Revista Ingeniera y Ciencia

Estadstica III 3009137, semestre 01 de 2015Equipo de Trabajo No. 15Serie No. 10Curso: Ma - Ju

Anlisis de serie de tiempo: Ajuste con errores estructurales ARMA

Jean Michell Alvarado Arrautt[footnoteRef:1], Melissa Maya Lpez[footnoteRef:2], Ana Carolina Restrepo Parra[footnoteRef:3], Christian Camilo Surez Zapata[footnoteRef:4] [1: Estudiante Ingeniera de Control, Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. ] [2: Estudiante Ingeniera Industrial, Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln. ] [3: Estudiante Ingeniera Administrativa, Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln ] [4: Estudiante Ingeniera Administrativa, Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln ]

Fecha de entrega: 4 de Mayo de 2015

ResumenSe analizar la componente de error estructural para la serie de tiempo Valor de las ventas (miles de pesos corrientes) de libros, papelera, peridicos y revistas en los grandes almacenes minoristas e hipermercados, de manera que dicha componente pueda ser representada mediante modelos ARMA que al ser agregados al modelo global logren capturar de mejor manera la dinmica de la serie en comparacin con el mejor modelo global propuesto en el trabajo anterior.

Palabras claves: Ruido blanco, estacionariedad, correlacin, error, ergodicidad.

1.INTRODUCCIN

En el siguiente artculo se analizarn las ventas totales (en miles de pesos corrientes) de Libros, papelera, peridicos y revistas de los Grandes Almacenes e Hipermercados Minoristas. El mtodo de muestreo empleado para la recoleccin de los datos fue un censo a 120 Grandes Almacenes e Hipermercados Minoristas con ventas anuales mayores o iguales a 7.000 millones de pesos de 1995 (segn la EAC/95) y/o personal ocupado mayor o igual a 200, dicha informacin fue obtenida y consolidada por el Departamento Administrativo Nacional de Estadstica (DANE) y fue clasificada por trimestres, comenzando por el primer trimestre del ao 1997 hasta el primer trimestre del ao 2014 (69 datos en total).

Con el fin de explicar el comportamiento de dichas observaciones en el tiempo, en el trabajo 1 fueron propuestos cuatro modelos con estacionalidad modelada con variables indicadoras: dos modelos parcialmente multiplicativos ajustados mediante descomposicin multiplicativa y Loess lineal y descomposicin multiplicativa y Loess cuadrtico; un modelo completamente multiplicativo bajo transformacin logartmica, con tendencia cuadrtica; y uno parcialmente multiplicativo bajo transformacin exponencial, con tendencia cuadrtica, el cual result ser el mejor modelo global, pues present mejores medidas de ajuste y de pronstico, adems, en general logr capturar la dinmica de la serie, siguiendo un patrn creciente no lineal, sin embargo, la serie presenta ciclos que no fueron capturados en el ajuste y que se evidenciaron en los grficos de residuales.

El modelo establecido mediante el mtodo de descomposicin y Loess lineal obtuvo una mejor calidad de ajuste respecto al mejor modelo global que result ser inestable (los parmetros cambian en el tiempo), lo cual afecta el ajuste de la serie, pues dicha condicin indica que existen parmetros estimados en el modelo que no son constantes, por lo tanto resulta ms apropiado realizar el ajuste empleando un mtodo local para seguir estas variaciones en el tiempo, adems los pronsticos sern tiles solo a corto plazo, pues como los parmetros varan en el tiempo, si se pronostican periodos muy lejanos se puede incurrir en un error considerable; sin embargo, la calidad de pronsticos fue mejor para el modelo global; y en general se le dio ms importancia al pronstico que al ajuste, dado del anlisis de la serie est centrado en la planeacin y toma de decisiones, lo cual slo podra hacerse correctamente con pronsticos de buena calidad.

Este trabajo es la continuacin del trabajo 1 y tiene en general dos objetivos: analizar los residuos estructurales del mejor modelo global elegido para la serie e identificar un modelo ARMA para los errores estructurales, esto con el fin de ajustar y pronosticar la serie completa con dichos errores y la misma tendencia y estacionalidad identificadas para el mejor modelo global encontrado en el trabajo 1.

