Análisis de Series. Modelos Heterocedásticos

Anlisis de Series. Modelos Heterocedsticos.

Alumno: Manuel Quesada Pegalajar

Master en Estadstica Aplicada.Trabajo Fin de Master. Anlisis de Series Temporales. Modelos Heterocedsticos.


NDICE

1.INTRODUCCIN

2.MODELOS SARIMA

2.1.FORMULACIN GENERAL MODELOS ARIMA

2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIN DE LOS MODELOS ARIMA

PASO 1: Identificacin de los trminos del Modelo.

PASO 2: Estimacin de los parmetros del Modelo.

PASO 3: Validacin de Modelo.

PASO 4: Prediccin.

2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIN

PASO 1: Identificacin del modelo.

PASO 2 y 3: Estimacin de los parmetros y validacin del modelo.

PASO 4: Prediccin.

3.MODELOS ARCH Y GARCH

3.1.MODELO ARCH

3.1.1.MODELO ARCH(1)

3.1.2.MODELO ARCH(r)

3.2.MODELO GARCH

3.2.1.MODELO GARCH(1,1)

3.2.2.MODELO IGARCH

3.2.3.MODELO EGARCH

3.3.CONSTRUCCIN DE LOS MODELOS

PASO 1: Identificacin de los trminos del Modelo

PASO 2: Estimacin de los parmetros del Modelo

PASO 3: Diagnosis.

3.4.EJEMPLO MODELO GARCH

4.MODELOS SV

4.1.MODELO SV(1)

5.CONTRASTES DE AUTOCORRELACIN.

5.1.CONTRASTE DE DURBIN-WATSON (1951)

5.2.CONTRASTE DE WALLIS (1972)

5.3.CONTRASTE DE DURBIN (1970)

5.4.CONTRASTE DE BREUSCH-GODFREY (1978)



5.5.CONTRASTE DE BOX-PIERCE-LJUNG

5.6.SOLUCIONES PARA LA AUTOCORRELACIN

5.6.1.MTODO DE MNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

MTODO ITERATIVO DE COCHRANE-ORCUTT

MTODO DE PRAIS-WINSTEN

MTODO DE DURBIN

6.HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL.CONTRASTES.

6.1.CONTRASTES DE WHITE

6.2.CONTRASTES DE BREUSH-PAGAN/GODFREY

6.3.CONTRASTES DE GOLDFELD-QUANDT

6.4.CONTRASTES DE GLESJER

6.5.CONTRASTES DE RESET RAMSEY

6.6.CONTRASTE ARCH

6.7.SOLUCIONES PARA LA HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL

6.7.1.HETEROCEDASTICIDAD CONOCIDA

6.7.2.HETEROCEDASTICIDAD DESCONOCIDA

7.MULTICOLINEALIDAD CON SERIES DE TIEMPO.

7.1.DETECCIN DE LA MULTICOLINEALIDAD

7.2.SOLUCIONES AL PROBLEMA DE MULTICOLINEALIDAD

8.HIPTESIS DE NORMALIDAD.

ANEXO

ANEXO A

BIBLIOGRAFA



1.INTRODUCCIN

Una serie temporal o cronolgica se define como la evolucin de una variable a lo largo del tiempo, es decir, es una secuencia ordenada de observaciones en la cual, la ordenacin se hace en base al tiempo (de ah el nombre de temporales). Tambin puede hacerse tal ordenacin por otros criterios como por ejemplo el espacio.

Hay casos en los que la variable observada tiene un patrn de comportamiento fijo. En trminos estadsticos estamos ante una serie determinista. Por el contrario, hay series que resultan impredecibles. Su pauta de comportamiento no responde a un patrn fijo, por lo que son puramente aleatorias. Un ejemplo tpico es la sucesin de nmeros premiados en un sorteo de loteras. En general, las series contienen una componente determinista y una componente aleatoria.

Los objetivos que se persiguen con el estudio de las series temporales son los siguientes:

Obtener una descripcin concisa del fenmeno generador de la serie de datos.

Construir un modelo que aproxime de la forma ms fielmente posible el comportamiento de la serie de datos

Predecir valores desconocidos (en el futuro o en el pasado), de la serie a partir de la informacin disponible.

Controlar el proceso generador de la serie, examinando qu puede ocurrir cuando se alteran algunos parmetros del modelo o estableciendo polticas de intervencin cuando el proceso se desve de un objetivo preestablecido ms de una cantidad determinada.

Una caracterstica fundamental de una serie temporal es que sus observaciones

son dependientes o correladas y, por tanto, el orden en que se recogen las observaciones es muy importante.

Podemos distinguir diferentes enfoques en el anlisis de Series Temporales:

Mtodos tradicionales. Se basan en la descomponen la serie en

componentes que se conjugan de acuerdo a alguna funcin (generalmente sumadas o multiplicadas, esquemas aditivo o multiplicativo). Tambin se consideran como tcnicas clsicas las de alisamiento exponencial, donde el objetivo es predecir el valor de la serie de forma sencilla y automtica.

Mtodos basados en modelos de procesos estocsticos (Metodologa de Box-Jenkins (1970)). Se fundamenta en ajustar un modelo a los datos seleccionndolo de entre aquellos de una cierta familia. La prediccin en este caso se realiza suponiendo que la estructura del modelo permanece invariante en el tiempo, es decir, que en el futuro, el modelo sigue siendo adecuado para modelizar la serie.



Mtodos univariantes y mtodos multivariantes. Estos atienden a la

dimensin de la magnitud en estudio. En este sentido tambin tiene inters el estudio de causalidad entre las variables y los modelos matriciales, extensin de los univariantes.

Anlisis en el dominio del tiempo y anlisis en el dominio de las frecuencias. Explotan las caractersticas fundamentalmente de la funcin de correlacin y densidad espectral. Aunque existe una relacin entre ellas, ambas ponen de manifiesto caractersticas complementarias en el anlisis de la serie.

Nos vamos a basar en la metodologa de Box-Jenkins, en el cual el desarrollo estadstico se realiza a partir de un proceso estocstico estacionario (en sentido amplio o dbil) y para procesos que se puedan transformar en estacionarios mediante transformaciones (diferenciacin, ARIMA, o Box-Cox).

Cuando se produce la ausencia de la tendencia (determinista o aleatoria), hay un numeroso conjunto de teoras y desarrollos matemticos centrados en la diferenciabilidad de la serie temporal y en la existencia o no de races unitarias a partir de los conocidos test de Dickey y Fuller, de Mackinon o de Phillips y Perron. Estas series se pueden describir con los modelos ARIMA o SARIMA. Sin embargo, el estudio de la componente de varianza constante es un fenmeno menos extendido y, de manera que el no tener en cuenta una posible no constancia de esta componente, puede suponer diversos problemas estadsticos cuando se estiman modelos (problemas ligados con la eficiencia de los parmetros estimados y su fuerte volatilidad ante el amplio intervalo de confianza en el que se mueven). Por tanto, para determinar un patrn de comportamiento estadstico para la varianza, se encuentran los Modelos Autorregresivos Condicionales Herocedsticos: ARCH. Engle, 1982, es el autor de una primera aproximacin a la varianza condicional. Para justificar el desarrollo de estos modelos heterocedasticos condicional autorregresivos, este autor, cita tres situaciones para exponer por qu estos modelos fueron propuestos para explicar ciertas propiedades que no pueden ser explicados por los modelos ARIMA y que aparecen con frecuencia en series temporales estacionarias de datos financieros y ambientales de alta frecuencia:

1. La experiencia emprica nos lleva a contrastar perodos de amplia varianza de error seguidos de otros de varianza ms pequea. Es decir, el valor de la dispersin del error respecto a su media cambia en el pasado, por lo que es lgico pensar que un modelo que atienda en la prediccin a los valores de dicha varianza en el pasado servir para realizar estimaciones ms precisas.



2. En segundo lugar, Engle expone la validez de estos modelos para determinar los criterios de mantenimiento o venta de activos financieros. Los agentes econmicos deciden esta cuestin en funcin de la informacin proveniente del pasado respecto al valor medio de su rentabilidad y la volatilidad que sta ha tenido. Con los modelos ARCH se tendran en cuenta estos dos condicionantes.

3. El modelo de regresin ARCH puede ser una aproximacin a un sistema ms

complejo en el que no hubiera factores innovacionales con heterocedasticidad condicional. Los modelos estructurales admiten, en multitud de ocasiones, una especificacin tipo ARCH infinito que determina con parmetros cambiantes, lo que hace a este tipo de modelos capaces de contrastar la hiptesis de permanencia estructural que supone una de las hiptesis de partida y condicin necesaria para la validez del modelo economtrico tradicional..

