scar M. Gonzlez Cuevas es ingeniero civil egresado de la Universidad de Yucatn, con grados de maestro en Ingeniera y de doctor en Ingeniera, con especialidad en estructuras, por la Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

Actualmente es profesor de tiempo completo en la Universidad Autnoma Metropolitana (uam), Unidad Azcapotzalco. En esta institucin imparte cursos de Esttica, Diseo estructural. Anlisis estructural y Estructuras de concreto. Tambin realiza investigaciones en el campo de la reparacin de estructuras daadas por sismos y coordina el posgrado en Ingeniera estructural que ha iniciado actividades en el ao 2001. Fue fundador de la uam en el ao de 1974 y ha ocupado diversos cargos de direccin, incluyendo l de Director de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera (1979-1981), Rector de la Unidad Azcapotzalco (1981-1985) y Rector general (1985-1989).

El Dr. Gonzlez Cuevas es autor, con el Ing. Francisco Robles Fernndez, del libro Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado, que ha venido publicando esta misma casa editorial, en tres ediciones (1974,1985,1995), y que se usa ampliamente como libr de texto en escuelas y facultades de Ingeniera de varios pases de habla hispana. Ha escrito otros libros y artculos sobre Ingeniera estructural, y sobre planeacin y administracin universitaria, as como trabajos presentados en congresos nacionales e internacionales. Es miembro del Comit ^ Seguridad Estructural del Gobierno del Distrito Federal y en este carcter participa en la revisin y elaboracin del Reglamento para las Construcciones del Distrito Federal.

Entre las principales distinciones y reconocimientos que ha recibido destacan el doctorado Honoris Causa de la Universidad de Yucatn (1977), Presea Guillermo lvarez Macas de la Cooperativa de Cemento La Cniz Azul (1990), Premio "El Registro del instituto Mexicano del Cemento y d] Concreto (1999), Acadmico Emrito de la Academia Nacional de Ingeniera (2001) y Premio a la Docencia en Ingeniera CM 2001 de la Fundacin ic a . Ha sido Presidente de la Academia Nacional de ingeniera (1986-1967) y de la Sociedad Mexicana de Ingeniera Estructural (1906-1997).

Acerca del autor

Presentacin

Este libro ha sido escrito con el propsito fundamental.ge ayudar a profesores) enseflanzay el aprendizaje del anlisis estructural. Esta disciplina constituye una

dsefl"!^ dominio es indispensable para los profesionales^presas, plantas industriales, plataformas martimas, etc. El anfisis estructura? esJ las asignaturas que ms contribuyen a la formacin d los alumnos, a su enH^H de conceptos abstractos y a la adquisicin de habilidades intelectuales re^^^H profesional de la ingenierfa. Por estas razones, ha ocupado, desde hace mucho tiempo, un lugar I destacado en los planes de estudio.

Los mtodos bsicos del anlisis estructural conducen a la formulacin de sistemas de ecuaciones simultneas que, para estructuras de regular tamao, llegan a ser de grado elevado. Su resolucin por mtodos manuales consume mcho tiempo. Para solucionar este problema, se desarrollaron mtodos numricos que resultaban menos lentos, pero que seguan siendo laboriosos y propensos a que se cometiesen errores. El mtodo de Cross es un ejemplo tpico. Con l advenimiento de las computadoras, la resolucin de grandes sistemas de ecuaciones simultneas dej de ser un problema, y se regres a los mtodos fundamentales, el de las fuerzas y el de las deformaciones o desplazamientos. Pero estos mtodos se replantearon con un enfoque matricial ms adecuado a la utilizacin de computadoras. Distintos libros de anlisis estructural utilizan enfoques tambin diferentes segn el desarrollo histrico mencionado.

El enfoque seguido en este libro es el siguiente. En el primer capitulo se hace una revisin dl proceso general de diserto y se ubica a la etapa dl anlisis estructural dentro de este proceso. El capitulo 2 comprende una revisin del tema de estructuras isostticas, estudiado generalmente en curios previos a los de anlisis estructural, llamados esttica o estructuras isostticas en las escuelas de ingenierfa; el dominio de este tema es fundamental y por eso su inclusin en este libro y la recomendacin de que no se contine con los otros captulos si este no se ha estudiado a profundidad, la resolucin de estructuras hiperestticas, campo de estudio del anlisis estructural, requiere del ccuto de deformaciones de estructuras isostticas; en el capitulo 3 se estudia este tema en forma completa, aunque algunos mtodos incluidos en el libro, no todos, se ven en cursos previa*. Los captulos 4 y 5 presentan los mtodo bsicos o fundamentales del anlisis estructural: el de las faena*y el de la deformaciones, respectivamente. El mtodo pendiente-deflexin, que es el mismo de las deformaciones en sus principio bsicos, se incluye en el capitulo 6. El mtodo de Cross, ya mencionado, se presenta en los captulos 7,8 y 9, tratando por separado los casos de vigas continuas, marcos sin di*pla*amlnto lateral y marcos con desplazamiento lateral; su inclusin obedece a qu

I considera importante a pesar de que ya no se incluye en alguno programas de estudio.

El estudio del anlisis estructural resulla difcil, en ocasiones, para algunos alumnos. POr esla razn, el autor ha tratado de presentar el material de la manera mis clara posible, conservando I desde luego el rigor de la disciplina e incluyendo ol desarrollo total de las demostraciones. Se ha tenido especial cuidado de explicar con detalle aquellos conceptos que, en la experiencia del autor, son de ms difcil comprensin, aun a riesgo de caer en repeticiones. Los numerosos ejemplos resueltos so presentan en forma completa e incluyen el trazado de los diagramas de acciones, ya que es conveniente que el alumno adquiera el entrenamiento de obtener estos diagramas o Interpretarlos debidamente. Los ejemplos se presentan en hojas enmarcadas, en forma similar a la empleada en despachos de clculo, acompaados de comentarios sobre su desarrollo. Este mtododel Conctclp Retoado. Con base en varios testimonios recibidos, se considera que facilita el entendimiento do los ejemplos.

