 5.65E-04 2.30E+02 1.50E+02 -3.84E+01 -24.524 -1.60E+01 4.094 1.422 -2.085 5.08419 -2.60E-02 1.52E-03 9.12E-04 1.44E+02 2.03E+02 -1.90E+01 -15.317 -21.649 2.024 0.807 -11.15 5.39620 -2.81E-02 1.52E-03 1.21E-03 1.84E+02 1.65E+02 -2.56E-01 -19.673 -17.619 0.027 0.589 -2.143 5.83221 -3.09E-02 1.57E-03 1.57E-03 1.75E+02 1.75E+02 -4.15E+01 -18.636 -18.636 4.43 1.781 -1.781 6.40922 -3.43E-02 1.73E-03 1.72E-03 2.87E+01 2.53E+02 -7.03E+01 -3.06E+00 -26.988 7.496 2.984 -6.797 7.10123 -3.14E-02 1.18E-03 -1.65E-03 2.49E+01 2.66E+02 -1.63E+01 -2.656 -28.396 1.743 -2.723 10.345 6.524 -2.81E-02 1.20E-03 -1.52E-03 1.65E+02 1.84E+02 2.56E-01 -17.619 -19.673 -0.027 -2.143 -0.589 5.83225 -2.54E-02 1.18E-03 -1.18E-03 1.88E+02 1.88E+02 1.97E+01 -20.035 -20.035 -2.104 -0.964 -0.964 5.27326 -2.34E-02 1.10E-03 -8.71E-04 1.53E+02 2.23E+02 1.21E+01 -16.282 -23.838 -1.293 -0.906 7.338 4.85127 -2.20E-02 1.11E-03 -5.19E-04 2.27E+02 1.85E+02 -1.56E+00 -24.179 -19.685 0.166 -1.684 -1.194 4.55728 -2.15E-02 1.12E-03 0.00E+00 2.82E+02 1.75E+02 -7.05E-12 -30.127 -18.657 7.52E-13 -1.99E-12 -1.022 4.44529 -2.20E-02 1.11E-03 5.19E-04 2.27E+02 1.85E+02 1.56E+00 -24.179 -19.685 -0.166 1.684 -1.194 4.55730 -2.34E-02 1.10E-03 8.71E-04 1.53E+02 2.23E+02 -1.21E+01 -16.282 -23.838 1.293 0.906 7.338 4.85131 -2.54E-02 1.18E-03 1.18E-03 1.88E+02 1.88E+02 -1.97E+01 -20.035 -20.035 2.104 0.964 -0.964 5.27332 -2.81E-02 1.20E-03 1.52E-03 1.65E+02 1.84E+02 -2.56E-01 -17.619 -19.673 0.027 2.143 -0.589 5.83233 -3.14E-02 1.18E-03 1.65E-03 2.49E+01 2.66E+02 1.63E+01 -2.656 -28.396 -1.743 2.723 10.345 6.534 -2.94E-02 9.73E-04 -1.74E-03 -1.33E+01 -1.11E+02 2.57E+01 1.42E+00 11.81 -2.742 -21.488 -0.791 6.08635 -2.60E-02 9.12E-04 -1.52E-03 2.03E+02 1.44E+02 1.90E+01 -21.649 -15.317 -2.024 -11.15 -0.807 5.39636 -2.34E-02 8.71E-04 -1.10E-03 2.23E+02 1.53E+02 1.21E+01 -23.838 -16.282 -1.293 7.338 -0.906 4.85137 -2.15E-02 8.42E-04 -8.42E-04 2.46E+01 2.46E+01 9.66E+00 -2.625 -2.625 -1.031 -0.871 -0.871 4.46338 -2.01E-02 8.19E-04 -5.42E-04 2.60E+02 1.58E+02 7.19E+00 -27.733 -16.905 -0.767 -9.924 -0.902 4.15839 -1.95E-02 8.09E-04 0.00E+00 2.78E+02 1.89E+02 -1.12E-11 -29.608 -20.203 1.20E-12 1.00E-12 -0.774 4.04540 -2.01E-02 8.19E-04 5.42E-04 2.60E+02 1.58E+02 -7.19E+00 -27.733 -16.905 0.767 9.924 -0.902 4.15841 -2.15E-02 8.42E-04 8.42E-04 2.46E+01 2.46E+01 -9.66E+00 -2.625 -2.625 1.031 0.871 -0.871 4.46342 -2.34E-02 8.71E-04 1.10E-03 2.23E+02 1.53E+02 -1.21E+01 -23.838 -16.282 1.293 -7.338 -0.906 4.85143 -2.60E-02 9.12E-04 1.52E-03 2.03E+02 1.44E+02 -1.90E+01 -21.649 -15.317 2.024 11.15 -0.807 5.39644 -2.94E-02 9.73E-04 1.74E-03 -1.33E+01 -1.11E+02 -2.57E+01 1.42E+00 11.81 2.742 21.488 -0.791 6.08645 -2.75E-02 7.25E-04 -1.51E-03 2.18E+01 3.06E+02 7.35E+01 -2.32E+00 -32.661 -7.844 -2.405 -12.371 5.746 -2.45E-02 5.65E-04 -1.41E-03 1.50E+02 2.30E+02 3.84E+01 -1.60E+01 -24.524 -4.094 -2.085 -1.422 5.08447 -2.20E-02 5.19E-04 -1.11E-03 1.85E+02 2.27E+02 -1.56E+00 -19.685 -24.179 0.166 -1.194 -1.684 4.55748 -2.01E-02 5.42E-04 -8.19E-04 1.58E+02 2.60E+02 7.19E+00 -16.905 -27.733 -0.767 -0.902 -9.924 4.15849 -1.87E-02 4.78E-04 -4.78E-04 2.23E+02 2.23E+02 2.21E+01 -23.824 -23.824 -2.359 -1.459 -1.459 3.88450 -1.83E-02 4.45E-04 0.00E+00 2.65E+02 2.22E+02 -1.91E-11 -28.309 -23.704 2.04E-12 -2.31E-13 -0.667 3.78251 -1.87E-02 4.78E-04 4.78E-04 2.23E+02 2.23E+02 -2.21E+01 -23.824 -23.824 2.359 1.459 -1.459 3.88452 -2.01E-02 5.42E-04 8.19E-04 1.58E+02 2.60E+02 -7.19E+00 -16.905 -27.733 0.767 0.902 -9.924 4.15853 -2.20E-02 5.19E-04 1.11E-03 1.85E+02 2.27E+02 1.56E+00 -19.685 -24.179 -0.166 1.194 -1.684 4.55754 -2.45E-02 5.65E-04 1.41E-03 1.50E+02 2.30E+02 -3.84E+01 -1.60E+01 -24.524 4.094 2.085 -1.422 5.08455 -2.75E-02 7.25E-04 1.51E-03 2.18E+01 3.06E+02 -7.35E+01 -2.32E+00 -32.661 7.844 2.405 -12.371 5.756 -2.68E-02 0.00E+00 -1.40E-03 1.53E+01 3.52E+02 -1.05E-11 -1.63E+00 -37.534 1.12E-12 -2.962 -1.48E-12 5.54457 -2.39E-02 0.00E+00 -1.36E-03 1.33E+02 2.99E+02 4.58E-13 -14.179 -31.889 -4.89E-14 -2.161 3.55E-15 4.96258 -2.15E-02 0.00E+00 -1.12E-03 1.75E+02 2.82E+02 -8.20E-12 -18.657 -30.127 8.74E-13 -1.022 -3.41E-13 4.44559 -1.95E-02 0.00E+00 -8.09E-04 1.89E+02 2.78E+02 -1.92E-11 -20.203 -29.608 2.04E-12 -0.774 -1.36E-12 4.04560 -1.83E-02 0.00E+00 -4.46E-04 2.22E+02 2.65E+02 -2.24E-11 -23.704 -28.309 2.39E-12 -0.667 -1.28E-12 3.782

Anexo 7.C -312-

Valorw

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)