Esta series tienen poca estructura en la media y siguen paseos aleatorios o procesos AR de orden bajo y coeficiente pequeo. Adems puede ocurrir que aunque la serie de rendimientos parezca un ruido blanco, su distribucin no sea normal, y muestre colas pesadas y alta curtosis; y que los datos estn casi incorrelados, pero al calcular las autocorrelaciones de los cuadrados se observa una fuerte estructura de dependencia. Otra propiedad es que la varianza de los residuos no es constante y aparecen rachas de mayor variabilidad seguida de rachas de menor variabilidad. Por eso se plantean este tipo de modelos, es decir, van a ser modelos con varianza marginal constate, y varianza condicionada a los valores del pasado de la serie no constante, ya que depende de estos valores previos.

El modelo ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic), supone que la varianza condicional depende del pasado con estructura autorregresiva.

Estos modelos fueron generalizados por Bollerslev (1986) para dar lugar a los modelos GARCH que incorporan a esta dependencia trminos de media mvil. Proporcionan buenos ajustes con p y q pequeos (la mayora de las series temporales financieras pueden modelizarse correctamente con un GARCH(l,l)). Bollerslev(1986) proporciona la justificacin terica de esta ltima afirmacin expresando los procesos GARCH(p,q) como un ARCH( ). Otra propiedad importante de los modelos GARCH, de inters en el rea financiera, es que son una aproximacin a procesos de difusin. As, Nelson(1990) prueba la convergencia del modelo GARCH(l,l) con errores condicionales normales a un proceso de difusin continuo con distribuciones estacionarias no condicionadas t.

Otra clase de modelos ms flexible son los modelos de volatilidades estocsticas (SV) introducidos por Harvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi. Estos modelos reproducen algunas de las propiedades tpicas de las series financieras, tales como exceso de curtosis, agrupamiento de los periodos de la volatilidad, correlacin en los cuadrados de la serie,Se difiere de los anteriores en que la



volatilidad es una componente no observable cuyo logaritmo suele modelizarse mediante un proceso lineal autorregresivo.

En resumen, al considerar la volatilidad como un proceso estocstico se busca ajustar un modelo que permita describir y analizar su comportamiento presente y a partir de ste su comportamiento futuro. Para el caso de procesos de varianza constante la metodologa de Box-Jenkins ha sido ampliamente utilizada, sin embargo, este supuesto no es sostenible en varias reas de investigacin, por lo que se deben consideran otras alternativas. Dentro de estas alternativas, destacamos los modelos ARCH (Autorregresive Condicional Heterocedastic) y GARCH (Generalized Autorregresive Condicional Heterocedastic) propuestos por Engle (1982) y Bollerslev (1986) respectivamente, modelos que permiten especificar el comportamiento de la varianza. As como son los modelos de volatilidades estocstica (SV) introducidos por Harvey, Ruiz y Shephard (1994) y Jacquier y Polson y Rossi.



2.MODELOS SARIMA

Vamos a describir los modelos ARIMA como uno de los mtodos de prediccin basados en series temporales.

La metodologa que seguiremos es la propuesta por Box-Jenkins, que consta de cuatro etapas:

1. Identificacin

Consiste en elegir uno o ms modelos ARIMA, SARIMA como candidatos que pueden representar adecuadamente el comportamiento de la serie. En sta etapa deben determinarse las transformaciones necesarias para conseguir estacionariedad, contraste de inclusin de un trmino de tendencia determinstica (q0) y elegir los rdenes p y q para cada uno de los modelos competitivos.

2. Estimacin Consiste en estimar los parmetros de cada uno de los modelos identificados en la fase anterior.

3. Diagnosis (Validacin) Trata de determinar si los modelos identificados y estimados son adecuados para representar a los datos. Las deficiencias encontradas en sta etapa pueden utilizarse cmo informacin para reformular los modelos.

4. Prediccin Con los modelos que han sido diagnosticados favorablemente, se pueden realizar predicciones. Esta etapa tambin puede poner de manifiesto qu modelos poseen deficiencias a la hora de predecir, y puede utilizarse como herramienta de validacin de los modelos.

Para evaluar la calidad del ajuste teniendo en cuenta el nmero de parmetros estimados en el modelo y la verosimilitud, existe el criterio AIC (Criterio de informacin de Akaike); cuanto ms pequeo sea el valor del criterio de informacin, mejor ser el modelo.

2.1.FORMULACIN GENERAL MODELOS ARIMA

Vamos a realizar la formulacin general que presenta el modelo ARIMA de rdenes p, d y q, es decir, el modelo ARIMA(p,d,q) es la siguiente:

(1) donde es la variable de estudio, c una constante y es el trmino de error o residuo, que sigue una distribucin normal de media cero y varianza constante . El trmino se aplica a la serie original para convertirla en estacionaria, y d corresponde al orden de la parte I del modelo ARIMA. y son polinomios de orden p y q que dependen del operador de retardo B.



El operador de retardo B est definido por:

. El polinomio se define como:

(2) donde y donde son los coeficientes del polinomio . p es el nmero de trminos del polinomio y el orden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA. El polinomio se define como

(3)

donde y donde ! son

los coeficientes del polinomio . q es el nmero de trminos del polinomio y el orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA. Por tanto, si sustituimos (2) y (3) en la expresin (1) se obtiene:

" # " # Los residuos , $ %& ( ! ) * + se obtiene de la ecuacin anterior:

" # " # En conclusin, el modelo ARIMA est compuesto de tres partes: una parte AR de orden p, una parte I de orden d y una parte MA de orden q. El nmero de trminos para los polinomios y , es decir, los rdenes de la parte AR y MA respectivamente, as como el orden de la parte I del modelo ARIMA se determinan en el siguiente paso (utilizando la metodologa de Box-Jenkins) que explicaremos a continuacin, y dependen de la serie temporal para la cual se realiza el estudio.

Nota: el modelo definido (1) relaciona la variable $ con sus pasados a travs del polinomio , y el error presente con los errores pasados a travs del polinomio .



2.2.PASOS EN LA CONSTRUCCIN DE LOS MODELOS ARIMA

PASO 1: Identificacin de los trminos del Modelo. En este paso vamos a identificar el nmero de trminos de los polinomios

y , es decir, vamos a determinar el valor de p y q, as como el orden de la parte I del modelo ARIMA. En este punto procederemos de la siguiente forma:

Anlisis inicial de la serie. Vamos a identificar las principales caractersticas de la serie temporal:

- Alta frecuencia - Comportamiento no estacionario. - Presencia de estacionalidad de los datos.

Cuanto menor es el tiempo transcurrido entre dos datos de la serie, mayor es la frecuencia de la serie. La alta frecuencia es una caracterstica intrnseca que no puede corregirse. Para la correccin de la no estacionariedad se pueden realizar dos tipos de transformaciones (vase el anexo A) sobre la serie original de datos:

Para estabilizar la varianza normalmente se toman transformaciones de Box-Cox: logaritmo, raz cuadrada, etc. Tambin sirven estas transformaciones para obtener normalidad a los datos (ver Apndice A).

Para estabilizar la media se toman diferenciaciones del tipo: , - - - $ . +

Existe estacionalidad en los datos cuando los datos que componen la serie presentan un comportamiento cclico o peridico. Por ejemplo, para la serie de precios de la energa elctrica existe estacionalidad diaria, un da suele ser parecido al da anterior; es decir, los martes tienden a ser similares a los lunes, los mircoles similares a los martes, y as sucesivamente. La serie de precios tambin presenta estacionalidad semanal, un da suele ser parecido al mismo da pero de la semana anterior; es decir, los lunes tienden a ser similares a los lunes, los martes similares a los martes, y as sucesivamente. Si los datos presentan estacionalidad, la formulacin del modelo ARIMA resulta:

/ - - 0 " . # $

donde s representa el tipo de estacionalidad que presentan los datos, s = 24 en el caso de estacionalidad diaria y/o s = 168 en el caso de estacionalidad semanal. D corresponde a la parte I del modelo ARIMA estacional. Normalmente D toma los valores 1 y 2. / - y 0 - son polinomios que dependen del operador de retardo Bs.



El polinomio / - se define como:

/ - 1 / 2

3

2

2-

donde / - / - / - / 3 3- y / 2 4 5 son los coeficientes del polinomio / - ; P es el nmero de trmino del polinomio de / - y el orden correspondiente a la parte AR del modelo ARIMA estacional.

El polinomio 0 - se define como:

0 - 1 04

6

4

4.

donde 0 - 0 - 0 7- 0 8 87- y 02 4 6 son los coeficientes del polinomio 0 - ; P es el nmero de trmino del polinomio de 0 - y el orden correspondiente a la parte MA del modelo ARIMA estacional.

Estos modelos ARIMA con una estacionalidad se denota como SARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s.