Debido a que el contenido del libro est constituido por principios y conceptos cuya vigencia tiene una naturaleza ms o menos permanente, no se |iace referencia continua a libros y artculos que presenten avances sobre el tema. SI se presenta, al final del mismo, una bibliografa con algunos textos que el autor considera de excelente calidad y que recomienda consultar siempre que sea ppsible. Algunos son libros .clsicos, como el de Timoshenko. y otros son textos modernos con cualidades didcticas y magnificas presentaciones. . ,,

El material Incluido puede constituir la base de un primer curso de anlisis estructural con duracin de un semestre, siempre que los alumnos tengan una buena base de esttica que permita que el capitulo 2 y paite del captulo 3 puedan estudiarse a ritmo de un repaso. Algunos profesores

........ > del tiempo disponible y de

paite desuticm poaiBPH contenido del libro; le ha dado la oportunidad de ensear la asignatura durante varios aos, y le ha brindado recursos materiales indispensables. El contacto con sus alumnos, ha motivado al autor a tratar de comprender mejor Indisciplina, para poderla transmitir, y lo ba Impulsado a embarcarse en la empresa de escribir un libro que contribuya facilitar su enseanza. Julio Labastida, profesor de anlisis estructural en la Universidad Veracnjzana, revis buena parte del material, especialmente de k ejemplos, y seal al autor errores y omisiones que fueron oportunamente corregidos; los que no han sido detectados son responsabilidad exclusiva de quien escribe. Juan Casillas y Jos de la Cera, profesores de ja UAM, hicieron valiosas sugerencias para mejora, el material. Y alounos alumnos han ayudado directamente al ator en la preparacin de ejemplos y en la captura dd material; ntre eUos Alejandro Viveros Vizquez, Manud Corona Locra, julio Pineda Blanca y EduantoAidto Mndez. nnatowa*. se apafcce al equipo de Umusa la confianza depositada en el autot

scar M. Gonzlez Giewson^cVfOlMaM^jm^

Contenido

Introduccin 19

2.3.1 Sistema de fuerzas paralelas en un plano 22

2.3.2 Sistema de fuerzas no paralelas2.3.3 Sistema de fuerzas concurren

tes en un plano 222.3.4 Sistema de fuerzas en el.,

espacio 22ecuaciones de condicin .-22-,vAcciones Internas 23 en periodos largos, ypueden considerarse como constantes, con un valor parecido al mximo que alcancen^ para!-fines de anlisis. Cuando el anlisis estructural se efecta con cargas permanentes, como

C a p t u l o 2

Estructurasisostticas

2.1 Introduccin / 2.2 Reacciones en los apoyos / 2.3 Ecuaciones de equilibrio /Acciones internas / 2.6 Calculo del grado de indeterminacin / 2.7 Anilisis de vigas isostticas / 2.8 Armaduras / 2.9 Marcos / 2.10 Determinacin de reacciones, fuerzasmtodo de Newmark

2.1 Introduccin

las estructuras se dividen, desde el punto de vista de los mtodos de'anlisis, en isostticas o estticamente determinadas, y en hiperestticas o estticamente indeterminadas. Las primeras son aquellas que pueden analizarse utilizando nicamente las ecuaciones de equilibrio de la'esttica. Es decir, que pueden encontrarse las*fuerzas cortantes, momentos flexionanteS,i>fuerzas normales y momentos torsionantes; a partir de

2.2 Reacciones en los apoyos

Uno de los pasos necesarios para establecer si una estructura es isosttica o hiperesttica consiste en calcular el nmero de reacciones que se desarrollan en los apoyos de la estructura. Por 1 tanto, es necesario determinar las reacciones que ocurren en los diversos tipos de apoyo que se encuentran en la prctica. 1

Los tres tipos bsicos de'apoyo se muestran esquemticamente en la figura 2.1. El iSoyO1 Simple restringe a la estructura contra desplazamientos verticales, pero permite desplazamientos horizontales y rotacioneso giros. En estos apoyos* se desarrolla una

Figura 2.2. Empotra

f e -

reaccin Vertical, R^ pero la reaccin horizontal, R^yel [nomento, Mr}son nulos. Por lo tanto slo existe una reaccin de apoyo.

El appvp articulado restringe los desplazamientos verticales y horizontales, pero permite la]rotacin. Existen poc lo tanto dos reacciones de apoyo, Rr y R^ y el momento,

El apoyo empotrado restringe los tres movimientos que pueden ocurrir en el plano: los desplazamientos verticales y horizontales y la rotacin. En estos apoyos se desarrollan tres reacciones, ft R y M .

Los casos mostrados en la figura 2.1 representan apoyos de estructuras contenidas en un plano, o sea, estructuras bidi- mensionales. Muchas.estructuras reales pueden idealizarse o representarse en forma bldimensional, aunque en realidad sean tridimensionales. Esto suele hacerse por facilidad de anlisis o porque los resultados que se obtienen en un anlisis bidimensionf no difieren mucho de los de un anlisis tridimensional. Sin embargo, en algunas ocasiones es conveniente realizar el anlisis estructural considerando el comportamiento en tres dimensiones. En este caso debe observarse que r'bn apoyo existen seis posibles desplazamientos: tres lineales y tres rotaciones. Tambln existirn por lo tanto j

seis posibles reacciones de apoyo, R , R''R , I Lailres pri/rs restringen los I

posibles desplazamientos lineales y las otras I tres, Fas'poslbes rotaciones. Ntese que la I reaccin M_ restringe la rotacin del I elemento estructural enfnVplarioparaleloa I su seccin transversal, ocasionando una torsin en el elemento. En la figura 2.2 se muestra el caso de un empotramiento en tres dimensiones en el que se desarrollan las seis reacciones de apoyo.

Todos los casos mostrados corresponden a apoyos ideales que son difciles de lograr totalmente en estructuras reales. Pan obtener, por ejemplo, un apoyo libre deben colocarse rodillos entre dos placas rgidas y reducirse a| mximo la friccin entre rodillos y placas para que las fuerzas horizontales sean mnimas. An as es prcticamente imposible lograr un apoyo libre perfecto. En un apoyo articulado, es necesario colocar una rtula o un cojinete que pueda girar con una friccin tmbfn muy pequea. Los empotramientos requieren de elementos de apoyo muy rgidos o masivos para restringir la rotacin de los miembros estructurales que llegan a bichos apoyos; aunque en algunas ocasiones, los empotramientos se logran por condiciones especiales de simetra, como en I caso mustiado en la figura 2.3. La viga

&. ecuaciones llamad ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones dependen de las caractersticas del sistema de fuerzas. A continuacin se analizan los casos ms comunes.