Máx -1.78E-02 2.01E-03 2.01E-03 3.52E+02 3.52E+02 1.27E+02 1.18E+01 1.18E+01 1.36E+01 2.15E+01 2.15E+01 7.90E+00


61 -1.78E-02 0.00E+00 0.00E+00 2.50E+02 2.50E+02 -2.38E-11 -26.708 -26.708 2.54E-12 7.83E-13 -2.80E-13 3.68862 -1.83E-02 0.00E+00 4.46E-04 2.22E+02 2.65E+02 -2.30E-11 -23.704 -28.309 2.46E-12 0.667 -2.69E-12 3.78263 -1.95E-02 0.00E+00 8.09E-04 1.89E+02 2.78E+02 -1.71E-11 -20.203 -29.608 1.82E-12 0.774 -1.76E-12 4.04564 -2.15E-02 0.00E+00 1.12E-03 1.75E+02 2.82E+02 -8.30E-12 -18.657 -30.127 8.85E-13 1.022 -1.99E-12 4.44565 -2.39E-02 0.00E+00 1.36E-03 1.33E+02 2.99E+02 -7.42E-12 -14.179 -31.889 7.91E-13 2.161 1.65E-12 4.96266 -2.68E-02 0.00E+00 1.40E-03 1.53E+01 3.52E+02 -1.32E-11 -1.63E+00 -37.534 1.41E-12 2.962 -2.20E-13 5.54467 -2.75E-02 -7.25E-04 -1.51E-03 2.18E+01 3.06E+02 -7.35E+01 -2.32E+00 -32.661 7.844 -2.405 12.371 5.768 -2.45E-02 -5.65E-04 -1.41E-03 1.50E+02 2.30E+02 -3.84E+01 -1.60E+01 -24.524 4.094 -2.085 1.422 5.08469 -2.20E-02 -5.19E-04 -1.11E-03 1.85E+02 2.27E+02 1.56E+00 -19.685 -24.179 -0.166 -1.194 1.684 4.55770 -2.01E-02 -5.42E-04 -8.19E-04 1.58E+02 2.60E+02 -7.19E+00 -16.905 -27.733 0.767 -0.902 9.924 4.15871 -1.87E-02 -4.78E-04 -4.78E-04 2.23E+02 2.23E+02 -2.21E+01 -23.824 -23.824 2.359 -1.459 1.459 3.88472 -1.83E-02 -4.45E-04 0.00E+00 2.65E+02 2.22E+02 -2.40E-11 -28.309 -23.704 2.56E-12 -1.53E-12 0.667 3.78273 -1.87E-02 -4.78E-04 4.78E-04 2.23E+02 2.23E+02 2.21E+01 -23.824 -23.824 -2.359 1.459 1.459 3.88474 -2.01E-02 -5.42E-04 8.19E-04 1.58E+02 2.60E+02 7.19E+00 -16.905 -27.733 -0.767 0.902 9.924 4.15875 -2.20E-02 -5.19E-04 1.11E-03 1.85E+02 2.27E+02 -1.56E+00 -19.685 -24.179 0.166 1.194 1.684 4.55776 -2.45E-02 -5.65E-04 1.41E-03 1.50E+02 2.30E+02 3.84E+01 -1.60E+01 -24.524 -4.094 2.085 1.422 5.08477 -2.75E-02 -7.25E-04 1.51E-03 2.18E+01 3.06E+02 7.35E+01 -2.32E+00 -32.661 -7.844 2.405 12.371 5.778 -2.94E-02 -9.73E-04 -1.74E-03 -1.33E+01 -1.11E+02 -2.57E+01 1.42E+00 11.81 2.742 -21.488 0.791 6.08679 -2.60E-02 -9.12E-04 -1.52E-03 2.03E+02 1.44E+02 -1.90E+01 -21.649 -15.317 2.024 -11.15 0.807 5.39680 -2.34E-02 -8.71E-04 -1.10E-03 2.23E+02 1.53E+02 -1.21E+01 -23.838 -16.282 1.293 7.338 0.906 4.85181 -2.15E-02 -8.42E-04 -8.42E-04 2.46E+01 2.46E+01 -9.66E+00 -2.625 -2.625 1.031 -0.871 0.871 4.46382 -2.01E-02 -8.19E-04 -5.42E-04 2.60E+02 1.58E+02 -7.19E+00 -27.733 -16.905 0.767 -9.924 0.902 4.15883 -1.95E-02 -8.09E-04 0.00E+00 2.78E+02 1.89E+02 -2.21E-11 -29.608 -20.203 2.35E-12 9.90E-13 0.774 4.04584 -2.01E-02 -8.19E-04 5.42E-04 2.60E+02 1.58E+02 7.19E+00 -27.733 -16.905 -0.767 9.924 0.902 4.15885 -2.15E-02 -8.42E-04 8.42E-04 2.46E+01 2.46E+01 9.66E+00 -2.625 -2.625 -1.031 0.871 0.871 4.46386 -2.34E-02 -8.71E-04 1.10E-03 2.23E+02 1.53E+02 1.21E+01 -23.838 -16.282 -1.293 -7.338 0.906 4.85187 -2.60E-02 -9.12E-04 1.52E-03 2.03E+02 1.44E+02 1.90E+01 -21.649 -15.317 -2.024 11.15 0.807 5.39688 -2.94E-02 -9.73E-04 1.74E-03 -1.33E+01 -1.11E+02 2.57E+01 1.42E+00 11.81 -2.742 21.488 0.791 6.08689 -3.14E-02 -1.18E-03 -1.65E-03 2.49E+01 2.66E+02 1.63E+01 -2.656 -28.396 -1.743 -2.723 -10.345 6.590 -2.81E-02 -1.20E-03 -1.52E-03 1.65E+02 1.84E+02 -2.56E-01 -17.619 -19.673 0.027 -2.143 0.589 5.83291 -2.54E-02 -1.18E-03 -1.18E-03 1.88E+02 1.88E+02 -1.97E+01 -20.035 -20.035 2.104 -0.964 0.964 5.27392 -2.34E-02 -1.10E-03 -8.71E-04 1.53E+02 2.23E+02 -1.21E+01 -16.282 -23.838 1.293 -0.906 -7.338 4.85193 -2.20E-02 -1.11E-03 -5.19E-04 2.27E+02 1.85E+02 1.56E+00 -24.179 -19.685 -0.166 -1.684 1.194 4.55794 -2.15E-02 -1.12E-03 0.00E+00 2.82E+02 1.75E+02 -2.33E-11 -30.127 -18.657 2.49E-12 -2.07E-12 1.022 4.44595 -2.20E-02 -1.11E-03 5.19E-04 2.27E+02 1.85E+02 -1.56E+00 -24.179 -19.685 0.166 1.684 1.194 4.55796 -2.34E-02 -1.10E-03 8.71E-04 1.53E+02 2.23E+02 1.21E+01 -16.282 -23.838 -1.293 0.906 -7.338 4.85197 -2.54E-02 -1.18E-03 1.18E-03 1.88E+02 1.88E+02 1.97E+01 -20.035 -20.035 -2.104 0.964 0.964 5.27398 -2.81E-02 -1.20E-03 1.52E-03 1.65E+02 1.84E+02 2.56E-01 -17.619 -19.673 -0.027 2.143 0.589 5.83299 -3.14E-02 -1.18E-03 1.65E-03 2.49E+01 2.66E+02 -1.63E+01 -2.656 -28.396 1.743 2.723 -10.345 6.5100 -3.43E-02 -1.73E-03 -1.72E-03 2.87E+01 2.53E+02 -7.03E+01 -3.06E+00 -26.988 7.496 -2.984 6.797 7.101101 -3.09E-02 -1.57E-03 -1.57E-03 1.75E+02 1.75E+02 -4.15E+01 -18.636 -18.636 4.43 -1.781 1.781 6.409102 -2.81E-02 -1.52E-03 -1.21E-03 1.84E+02 1.65E+02 -2.56E-01 -19.673 -17.619 0.027 -0.589 2.143 5.832103 -2.60E-02 -1.52E-03 -9.12E-04 1.44E+02 2.03E+02 -1.90E+01 -15.317 -21.649 2.024 -0.807 11.15 5.396104 -2.45E-02 -1.41E-03 -5.65E-04 2.30E+02 1.50E+02 -3.84E+01 -24.524 -1.60E+01 4.094 -1.422 2.085 5.084105 -2.39E-02 -1.36E-03 0.00E+00 2.99E+02 1.33E+02 -2.83E-11 -31.889 -14.179 3.02E-12 -1.60E-12 2.161 4.962106 -2.45E-02 -1.41E-03 5.65E-04 2.30E+02 1.50E+02 3.84E+01 -24.524 -1.60E+01 -4.094 1.422 2.085 5.084107 -2.60E-02 -1.52E-03 9.12E-04 1.44E+02 2.03E+02 1.90E+01 -15.317 -21.649 -2.024 0.807 11.15 5.396108 -2.81E-02 -1.52E-03 1.21E-03 1.84E+02 1.65E+02 2.56E-01 -19.673 -17.619 -0.027 0.589 2.143 5.832109 -3.09E-02 -1.57E-03 1.57E-03 1.75E+02 1.75E+02 4.15E+01 -18.636 -18.636 -4.43 1.781 1.781 6.409110 -3.43E-02 -1.73E-03 1.72E-03 2.87E+01 2.53E+02 7.03E+01 -3.06E+00 -26.988 -7.496 2.984 6.797 7.101111 -3.81E-02 -2.01E-03 -2.01E-03 -1.03E+01 -1.03E+01 -1.27E+02 1.103 1.103 13.574 -14.098 14.098 7.897112 -3.43E-02 -1.72E-03 -1.73E-03 2.53E+02 2.87E+01 -7.03E+01 -26.988 -3.06E+00 7.496 -6.797 2.984 7.101113 -3.14E-02 -1.65E-03 -1.18E-03 2.66E+02 2.49E+01 1.63E+01 -28.396 -2.656 -1.743 10.345 2.723 6.5114 -2.94E-02 -1.74E-03 -9.73E-04 -1.11E+02 -1.33E+01 -2.57E+01 11.81 1.42E+00 2.742 -0.791 21.488 6.086115 -2.75E-02 -1.51E-03 -7.25E-04 3.06E+02 2.18E+01 -7.35E+01 -32.661 -2.32E+00 7.844 -12.371 2.405 5.7116 -2.68E-02 -1.40E-03 0.00E+00 3.52E+02 1.53E+01 -3.82E-11 -37.534 -1.63E+00 4.07E-12 2.11E-14 2.962 5.544117 -2.75E-02 -1.51E-03 7.25E-04 3.06E+02 2.18E+01 7.35E+01 -32.661 -2.32E+00 -7.844 12.371 2.405 5.7118 -2.94E-02 -1.74E-03 9.73E-04 -1.11E+02 -1.33E+01 2.57E+01 11.81 1.42E+00 -2.742 0.791 21.488 6.086119 -3.14E-02 -1.65E-03 1.18E-03 2.66E+02 2.49E+01 -1.63E+01 -28.396 -2.656 1.743 -10.345 2.723 6.5120 -3.43E-02 -1.72E-03 1.73E-03 2.53E+02 2.87E+01 7.03E+01 -26.988 -3.06E+00 -7.496 6.797 2.984 7.101121 -3.81E-02 -2.01E-03 2.01E-03 -1.03E+01 -1.03E+01 1.27E+02 1.103 1.103 -13.574 14.098 14.098 7.897

Anexo 7.C -313-

Resultados del ejemplo N°1 utilizando el modelo de Vlasov modificado (carga distribuida

