ANALISIS DUAL Y COSTOS DE OPORTUNIDAD

La dualidad es uno de los descubrimientos de gran importancia para el desarrollo de la programación lineal, ya que con el conjunto de datos originales se puede encontrar al mismo tiempo la solución primal y dual.

La dualidad se caracteriza porque para todo problema de maximización de programación lineal existe un problema equivalente de minimización, y a la inversa; para todo problema de minimización de programación lineal existe un problema equivalente de maximización.

El análisis de dualidad tiene importancia teórica, económica y computacional.

IMPORTANCIA TEÓRICA

Radica en la conceptualización que se da de las relaciones matemáticas entre el primal y el dual, lo que permite que al encontrar la solución de uno de los problemas se obtenga al mismo tiempo la solución de su problema equivalente.

Con base en lo anterior se describen las diferentes relaciones y características en los dos modelos y sus componentes.

RELACIONES ENTRE EL MODELOS PRIMAL Y EL DUAL

Relación 1. El número de variables (Yi) del problema dual es igual al número de restricciones del primal.

Relación 2. Problema dual Vs. Problema dual Relación 3. Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los

recursos disponibles del problema primal. Relación 4. Si el problema original es un problema de maximización, el dual es un modelo de

minimización, y a la inversa, si el problema primal es de minimización, el dual es un modelo de maximización.

Relación 5. Los coeficientes aij del problema dual son los mismos, pero transpuestos del problema primal.

Relación 6. Los términos independientes de las restricciones del modelo dual. corresponden a los coeficientes de las variables de la función objetivo en el problema primal.

RELACIONES ENTRE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PRIMAL Y EL DUAL

Relación 1. Las variables básicas del dual corresponden a las variables no básicas del primal. Relación 2. Las variables de holgura del dual corresponden a las variables físicas del primal. Relación 3. Las variables del dual corresponden a las variables de holgura en el primal, y

viceversa. Relación 4. El Z óptimo del dual corresponde al Z óptimo del primal y viceversa Relación 5. Los valores de las variables básicas del dual corresponden al Cj – Zj (costos de

oportunidad) en el primal, y viceversa. Debe tenerse en cuenta el signo en la equivalencia de relaciones, teniendo en cuenta el criterio de optimización.

Relación 6. Los Cj – Zj del dual corresponden a los Bj del primal y viceversa.

1

Relación 7. Los aij del dual corresponden a los aij del primal, transpuestos y con signo contrario.

Debe aclararse que los columnas del as variables artificiales se ignoran en el análisis dual.

IMPORTANCIA ECONÓMICA

Para resaltar la importancia económica del análisis dual es necesario tomar un ejemplo y estudiar los diferentes aspectos de tipo económico que representan los componentes de los modelos primal -dual.

EJEMPLO 1.

“Artesanos del Caribe Unidos” tiene dos proyectos de inversión. El proyecto 1 tiene que ver con un producto de cuero, y el proyecto 2 con artesanías de uso popular. Esta cooperativa tiene dificultades de de capital, lo cual obliga a un manejo cuidadoso de este recurso escaso.

Los proyectos tienen los siguientes flujos de dinero por unidad fabricada (en el caso de las artesanías hay un modelo de unidad equivalente para fines de estudio.

La fabricación de cualquiera de los productos se demora un mes, y la venta se produce un mes después de su fabricación. En el caso de las artesanías, el costo total de fabricación es de 200 unidades monetarias (um) por unidad, de los cuales 100 se deben pagar de inmediato, para comprar la materia prima, y los restantes 100 al final del mes. En el caso del producto de cuero se debe pagar 25 unidades monetarias de inmediato y 100 al final de mes. La cooperativa usa una tasa de interés de oportunidad de 2% mensual.

En el momento solo dispone de 2.400 unidades monetarias, y dentro de un mes sólo dispondrá de 4.000. Además, el dinero que no se gaste de inmediato no podrá guardarse para dentro de un mes. Porque el Auditor de la Cooperativa exige que se paguen otros compromisos que no dan espera. El precio de venta es de $362.09 y 190.43 para los productos de artesanías y cuero respectivamente.