Estudio de la funcin de autocorrelacin (FAC) y la funcin de autocorrelacin parcial (FACP). A travs de la representacin de estas funciones se determinan los rdenes p, d, q del modelo ARIMA y los rdenes P, D y Q del modelo ARIMA estacional. La representacin grfica del coeficiente de autocorrelacin 9 : es lo que se denomina FAC. Cuya expresin es:

; 2

+

< =2 < >2

+

< >

Donde < es la media de . Considerando la serie ? $ @A $ @AB $B @ A4B $4B

@A4 $4 $ 4 + , donde @C @C @C2 @C2 son los valores estimados de los parmetros que componen el modelo de regresin entre la serie y cada una de las series 2= 2= D Adems ? es la serie que recoge la parte de no explicada por cada una de las series 2= 2= . Y la serie E $4 FG $ FGB $B F G4B $4B FG4 $4 $ 4

+ donde FG FG FG2 FG2 son los valores estimados de los parmetros que componen el modelo de regresin entre la serie 2 y cada una de las series 2= 2= . Adems E es la serie que recoge la parte de 2 no explicada por cada una de las series 2= 2= .

Las series ? HE se obtienen mediante tcnicas de regresin.



El coeficiente de autocorrelacin parcial de orden k es el coeficiente de correlacin entre ? HE , ya que ? HE se han calculado con separacin k. El coeficiente de autocorrelacin parcial de orden k se define como:

I JK

+ 4 ? ?< E EL

>2=

M + 4 ? ?<

>2= M

+ 4 E EL

>2=

Donde ?< y EL son las medias de las series ? HE ,respectivamente y T es el nmero de componentes de las series , ? HE .

Una vez definidos los coeficientes anteriores se estabiliza la varianza, aplicando

la transformacin de Box-Cox necesaria, a continuacin se identifican los rdenes d y D del modelo ARIMA y por ltimo se identifican los rdenes p, q, P y Q. Para identificar los rdenes d y D del modelo, se representa la FAC de la serie. Si se observa un patrn de comportamiento peridico en los mltiplos de s como en 12, 24, 36, con decrecimiento lento a cero es necesario incluir D (generalmente 1 o 2). Si los primeros valores son elevados con un decrecimiento muy lento, entonces d debe de incluirse en el modelo. Los patrones que deben seguir la FAC y la FACP para la identificacin de los rdenes del modelo ARIMA. El patrn que deben seguir la FAC y la FACP para la identificacin del orden de un modelo puro AR(p) es el siguiente: la FACP presenta los p primeros valores distintos de cero y el resto de valores son cero o muy prximos a cero con un comportamiento sinusoidal, y la FAC presenta un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal. El patrn que deben seguir la FAC y la FACP para la identificacin del orden de un modelo puro MA(q) es el siguiente: la FAC presenta los q primeros valores distintos de cero y el resto de valores son cero o muy prximos a cero con un comportamiento sinusoidal, y la FACP presenta un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal. El patrn que deben seguir la FAC y la FACP para la identificacin de los rdenes p y q de un modelo ARMA(p,q) es una superposicin de los patrones que presentan estas funciones para un modelo AR y MA: en la FAC, q p + 1 valores iniciales distintos de cero y a continuacin un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal debido a la parte AR; y en la FACP, q p + 1 valores iniciales distintos de cero seguidos de un decrecimiento exponencial y/o un comportamiento sinusoidal debido a la parte MA.



Con todo esto queda establecido cmo identificar los rdenes p y q correspondientes a la parte no estacional del modelo ARIMA. Para la identificacin de los rdenes P y Q, correspondientes a la parte estacional del modelo ARIMA, el procedimiento es similar, con la diferencia de que en lugar de observar los primeros valores de la FAC y la FACP se observan los valores que presentan un comportamiento peridico. Por ejemplo, en el caso que se presente estacionalidad diaria (s = 24) los valores que habra que observar son el 24, el 48, el 72, el 96, A modo de resumen presentamos el siguiente cuadro:

FAC

FACP

AR (p) Decrece exponencialmente

o cmo una sinusoide amortiguada

Corta tras el retardo p

MA (q) Corta tras el retardo q Decrece exponencialmente

o cmo una sinusoide amortiguada

ARMA (p, q) Decrece Decrece

PASO 2: Estimacin de los parmetros del Modelo. Una vez identificados los trminos que contiene el modelo se estiman los

parmetros que lo constituyen. La estimacin de los parmetros del modelo se puede hacer a travs de por

medio de diferentes mtodos. El mtodo ms utilizado es el mtodo de verosimilitud, aunque en los modelos autorregresivos, la estimacin utilizada es el mtodo de los momentos.

La maximizacin de la funcin de verosimilitud es no lineal en el sentido de que la funcin a maximizar no es una funcin cuadrtica de los parmetros desconocidos. Esta maximizacin es por tanto realizada numricamente. Por ello, la convergencia al mximo ser ms rpida si se parte de un valor inicial de los parmetros prximo al valor de convergencia. Hay distintos mtodos para el clculo de estos valores iniciales, dos de ellos para el caso autorregresivo (mtodo de Yule-Walker y algoritmo de Burg) y otros dos para un caso general (algoritmo de las innovaciones y algoritmo de Hannan-Rissanen).



El mtodo de Yule-Walker, es un mtodo de estimacin que se utiliza para

procesos autorregresivos puros. Consiste en plantear el sistema de ecuaciones de Yule-Walker y proceder a su resolucin sustituyendo en dicho sistema las autocorrelaciones por sus estimaciones. Por tanto, se iguala momentos tericos con estimados. Si la serie tiene estructura AR(p):

, las ecuaciones de Yule-Walker se obtienen calculando las covarianzas o correlaciones de con 2 4 N con lo que obtenemos la ecuacin en diferencias:

OF2 F2 F2

P; 2 ; 2 ; 2

Q

Como estas funciones son pares, podemos plantear un sistema de p ecuaciones con p incgnitas. Al resolverlas obtenemos la estimacin de los parmetros , sustituyendo los valores de las covarianzas o correlaciones tericas por sus estimaciones muestrales. El valor de la varianza de se obtiene de la ecuacin:

F R ST UFF

V

ecuacin para k = 0. Las covarianzas del modelo terico as obtenido coinciden con las muestrales para los valores k = 0,1,,p.

Para tamaos muestrales grandes, la distribucin del estimador as obtenido es:

AW X" Y Z #,

donde Z "F # es la matriz que contiene las covarianzas y aparece en la

formulacin del sistema de ecuaciones de Yule-Walker. Si se reemplaza y Z por sus estimaciones, podemos calcular regiones de confianza para muestras de tamao elevado. As un intervalo de confianza para un valor vendr dado por:

[ \ ] _G

Y

donde es el elemento ii de Z , y una regin para el vector completo:



"A #SZ "A # G

aYb]

Por tanto este mtodo proporciona la estimacin de los parmetros bajo la hiptesis de que la FAC estimada coincida con la terica para los primeros retardos. El algoritmo de Burg es otro mtodo muy parecido al anterior. Se usa tambin en el caso de un proceso autorregresivo puro. Los estimadores son precisamente los coeficientes del mejor predictor lineal = en funcin de las p observaciones anteriores, bajo la hiptesis de que su funcin de autocorrelacin coincide con la funcin de autocorrelacin muestral en los retardos 1,,p. La diferencia con el mtodo de Yule-Walker se basa en que el coeficiente que multiplica a Bp, es decir el ltimo factor del polinomio de retardos, se calcula minimizando los errores de prediccin un paso hacia adelante y hacia atrs. Los coeficientes de los restantes factores Bk se calculan dividiendo la suma de los cuadrados de los errores de prediccin un paso adelante y hacia atrs del modelo ajustado (si es un AR(p) habr T-p en cada sentido) entre el nmero de sumandos ( es decir, 2(T-p)). El algoritmo de las innovaciones es vlido para procesos con estructura MA y ARMA. Consiste en ajustar modelos MA a los datos:

Ac Acc c , siendo W X d EGc mediante el algoritmo siguiente: Sea 4 ef g, entonces

ER 4

hh2 E 2 i4 Y Y 1 22 hh E

2

R

j d 4 Y

Eh 4 Y Y 1 hh E

h

R

As procedemos siguiendo la siguiente secuencia:

ER W E W E W kk k k Ek W Nos vamos a apoyar en el siguiente teorema: Si W lm ! con en

opq r y si definimos R y d para j > q. Si Y W r y m (n) es una sucesin que verifica

m(n) W r pero c h

ahs W d. Entonces para todo k entero, la distribucin de



aY"Ac Ac2 2#S

Converge a una distribucin normal multivariante de media cero y matriz de covarianza A = (aij), donde

& 1 t t

ch ( )

t

Adems EGc es un estimador consistente de . Hay que observar que "A A #S no es estimador consistente de los parmetros sino que se calcula al aumentar el orden del proceso MA y truncar los parmetros al nivel q,

es decir, "Ac Ac #S. Para procesos ARMA, y bajo la hiptesis de estacionariedad, el polinomio u es invertible, y la representacin MA r de la serie ser por tanto

1 /

v

R

donde los coeficientes satisfacen

/ 1 /

cwh( )

R

d

con R y d para j > q.

