Universidad de OrienteNcleo de AnzoteguiEscuela de Ingeniera y Ciencias AplicadasDepartamento de Ingeniera CivilCtedra: Mecnica de los FluidosCdigo: 070-3253

Trabajo N 02Anlisis dimensional y semejanza dinmica

Profesora: Bachilleres:Hernndez, Delimar Figueroa, Jos. C.I.: 22.921.748Seccin: 01 Guareguan, Paola. C.I.: 23.997.339 Pino, Jhonny. C.I.: 21.093.662

Barcelona, julio de 2012NDICE

Introduccin.iii

Naturaleza del anlisis dimensional4

Homogeneidad Dimensional y Relaciones Adimensionales...5

Teorema de de Buckingham...8

Grupos adimensionales importantes en mecnica de fluidos.....10

Aplicaciones del teorema de pi......10

Formacin alternativa de los parmetros .13

Dimensiones y unidades.14

Similitud Dinmica16

Estudios en modelos y similitud.18

Significado Fsico de grupos adimensionales importantes en mecnica de fluidos.21

Conclusiones.24

Recomendaciones...25

Bibliografa....................................................................................................26

INRODUCCIN

Los lquidos son sustancias incapaces de resistir fuerzas o esfuerzos de corte sin desplazarse. Por sus muchas aplicaciones, el estudio de la mecnica de fluidos es uno de los ms vitales y fundamentales en la ingeniera y en las ciencias aplicadas. El estudio del flujo de fluidos en tuberas y canales es importante para los ingenieros civiles.

Antes de proseguir con anlisis especializados de los diferentes tipos de flujo, es til estudiar los aspectos dimensionales del flujo de fluidos. Esto permitir entender ms claramente las diferencias entre los diferentes flujos que se consideraran ms adelante.

La mecnica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la esttica de fluidos o hidrosttica, que se ocupa de fluidos en reposo, y la dinmica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento.El material expuesto a continuacin es una introduccin a la comprensin de los fenmenos fluidos, a travs de la explicacin del anlisis dimensional, su similitud dinmica y relaciones adimencionales; as como tambin el estudio de las unidades y dimensiones, los teoremas y modelos.

ANLISIS DIMENSIONAL

Naturaleza del anlisis dimensional:

De los cursos de mecnica puede recordarse que las ecuaciones deducidas analticamente son correctas para cualquier sistema de unidades y en consecuencia cada grupo de trminos en la ecuacin debe tener la misma representacin dimensional. sta es la ley de la Homogeneidad dimensional. Dicha ley se ha utilizado para establecer las dimensiones de cantidades como la viscosidad.

Otra aplicacin muy importante de esta ley se presenta en las situaciones donde las variables que intervienen en un fenmeno fsico se conocen, mientras que la relacin entre las variables se desconoce. Mediante un procedimiento conocido como anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entre un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el nmero de grupos menor que el de variables. La ventaja inmediata de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentacin mucho menor para establecer la relacin entre las variables en un rango dado. A dems, la naturaleza de la experimentacin se simplificara en forma considerable.

Para ilustrar esto, considrese el problema de determinar el arrastre F sobre una esfera lisa de dimetro D que se mueve en forma comparativamente lenta con la velocidad V a travs de un fluido viscoso. Otras variables involucradas son y , la densidad y la viscosidad, respectivamente, del fluido. Puede establecerse que el arrastre F es una funcin desconocida de estas variables. Es decir,

Para determinar experimentalmente la relacin que se requerira un trabajo considerable, ya que slo una de las variables entre parntesis debe modificarse cada vez, lo que resulta en la acumulacin de muchas graficas; se requeriran muchas graficas para hacer una descripcin efectiva del proceso. Adems, un mtodo como ste implicara el uso de esferas con diferentes dimetros y de muchos fluidos con diferentes viscosidades y densidades. Luego, puede verse que esto significara una investigacin extremadamente larga y costosa.

Ahora puede emplearse un anlisis dimensional antes de abordar un programa experimental. Como se demostrar ms adelante, el anlisis anterior del arrastre puede formularse mediante una relacin funcional solamente entre dos grupos adimensionales. Cada uno de estos grupos se conoce como un (sin relacin alguna con el nmero 3,1416). Luego,

donde la naturaleza de la funcin g se desconoce. Sin embargo, mediante experimentos puede establecerse una curva nica que relaciona los . [2]

Homogeneidad Dimensional y Relaciones Adimensionales:

Para resolver problemas prcticos de diseo en mecnica de fluidos, usualmente se requiere tanto de desarrollos tericos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parmetros adimensionales, es posible reducir el nmero de variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o graficas de datos) sea aplicable a otras situaciones similares.