23. 1 Sistema de fuerzas paralelas en un pji-estructuras planas sujetas nicamente a cargas por gravedad. Las cargas y las reaccio-

l f r = 0 y lMom 0 T i ldonde I f representa la suma de las cargas verticales, o sea, paralelas al eje Y, y ZMe representa la suma de momentos alrededor de cualquier punto situado en el plano en que estn contenidas las fuerzas. En. forma alternativa se pueden plantear dos ecuaciones de equilibrio que expresen la suma,de momentos alrededor de dos puntos distintos A y 8, pero el nmero de ecuaciones no se altera:

LUa 0 y LMe = 0 (2,2)

2.J.2 Sistema de tuerzas no paralelas en un plano. Cuando en.unai,estructura plana actan cargas en distintas direcciones, estas tuerzas y las reacciones de apoyo constituyen un sistema de fuerzas no paralelas. Se tienen en este caso tres ecuaciones de equilibrio:

l f , = 0. l f f = 0, IMo0 (2.3)

donde ZF, es la suma de fuerzas paralelas al eje X y los otros trminos han 'flor definidos. En forma alternativa, el sistema (2.3) se puede plantear en la forma

U O 0, thtmO y ZM,mO (2.4)

siempre y cuando la Ifnea que une los puntos A y 0 no sea perpendicular al eje Y, o bien, en la forma

Z M ,-0, ZMb = 0 Y SMc mQ (2.5) siempre y cuando los puntos A, B y C no

2.3.3 Sistema de fuerzas concurrentes en un plano. Las ecuaciones de equilibrio para un sistema de fuerzas comprendidas en un plano y que adems concurren en un punto, puede expresarse de las tres maneras siguien-

Zf, rn 0 ,, l f f =. .... (2.6)

siempre y cuando el punto A no est situado sobre la recta perpendicular al eje V que pasa por el punto de concurrencia, y

, Mg.4( ^ (2.8)

siempre y cuando la.recta que une los puntos A y B no pase por el punto de concurrencia de las fuerzas.

2,3,4 Sistema de fuerzas en el espacio. Este es el,so ms general y se presenta en estruc- turas tridimensionales con cargas no paralelas. Se tienen seis ecuaciones de equilibrio:

, . E%=0, Zfr m0, i ,ll'M, = 0, !Mr -0 , lMt = 0 (2.9)

donde EF, es la suma de las fuerzas paralelas l eje Z, IlWt, ZM. son las sumas de momentos alrededor de los ejes X, Y y Z, respectivamente, y los otros trminos han sido definidos.

2.4 Ecuaciones de condicin

Algunas estructuras poseen caractersticas especiales que permiten plantear ecuaciones

. Las articulacin

placimiento lineal relativo de las partesq concurren en la articulacin sin permitir que ; ' i Las ecuaciones

la fuerza cortante es nula en estas articObsrvese que en las'articulaciones

aunque l momento flexionante sea nulo, existe fuerza corlante,

___ i que en las articulaciones de cetante, no hay fuerza cortante pero s hay m ment flexionante.

[iasS

Figura 2.5. Vigas articuladas

2 5 Acciones internas

En el interior de los miembros estructurales se desarrollan acciones que pueden ser fuerzas normales, fuerzas cortantes; momentos flexionantes y momentos torsionantesi En este texto se tratan principalmente los tres primeros tipos de acciones; que son los pie- dominantes en estructuras planas.

En la figura 2.6 se indican estas acciones Interiores y la convencin de signos que se sigue en el texto. La figura 2.6a muestra un tramo de un miembro estructural en el que se hace un corteen la seccinala. Existen dos maneras de analizar lo que sucede a ambos lados de este corte. En la primera manera, simplemente se separan los dos Cuerpos libres y so analizan las fuerzas in

ternas en las caras.adyacentes al corte, figura 2.6b. En la segunda manera, se considera que entre los dos cuerpos libres queda un elemento de longitud diferencial y se analizan las fuerzas internas que actan en este elemento diferencial, figura 2.6c. _.

Las fuerzas normales se consideran positivas cuando producen esfuerzos de tensin en las caras de los cuerpos libres en la seccin a-a, o bien, esfuerzos de tensin en el elemento diferencial, figura 2.6d. Las fuerzas normales positivas tienden entonces a alargar a los miembros estructurales y se representan por vectores que se alejan de las caras de los cuerpos libres o de los elementos diferenciales.

En ja figura 2-6e se muestra la convencin de signos para fuera* cortante. Es posi-

libre de la izquierda y hacia amba en el cuerpo libre de la derecha, o lo que es equivalente, hacia arriba en la cara izquierda del telemento diferencial y hacia abajo en la cara derecha. 'Una fuerza cortame positiva tiende a desplazar hacia abajo el cuerpode la izquierda.

> flexionante se indica en.la figura 2.6f. Un

compresin en las fibras superiores de los miembros o del elemento diferencial y de tensin cmlas fibras inferiores. Por lo tanto, un miembro estructural sujeto a momento flexionante positivo se deforma de tal manera que tiende a ser cncavo hacia arriba.

i Q r

. ( >

figura 2.6, Convencin de signo para las Se

ato, si Ins cargas fuesen todas verticales, ha- porque al qulllbrlo y una sola ecuacin de condicin, ecuacin 2J la armadura es estticamente indeterminada. La diferencia indica el grado de Indeterminacin. Por el con- trario, si r + b < 2/, la armadura es inestable. I

Estas tres condiciones pueden entonces I resumirse de la siguiente manera:

Si t + b = 2, la armadura es isosttica

SI (r + b) > 2j, la armadura es hiperesttica

Si (r b) < 2j la armadura es inestable.(2.12)

Obsrvese que una armadura puede ser isosttica externamente e hiperesttica internamente o viceversa. Desde luego, que tambin puede ser hiperesttica tanto internamente como externamente, las ecuaciones 2.12 son vlidas para todos los casos e indican, en su caso, el grado total de indeterminacin. Ntese tambin que al contar el nmero de nudos, o nodos como igualmente se denominan, deben incluirte los localizados en los apoyos.

Ejemplo 2.2

Se ilustra el clculo del grado de indeterminacin de dos armaduras. La primera, es una

apoyado y dos articulados. Por lo tanto, e

- de condicin, C, el grado de indeterminacin externa que se obtiene con las ecuaciones 2.10 es de 2. j POr otra parte, al aplicar las ecuaciones 2.12 se obtiene un grado de Indeterminacin to-. tal tambin de 2, ya que el nmero d nudos, /, es de 10, el nmero de barrras, b, es del7yelnme

sponde al de indetermina

m% f ;

1

p y y j 1

i H-

J

i

Figura 2.8. Clcalo del grado de indeterminacin en mx //ffs/Js / $ } ) / /rfsft? ^ /tVs/Js

4 . 1 4 A -

i B B & ------------------ h

/ / / / / / /

. H S H* --------1 H

^ r-------------- i --------------- r y - y - y - y ^ o ./ t ^ S B

2.6 En cada una dlas vigas del problema 2.4 establecer las funciones que representan la fuerza corlante y al momento flexionante, y trazar los diagrama correspondientes. Determinar en cada caso el yalor del; momento' fisionante mximo y la leccin en

2.7 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en los mteos del problema 2.52.8 Obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en las siguientes vigas por el mtodo de Newmark.