As podemos estimar los coeficientes / / = por el algoritmo de las innovaciones

"Ac Ac= #S. Reemplazar estos valores en la ecuacin anterior y calcular las estimaciones de y . En primer lugar, de las ltimas p ecuaciones, calculamos (los son nulos).

UAc=Ac=

V

x

yz

Ac Ac Ac=Ac= Ac=

AcAc=

Ac=Ac {

|}

U

V

Y por ltimo determinamos los de las ecuaciones



Ac 1 A Ac

cwh ( )

!

Finalmente: G EGc . El algoritmo de Hannan-Rissanen es vlido para procesos con estructura AR(p), tiene la expresin de un modelo de regresin, por tanto, una estimacin preliminar puede hacerse usando mnimos cuadrados, y ARMA(p,q), es algo ms complicado porque depende de cantidades no observadas . Sin embargo, se puede aplicar este procedimiento (mnimos cuadrados) si reemplazamos por estimaciones suyas. As el algoritmo consta de los siguientes pasos: Paso 1: Ajustamos un modelo AR(m) de orden alto ( m > mx{p,q}) usando por ejemplo Yule-Walker. As obtenemos "Ac Acc #S. Paso 2: Estimamos los residuos del modelo anterior

~ Ac Acc c $ % Y Paso 3: Estimamos los parmetros " #S mediante una regresin mnimo cuadrtica sobre y ~ , minimizando

@ 1 " ~ ~ #

h

c=

Con respecto a @ es decir:

@C S S > > c= h

c c c= ~c ~c ~ c= c= c c= ~c= ~c ~ c=

h

h

h

~h

~h

~h

Paso 4: Por ltimo,

G "@C#

Y %

Vamos a explicar la estimacin de los parmetros mediante la minimizacin de la suma de los residuos al cuadrado.



Consiste en minimizar:

1 " # " #

>

c7 ( )==

Sujeto a:

!

Donde son las races del polinomio ( d ) y

son las races del polinomio ( d ). La primera restriccin se aplica para asegurar que el modelo AR(p) cumple la condicin de estacionariedad, y la segunda restriccin se aplica para asegurar que el modelo MA(q) cumple la condicin de invertibilidad. La sumatoria de los residuos al cuadrado comienza en $ %& ( ! ) * , ya que no se dispone de datos para las series y , t = 1,2,,T, cuando 1 t < 1. es un ruido blanco que se genera de forma aleatoria. El vector de parmetros a estimar es " #. Al resolver este problema se obtienen los valores estimados de los parmetros que componen el modelo. Por tanto, el modelo estimado queda:

" A A # " A A # Los residuos estimados son:

" A A # " A A # (4) que han de comportarse como ruido blanco si el modelo es correcto.

PASO 3: Validacin de Modelo. Para asegurar la validez e idoneidad del modelo y la efectividad de las

predicciones, los residuos estimados (4) se deben comportar como un ruido blanco. Un ruido blanco es una serie de datos que se caracteriza por tener distribucin normal, media y covarianza nulas y varianza constante. Para comprobar que los residuos estimados obtenidos segn (4) son ruido blanco:

Representamos FAC y la FACP para los residuos: si los residuos estimados segn (4) son ruido blanco, tanto en la FAC como en la FACP de estos residuos



no debe aparecer ningn valor significativo; es decir, los valores de estas funciones deben ser muy pequeos y estar dentro de las bandas de confianza

S

a+S

a+

Estas son bandas asintticas al 95 % de confianza, donde T es el nmero de valores de la serie .

Test de Ljung-Box: este test indica si existe dependencia entre los m primeros residuos estimados (4), es decir, si estos residuos presentan correlacin no nula. El estadstico de Ljung-Box se define como:

6 + + B 1;G

+

c

Donde ; es el coeficiente de autocorrelacin de los residuos estimados segn (4).T es el nmero de valores de la serie y r es el nmero de parmetros estimados.

Este estadstico, Q, se distribuye como una Chi-cuadrado con un nmero de grados de libertad igual al nmero de coeficientes utilizados en la suma, m, menos el nmero de parmetros estimados r menos 1 (m-r-1).

En la mayora de los casos es suficiente con representar la FAC y FACP, ya que si no presentan valores significativos, el valor del estadstico Q ser pequeo, y por tanto se puede considerar que existe independencia entre los residuos. Si se comprueba que el modelo es adecuado, se puede continuar con el procedimiento y calcular las predicciones. En caso contrario, se estudia el comportamiento de los residuos estimados segn (4), lo que ayuda a identificar un nuevo modelo; se vuelve al paso 2 y se repite todo el proceso.

PASO 4: Prediccin.

Despus de obtener el modelo y comprobar su validez, se puede proceder a predecir.

La prediccin ptima de >=2 , A>=2 , es el valor esperado de >=2 condicionado a que se conoce >, es decir, la esperanza condicionada de >=2 conocido >. De forma anloga se procede con los residuos. Por lo tanto:

A> 4 e n >=2 > p



> 4 e n >=2 > p

Donde T representa el origen de la prediccin y k el horizonte de la misma. Las frmulas correspondientes a las predicciones que se quieren obtener, segn el modelo estimado, son:

>=2 A >=2 A " >=2 # >=2 A >=2 A! >=2 Tomando esperanzas condicionadas en la expresin anterior, la ecuacin de prediccin para el modelo ARIMA estimado es la siguiente:

> 4 A A> 4 A A> 4 > 4 A > 4

A! > 4 ! Donde

A> >= . d es el valor de la serie en el tiempo T+j.

A> A>= . d es la prediccin obtenida para la serie en el tiempo T+j.

> >= . d es el valor de la serie en el tiempo T+j.

> d. d

2.3.EJEMPLO DE MODELIZACIN

Realizaremos un ejemplo para ilustra los pasos a seguir en la construccin de un modelo ARIMA.

Se dispone de una serie de datos correspondiente a los precios horarios de electricidad de un mercado de energa elctrica , t = 1, ,T donde T = 148 (vase el Anexo A). En primer lugar, se analiza esta serie de datos y se estudia el comportamiento que presenta.

Presentamos a continuacin, la representacin grfica de la serie :

PASO 1: Identificacin del modelo En primer lugar estudiamos la estacionariedadaprecia que la media no es constante. Veamos qu

La FAC presenta un comportamiento tpico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la funcin son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciacin de orden 1 a la serie . Esta diferenciacin de orden 1 se define como

A continuacin, se representa la serie orden:



del modelo.

En primer lugar estudiamos la estacionariedad. Si observamos la grfica de la serie se aprecia que la media no es constante. Veamos qu ocurre si dibujamos la FAC.

La FAC presenta un comportamiento tpico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la funcin son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciacin de orden 1 a la

. Esta diferenciacin de orden 1 se define como

, se representa la serie una vez tomada la diferenciacin de primer

Master en Estadstica Aplicada.Modelos Heterocedsticos.


Si observamos la grfica de la serie se ocurre si dibujamos la FAC.

La FAC presenta un comportamiento tpico de una serie no estacionaria, ya que los primeros valores de la funcin son muy elevados con un decrecimiento muy lento a cero. Por lo tanto, se confirma la necesidad de aplicar una diferenciacin de orden 1 a la

una vez tomada la diferenciacin de primer

Despus de diferenciada la serie, para ARIMA, es necesaria la representacin de la FAC y de la FACP. Por lo tanto, se toma la diferenciacin de orden 1 a la serie y se representa su FAC yFACP, que mostramos a continuacin:

FAC c

FACP con diferenciacin de orden 1 de



diferenciada la serie, para poder identificar los trminos del

es necesaria la representacin de la FAC y de la FACP.

Por lo tanto, se toma la diferenciacin de orden 1 a la serie y se representa su FAC yFACP, que mostramos a continuacin:

FAC con diferenciacin de orden 1 de

FACP con diferenciacin de orden 1 de



trminos del modelo

Por lo tanto, se toma la diferenciacin de orden 1 a la serie y se representa su FAC y



La FAC no tiene persistencia luego no es necesaria otra diferenciacin. Podemos plantear 4 modelos:

- Modelo ARIMA(2,1,0). Debido a que la FACP corta en el segundo retardo y la FAC presenta un decrecimiento exponencial. . El modelo al que se ajusta la serie presenta la forma:

- Modelo ARIMA(0,1,2). Debido a que la FAC corta tras el retar 2 y la FACP

decrece exponencialmente. . El modelo al que se ajusta la serie presenta la forma:

- Modelo ARIMA(1,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACP

presentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidos de un comportamiento sinusoidal con valores prximos a cero para los siguientes, y el primer valor es ms significativo que el resto. El modelo al que se ajusta la serie presenta la forma:

- Modelo ARIMA(2,1,1). Los valores de la FAC como los de la FACP

presentan un decrecimiento exponencial para los primeros valores seguidos de un comportamiento sinusoidal con valores prximos a cero para los siguientes, presentando dos retardos significativos al resto. El modelo al que se ajusta la serie presenta la forma:

PASO 2 y 3: Estimacin de los parmetros y validacin del modelo.