Si se fuera a escribir la ecuacin de movimiento F=ma para un paquete de fluidos, incluyendo todos los tipos de fuerza que puedan actuar sobre el paquete, tales como las fuerzas de gravedad, de presin, viscosas, elsticas y de tensin superficial, resultara una ecuacin donde la suma de estas fuerzas es igual a ma, la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones fsicas, cada termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso de fuerza. La divisin de cada trmino de la ecuacin por uno cualquiera de los otros hara que la ecuacin fuera adimensional. Por ejemplo, dividiendo por el trmino de fuerza inercial, resultara en la suma de parmetros adimensionales igual a la unidad. El tamao relativo de cada parmetro, respecto a la unidad, indicara su importancia. Si se fuera a dividir la ecuacin de fuerza por un trmino diferente, por ejemplo el trmino de fuerzas viscosas, se obtendra otro conjunto de parmetros adimensionales. Sin experiencia en el tipo de flujo es difcil determinar que parmetros serian los ms tiles.

Un ejemplo para el uso del anlisis dimensional y sus ventajas esta dado mediante la consideracin del resalto hidrulico. Para este caso la ecuacin de momentum. (1.2)

Puede rescribirse como

Claramente, el lado derecho de la ecuacin representa las fuerzas inerciales y el lado izquierdo las fuerzas de presin debidas a la gravedad. Estas dos fuerzas son iguales en magnitud, debido a que una determina la otra en esa ecuacin. Es ms el termino tiene dimensiones de fuerza por unidad de ancho y multiplica un numero adimensional que esta especificado por la geometra del resalto hidrulico. Si se divide esta ecuacin por el trmino geomtrico y un nmero representativo de las fuerzas gravitacionales, se tiene

(1.1)

Ahora es claro que el lado izquierdo es la relacin entre la fuerzas inerciales y las gravitacionales, aunque la representacin explicita de las fuerzas se ha oscurecido debido cancelacin de trminos comunes en el numerador y en el denominador. Esta relacin es equivalente a un parmetro adimensional, el cuadrado del nmero de Froude, el cual se discutir posteriormente con mas detalles en este captulo. Tambin es interesante notar que esta relacin de fuerzas e conoce una vez que la relacin y2/y1 est dada, sin importar los valores de y2 y y1. De esta observacin se puede ver que el alcance de la ecuacin (1.1) se ha incrementado con respecto a la ecuacin (1.2) a pesar de que es solamente un reordenamiento de la otra.

Al escribir la ecuacin de momentum que condujo a la ecuacin (1.1), solo se incluyeron las fuerzas inerciales y gravitacionales en el enunciado del problema original. Pero otras fuerzas, tales como la tencin superficial y la viscosidad, estn presentes. Estas se despreciaron por ser pequeas en comparacin a las fuerzas gravitacionales e inerciales; sin embargo, solo la experiencia con el fenmeno o con fenmenos similares justificara tal simplificacin inicial. Por ejemplo si se hubiese incluido la viscosidad debido a que no se estaba seguro de la magnitud de su efecto, la ecuacin de momentum hubiera sido

=Con el resultado que

Este planteamiento es ms completo que el dado por la ecuacin (1.1) sin embargo, la experimentacin hubiera demostrado que el segundo trmino del lado izquierdo de la ecuacin usualmente es una pequea fraccin del primer trmino, por lo tanto puede ser despreciado al hacer las pruebas iniciales de un resultado hidrulico.

En la ltima ecuacin la relacin y2/y1 puede considerarse como la variable dependiente determinada para cada uno de los valores de las relaciones de fuerza V12/gy1 y Fviscosa/ y12 las cuales son las variables independientes. Del anlisis precedente parece que la ultima variable juega solo un papel menor al determinar los valores y2/y1, sin embargo, si se observa que la relacin de fuerzas, V12/gy1 y Fviscosa/ y12 tiene los mismo valores en dos pruebas diferentes, se esperara, con base en la ltima ecuacin que los valores de y2/y1 sean los mismo en las dos situaciones. Si la relacin para V12/gy1 es la misma en las dos pruebas pero la relacin Fviscosa/ y12 que solo tiene una influencia menor para este caso, no lo fuera, se podra concluir que los valores de y2/y1 para los dos casos serian casi iguales.

Lo anterior es la clave para mucho de lo que sigue. Si se pudiera crear un modelo experimental con la misma geometra y las relaciones de fuerza que ocurren en la unidad a escala completa, entonces la solucin adimensional para el modelo es vlida tambin para el prototipo. A menudo, tal como se ver, no es posible tener todas las relaciones iguales en modelo y prototipo. Por consiguiente se debe planear la experimentacin de tal forma que las relaciones entre fuerzas dominantes sean tan cercanas como sea posible. Los resultados obtenidos en tal modelacin incompleta usualmente son suficientes para describir el fenmeno en el detalle que se desea.