Con base en esta información resuelva los siguientes puntos:

a. Formule el modelo de programación linealb. Halle la solución utilizando el método gráfico y el método simplex.c. Solución del dual gráficamente y utilizando el método simplex, y haga el análisis económico del

problema dual y sus componentes.d. ¿Qué importancia tienen las soluciones primal – dual frente a los costos de oportunidad del

mercado?

SOLUCION

Paso a. Formación del modelo

Análisis: La cooperativa se plantea como objetivo determinar la cantidad de productos de cuero y de unidad equivalente de artesanías, de manera que maximice el valor presente neto total. Además, debe tener en cuenta el capital escaso inicialmente y dentro de un mes.

Cálculos intermedios. Como el objeto es determinar el máximo valor neto total, es necesario hacer o llevar a valor presente neto las diferentes cantidades que sedan en el futuro. A continuación se presentan gráficamente el flujo de dinero.

2

Flujo de dinero de los proyectos 1 y 2

362.09 190.43

100 100 25 100

Productos de artesanías Productos de cuero

Cálculos para los productos de artesanías

Cálculos para los productos de cuero

El valor de 150 y 60 son las unidades equivalentes en valor presente neto de los valores futuros (inversiones al mes e ingresos a los dos meses)

Definición de variables

X1: Cantidad de productos de artesanías (unidades)X2: Cantidad de productos de cuero (unidades)

Diseño del modelo

Z(máx.) = 150X1 + 60X2

Restricciones

100X1 + 25X2 < 2.400 (máxima cantidad disponible actualmente) 100X1 + 100X2 < 4.000 (máxima cantidad capital disponible en un mes) X1, X2 > 0 (condición de no negatividad).

Tema de análisis

El estudiante debe realizar la solución gráfica de este problema.

Estandarización del modelo

3

Z(máx.) = 150X1 + 60X2 +0S1 + 0S2

Sujeta a: 100X1 + 25X2 + 0S1 = 2.400 100X1 + 100X2 + 0S2 = 4.000

Paso b. Solución del modelo utilizando el método simplex

Tabla Inicial

Cj 150 60 0 0

Ci VB Bi X1 X2 S1 S2 θ

0 S1 2400 100 25 1 0 24

0 S2 4000 100 100 0 1 40

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj ˜ 150 60 0 0

Iteración 1

Cj 150 60 0 0Ci VB Bi X1 X2 S1 S2 θ

150 X1 24 1 0.250 0.010 0 960 S2 1600 0 75 -1 1 21.333

Zj 3600 150 37.5 1.5 0

Cj - Zj ˜ 0 22.5 - 1.5 0

Interación2

Cj 150 60 0 0Ci VB Bi X1 X2 S1 S2

150 X1 18.667 1 0 0.013 - 0.00360 X2 21.333 0 1 - 0.013 0.013

Zj 4080 150 60 1.2 0.300

Cj - Zj ˜ 0 0 - 1.2 - 0.300

solución optima

4

Conclusión: El valor presente neto total es igual a 4.080 unidades monetarias.

X1 = 18.667 unidades de artesanías que se deben fabricar y vender

X2 = 21.333 unidades que se deben fabricar y vender.

Paso C. Solución del dual

En este aparte se resalta la importancia económica y se harán las explicaciones correspondientes, teniendo en cuenta el modelo dual pero haciendo el análisis en sus componentes.

Tomando como el modelo primal y aplicando los conceptos teóricos vistos, se describen a continuación los siguientes elementos y su significado económico.

Modelo primal Modelo Dual

Z(máx.) = 150X1 + 60X2

S.A: 100X1 + 25X2 < 2.400 100X1 + 100X2 < 4.000 X1 , X2 > 0

Z(mín.) = 2.400Y1 + 4.000Y2

S.A: 100Y1 + 100Y2 > 150 25Y1 + 100Y2 > 60 Y1 , Y2 > 0

Niveles de rentabilidad óptima Niveles de costos de oportunidad óptimos

Tema de análisis

El estudiante debe aplicar los conceptos teóricos de las relaciones de los modelos primal y dual para verificar los modelos del cuadro anterior. En forma escrita debe explicar su transformación (primal Vs dual).