Figura 3.2. Deformaciones de

dinales, alargamientos o acortamientos, en las columnas y en las vigas del marco. Esta hiptesis es usual porque las deformaciones producidas por los momentos flexionantes

ducldas por las cargas axiales. Tambin son mayores que las producidas por fuerzas cortantes. Por eso en los mtodoi cjue se-vern ms adelante slo se consideran dcformacio-

bros estructurales tienen los tres tipos de deformaciones y en algunos casos es conveniente calcular los otros dos.'Los mtodos correspondientes caen fuera del alcance de este texto.

Aunque en este capitulo se presentan mtodos para el clculo preciso de deforma-pera trazar la forma aproximada de estructuras

secciones A~A y B-B separadas una distancia infinitesimal dx. Se supone, en esta teora, que al deformarse la viga sus secciones transversales continan siendo planas, bfpMtit conocida como de uler-Bemoulli. Por lo

tanto, en la figura 3.3-b, donde se muest I, viga deformada, se Indica que las don A y B-B ya no son paralelas, p,,. siguen siendo planas, por lo que estn presentadas por lneas rectas.

H * r

Estas dos ecuaciones permiten obtener las deformaciones de una viga elstica en funcincin de x, aunque-en, algn caso puede ser constante. El mdulo de elasticidad es tambin constante en Ja mayorfa de los casos a lo largodelaviga. El momento de inercia es cons-

como funcin de x. Debe recordarse que estas ecuaciones slo son vlidas para deformaciones pequeas producidas exclusivamente por flexin, y para vigas de material de comportamiento lineal y elstico, de acuerdo a las hiptesis hechas durante su deduccin. La viga deformada que cumple estas condiciones sue-

Las rotaciones* 0, y las deflexiones, y, de una viga puedeo. calcularse integrando las ecuaciones 3.17 y 3.18 obtenidas en la seccin anterior.-La primera integracin pro- porciona las. rotaciones y la segunda,, las deflexiones. Al llevar a cabo estas integraciones aparecen constantes de integracin que deben determinarse a partir de las llamadas condiciones de frontera* que vienen siendo valores de las deformaciones que dependencondiciones de continuidad de la viga Por ejemplo, en un empotramiento la rotacin dla viga y su deflexin deben ser-nulas; en

ftfnra 1A. Convencin de Ugnot

un apoyo llbrp, po#d* haber rotacin peto no deflexin; en vna viga simtrlcaen carga y geometra la rotacin al centro del claro debe ser nula. Las condicione* de contnui- dad se establecen comldenndo que la curva elstica debe ser continua, a menos que baya circunstancias especiales que permitir

por ejemplo, una articulacin Intermedia permite una discontinuidad en rotacin. En fin. estas condiciones de frontera o de continuidad deben ser determinadas en cada caso particular. El trazo aproximado de la viga deformada o curva elstica resulta til para hacer esta determinacin.

En cuanto al momento M que aparece en las ecuaciones 3.17 y 3.18. y que como se ha dicho generalmente es una funcin de . debe revisarse el intervalo de validez de las funciones. En los punios de aplicacin de cargas concentradas cambian las ecuaciones correspondientes al momento. Ei trazo de los diagramas de momento flexionante ayuda tambin para llevar a cabo esta revisin.

CONVENCIN OE SIGNOSEn la figura 3.4 se ilustra la convencin de signos, congruente con la convencin para momento flexionante del capitulo 2 y con la deduccin de las ecuaciones 3.17 y3.18de

muestran en la figura 3.4-a son positivos y hacen que la viga se deforme con una concavidad hacia arriba. Los ejes de coordenadas indicados en la figura 3.4-b son positivos y coinciden con los deja figura 3.3-a. En al tramo de yjga A-B de la figura 3.4-b crecen los valores de y y de x, o sea, tamo dy como

y sern positivas hacia arriba y las rotaciones 8 sern positivas cuando el giro sea antihorario (contrario A las manecillas del reloj) segn se muestra en la figuro.

Ejemplo 3.TSe obtienen expresiones para calcular I* rotaciones y deflexiones en un voladizo*, jejo j carga uniformemente distribuida. Se supone que la seccin transversal es cons. lame por loque tambin lo es el valor de (

En primer trmino se ha trazado lactata elstica en forma aproximada, en la cual puede ver que tanto la rotacin como U deflexin deben ser nulas en el empoia. miento. Despus se obtuvo el momento flexionante en el empotramiento coa h expresin iv/J/2 y la ecuacin del momia,lo flexionante en cualquier seccin que re-

A continuacin se aplicaron las co dones 3.17 y 3.18 sustituyendo el valor* M por la funcin anterior. Obsrvese que la primera integracin aparece una conjunte de integracin C, que hay que incluir el Integrando de la segunda integral. Deesa manera en la expresin para 8 aparece U constante C, y en la expresin para y aparecen esta misma constante y una nueva surge al realizar la segunda integracin, C,- Las dos constantes pueden obtenerse a partir delasdos condiciones de frontera 8^= y Ya O- Para este ejemplo ambas consta les resultaron nulas.

Ya obtenidas las constantes de *1* cln, pueden plantearse las ecuaciones Salles para calcular la rotacin y la deflexin1 cualquier punto de abscisa x. Estas cuati- nes quedan en funcin de Cl, que f> **constante se tactoriz en la Integracin,

que quedar expresada en radianes, o* deflexin, que quedar en unidades degjj gltud, debern sustituirse los valores pondlenteede x y de El. Ya que la cargt

DIAGRAMA DE MOMENTOS f LEXIONANJES

CLCULO DE ROTACIONES Y DEFLEXION

- / I '

t i l (-9x + 3x2-^- + C,)(ia-ei|

oueion 1 la mlud riel duo: x > 1.5 b,

[-9(USI+0.5)2- . l j iJ .-Z

EJEMPLO 3.2. CALCULO DE DEFORMACIONES EN UNA VIGA LIBREMENTE APOYADA POR EL MTODO DE INTEGRACIN

EJEMPLO 3.2 (continuacin)DIAGRAMA D MpMENTOS FLEXIONANTES

CALCULO OE ROTACIONES Y DEFLEXIONES

Para0sxs2

I >11 Cl y El y , . i

y / i^ A ' s (&+c,)* _ s ( ! x+c,x+Ci)

Pan l x s

d-(30Jir.2*J+C),

11 f ljjd x I g j(30x - Ix'+Cjldx - l i l i tCjX+Q)

EJEMPLO 3.2 Icontinuacin) -----CONDICIONES Di FRONTERA

g |(0)+C|(ffl + C20 '

1SW* - |(6)+Cj(6)+Ci = o

360+ 6Cj+4 =0

CONDICIONES DE CONTINUIDADSi x=2, los valores de 9 y y son iguales en los dos intervalos

5B), +C,-3

E S i s E

I c I Segmento de parbola de segundo grado w arga uniforme

,lpm ** | | | V dto.ncia cenlroldal 1 alguna, figura.

n enire fly C Sccdnenlie Ay 8 |

Cajcular la.roUcMn en C. la deflexn en B y la deflexin en t

CURVA ELASTICA

k ^ w a . | H

es igual al ren del diagrama M/ll entre A y C. o sea, media parbola. Esta rea se ha calculado con la ecuacin de la figura 3.6*6.