Escribir la ecuacin de fuerza para una situacin compleja puede no ser posible, por consiguiente se utiliza otro proceso, el anlisis dimensional, si se conocen las cantidades pertinentes que entran en el problema.

En una situacin dada, varias de las fuerzas pueden tener poca importancia, dejando tal vez dos o tres fuerzas con el mismo orden de magnitud. Con tres fuerzas del mismo orden de magnitud, se obtienen dos parmetros adimensionales; un conjunto de datos experimentales, tomados de un modelo geomtricamente similar, dan las relaciones entre parmetros para todos los casos similares de flujo. [1]

Teorema de de Buckingham:

De acuerdo con este teorema, el nmero de grupos adimensionales independientes que puede emplearse para describir un fenmeno en el que intervienen n variables es igual al nmero n-r, donde r usualmente es el nmero de dimensiones bsicas necesarias para expresar las variables dimensionalmente. En el ejemplo anterior, las variables fueron , lo cual hace que n sea igual a 5. Para expresar estas cantidades en forma dimensional deben emplearse tres dimensiones bsicas M, L, T o F, L T, de manera que n-r sea igual a 22. Es evidente que los grupos adimensionales empleados son independientes, es decir, no estn relacionados entre s mediante operaciones algebraicas debido a que F aparece solo en uno de los grupos y aparece slo en el otro grupo. El teorema anterior establece que no puede haber grupos adimensionales independientes adicionales, Por consiguiente, cualquier otro grupo adimensional propuesto por el lector, invariablemente puede deducirse mediante operaciones algebraicas con los grupos y . Por ejemplo, es un grupo adimensional formado por el producto de los grupos mencionados antes.

El clculo de r en el teorema de de Buckingham como el nmero de dimensiones bsicas necesarias para expresar dimensionalmente las variables no siempre es correcto. Por ejemplo, en anlisis de esfuerzos existen problemas relacionados con la fuerza y la distancia donde las dimensiones bsicas pueden ser dos (F, L) para el sistema FLT o pueden ser tres (M, L, T) si se selecciona el sistema MLT. A continuacin se dar un procedimiento correcto para calcular el valor de r.

Las variables , etc., se colocan a lo largo de un eje horizontal y las dimensiones bsicas M, L, T, etc., que se utilizarn, se colocan en un eje vertical, como se muestra ms adelante. Debajo de cada variable se coloca una columna de nmeros con la potencia a las que deben elevarse las dimensiones bsicas en la representacin dimensional de la variable particular.

Luego, en la representacin anterior a la variable debe tener las dimensiones MT2/L, mientras que la variable . El arreglo de los nmeros conformado de esta manera se conoce como matriz dimensional del proceso y se representa as:

Como debe recordarse de lgebra, puede calcularse el determinante de un grupo de nmeros que forman un arreglo con igual nmero de filas y columnas. El arreglo anterior puede hacerse cuadrado agregando una fila de ceros. Sin embargo, es obvio que este determinante es cero. Luego, una pregunta importante es: Cul es el tamao del mayor subgrupo cuadrado cuyo determinante es diferente de cero? El nmero de filas o columnas en este determinante define el rango de la matriz original. En este caso existen varias posibilidades. Por ejemplo, al utilizar las primeras tres filas y las primeas tres columnas se obtiene:

Por lo que el rango de la matriz dimensional es igual a 3.

El valor correcto de r en el teorema de de Buckingham puede establecerse ahora como el rango de la matriz dimensional.

Grupos adimensionales importantes en mecnica de fluidos:

En la mayor parte de los fenmenos fluidos donde puede ignorarse la transferencia de calor, las variables siguientes pueden ser importantes:

1. Cambio de la presin, 2. Longitud, L3. Viscosidad, 4. Tensin superficial,5. Velocidad del sonido, c6. Aceleracin de gravedad, g7. Densidad, 8. Velocidad, V

Utilizando estas variables pueden formarse los siguientes grupos adimensionales:

1. Nmeros de Reynolds, 2. Nmeros de Froude, 3. Nmeros de Mach, 4. Nmeros de Weber, 5. Nmeros de Euler,

Aplicaciones del teorema de pi:

Para la construccin completa de un sistema de grupos adimensionales, se debe seguir con el siguiente mtodo:

1) Escribir una relacin funcional para la relacin dimensional que se investiga, asegurndose de incluir todos los parmetros dimensionales relevantes.

2) Determinar el nmero de parmetros adimensionales que se requieren construir.