Para iniciar el análisis se empieza por definir el costo de oportunidad.

Costo de oportunidad: Para el caso de estudio, se debe entender como costo de oportunidad el valor mínimo que estaría dispuesto a recibir Artesanos del Caribe por la venta de sus recursos escasos.

Si la empresa Artesanos del Caribe vendiera los recursos escasos que le permiten producir las artesanías y los productos de cuero, es decir, 2400 actuales y 4.000 dentro de un mes, y si Y1 es el precio de cada unidad monetaria actual y Y2 el precio de cada unidad monetario dentro de un mes, la empresa recibiría (ahora) por la venta de sus recursos escasos la siguiente cantidad:

2.400Y1 + 4.000Y2

Para determinar los precios Y1 y Y2, la Empresa debe tener en cuenta que 100 um actuales y 100 um dentro de un mes le permiten fabricar una cantidad de artesanías, lo cual le produce un beneficio en VPN de 150 um. Esto indica que el total que debe percibir por la venta de la combinación de 100 um actuales + 100 um dentro de un mes no puede ser inferior a 150 um. En términos matemáticos, lo anterior se puede expresar así:

100Y1 + 100Y2 > 150

5

Siguiendo un razonamiento similar en relación con la fabricación de productos de cuero, se puede establecer que:

25Y1 + 100Y2 > 60

Definición de variables

Y1 : precio de cada unidad monetaria actualY2 : Precio de cada unitaria dentro de un mes

Estos valores pueden entenderse como la rentabilidad del dinero en el mercado.

Diseño del Modelo

Z(mín.) = 2.400Y1 + 4.000Y2

Restricciones: VPN artesanías 100Y1 + 100Y2 > 150 VPN Art. De cuero 25Y1 + 100Y2 > 60 No negatividad Y1 , Y2 > 0

Antes de llevar a cabo la solución simplex del problema se presenta una respuesta gráfica para mantener consistencia de la factibilidad de este método cuando los problemas son de dos variables.

6

Conclusión: A partir de la solución gráfica se puede apreciar que su solución óptima es:

Y1 = 1,2 um; Y2 = 0,3 um

Tales cantidades constituyen el costo de oportunidad de los recursos, y deben interpretarse cuidadosamente, por haber sido derivadas del valor presente neto de cada alternativa.

Para la empresa Artesanos del Caribe, cada um actual tiene un valor de 1,2 um, de modo que en caso de cederlas, las vendería en 2,2 um; y cada um dentro de un mes tiene para la compañía un valor de 0,30 um y un correspondiente precio de venta de 1,3 um.

SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX

Modelo para resolver:

Z(mín.) = 2.400Y1 + 4.000Y2

S.A: 100Y1 + 100Y2 > 150 25Y1 + 100Y2 > 60 Y1 , Y2 > 0

Tabla Inicial

Cj 2400 4000 0 0 M M

Ci VB Bi Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 θ

M A1 150 100 100 -1 0 1 0 1.5

M A2 60 25 100 0 -1 0 1 0.6

Zj 210M 125M 200M -M - M M M

Cj - Zj ˜ 2400 - 125M 4000 - 200M M M 0 0

Iteración 1

Cj 2400 4000 0 0 M MCi VB Bi Y1 Y2 S1 S2 A1 A2 θM A1 90 75 0 -1 1 1 -1 1.2

4000 Y2 0.6 0.250 1 0 - 0.010 0 0.010 2.4

Zj 2400 +90M 1000 + 75M

4000 0 - 1M - 40 + 1M

0 + M 40 - M

Cj - Zj ˜ 1400 - 75M 0 M 40 - M 0 - 40 + 2M

7

Iteración 2

Cj 2400 4000 0 0 M MCi VB Bi Y1 Y2 S1 S2 A1 A2

2400 Y1 1.2 1 0 - 0.013 0.013 0.013 - 0.013 400 Y2 0.3 0 100 0.003 - 0.003 - 0.003 0.003

Zj 4080 2400 4000 -18.667 -21.333 18.667 21.333

Cj - Zj ˜ 0 0 18.667 21.333 M- 18667 M - 21333

SOLUCION ÓPTIMA

Conclusión: Los resultados que aparecen en el cuadro simplex (columna Bi) son los mismos que los obtenidos gráficamente. La anterior solución simplex se hizo con el fin de aplicar los demás conceptos teóricos, en lo referente a las relaciones de las soluciones primal Vs dual.

