Análisis del lugar de las raíces (Root locus)

Análisis del lugar de las raíces(Root locus)

Root locus analysis

• Las raíces de la ecuación característica son graficadas contra todos los valores de un parámetro del sistema

• El parámetro es la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto

• Sus valores son variados desde cero al infinito

• Permite predecir los efectos de la localización de los polos en lazo cerrado

– cuando se varía el valor de la ganancia

– Cuando se agregan polos o ceros en lazo abierto

Root locus analysis

• El lugar de las raíces es el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado, cuando un parámetro (K) se varía de cero al infinito

• La gráfica muestra la contribución de cada cero o polo en lazo abierto sobre la ubicación de los polos en lazo cerrado

• Para diseñar un sistema de control el lugar de las raíces indica como deben modificarse los ceros o polos en lazo abierto para que la respuesta cumpla con las especificaciones.

011

1

11

1

...

)...(

)(

)()(

asasas

bsbsbsK

sA

sBKsG

nn

no

mm

m

Función de transferencia en lazo abierto

Función de transferencia en lazo cerrado

)()(

)(

)(1

)(

sKBsA

sBK

sG

sG

0)()( sKBsA

0)(1 sGEcuación característica

0)()( sKBsA

Si las raíces del polinomio característico tienden a las los polos en lazo abierto

)(

)()(

sA

sBKsG

K

0K

Si las raíces del polinomio característico tienden a ser los ceros en lazo abierto.

1)(

)()(

sA

sBKsG

1)( sG

)12()( ksG ,...2,1,0 k

Condición magnitud

1)(

1

1

n

i

i

m

i

i

ps

zsK

sGCualquier punto en el plano-s que esta sobre el lugarde las raíces debe satisfacer esta condición

Se puede determinar K

)1

)1

)...((

)...(()(

n

m

psps

zszsKsG

Condición ángulo

)12()()()(

1 1

kpszssGm

i

n

j

ji Para K >0

kpszssGm

i

n

j

ji 2)()()(

1 1

Para K<0

Condiciones de magnitud y de ángulo

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sY

G(s)Y(s)

H(s)

+-

R(s)

Ecuación característica

F.T. en lazo cerrado

0)()(1 sHsG

1)()( sHsG

Condición ángulo:

)12(180)()( ksHsG k=0, 1,2,...

Condición magnitud:

1)()( sHsG

Los valores de s que satisfacen ambas condiciones son los polos en lazo cerradoo las raíces de la ecuación característica.

Las raíces de la ecuación característica que se corresponden con un valor dado de la ganancia pueden ser determinados a partir de la condición magnitud

Propiedades del lugar de las raíces

Propiedad 1. Dado que los polos y ceros en lazo abierto son o reales o complejos

conjugados el polinomio puede tener raíces reales o complejas

conjugadas. El lugar de las raíces es simétrico alrededor del eje real.

Propiedad 2. El número particular de lugares de un sistema particular es igual al

número de polos (n) de la función de transferencia en lazo abierto

Propiedad 3. Si K > 0 entonces para que un punto sobre el eje real radique sobre el lugar de las raíces debe existir un numero impar de polos y ceros a la derecha de ese punto.Si K <0 entonces para que el punto sobre el eje real pertenezca al lugar de las raícesdebe existir un numero par de ceros y polos a la derecha de ese punto.

Propiedad 4. El número de lugares que tienden al infinito esta dado por el número dePolos en lazo abierto menos el numero de ceros (n-m).

)()( sKBsA

mn

Ejemplo 1. Consideremos el sistema descrito por la función de transferencia:

)3)(1(

)2()(

ss

sKsG

K=0

K

K

)2()3)(1(

)2(

)3)(1(

)2()3)(1(

)3)(1(

)2(

)3)(1(

)2(1

)3)(1(

)2(

)(1

)(

sKss

sK

ss

sKss

ss

sK

ss

sK

ss

sK

sG

sG

La ecuación característica es:

0)2()3)(1( sKssPara K=0 se tiene que s=-1 y s=-3

Los lugares tienden hacia el cero s=-2 y hacia s=-inf. Usando las propiedades 3 y 4.