Ntese que debido a que se necesitan tres dimensiones bsicas para describir las variables, existen 8-3=5 grupos adimensionales independientes en las listas mostradas anteriormente, de acuerdo a Buckingham. Se ve fcilmente que estos grupos son independientes al observar que el nmero de Euler es la nica expresin que contiene la variable ; el nmero de Weber es el nico con , etc. Por consiguiente, ninguno de estos grupos puede obtenerse mediante combinacin algebraica u operaciones matemticas con los otros.

3) Clculo de los grupos adimensionales.

Ahora que se ha determinado el nmero de los grupos adimensionales en un proceso, se pasa al problema de cmo conformar los grupos. Una manera de establecer formas del nmero correcto de grupos independientes mediante un proceso de prueba y error, Sin embargo, cuando esto no es posible, el procedimiento siguiente es efectivo.

Como un ejemplo ilustrado de valor prctico, se investiga dimensionalmente la cada de presin de un flujo viscoso incompresible a travs de una tubera de longitud L. Las variables que intervienen en este proceso son la cada de presin, ; la velocidad promedio, V; la viscosidad, ; el dimetro interno de la tubera, D; la longitud del tramo de tubera, L; La densidad, ; y finalmente, la rugosidad de la tubera representada por la variacin promedio e del radio interno. La cada de la presin puede expresarse funcionalmente como

El miembro derecho de la ecuacin se reemplaza por una serie infinita

+ (1.3)

Donde K1, K2, son coeficientes adimensionales y a1, b1, a2, b2, son los exponentes requeridos por la serie. Como cada grupo de la ecuacin debe tener las mimas dimensiones debido a la ley de homogeneidad dimensional, slo se necesita incluir en la representacin dimensional de la ecuacin la primera expresin de la serie, Por consiguiente, eliminando los subndices deLos exponentes y expresando dimensionalmente la ecuacin, se obtiene:

Ahora los exponentes de las dimensiones bsicas, M, L, y T a ambos miembros de la ecuacin deben igualarse respectivamente, de acuerdo con la ley de homogeneidad dimensional, para formar el sistema siguiente de ecuaciones algebraicas simultneas: Para M: 1= a + b (1)Para L: -1= -3a-b+c+d+f+g (2)

Para T: -2= b c (3)

Como existen seis incgnitas relacionadas slo mediante tres ecuaciones, pueden obtenerse tres de ellas en funcin de las tres restantes. Se escogen como las tres cantidades dependientes que deben eliminarse, aquellas cantidades asociadas con tres variables que se desee que estn en alguno de los grupos adimensionales. Supngase que se desea que estn en un grupo adimensional. Luego se toman como las cantidades que deben eliminarse, es decir, deben expresarse en funcin de las cantidades restantes b, d y g . De acuerdo con esto, la ecuacin (1) indica quea = 1 b

mientras que la ecuacin (3) seala que c = 2 b

Finalmente, sustituir estos resultados en (2) permite obtener en funcin de las variables independientes seleccionadas:

Al volver a la ecuacin (1.3), se restringe el anlisis al primer trmino de la serie y al reemplazar mediante las relaciones anteriores, se obtiene:

Despus de agrupar los trminos con los mismos exponentes y de extender los resultados a otros miembros de la serie, la ltima ecuacin debe expresarse como:

Ntese que cualquiera de los grupos variables en la ecuacin anterior est elevado a diferente potencia a medida que se pasa de la expresin 1 a la expresin 2, etc., como se requiere en la expresin en serie. Es decir, el grupo est elevado a diferentes potencias b1, b2, etc. Debido a la homogeneidad dimensional, cada uno de los grupos debe ser adimensional. Finalmente, al volver a la representacin funcional de la serie, se tiene:

Donde representa una funcin. Ntese que siguiendo este procedimiento se ha obtenido el nmero de grupos adimensionales independientes. Adems, uno de los grupos tiene , como se propuso anteriormente.Como es una funcin desconocida, el trmino puede invertirse, formando de esta manera el nmero de Reynolds. Adems. Ntese la aparicin del nmero de Euler y de dos relaciones geomtricas. La prdida de presin en una tubera puede caracterizarse mediante la ecuacin:

Aqu se puede observar como de manera directa, puede formarse un conjunto de grupos adimensionales que son independientes y de nmero acorde con el teorema de de Buckingham. [2]

Formacin alternativa de los parmetros :

Un mtodo rpido para obtener los parmetros , desarrollado por Hunsaker y Rightmire, utiliza las variables repetitivas como las cantidades primarias y resuelve para M, L y T en funcin de ellas.

V= LT-1 D=L =ML-3 L=D T=DV-1 M=D3

Ahora, utilizando las ecuaciones

=ML-1T-1=D3D-1D-1V=DV

Por consiguiente, el parmetro es

1= /DV

Las ecuaciones pueden utilizarse directamente para encontrar los otros parmetros . Para 2 y g=LT-2=DD-2V2=V2D-1y2=g/V2D-1=gD/V2

Este mtodo no requiere la solucin respectiva de las tres ecuaciones con tres incgnitas para la determinacin de cada parmetro .