A continuacin para cada uno de los modelos propuestos anteriormente vamos a realizar la estimacin y validacin. Y determinaremos de los 4 modelos cual es el que mejor se adapta a nuestra serie. Utilizaremos SPSS versin 15 para obtener la estimacin de los parmetros del modelo. Para el modelo ARIMA(1,1,1), obtendremos los valores estimados para los parmetros y y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado paraes 0.606 y el valor estimado para la constante c es 0.391significacin, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. tanto, estimamos el modelo sin constante, obteniendo:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es 0.636. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa FAC y la FACP, que se representan a continuacin:

FAC de los residuos estimados para el

Retardos no estacionales

Constante

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimacin.





que el valor estimado para es 0.837, el valor estimado para imado para la constante c es 0.391. Si nos fijamos en la

significacin, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. tanto, estimamos el modelo sin constante, obteniendo:

que el valor estimado para es 0.877, el valor estimado para Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa FAC y la FACP, que se representan a continuacin:

FAC de los residuos estimados para el modelo ARIMA(1,1,1)

Estimaciones de los parmetros

,837 ,097 8,633

,606 ,142 4,261

,391 ,262 1,492

AR1

MA1

Estimaciones Error tpico t



,877 ,073 12,068

,636 ,118 5,366

AR1

MA1





, el valor estimado para Si nos fijamos en la

significacin, parece ser que la constante no es necesaria para explicar el modelo. Por lo

, el valor estimado para

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la

8,633 ,000

4,261 ,000

1,492 ,138

Sig. aprox.

,000

,000

Sig. aprox.

FACP de los Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro debandas de confianza. Por lo tanto, se puedpredecir.

Para el modelo ARIMA(2,1,0)

y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es 0.202 y el valor estimado para la constante c es 0.

Diagnstico residual

147

2

145

264,795

275,157

1,822

1,350

-251,845

507,690

513,671

Nmero de residuos

Nmero de parmetros

GL residuales

Suma de cuadradosresidual corregida

Suma de cuadradosresidual

Varianza residual

Error tpico del modelo

Log-verosimilitud

Criterio de informacinde Akaike (AIC)

Criterio bayesiano deSchwarz (BIC)


Constante




FACP de los residuos estimados para el modelo ARIMA(1,1,1)

Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro debandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado

Para el modelo ARIMA(2,1,0), obtendremos los valores estimados para los parmetros

que el valor estimado para es 0.250, el valor estimado para imado para la constante c es 0.403. Si nos fijamos en la


,250 ,082 3,062

,202 ,082 2,464

,403 ,203 1,983

AR1

AR2





(1,1,1)

Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las

es adecuado para

para los parmetros

, el valor estimado para Si nos fijamos en la

3,062 ,003

2,464 ,015

1,983 ,049

Sig. aprox.

significacin, parece ser que modelo. Por tanto el modelo

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos FAC y la FACP, que se representan a continuacin:


FACP de los Los residuos estimados son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para predecir.



significacin, parece ser que todos los parmetros son necesarios para explicar el modelo. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la FAC y la FACP, que se representan a continuacin:



son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para



todos los parmetros son necesarios para explicar el

A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la

)

son ruido blanco, ya que tanto la FAC como la FACP no presentan ningn valor significativo. Todos los valores se encuentran dentro de las bandas de confianza. Por lo tanto, se puede concluir que el modelo es adecuado para



Para el modelo ARIMA(0,1,2), obtendremos los valores estimados para los parmetros y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es -0.241, el valor estimado para es -0.170 y el valor estimado para la constante c es 0.413. Si nos fijamos en la significacin, parece ser que todos los parmetros son necesarios para explicar el modelo. Por tanto el modelo tiene la siguiente forma:

dD dDB dDd A continuacin, se realiza un estudio de los residuos estimados y se observa su comportamiento. Los residuos estimados deben ser ruido blanco. Para ello, se observa la FAC y la FACP, que se representan a continuacin:

Diagnstico residual

147

2

144

267,147

267,147

1,853

1,361

-252,504

511,008

519,979

Nmero de residuos

Nmero de parmetros

GL residuales



Varianza residual


Log-verosimilitud




-,241 ,082 -2,928 ,004

-,170 ,082 -2,066 ,041

,413 ,161 2,570 ,011

MA1

MA2


Constante

Estimaciones Error tpico t Sig. aprox.



FACP de los Los residuos estimados no observa que se salen de las bandas de confianza.el modelo es adecuado para predecir.





no son ruido blanco, ya que para los primeros retardos se observa que se salen de las bandas de confianza. Por lo tanto, no se puede concluir que el modelo es adecuado para predecir.



)

para los primeros retardos se se puede concluir que



Para el modelo ARIMA(2,1,1), obtendremos los valores estimados para los parmetros y la constante c:

Obtenemos por tanto que el valor estimado para es -0.241, el valor estimado para es 0.046, el valor de es de 0.558 y el valor estimado para la constante c es 0.390. Si nos fijamos en la significacin, parece ser que el parmetro y la constantes no son necesarios para explicar el modelo. Por lo tanto este modelo no es bueno para explicar este conjunto de datos. Para determinar cul de los tres modelos es mejor, nos vamos a basar en la comparacin del criterio de Akaike. Para el modelo ARIMA(1,1,1) el valor AIC es de 507.609. Para el modelo ARIMA(2,1,0) el valor AIC es de 511,008. Para el modelo ARIMA(0,1,2) el valor AIC es de 515,997. Por tanto, el mejor modelo para estimar la serie es el modelo ARIMA(1,1,1) ya que tiene un valor AIC menor al de los otros modelos.

PASO 4: Prediccin.

En los pasos anteriores hemos obtenido el modelo y adems hemos comprobado su idoneidad para poder predecir. La frmula de prediccin para el modelo obtenido es:

G> 4 dD "G > 4 G > 4 B # G > 4 dDB dDBB

> 4 > 4

Diagnstico residual

147

2

144

276,366

284,989

1,918

1,385

-254,999

515,997

524,969

Nmero de residuos

Nmero de parmetros

GL residuales



Varianza residual


Log-verosimilitud




,769 ,249 3,090 ,002

,046 ,135 ,336 ,737

,558 ,239 2,337 ,021

,390 ,260 1,497 ,137

AR1

AR2

MA1

Retardos noestacionales

Constante

Estimaciones Error tpico t Sig. aprox.




Se dispone de datos hasta el tiempo T y se quieren realizar dos predicciones. Se quiere predecir el valor de la serie para t = 149 y para t = 150, es decir, G> G >= y G> B G >= . Para el clculo de las predicciones basta con sustituir k = 1 y k = 2 en la frmula de prediccin. Para k = 1 la frmula de prediccin queda:

G> dD "G > d G > # G > d dDB dDBB > d > Donde G> d > BD es el valor real de la serie en el tiempo T. G> > BBD es el valor real de la serie en el tiempo T-1. > d > Dd es el valor de la serie de residuos en el tiempo T. > >= d es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+1. Sustituyen cada uno de los valores se calcula la prediccin para t = 149, G> . El valor obtenido para la prediccin es G> BD . Para k = 2 la frmula de prediccin queda:

G> B dD "G > G > d # G > dDB dDBB > > B Donde G> G >= BD es el valor predicho de la serie en el tiempo T+1. G> d > BBD es el valor real de la serie en el tiempo T. > >= d es el valor de la serie de residuos en el tiempo T+1. > B >= d es el valor de la serie de residuos de en el tiempo T+2. Sustituyen cada uno de los valores se calcula la prediccin para t = 150, G> B . El valor obtenido para la prediccin es G> B BD . Calculamos los errores obtenidos al realizar cada una de las predicciones. El error se calcula a travs de la siguiente expresin:



~>=2 G>=2 >=2

>=2

Vamos a presentar una tabla con estos errores, junto con los valores reales y los predichos de la serie :

Valor Real Valor Predicho Error (%) 261.2 261.66 0.2 262.7 261.91 0.3

Calculamos el error total mediante la siguiente expresin:

~ G>=2 >=2

2

>=22

Se obtiene un error total de 0.25 %.