Nodow

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)1 -5.39E-03 -1.45E-03 1.51E-03 6.90E-02 7.91E-01 -3.69E+01 -1.04E-03 -0.012 0.553 5.656 6.142 19.8332 -7.00E-03 -1.41E-03 1.00E-03 -1.10E+02 -1.90E+01 6.42E+01 1.644 2.85E-01 -0.963 5.042 3.006 9.4763 -8.13E-03 -1.59E-03 6.82E-04 -1.09E+02 -9.54E+00 6.35E+01 1.629 0.143 -0.953 4.087 3.685 10.8844 -8.85E-03 -1.72E-03 4.14E-04 -9.10E+01 -1.17E+01 4.20E+01 1.364 1.75E-01 -0.63 2.511 3.873 11.7675 -9.26E-03 -1.81E-03 1.93E-04 -7.56E+01 -1.00E+01 2.05E+01 1.134 1.51E-01 -0.307 1.144 4.089 12.2246 -9.38E-03 -1.84E-03 0.00E+00 -6.99E+01 -1.00E+01 1.02E-11 1.05E+00 1.51E-01 -1.53E-13 2.41E-14 4.143 12.3687 -9.26E-03 -1.81E-03 -1.93E-04 -7.56E+01 -1.00E+01 -2.05E+01 1.134 1.51E-01 0.307 -1.144 4.089 12.2248 -8.85E-03 -1.72E-03 -4.14E-04 -9.10E+01 -1.17E+01 -4.20E+01 1.364 1.75E-01 0.63 -2.511 3.873 11.7679 -8.13E-03 -1.59E-03 -6.82E-04 -1.09E+02 -9.54E+00 -6.35E+01 1.629 0.143 0.953 -4.087 3.685 10.88410 -7.00E-03 -1.41E-03 -1.00E-03 -1.10E+02 -1.90E+01 -6.42E+01 1.644 2.85E-01 0.963 -5.042 3.006 9.47611 -5.39E-03 -1.45E-03 -1.51E-03 6.90E-02 7.91E-01 3.69E+01 -1.04E-03 -0.012 -0.553 -5.656 6.142 19.83312 -6.72E-03 -1.07E-03 1.46E-03 -3.32E+01 -1.13E+02 3.93E+01 4.98E-01 1.696 -0.59 2.79 5.433 7.96413 -8.38E-03 -1.31E-03 1.27E-03 -1.24E+02 -1.16E+02 6.73E+01 1.861 1.741 -1.009 1.82 2.003 2.60514 -9.67E-03 -1.45E-03 9.06E-04 -1.16E+02 -1.11E+02 4.37E+01 1.734 1.659 -0.655 0.657 3.205 2.82615 -1.10E-02 -1.58E-03 5.61E-04 -1.03E+02 -1.15E+02 3.06E+01 1.542 1.723 -0.459 0.316 3.306 2.97716 -1.10E-02 -1.66E-03 2.64E-04 -9.05E+01 -1.16E+02 1.47E+01 1.358 1.74E+00 -0.221 0.112 3.492 3.03917 -1.10E-02 -1.68E-03 0.00E+00 -8.59E+01 -1.17E+02 9.80E-12 1.289 1.751 -1.47E-13 -5.24E-13 3.53 3.05718 -1.10E-02 -1.66E-03 -2.64E-04 -9.05E+01 -1.16E+02 -1.47E+01 1.358 1.74E+00 0.221 -0.112 3.492 3.03919 -1.10E-02 -1.58E-03 -5.61E-04 -1.03E+02 -1.15E+02 -3.06E+01 1.542 1.723 0.459 -0.316 3.306 2.97720 -9.67E-03 -1.45E-03 -9.06E-04 -1.16E+02 -1.11E+02 -4.37E+01 1.734 1.659 0.655 -0.657 3.205 2.82621 -8.38E-03 -1.31E-03 -1.27E-03 -1.24E+02 -1.16E+02 -6.73E+01 1.861 1.741 1.009 -1.82 2.003 2.60522 -6.72E-03 -1.07E-03 -1.46E-03 -3.32E+01 -1.13E+02 -3.93E+01 4.98E-01 1.696 0.59 -2.79 5.433 7.96423 -7.71E-03 -7.76E-04 1.57E-03 -1.28E+01 -1.17E+02 4.90E+01 0.192 1.748 -0.734 3.503 4.374 9.00224 -9.52E-03 -9.94E-04 1.39E-03 -1.20E+02 -1.28E+02 3.92E+01 1.797 1.913 -0.588 2.838 0.756 2.86925 -1.10E-02 -1.12E-03 1.01E-03 -1.35E+02 -1.47E+02 2.61E+01 2.019 2.199 -0.392 1.664 2.155 3.29226 -1.20E-02 -1.23E-03 6.29E-04 -1.23E+02 -1.53E+02 1.88E+01 1.848 2.289 -0.282 0.871 2.176 3.47827 -1.20E-02 -1.29E-03 2.98E-04 -1.11E+02 -1.56E+02 9.04E+00 1.66 2.338 -0.136 0.378 2.321 3.56128 -1.30E-02 -1.31E-03 0.00E+00 -1.06E+02 -1.57E+02 5.55E-12 1.585 2.351 -8.32E-14 -3.60E-13 2.341 3.58429 -1.20E-02 -1.29E-03 -2.98E-04 -1.11E+02 -1.56E+02 -9.04E+00 1.66 2.338 0.136 -0.378 2.321 3.56130 -1.20E-02 -1.23E-03 -6.29E-04 -1.23E+02 -1.53E+02 -1.88E+01 1.848 2.289 0.282 -0.871 2.176 3.47831 -1.10E-02 -1.12E-03 -1.01E-03 -1.35E+02 -1.47E+02 -2.61E+01 2.019 2.199 0.392 -1.664 2.155 3.29232 -9.52E-03 -9.94E-04 -1.39E-03 -1.20E+02 -1.28E+02 -3.92E+01 1.797 1.913 0.588 -2.838 0.756 2.86933 -7.71E-03 -7.76E-04 -1.57E-03 -1.28E+01 -1.17E+02 -4.90E+01 0.192 1.748 0.734 -3.503 4.374 9.00234 -8.39E-03 -4.99E-04 1.68E-03 -1.48E+01 -1.09E+02 3.65E+01 2.21E-01 1.634 -0.547 3.689 2.884 9.73935 -1.00E-02 -6.53E-04 1.50E-03 -1.22E+02 -1.28E+02 2.89E+01 1.824 1.914 -0.434 3.003 0.409 3.04736 -1.20E-02 -7.42E-04 1.10E-03 -1.42E+02 -1.50E+02 1.99E+01 2.137 2.249 -0.299 1.77 1.222 3.52737 -1.30E-02 -8.18E-04 6.91E-04 -1.32E+02 -1.59E+02 1.43E+01 1.986 2.387 -0.214 0.916 1.241 3.74838 -1.40E-02 -8.62E-04 3.28E-04 -1.20E+02 -1.64E+02 6.89E+00 1.796 2.457 -0.103 0.392 1.345 3.84839 -1.40E-02 -8.77E-04 0.00E+00 -1.15E+02 -1.65E+02 6.43E-12 1.719 2.476 -9.65E-14 7.83E-14 1.36 3.87540 -1.40E-02 -8.62E-04 -3.28E-04 -1.20E+02 -1.64E+02 -6.89E+00 1.796 2.457 0.103 -0.392 1.345 3.84841 -1.30E-02 -8.18E-04 -6.91E-04 -1.32E+02 -1.59E+02 -1.43E+01 1.986 2.387 0.214 -0.916 1.241 3.74842 -1.20E-02 -7.42E-04 -1.10E-03 -1.42E+02 -1.50E+02 -1.99E+01 2.137 2.249 0.299 -1.77 1.222 3.52743 -1.00E-02 -6.53E-04 -1.50E-03 -1.22E+02 -1.28E+02 -2.89E+01 1.824 1.914 0.434 -3.003 0.409 3.04744 -8.39E-03 -4.99E-04 -1.68E-03 -1.48E+01 -1.09E+02 -3.65E+01 2.21E-01 1.634 0.547 -3.689 2.884 9.73945 -8.79E-03 -2.42E-04 1.75E-03 -1.32E+01 -1.01E+02 1.86E+01 1.98E-01 1.512 -0.278 3.861 1.374 10.14446 -1.10E-02 -3.21E-04 1.56E-03 -1.23E+02 -1.23E+02 1.45E+01 1.84E+00 1.842 -0.217 3.16 0.169 3.13447 -1.20E-02 -3.66E-04 1.15E-03 -1.46E+02 -1.46E+02 9.87E+00 2.191 2.193 -0.148 1.90E+00 0.558 3.64348 -1.40E-02 -4.05E-04 7.29E-04 -1.37E+02 -1.56E+02 7.17E+00 2.06 2.345 -0.107 0.998 0.566 3.88449 -1.40E-02 -4.27E-04 3.47E-04 -1.25E+02 -1.62E+02 3.49E+00 1.87 2.426 -0.052 0.43 0.618 3.99350 -1.40E-02 -4.35E-04 0.00E+00 -1.19E+02 -1.63E+02 7.78E-12 1.791 2.448 -1.17E-13 -1.94E-14 0.626 4.02251 -1.40E-02 -4.27E-04 -3.47E-04 -1.25E+02 -1.62E+02 -3.49E+00 1.87 2.426 0.052 -0.43 0.618 3.99352 -1.40E-02 -4.05E-04 -7.29E-04 -1.37E+02 -1.56E+02 -7.17E+00 2.06 2.345 0.107 -0.998 0.566 3.88453 -1.20E-02 -3.66E-04 -1.15E-03 -1.46E+02 -1.46E+02 -9.87E+00 2.191 2.193 0.148 -1.90E+00 0.558 3.64354 -1.10E-02 -3.21E-04 -1.56E-03 -1.23E+02 -1.23E+02 -1.45E+01 1.84E+00 1.842 0.217 -3.16 0.169 3.13455 -8.79E-03 -2.42E-04 -1.75E-03 -1.32E+01 -1.01E+02 -1.86E+01 1.98E-01 1.512 0.278 -3.861 1.374 10.14456 -8.92E-03 0.00E+00 1.77E-03 -1.30E+01 -9.75E+01 2.07E-12 1.95E-01 1.463 -3.10E-14 3.91 1.80E-13 10.27657 -1.10E-02 0.00E+00 1.59E-03 -1.23E+02 -1.21E+02 7.34E-13 1.847 1.808 -1.10E-14 3.201 8.09E-14 3.161

Anexo 7.C -314-

Valorw

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)

Máx -5.39E-03 1.84E-03 1.77E-03 6.90E-02 7.91E-01 6.73E+01 2.21E+00 2.48E+00 1.01E+00 5.66E+00 6.14E+00 1.98E+01

Mín. -1.50E-02 -1.84E-03 -1.77E-03 -1.47E+02 -1.65E+02 -6.73E+01 -1.04E-03 -1.20E-02 -1.01E+00 -5.66E+00 -6.14E+00 2.61E+00