Consideremos el punto s=-1.4 La condición ángulo se satisface ya que calculando los ángulos desde el cero s=-2y el polo s=-3 son ambos cero. El ángulo desde el polo s=-1 es

)12(00)( ksG

Para la condición magnitud

1)6.1)(4.0(

)6.0(

)3)(1(

)2()(

K

ss

sKsG

0.6 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el cero s=-20.4 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el polo s=-11.6 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el polo s=-3

Note que K=1.0667

Procedimiento de lugar de las raíces

• Obtener la ecuación característica en la que el parámetro K aparece como un multiplicador

• Factorizar P(s) en términos de np polos y mz ceros.

0)(1 sKP

0)(

)(1

1

1

jn

j

imi

ps

zsK

p

z


• Localizar los polos y los ceros de P(s) en el plano-s con los símbolos ‘x’ para polos y ‘o’ para los ceros

• Determinar el número de lugares

si

Localizar los segmentos del eje real del lugar de las raíces

– Un lugar inicia en un polo y termina en un cero o en el infinito

– Un punto pertenece al lugar si está a la izquierda de un número impar de polos y ceros

pnSL

zp nn


• El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real

• El lugar sigue una trayectoria hacia los ceros en el infinito siguiendo asíntotas centradas en el centroide

y ángulos:

zp

ijA

nn

zp

180

12

zpA

nn

q)1,...(2,1,0 zp nnq


• Utilizando el criterio de Routh-Hurwitzdeterminar el punto en el cual el lugar de las raíces cruza el eje imaginario (si esto sucede)

• Determinar el punto de escape sobre el eje real, si este existe– Calcular

– Determinar

– Determinar las raíces o

gráficamente encontrar el máximo de p(s)

)()(

1sp

sPK

0)(

ds

sdp

0)(

ds

sdp


• Determinar los ángulos de salida de los polos complejos y el ángulo de llegada de los ceros complejos usando en criterio

en o

Determinar la localización de las raíces que satisfaga el criterio

en

)12(180)( ksPjps izs

)12(180)( ksP xs


• Determinar el valor del parámetro Kx en una raíz específica xs

xz

p

ss

ini

jn

jx

zs

psK

1

1

Procedimiento root locus

1. Localizar los polos y ceros de G(s)H(s) sobre el

plano complejo

– Las ramas del lugar de las raíces inician en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros o en el infinito

G(s)Y(s)

+-

R(s)

)2)(1()(

sss

KsG

2. Determinar el lugar de raíces sobre el eje real

– Elegir un punto de prueba. El punto pertenecerá al lugar de las raíces si el número total de ceros y polos a su derecha es un numero impar

– En el ejemplo supongamos que s está del lado derecho del eje imaginario, entonces:

– Para un punto localizado entre 0 y -1.

Condición ángulo correcta

021 sss La condición ángulo no se satisface

180s 0)1(s 0)2(s

180)2()1( sss

– Para un punto localizado en el segmento -1 y -2 se tiene:

La condición ángulo no se satisface

Para un punto localizado en el segmento -2 a - infinito

La condición ángulo se satisface

180)1(ss 0)2(s

360)2()1( sss

180)2()1( sss

540)2()1( sss

• 3. Determinar las asíntotas del lugar de las raíces

– Número de trayectorias al infinito

Centroide de las asíntotas sobre el eje real

Ángulos de las asíntotas

zp nnN

zp

m

i

i

n

j

j

zpA

nn

zp

nn

sPcerossPlospo

)()())(()(( 1

180

)12

zpA

nn

q )1,...(2,1,0 zp nnq

• En el ejemplo:

• q=0

• q=1

• q=2

13

3

3

)1()2()0(

A

1803

)12( qA

2,1,0q

601803

1A

180A

300)180(3

5A

• 4. Encontrar el punto disidente (breakaway point) y

el punto de adaptación (break-in point)

Sea la ecuación característica

Tiene múltiples raíces en los puntos donde

Supongamos que

0)()()( sKAsBsf

0)( sf

0)(

ds

sdf

))...(()()( 21 nr sssssssf

• Si se diferencia la ecuación anterior y se evalua s en s=s1se obtiene:

Varias raíces satisfacen esta ecuación

Entonces:

Se puede obtener el valor de K que puede producir raíces múltiples de la ecuación característica

0)(

1ss

ds

sdf

0)()()(

ds

sdAK

ds

sdB

ds

sdf

dssdA

dssdBK

/)(

/)(

• Sustituyendo K en

o

Resolviendo esta ecuación para s, se obtienen los puntos donde ocurren raíces múltiples

0)()()( sKAsBsf

0)(/)(

/)()()( sA

dssdA

dssdBsBsf

0)(

)()(

)( ds

sdBsA

ds

sdAsB

• Un segundo procedimiento es a partir de la E.C.

0)()()( sKAsBsf

)(

)(

sA

sBK

0)(

/)()()(/)(2

sA

dssdAsBsdsAsdB

ds

dK

Para el ejemplo se tiene:

0)(1 sG

0)2)(1(

1

sss

K

)23()2)(1( 23 ssssssK

0)263( 2 ssds

dK

4226.0s 5774.1sSolución No solución

• 5. Determinar los puntos donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario, mediante el criterio de Routh

ns 2na 4na

1ns 1na 3na 5na

2ns 1b 2b 3b3ns 1c 2c 3c

1s

0s

..

...............

...

...

...

...1

1

321

n

nn

a

aab

1

542

n

nn

a

aab 2

1

131 b

b

aac nn

3

1

152 bb

aac nn

Ejemplo: 0156116 234 ssss

15

-3

1510

66

151114s

3s2s1s

0s

Sistema inestable dado el cambio de signo en la primera columna

Para la ecuación característica considerada se tiene:

023 23 Ksss

K

K3

213s2s1s0s

3

6 K

Si K=6 entonces hay un cero en la primer columna. Los puntos de cruce del eje imaginario pueden obtenerse resolviendo la ecuación

auxiliar correspondiente al renglón 2s

0633 22 sKs 2js

2js

2js

• 6. Determinar el ángulo de partida (o ángulo de llegada ) del lugar de las raíces para un polo complejo ( en un cero complejo)Angulo de partida desde un polo complejo = 180°

- (suma de ángulos de los vectores al polo complejo desde otros polos)

+ (suma de ángulos de los vectores al polo complejo desde los ceros)

Angulo de llegada a un cero complejo = 180°

- (suma de ángulos de los vectores al cero complejo desde otros ceros)

+ (suma de ángulos de los vectores al cero complejo desde los polos)

1

22

1

1

1455590180180 121

7. Generar el esquema del lugar de las raíces usando varios puntos de prueba en una vecindad amplia del origen del plano complejo

Lugar de las raíces en Matlab

G(s)Y(s)

+-

R(s)

Si

)164)(1(

)3()(

2

ssss

sKsG

num=[0 0 0 1 3];den=conv([1 1 0],[1 4 16]);rlocus(num,den);


G(s)Y(s)

+-

R(s)

)106.0)(5.0()(

2

ssss

KsG

num=[0 0 0 0 1];den=conv([1 0.5 0],[1 0.6 10])rlocus(num,den)

num=[0 0 0 0 1];den=conv([1 0.5 0],[1 0.6 10]);r=rlocus(num,den);plot(r,’o’);axis([-6 6 -6 6];


num=[0 0 0 0 1];den=[1 1.1 10.3 5 0];K1=0:0.2:20;K2=20:0.1:30;K3=30:5:1000;K=[K1 K2 K3];r=rlocus(num,den,K);plot(r,’o’);v=[-4 4 -4 4];axis(v);

Lugar de raíces en Matlab

A=[ 0 1 0; 0 0 1; -160 -56 -14];B=[0;1;-14];C=[1 0 0];D=[0];K=0:0.1:400;rlocus(A,B,C,D,K)v=[-20 20 -20 20];grid

j

n

21 n

n

cosUso sgrid

Uso de sgrid

num=[ 0 0 0 1];den=[1 4 5 0];rlocus(num,den);axis([-3 1 -2 2]);sgrid([0.5,0.707],[0.5, 1.2]);

Uso sgrid

num=[0 0 0 1];den=[1 4 5 0];rlocus(num,den);axis([-3 1 -2 2]);sgrid(0.5,[]);

Uso de rlocfind

num=[ 0 0 0 1];den=[1 4 5 0];rlocus(num,den);v=[-3 1 -2 2];axis(v);sgrid(0.5,[]);[K,r]=rlocfind(num,den);

Sistemas de fase mínima

1054

2)(

23

sss

ssG

Sea la F.T.