3.MODELOS ARCH Y GARCH

3.1.MODELO ARCH

En la prctica los modelos del tipo lineal de series de tiempo tales como ARIMA(p,d,q) o los modelos causales de regresin lineal, no siempre resultan los ms adecuados para analizar y predecir adecuadamente un proceso real. Por tal motivo se han propuestos modelos no lineales con la consecuencia de desarrollar mtodos de estimacin apropiados para estos casos as como los test que permitan validar los resultados.

Muchas series temporales econmicas, y especialmente series financieras, muestran cambios en los momentos condicionados de segundo orden. Estos cambios tienden a estar correlacionados serialmente, en el sentido de que cambios de gran magnitud en el valor de la serie son seguidos por grandes cambios (periodos de mucha volatilidad) mientras que a cambios pequeos en el valor de la serie les siguen cambios pequeos (periodos de poca volatilidad). Es decir, esto se traduce, en la presencia de correlaciones positivas en la serie de los cuadrados. Adems se produce un exceso de curtosis o la ausencia de correlacin en los niveles. Fue Engle quien proporcion una serie de modelos que tratan de representar este comportamiento de la serie. La formulacin bsica de estos modelos consiste en modelizar la serie ~ segn la siguiente ecuacin:

~ Donde (proceso de ruido blanco formado por variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza unidad) y (factor denominado volatilidad) son procesos estacionarios independientes entre s. La condicin de independencia entre H , garantiza que la serie ~ tenga media marginal igual a cero:

e ~ e e e d Y lo mismo ocurre con la media condicional que es nula:

e ~ ~ e ~ e d La varianza marginal de ~ tiene que ser constante, . Esta varianza se calcula como:

e ~ e

e

e

Sin embargo la varianza condicionada no es constante:

& ~ ~ e

~ e



siendo

e ~ e

Por tanto, , representa la varianza condicionada de la serie en cada instante , que va

variando con cierta estructura estacionaria.

La condicin de independencia entre H , adems de garantizar que la serie ~ tenga media marginal igual a cero, nos garantiza que la serie ~ carezca de autocorrelacin y forme un proceso de ruido blanco. Sin embargo, la serie ~ no es de variables independientes. A continuacin vamos a estudiar el comportamiento de este modelo en los casos ms simples: modelo ARCH(1) (la varianza condicional depende de un retardo de la serie), como es lgico, este ruido blanco podra tomarse como el comportamiento de los errores provenientes de un modelo de regresin dinmico dado por ~ @ donde es un vector de variables predeterminadas que incluye los trminos de ~ en periodos anteriores y@ el vector de parmetros que tendra que estimarse, este modelo de regresin se denomina modelo de regresin ARCH, en el sentido de que ahora es el trmino de error de un modelo de regresin el que adopta una estructura ARCH, y consideraremos r retardos y describiremos el modelo ARCH(r).

3.1.1.MODELO ARCH(1)

Para el modelo ARCH(1), su varianza condicional tiene una estructura

similar a un AR(1), y por tanto solo depende del ltimo valor observado:

e ~

~ R ~

donde R d (corresponde a la mnima varianza condicional observada) y d (es una condicin necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional y la condicional).

Por tanto, esta ecuacin establece que si el valor de ~ es alto, la varianza

de la siguiente observacin condicionada a este valor ser tambin alta. Esto va a producir correlacin entre los cuadrados de la serie, provocando rachas de valores de magnitud relativamente elevada o con mayor varianza. Pero como la media marginal y la condicionada vale cero, aunque la varianza condicionada sea alta, siempre es posible que aparezca un valor pequeo de ~

, que disminuir la varianza condicionada de la observacin siguiente y facilitar que la siguiente observacin sea pequea en valor absoluto. De manera que la serie puede presentar rachas de valores altos, pero globalmente ser estacionaria.

La varianza marginal de la serie es el promedio de las varianzas condicionadas, que debe de ser mayor que R y ser tanto mayor cuanto mayor sea el coeficiente que



transmite el efecto de la ltima observacin. Si llamamos a e ~ a la varianza

marginal, entonces:

e ne ~ ~ p R en~

p

Siendo e ~ e ~

y sustituyendo en obtenemos:

R

d q

Adems, el modelo ARCH(1), establece dependencia de tipo AR(1) entre los cuadrados de las observaciones, por tanto:

~ R ~ E

(Nota: E ~

es un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante).

Si llamamos ; 4 a la funcin de autocorrelacin de los cuadrados de la serie, donde el subndice c se refiere a los cuadrados, se obtiene:

; 4 ; 4

que indica que las autocorrelaciones de los cuadrados de las series tienen la estructura de un AR(1) con parmetro .

Este modelo, una curtosis igual a:

F R

R

R

Como d , este coeficiente de curtosis es siempre mayor que 3, y puede ser mucho mayor. Por lo tanto, la distribucin marginal tendr colas pesadas.

En resumen:

- Las esperanzas marginal y condicional son iguales a cero. - La varianza marginal es constante - La varianza condicional depende de los valores que haya tomado ~

luego no es constante.

- La distribucin marginal del proceso ARCH(1) tiene una forma desconocida.

3.1.2.MODELO ARCH(r)

El modelo anterior puede generalizarse permitiendo una dependencia de la varianza condicional con r retardos. De manera que el modelo ARCH(r) para ~ , la varianza condicional

R ~

t ~t



donde R d (corresponde a la mnima varianza condicional observada) y d (es una condicin necesaria y suficiente para la existencia de la varianza incondicional y la condicional). En este proceso las posibilidades de rachas de alta volatilidad depende de los r ltimos valores. La varianza marginal:

& ~ e ~ e ne ~ ~ p R 1 e ~

Por tanto:

& ~ R

t

siendo t q D

Si introducimos E ~

, como en el caso del proceso ARCH(1), ser un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante, podemos expresar la dependencia de los cuadrados de las observaciones como un proceso AR(r):

~ R ~

t ~t E

Estas variables no son independientes entre s ni de los regresores, ya que la positividad de ~

exige que:

E R ~ t ~t

As en un modelo ARCH(r) se verifica que:

- Es un proceso de ruido blanco pero no es independiente y no est idnticamente distribuido.

- Las esperanzas condicional y no condicional son iguales a cero. - La varianza no condicional es constante. - La varianza condicional depende de ~ ~ ~ t luego no es constante.

3.2.MODELO GARCH

Un rasgo comn a muchas de las primeras aplicaciones empricas de los modelos ARCH es que requieren un gran nmero de parmetros autorregresivos y, para representar adecuadamente el comportamiento dinmico de la varianza, se impona una estructura fija de retardos. Con el fin de flexibilizar estas restricciones Bollerslev (1986) propuso el modelo ARCH generalizado o GARCH. La generalizacin del modelo ARCH al modelo GARCH tiene gran similitud con la extensin de los procesos autorregresivos, AR, a los autorregresivos de medias mviles, ARMA, permitiendo una representacin ms parsimoniosa de la volatilidad. Bollerslev considera que la varianza,

, adems dependen de las observaciones pasadas de ~ ,



depende tambin de su propio pasado. Esta dependencia se expresa incluyendo cierto nmero de retardos p de

, de forma que la varianza condicional se define entonces como:

R 1 ~

t

1 @

donde R d , N d, i = 1,,r, @ N d, j = 1,,p aunque estas restricciones se establecen para garantizar que la varianza sea positiva, Nelson y Cao (1992) demuestran posteriormente que la positividad de la varianza est asegurada bajo condiciones ms dbiles. En concreto demuestran que si el modelo GARCH de la ecuacin admite una representacin ARCH r , es suficiente exigir que los coeficientes del polinomio de retardos en dicha representacin sean todos positivos. El nuevo modelo se denomina GARCH(p,r), y se reduce al ya conocido ARCH(r) cuando p = 0. Bollerslev establece las condiciones de estacionariedad, probando que ~ es dbilmente estacionario con

e ~ d & ~ ]

]

HPE ~ ~- d&&. $

@ q D

t

Es importante la relacin que existe entre los modelos GARCH y ARMA ya que, si definimos E ~

ser un proceso de ruido blanco formado por variables

estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante, podemos expresar la dependencia de los cuadrados de las observaciones del modelo GARCH como un proceso ARMA, segn la siguiente ecuacin:

~ R 1 @

c7 t

~ E 1 @

E

3.2.1.MODELO GARCH(1,1)

Muchos trabajos con series financieras, muestran que el ms sencillo de los modelos GARCH, el GARCH(1,1), es suficiente para modelizar con xito los cambios temporales en la varianza condicional, incluso sobre periodos muestrales largos. El modelo GARCH(1,1) se obtiene cuando p = r = 1, de forma que la varianza condicionada queda:

R ~ @

con R d , N d, @ N d. Si @ q , la serie ~ tiene varianza finita, y por ser una martingala en diferencias, es ruido blanco, de media cero y varianza



& ~ R

@

Adems, Bollerslev prueba que si @ B q ,el momento de orden 4 de ~

existe y es finito, y la curtosis de ~ es

F e ~

o

ne ~ p

n @ p

B @

Cuando @ q , este valor es mayor que 3 y, por tanto, el proceso GARCH(1,1) estacionario es leptocrtico, propiedad que comparte con el modelo ARCH(1).

