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Análisis de velocidades por el método del polígono

Los métodos gráficos de cálculo de velocidades están basados en las relaciones geométricas existentes entre las magnitudes mecánicas, por lo tanto, es imprescindible para un buen uso de estos métodos el conocimientos previo de los conceptos cinemáticos que han sido estudiados en el curso de "Mecánica", sin los cuales la aplicación de métodos gráficos no tendría ningún sentido.

En la siguiente figura se muestra un eslabón genérico de un mecanismo del cual se conoce la velocidad de uno de sus puntos, Avr, y la dirección de la velocidad de otro de sus puntos, el punto B.

Se desea calcular la velocidad del punto B, y para ello se utilizará el método de las velocidades relativas, esto es:

vB =vA +vBA

Además se aprovechará el hecho de que la velocidad relativa del punto B respecto del

punto A, vrBA , es perpendicular a la línea que une los puntos A y B del eslabón.

Teniendo esto en cuenta, se procederá como a continuación se indica, obteniéndose como resultado el polígono de velocidades mostrado en la figura anterior

a) Se elige un polo, O, que será el origen de los vectores de velocidad. b) Se traza a escala el vector vrA . r c) Por el polo se traza una recta n-n según la dirección de vB . d) Por el extremo de vrA se traza otra recta m-m que sea perpendicular a la recta

AB. e) El punto de corte de m-m con n-n, determina el punto b del polígono de

velocidades; el vector que va de O a b será vrB y el que va de b a a será vrBA. Por otra parte, la velocidad angular del eslabón será:

𝜔   =  𝑣𝐵𝐴  𝐵𝐴

Aplicando este método a un mecanismo, por ejemplo el de cuatro eslabones

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representado en la figura siguiente, se podrá realizar el análisis de velocidades del mismo.

En este casó se supondrá conocida la velocidad angular del eslabón OA, ω2.

 

Al conocerse la dirección de VB , y puesto que la velocidad del punto A puede ser calculada de inmediato mediante:

VA =ω2⋅OA=ω2⋅OA

se actuará como se ha indicado anteriormente, teniendo en cuenta la relación:

VB =VA +VBA

En la figura anterior se muestra el polígono de velocidades obtenidos

Si se deseara determinar la velocidad de un punto cualquiera asociado al eslabón 3 (tal como el C en el ejemplo que se está desarrollando), puesto que:

VC =VA +VCA VA =VC +VAC

VC =VB +VCB VB =VC +VBC

y al ser VAC perpendicular a AC y VBC perpendicular a BC, se trazarán por los extremos de VA y VB sendas perpendiculares a AC y BC respectivamente, y el punto donde intersecten será el punto c buscado pues cumple con las dos expresiones vectoriales anteriormente planteadas.

Existen casos en los que los métodos vistos hasta ahora no son aplicables. Siempre que se trabaje con métodos gráficos, se deberá intentar buscar relaciones geométricas entre

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las diferentes magnitudes cinemáticas que puedan plasmarse fácilmente de forma gráfica; así, en el ejemplo de la figura 6 para calcular la velocidad del punto P se procederá como a continuación se detalla.

Puesto que VCB = BC·ω3, pero también la velocidad del punto P respecto del punto B es

VPB =PB·ω3, se obtendrá:

luego el punto P se determinará en la recta bc del polígono de velocidades mediante la semejanza de triángulos mostrada en la figura.

Análisis de velocidades por el método del polígono

Se define centro instantáneo de rotación (o de velocidades) de una pareja de eslabones como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes, cada uno perteneciente a uno de los dos eslabones, para los que las velocidades absolutas son iguales. O de otra forma: para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador situado en el otro eslabón.

De forma más gráfica se podría decir que es el punto alrededor del cual puede considerarse que uno de los eslabones gira con respecto del otro en un movimiento dado (con independencia de si el otro eslabón permanece fijo ó no).