Sistemas de fase no mínima

Efecto de los polos sobre el lugar de las raíces

1

1)(

s

sG


65

1)(

2

sssG


24269

1)(

23

ssssG

Efecto de los ceros sobre el lugar de las raíces

24269

6)(

23

sss

ssG


24269

5.3)(

23

sss

ssG


24269

1)(

23

sss

ssG

Diseño de sistemas de control mediante lugar de las raíces

• A partir de las especificaciones de desempeño, determinar la localización deseada de los polos dominantes en lazo cerrado

– Polos que dominan el comportamiento de la respuesta transitoria

– Frecuentemente son complejas conjugadas

• Generar la gráfica del lugar de las raíces del sistema sin compensación

– Evaluar si un ajuste en la ganancia solamente puede producir el efecto deseado sobre los polos en lazo cerrado

– Calcular el ángulo de deficiencia aportado por el compensador con adelanto


• Suponiendo que el compensador es:

Donde y se determinan a partir del ángulo de deficiencia.

se determina a partir de los requerimientos en lazo abierto

)(sGc

1

1

1

1)(

s

sK

s

sKsG ccc

10

cK


• Si no se especifican constantes error estáticas, determinar la localización del polo y cero del compensador con adelanto tal que el compensador contribuya al ángulo necesario– Intentar un valor de lo mas grande que se

pueda ya que con esto se obtiene una Kv grande lo cual es deseable

• Determinar la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición magnitud

• Verificar si el sistema compensado cumple con las especificaciones . Si es necesario repetir el proceso de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta que los criterios de diseño sean satisfechos

Y(s)+

-4

( )( 2)

G ss s

2

( ) 4 4

( ) 2 4 ( 1 3)( 1 3)

Y s

R s s s s j s j

Los polos en lazo cerrados están localizados en:

1 3s j

2

2 2

( )

( ) 2n

n n

Y s

R s s s

Usando la forma estándar

2 2n 2 4n 0.5 2n Rad/seg

20 0 0

4 4 4lim ( ) lim lim 2

2 4 ( 2) 2v

s s sK sG s s s

s s s s

seg-1

Se desea modificar los polos en lazo cerrado tal que la frecuencia natural sin amortiguación sea:

4n rad/seg

El factor de amortiguamiento deseado es: 0.5

Usando sgridsgrid(0.5,4)

Usando: cos

cos 0.5

1 180cos (0.5) 60

De acuerdo a la figura anterior los polos deseados en lazo cerrado son:

2 3.4641s j

1

( ) ( ) ( )1c c

sG s G s K G s

s

El sistema con compensación tiene la función de transferencia en lazo abierto

Donde:

11

( )11

c c c

ss

G s K Ks s

0 1

2 3.4641

430

( 2)s j

s s

j

AP

O

BC D

1

1

2

2

Ubicando el cero s=-2.9 El polo s=-5.4

10.345

2.9

10.185

5.4

0.537

La función de transferencia del sistema con compensación es:

2.9 4 ( 2.9)( ) ( )

5.4 ( 2) ( 2)( 5.4)c c

s K sG s G s K

s s s s s s

4 cK KEl lugar de las raíces del sistema compensado es :num=[1 2.9];den=conv([1 2 0],[1 5.4]);rlocus(num,den)

La ganancia K puede ser evaluada a partir de la condición magnitud:

Ver archivo usocomplex.m

2 3.4641

( 2.9)1

( 2)( 5.4)s j

K s

s s s

18.7K

18.7( 2.9)( ) ( )

( 2)( 5.4)c

sG s G s

s s s

18.74.68

4cK

2.51cK

Entonces el compensador con adelanto tiene la función de transferencia:

0.345 1 2.9( ) 2.51 4.68

0.185 1 5.4c

s sG s

s s

La F.T. del sistema con compensación es:

3 2

( ) 18.7( 2.9) 18.7 54.23

( ) ( 2)( 5.4) 18.7( 2.9) 7.4 29.5 54.23

Y s s s

R s s s s s s s s

Respuesta del sistema en lazo cerrado sin y con compensación

step(num,den)step(numc,denc)

Compensadores con retraso

• Generar un diagrama de lugar de las raíces del sistema sin compensación con F.T. En lazo abierto G(s)– Localizar los polos dominantes sobre el lugar

de las raíces

• Suponiendo que la F.T. del compensador con retraso es:

11ˆ ˆ( )

11c c c

ss

G s K Ks s

1


• La F.T. en lazo abierto es: Gc(s)G(s)

• Evaluar la constante error estática especificada en el problema

• Determinar la cantidad a incrementar en la constante error estática necesaria para satisfacer las especificaciones

• Determinar el cero y polo del compensador con retraso– Generar el incremento en la constate error estática

– No afecta el lugar de raíces original


• Generar el nuevo lugar de las raíces para el sistema con compensación

– Localizar los polos en lazo cerrado

• Ajustar la ganancia ˆcK

Y(s)+

-1.06

( )( 1)( 2)

G ss s s

numol=[0 0 0 1.06];denol=conv([1 1 0], [1 2]);Gol=tf(numol,denol)rlocus(Gol)

( ) 1.06 1.06

( ) ( 1)( 2) 1.06 ( 2.3386)( 0.3307 0.5864 )( 0.3307 0.5864 )

Y s

R s s s s s s j s j

La FT en lazo cerrado es:

3 2

3 2

3 2

1.06( ) ( ) 1.062 2

1.06( ) 1 ( ) 3 2 1.0613 2

Y s G s s s sR s G s s s s

s s s

Usando la función feedback

Gcl=feedback(Gol,1)

Los polos dominantes son:

0.3307 0.5864s j

2

( ) 1.06 1.06

( ) ( 1)( 2) 1.06 ( 2.3386)( 0.6614 0.4533)

Y s

R s s s s s s s

Considerando

El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado es:

2 0.4533n

2 0.6614n 0.6614

0.4912(0.6733)

0.673n

Se desea que el sistema tenga una constante error de velocidad estática de 5 sec-1 sin cambiar en forma apreciable la localización de los polos dominantesen lazo cerrado

La constante error de velocidad estática es:

0 0

1.06 1.06lim ( ) lim 0.53

( 1)( 2) 2v

s sK sG s s

s s s

sec-1

1

ˆ( )1c c

sG s K

s

Usando el compensador:

Y(s)

+ -1.06

( )( 1)( 2)

G ss s s

( )cG s

Para aumentar la Kv por un factor de 10 se selecciona la constante

y se ubica el cero y el polo del compensador en s=-0.05 y s=-0.005 respectivamente.

10

0.05ˆ( )0.005

c c

sG s K

s

La FT en lazo abierto del sistema compensado es :

0.05 1.06 ( 0.05)ˆ( ) ( )0.005 ( 1)( 2) ( 0.005)( 1)( 2)

c c

s K sG s G s K

s s s s s s s s

rlocus([1 0.05],conv([1 0.005 0],conv([1 1],[1 2]))) ˆ1.06 cK K

Sistema sincompensacion

Sistemacompensado

Dado que el factor de amortiguamiento de los nuevos polos en lazo cerrado es elmismo, los nuevos polos en lazo cerrado se obtienen a partir del nuevo lugar de las raíces como:

1 0.31 0.55s j 2 0.31 0.55s j

La ganancia K en lazo abierto se determina usando la condición magnitud

0.31 0.55

( 0.005)( 1)( 2)1.0235

0.05 s j

s s s sK

s

1.0235ˆ 0.96561.06 1.06

c

KK

0.05 20 1( ) 0.9656 9.656

0.005 200 1c

s sG s

s s

La FT en lazo abierto del sistema compensado es:

1.0235( 0.05) 5.12(20 1)( )