Si p = r = 1, la ecuacin se escribe como:

~ R @ ~

E @ E

el modelo GARCH(1,1) puede interpretarse como un proceso ARMA(1,1) para la serie ~

, cuya funcin de autocorrelacin ser:

; @ @

B

B @ @ B

Mientras que

; 4 @ 2 ; 4

3.2.2.MODELO IGARCH

En las aplicaciones de modelos GARCH(1,1) a series financieras, es casi sistemtica la obtencin de un valor estimado de @ prcticamente igual a uno, en especial si la frecuencia de observacin es alta. Por ejemplo, los trabajos de Engle y Bollerslev (1986), Bollerslev (1987), Baillie y DeGennaro (1989) y Hsieh (1989) con series de tipos de cambio, Chou (1988), Baillie y DeGEnnaro (1990) y Poon y Taylor (1992) con ndices de bolsa, y otros trabajos encuentran siempre valores de G @C superiores a 09. Teniendo en cuenta la forma de la funcin de autocorrelacin de ~

, un valor de @ prximo a uno significa que dicha funcin apenas decrece, indicando que los cambios en la varianza condicional son relativamente lentos y, por tanto, los shocks (cambios bruscos) en la volatilidad persisten. Esta propiedad es interesante porque refleja precisamente una de las caractersticas tpicas de las series financieras: aunque la serie original est incorrelada, existe correlacin en la serie de los cuadrados y, adems, estas correlaciones decrecen lentamente, mostrando valores significativamente distintos de cero incluso para retardos altos.

Los resultados de los trabajos mencionados anteriormente justifican el inters de un modelo GARCH(1,1) en el que se imponga la condicin @ . El modelo



resultante, denominado GARCH integrado IGARCH, fue propuesto por Engle y Bollerslev (1986) y en l la ecuacin para la varianza condicionada es:

R

~

El modelo ya no es dbilmente estacionario, porque su varianza marginal no es finita. Sin embargo, se prueba fcilmente que la ecuacin admite una representacin de la forma:

~ R E @ E

Donde es el operador de primeras diferencias, y E ~

es un proceso de ruido blanco, formado por variables estacionarias incorreladas de media cero y varianza marginal constante.

La ecuacin anterior permite interpretar el modelo IGARCH(1,1) como un proceso MA(1) estacionario para las primeras diferencias de ~

, lo que indica cierta analoga del modelo IGARCH(1,1) con el proceso ARIMA(0,1,1). Sin embargo, existen diferencias significativas entre ellos.

3.2.3.MODELO EGARCH

Nelson (1991) observ ciertas limitaciones en los modelos GARCH:

- Las condiciones impuestas sobre los parmetros para asegurar que no sea

negativo son violadas en algunas aplicaciones empricas. - El modelo GARCH es incapaz de modelizar una respuesta asimtrica de la

volatilidad ante las subidas y bajadas de la serie.

Con el fin de solventar estas deficiencias, Nelson propuso un nuevo modelo GARCH exponencial o EGARCH.

El modelo EGARCH garantiza la no negatividad de la varianza condicional formulando la ecuacin de la volatilidad en trminos de logaritmo de

, mediante una representacin lineal del tipo:

'Y 1 0 'Y"

#

1

t

Donde e . A travs de esta funcin g, que depende del signo y de la magnitud de , el modelo EGARCH puede capturar una respuesta asimtrica de la volatilidad ante innovaciones de distinto signo, permitiendo as modelizar un efecto contrastado empricamente en muchas series financieras: las malas noticias (rendimientos negativos) provocan mayor aumento de la volatilidad que las buenas noticias (rendimientos positivos).



Por construccin, las perturbaciones son variables independientes e idnticamente distribuidas con media cero y varianza constante, y por tanto puede considerarse como una representacin ARMA para la serie 'Y

.

3.3.CONSTRUCCIN DE LOS MODELOS

Vamos a seguir los siguientes pasos para la construccin de estos modelos: identificacin, estimacin de los parmetros y diagnosis y validacin.

PASO 1: Identificacin de los trminos del Modelo

La identificacin de los modelos ARCH y GARCH, se efectan despus de ajustar un modelo ARIMA a la serie. Si existen efectos ARCH, los residuos del modelo ARIMA estarn incorrelados pero no sern independientes y este efecto ser visible en la funcin de autocorrelacin de los residuos al cuadrado, que mostrarn correlacin serial. Adems, si calculamos los coeficientes de autocorrelacin parcial de los residuos al cuadrado y el modelo para los residuos es ARCH puro, el nmero de trminos distintos de cero nos indicar, aproximadamente, el orden del proceso.

Para detectar estructuras en los cuadrados podemos acudir a los contrastes de McLeod y Li (1983) y Pea y Rodrguez (2006). Adems de estos contrastes generales, que sirven para detectar una estructura general no lineal, pueden utilizarse contrastes especficos para detectarla.

PASO 2: Estimacin de los parmetros del Modelo

En cuanto a la estimacin de los modelos, todas las metodologas giran en torno a la aplicacin de dos: la primera es la de Mxima Verosimilitud y la segunda es el mtodo de momentos generalizados, ambos superan los inconvenientes que presenta el mtodo de mnimos cuadrados, en cuanto a su ineficacia para identificar el proceso que gobierna la evolucin de la varianza, adems ambos se aplican partiendo del modelo de regresin ARCH.

Estimacin de los parmetros del modelo ARCH: Vamos a describir la estimacin de los parmetros a travs del mtodo de mxima verosimilitud. Para ello, se construye la funcin de verosimilitud utilizando la descomposicin del error de prediccin. Maximizando esta funcin se obtienen los estimadores mximo verosmiles. Como es habitual en modelos de series temporales, la funcin de verosimilitud se construye como el producto de las densidades condicionadas. Asumiendo que las perturbaciones en ~ , son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas con distribucin N(0,1), los modelos ARCH son condicionalmente gaussianos y la distribucin condicionada ~ ~ es N(0,

). Por tanto, la expresin del logaritmo de la funcin de verosimilitud resulta ser:

fifl 1 fifl B

fiflB B

1 fifl

B

1



donde es el vector de parmetros desconocidos del modelo y denota la densidad condicionada de dadas las observaciones previas hasta el instante t-1.

Bajo ciertas condiciones de regularidad se demuestra que, si los momentos de primer y segundo orden estn correctamente especificados, los estimadores mximo verosmiles son consistentes y asintticamente normales.

Para facilitar los clculos vamos a considerar el modelo ARCH(1). Su funcin de verosimilitud es:

R

donde las funciones de densidad son normales. Como ~ , si consideramos ~ , el valor de es una constante y la nica variable es que tiene distribucin normal. La media condicionada de la distribucin es cero, y la varianza

R . La log-funcin de verosimilitud

condicionada a ser:

R

Bfifl B

B

1 fifl R ~

B

1

R

Derivando respecto a los parmetros, llamando G R G

e igualando a cero se obtienen las ecuaciones:

`

1

o 1

1

1

o

Q

Multiplicamos y dividimos el primer miembro por GR G y obtenemos:

`

GR1

o G 1

o 1

o

GR1

o G 1

o

o 1

o

Q

son las ecuaciones mnimo cuadrados para obtener los parmetros del modelo. Resolviendo este sistema obtenemos la estimacin de GR y G .

Estimacin de los parmetros del modelo GARCH: Vamos a explicar, al igual que en el caso anterior, la estimacin de los parmetros a travs del mtodo de mxima verosimilitud.



Para ello vamos a considerar el modelo GARCH(r,s), donde N . , vamos a definir la funcin de verosimilitud de un proceso estacionario , llamando a : h h h h t= t t

B

h

t=

~ " e #

B t

ya que la varianza condicional de las variables es . Condicionando a las

primeras r observaciones, que tienen una distribucin ms complicada, la funcin soporte condicionada es:

t= h t B

1 fifl

h

t=

B

1" e #

h

t=

Que puede maximizarse con un algoritmo de optimizacin no lineal para obtener los estimadores de los parmetros que aparecen en la media condicional y en la varianza condicional.

Por tanto, la estimacin puede realizarse en dos etapas ya que la correlacin entre los parmetros ARMA y la de los GARCH suele ser pequea.

Primera Etapa: se estiman los parmetros de la media condicional, es decir, el modelo ARMA, y se construyen las innovaciones

~ e

Segunda Etapa: se estiman los parmetros de la varianza condicional maximizando la verosimilitud de los residuos. Alternativamente se pueden calcular las ecuaciones de la media condicional y la varianza condicional conjuntamente, con lo que se obtiene una estimacin ms precisa.

