UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA Y MECANICA DE LA PRODUCCIÓN

FEBRERO 2009

Ing. José G. Chirinos L.

ANALISIS DE REDES EN CORRIENTE ALTERNA EN EL DOMINIO FRECUENCIAL 1. INTRODUCCION La Impedancia es la oposición al paso de la corriente alterna. Hasta ahora hemos estudiado y analizado circuitos funcionando en DC. En adelante se estudiaremos el funcionamiento de los circuitos eléctricos en corriente alterna agregando para ello otros elementos pasivos como lo son el condensador y la bobina. Analizaremos los circuitos RC Serie y RL Serie, los cuales nos ayudaran en la comprensión de conceptos tales como: Fasor, Angulo de Fase, Impedancia, Cálculo fasorial, Cumplimiento de las Leyes de Ohm, Kirchoff, etc., en corriente alterna.

2. FUNDAMENTOS TEORICOS

La resistencia en un circuito de C.A. El comportamiento de una resistencia en circuitos de C.A es similar a su comportamiento en los de C.C. En la figura N° 3.1, se muestra

una resistencia conectada a los terminales de una fuente de tensión de C.A. (El generador de señales), que varía en forma sinusoidal. Se

debe hacer notar que la caída de tensión sobre la resistencia y la corriente a través de él, siempre estarán en fase entre si.

En las ecuaciones 3.1 y 3.2 se dan la tensión de la fuente v(t), y la corriente i(t) en el circuito de C.A. “resistivo puro”.

v(t) = Vmax Sen (2πf t) 3.1

i(t) = Imax Sen (2πf t) 3.2

Donde:

v (t) es el valor instantáneo de la tensión en voltios.

Vmáx es el valor de la tensión pico (ó máxima) en voltios.

i (t) es el valor instantáneo de la corriente en amperios. Imáx es el valor de la corriente pico en amperios.

π 3,14…

f es la frecuencia en Hertz.

t es el tiempo en segundos.

Fig. Nº 3.1. RESISTENCIA EN UN CIRCUITO DE C.A.

La ecuación 3.3 representa a la ley de Ohm. Para una resistencia en un circuito de C.A. (véase la figura Nº 3.1).

i(t)=v(t)/R (3.3) En la figura Nº 3.2, se dan las representaciones gráfica (Dominio del tiempo y Fasorial (Dominio de la frecuencia) de la tensión sobre la resistencia la corriente a través de él.

F LA ig. Nº 3.2. REPRESENTACION GRFICA (A LA IZQUIERDA) Y FASORIA (A LA DERECHA) DE LA CORRIENTE Y TENSION EN UN CIRCUITO RESISTIVO.

La bobina en un circuito de C.A.

Si se conectara una fuente de corriente alterna a una bobina (ó inductor) se producirá inmediatamente una caída de tensión

sobre la bobina, pero la corriente será retrasada por un factor. Este factor se llama "Reactancia" de la bobina, cuyo símbolo es "XL". La

expresión matemática que define a la reactancia esta dada en la ecuación 3.4

X = 2πf L L (3.4)

Donde: XL es la reactancia de la bobina en ohmios

π 3,14…

f es la frecuencia en Hertz

L es la inductancia de la bobina en Henrios

Analizando la ecuación 3.4 se puede observar que la reactancia de la bobina es directamente proporcional a la frecuencia y la

inductancia. En a figura nº 3.3 se muestra una bobina en un circuito de C.A. y t la variación de la reactancia con la frecuencia.

Fig. Nº 3.3 LA BOBINA EN UN CIRCUITO DE C.A. (A LA IZQUIERDA) Y LA REACTANCIA EN FUNCION DE LA FRECUENCIA (A LA DERECHA)

En el circuito inductivo puro de la fig. N r la ley de Ohm. Nótese que R esta reemplazada º 3.3, la corriente esta determinada po

f

VmaxImax

por la reactancia XL. La Ecuación 3.5 da la corriente a través de la bobina.

i(t) = v(t) / XL (3.5)

En un circuito “inductivo puro”, sin la corriente en 90º, es decir, que ningún componente resistivo, la tensión esta adelantada a

hay una diferencia de fase de 90º entre la corriente a través de la bobina y el voltaje en los bornes de la misma. Por lo tanto, la corriente

y la tensión pueden ser descritas como en las ecuaciones 3.6 y 3.7:

v(t) = Vmax Cos (2πf t) (3.6)

i(t) = Imax Sen (2πf t) (3.7)

La figura Nº 3.4 muestra la representación grafica y fasorial de la tensión sobre la bobina y la corriente a través de ella.

