Análisis de Sistemas Lineales “Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales” Ing. Rafael A....

Análisis de Sistemas Lineales

“Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales”

Ing. Rafael A. Díaz Chacón

ASL/RAD/2001

Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales

Representación General

ASL/RAD/2001

m entradas n salidas

x1(t)

xm(t)

x2(t)

y1(t)

yn(t)

y2(t)...

.

.

.

SISTEMA


Representación General

ASL/RAD/2001

d

dty t f y t y t y t x t x t x t t

d


d


n m

n m

n m

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

3 3 1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ),

)

.

.

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

........ ............

........ ............

d

dty t f y t y t y t x t x t x t tn n n m 1 2 1 2


Modelo Lineal

ASL/RAD/2001

d

dty t a t y t a t y t a t y t x t

d


d

dty t a t y t a t y t a t

n n

n n

n

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

3 31 1 32 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... (

) ( ) ( )

.

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )

y t x t

d


n

n n n nn n n

3

1 1 2 2

........ ............

........ ............


Modelo Lineal en Forma Matricial

ASL/RAD/2001

( ) ( ) ( ) ( ) Y t A t Y t t X


ASL/RAD/2001

Representación General de un Sistema de una entrada y una salida (SISO)

1 entrada 1 salida

x(t) y(t)SISTEMA

SISO


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial General de un Sistema SISO, Lineal e Invariante en Tiempo

ad y t

dtbd x t

dtk

k

kk

N

i

i

ii

M( ) ( )

0 0


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden con Coeficientes Constantes

ad y t

dtbd x t

dt

a y t ady t

dtbd x t

dt

k

k

kk

i

i

ii

M

i

i

ii

M

( ) ( )

( )( ) ( )

0

1

0

0 10


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (casos)

caso 1:

caso 2:

caso 3:

a

a y t bd x t

dt

a

ady t

dtbd x t

dt

a y a

a y t ady t

dtbd x t

dt

i

i

ii

M

i

i

ii

M

i

i

ii

M

1

00

0

10

1 0

0 10

0

0

0

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (solución)

dy

dta y x t

z tdy t

dta y t z t z t x t

zdy

dta y z

d

dtz y z

dy

dtydz

dt

a y z ydz

dt

dz

dta z z t eat

* ( )

( ) *( )

* ( ) * ( ) ( ) * ( )

* * * ( * ) * *

* * * * ( )

se debe escoger z(t) tal que el lado izquierdo

sea una derivada total, esto es

entonces


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (solución)

por tanto

se puede escribir como

entonces, integrando ambos miembros

al sustituir z(t) por el valor encontrado

z tdy t

dta y t z t z t x t

d

dtz t y t z t x t

z t y t z y z x d

y(t)=e y e e x d

t

at at at

( ) *( )

* ( ) * ( ) ( ) * ( )

( ( ) * ( )) ( ) * ( )

( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

0

0


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden (ejemplo)

La ecuacion diferencial del sistema sera

se puede escribir como

identificando terminos iguales

ya que (0) = 5, se obtiene

. *( )

( )

( )* ( )

( ) *

*

0 2 100

5 500

0 500

100 95

5 5 5

0

5

dv t

dtv t

dv t

dtv t

v(t)=e v e e d

v

v(t)= e

t tt

t

+

-100 v

R= 1 M

+

-

C= 0.2 F

5 v


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución)

ad y t

dtbd x t

dtk

k

kk

N

i

i

ii

M( ) ( )

0 0

Solución Homogénea, yh(t)

También se conoce como:

Respuesta a Entrada Cero o Respuesta Natural

Solución Particular, yp(t)

También se conoce como:

Respuesta a Estado Cero o Respuesta Forzada

yc(t) = yh(t) + yp(t)

Solución Completa, yc(t)


ASL/RAD/2001

ad y t

dt

D p a p

y t A y t

y t

k

k

kk

N

kk

k

N

h i ii

N

i

( )

( )

, ,...,

( ) ( )

( )

0

0

1

0

0

se define la ecuacion polinomica auxiliar

esta ecuacion tiene N raices, r r r

la cuales pueden ser reales o complejas conjugadas,

simples o multiples

la solucion tendra la forma

donde es una exponencial asociada a la raiz i

1 2 N

Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución homogénea)


ASL/RAD/2001


Determinacion de funciones

Raiz r real simple

Raiz r real con multiplicidad m,

se generan m funciones

i

i

( ):

)

( )

)

( )

( ) , , ,....,

y t

y t e

y t

y t e te t e t e

i

ir t

i

ir t r t r t m r t

i

i i i i

1

2

2 1


ASL/RAD/2001


Determinacion de funciones

Raiz r compleja conjugada simple, r

se generan 2 funciones

Raiz r compleja conjugada con multiplicidad m,

se generan 2*m funciones

i i

i

( )

