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NIVERSID

AD

NACIONAL

HERMILIO VALDIZAN

FACULT

AD DE C

IENCIA

S DE

LA EDUCACIO

N

ANÁLISIS

DIMENSIO

NAL

DOCENTE: SANTOS MAGARIÑO LIDER

ECUACIONES DIMENSIONALES

DEFINICIÓN

Son aquellas que expresan la relación existen entre la magnitud derivada y las magnitudes fundamentales Las ecuaciones dimensionales se usan los símbolos de las magnitudes fundamentales .Cada símbolo está afectado de un exponente que indica las veces que dicha dimensión interviene en la magnitud derivada.

Análisis dimensional

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos

UTILIDAD DEL ANALISIS DIMENSIONAL

Para determinar las dimensiones de coeficientes empíricos.

Para establecer y realizar experimentos, descubriendo aspectos desconocidos del problema.

Para formular leyes de similitud de considerable importancia en la investigación experimental.

Para determinar la forma de ecuaciones físicas a partir de las variables principales y de sus dimensiones. Para comprobar cualitativamente ecuaciones.

MAGNITUDES FISICAS

En nuestra vida cotidiana todos tenemos la necesidad de medir longitudes , contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un barril , la temperatura del cuerpo humano, la velocidad del bus, etc. todas estas son magnitudes o cantidades físicas

Magnitud es todo aquello que podemos medir directa o indirectamente y asignarle un numero y unidad .

Las magnitudes fundamentales son aquellas magnitudes físicas que, gracias a su combinación, dan origen a las magnitudes derivadas. Tres de las magnitudes fundamentales más importantes son la masa, la longitud y el tiempo, pero en ocasiones en la física también se agrega la temperatura, la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia y la intensidad de corriente.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

La siguiente tabla

muestra las unidades del sistema

internacional ( SI).

Magnitud Unidad Símbolo

DIM.

Longitud Metro m L

Masa Kilogramo

Kg M

Tiempo Segundo s T

Temperatura Kelvin K

Int.corriente Ampere Amp. I

Int.luminosa Candela cd J

Cant.de sustancia

mol mol N

Magnitud Dimensiones

Longitud (L) [

superficie

Volumen(V) [V] =

Momento de inercia(I) [I] =

Velocidad(v) [v] =L

Aceleración(a)

Velocidad angular() [] =

Aceleración angular() [] =

Densidad() [] =M

Caudal volumétrico(Q) [Q] =

Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo :Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales Demostrar la validez de una formulaDeterminar formulas empíricas.

MAGNITUD DIMENSIONES

Gravedad [g] =L

Fuerza [F] =ML

Presión [p] =M

Energía [E] =M

Calor especifico [c] =L2T-2 -1

Viscosidad absoluta [] =M

Viscosidad dinámica [] =

Tensión superficial [] =

compresibilidad [K] =M

Método de Buckingham (Π)

Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables ∏1, ∏2, ..., ∏n; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma:

El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en “n-m” grupos adimensionales independientes.

Edgar Buckingham

Φ(∏1,∏2,..., ∏n-m) = 0

EJEMPLO 01: Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal a través de un orificio

en función de la densidad del líquido, el diámetro del orificio y la diferencia de presiones.

SOLUCIÓN:

𝑄= 𝑓 (𝜌 ,𝑃 ,𝑑)

𝑄=𝐾 𝜌𝑎 ,𝑃𝑏 ,𝑑𝑐

𝐹 0𝐿3𝑇− 1=(𝐹𝑛𝑇 2𝑎𝐿− 4𝑎)(𝐹¿¿𝑏𝐿− 2𝑏)(𝐿¿¿𝑐 )¿¿

Matemáticamente:

Dimensionalmente:

0=𝑎+𝑏−1=2𝑎 3=−4 𝑎−2𝑏+𝑐 ,

En donde igualamos:

” “ ”

, ,

Despejamos y nos sale:

𝑄=𝐾 𝜌− 12 ,𝑃

12 ,𝑑2

Sustituyendo:

𝑄=𝐾 𝑑2√𝑃 /𝜌 (Fluido Ideal)

El coeficiente K ha de obtenerse mediante el análisis físico o por experimento.

EJEMPLO 02: Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función

del peso específico del fluido del caudal en y de la altura comunicada a la corriente, resolver aplicando el teorema de Buckingham

𝑓 (𝑃 ,𝑤 ,𝑄 ,𝐻 )=0

SOLUCIÓN:

Matemáticamente:

Dimensionalmente:

Potencia

Peso Especifico

Caudal

Carga

Usando el Teorema de Buckingham tenemos que existen 4 magnitudes físicas y de ellas 3 son fundamentales, de donde (4-3)=1 (un grupo)

Donde escogemos como magnitudes con los exponentes desconocidos:

𝜋 1=(𝑄¿¿ 𝑥1) (𝑤𝑦 1) (𝐻𝑧 1 )𝑃 ¿

𝜋 1=(𝐿¿¿3 𝑥1𝑇−𝑥1) (𝐹 𝑦1𝐿−3 𝑦1 ) (𝐿𝑧1 ) (𝐹 𝐿𝑇−1)¿

Igualando los exponentes:

0=𝑦1+1 0=3 𝑥1−3 𝑦1+𝑧1+1” ” ”

0=−𝑥1−1

Donde:

Lo sustituimos en: 𝜋 1=(𝑄¿¿ 𝑥1) (𝑤𝑦 1) (𝐻𝑧 1 )𝑃 ¿

𝜋 1=(𝑄¿¿−1) (𝑤−1 ) (𝐻− 1)𝑃 ¿

𝝅𝟏=𝑷

𝒘𝑸𝑯