58 -1.30E-02 0.00E+00 1.17E-03 -1.47E+02 -1.44E+02 -1.75E-12 2.206 2.161 2.62E-14 1.925 1.23E-13 3.67759 -1.40E-02 0.00E+00 7.42E-04 -1.39E+02 -1.54E+02 -1.07E-12 2.081 2.315 1.61E-14 1.018 5.44E-13 3.92460 -1.40E-02 0.00E+00 3.53E-04 -1.26E+02 -1.60E+02 1.11E-12 1.891 2.399 -1.67E-14 0.439 3.88E-13 4.03661 -1.50E-02 0.00E+00 0.00E+00 -1.21E+02 -1.62E+02 3.02E-12 1.812 2.423 -4.54E-14 1.99E-13 1.13E-13 4.06762 -1.40E-02 0.00E+00 -3.53E-04 -1.26E+02 -1.60E+02 3.47E-13 1.891 2.399 -5.21E-15 -0.439 3.59E-13 4.03663 -1.40E-02 0.00E+00 -7.42E-04 -1.39E+02 -1.54E+02 -8.83E-12 2.081 2.315 1.32E-13 -1.018 4.39E-13 3.92464 -1.30E-02 0.00E+00 -1.17E-03 -1.47E+02 -1.44E+02 -6.38E-12 2.206 2.161 9.57E-14 -1.925 -3.97E-14 3.67765 -1.10E-02 0.00E+00 -1.59E-03 -1.23E+02 -1.21E+02 1.05E-12 1.847 1.808 -1.57E-14 -3.201 -6.64E-13 3.16166 -8.92E-03 0.00E+00 -1.77E-03 -1.30E+01 -9.75E+01 2.32E-12 1.95E-01 1.463 -3.48E-14 -3.91 -1.73E-13 10.27667 -8.79E-03 2.42E-04 1.75E-03 -1.32E+01 -1.01E+02 -1.86E+01 1.98E-01 1.512 0.278 3.861 -1.374 10.14468 -1.10E-02 3.21E-04 1.56E-03 -1.23E+02 -1.23E+02 -1.45E+01 1.84E+00 1.842 0.217 3.16 -0.169 3.13469 -1.20E-02 3.66E-04 1.15E-03 -1.46E+02 -1.46E+02 -9.87E+00 2.191 2.193 0.148 1.90E+00 -0.558 3.64370 -1.40E-02 4.05E-04 7.29E-04 -1.37E+02 -1.56E+02 -7.17E+00 2.06 2.345 0.107 0.998 -0.566 3.88471 -1.40E-02 4.27E-04 3.47E-04 -1.25E+02 -1.62E+02 -3.49E+00 1.87 2.426 0.052 0.43 -0.618 3.99372 -1.40E-02 4.35E-04 0.00E+00 -1.19E+02 -1.63E+02 -1.99E-12 1.791 2.448 2.98E-14 -1.53E-13 -0.626 4.02273 -1.40E-02 4.27E-04 -3.47E-04 -1.25E+02 -1.62E+02 3.49E+00 1.87 2.426 -0.052 -0.43 -0.618 3.99374 -1.40E-02 4.05E-04 -7.29E-04 -1.37E+02 -1.56E+02 7.17E+00 2.06 2.345 -0.107 -0.998 -0.566 3.88475 -1.20E-02 3.66E-04 -1.15E-03 -1.46E+02 -1.46E+02 9.87E+00 2.191 2.193 -0.148 -1.90E+00 -0.558 3.64376 -1.10E-02 3.21E-04 -1.56E-03 -1.23E+02 -1.23E+02 1.45E+01 1.84E+00 1.842 -0.217 -3.16 -0.169 3.13477 -8.79E-03 2.42E-04 -1.75E-03 -1.32E+01 -1.01E+02 1.86E+01 1.98E-01 1.512 -0.278 -3.861 -1.374 10.14478 -8.39E-03 4.99E-04 1.68E-03 -1.48E+01 -1.09E+02 -3.65E+01 2.21E-01 1.634 0.547 3.689 -2.884 9.73979 -1.00E-02 6.53E-04 1.50E-03 -1.22E+02 -1.28E+02 -2.89E+01 1.824 1.914 0.434 3.003 -0.409 3.04780 -1.20E-02 7.42E-04 1.10E-03 -1.42E+02 -1.50E+02 -1.99E+01 2.137 2.249 0.299 1.77 -1.222 3.52781 -1.30E-02 8.18E-04 6.91E-04 -1.32E+02 -1.59E+02 -1.43E+01 1.986 2.387 0.214 0.916 -1.241 3.74882 -1.40E-02 8.62E-04 3.28E-04 -1.20E+02 -1.64E+02 -6.89E+00 1.796 2.457 0.103 0.392 -1.345 3.84883 -1.40E-02 8.77E-04 0.00E+00 -1.15E+02 -1.65E+02 -2.73E-12 1.719 2.476 4.10E-14 2.94E-13 -1.36 3.87584 -1.40E-02 8.62E-04 -3.28E-04 -1.20E+02 -1.64E+02 6.89E+00 1.796 2.457 -0.103 -0.392 -1.345 3.84885 -1.30E-02 8.18E-04 -6.91E-04 -1.32E+02 -1.59E+02 1.43E+01 1.986 2.387 -0.214 -0.916 -1.241 3.74886 -1.20E-02 7.42E-04 -1.10E-03 -1.42E+02 -1.50E+02 1.99E+01 2.137 2.249 -0.299 -1.77 -1.222 3.52787 -1.00E-02 6.53E-04 -1.50E-03 -1.22E+02 -1.28E+02 2.89E+01 1.824 1.914 -0.434 -3.003 -0.409 3.04788 -8.39E-03 4.99E-04 -1.68E-03 -1.48E+01 -1.09E+02 3.65E+01 2.21E-01 1.634 -0.547 -3.689 -2.884 9.73989 -7.71E-03 7.76E-04 1.57E-03 -1.28E+01 -1.17E+02 -4.90E+01 0.192 1.748 0.734 3.503 -4.374 9.00290 -9.52E-03 9.94E-04 1.39E-03 -1.20E+02 -1.28E+02 -3.92E+01 1.797 1.913 0.588 2.838 -0.756 2.86991 -1.10E-02 1.12E-03 1.01E-03 -1.35E+02 -1.47E+02 -2.61E+01 2.019 2.199 0.392 1.664 -2.155 3.29292 -1.20E-02 1.23E-03 6.29E-04 -1.23E+02 -1.53E+02 -1.88E+01 1.848 2.289 0.282 0.871 -2.176 3.47893 -1.20E-02 1.29E-03 2.98E-04 -1.11E+02 -1.56E+02 -9.04E+00 1.66 2.338 0.136 0.378 -2.321 3.56194 -1.30E-02 1.31E-03 0.00E+00 -1.06E+02 -1.57E+02 -4.73E-12 1.585 2.351 7.10E-14 1.35E-13 -2.341 3.58495 -1.20E-02 1.29E-03 -2.98E-04 -1.11E+02 -1.56E+02 9.04E+00 1.66 2.338 -0.136 -0.378 -2.321 3.56196 -1.20E-02 1.23E-03 -6.29E-04 -1.23E+02 -1.53E+02 1.88E+01 1.848 2.289 -0.282 -0.871 -2.176 3.47897 -1.10E-02 1.12E-03 -1.01E-03 -1.35E+02 -1.47E+02 2.61E+01 2.019 2.199 -0.392 -1.664 -2.155 3.29298 -9.52E-03 9.94E-04 -1.39E-03 -1.20E+02 -1.28E+02 3.92E+01 1.797 1.913 -0.588 -2.838 -0.756 2.86999 -7.71E-03 7.76E-04 -1.57E-03 -1.28E+01 -1.17E+02 4.90E+01 0.192 1.748 -0.734 -3.503 -4.374 9.002100 -6.72E-03 1.07E-03 1.46E-03 -3.32E+01 -1.13E+02 -3.93E+01 4.98E-01 1.696 0.59 2.79 -5.433 7.964101 -8.38E-03 1.31E-03 1.27E-03 -1.24E+02 -1.16E+02 -6.73E+01 1.861 1.741 1.009 1.82 -2.003 2.605102 -9.67E-03 1.45E-03 9.06E-04 -1.16E+02 -1.11E+02 -4.37E+01 1.734 1.659 0.655 0.657 -3.205 2.826103 -1.10E-02 1.58E-03 5.61E-04 -1.03E+02 -1.15E+02 -3.06E+01 1.542 1.723 0.459 0.316 -3.306 2.977104 -1.10E-02 1.66E-03 2.64E-04 -9.05E+01 -1.16E+02 -1.47E+01 1.358 1.74E+00 0.221 0.112 -3.492 3.039105 -1.10E-02 1.68E-03 0.00E+00 -8.59E+01 -1.17E+02 -5.58E-12 1.289 1.751 8.37E-14 2.76E-14 -3.53 3.057106 -1.10E-02 1.66E-03 -2.64E-04 -9.05E+01 -1.16E+02 1.47E+01 1.358 1.74E+00 -0.221 -0.112 -3.492 3.039107 -1.10E-02 1.58E-03 -5.61E-04 -1.03E+02 -1.15E+02 3.06E+01 1.542 1.723 -0.459 -0.316 -3.306 2.977108 -9.67E-03 1.45E-03 -9.06E-04 -1.16E+02 -1.11E+02 4.37E+01 1.734 1.659 -0.655 -0.657 -3.205 2.826109 -8.38E-03 1.31E-03 -1.27E-03 -1.24E+02 -1.16E+02 6.73E+01 1.861 1.741 -1.009 -1.82 -2.003 2.605110 -6.72E-03 1.07E-03 -1.46E-03 -3.32E+01 -1.13E+02 3.93E+01 4.98E-01 1.696 -0.59 -2.79 -5.433 7.964111 -5.39E-03 1.45E-03 1.51E-03 6.90E-02 7.91E-01 3.69E+01 -1.04E-03 -0.012 -0.553 5.656 -6.142 19.833112 -7.00E-03 1.41E-03 1.00E-03 -1.10E+02 -1.90E+01 -6.42E+01 1.644 2.85E-01 0.963 5.042 -3.006 9.476113 -8.13E-03 1.59E-03 6.82E-04 -1.09E+02 -9.54E+00 -6.35E+01 1.629 0.143 0.953 4.087 -3.685 10.884114 -8.85E-03 1.72E-03 4.14E-04 -9.10E+01 -1.17E+01 -4.20E+01 1.364 1.75E-01 0.63 2.511 -3.873 11.767115 -9.26E-03 1.81E-03 1.93E-04 -7.56E+01 -1.00E+01 -2.05E+01 1.134 1.51E-01 0.307 1.144 -4.089 12.224116 -9.38E-03 1.84E-03 0.00E+00 -6.99E+01 -1.00E+01 -5.71E-12 1.05E+00 1.51E-01 8.56E-14 3.10E-13 -4.143 12.368117 -9.26E-03 1.81E-03 -1.93E-04 -7.56E+01 -1.00E+01 2.05E+01 1.134 1.51E-01 -0.307 -1.144 -4.089 12.224118 -8.85E-03 1.72E-03 -4.14E-04 -9.10E+01 -1.17E+01 4.20E+01 1.364 1.75E-01 -0.63 -2.511 -3.873 11.767119 -8.13E-03 1.59E-03 -6.82E-04 -1.09E+02 -9.54E+00 6.35E+01 1.629 0.143 -0.953 -4.087 -3.685 10.884120 -7.00E-03 1.41E-03 -1.00E-03 -1.10E+02 -1.90E+01 6.42E+01 1.644 2.85E-01 -0.963 -5.042 -3.006 9.476121 -5.39E-03 1.45E-03 -1.51E-03 6.90E-02 7.91E-01 -3.69E+01 -1.04E-03 -0.012 0.553 -5.656 -6.142 19.833

Anexo 7.C -315-

Resultados del ejemplo N°2 utilizando el modelo de Vlasov modificado (Carga puntual)

