3.2 Elemento Viga de Timoshenko3.2. Elemento Viga de Timoshenko

Determinacin del elemento viga mostrado en la fig. (3.1).

Figura 3.4: Elemento viga de timoshenko: a) geometra, b) grados de libertad y c) fuerzas.

3.2.1. Aproximacin del campo de desplazamientos y rotaciones

El campo de desplazamiento transversal, (), y el giro () se aproximan independientementecomo:

() = 1()1 +2()2 (3.25)() = 1()1 +2()2 (3.26)

donde las funciones de forma son de la ec. (2.18) :

1() = 2 2() = 1 (3.27)

3.2.2. Aproximacin de las ecuaciones cinemticas

Las ecuaciones cinemticas para una viga de Timoshenko son:

() = (3.28) () = (3.29)

Sustituyendo las ecs. (3.25) y (3.26) en la ec. (3.28) y (3.29):

() = 1h1 1

i| {z }

B

( 12

)(3.30)

() = 1h1 1

i( 12

)h1 2

i( 12

)(3.31)

cGJL, UAM 109

3.2 Elemento Viga de Timoshenko

() = B (3.32) () = BwN (3.33)

3.2.3. Aproximacin de las ecuaciones constitutivas

Para vigas de Timoshenko las ecuaciones constitutivas son:

= (3.34) = (3.35)

Sustituyendo la ec. (3.32) en la ec. (3.35)

() = = B (3.36) = = BwN (3.37)

3.2.4. Extremizacin del funcional

El funcional de una viga de Timoshenko es de la ec. (1.128):

( ) =Z

1

22 + 1

22

() ()| () ()| (3.38)

donde es el la rigidez por cortante.Sustituyendo las ecs. (3.12) y (3.15) en el funcional definido en la ec. (3.18):

(w) =Z

1

2BB + 1

2

wB N (Bw N)wN (3.39)

wN () N ()Para que el funcional de la ec. (3.19) tenga un valor extremo:

(w)w = 0 =

Z0

B (Bw N) Z0

N () N () (3.40) (w) = 0 =

Z0

BB +Z0

N (N Bw) N ()cGJL, UAM 110

3.2 Elemento Viga de TimoshenkoReagrupando la ec. (3.40):

Z0

"BB BNNB BB+NN | {z }

w

=Z0

N () | {z }

+ N ()| {z }

+ N ()| {z }

(3.41)

Sustituyendo la matriz B, definida en la ec. (3.15), en la matriz de rigideces en la ec. (3.41):

=

2 2 2 22 2 + 3 + 62 2 + 6 + 3

(3.42)

Sustituyendo las funciones de forma , definidas en la ec. (3.12), en el vector de fuerzas deempotramiento debidas a la carga distribuida constante :

=Z0

N = Z0

0

0

=

12120

0

(3.43)

Sustituyendo las ecs. (3.21) y (3.22) en la ec. (3.20) se obtiene:

2 2

2 +

3 2 + 6

2 22 + 6 2 + 3

1122

=

2

02

0

+

1122

(3.44)

La matriz de rigideces de la ec. (3.44) presenta problemas de atoramiento de esfuerzos, limitante

que se supera utilizando integracin reducida. La solucin exacta de la viga de Timoshenko es:

(1 + )

123

62

123

62

62

(4+) 62

(2)

123

62

123

62

62

(2) 62

(4+)

1122

=

22122

212

+

1122

(3.45)

Donde el factor = 12(2) representa la esbeltez por cortante de la viga. Cuando elfactor 0, el modelo de Timoshenko se reduce al de la viga de Bernoulli.

cGJL, UAM 111

3.2 Elemento Viga de TimoshenkoTarea

La viga en voladizo, mostrada en la fig. (3.5), esta sujeta a una carga = 20000 kgfm, tieneuna longitud = 200 cm, una seccin rectangular de 10 30 cm. El material tiene un moduloelstico = 22 105 kgf cm2y relacin de Poisson = 025. Determine el desplazamiento y elgiro en el extremo libre con la aproximacin de vigas de Bernoulli, ec. (3.21), la aproximacin con

elementos finitos de Timoshenko, ec. (3.44), y la solucin exacta de Timoshenko (3.45). Realice

el modelo en el programa SAP.

Figura 3.5: Viga con carga constante.

cGJL, UAM 112