Fig. Nº 3.4 R

El condensador en un circui

El comportamiento del conde

conecta el condensador a una

denomina a esta reactancia: c

XcDonde:

Xc e

π 3

f e

C es

)

v(t

EPRESENTACION GRAFICA DE LA CORRIENTE Y LA TENSION EN UN CIRCUITO DE C.A. INDUCTIVO (A LA IZQUIERDA) Y FASORIAL (A LA DERECHA).

to de C.A.:

nsador (ó capacitor) en un circuito de C.A. es similar, en términos generales, al de la bobina. Cuando se

fuente de C.A, figura N° 3.5, se obtiene una reactancia inversamente proporcional a la frecuencia. Se

apacitiva (Xc) y está dada por la ecuación:

= 1/2 π f C (3.8)

s la reactancia de1 condensador en ohmios

,14 ... : ..

s la frecuencia en Hertz.

la capacidad del condensador en Faradios

Vmax

Fig. Nº 3.5 EL CONDENSADOR EN UN CIRCUITO EN C.A. (A LA IZQUIERDA) Y LA VARIACION DE LA REACTANCIA CON LA FRECUENCIA (A LA DERECHA)

Para un elemento "Capacitivo puro", donde hay solamente un componente reactivo-capacitivo y ninguno resistivo la corriente

está adelantada a la tensión en 90°. En la figura N° 3.6 se muestran la tensión y a corriente en un circuito capacitivo, tanto gráfica como

fasorialmente.

LA IMPEDANCIA

Para las mediciones y el análisis de circuitos de. C.A que contienen un resistor R, una bobina L y un condensador C

(Circuitos RCL serie y RCL paralelo), se deben conocer los principios básicos de cálculo fasorial y números complejos.

Fig. Nº 3.6 GRAFICOS DE LA CORRIENTE A TRAVES DE UN CONDENSADOR Y LA TENSION ENTRE SUS

BORNES EN UN CIRCUITO DE C.A. EN FUNCION DEL TIEMPO (A LA IZQUIERDA) Y REPRESENTACION FASORIAL (A LA DERECHA)

NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo Z, es un número de la forma R ± jX, donde R y X son números reales mientras que j= √-1, llamado

"operador imaginario" ó "unidad imaginaria". Al primer término R del número complejo R±jX se le denomina "parte real" y se le

representa sobre el eje real ó eje 0º del plano complejo. Al segundo término jX se le denomina "parte imaginaria" y se le representa en

un eje perpendicular al primero llamado "eje imaginario". Cuando R = 0 el número complejo se reduce a un número "imaginario puro"

y en forma similar cuando X = 0 el número complejo se reduce a un número "real puro"; por lo tanto el conjunto de los números

complejos contiene al subconjunto de los números reales y al de los imaginarios. Dos números complejos R1 ± jX1 y R2 ± jX2 son

iguales sí, y solamente sí, R1 = R2 y Xl = X2.

Como se ve en la figura Nº 3.7 el eje del los números reales (horizontal) es perpendicular al eje imaginario (eje y). Los ejes se

interceptan en un punto común llamado cero. Todo número complejo puede ser representado por un punto en el plano complejo y todo

punto en el plano complejo, representa un número complejo y solamente uno. Al multiplicar un fasor por j se obtiene el efecto de girar

el fasor 90° en el sentido positivo (contra las agujas de un reloj).

Fig. Nº 3.7 PLANO COMPLEJO

La representación fasorial de un número complejo está dada por una flecha Z, cuyo comienzo esta en el origen de las

coordenadas y la punta en el punto que representa el número complejo en el plano.

En la figura N° 3,8 se muestran las representaciones fasoriales de los números complejos R + jX y R - jX.

En la figura N° 3.8 se puede observar que la parte real de un número complejo es la proyección del fasor Z sobre el eje

horizontal (real) y la proyección sobre el eje vertical (imaginario) constituye la parte imaginaria del mismo. Conforme al teorema de

Pitágoras, se puede calcular el valor absoluto del fasor Z, al cual se simboliza / Z /. La ecuación 3.9 muestra la ecuación matemática

para calcular la magnitud del fasor.

..

Fig. Nº 3.8 REPRESENTACION FASORIAL DE NUMEROS COMPLEJOS

(3.9)

Donde: X es la parte imaginaria del número complejo.