Coeficiente de presin:El coeficiente de presin es la relacin de la presin con respecto a la presin dinmica. Cuando el coeficiente de presin se multiplica por el rea, el producto es la relacin de las fuerzas de presin con respecto a las fuerzas inerciales, ya que seria la fuerza necesaria para reducir la velocidad a cero. Tambin se puede escribir como dividindolo por . Para flujos en tuberas la ecuacin de Darcy-Weisbch relaciona las perdidas h1 con la longitud de la tubera L, el dimetro D y la velocidad V mediante un factor de friccin adimensional como se ha mostrado que f L/D es igual al coeficiente de presin. En e flujo en tuberas, la gravedad no tiene influencia sobre las perdidas; por consiguiente F puede despreciarse. Familiarmente, la tensin superficial no tiene efecto y W se ignora. Para el flujo permanente de un fluido la compresibilidad no es importante y M se deja de lado; l se refiere a D; l1 se refiere a la altura de la proyeccin de la rugosidad en la pared de la tubera; y l2 hace referencia al espaciamiento por consiguiente. [1]

Dimensiones y unidades:

En mecnica de los fluidos se trata con cantidades mensurables tales como presin, velocidad y viscosidad; cantidades que se relacionan por medio de ecuaciones deducidas de leyes o definiciones; cada una contiene alguna o todas las dimensiones de fuerza (F), masa (M), longitud (L), tiempo (T) y temperatura . Para finalidades cuantitativas debe fijarse un conjunto de unidades para estas dimensiones bsicas. (En la teora electromagntica hay una dimensin como carga, medida en unidades mks, en coulombios. As, en magnetohidrodinmica hay cinco dimensiones bsicas.)

Las ecuaciones que expresan las ecuaciones entres las cantidades fsicas tienen que ser dimensionalmente homogneas; esto es, cada trmino de una ecuacin debe tener las mismas dimensiones.

Por la ley de Newton vemos que la fuerza y masa no son dimensiones independientes; la fuerza es proporcional al producto de la masa y la aceleracin; esto es,

Y por requisitos de homogeneidad dimensional hallamos que,

La eleccin real de las dimensiones bsicas es entonces algo arbitrario; se puede usar un sistema , y todas las otras dimensiones se expresan en funcin de las dimensiones bsicas independientes escogidas por medio de leyes y definiciones.Ahora, podemos emplear la ley de Newton para definir la unidad de masa en funcin de la fuerza y aceleracin, as:

Si la unidad de fuerza es el kgf (kilogramo fuerza) y la unidad de aceleracin es el m/seg2, entonces la unidad de masa es

Esta es la masa que es acelerada a razn de 1 m/seg2 cuando sobre ella acta 1 Kg. Esta unidad se llama UTM (unidad tcnica de masa).

La siguiente tabla muestra las cantidades y sus dimensiones:CantidadSistema Sistema

FuerzaML/T2F

reaL2L2

VolumenL3L3

AceleracinL/t2L/t2

Velocidad angular1/T1/T

Aceleracin angular1/T21/T2

Momentum linealML/TFT

Momento de momentumML2/TFLT

EnergaML2/T2FL

TrabajoML2/T2FL

PotenciaML2/T3FL/T

Presin y esfuerzoM/T2LF/L2

Momentos y productos de reaL4L4

Tensor de inerciaML2FT2L

Momento de torqueML2/T2FL

CalorML2/T2FL

DensidadM/L3FT2/L4

Peso especficoM/T2L2F/L3

Viscosidad AbsolutaM/LTFT/L2

Viscosidad cinemticaL2/TL2/T

EntalpaL2/T2L2/T2

Calor especficoL2/T2L2/T2

Tensin superficialM/T2F/L

Conductividad trmicaML/T3F/T

[2]

SIMILITUDSimilitud Dinmica:

En sentido general la similitud es la indicacin de una relacin conocida entre dos fenmenos. Con frecuencia en mecnica de fluidos es la relacin entre un flujo a escala natural y un flujo que involucra fronteras ms pequeas pero geomtricamente similares.