Puesto que se ha adoptado el convenio de numerar los eslabones de los mecanismos, se designarán los c.i.r. utilizando los números de los eslabones asociados a él: así el P14 se identificará como el centro instantáneo de rotación entre los eslabones 1 y 4.

Por otra parte, un mecanismo tendrá tantos centros instantáneos de rotación como formas diferentes existan de parear los números de los eslabones; así para un mecanismo de n eslabones existirán:

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𝑁   =  𝑛 • 𝑛 − 1

2

centros instantáneos de rotación.

El teorema de Kennedy se utilizará para determinar la posición de los c.i.r. que no hayan sido determinados por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación.

El enunciado del teorema es el siguiente: Los tres centros instantáneos compartidos por tres cuerpos rígidos en movimiento relativo uno con respecto del otro (estén ó no conectados), están sobre la misma línea recta.

Para demostrar este teorema, se supondrá (según se muestra en la figura 7) que el eslabón 1 es estacionario y los 2 y 3 pivotan sobre el eslabón fijo 1.

Por simple inspección y atendiendo, como se ha comentado anteriormente, a la definición de centro instantáneo de rotación, se localizan de forma inmediata los c.i.r. P12 y P13.

Si se supone que el punto P es el c.i.r. P23, entonces, por definición de c.i.r. las velocidades

absolutas de P2 y P3 deberán ser iguales, y esta circunstancia sólo podrá darse cuando el c.i.r. P23 esté

sobre la línea que une P12 y P13 ( ya que sólo cuando esté localizado sobre dicha recta podrán las direcciones de Vr y Vr ser coincidentes) con lo que queda demostrado el teorema .

Si se supone que el punto P es el c.i.r. P23, entonces, por definición de c.i.r. las

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velocidades absolutas de P2 y P3 deberán ser iguales, y esta circunstancia sólo podrá darse cuando el c.i.r. P23 esté sobre la línea que une P12 y P13 ( ya que sólo cuando esté localizado sobre dicha recta podrán las direcciones de Vr y Vr ser coincidentes) con lo que queda demostrado el teorema.

Para poder localizar los centros instantáneos de rotación de un mecanismo, se procederá como se indica a continuación:

a) Se calcula el número de c.i.r. existentes en el mecanismo:

𝑁   =  𝑛 • 𝑛 − 1

2

b) Se realiza una lista de los centros y se dibuja un polígono con tantos vértices como eslabones.

c) Por simple inspección, atendiendo a la definición de centro instantáneo de rotación, se localizan todos los c.i.r. posibles.

d) Se aplica el teorema de Kennedy para determinar la posición de los restantes.

A continuación se muestran ejemplos comentados de localización de c.i.r. para diferentes mecanismos de frecuente utilización práctica.

Ejemplo 1:

El c.i.r. P23 debe estar sobre la recta que une las articulaciones. Por otra parte, si consideramos fijo el eslabón 3 (móviles 1 y2) la velocidad de A2 sobre 3 deberá tener la dirección indicada, por lo tanto (por definición de c.i.r) el c.i.r. P punto A.

Una vez determinados los c.i.r. se pueden resolver problemas a través de ellos teniendo en cuenta que Pij es un punto perteneciente a los eslabones i y j, y que en el instante considerado tiene una velocidad absoluta que es igual para el punto perteneciente tanto

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a un eslabón como a otro.

Análisis de aceleraciones por el método del polígono

Como se comentó en el tema anterior, los métodos gráficos empleados en el análisis cinemático de mecanismos están fundamentados en las relaciones geométricas existentes entre las diferentes magnitudes mecánicas. Por este motivo, y aún a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos básicos de la cinemática para, así, poder hacer un uso coherente en su aplicación al estudio de mecanismos.

Hecho este pequeño inciso, se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos

El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial.

En la siguiente figura se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A y B y la velocidad relativa BA, con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por:

Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, α, así como la aceleración del punto A. Para calcular la aceleración del punto B por medio del método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:

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y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal:

Donde:

Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica.

Una vez planteada la ecuación de aceleraciones relativas utilizada anteriormente:

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