Nodow

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)1 -1.46E-03 -1.82E-04 1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 -2.31E+01 -0.103 -0.103 0.347 4.715 4.715 120.9322 -1.50E-03 -1.68E-04 1.68E-04 -3.28E+01 -2.11E+00 -1.02E+01 0.493 3.20E-02 0.153 4.38 1.21 8.0833 -1.53E-03 -1.62E-04 1.42E-04 -5.50E+01 3.26E-01 -2.61E+00 0.825 -4.88E-03 0.039 3.809 1.461 8.3074 -1.55E-03 -1.60E-04 1.04E-04 -7.52E+01 -3.89E-01 1.08E+00 1.128 5.84E-03 -0.016 2.967 1.323 8.4995 -1.57E-03 -1.60E-04 5.48E-05 -8.98E+01 -5.19E-01 1.53E+00 1.346 7.79E-03 -0.023 1.605 1.301 8.6266 -1.58E-03 -1.60E-04 0.00E+00 -9.52E+01 -6.63E-01 -3.68E-11 1.427 9.95E-03 5.52E-13 2.62E-11 1.282 8.6727 -1.57E-03 -1.60E-04 -5.48E-05 -8.98E+01 -5.19E-01 -1.53E+00 1.346 7.79E-03 0.023 -1.605 1.301 8.6268 -1.55E-03 -1.60E-04 -1.04E-04 -7.52E+01 -3.89E-01 -1.08E+00 1.128 5.84E-03 0.016 -2.967 1.323 8.4999 -1.53E-03 -1.62E-04 -1.42E-04 -5.50E+01 3.26E-01 2.61E+00 0.825 -4.88E-03 -0.039 -3.809 1.461 8.30710 -1.50E-03 -1.68E-04 -1.68E-04 -3.28E+01 -2.11E+00 1.02E+01 0.493 3.20E-02 -0.153 -4.38 1.21 8.08311 -1.46E-03 -1.82E-04 -1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 2.31E+01 -0.103 -0.103 -0.347 -4.715 4.715 120.93212 -1.50E-03 -1.68E-04 1.68E-04 -2.11E+00 -3.28E+01 -1.02E+01 3.20E-02 0.493 0.153 1.21 4.38 8.08313 -1.53E-03 -1.63E-04 1.63E-04 -2.72E+01 -2.72E+01 -4.10E+00 0.409 0.409 0.062 1.084 1.084 0.51414 -1.56E-03 -1.60E-04 1.42E-04 -5.10E+01 -2.30E+01 2.82E-01 0.764 0.344 -4.24E-03 0.967 1.627 0.57615 -1.59E-03 -1.62E-04 1.06E-04 -7.38E+01 -1.97E+01 4.07E+00 1.107 0.295 -0.061 0.856 1.65 0.63616 -1.60E-03 -1.64E-04 5.67E-05 -9.12E+01 -1.67E+01 3.56E+00 1.368 2.51E-01 -0.053 0.505 1.795 0.68117 -1.61E-03 -1.65E-04 0.00E+00 -9.78E+01 -1.55E+01 -2.48E-11 1.467 0.232 3.71E-13 -9.97E-12 1.841 0.69718 -1.60E-03 -1.64E-04 -5.67E-05 -9.12E+01 -1.67E+01 -3.56E+00 1.368 2.51E-01 0.053 -0.505 1.795 0.68119 -1.59E-03 -1.62E-04 -1.06E-04 -7.38E+01 -1.97E+01 -4.07E+00 1.107 0.295 0.061 -0.856 1.65 0.63620 -1.56E-03 -1.60E-04 -1.42E-04 -5.10E+01 -2.30E+01 -2.82E-01 0.764 0.344 4.24E-03 -0.967 1.627 0.57621 -1.53E-03 -1.63E-04 -1.63E-04 -2.72E+01 -2.72E+01 4.10E+00 0.409 0.409 -0.062 -1.084 1.084 0.51422 -1.50E-03 -1.68E-04 -1.68E-04 -2.11E+00 -3.28E+01 1.02E+01 3.20E-02 0.493 -0.153 -1.21 4.38 8.08323 -1.53E-03 -1.42E-04 1.62E-04 3.26E-01 -5.50E+01 -2.61E+00 -4.88E-03 0.825 0.039 1.461 3.809 8.30724 -1.56E-03 -1.42E-04 1.60E-04 -2.30E+01 -5.10E+01 2.82E-01 0.344 0.764 -4.24E-03 1.627 0.967 0.57625 -1.59E-03 -1.43E-04 1.43E-04 -4.88E+01 -4.88E+01 5.24E+00 0.732 0.732 -0.079 1.767 1.767 0.64926 -1.62E-03 -1.49E-04 1.10E-04 -7.64E+01 -4.51E+01 9.87E+00 1.146 0.676 -0.148 1.546 2.142 0.72227 -1.64E-03 -1.56E-04 6.04E-05 -1.00E+02 -4.04E+01 8.20E+00 1.505 0.606 -0.123 0.94 2.786 0.7828 -1.64E-03 -1.60E-04 0.00E+00 -1.10E+02 -3.86E+01 -2.71E-11 1.65 0.578 4.07E-13 1.12E-11 2.935 0.80329 -1.64E-03 -1.56E-04 -6.04E-05 -1.00E+02 -4.04E+01 -8.20E+00 1.505 0.606 0.123 -0.94 2.786 0.7830 -1.62E-03 -1.49E-04 -1.10E-04 -7.64E+01 -4.51E+01 -9.87E+00 1.146 0.676 0.148 -1.546 2.142 0.72231 -1.59E-03 -1.43E-04 -1.43E-04 -4.88E+01 -4.88E+01 -5.24E+00 0.732 0.732 0.079 -1.767 1.767 0.64932 -1.56E-03 -1.42E-04 -1.60E-04 -2.30E+01 -5.10E+01 -2.82E-01 0.344 0.764 4.24E-03 -1.627 0.967 0.57633 -1.53E-03 -1.42E-04 -1.62E-04 3.26E-01 -5.50E+01 2.61E+00 -4.88E-03 0.825 -0.039 -1.461 3.809 8.30734 -1.55E-03 -1.04E-04 1.60E-04 -3.89E-01 -7.52E+01 1.08E+00 5.84E-03 1.128 -0.016 1.323 2.967 8.49935 -1.59E-03 -1.06E-04 1.62E-04 -1.97E+01 -7.38E+01 4.07E+00 0.295 1.107 -0.061 1.65 0.856 0.63636 -1.62E-03 -1.10E-04 1.49E-04 -4.51E+01 -7.64E+01 9.87E+00 0.676 1.146 -0.148 2.142 1.546 0.72237 -1.65E-03 -1.20E-04 1.20E-04 -7.75E+01 -7.75E+01 1.66E+01 1.163 1.163 -0.25 2.218 2.218 0.82338 -1.66E-03 -1.33E-04 6.89E-05 -1.15E+02 -7.25E+01 1.65E+01 1.729 1.087 -0.247 1.524 4.045 0.91939 -1.67E-03 -1.39E-04 0.00E+00 -1.33E+02 -7.01E+01 -5.12E-11 1.988 1.051 7.68E-13 3.72E-12 4.77 0.96240 -1.66E-03 -1.33E-04 -6.89E-05 -1.15E+02 -7.25E+01 -1.65E+01 1.729 1.087 0.247 -1.524 4.045 0.91941 -1.65E-03 -1.20E-04 -1.20E-04 -7.75E+01 -7.75E+01 -1.66E+01 1.163 1.163 0.25 -2.218 2.218 0.82342 -1.62E-03 -1.10E-04 -1.49E-04 -4.51E+01 -7.64E+01 -9.87E+00 0.676 1.146 0.148 -2.142 1.546 0.72243 -1.59E-03 -1.06E-04 -1.62E-04 -1.97E+01 -7.38E+01 -4.07E+00 0.295 1.107 0.061 -1.65 0.856 0.63644 -1.55E-03 -1.04E-04 -1.60E-04 -3.89E-01 -7.52E+01 -1.08E+00 5.84E-03 1.128 0.016 -1.323 2.967 8.49945 -1.57E-03 -5.48E-05 1.60E-04 -5.19E-01 -8.98E+01 1.53E+00 7.79E-03 1.346 -0.023 1.301 1.605 8.62646 -1.60E-03 -5.67E-05 1.64E-04 -1.67E+01 -9.12E+01 3.56E+00 2.51E-01 1.368 -0.053 1.795 0.505 0.68147 -1.64E-03 -6.04E-05 1.56E-04 -4.04E+01 -1.00E+02 8.20E+00 0.606 1.505 -0.123 2.786 0.94 0.7848 -1.66E-03 -6.89E-05 1.33E-04 -7.25E+01 -1.15E+02 1.65E+01 1.087 1.729 -0.247 4.045 1.524 0.91949 -1.69E-03 -8.41E-05 8.41E-05 -1.31E+02 -1.31E+02 2.51E+01 1.958 1.958 -0.376 3.273 3.273 1.12950 -1.70E-03 -9.89E-05 0.00E+00 -1.82E+02 -1.07E+02 -8.17E-11 2.737 1.603 1.23E-12 6.52E-12 13.579 1.21151 -1.69E-03 -8.41E-05 -8.41E-05 -1.31E+02 -1.31E+02 -2.51E+01 1.958 1.958 0.376 -3.273 3.273 1.12952 -1.66E-03 -6.89E-05 -1.33E-04 -7.25E+01 -1.15E+02 -1.65E+01 1.087 1.729 0.247 -4.045 1.524 0.91953 -1.64E-03 -6.04E-05 -1.56E-04 -4.04E+01 -1.00E+02 -8.20E+00 0.606 1.505 0.123 -2.786 0.94 0.7854 -1.60E-03 -5.67E-05 -1.64E-04 -1.67E+01 -9.12E+01 -3.56E+00 2.51E-01 1.368 0.053 -1.795 0.505 0.68155 -1.57E-03 -5.48E-05 -1.60E-04 -5.19E-01 -8.98E+01 -1.53E+00 7.79E-03 1.346 0.023 -1.301 1.605 8.62656 -1.58E-03 0.00E+00 1.60E-04 -6.63E-01 -9.52E+01 -2.16E-10 9.95E-03 1.427 3.23E-12 1.282 -9.18E-12 8.67257 -1.61E-03 1.14E-15 1.65E-04 -1.55E+01 -9.78E+01 -1.97E-10 0.232 1.467 2.95E-12 1.841 1.53E-11 0.697

Anexo 7.C -316-

Valorw

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)

Máx -1.46E-03 1.82E-04 1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 2.51E+01 4.57E+00 4.57E+00 3.76E-01 1.36E+01 1.36E+01 1.21E+02

Mín. -1.71E-03 -1.82E-04 -1.82E-04 -3.05E+02 -3.05E+02 -2.51E+01 -1.03E-01 -1.03E-01 -3.76E-01 -1.36E+01 -1.36E+01 5.14E-01