Figura 1.2Flujos cinemticaente no similares con fronteras geomtricas similares

Sin embargo, ntese que existen leyes de similitud de uso comn en mecnica de fluidos en que intervienen flujos con fronteras no similares. Por ejemplo, existe una relacin de similitud entre un flujo compresible subsnico (nmero de Mach menor que la unidad) y un flujo incompresible alrededor de un cuerpo deformado de manera preestablecida con respecto a la del flujo compresible. De la misma manera, en hidrologa se utilizan modelos de ros que son geomtricamente similares en una vista de planta, pero que a menudo no son similares con respecto a la profundidad del ro real.Flujos geomtricamente similares:

Dos flujos compuestos por conjuntos similares de lneas de corriente se conoce como flujos cinemticamente similares. Debido a que las fronteras formaran algunas de las lneas de corriente, los flujos cinemticamente similares tambin deben ser geomtricamente similares. Sin embargo, el inverso de esta afirmacin no es cierto, y es bastante fcil encontrar flujos cinemticamente no similares a pesar de tener fronteras geomtricamente similares. En la figura 1.2 se muestran las lneas de corriente alrededor de cuas dobles similares en flujos bidimensionales. La de la izquierda se encuentra en un flujo subsnico de baja velocidad, M < 1, mientras que la de la derecha se encuentra en un flujo supersnico de alta velocidad, M > 1. La falta de similitud entre las lneas de corriente es obvia.

Ahora se define una tercera similitud conocida como similitud dinmica, donde la distribucin de fuerzas entre dos flujos tal que, en puntos correspondientes de stos, existen tipos idnticos de fuerza paralelos (como la fuerza cortante, la fuerza de presin, etc.) y adems tienen una relacin con el mismo valor para todos los puntos correspondientes entre los dos flujos. Adems, esta relacin debe ser la misma para todos los tipos de fuerzas presentes. Luego, para flujos dinmicamente similares existir esta misma relacin entre las fuerzas resultantes correspondientes que actan sobre las fronteras correspondientes.

Por qu la similitud es importante en los ensayos de modelos? Si existe la misma relacin entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y esta relacin es la misma para todo el flujo, puede decirse que la integracin de la distribucin de fuerzas que origina la sustentacin o el arrastre tambin tendr la misma relacin entre los flujos del modelo y del prototipo. Si no se tienen flujos que tengan aproximadamente similitud dinmica, las relaciones de fuerza entre los flujos del modelo y del prototipo para diferentes conjuntos de puntos correspondientes sern diferentes y no existir una forma simple para relacionar las resultantes mencionadas antes como el arrastre, la sustentacin, entre el modelo y el prototipo. El ensayo en modelos ser intil. Para flujos dinmicamente similares, la relacin entre fuerzas correspondientes en puntos correspondientes y la relacin respectiva entre las fuerzas resultantes deseadas del modelo y del prototipo no es difcil de establecer. Solo se necesita multiplicar la presin de la corriente libre por el cuadrado de una longitud caracterstica para cada flujo. Esto permite el clculo de las fuerzas correspondientes. La relacin entre estas fuerzas es la relacin deseada entre las fuerzas resultantes sobre las fronteras correspondientes de los flujos. Es decir,

Flujo del prototipo y del modelo alrededor de una esfera.[2]

Estudios en modelos y similitud:

Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructura y maquinas hidrulicas propuestas como ayuda en el diseo. Estos permiten una observacin visual del flujo y hacen posible obtener cierta informacin numrica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencia y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presin y perdida.Si se desea obtener informacin cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud dinmica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere 1.- que exista similitud geomtrica exacta 2.- que la relacin de presiones dinmicas en puntos correspondientes sea una constante.

Este segundo requerimiento tambin puede expresarse como una similitud cinemtica, es decir, que las lneas de corriente deben ser geomtricamente similares.La similitud geomtrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un decimo del tamao del prototipo en cualquier dimensin lineal, la altura de los proyecciones del rugosidad debe tener la misma relacin. Para que las presiones dinmicas tengan la misma relacin en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinmica estricta, los nmeros de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo.

Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para los casos de una relacin de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. La discusin de algunos casos aclarara este concepto.

Como una ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el anlisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real).por supuesto, la similitud geomtrica se asegura si el modelo tambin es una esfera. Adicionalmente cada dimensin lineal debe cumplir con la relacin de Dm/Dp. Esto incluye tambin las proyecciones de la rugosidad de pequeas escala.

La similitud dinmica se asegura haciendo que los polgonos de fuerza en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera estn actuando tres fuerzas netas, las fuerzas de presin, la fuerza de viscosa o de corte y la fuerza inercial debida a la aceleracin. Estas fuerzas debe formar un polgono cerrado. El polgono de fuerzas para el modelo debe ser similar al del prototipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud, la relacin de cada lado debe mantenerse es decir,

Y

Ntese que estas relaciones estn formadas por las agrupaciones adimensionales de la seccin previa. Los polgonos de las fuerzas se consideran similares siEp=EmRp=Rm

En otras palabras, el asegurar la igualdad entre los polgonos de fuerza de modelo y prototipo, se consigue igualar los nmeros adimensionales entre modelos y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmente es algo imposible de alcanzar. A continuacin se presentan algunos casos para ilustrar estos requerimientos:

Pruebas en tneles de vientoEste equipo se utiliza para examinar las lneas de corriente y las fuerzas que son inducidas a medida que el fluido pasa alrededor de un cuerpo completamente sumergido. A velocidades muy altas los efectos de comprensibilidad y consecuentemente el numero de Mach, deben tenerse en consideracin y ciertamente pueden ser la razn principal para llevar a cabo esta investigacin.