La deflexin Ac, igual a la desviacin tangencial tA por el segundo teorema, es el momento de primer orden de la misma me-punto cuya distancia a la tangente trazada por el punto C se quiere determinar. Pra calcular este momento se multiplic el rea de la media parbola por la distancia centroidal

ir, pues se utiliza con mucha frecuencia.

riormnte. SA es el momento de toda la parbola respecto al punto> Byel centroidetringulos semejantes. Y es el momento del segmento de parbola entre A y D, respecto lDfI cual se calcul' con las ecuaciones de la figura 3.6-c. Ntese que el valor de AD result menor que el de comose infiere de la forma de la curva elstica.

Respecto a los signos en este ejemplo, obsrvese que como el momento es positivo, 6,"-resulta tambin positiva. Este signo es con-

De la misma manera tc resulta positiva, y en efecto, el punto A est arriba de la tangente en C. Esto indica que el punto C se desplaza hacia abajo. Lo mismo sucede con

BSsM? 011X5 DEFORMACIONES EN UNA VIGA LIBREMENTE jAPOYADA POR EL MTODO DE LOS TEOREMAS AREA-MOMENTO

g g 1

"

B B I

I

H B l f ih I Ih I "p i U i i l i .

l c1 Viga conjugada con la carga elstica

Figura 3.7. Viga real simplemente apoyada y viga conjugada

mostrado en la Seccin 3.2 que la rotacin 8 y la deflexin y de sta viga pueden calculan* con las ecuaciones 3.17 y 3.18 que fe reproducen a continuacin:

* J B * 0.17)

>

Supngase ahora que a otra viga. * Igual claro, *e la aplica como caiga el dg ma de momento flexionante dividido ** la rigidez f, como se indica en la figura J c. (Al plantear mis adelante la comcnc* de signes se explica por qu se coloca I

flexionante llenen un valor diferente de cero, mientras que en el extremo libre de la dere- cha ambo valores son nulos. Por el contrario, en el extremo Izquierdo la rotacin y Ja deflexin son nulas, mientras que en el extremo derecho tienen un valor diferente de cero, figura 3.6-c. Ahora bien, si la viga conjugada atuviese empotrada tambin en su extremo izquierdo, la fuerza corlante y el momento flexionante serian nulos en el extremo derecho, lo cual Indicara que en este extremo no hay ni rotacin ni deflexin, lo cual no es cierto como se Ve en la figura 3.8- c. La explicacin de esla discrepancia radica en que las constantes de integracin de las ecuaciones 2.15 y 2.17 son diferentes a las de las ecuaciones 3.1'7 y 3.18, porque fas Condiciones de frontera son tambin diferentes, excepto en la viga libremente apoyada en que coinciden. En efecto, en esta viga la fuerza cortante llene un valor diferente de cero en los apoyos mientras que el momento flexionante es nulo; en los mismos apoyos la rotacin es diferente de cero mientras < que la deflexin es nula. Peto no sucede asf en otro tipo de vigas, como se acaba de ver para el voladizo de la figura 3.8. Por esta ra-'

libremente apoyada sigue siendo vlida, sim- pre y cuando se modifiquen las condiciona de apoyo de la viga conjugada respecto a las de la viga real, como se muestra a comi

za crtame; si hay-deflexiones en la viga It)| I debe haber momento flexionante enlavj^ I conjugada; si por el contrario no hay eg) I

momento flexionante, ______acuerdo con este principio, se muestran en I la figura 3.9 las vigas conjugadas que con. | j

continuacin se muestra cmo se ha aplica, i do el principio general enunciado para la I apoyos de estas vigas.

Extremos libremente apoyados. Como pe- I mitn glroi y nq permiten deflexiones, en li I viga conjugada deben ser apoyos libres, ya que en stos hay. fuerza cortante y no hay I momento flexionante. Es .el caso de los dos I apoyos de la viga real (a), riel extremo izquiadn H de viga real (d) y de los extremos derechos de I las vigas reales (ftylgl. En todos estos casos, I

Extremos libres. En las vigas reales hay giros y deflexiones. Por lo tanto, en los apoyos dr la viga conjugada debe haber fuerza cora te y momento flexionante. El empotran** es el nico apoyo que cumple estas condiciones. Es el caso del extremo derecho de b viga real (b) y del extremo derecho delaviga real fef) que en sus respectivas vigas conju* gadas se han'iransformado en empoto*

El principio general para modificar las

I1 1 i

a l td t^

I----- -----Hpn .9. vrm coiijugid

1 Viga conjugada

* A .

litis

EJEMPLO 3.6 (continuacin)

Diagrama de V

Para el caso A:

Caso B

Diagrama de MfCI

Diagrama de MU

t r m i r Cip conjugada con *u caiga

* - ! -

B U" - i "

l i

2 T S S s : ' ^

Calcular las relaciona y las deflexiones en los punios ByC.Entre A y C la viga es una IR de 305 mm X 66.9 kg/m. 1=14568 cm4 Entre C y D la viga es una IR de 305 mm X 96.7 kg/m,/-22185 an4

APLICACIN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

Calculo de reacciones:

A l.52^ ,Corunte y momento flexionante en el punto B:.

^ s ; V* " " 5 p b .. ^

| 3 g S S Cenante y momento flexionante en el punto C: ,*V

V* l32fe^J3':8b l-52|>

*>,~ ' j ^ ( >

Deformaciones totales

Esquema efe deformaciones para el caso 8:

3.6 Mtodo de ewmark

En la Seccin 2.10 se present el mtodo de Newmark para el clculo de fuerzas cortantes y momentos flexionantes, y se dijo que era especialmente til para casos de cargas irregulares.7 El mtodo puede ampliarse al clculo de rotaciones y deflexiones. Una manera sencilla de hacerlo es combinndolo con el mtodo de la viga conjugada. Ya que este mtodo, como se vio en la seccin anterior, se basa en el clculo de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en una viga conjugada, el mtodo de Newmarle puede usarse para calcular exas fuerzas y momentos, de la misma manera que se vio en la Seccin 2.10. El mtodo es

ga cargas sencillas, las cargas que se aplican a la viga conjugada, que son el diagrama de M/Ef, ya resultan o w en el ejemplo 3.7 que se acaba de presentar. En el ejemplo 3.8 se ilustra la utilizacin del Mtodo de Newmark para resolver lamano que no es de esta manera en la que se

