Analisis de Un Sistema de Segundo Orden

Elihu Henri Ostos García

9º B

Ingeniería en Mecatrónica

Universidad Tecnológica de Altamira.

07/03/2011

ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE ALTAMIRA INGENIERÍA EN MECATRÓNICA

CONTROL AUTOMATICO

Elihu Henri Ostos García Página 1

ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

La parte principal de esta práctica sería el análisis práctico del circuito RLC

Analizaremos un circuito RLC serie, como el que aparece en la siguiente figura: Tal y como se vio en las clases de teoría, nuestro objetivo es obtener una expresión para la tensión de salida V0(t), que se define como la tensión que cae en el condensador C. Para ello partiremos de las siguientes suposiciones:

En el instante inicial no circula ninguna corriente por el circuito.

El condensador se encuentra descargado.

Si aplicamos el método de las corrientes, obtenemos:

Siendo i(t) la corriente que atraviesa el circuito. De forma, que la expresión que rige el comportamiento del circuito será:

Vo” + 2.ξ.wn.Vo’ + wn².Vo = wn².G.f(t)

2.ξ.wn= R/L

wn<= 1/LC wn= 1/√LC

wn².G=1/LC G=1/LC / 1/LC = 1


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El objetivo de la práctica es encontrar componentes para un sistema subamortiguado.

Partiendo de la ecuación y de que se cuenta con una bobina de 330µH, sabiendo que

los sistemas subamortiguados tienen un ξ<1, resolveremos la ecuación para un ξ=0.15.

Wn=958000

R= 2.ξ.wn.L= 2*0.15*958000*0.00033 = 94.82 Ω → 100 Ω

C=1/L.wn² = 1/ (0.00033)*(958000)² = 3.301nF → 3.3nF

ANALISIS POR IMPEDANCIAS COMPLEJAS DE LAPLACE

I(s).R + I(s).LS + I(s)/CS = E(s) ………………………………………. Ecuación 1

Vo= I(s)/CS

I(s)= Vo. CS ……………………………………………………………………. Ecuación 2

Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1:

Vo.CLS² + Vo. CRS + Vo.CL/CL = E(S)

Vo .(CLS² + CRS + 1 ) = E(S)

Por lo tanto la función de transferencia es:


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ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS SISTEMAS DE 2º ORDEN

SUBAMORTIGUADOS ANTE EL ESCALON.

ξ=0.15 Wn=958000 G= 1 D= 1

δ = Atenuación.

Wd= frecuencia angular (Dámper).

Tp = Tiempo pico.

Tr = Tiempo de elevación.

Mp = Pico Máximo.

δ = ξ * wn = 0.15 * 958000 = 143700

wd = wn * √ ( 1 - ξ< ) = 958000 * √ (1 – 0.15² ) = 947161.1848

Tp = π / wd = π / 947161.1848 = 3.316x10⁻⁶

Tr = (π - α) / wd = (π - 1.4202)/ 947161.1848 = 1.8173x10⁻⁶

α = tg⁻; (wd / δ ) = tg⁻; (947161.1848 / 143700 ) = 1.4202

Mp = G * D * exp (-π* δ / wd ) = 1 * 1 * exp (-π * 143700 / 947161.1848 ) = 0.6208

Mp = 0.6208 * 100 = 62.08

Las raíces serán :

r = - δ ± wd j → r = -143700 ± 947161.1848 j

Y la solución será:

X(t) = D [1 - e⁻ᵟᵗ * (cos wdt + (δ/wd) * sen wdt ) ]

X(t) = [1 - e⁻;>=⁷:: ᵗ * (cos (947161.1848 t) + 0.1517 * sen (947161.1848 t) ) ]


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SIMULACION DE LA RESPUESTA AL ESCALON DEL SITEMA EN MATLAB

SIMULACION POR MEDIO DE LA FORMULA GENERAL

X(t) = D [1 - e⁻ᵟᵗ * (cos wdt + (δ/wd) * sen wdt ) ]

X(t) = [1 - e⁻;>=⁷:: ᵗ * (cos (947161.1848 t) + 0.1517 * sen (947161.1848 t) ) ]


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Respuestas con valores de C=3.3nF, L=330µH y R=100Ω.


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NOTA: se puede apreciar que variando la resistencia cambian las oscilaciones del

sistema y hasta podemos llegar a un sistema críticamente amortiguado.


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Se comprobaran los resultados obtenidos en el software MULTISIM 11, para así

asegurarse que se tendrá la misma respuesta.


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Procedimiento:

Como ya habíamos visto en prácticas anteriores, el primer paso será la selección de la

señal E(t) en el generador de funciones. Una vez seleccionada, podremos pasar a

comprobar si sus características son las adecuadas, a través del osciloscopio. El

siguiente paso será la conexión de la señal de alimentación con el circuito.

Para la realización de las medidas de la tensión de salida, Vo(t), deberemos conectar el

osciloscopio al circuito del siguiente modo:

Anteriormente se indicó que la resistencia R es un potenciómetro, que nos permitirá

variar el voltaje de salida, Vo(t) y pasar por cada uno de las diferentes respuestas que

presenta este circuito.


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RESULTADOS REALES OBTENIDOS



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CONCLUSIONES.

En el desarrollo de la práctica se observó el comportamiento de la salida Vo(t), cuando

se iba alterando el circuito con los valores de R, se observó casi la misma respuesta

que lo obtenido en los software de simulación que se utilizaron como apoyo para la

práctica, los cuales fueron muy útiles para la comprensión del modelado de sistemas

dinámicos y su comportamiento.

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