( 0.005)( 1)( 2) (200 1)( 1)(0.5 1)olc

s sG s

s s s s s s s s

0 0

5.12(20 1)lim ( ) lim 5.12

(200 1)( 1)(0.5 1)v olc

s s

sK sG s s

s s s s

sec-1

Respuesta en lazo cerrado del sistema sin compensación y con compensación

numol=[0 0 0 1.06];

denol=conv([1 1 0], [1 2]);

Gol=tf(numol,denol)

Gcl=feedback(Gol,1)

step(Gcl)

numc=[0.9656 0.0483];denc=[1 0.005];Gc=tf(numc,denc);num=[0 0 0 1.06];den=[ 1 3 2 0];Gp=tf(num,den);GcGp=series(Gp,Gc);Gclc=feedback(GcGp,1);step(Gclc);

Compensación con retraso y adelanto

• La compensación con adelanto acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema

• La compensación con retraso mejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta

• Un compensador con retraso y adelanto tiene dos polos y dos ceros

Compensación con retraso y adelanto

Y(s)

+ -( )G s( )cG s

1 2 1 2

12

1 2

1 1

( 1)( 1)( )

1( 1)( 1)

c c c

s ss s

G s K Ks s s s

1 1

Caso I :

• Determinar la localización deseada de los polos dominantes en lazo cerrado a partir de las especificaciones de desempeño

• Usando la FT en lazo abierto del sistema sin compensación determinar el ángulo de deficiencia la porción adelanto del compensador debe aportar este ángulo

• Suponiendo que se elige tal que

2

1

2

1

2

1

11

s

s

1s s Es uno de los polos dominantes en lazo cerrado

Elegir un valor para y a partir del requerimiento:1

1

1

1

1

1s

s

La elección de estos parámetros no es única

Determinar el valor de Kc usando la condición magnitud

1

11

1

1

1

( ) 1c

s

K G ss

• Si la constante error de velocidad estática está especificada, determinar el valor de que satisfaga Kv

1 2

0 0 0

1 2

1 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )1v c c c

s s s

s s

K sG s G s sK G s sK G ss s

Usando el valor de elegir el valor de tal que: 2

1

2

1

2

1

11

s

s

1

2

1

2

1

5 01

s

s

Y(s)+

-4

( )( 0.5)

G ss s

La FT en lazo abierto es:

La FT en lazo cerrado es:2

4

( ) ( ) 4( 0.5)4( ) 1 ( ) 0.5 41

( 0.5)

Y s G s s s

R s G s s ss s

4( )

( 0.5)G s

s s

El factor de amortiguamiento es:

La frecuencia natural sin amortiguación es: rad/sec

La constante error velocidad estatica es:

2 4n 2n

2 0.5n 0.125

0 0

4 4lim ( ) lim 8

( 0.5) 0.5v

s sK sG s s

s s

Se desea hacer que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado se 0.5, tambien que la frecuencia natural sin amortiguación sea 5 rad/sec y que la constante error de velocidad estatica sea 80 sec

1 2

1 2

1 1

( )1c c

s s

G s Ks s

1, 1

El sistema con compensación tiene la FT en lazo abierto:

1 2

1 2

1 1

( ) ( ) ( )1c c

s s

G s G s K G ss s

De acuerdo a las especificaciones es claro que el polinomio que contiene lospolos dominantes en lazo cerrado es:

2 5 25s s

2 25n 5n 2 5n

Entonces los polos dominantes en lazo cerrado son:

2.50 4.33s j

2.50 4.33

455

( 0.5)s j

s s

Determinar la localización del cero y el polo del compensador con adelanto que aporte 55°. Elgiendo el cero en s=-0.5 para lograr que se cancele con un polo de laplanta, mediante análisis grafico se elige el polo localizado en s=-5.021.Entonces la parte con adelanto del compensador es:

1

1

1

0 .5

5 .0 2 1c c

ss

K Kss

Por lo tanto 1

1

1 10.5; 2

0.5

1

5.021; 5.021(2) 10.04

Usando la condición magnitud:

2.5 4.33

0.5 41

5.021 ( 0.5)c s j

sKs s s

2.5 4.33

( 5.021)6.26

4c

s j

s sK

La porción con retraso del compensador se obtiene determinando primero el

valor de usando el requerimiento de la constante error de velocidad estatica

0 0lim ( ) ( ) lim ( )v c cs s

K sG s G s sK G s

0

4lim (6.26) 4.988 80

10.04 ( 0.5)ss

s s

16.04

Se elige suficientemente grande tal que:2

22.5 4.33

2

1

11

16.04

s j

s

s

22.5 4.33

2

1

5 01

16.04

s j

s

s

Como o satisface ambos requerimientos2 5 2 5

2 5

110.5 0.252( ) 6.26 6.26

10.04 1 5.02 0.012472 16.04(5)

c

ss s sG s

s ss s

10(2 1)(5 1)( )

(0.1992 1)(80.19 1)c

s sG s

s s

25.04( 0.2)( ) ( )

( 5.02)( 0.01247)c

sG s G s

s s s

num=[25.04 5.008];den=conv([1 5.02 0],[1 0.01247]);rlocus(num,den)

FT en lazo cerrado del sistema con compensación

numc=[25.04 5.008];

denc=conv([1 5.02 0],[1 0.01247]);

Golc=tf(numc,denc);

Gclc=feedback(Golc,1);

step(Gclc)

FT en lazo cerrado del sistema sin compensaciónnum=[0 0 4];den=[1 0.5 0];Gol=tf(num,den);Gcl=feedback(Gol,1)step(Gcl)

Analizando los polos dominantes en lazo cerrado se verifica que los requerimientosde diseño se satisfacen(uso de roots.m)

Respuesta en lazo cerrado del sistema con y sin compensación

Caso II:

1. A partir de las especificaciones de desempeño determinar la localización de los polos dominantes en lazo cerrado

2. El compensador con adelanto-retraso es:

1 2 1 2

12

1 2

1 1

( 1)( 1)( )

1( 1)( 1)

c c c

s ss s

G s K Ks s s s

1

Si Kv está especificada determinar el valor de la constante Kc usando :

3. Calcular el ángulo

4. Para el compensador con retraso elegir

Suficientemente grande tal que

0 0lim ( ) ( ) lim ( )v c cs s

K sG s G s sK G s

2

1

2

1

2

1

11

s

s

1s s Polo dominante en lazo cerrado

• Determinar y

5. Determinar que satisfaga

1

1

11

1

1

1

( ) 1c

s

K G ss

1

1

1

1

1s

s

2

1

2

1

2

1

11

s

s

1

2

1

2

1

5 01

s

s

Se desea usar el compensador:

1 2

1 2

1 1

( )1c c

s s

G s Ks s

1 2

1 2

1 1

4( ) ( )

1 ( 0.5)c c

s s

G s G s Ks ss s

0 0

4lim ( ) ( ) lim 8 80

0.5v c c c

s sK sG s G s sK K

10cK

1

1 1

1

1 12.5 4.33

1 1

4 81

( 0.5) 4.77

s j

s s

s ss s

1

12.5 4.33

1

1

1

55s j

s

s

55

A

P

B

55APB

4.77

8

PA

PB

2.38AO

8.34BO

1

10.420

2.38

18.34 3.503

La porción adelanto del compensador adelanto-retraso es:

2.3810

8.34

s

s

Para la parte retraso seleccionamos 2 10

2

1 10.0285

3.503(10)

2.38 0.1( ) 10

8.34 0.0285c

s sG s

s s

40( 2.38)( 0.1)( ) ( )

( 8.34)( 0.0285) ( 0.5)c

s sG s G s

s s s s

FT en lazo cerrado del sistema sin compensaciónnum=[0 0 4];den=[1 0.5 0];Gol=tf(num,den);Gcl=feedback(Gol,1)step(Gcl)

FT en lazo cerrado del sistema con compensación

numc=conv([40 95.2],[1 0.1]);

denc=conv([1 8.34],conv([1 0.0285],[1 0.5 0]));

Golc=tf(numc,denc);

Gclc=feedback(Golc,1);

step(Gclc)

Análisis del lugar de las raíces (Root locus)

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