Se trata de un voladizo con cargas concentradas y se pide obtener las rotaciones y las deflexiones en los puntos de aplicacin de las cargas. Se empieza por calcular los mo-vio en ia Seccin 2.10. Se sabe que en el extremo del voladizo la fuerza cortante y el momento flxionate son nulos, por lo quetear una configuracin correctiva. De esta ma-dd rengln 5 de la parte superior del ejemplo.jugada, que es un voladizo empotrado en elga con el diagrama de M/B. Como los momentos flexionantes resultaron negativos, las cargas en la viga conjugada son hacia abajo,ha venido usando. Ahora se calculan las fueren esta viga. Los valores del rengln 2 representan las cargas distribuidas en las secciones

| i

peundo con valores nulos en el extremo de-

las rotaciones 0 en las secciones de aplicacin de las cargas concentradas, y los valo

res de M del rengln 7, las deflexin estos mismos puntos. Desde luego que |, rotacin y Ja deflexin en el empotramiM

medio en los tramos respectivos; son la, pendientes de las secantes que van de un &tremo a otro del tramo en la viga deformadaObsrvese que si se sustituye el valor defi en ton-m2, las rotaciones quedan en radianes y las deflexiones en m.

EJEMPLO 3.8. CALCULO DE LAS DEFORMACIONES EN UN VOLADIZO POR ' i EL MTODO DE NEWMARK Y LAVICA CONJUGADA

I B

M

1 ,' .

B S g g l M i

i s s

t e i i

| j

l y lS I # ! ' 1 I aJ H

EJEMPLO 3.8 (continuacin)

Ei Mtodo de Newmark para l'clculo de deformaciones puede plantearse sobre la base de consideraciones puramente geomtricas y es as como resulta ms prctico^ y eficiente. Considrese un tramo de una curva cualquiera, como la mostrada con trazo grueso en la figura 3.10, que puede ser un tramo de una viga deformada. En este tramo se han marcado tres secciones a, 6 ye, las tangentes a la curva en estos tres puntos y las secantes o cuerdas que unen los puntos con lineas rectas. Entre los puntos a y b, la pendiente de la curva va cambiando gradualmente, de tal manera que el cambio angular total serfa el ngulo formado por las tangentes en ambos puntos, En la figurapuede verse que este ngulo es igual a la suma de los ngulos formados por la tangentes y las cuerdas

figura 3.10. Construccin geomtrica para el mtodo de Newmarlcxin de la curva en algn punto, ptobtenerse las rotaciones y deflexiones*otros pumos como se ndica En una labia, como la most 3.10, se anotan en el primer gulds. concentrados equlva conoce Q la pendil puede obtenerse sumando a"

ve en el detalle del punto a mostrado*!* parte inferior de la figura (obsrvese q**1 como est la figura, el ngulo es negtj' vo porque el giro de la tangente o la c< llene sentido horario). A eominuact puede obtener la pendiente de li M en b, 0j sumando el ngulo concern equivalente ate a la pendiente ya Sus

rr* . &(3ac * 10a6-a,) (3.32)

0 .^^170^+606-0,1 (3.33)

como la suma de y de se puede usaruna ecuacin equivalente a la (2.29):

En esle ltimo caso, las longitudes de los tramos debern ser iguales.

los ngulos concentrados equivalentes, se

requera conocer la rotacin y la defina, algn punto de la viga. Esto puede dedcele las condiciones do apoyo de la viga. ^ ejemplo, si es un voladizo como el deleja,,, po anterior, la rotacin y la deflexin son ^ las en el empotramiento. Si no se cotitxenen ningn punto, entonces se supone un valor cualquiera en uno de los apoyos, y despus revisan las condiciones de deformacin en otro apoyo. Si son Incompatibles con las res. fricciones que Impone este apoyo, se intrate una crn figuracin correctiva, en forma teme. |ante a como' se haca en el clculo de tozg

Clculo de deformaciones, las configuraba** conectivas se basan en las restricciones a defe macin en los apoyos, como se ilustra en la ejemplos siguientes.

En resumen, el mtodo aplicado al clalo de deformaciones es igual al mtodo aplicado al clculo de fuerzas cortantes y niomenttt flexionantes si se hacen las siguientes

Se calculan las deformaciones en el voladizo del ejemplo anterior, pero sin plantear la viga conjugada, sino que usando las consta deraciones geomtricas planteadas en lo

al a la del ejemplo 3.8

plemente se ha factorizado a la derecha I los valores de este rengln son iguales a lq_ del anterior. A partir de las curvaturas a se han calculado en el rengln 7 los ngulos concentrados equivalentes a. Ya que las cargas de la viga son concentradas, el diagra- L ma de momentos es lineal, y el clculo debe hacerse con las ecuaciones 3.27 ^,28..Por; ejemplo, el valor de -22'.50 se ha calculado con la ecuacin 3.27 de la siguiente manera:

a j j-i|g[21-0.50)+(-8.00l|. "-I1

A la derecha del rengln se ha factorizado el 1A.Despus se han calculado las rotacio

nes de las tangentes a las secciones, 9 ylasrotaciones de las cuerdas 6 (vase la figura 3.10). Para hacer este clculo, se parti del valor conocido de 6 en el empotramiento, ya que se sabe que es nulo. Este valor conocido se ha encerrado en un cuadro en el ejemplo. Al valor de 8 en el empotramiento se le sum el valor de a,en el mismo empotramiento. como muestra con la pequea flecha que va de O .a r-41.25. Elyalor que se obtiene es el de la rotacin de la cuerda 0 en el tramo 3-4; como se est sumando de derecha a izquierda, se debe cambiar el gno. igual que en el clculo de fuerza

a la pendiente de la cuerda en el tramo 3-4 se le suma el ngulo equivalente a a la

de este ltimo por ir de derecha a Izquierda. Se obtiene asf el valor de +63.75, que es la rotacin d la tangente a la seccin 3. Se con-

' tirilla d la misma manera hasta completar los renglones 8 y 9.----Tenindolos valores de las rotacionesde las cuerdas 8 se multiplican por las lon-

, gitudes de |os tramos, h, con lo cual se obtienen los incrementos de deflexin Oh, como se ha explicado en referencia a la fi-

- deflexiones'/? se empieza con un valor de 0 : en el empotramiento y se van sumando los

incrementos Oh, hasta llegar al extremo del Wldizo, rengln 11 .