2. ANLISIS DESCRIPTIVO DE LA SERIE

A partir de la Figura 1se pueden realizar diferentes observaciones acerca de las componentes de la serie: respecto a la tendencia se puede decir que es creciente, no lineal y podra ser representada mediante una curva suave. Adems entre los aos 2000 y 2005 se percibe la presencia de un patrn cclico; se evidencia tambin la existencia de componente estacional, dado que se presentan variaciones regulares dentro de un ao calendario y son repetidas todos los aos de una forma aproximadamente constante, por esto la componente es modelada ms adelante usando variables indicadoras; la variabilidad de los datos es creciente a lo largo del tiempo, lo cual da indicios de que la serie es de componentes multiplicativas; para comprobar dicha hiptesis, se realiz la grfica del logaritmo natural de la serie original (Figura 1Derecha) para comparar el patrn de varianza; en dicha grfica se evidencia un patrn de varianza ms estable en relacin con el de la serie original presentada en la Figura 1 Izquierda, conservando el patrn cclico, la componente estacional y claramente la tendencia sigue siendo creciente y no lineal, esto permite concluir que efectivamente la serie es de componentes multiplicativas; las componentes de tendencia y estacionalidad pueden considerarse de tipo global, ya que si bien la tendencia se ajusta mejor con un modelo local debido a una mejor calidad de ajuste que presenta frente que al modelo global, los pronsticos para la misma son mejores con modelos globales.Figura 1. Izquierda. SerieValor de las ventas (miles de pesos corrientes) de libros, papelera, peridicos y revistas en los grandes almacenes minoristas e hipermercados,1971.Q1-2014.Q1. Derecha.Serie del logaritmo natural del Valor de las ventas (logaritmo de miles de pesos corrientes)de libros, papelera, peridicos y revistas en los grandes almacenes minoristas e hipermercados,1971.Q1-2014.Q1.

Se desea saber si el logaritmo se la serie original es estacionario en covarianza, para esto se utilizar la grfica ACF. A continuacin se plantean las respectivas hiptesis, estadstico de prueba para el test y criterio de rechazo.

Hiptesis:

DondeEl valor de m para estimar es pero por tener una serie estacional de periodo s=4 se recomienda utilizar un m mltiplo de s, por lo que se puede usar m=20.

1

Estadstico de prueba:

Criterio de decisin: , con n= 69

En la Figura 2se presenta la grfica de la ACF para el logaritmo de las ventas, en esta se nota que los picos no decaen rpidamente, por tanto el proceso no es ergdico, de lo cual se concluye que el logaritmo de la serie no es estacionario. Esto se poda intuir con el anlisis de la Figura 1 Derecha, pues como se dijo anteriormente, esta serie muestra claramente tendencia no constante y un patrn estacional (de periodo s=4), ambas funciones del tiempo, por lo tanto la media de la serie no es constante, pues se explica por su tendencia y estacionalidad, caracterstica que contradice la estacionariedad. Tambin se rechaza la hiptesis nula para k=4, 8, 12 y 16 (hay rezagos), lo que permite concluir que las variables de la serie distanciadas dichos valores de k en el tiempo estn correlacionadas, por tanto el logaritmo de la serie no proviene de un ruido blanco, esto con =5%.

Figura 2. ACF del Logaritmo de la Serie Original

En el trabajo anterior, luego de un estudio de calidad de pronstico y ajuste para varios modelos polinmicos planteados, se lleg a la conclusin de que el mejor modelo que pronosticaba y ajustaba conjuntamente era un modelo exponencial polinmico de grado dos con estacionalidad modelada por variables indicadoras.

Donde: : Valor de las ventas (miles de pesos corrientes)de libros, papelera, peridicos y revistas en los grandes almacenes minoristas e hipermercados, 1971.Q1-2014.Q1. : Componente de tendencia de . : Componente de estacionalidad de . : Errores presentes en el modelo.

(2)Donde s=4Cada coeficiente representa el efecto o diferencia promedio de la serie en el trimestre i con relacin al trimestre de referencia (en este caso es Q4).

Las variables i= 1,2,3,4 son tales que:

(3)

Para un tiempo dado, slo una de las s indicadoras puede tomar el valor de 1, de modo que

2.1. Ajuste del Modelo con validacin cruzadaDado que la serie de tiempo cuenta con observaciones, en la estrategia de validacin cruzada se propuso utilizar observaciones para el ajuste de la serie de tiempo y las observaciones restantes se usaron para pronosticar.

En la Tabla 1se presentan los parmetros estimados del modelo bajo las condiciones de la validacin cruzada, la prueba de significancia individual y la prueba de significancia conjunta de todo el modelo para los primeros datos.

Tabla 1. Parmetros estimados para el modelo Exponencial polinmico de grado 2 estacional ParmetroEstimacinError estndarvalor

1.754x1015.108x10-2343.317