Paso d. Importancia de las soluciones primal – dual frente a los costos de oportunidad del mercado

Para resolver este paso se deben tener en cuenta tres elementos:

1. Valor optimo obtenido a partir del problema primal (venta de productos, venta de servicios, valor presente neto total de alternativas, etc.)

2. Valor óptimo de recursos escasos de la solución del problema dual (venta de los recursos, arriendo de los recursos, otros planes de inversión, intereses).

3. Coto de oportunidad del mercado (estos precios son los costos que a fijado la mano invisible en el mercado, y es lo que ofrecen los compradores por los recursos escasos no utilizados)

Con estos tres elementos se establecen comparaciones que sirvan de guía al tomador de decisiones. Lo anterior se resume en el siguiente cuadro:

Cuadro Comparativo:

Nivel óptimo del primal Nivel óptimo del dual Costo de oport. del mercadoAquí se presentan los valores óptimos del modelo primal:

- Z óptimo- Utilidad por unidad de

producto o servicio- Recursos usados por

unidad- Recursos disponibles

Aquí se presentan los valores óptimos del modelo dual o los valores mínimos que está dispuesto a aceptar el administrador de los recursos escasos para arrendarlos o venderlos

Aquí aparecen los precios de los recursos escasos en el mercado que sirven de referencia para tomar decisiones

A B C

A manera de conclusión se puede recomendar lo siguiente:

8

Si A es favorable que C, lo correcto debería ser mantener el negocio planteado en la columna 1 (producir o servir). Si A es menos favorable que C, lo correcto debería sr cambiar el negocio actual por venta o arriendo de los recursos.

Por ejemplo: Tomado del problema anterior y suponiendo algunos datos del mercado, haga el análisis respectivo:

Nivel óptimo del primal Nivel óptimo del dual Costos de oport. Del mercado

Z1 (máx.) =4.080C1 = 150; C2 = 60a11 = 100 a12 = 25a21 = 100 a22 = 100B1 = 2.400 B2 = 4.000

Z(mín) = 4.080Y1 = 1.2 umY2 = 0.3 um

Z(min.) = 6.800Y1 = 2Y2 = 0.5

A es menos favorable que C, ya que siendo los costos de oportunidad mayores que lo que se está dispuesto a recibir por la venta de los recursos escasos que no se usan, lo correcto debe ser recibir 6.800 um por la venta de estos.

CASOS ESPECIALES DEL PROBLEMA DUAL

Habiendo visto un ejemplo completo en el que se resalta la importancia teórica y económica del análisis dual, es necesario examinar un caso especial: cuando en el modelo primal aparece como restricción una igualdad o el signo de desigualdad no corresponde al modo estándar.

A manera de ejemplo se presenta el siguiente modelo primal:

Z(máx.) = 2X1 – 3X2 + 10X3 + 20X4

S.A: 3X1 + 2X2 - 3X3 + X4 < 180 (1) X1 + 3X3 + 4X4 > 100 (2) X1 + 2X2 = 40 (3) X1 , X2 ,X3 ,X4 > 0

En este caso puede observarse que es un problema de maximización y que para poder ser llevado al modelo dual es necesario, primero, convertir todas las desigualdades e igualdades a menor o igual (<).

Análisis

La restricción (1) cumple con el tipo de modelo, ser menor o igual, porque es de maximización. La restricción (2) debe multiplicarse por -1 para que cumpla con el modelo de maximización,

luego esta restricción quedará como:

- X1 - 3X3 - 4X < - 100

La restricción (3) es una igualdad, la cual genera dos restricciones antes de ser llevada al modelo dual:

X1 + 2X2 < 40 (3.1)

X1 + 2X2 > 40 (3.2)

9

Como la restricción (3.2) es mayor o igual, se debe convertir en:

- X1 - 2X2 < - 40

Luego el modelo primal que debe ser llevado al modelo dual queda así:

Z(máx.) = 2X1 – 3X2 + 10X3 + 20X4

S.A: 3X1 + 2X2 - 3X3 + X4 < 180 (1)

X1 - 3X3 - 4X4 < 100 (2)

X1 + 2X2 < 40 (3.1)

- X1 - 2X2 < 40 (3.2)

X1 , X2 ,X3 ,X4 > 0

Este modelo primal da como resultado el siguiente modelo dual:

Z(máx.) = 180Y1 – 100Y2 + 40Y3 - 40Y4

S.A: 3Y1 - Y2 + Y3 - Y4 > 2

2Y1 + 2Y3 - 2Y4 > -3

-3Y1 -3Y2 > 10

Y1 - 4Y2 > 20

Y1 , Y2 ,Y3 ,Y4 > 0

NOTA: En el análisis dual debe tenerse en cuenta que si un modelo es de maximización, todas sus restricciones deben ser de tipo menor igual, antes de ser llevadas al modelo dual; y si el modelo primal es de minimización, todas las restricciones deben ser mayores iguales antes de ser llevadas al modelo dual.

Otros casos que deben contemplarse en el análisis dual son los siguientes:

1. Ambos modelos (primal-dual) pueden tener o no solución2. Si el modelo primal tiene solución ilimitada o no acotada, el modelo dual no tendrá solución3. Las columnas de las variables artificiales no tienen significado para el análisis dual, por lo tanto

no se deben tener en cuenta.

Tema de análisis

El estudiante debe hacer ejercicios teniendo en cuenta los casos 1,2 y 3.

Ejemplo:

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Industrias Metalmecánicas del Caribe S.A. (IMC)2 produce 2 líneas de equipo pesado. Los dos miembros más grandes de ambas líneas el RE-83 y el IM -42 generan una utilidad de $5.000.000 y $4.000.000, respectivamente. Cada producto pasa por operaciones mecánicas en los Departamentos A y B y por el Departamento C de comprobación de acabado. Se ha estimado que para el próximo mes la empresa podrá vender todas las unidades que sea capaz de producir. Se desea conocer entonces cuántas unidades de cada producto deben producirse para obtener el máximo beneficio, para lo cual se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Para la producción del próximo mes, los departamentos A,B y C cuentas con la disponibilidad de horas que se muestra:

DATOS DE PROGRAMACION

DepartamentoHoras disponibles

RE- 83 IM - 42 Total disponibleA 10 15 150B 20 10 160C 30 10 135(mínimo)

2. Las políticas de la empresa han determinado que por cada tres RE-83 debe construirse al menos un IM – 42 para mantener el posicionamiento en el mercado.

3. Por otra parte, un cliente importante de la Compañía ha hecho un pedido de por lo menos cinco productos, en cualquier combinación de RE – 83 e IM – 42, por lo tanto debe producirse como mínimo esa cantidad.

Para formular el problema, primero vemos que lo que IMC desea es maximizar el beneficio de la venta de RE – 83 e IM – 42, entonces:

Sean: X1: No. de unidades producidas de RE – 83 X2: No. de unidades producidas de IM – 42

IMC obtiene utilidades como sigue:

1. $5.000.000 X1 : Utilidad derivada de producir X unidades de RE – 832. $4.000.000 X2 : Utilidad derivada de producir X unidades de IM – 42

Luego, la función objetivo es:

Z(máx.) = 5000.000X1 + 4000.000X2

Pero este objetivo está condicionado a una serie de restricciones:

1. Por disponibilidad de horas en los departamentos. De la primera consideración se deriva una restricción de horas por cada Departamento: A, B, C, así:

Total de horas disponibles en el departamento

=

Nº. De horas requeridas por cada RE-83

+

Nº. De horas requeridas por cada RE-83

+

las que no se utilizan

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Entonces las restricciones son:

a. Por el Departamento A 10X1 + 15X2 < 150 (1)

b. Por el Departamento B20X1 + 10X2 < 160 (2)

c. Por el Departamento C30X1 + 10X2 > 135 (3)