Se puede ver en este ejemplo la equivalencia entre el clculo de deformaciones y el de fuerzas cortantes y momentos que

tribuida en cada seccin, p. Los ngulos equivalentes a a las cargas concentrada equivalentes P. Las rotaciones 8 y 8 a las fuerzas cortantes en las secciones y en los tramos, respectivamente. Y las deflexiones y, a los momentos flexionantes M. Haciendo estos equivalencias, la secuencia de los clculos es la misma, pero es importante observar que las condicione de frontera(son diferentes. Mientras que en el clculo de fuerza cortantes y momentos se parti de lo valore conocidos de V m 0 y M Oen el extremo libra del voladizo, en el clculo de deformaciones se parti de los valores conocido 0 y y 0 en el empotramiento.

,9. CLCULO DEL VOLADIZO POR EL MTODO DE NEWMARK (VERSINI I

v'"g i l I R

B E T & , .

M::0* '

p i

En la figura 3.11 se muestra el significado fsico de algunos de los valores que se han obtenido en el ejemplo 3.9. Con lneas llenas se ten tazado las cuerdas que unen las secciones de la viga deformada y con lneas puntea* das, bs tangentes alas secciones (por claridad de la figura no se muestra la viga continua deformada). Empezando con la seccin *. el ngulo equivalente de *41.25 proporciona la rotacin de la cuerda 3-4, ya que la pendiente es nula en el empotramiento. Esle valor, su

mado al ngulo equivalente de-22.50, amBj con signos Cambiados, permite obtener rotacin de la tangente en la Seccin 3 a la horizontal, o sea,' +63.75. Continan* las sumas hacia la izquierda, se llega1 rotacin en el extremo dei voladizo de Obsrwse que esta rotacin debe ser_poS** de acuerdo con la convencin de sijg ** que la rotacin d la horizontal a la jaffijS en la seccin 1 es en sentido antihorario, if | deflexin en el extremo del voladizo iW*1* ;

0 - g ;

le las deflexiones, los ngulo equivalenteso se calcularon con ia ecuacin 3.3*1 que da el valor del ngulo equivalente total en cada seccin. Por la misma razn, no es necesario calcular los ngulos equivalentes en los apoyos, ya que no se requieren, como sedeflexiones. Desde luego que se pueden calcular los ngulos equivalentes a cada lado de la seccin y en los apoyos con las ecuaciones 3.30 a 3.33, pero aumenta la la-este ejemplo' el diagrama de M/EI no es Il

la ecuacin 3.34 se muestra a continuacin el clculo del valor de +28-43 del rengln 10 y la seccin 2:

Al iniciar el rengln II se encuentra que no se conoce la rotacin en ningn punto de la viga. Se supuso entonces una rotacin cualquiera 0*en el tramo 1-2, e este caso de

po. A partir de este valor, ya se puede ca leular lodo el rengln; sumando a los valores de V, los valores de o, como se muestra con las Aechas pequeas. Despus se calculan las deflexiones en el rengln 12, iniciando con un vajor conecto de 0 en el apoyo izquierdo, y sumando los valores de V del rengln anterior; no se ha calculado un rengln con los valores de Vh. porque h es constante en este ejemplo. Al terminar el rengln 12, se llega a una deflexin de +80.16 en el apoyo de

recho, la cual (Incorrecta ya que dcbc^ l nula. Esta Incompatibilidad de deformaaj, en el apoyo derecho se debe a que el val* supuesto de (-28.43) no es correcto. FUreso se obtiene una viga deformada como la mo$. trada en la parte Inferior del ejemplo, sefa. lada con y', en la cual hay una deflexinderecho de +80.16. Es necesario in iHH entonces fcn'a configuracin correctiva con la sealada con y en la parte Inferior del ejemplo, con un deflexin de -80.16 en extremo derecho, para anular la Incompjti. bllldad, y 0 en el extremo izquierdo, ya que aquf el valor lnldal es el correcto. Lo que n. dlca la configuracin, correctiva es que valor de 0 en el apoyo izquierdo noen d (-28.43), como se supuso, sino que dete ser (-28.43 - 20.04 =-48.47). El valor di -20.04 se obtiene dividiendo el valor dey en el apoyo derecho entre los cuatro tramos de la viga. El lector puede comprobar que a se inicia el rengln 11 con -48.47, se llep a una deflexin nula en el apoyo derecha-

En este ejemplo se puede ver la equin- Ienca entre las configuraciones comcM para cortantes y momentos, y para f nes y deflexiones. En las primeras, se yen las reacciones que debe haber en te apoyos, mientras que en las segundas, se tituyen las condiciones de deforraacidna los apoyos. Tambin se puede ver la cidad del Mtodo de Newmarfc en cooptacin con los mtodos analticos, sobe 6 para cargas irregulares. La resolucin dees* problema por alguno de los mtodos antfr ores conduce a ecuaciones y clculos complicados, ya que la ecuacin del aj ma de momentos y la de M/ff son fund* difciles de operar.

ejemplo, el valor de -20 a la dendia .^' seccin 4 Calcul como: 1 '

20, el momento en la articulacin, seccin

lores se han encerrado en un cuadro, para

do con los pequeos nmeros 1,2 y 3, respectivamente. SI ahora se suma almomento .cero en la seccin I, el valor de Ven el Ira-' mo 1-2, se obtiene el valor de M = -5 en la seccin 2, que tambin se ha encerrado en un cuadro. Si los valores de M nlas seccO-

el clculo de fu

valor de V en la seccin 2-3 tiene que ser +5, ya que slo asi se puede pasar de M=-S en la seccin 2aM~ 0_en la seccin 3. Ya teniendo este valor de V en el tramo 2-3, se puede completar el rengln 3 de la tabla sumando las cargas de izquierda a derecha; por ejemplo, el valor de -5 en el tramo 3-4 es la suma de +5 en el tramo 2-3 y la carga de -10 en la seccin 3. Y ya teniendo completo el rengln 3. se puede completar tambin el rengln 4 sumando los valores de. V a partir del momento en la seccin 3. De esta manera ya se tiene el diagrama de momentos.

El rengln S de curvaturas tiene los mismos valores del rengln de momentos, ya que 1 es constante. Debe observarse que este dgrama es lineal, poique las cargas son concentradas. as que los ngulos equivalentes a del rengln 6 se deben calcular con las ecuaciones 3.27 y 3.28. Aqu se han calculado g ambos lados de cada seccin, para obtener todas las rotaciones y porque hay una discontinuidad angular en la articulacin Interior. Po

Los renglones 7 ySpuedeninicianecH el valor de O = O en el empotramiento, cn 6. Despus se van sumando losvalog dea de derecha a izquierda cambindoles d signo. De esta manera se pueden coi^ fc* dichos renglones hasta el valor de e en las, cin 3 ydeenel tramo 3-4. NoesposHeo tinuar sumando haca la izquierda porque como ya se dijo, hay una discontinuidad! guiar en la articulacin localizada en la I seccin 3. Lo que sf se puede hacer es empu I .calcular los valores de las deflexin, rengln 9, empezando con y O en ti empotramiento. Sumando los valores deldt derecha a izquierda, se puede llegar bastad valor de y en la seccin 3; todos estos vaina se han encerrado en un cuadro. Ahora bfei se sabe que y=O en el apoyo de la seccin 1 Entonces, a partir de los valores de y en te secciones 2 y 3 se puede obtener el valor del en el tramo 2-3, el cual debe ser de -3 Teniendo este valor ya se pueden compkur los renglones 7 y 8 .sumando los valores dei de derecha a izquierda con sign cambiado. Finalmente, se puede obtener el valor de y* el extremo del voladizo, sumando el valorde 8 en el tramo 1 -2{li valor nulo de y en el yo de la seccin 2.