58 -1.64E-03 1.27E-15 1.60E-04 -3.86E+01 -1.10E+02 -1.60E-10 0.578 1.65 2.40E-12 2.935 -3.40E-12 0.80359 -1.67E-03 1.37E-15 1.39E-04 -7.01E+01 -1.33E+02 -1.25E-10 1.051 1.988 1.88E-12 4.77 8.04E-12 0.96260 -1.70E-03 1.45E-15 9.89E-05 -1.07E+02 -1.82E+02 -9.64E-11 1.603 2.737 1.45E-12 13.579 -3.13E-12 1.21161 -1.71E-03 1.51E-15 0.00E+00 -3.05E+02 -3.05E+02 -6.67E-11 4.571 4.571 1.00E-12 -2.87E-12 2.38E-12 2.1162 -1.70E-03 1.54E-15 -9.89E-05 -1.07E+02 -1.82E+02 -2.30E-11 1.603 2.737 3.45E-13 -13.579 -1.01E-11 1.21163 -1.67E-03 1.53E-15 -1.39E-04 -7.01E+01 -1.33E+02 2.81E-11 1.051 1.988 -4.21E-13 -4.77 -6.77E-12 0.96264 -1.64E-03 1.51E-15 -1.60E-04 -3.86E+01 -1.10E+02 4.28E-11 0.578 1.65 -6.42E-13 -2.935 -9.03E-13 0.80365 -1.61E-03 1.47E-15 -1.65E-04 -1.55E+01 -9.78E+01 9.63E-11 0.232 1.467 -1.44E-12 -1.841 -3.86E-12 0.69766 -1.58E-03 1.38E-15 -1.60E-04 -6.63E-01 -9.52E+01 1.23E-10 9.95E-03 1.427 -1.84E-12 -1.282 -2.11E-11 8.67267 -1.57E-03 5.48E-05 1.60E-04 -5.19E-01 -8.98E+01 -1.53E+00 7.79E-03 1.346 0.023 1.301 -1.605 8.62668 -1.60E-03 5.67E-05 1.64E-04 -1.67E+01 -9.12E+01 -3.56E+00 2.51E-01 1.368 0.053 1.795 -0.505 0.68169 -1.64E-03 6.04E-05 1.56E-04 -4.04E+01 -1.00E+02 -8.20E+00 0.606 1.505 0.123 2.786 -0.94 0.7870 -1.66E-03 6.89E-05 1.33E-04 -7.25E+01 -1.15E+02 -1.65E+01 1.087 1.729 0.247 4.045 -1.524 0.91971 -1.69E-03 8.41E-05 8.41E-05 -1.31E+02 -1.31E+02 -2.51E+01 1.958 1.958 0.376 3.273 -3.273 1.12972 -1.70E-03 9.89E-05 0.00E+00 -1.82E+02 -1.07E+02 -3.59E-11 2.737 1.603 5.38E-13 1.83E-12 -13.579 1.21173 -1.69E-03 8.41E-05 -8.41E-05 -1.31E+02 -1.31E+02 2.51E+01 1.958 1.958 -0.376 -3.273 -3.273 1.12974 -1.66E-03 6.89E-05 -1.33E-04 -7.25E+01 -1.15E+02 1.65E+01 1.087 1.729 -0.247 -4.045 -1.524 0.91975 -1.64E-03 6.04E-05 -1.56E-04 -4.04E+01 -1.00E+02 8.20E+00 0.606 1.505 -0.123 -2.786 -0.94 0.7876 -1.60E-03 5.67E-05 -1.64E-04 -1.67E+01 -9.12E+01 3.56E+00 2.51E-01 1.368 -0.053 -1.795 -0.505 0.68177 -1.57E-03 5.48E-05 -1.60E-04 -5.19E-01 -8.98E+01 1.53E+00 7.79E-03 1.346 -0.023 -1.301 -1.605 8.62678 -1.55E-03 1.04E-04 1.60E-04 -3.89E-01 -7.52E+01 -1.08E+00 5.84E-03 1.128 0.016 1.323 -2.967 8.49979 -1.59E-03 1.06E-04 1.62E-04 -1.97E+01 -7.38E+01 -4.07E+00 0.295 1.107 0.061 1.65 -0.856 0.63680 -1.62E-03 1.10E-04 1.49E-04 -4.51E+01 -7.64E+01 -9.87E+00 0.676 1.146 0.148 2.142 -1.546 0.72281 -1.65E-03 1.20E-04 1.20E-04 -7.75E+01 -7.75E+01 -1.66E+01 1.163 1.163 0.25 2.218 -2.218 0.82382 -1.66E-03 1.33E-04 6.89E-05 -1.15E+02 -7.25E+01 -1.65E+01 1.729 1.087 0.247 1.524 -4.045 0.91983 -1.67E-03 1.39E-04 0.00E+00 -1.33E+02 -7.01E+01 -2.01E-11 1.988 1.051 3.01E-13 -5.98E-12 -4.77 0.96284 -1.66E-03 1.33E-04 -6.89E-05 -1.15E+02 -7.25E+01 1.65E+01 1.729 1.087 -0.247 -1.524 -4.045 0.91985 -1.65E-03 1.20E-04 -1.20E-04 -7.75E+01 -7.75E+01 1.66E+01 1.163 1.163 -0.25 -2.218 -2.218 0.82386 -1.62E-03 1.10E-04 -1.49E-04 -4.51E+01 -7.64E+01 9.87E+00 0.676 1.146 -0.148 -2.142 -1.546 0.72287 -1.59E-03 1.06E-04 -1.62E-04 -1.97E+01 -7.38E+01 4.07E+00 0.295 1.107 -0.061 -1.65 -0.856 0.63688 -1.55E-03 1.04E-04 -1.60E-04 -3.89E-01 -7.52E+01 1.08E+00 5.84E-03 1.128 -0.016 -1.323 -2.967 8.49989 -1.53E-03 1.42E-04 1.62E-04 3.26E-01 -5.50E+01 2.61E+00 -4.88E-03 0.825 -0.039 1.461 -3.809 8.30790 -1.56E-03 1.42E-04 1.60E-04 -2.30E+01 -5.10E+01 -2.82E-01 0.344 0.764 4.24E-03 1.627 -0.967 0.57691 -1.59E-03 1.43E-04 1.43E-04 -4.88E+01 -4.88E+01 -5.24E+00 0.732 0.732 0.079 1.767 -1.767 0.64992 -1.62E-03 1.49E-04 1.10E-04 -7.64E+01 -4.51E+01 -9.87E+00 1.146 0.676 0.148 1.546 -2.142 0.72293 -1.64E-03 1.56E-04 6.04E-05 -1.00E+02 -4.04E+01 -8.20E+00 1.505 0.606 0.123 0.94 -2.786 0.7894 -1.64E-03 1.60E-04 0.00E+00 -1.10E+02 -3.86E+01 -2.64E-11 1.65 0.578 3.95E-13 3.62E-12 -2.935 0.80395 -1.64E-03 1.56E-04 -6.04E-05 -1.00E+02 -4.04E+01 8.20E+00 1.505 0.606 -0.123 -0.94 -2.786 0.7896 -1.62E-03 1.49E-04 -1.10E-04 -7.64E+01 -4.51E+01 9.87E+00 1.146 0.676 -0.148 -1.546 -2.142 0.72297 -1.59E-03 1.43E-04 -1.43E-04 -4.88E+01 -4.88E+01 5.24E+00 0.732 0.732 -0.079 -1.767 -1.767 0.64998 -1.56E-03 1.42E-04 -1.60E-04 -2.30E+01 -5.10E+01 2.82E-01 0.344 0.764 -4.24E-03 -1.627 -0.967 0.57699 -1.53E-03 1.42E-04 -1.62E-04 3.26E-01 -5.50E+01 -2.61E+00 -4.88E-03 0.825 0.039 -1.461 -3.809 8.307100 -1.50E-03 1.68E-04 1.68E-04 -2.11E+00 -3.28E+01 1.02E+01 3.20E-02 0.493 -0.153 1.21 -4.38 8.083101 -1.53E-03 1.63E-04 1.63E-04 -2.72E+01 -2.72E+01 4.10E+00 0.409 0.409 -0.062 1.084 -1.084 0.514102 -1.56E-03 1.60E-04 1.42E-04 -5.10E+01 -2.30E+01 -2.82E-01 0.764 0.344 4.24E-03 0.967 -1.627 0.576103 -1.59E-03 1.62E-04 1.06E-04 -7.38E+01 -1.97E+01 -4.07E+00 1.107 0.295 0.061 0.856 -1.65 0.636104 -1.60E-03 1.64E-04 5.67E-05 -9.12E+01 -1.67E+01 -3.56E+00 1.368 2.51E-01 0.053 0.505 -1.795 0.681105 -1.61E-03 1.65E-04 0.00E+00 -9.78E+01 -1.55E+01 -2.64E-11 1.467 0.232 3.96E-13 -5.41E-12 -1.841 0.697106 -1.60E-03 1.64E-04 -5.67E-05 -9.12E+01 -1.67E+01 3.56E+00 1.368 2.51E-01 -0.053 -0.505 -1.795 0.681107 -1.59E-03 1.62E-04 -1.06E-04 -7.38E+01 -1.97E+01 4.07E+00 1.107 0.295 -0.061 -0.856 -1.65 0.636108 -1.56E-03 1.60E-04 -1.42E-04 -5.10E+01 -2.30E+01 2.82E-01 0.764 0.344 -4.24E-03 -0.967 -1.627 0.576109 -1.53E-03 1.63E-04 -1.63E-04 -2.72E+01 -2.72E+01 -4.10E+00 0.409 0.409 0.062 -1.084 -1.084 0.514110 -1.50E-03 1.68E-04 -1.68E-04 -2.11E+00 -3.28E+01 -1.02E+01 3.20E-02 0.493 0.153 -1.21 -4.38 8.083111 -1.46E-03 1.82E-04 1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 2.31E+01 -0.103 -0.103 -0.347 4.715 -4.715 120.932112 -1.50E-03 1.68E-04 1.68E-04 -3.28E+01 -2.11E+00 1.02E+01 0.493 3.20E-02 -0.153 4.38 -1.21 8.083113 -1.53E-03 1.62E-04 1.42E-04 -5.50E+01 3.26E-01 2.61E+00 0.825 -4.88E-03 -0.039 3.809 -1.461 8.307114 -1.55E-03 1.60E-04 1.04E-04 -7.52E+01 -3.89E-01 -1.08E+00 1.128 5.84E-03 0.016 2.967 -1.323 8.499115 -1.57E-03 1.60E-04 5.48E-05 -8.98E+01 -5.19E-01 -1.53E+00 1.346 7.79E-03 0.023 1.605 -1.301 8.626116 -1.58E-03 1.60E-04 0.00E+00 -9.52E+01 -6.63E-01 -2.84E-11 1.427 9.95E-03 4.25E-13 9.91E-12 -1.282 8.672117 -1.57E-03 1.60E-04 -5.48E-05 -8.98E+01 -5.19E-01 1.53E+00 1.346 7.79E-03 -0.023 -1.605 -1.301 8.626118 -1.55E-03 1.60E-04 -1.04E-04 -7.52E+01 -3.89E-01 1.08E+00 1.128 5.84E-03 -0.016 -2.967 -1.323 8.499119 -1.53E-03 1.62E-04 -1.42E-04 -5.50E+01 3.26E-01 -2.61E+00 0.825 -4.88E-03 0.039 -3.809 -1.461 8.307120 -1.50E-03 1.68E-04 -1.68E-04 -3.28E+01 -2.11E+00 -1.02E+01 0.493 3.20E-02 0.153 -4.38 -1.21 8.083121 -1.46E-03 1.82E-04 -1.82E-04 6.85E+00 6.85E+00 -2.31E+01 -0.103 -0.103 0.347 -4.715 -4.715 120.932

Anexo 7.C -317-

Resultados del ejemplo N°3 utilizando el modelo de Vlasov Modificado (puntuales yrepartidad)