2. Por políticas de posicionamiento en el mercado, se tiene:X1 < 3X2

Entonces X1 - 3X2 < 0 (4)3. Por cantidad mínima de producción, se tiene que:

X1 + X2 > 5 (5)

De loa anterior el modelo B se resume así:

Z(máx.) = 5000.000X1 + 4000.000X2

S.A. 10X1 + 15X2 < 150 (horas departamento A) (1) 20X1 + 10X2 < 160 (horas departamento B) (2) 30X1 + 10X2 > 135 (horas departamento C) (3) X1 - 3X2 < 0 (requerimiento mixto) (4) X1 + X2 > 5 (mínimo de productos) (5) X1,X2 > 0 ( no negatividad)

La solución óptima se encuentra en la intersección de las rectas:

10X1 + 15X2 = 150 20X1 + 10X2 = 160

Donde (X1*, X2*) 0 (4.5, 7) y:

Z(máx.) = $5000.000(4.5) + $4000.000(7)

Z(máx.) $50.500.000 Elaborar gráfica

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Sin embargo se quiere analizar el costo de oportunidad que asume IMC. Esto es lo mínimo que IMC estaría dispuesto a recibir por la venta de sus recursos escasos, para comparar los precios de mercado, estimar la actividad más rentable para vender o producir. Este análisis se pude realizar por medio de la técnica dual, para lo cual será necesaria la formulación de este modelo, a partir del anterior.

Dado que el modelo primal es de maximización, el modelo dual es de minimización. Entonces se sabe que lo mínimo que IMC está dispuesto a recibir por la venta de recursos es de $50.500.000 (Zj primal = ZJ dual), Pero, ¿de qué forma los recibe? Para explicar este análisis hay que recordar que antes de pasar a un modelo dual es necesario estandarizar el modelo primal, es decir, todas las restricciones deben ser < en maximización y > en minimización, como se muestra a continuación:

PRIMAL

Z(máx.) = 5000.000X1 + 4000.000X2

S.A. - X1 - X2 < - 5 X1 - 3X2 < 0 10X1 + 15X2 < 150 20X1 + 10X2 < 160 - 30X1 - 10X2 < 135 X1, X2 > 0

DUAL

Z(mín.) = -5Y1 + 0Y2 + 150Y3 + 160Y4 – 135Y5

S.A. -5Y1 + Y2 + 10Y3 + 20Y4 – 30Y5 > 5.000.000 -Y1 - 3Y2 + 15Y3 + 10Y4 – 10Y5 > 4.000.000

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Y1 , Y2 ,Y3,Y4,Y5 > 0

Como se ve, este modelo, por tener cinco variables, resulta imposible de solucionar por el método gráfico; por lo tanto se usan las relaciones de las tablas óptimas del primal y del dual para su solución.

Volviendo entonces al modelo primal para solucionarlo por el método simplex se obtiene:

Tabla Inicial

Cj 5.000.000 4.000.000 0 0 0 0 0 - M - MCi VB Bi X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 A1 A2

- M A1 5 1 1 -1 0 0 0 0 1 00 S2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0 00 S3 150 10 15 0 0 1 0 0 0 00 S4 160 20 10 0 0 0 1 0 0 0

- M A2 135 30 10 0 0 0 0 -1 0 1Zj - 140M - 31M - 11M M 0 0 0 M - M - M

Cj - Zj

˜ 5000.000 + 31M

4000.000 + 11M

-M 0 0 0 - M 0 0

La tabla final o cuadro óptimo de acuerdo con el método simplex es:

Cj 5.000.000 4.000.000 0 0 0 0 0 - M - MCi VB Bi X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 A1 A2

0 S2 16.5 0 0 0 1 0.35 -0,225 0 0 00 S5 70 0 0 0 0 -0,5 1,75 1 0 0

5.000.000 X1 4.5 1 0 0 0 -0,05 0,075 0 0 -10 S1 6.5 0 0 1 0 0,05 0,025 0 -1 0

4.000.000 X2 7 0 1 0 0 0,1 -0,05 0 0 0Zj 50.500.000 5.000.000 4.000.000 0 0 150.000 175.000 0 0 0

Cj - Zj ˜0 0 0 0 -150.000 175.000 0 - M - M

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