Flujo en tuberasEn el flujo permanentemente en una tubera las fuerzas viscosas e inerciales son las que tienen consecuencias importantes; por consiguiente, cundo se cumple la similitud geomtrica, tener el mismo nmero de Reynolds en el modelo y prototipo asegura la similitud dinmica.

Estructuras hidrulicas abiertasEstructuras tales como vertederos, piscinas de disipacin, transiciones en canales y vertederos, generalmente tienen fuerzas debido a la gravedad (causada por cambios en la elevacin de superficies de los lquidos) y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y de esfuerzo cortante turbulento. En estos casos la similitud geomtrica y el mismo valor del nmero de Froude en el modelo y el prototipo producen una buena aproximacin a la similitud dinmica.

Resistencia de BuquesLa resistencia al movimiento de un buque a travs del agua esta compuesta por el arrastre de presin, la friccin superficial y la resistencia debida a las ondas. Los estudios de los modelos se complican por los tres tipos de fuerzas que son importantes: inercial, viscosa y gravitacional. Los estudios sobre la friccin superficial deben basarse en nmeros de Reynolds iguales en el modelo y el prototipo, pero la resistencia de las ondas depende del nmero de Froude. Para satisfacer ambos requerimientos, el modelo y el prototipo deben ser del mismo tamao.Esta dificultad puede superarse utilizando un modelo pequeo y midiendo el arrastre total sobre este cuando es remolcado. Luego se calcula la friccin superficial para el modelo y se sustrae del arrastre total. El arrastre restante es escaldo hacia el tamao del prototipo, utilizando modelacin de Froude, y la friccin superficial del prototipo se calculo y aade para obtener la resistencia total del agua.

Maquinas HidrulicasLa velocidad rotacional de la maquinaria hidrulica introduce una variable extra. Las partes mviles en una maquina hidrulica requieren un parmetro extra para asegurar que los patrones de lneas de corriente sean similares en el modelo y en el prototipo. Este parmetro debe relacionar el flujo que pasa a travs (descarga), con la velocidad de las partes mviles. Para maquinas geomtricamente similares. Si los diagramas de velocidad de entrada o de salida de las partes mviles son similares, entonces las unidades son homologas, es decir para propsitos prcticos existe similitud dinmica. El nmero de Froude no es importante, pero los efectos del nmero de Reynolds pueden causar una discrepancia del 2 al 3 por ciento de la eficiencia entre el modelo y el prototipo. El nmero de Mach tambin es importante en compresores de flujo axial y turbinas de gas.

Significado Fsico de grupos adimensionales importantes en mecnica de fluidos:

1. El numero de ReynoldsEl nmero de Reynolds es la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un numero de Reynolds critico distingue entre los diferentes regmenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberas, en la capa limite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situacin. En flujo compresible, el nmero de Mach generalmente es ms importante que el nmero de Reynolds.

2. El numero de MachLa velocidad del sonido en un liquido se escribe como si K es el modulo de elasticidad volumtrica o c= donde K es la relacin de calor especifico y T la temperatura absoluta para un gas perfecto. V/c o V/ es el nmero de Mach. Es una medida de la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elsticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por A/2 en el numerador y el denominador el numerador es la fuerza dinmica y el denominador la fuerza dinmica a la velocidad del sonido. Tambin se puede demostrar que es una medida de la relacin de la energa cintica del flujo con respecto a la energa interna del flujo. Es el parmetro correlacionante ms importante cuando las velocidades estn cerca o por encima de las velocidades locales de sonido.

3. El numero de FroudeEl numero de Froude V/, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por A, es una relacin de las fuerzas dinmicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales. Con un flujo a superficie liquida libre (donde l se remplaza por y, la profundidad) la naturaleza del flujo (rpido o tranquilo) depende de si el numero de Froude es mayor o menor que la unidad. Este nmero es til en clculos de resalto hidrulico, en el diseo de estructuras hidrulicas y de vascos.

4. El numero de WeberEl numero de weber V2lp/ es la relacin de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tencin superficial (evidente cuando el numerador y el denominador se multiplican por l). Este es importante en interfaces gas-liquido o liquido-liquido y tambin donde estas interfaces se encuentran en contacto con una frontera. La tensin superficial causa pequeas ondas (capilaridad) y la formacin de gotas, y tiene un efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeas cabezas. A la izquierda del mnimo de la curva la velocidad de onda est controlada por la tensin superficial (las ondas se conocen como risos), y a la derecha del mnimo de la curva los efectos gravitacionales son dominantes.