Nodow

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)1 -1.61E-02 2.23E-04 -2.23E-04 -2.00E+01 -2.00E+01 1.08E+02 2.136 2.136 -11.483 -9.885 -9.885 20.9252 -1.58E-02 -2.99E-05 -7.10E-05 1.44E+02 1.68E+01 5.51E+01 -15.382 -1.80E+00 -5.875 -3.248 3.499 11.683 -1.59E-02 -6.14E-05 1.62E-04 9.84E+01 1.50E+01 -2.72E+01 -10.496 -1.599 2.903 12.509 3.983 11.8344 -1.62E-02 5.62E-05 -3.70E-05 -3.00E+02 -2.08E+01 1.58E+01 31.99 2.21E+00 -1.681 -4.90E-02 -14.727 12.6525 -1.57E-02 -1.50E-04 -2.36E-04 9.89E+01 1.45E+01 6.50E+01 -10.553 -1.55E+00 -6.934 -12.44 4.393 11.7226 -1.55E-02 -2.42E-04 0.00E+00 1.37E+02 8.25E+00 -7.58E-12 -14.627 -8.80E-01 8.08E-13 -8.74E-13 3.866 11.487 -1.57E-02 -1.50E-04 2.36E-04 9.89E+01 1.45E+01 -6.50E+01 -10.553 -1.55E+00 6.934 12.44 4.393 11.7228 -1.62E-02 5.62E-05 3.70E-05 -3.00E+02 -2.08E+01 -1.58E+01 31.99 2.21E+00 1.681 4.90E-02 -14.727 12.6529 -1.59E-02 -6.14E-05 -1.62E-04 9.84E+01 1.50E+01 2.72E+01 -10.496 -1.599 -2.903 -12.509 3.983 11.83410 -1.58E-02 -2.99E-05 7.10E-05 1.44E+02 1.68E+01 -5.51E+01 -15.382 -1.80E+00 5.875 3.248 3.499 11.6811 -1.61E-02 2.23E-04 2.23E-04 -2.00E+01 -2.00E+01 -1.08E+02 2.136 2.136 11.483 9.885 -9.885 20.92512 -1.58E-02 7.10E-05 2.99E-05 1.68E+01 1.44E+02 5.51E+01 -1.80E+00 -15.382 -5.875 3.499 -3.248 11.6813 -1.58E-02 -6.02E-05 6.02E-05 4.43E+01 4.43E+01 3.26E+01 -4.725 -4.725 -3.473 2.943 2.943 3.15814 -1.60E-02 -9.36E-05 1.12E-04 -1.44E+00 2.95E+01 -5.63E+00 0.154 -3.146 0.601 1.571 2.928 3.2815 -1.61E-02 -6.83E-05 2.30E-06 -6.61E+01 6.68E+01 1.29E+01 7.053 -7.128 -1.377 0.087 -5.934 3.34616 -1.60E-02 -1.64E-04 -9.59E-05 6.12E+00 1.56E+01 3.32E+01 -0.652 -1.67E+00 -3.539 -1.117 3.121 3.29217 -1.59E-02 -2.11E-04 0.00E+00 6.91E+01 2.11E-03 -4.81E-12 -7.371 -2.25E-04 5.13E-13 9.71E-13 3.029 3.20218 -1.60E-02 -1.64E-04 9.59E-05 6.12E+00 1.56E+01 -3.32E+01 -0.652 -1.67E+00 3.539 1.117 3.121 3.29219 -1.61E-02 -6.83E-05 -2.30E-06 -6.61E+01 6.68E+01 -1.29E+01 7.053 -7.128 1.377 -0.087 -5.934 3.34620 -1.60E-02 -9.36E-05 -1.12E-04 -1.44E+00 2.95E+01 5.63E+00 0.154 -3.146 -0.601 -1.571 2.928 3.2821 -1.58E-02 -6.02E-05 -6.02E-05 4.43E+01 4.43E+01 -3.26E+01 -4.725 -4.725 3.473 -2.943 2.943 3.15822 -1.58E-02 7.10E-05 -2.99E-05 1.68E+01 1.44E+02 -5.51E+01 -1.80E+00 -15.382 5.875 -3.499 -3.248 11.6823 -1.59E-02 -1.62E-04 6.14E-05 1.50E+01 9.84E+01 -2.72E+01 -1.599 -10.496 2.903 3.983 12.509 11.83424 -1.60E-02 -1.12E-04 9.36E-05 2.95E+01 -1.44E+00 -5.63E+00 -3.146 0.154 0.601 2.928 1.571 3.2825 -1.62E-02 -1.26E-04 1.26E-04 -7.44E+00 -7.44E+00 1.52E+01 0.794 0.794 -1.625 1.513 1.513 3.38726 -1.64E-02 -1.88E-04 3.11E-05 -6.76E+01 2.54E+01 8.69E+00 7.207 -2.704 -0.927 0.068 9.961 3.46327 -1.64E-02 -1.71E-04 -5.86E-05 -5.05E+00 -1.32E+01 -3.60E+00 0.538 1.408 0.384 -1.432 1.451 3.41928 -1.63E-02 -1.66E-04 0.00E+00 4.68E+01 -2.23E+01 -1.92E-12 -4.989 2.381 2.04E-13 -2.11E-13 1.603 3.34329 -1.64E-02 -1.71E-04 5.86E-05 -5.05E+00 -1.32E+01 3.60E+00 0.538 1.408 -0.384 1.432 1.451 3.41930 -1.64E-02 -1.88E-04 -3.11E-05 -6.76E+01 2.54E+01 -8.69E+00 7.207 -2.704 0.927 -0.068 9.961 3.46331 -1.62E-02 -1.26E-04 -1.26E-04 -7.44E+00 -7.44E+00 -1.52E+01 0.794 0.794 1.625 -1.513 1.513 3.38732 -1.60E-02 -1.12E-04 -9.36E-05 2.95E+01 -1.44E+00 5.63E+00 -3.146 0.154 -0.601 -2.928 1.571 3.2833 -1.59E-02 -1.62E-04 -6.14E-05 1.50E+01 9.84E+01 2.72E+01 -1.599 -10.496 -2.903 -3.983 12.509 11.83434 -1.62E-02 3.70E-05 -5.62E-05 -2.08E+01 -3.00E+02 1.58E+01 2.21E+00 31.99 -1.681 -14.727 -4.90E-02 12.65235 -1.61E-02 -2.30E-06 6.83E-05 6.68E+01 -6.61E+01 1.29E+01 -7.128 7.053 -1.377 -5.934 0.087 3.34636 -1.64E-02 -3.11E-05 1.88E-04 2.54E+01 -6.76E+01 8.69E+00 -2.704 7.207 -0.927 9.961 0.068 3.46337 -1.67E-02 -5.29E-05 5.29E-05 -1.98E+02 -1.98E+02 7.48E+00 21.142 21.142 -0.798 0.189 0.189 4.0238 -1.66E-02 -7.12E-05 -8.53E-05 2.51E+01 -6.61E+01 5.95E+00 -2.676 7.052 -0.635 -9.625 0.206 3.50539 -1.65E-02 -7.99E-05 0.00E+00 3.91E+01 -3.58E+01 -3.69E-12 -4.174 3.821 3.94E-13 -1.60E-12 0.349 3.42440 -1.66E-02 -7.12E-05 8.53E-05 2.51E+01 -6.61E+01 -5.95E+00 -2.676 7.052 0.635 9.625 0.206 3.50541 -1.67E-02 -5.29E-05 -5.29E-05 -1.98E+02 -1.98E+02 -7.48E+00 21.142 21.142 0.798 -0.189 0.189 4.0242 -1.64E-02 -3.11E-05 -1.88E-04 2.54E+01 -6.76E+01 -8.69E+00 -2.704 7.207 0.927 -9.961 0.068 3.46343 -1.61E-02 -2.30E-06 -6.83E-05 6.68E+01 -6.61E+01 -1.29E+01 -7.128 7.053 1.377 5.934 0.087 3.34644 -1.62E-02 3.70E-05 5.62E-05 -2.08E+01 -3.00E+02 -1.58E+01 2.21E+00 31.99 1.681 14.727 -4.90E-02 12.65245 -1.57E-02 2.36E-04 1.50E-04 1.45E+01 9.89E+01 6.50E+01 -1.55E+00 -10.553 -6.934 4.393 -12.44 11.72246 -1.60E-02 9.59E-05 1.64E-04 1.56E+01 6.12E+00 3.32E+01 -1.67E+00 -0.652 -3.539 3.121 -1.117 3.29247 -1.64E-02 5.86E-05 1.71E-04 -1.32E+01 -5.05E+00 -3.60E+00 1.408 0.538 0.384 1.451 -1.432 3.41948 -1.66E-02 8.53E-05 7.12E-05 -6.61E+01 2.51E+01 5.95E+00 7.052 -2.676 -0.635 0.206 -9.625 3.50549 -1.67E-02 2.43E-05 -2.43E-05 -1.23E+01 -1.23E+01 2.12E+01 1.313 1.313 -2.265 -1.127 -1.127 3.48750 -1.66E-02 -6.73E-06 0.00E+00 2.65E+01 -1.36E+01 -4.38E-12 -2.829 1.45 4.67E-13 -1.24E-12 -0.32 3.42751 -1.67E-02 2.43E-05 2.43E-05 -1.23E+01 -1.23E+01 -2.12E+01 1.313 1.313 2.265 1.127 -1.127 3.48752 -1.66E-02 8.53E-05 -7.12E-05 -6.61E+01 2.51E+01 -5.95E+00 7.052 -2.676 0.635 -0.206 -9.625 3.50553 -1.64E-02 5.86E-05 -1.71E-04 -1.32E+01 -5.05E+00 3.60E+00 1.408 0.538 -0.384 -1.451 -1.432 3.41954 -1.60E-02 9.59E-05 -1.64E-04 1.56E+01 6.12E+00 -3.32E+01 -1.67E+00 -0.652 3.539 -3.121 -1.117 3.29255 -1.57E-02 2.36E-04 -1.50E-04 1.45E+01 9.89E+01 -6.50E+01 -1.55E+00 -10.553 6.934 -4.393 -12.44 11.72256 -1.55E-02 0.00E+00 2.42E-04 8.25E+00 1.37E+02 -8.09E-13 -8.80E-01 -14.627 8.63E-14 3.866 -8.75E-13 11.4857 -1.59E-02 0.00E+00 2.11E-04 2.11E-03 6.91E+01 1.63E-13 -2.25E-04 -7.371 -1.75E-14 3.029 -1.98E-12 3.20258 -1.63E-02 0.00E+00 1.66E-04 -2.23E+01 4.68E+01 2.45E-12 2.381 -4.989 -2.62E-13 1.603 8.64E-13 3.343

Anexo 7.C -318-

Valorw

(m)

θx

(rad)

θy

(rad)

σx

(tn/m2)

σy

(tn/m2)

τxy

(tn/m2)

Mxx

(tn/m/m)

Myy

(tn/m/m)

Mxy

(tn/m/m)

Qx

(tn/m)

Qy

(tn/m)

p

(tn/m2)