)

( )

( ) cos ), )

)

( )

( ) cos ), ), cos ), ),

cos ), ), cos

y t

j

y t

y t e ( t e sin( t

y t

y t e ( t e sin( t te ( t te sin( t

t e ( t t e sin( t t e (

i

i

it t

i

it t t t

t t t

3

4

2 2 2

t t e sin( tt), ),...2


ASL/RAD/2001


Hallar la solucion homogenea de

la ecuacion auxiliar sera

las raices son

entonces, la solucion homogenea sera

,

( ) cos( ) ( )

,

d y

dt

d y

dt

dy

dty

p p p

r r j

y t A e A e t A e sin tht t t

3

3

2

2

3 2

1 2 3

12

23

33

8 37 50 0

8 37 50 0

2 3 4

4 4


ASL/RAD/2001


Hallar la solucion homogenea de


las raices son

entonces, la solucion homogenea sera

,

( )

,

d y

dt

d y

dt

dy

dty

p p p

r r

y t A e A te A eht t t

3

3

2

2

3 2

1 2 3

12

22

33

7 16 12 0

7 16 12 0

2 3


ASL/RAD/2001

Ecuación Diferencial Lineal de Orden Superior (solución particular)

st

sp

kN

okk

iM

oii

p

st

kN

okk

iM

oii

pi

M

oiip

kN

okk

i

iM

oiik

kN

okk

Aepa

pbty

sAetx

txpa

pbtytxpbtypa

dttxd

bdttyd

a

Re)(

real ,)( tipodel excitación una supone se si

)()(bien o )()(

auxiliarecuación la define se

)()(


ASL/RAD/2001


jst

jsp

kN

okk

iM

oii

p

jst

jst

jsp

kN

okk

iM

oii

p

jst

Aepa

pbty

sAestAsintx

Aepa

pbty

sAestAtx

agIm)(

real ],[agIm)()(

tipodel excitación una supone se si

Re)(

real ],Re[cos)(

tipodel excitación una supone se si


ASL/RAD/2001


Hallar la solucion particular de


evaluando en , la solucion particular sera

( )( )

( )

( ) .

d y

dt

d y

dt

dy

dty e

y t p p p e

y tp p p

e

p

y t e

t

pt

pt

pt

3

3

2

23

3 2 3

3 23

3

8 37 50 4

8 37 50 4

1

8 37 504

3

0 25


ASL/RAD/2001





cos( )

( )( ) cos( )

( ) Re[ ]

( ) Re cos

d y

dt

d y

dt

dy

dty t

y t p p p t

y tp p p

e

p j

y te

jt sin t

p

pjt

p

jt

3

3

2

2

3 2

3 23

3

8 37 50 4 3

8 37 50 4 3

1

8 37 504

3

4

22 84

22

18853

84

18853


ASL/RAD/2001




ag


ag

( )

( )( ) ( )

( ) Im [ ]

( ) Im cos

d y

dt

d y

dt

dy

dty sin t

y t p p p sin t

y tp p p

e

p j

y te

jt sin t

p

pjt

p

jt

3

3

2

2

3 2

3 23

3

8 37 50 4 3

8 37 50 4 3

1

8 37 504

3

4

22 84

84

18853

22

18853


ASL/RAD/2001


ad y t

dtbd x t

dtk

k

kk

N

i

i

ii

M( ) ( )

0 0

Solución Homogénea, yh(t) Solución Particular, yp(t)

yc(t) = yh(t) + yp(t)

Solución Completa, yc(t)


ASL/RAD/2001


Hallar la solucion completa de

la solucion homogenea es

la solucion particular es

la solucion completa es

( ) cos( ) ( )

( ) .

( ) cos( ) ( ) .

d y

dt

d y

dt

dy

dty e

y t A e A e t A e sin t

y t e

y t A e A e t A e sin t e

t

ht t t

pt

ct t t t

3

3

2

23

12

23

33

3

12

23

33 3

8 37 50 4

4 4

0 25

4 4 0 25


ASL/RAD/2001


Para determinar las constantes A

se toman en cuenta las condiciones iniciales

En este caso:

consiguiendo que

definitivamente, la solucion completa es

i

y y y

y y y

A A A

y t e e t e sin t ect t t t

( ), ( ), ( )

( ) , ( ) , ( )

, ,

( ) cos( ) ( ) .

0 0 0

0 1 0 2 0 1

42

17

83

68

43

68

42

17

83

684

43

684 0 25

1 2 3

2 3 3 3

ASL/RAD/2001

Determine la solución completa de las ecuaciones diferenciales siguientes

ecuación

y’’(t) + 6y’(t)+25y = 50 4

y’(0)

2


y(0)

y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) 1 0

y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2t 1 0

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6 2 5

y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t cos(3t) 4 1

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