5. El numero de Nusselt y el nmero de SherwoodN y S comparan las intensidades relativas de los procesos de conveccin con respecto a la difusin molecular de calor de masa. Son similares al nmero de Reynolds en el sentido en que son variables fundamentales de diseos cuando se traza una geometra de flujo y transporte para alanzar tasas especificas de intercambio de calor o de flujo de masa.

6. Numero de Prandtl y numero de SchmidtP y S compra propiedades del flujo. P compara la difusividad de momentum con respecto a la difusividad de calos, y S compara la difusividad de momentum con respecto a la difusividad de masa. Mientras que son nmeros importantes para el diseo de procesos de flujo y transporte, su importancia en corrientes naturales es pequea en comparacin con otros agentes de transporte.Todos los nmeros anteriores son fundamentales para cualquier problema de transporte de calor o de masa. Los dos nmeros siguientes describen procesos que no son necesariamente universales.

7. Numero de GrashofGrashof compara las intensidades relativas de conveccin en campo de transporte. Originalmente aplicado a la conveccin natural debida a campos de temperatura o densidad inestable, su uso se ha vuelto ms amplio en el anlisis de todos aquellos flujos con grandes gradientes espaciales de densidad.

8. Numero de DamkohlerDamkohler simplemente contrasta la intensidad de la transformacin qumica o biolgica con respecto a un cambio en la concentracin de masa ocasionado por adveccin. Su uso se ha expandido al diseo de procesos industriales pero ha tenido poco reconocimiento en anlisis de transporte ambiental. [1]

CONCLUSIN

En mecnica de los fluidos se trata con cantidades tales como presin, velocidad y viscosidad; cantidades que se relacionan por medio de ecuaciones deducidas de leyes o definiciones, el anlisis dimensional aplica una ley que se presenta en las situaciones donde las variables que intervienen en un fenmeno fsico se conocen, mientras que la relacin entre las variables se desconoce.

Mediante un procedimiento conocido como anlisis dimensional la semejanza dinmica indica la una relacin conocida entre dos fenmenos. Con frecuencia en mecnica de fluidos es la relacin entre un flujo a escala natural y un flujo que involucra fronteras ms pequeas pero geomtricamente similares. Sin embargo existen leyes de similitud de uso comn en que intervienen flujos con fronteras no similares. El Teorema pi de Buckingham es un fenmeno en el que intervienen n variables es igual al nmero n-r, donde r usualmente es el nmero de dimensiones bsicas necesarias para expresar las variables dimensionalmente en este teorema los grupos adimensionales empleados son independientes, es decir, no estn relacionados entre s mediante operaciones algebraicas debido a que F aparece solo en uno de los grupos y aparece slo en el otro grupo. Este teorema encierra un cambio de perspectiva en la observacin de un fenmeno fsico permitiendo su simplificacin al reducir el nmero de variables implicadas en el.

Por fortuna, en la mayor parte de los problemas de ingeniera, solo algunas de las variables enumeradas anteriormente intervienen en grados aplicables en forma simultnea. Por ejemplo, en trabajos de aeronutica, la tensin superficial y la gravedad no son tan importantes para tomarlas en consideracin, as que tanto el nmero de Froude como el nmero de weber no intervienen.

RECOMENDACIONES

Tomando en consideracin la experiencia obtenida con el desarrollo del actual trabajo, se recomienda lo siguiente para futuras investigaciones:

Las formulas obtenidas de las relaciones adimensionales en este trabajo podran ser utilizadas en la resolucin de ejercicios prcticos.

Se recomienda profundizar ms en el estudio de la metodologa ya expuesta, para poder tener completo dominio del tema.

Con base en un anlisis estadstico de los datos experimentales determinar la incertidumbre de las mediciones con lo que puede medirse la confiabilidad de los resultados.

Fijar el rango de velocidades superficiales del liquido y gas a utilizar en la matriz de prueba.

Decidir el patrn de flujo a estudiar.

Realizar pruebas para diferentes dimetros de tubera y utilizar los mismos dimetros ensayados para otros patrones de flujo, a fin de tener la posibilidad de realizar un anlisis comparativo.

Comparar los resultados con aquellos obtenidos por otras investigaciones.

BIBLIOGRAFA

[1] Victor L Streeter, E. Benjamin Wylie. Keith W.Bedford. 2000. Mecnica de Fluidos. (9na edicin). Mac Graw Hill

[2] Irving G. Shames. 1995. Mecnica de fluidos. (3ra edicin). Mac Graw Hill