PASO 3: Diagnosis.

Vamos a llamar ~ a los residuos del modelo ARIMA y G a las varianzas condicionadas estimadas, los residuos estandarizados ~ G^ , deben seguir un proceso de ruido blanco normal y podemos aplicarles los contrastes para los procesos ARIMA. Sus cuadrados no deben mostrar dependencia, esto se puede comprobar con los contrastes sobre autocorrelacin de los cuadrados: Durbin Watson, Wallis, h-Durbin, Breusch-Godfrey y Cochrane-Orcutt.

En la diagnosis de los modelos, hay que tener en cuenta la posible confusin entre valores atpicos y heterocedasticidad condicional. Los valores atpicos pueden interpretarse como un aumento de la varianza en ese instante y especialmente si aparecen en rachas, puede confundirse con efectos de heterocedasticidad condicional.

Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atpicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA. Por lo tanto, es importante diferenciar ambos fenmenos.

En la prctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidadcondicional y que son muy probablemente valores atpicos. Una es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones tpicas, y considerar estos datos como atpicos. A continuacin se estima los efectos AR

3.4.EJEMPLO MODELO

Consideramos la serie mensual de rentabilidades del Index S&para 792 observaciones. Presentamos a continuacin la representacin de la serie:

Vamos a denotar a la serie de rentabilidades por y la FAC parcial de la serie:



Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atpicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA.

tante diferenciar ambos fenmenos.

En la prctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidadcondicional y que son muy probablemente valores atpicos. Una regla simple y efectiva es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones tpicas, y considerar estos datos como atpicos. A continuacin se estima los efectos AR.

MODELO GARCH

Consideramos la serie mensual de rentabilidades del Index S&P 500 para 792 observaciones. Presentamos a continuacin la representacin de la serie:

Vamos a denotar a la serie de rentabilidades por . A continuacin presentamos la FAC de la serie:



Por otro lado, la serie que sigue un modelo ARCH puede mostrar muchos valores atpicos si se analiza como si tuviese varianza constante y siguiese un modelo ARMA.

En la prctica, se suele limpiar la serie inicialmente de las observaciones que presentan residuos tan grandes que no pueden ser debidas a heterocedasticidad

regla simple y efectiva es que es muy poco probable que la heterocedasticidad condicional pueda generar observaciones con residuos mayores de siete desviaciones tpicas, y considerar estos

a partir de 1926 para 792 observaciones. Presentamos a continuacin la representacin de la serie:

. A continuacin presentamos la FAC

Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, ms concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza

Presentamos a continuacin la

Podemos observar que existe una fuerte dependencia lineal.

Si consideramos como buen modelo un MA(3) obtendramos:

Y el modelo quedara:

Siendo .

MA1

MA2

MA3

Retardos noestacionales

Constante




Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, ms concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza

entamos a continuacin la FACP de :

Podemos observar que existe una fuerte dependencia lineal.

Si consideramos como buen modelo un MA(3) obtendramos:


-,095 ,035 -2,685

-,010 ,035 -,268

,141 ,035 3,999

,006 ,002 3,115

MA1

MA2

MA3





Observando estas funciones, nos damos cuenta que para los primeros retardos, ms concretamente para el primero y el tercero se salen fuera de las bandas de confianza.

,007

,789

,000

,002

Sig. aprox.



Para simplificar vamos a usar un AR(3) cuya expresin es:

k k &

Realizando los clculos con SPSS obtenemos:


Estimaciones Error tpico T Sig. aprox. Retardos no estacionales

AR1 ,089 ,035 2,513 ,012 AR2 -,024 ,036 -,670 ,503 AR3 -,123 ,035 -3,466 ,001

Constante ,006 ,002 3,168 ,002

Se ha utilizado el algoritmo de Melard para la estimacin. El modelo quedara de la siguiente forma:

dDd dDdB dDB k dDdd &

Siendo G dDdd

Vamos a crear un modelo GARCH(1,1):

& R @

&

Una estimacin conjunta de AR(3)-GARCH(1,1) da:

dDdd dDdB dDdB dDdd k &

dDdddd dDB&

dDB

De la ecuacin de la volatilidad, la varianza implcita incondicional de & :

dDdddd dDB dDB

dDdd

La cual es similar a G dDdd del modelo AR(3). Sin embargo la proporcin de parmetros en la ecuacin significa que sugieren que los tres coeficientes de AR no son significativamente con un nivel del 5 %. Por tanto, se perfecciona el modelo dejando caer todos los parmetros AR. El modelo refinado:

dDdd & dDdddd dDB&

dD

La desviacin tpica de la media es constante 0.0015, mientras que los parmetros de la ecuacin de volatilidades son 0.000024, 0.0197 y 0.0190, respectivamente. La varianza no condicional de & es:

D D D

D

Esto es un modelo estacionario simple GARCH(1,1). La siguiente grfica muestra el proceso de volatilidades estimado :

A continuacin mostramos la representacin de

varianza para el modelo GARCH(1,1):

La serie parece ser un proceso de ruido blanco.las FAC de los residuos de



A continuacin mostramos la representacin de los saltos de la varianza

ianza para el modelo GARCH(1,1):

parece ser un proceso de ruido blanco. Esto lo vemos en la representacide los residuos de y de :



de la

Esto lo vemos en la representacin de

Estas FAC no sugieren ninguna correlacin significativa serial o heterocedasticacondicional en la serie de residuos. Ms especficamente, tenemos que Q(12)= 11,99 (0.45) y Q(24)=28.52 (0.24) para

, donde el nmero entre parntesis es el pmodelo parece ser adecuado pde volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenmeno se observa con frecuencia en la prclleva a la imposicin de la restriccin un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usaecuacin de volatilidades en la ecuacin

Tenamos que

El paso 1 de prediccin es:

Donde es la ecuacin residual de la media en un tiempo h y ecuacin de volatilidades.incondicional de . Para el siguiente poso utilizamos la frmula recursiva. La tabla siguiente muestra algunos pronsticos



Estas FAC no sugieren ninguna correlacin significativa serial o heterocedasticacondicional en la serie de residuos. Ms especficamente, tenemos que Q(12)= 11,99 (0.45) y Q(24)=28.52 (0.24) para y Q(12)=13.11 (0.36) y Q(24) = 26.45 (0.33) para

nmero entre parntesis es el p-valor de la estadstica de prueba. modelo parece ser adecuado para describir la dependencia lineal en el retorno y la serie de volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenmeno se observa con frecuencia en la prclleva a la imposicin de la restriccin en un GARCH(1,1), resultando en un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usa

acin de volatilidades en la ecuacin

es la ecuacin residual de la media en un tiempo h y ecuacin de volatilidades. El valor inicial de se fija en cero o de la varianza

. Para el siguiente poso utilizamos la frmula recursiva. La tabla te muestra algunos pronsticos y la volatilidad de la publicacin mensual



Estas FAC no sugieren ninguna correlacin significativa serial o heterocedastica condicional en la serie de residuos. Ms especficamente, tenemos que Q(12)= 11,99

y Q(12)=13.11 (0.36) y Q(24) = 26.45 (0.33) para valor de la estadstica de prueba. As, el

neal en el retorno y la serie de volatilidades. Hay que tener en cuenta que el modelo ajustado muestra

, que es cercano a 1. Este fenmeno se observa con frecuencia en la prctica y en un GARCH(1,1), resultando en

un sistema integrado de GARCH ( o IGARCH) modelo. Finalmente para predecir la volatilidad de los rendimientos mensuales superiores a los S & P 500, podemos usar la

se obtiene de la se fija en cero o de la varianza

. Para el siguiente poso utilizamos la frmula recursiva. La tabla n mensual:

Asumiendo que se distribuye segn una treestimamos el modelo GARCH(1,1):

Donde el error paramtrico es de 0.0015,

respectivamente. Este modelo es un IGARCH(1,1), verificando que cual es cercano a 1. El estadstico residual de Ljungde 0.33 y estos de la serie modelo GARCH(1,1) con una distribucin T



se distribuye segn una t-Student con 5 grados de libertad, reestimamos el modelo GARCH(1,1):

Donde el error paramtrico es de 0.0015, , 0.0296 y 0.0371,

respectivamente. Este modelo es un IGARCH(1,1), verificando que cual es cercano a 1. El estadstico residual de Ljung-Box da Q(10)=11.38 con un p

la serie da Q(10) =10.48 con un p-valor de 0.40. Por tanto, el modelo GARCH(1,1) con una distribucin T-Student es adecuado.



Student con 5 grados de libertad,

, 0.0296 y 0.0371,

el Box da Q(10)=11.38 con un p-valor

valor de 0.40. Por tanto, el

Master en Estadstica Aplicada.Trabajo Fin de Master. Anlisis de Series Tempora

Análisis de Series. Modelos Heterocedásticos

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