R es la parte real del número complejo.

/Z/ es el módulo o valor absoluto de Z

El sentido del fasor se define mediante el ángulo de fase θ, que se mide en dirección contraria a las agujas del reloj, tomando como

referencia el eje horizontal. La expresión matemática para el ángulo de fase esta dada por la ecuación 3.10 (ver fig. Nº 3.8)

θ ó tg θ = X / R (3.10)

Propiedades de los números complejos

• El conjugado de un número complejo: Dos números complejos son conjugados entre si, si sus partes reales son iguales y sus

partes imaginarias de la misma magnitud pero signo contrario. El conjugado cuyo símbolo es Z*, de un número complejo

Z=R+jX, será el número complejo Z*=R-jX. En la figura Nº 3.8 se da la representación fasorial de dos números complejos.

Se puede observar en esta figura que a conjugada Z* del numero complejo Z es la imagen de Z con respecto al eje real.

• Suma y resta de números complejos: Se suman (o restan) a los números complejos sumando (o restando) las partes reales e

imaginarias separadamente. Por ejemplo, dados los números complejos Z =R +jX y Z =R +jX , su suma será: 1 1 1 2 2 2

Z1+Z2 = (R1+R2)+j(X1+X2) (3.11)

y su resta:

Z1-Z2 = (R1-R2)+j(X1-X2) (3.12).

• Multiplicación y división de números complejos: La multiplicación de números complejos es similar a la multiplicación

algebraica común. Se muestra el procedimiento mediante la ecuación 3.13:

Z1.Z2=(R1+jX1).(R2+jX2)=R1.R2+jR1.X2+jX1.R2+j2 X1.X2 (3.13)

ó

(3.14)

Para dividir números complejos se multiplica al numerador y al denominador por la conjugada del denominador. Cuando se

multiplica a un número complejo por su conjugado; se obtiene un número real puro:

(3.15)

R

R+jX X

θ

R-jX X

R

θ

22// XRZ +=

)/(1 RXtg −=

En la ecuación 3.16 se muestra la división de un número complejo por otro: (3.16)

Z / Z = [(R + jX ).(R – jX ) ] / [(R + jX ).(R - jX ) ] 1 2 1 2 2 2 2 2 21

Se puede usar la representación polar para aplicar la multiplicación y la división de números complejos. Así; teniendo la

representación rectangular se transforma a polar obteniéndose:

Z/θ1_ = / Z1 / /θ1_ Y Z2 = / Z2 / /θ2_

Z1.Z = (/ Z2 1 / / θ1_).(/ Z2 / /θ2) = (/ Z1 /./ Z /) 2 / θ1 + θ2 (3.17)

Z1/Z2 = (/ Z1 / / θ1_ / / Z2 / /θ2_ ) = (/ Z1 /)/(/ Z2 /) / θ1 – θ2 (3.18)

REPRESENTACIÓN FASORIAL DEL COMPORTAMIENTO DE LOS ELEMENTOS PASIVOS

ANTE LA C.A. SENOSOIDAL:

Anteriormente se habló que en un "inductor puro" la tensión está adelantada a la corriente en 90°. Para un condensador puro la

corriente está adelantada a la tensión en 90°. En un resistor puro la tensión y la corriente se encuentran en fase.

Al incluir en un circuito de C.A. un resistor, una bobina y un condensador; se requiere el conocimiento de un nuevo concepto:

"la impedancia". El símbolo de la impedancia es Z y se mide en ohmios.

• Impedancia de un circuito R-C serie: En la figura Nº 3.9 se muestra un circuito RC serie.

A los circuitos de C.A., se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff como así también el uso de los números complejos y la

representación fasoria1. Escribamos la siguiente ecuación para las tensiones correspondientes al circuito de la

figura N° 3.9:

V = VR + Vc (3.19)

Fig. N° 3.9. CIRCUITO RC SERIE

Donde:

V es el fasor que representa a la tensión de la fuente; en voltios.

VR es el fasor que representa a la caída de tensión sobre el resistor, e n voltios.

Vc es el fasor que representa a la caída de tensión sobre el condensador, en voltios.