Máx -1.55E-02 2.42E-04 2.42E-04 1.44E+02 1.44E+02 1.08E+02 3.20E+01 3.20E+01 1.15E+01 1.47E+01 1.47E+01 2.09E+01


59 -1.65E-02 0.00E+00 7.99E-05 -3.58E+01 3.91E+01 8.26E-13 3.821 -4.174 -8.81E-14 0.349 -1.11E-12 3.42460 -1.66E-02 0.00E+00 6.73E-06 -1.36E+01 2.65E+01 -2.15E-12 1.45 -2.829 2.30E-13 -0.32 -1.48E-12 3.42761 -1.66E-02 0.00E+00 0.00E+00 1.17E+01 1.17E+01 -2.06E-12 -1.245 -1.245 2.20E-13 9.41E-13 -1.15E-12 3.41262 -1.66E-02 0.00E+00 -6.73E-06 -1.36E+01 2.65E+01 -2.48E-12 1.45 -2.829 2.65E-13 0.32 -1.04E-12 3.42763 -1.65E-02 0.00E+00 -7.99E-05 -3.58E+01 3.91E+01 -4.97E-12 3.821 -4.174 5.30E-13 -0.349 -6.76E-13 3.42464 -1.63E-02 0.00E+00 -1.66E-04 -2.23E+01 4.68E+01 2.22E-12 2.381 -4.989 -2.37E-13 -1.603 -6.36E-13 3.34365 -1.59E-02 0.00E+00 -2.11E-04 2.11E-03 6.91E+01 7.24E-12 -2.25E-04 -7.371 -7.72E-13 -3.029 2.03E-12 3.20266 -1.55E-02 0.00E+00 -2.42E-04 8.25E+00 1.37E+02 7.35E-12 -8.80E-01 -14.627 -7.84E-13 -3.866 5.36E-13 11.4867 -1.57E-02 -2.36E-04 1.50E-04 1.45E+01 9.89E+01 -6.50E+01 -1.55E+00 -10.553 6.934 4.393 12.44 11.72268 -1.60E-02 -9.59E-05 1.64E-04 1.56E+01 6.12E+00 -3.32E+01 -1.67E+00 -0.652 3.539 3.121 1.117 3.29269 -1.64E-02 -5.86E-05 1.71E-04 -1.32E+01 -5.05E+00 3.60E+00 1.408 0.538 -0.384 1.451 1.432 3.41970 -1.66E-02 -8.53E-05 7.12E-05 -6.61E+01 2.51E+01 -5.95E+00 7.052 -2.676 0.635 0.206 9.625 3.50571 -1.67E-02 -2.43E-05 -2.43E-05 -1.23E+01 -1.23E+01 -2.12E+01 1.313 1.313 2.265 -1.127 1.127 3.48772 -1.66E-02 6.73E-06 0.00E+00 2.65E+01 -1.36E+01 -8.97E-14 -2.829 1.45 9.58E-15 -3.82E-13 0.32 3.42773 -1.67E-02 -2.43E-05 2.43E-05 -1.23E+01 -1.23E+01 2.12E+01 1.313 1.313 -2.265 1.127 1.127 3.48774 -1.66E-02 -8.53E-05 -7.12E-05 -6.61E+01 2.51E+01 5.95E+00 7.052 -2.676 -0.635 -0.206 9.625 3.50575 -1.64E-02 -5.86E-05 -1.71E-04 -1.32E+01 -5.05E+00 -3.60E+00 1.408 0.538 0.384 -1.451 1.432 3.41976 -1.60E-02 -9.59E-05 -1.64E-04 1.56E+01 6.12E+00 3.32E+01 -1.67E+00 -0.652 -3.539 -3.121 1.117 3.29277 -1.57E-02 -2.36E-04 -1.50E-04 1.45E+01 9.89E+01 6.50E+01 -1.55E+00 -10.553 -6.934 -4.393 12.44 11.72278 -1.62E-02 -3.70E-05 -5.62E-05 -2.08E+01 -3.00E+02 -1.58E+01 2.21E+00 31.99 1.681 -14.727 4.90E-02 12.65279 -1.61E-02 2.30E-06 6.83E-05 6.68E+01 -6.61E+01 -1.29E+01 -7.128 7.053 1.377 -5.934 -0.087 3.34680 -1.64E-02 3.11E-05 1.88E-04 2.54E+01 -6.76E+01 -8.69E+00 -2.704 7.207 0.927 9.961 -0.068 3.46381 -1.67E-02 5.29E-05 5.29E-05 -1.98E+02 -1.98E+02 -7.48E+00 21.142 21.142 0.798 0.189 -0.189 4.0282 -1.66E-02 7.12E-05 -8.53E-05 2.51E+01 -6.61E+01 -5.95E+00 -2.676 7.052 0.635 -9.625 -0.206 3.50583 -1.65E-02 7.99E-05 0.00E+00 3.91E+01 -3.58E+01 1.05E-13 -4.174 3.821 -1.12E-14 9.79E-13 -0.349 3.42484 -1.66E-02 7.12E-05 8.53E-05 2.51E+01 -6.61E+01 5.95E+00 -2.676 7.052 -0.635 9.625 -0.206 3.50585 -1.67E-02 5.29E-05 -5.29E-05 -1.98E+02 -1.98E+02 7.48E+00 21.142 21.142 -0.798 -0.189 -0.189 4.0286 -1.64E-02 3.11E-05 -1.88E-04 2.54E+01 -6.76E+01 8.69E+00 -2.704 7.207 -0.927 -9.961 -0.068 3.46387 -1.61E-02 2.30E-06 -6.83E-05 6.68E+01 -6.61E+01 1.29E+01 -7.128 7.053 -1.377 5.934 -0.087 3.34688 -1.62E-02 -3.70E-05 5.62E-05 -2.08E+01 -3.00E+02 1.58E+01 2.21E+00 31.99 -1.681 14.727 4.90E-02 12.65289 -1.59E-02 1.62E-04 6.14E-05 1.50E+01 9.84E+01 2.72E+01 -1.599 -10.496 -2.903 3.983 -12.509 11.83490 -1.60E-02 1.12E-04 9.36E-05 2.95E+01 -1.44E+00 5.63E+00 -3.146 0.154 -0.601 2.928 -1.571 3.2891 -1.62E-02 1.26E-04 1.26E-04 -7.44E+00 -7.44E+00 -1.52E+01 0.794 0.794 1.625 1.513 -1.513 3.38792 -1.64E-02 1.88E-04 3.11E-05 -6.76E+01 2.54E+01 -8.69E+00 7.207 -2.704 0.927 0.068 -9.961 3.46393 -1.64E-02 1.71E-04 -5.86E-05 -5.05E+00 -1.32E+01 3.60E+00 0.538 1.408 -0.384 -1.432 -1.451 3.41994 -1.63E-02 1.66E-04 0.00E+00 4.68E+01 -2.23E+01 1.18E-12 -4.989 2.381 -1.26E-13 2.17E-13 -1.603 3.34395 -1.64E-02 1.71E-04 5.86E-05 -5.05E+00 -1.32E+01 -3.60E+00 0.538 1.408 0.384 1.432 -1.451 3.41996 -1.64E-02 1.88E-04 -3.11E-05 -6.76E+01 2.54E+01 8.69E+00 7.207 -2.704 -0.927 -0.068 -9.961 3.46397 -1.62E-02 1.26E-04 -1.26E-04 -7.44E+00 -7.44E+00 1.52E+01 0.794 0.794 -1.625 -1.513 -1.513 3.38798 -1.60E-02 1.12E-04 -9.36E-05 2.95E+01 -1.44E+00 -5.63E+00 -3.146 0.154 0.601 -2.928 -1.571 3.2899 -1.59E-02 1.62E-04 -6.14E-05 1.50E+01 9.84E+01 -2.72E+01 -1.599 -10.496 2.903 -3.983 -12.509 11.834100 -1.58E-02 -7.10E-05 2.99E-05 1.68E+01 1.44E+02 -5.51E+01 -1.80E+00 -15.382 5.875 3.499 3.248 11.68101 -1.58E-02 6.02E-05 6.02E-05 4.43E+01 4.43E+01 -3.26E+01 -4.725 -4.725 3.473 2.943 -2.943 3.158102 -1.60E-02 9.36E-05 1.12E-04 -1.44E+00 2.95E+01 5.63E+00 0.154 -3.146 -0.601 1.571 -2.928 3.28103 -1.61E-02 6.83E-05 2.30E-06 -6.61E+01 6.68E+01 -1.29E+01 7.053 -7.128 1.377 0.087 5.934 3.346104 -1.60E-02 1.64E-04 -9.59E-05 6.12E+00 1.56E+01 -3.32E+01 -0.652 -1.67E+00 3.539 -1.117 -3.121 3.292105 -1.59E-02 2.11E-04 0.00E+00 6.91E+01 2.11E-03 -2.55E-12 -7.371 -2.25E-04 2.72E-13 9.45E-13 -3.029 3.202106 -1.60E-02 1.64E-04 9.59E-05 6.12E+00 1.56E+01 3.32E+01 -0.652 -1.67E+00 -3.539 1.117 -3.121 3.292107 -1.61E-02 6.83E-05 -2.30E-06 -6.61E+01 6.68E+01 1.29E+01 7.053 -7.128 -1.377 -0.087 5.934 3.346108 -1.60E-02 9.36E-05 -1.12E-04 -1.44E+00 2.95E+01 -5.63E+00 0.154 -3.146 0.601 -1.571 -2.928 3.28109 -1.58E-02 6.02E-05 -6.02E-05 4.43E+01 4.43E+01 3.26E+01 -4.725 -4.725 -3.473 -2.943 -2.943 3.158110 -1.58E-02 -7.10E-05 -2.99E-05 1.68E+01 1.44E+02 5.51E+01 -1.80E+00 -15.382 -5.875 -3.499 3.248 11.68111 -1.61E-02 -2.23E-04 -2.23E-04 -2.00E+01 -2.00E+01 -1.08E+02 2.136 2.136 11.483 -9.885 9.885 20.925112 -1.58E-02 2.99E-05 -7.10E-05 1.44E+02 1.68E+01 -5.51E+01 -15.382 -1.80E+00 5.875 -3.248 -3.499 11.68113 -1.59E-02 6.14E-05 1.62E-04 9.84E+01 1.50E+01 2.72E+01 -10.496 -1.599 -2.903 12.509 -3.983 11.834114 -1.62E-02 -5.62E-05 -3.70E-05 -3.00E+02 -2.08E+01 -1.58E+01 31.99 2.21E+00 1.681 -4.90E-02 14.727 12.652115 -1.57E-02 1.50E-04 -2.36E-04 9.89E+01 1.45E+01 -6.50E+01 -10.553 -1.55E+00 6.934 -12.44 -4.393 11.722116 -1.55E-02 2.42E-04 0.00E+00 1.37E+02 8.25E+00 -6.11E-12 -14.627 -8.80E-01 6.51E-13 -1.69E-12 -3.866 11.48117 -1.57E-02 1.50E-04 2.36E-04 9.89E+01 1.45E+01 6.50E+01 -10.553 -1.55E+00 -6.934 12.44 -4.393 11.722118 -1.62E-02 -5.62E-05 3.70E-05 -3.00E+02 -2.08E+01 1.58E+01 31.99 2.21E+00 -1.681 4.90E-02 14.727 12.652119 -1.59E-02 6.14E-05 -1.62E-04 9.84E+01 1.50E+01 -2.72E+01 -10.496 -1.599 2.903 -12.509 -3.983 11.834120 -1.58E-02 2.99E-05 7.10E-05 1.44E+02 1.68E+01 5.51E+01 -15.382 -1.80E+00 -5.875 3.248 -3.499 11.68121 -1.61E-02 -2.23E-04 2.23E-04 -2.00E+01 -2.00E+01 1.08E+02 2.136 2.136 -11.483 9.885 9.885 20.925

Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler y el modelo de Vlasov Modificado

Documents

Transcript of Análisis de losas de cimentación utilizando el modelo de Winkler y el modelo de Vlasov Modificado