En el circuito serie dado circula una corriente uniforme I a través de todos los componentes; por lo tanto:

V = I.R + I.(-jXc) (3.20)

V = I.(R-jXc) = I.Z (3.21)

Por lo tanto, la impedancia para un circuito RC serie será:

(3.22) Z=R-jXc y la corriente en el mismo circuito será:

I= V / ( R - jXc ) (3.23)

N pueden obtener sus valores OTA: De la representación fasorial de la tensión, de la corriente y de la impedancia se

absolutos y sus ángulos de fase. Estos valores pueden ser calculados mediante las reglas de la aritmética de los

números complejos.

En la figu observar la representación fasorial de las distintas magnitudes en el circuito RC serie. ra Nº 3.10. Se pueden

Fig. Nº 3.10 REPRESENTACION FASORIAL DE CORRIENTES (A LA IZQUIERDA), Y LAS TENCIONES,

REACTANCIAS E IMPEDANCIAS (A LA DERECHA) EN EL CIRCUITO RC SERIE.

Se define a la potencia del circuito de C.A. como el producto de la tensión por la corriente en fase con ella. De

acuerdo a esta definición, la Potencia del circuito será:

P = V.I Cos θ (3.24)

o Impedancia de un circuito R-C paralelo: Se muestra en la figura N° 3,11 un circuito RC paralelo.

I VR R

θ θ

Vc V

Xc Z

Fig. Nº 3.11 CIRCUITO RC PARALELO

Aplicando la ley de comentes de Kirchhoff obtenemos la siguiente relación matemática para la

corriente:

I = IR + IC (3.25)

V/Z = VR / R + VC / -jXC (3.26)

1/Z = 1 / R + 1 / -JXC (3.27)

ya que V mina a la magnitud 1/Z "admítancia" y su símbolo es = VR = VC debido a que la conexión está en paralelo, se deno

“Y”. Esta es la inversa de la impedancia y su unidad es el l /Ω, Mho ó Siemens. El valor absoluto de la admitancia es:

/Y/ = (3.28)

el ángulo de fase de la admitancia se calcula de la siguiente manera:

θ= tg -1 (R / Xc) (3.29)

en Figura Nº 3.12 se muestra la representación fasorial del circuito RC paralelo.

Fig. Nº 3.12 REPRES Y CORRIENTES EN EL CIRCUITO RC PARALELO ENTACION FASORIAL DE LAS TENSIONES

22 )/1()/1( XcR +

IR V

I IC

θ

• Impedancia de un circuito R-L serie: Se muestra en la figura N° 3.13 un circuito RL serie.

Fig. N° 3.13 CIRCUITO RL SERIE

El análisis del circuito RL se es muy parecido al del circuito RC serie. rie

Por lo tanto, se procede de la siguiente manera:

V=VR+VL (3.30)

/ V/ = (3.31)

Z = R + jX (3.32)L

y la corriente en el mismo circuito será:

I=V / (R + jXL) = I / Z (3.32)

P = V . I Cos (3.32) θ

(3.32)

θ = tg -1 (X / R) (3.32) L

La representación fasorial del circuito RL serie está dada en la figura Nº 3.14 Fig.Nº 3.14 REPRESENTACION ONES Y CORRIENTES EN EL CIRCUITO RL SERIE FASORIAL DE LAS TENSI

• Impedancia de un circuito R-L paralelo: Se muestra en la figura N° 3.15 el circuito RL paralelo, El análisis del circuito RL

paralelo es similar al del circuito RC paralelo, por lo tanto obtendremos ecuaciones similares:

22 VV + LR

22// XRZ += L

VL

I VR

V

θ

Fig. Nº 3.15 CIRCUITO RL PARALELO

Aplicando la ley de comentes de Kirchhoff obtenemos la siguiente relación matemática para la Corriente:

I=IR +I L (3.37)

V/Z = (VR / R ) + (VL / jXL) (3.38)

Y = 1 / Z = (1 / R) – j ( 1 / XL ) (3.39)

ya que V = VR = VL debido a que la conexión está en paralelo.

/ Y / = (3.40) θ = tg -1 ( R / XL ) (3.41)

P = V.I Cos θ (3.42)

En la figura Nº 3.16 se muestra la representación fasorial del circuito RL paralelo.

Fig. Nº 3.16 REPRESENTACION FASORIAL DE LAS TENSIONES Y

CORRIENTES EN EL CIRCUITO RL PARALELO

22 )/(( X+ 1)/1 LR

VIR

θ

IIL

REFLEXION

Donde no hay visión, el pueblo se extravía; ¡Dichosos los que son obedientes a la ley!

Rey Salomón Proverbios 29:18