En la parte inferior del ejemplo se mu**- tra la forma de la viga deformada, enlaq* puede verse la discontinuidad angula? jg

corresponde al lado derecho de la articula# ya que se calcul sumando los valores

ciu 3. Estos valores de 0 se han sealado en la figura de la parte Inferior del ejemplo. Obsrvese que los signos estn de acuerdo con la convencin empleada.

Es importante observar en este ejemplo mr lo que cada caso particular dlo Introducirlas y cmo deben ser.

h b

i : p

.,.v(?).

w m e . m i i V ' f - .

|p]f i'nlf ton I '

Aguio adeb, y la nueva fuerza aplicada P,. un Irabajo igual al rea del tringulo ac&, vanse las figuras 3.12-c y -rf. Esto se explica por*constante mientras la barra sufre el alarga*

aumenta su valor desde 6 hasta Pr El trabajo realizado' en esta segunda etapa por P0 ser

jn Es importante'observar la diferencia I enUe el trabajo realizado por una fuerza que I mantiene constante su valor, y el realizado por I otra que lo aumenta uniformemente, o sea, I que se aplica gradualmente.I Si en vez de una barra aislada, como laI de la figura 3.12, se tiene una estructura con varas cargas aplicadas, cada una de ellas desarrollar un-trabajo extemo igual a la magnitud de la carga por la mitad de su desplazamiento. si las cargas se aplican conforme se deforma I* estructura; o Igual a la magnitud de la carga por todo el desplazamiento. si las cargas se aplican previamente aldesplazamiento. ' \

virtual, como kilogramos o toneladas; Y las deformaciones dt en cada miembro se pueden calcular con la ecuacin 3.42 de la Seccin 3:7.4; observando que el trmino & de dicha ecuacin equivale al trmino d de la figura 3.14 (es la deformacin axial de un elemento); que la carga P0 equivale a las fuer-

miembro de la armadura, las cuales pueden calcularse, por lo tamo, resolviendo la atma> dura de la figura 3.15-a; que el trmino A viene siendo el i'ea de la seccin transversal de cada miembro de la armadura: y el trmiL no . M mdulo de elasticidad ameipondlen* le. Haciendo las equivalencias mencionadas,te ecuacin general 3.52 te transforma en la siguiente ecuacin para calcular deflexiones m armaduras producidas por cargas:

y II5K3t

s, resumiendo lo explicado an

V, deflexin en el punto de aplicacindela carga virtual unitaria, en la diftt* cin de la carga;

L fuerzas producidas por la carga virtud unitaria en los miembros de la *"**' dura (figura 3J S-b):

as producidas por las cargas r-

CLCULO DC FUtRZAS S

EJEMPLO 3.1S. CALCUURIA DEFLEXIN VERTICAL DELNUDOL.DE LA ARMADURA DEL EJEMPLO ANTERIOR SI LAS CUERDAS INFERIOR Y SUPERIOR EXPERIMENTAN UN AUMENTO DE TPMpERATURA DE 40 C, LA CUERDA VERTICAL U, L, UN AUMENTO DE 10 C Y LAS CUERDAS INTERIORES UN AUMENTO DE 5 C. SUPONGASE QUE1 . .5.R.?.:AS Dc LA PER,FER,A ESTN FORMADAS POR DOS ANGULOS DE LADOS iw d mensinesMM V LAS cueiidas INTER,RES por un Angulo de las mis-

f

B a

EJEMPLO 3.16 (continuacin)

CAlCUlO D m PARA ROTCI0NES:

. f3(-120+25M-6 + ).2O

A,= CBn2 - 270x+720 dx

Para 3 *S6Aj j* (-90+15)x

A, - (15*-180 540) dxA,-[s*-*>* 540,]*-(,35)A, -

RESORCIN CAMBIANDO El ORIGIN (N El TRAMO BC

A, y 8, son Iguales

orlgm en g I puni C .

Se trata de una viga libremente apoyada con un voladizo y carga uniformemente distribuida en la que se desea calcular la deflexin y la rotacin en un punto situado a 2 m del apoyo de la derecha, punto B. Primero se plantean las ecuaciones del momento M pro- lucido por la carga extema. La funcin de M es diferente entre los apoyos y en el voladizo, por lo que es necesario plantear dos ecuaciones. Entre los apoyos, se coloc el origen de coordenadas en el apoyo izquierdo, y en el voladizo, en el extremo. En el primer caso, a la variable te le denomin

y el segundo caso, x2. Es conveniente usar notaciones distintas para la variable cuando te cambia el origen de coordenadas.

deflexin en ti punto 0, te coloc una carga

unitaria en dicho punto y se plante la ecuacin del momento m. En este caso, se tiene una funcin entre el apoyo izquierdo y d punto de aplicacin de la carga, y otra le cin distinta entre este ltimo punto y el apoyo derecho. Obsrvese que entre el apoto derecho y el extremo del voladizo la cap unitaria no prexfcice momento. Con d fin* calcular la rotacin, se sigui un ptocedmM anlogo, pero colocando un momento unD- rio en el punto 8 en vez de una caiga unita Tambin en este caso, se tienen funcin distintas para m entre el apoyo izqfenbM punto B, y entre ste y el apoyo derecho.

Despus se sustituyeron lasecuado*1 de M y de m en la ecuacin 3.63 MugSb or la deflexin buscada. Aunque la de Mes continua entre los apoyos, esntc* rio hacer la integracin por separado entre''IB, y entre 0yC , porque la funcin de**

EJEMPLO 3.17 (continuacin)Paraos x,S2 (tramoCD), A,0

Amui -(12.96+16.74)

CALCULO OE LA ROTACIN EN EL PUNTO B ParaOS x,S2

9, J i(l 2'6x' ~ 3x?H-0.2ni)

w j w g N B j

Para2 x, S5

j | J(12.6x,-

2 - /j(-6x,3 - 5.52X1+12.6x,) ifc

8j - [0.1 Sxf -1-Mx,J+6 3xf ]s S J-(8.

Para OS x,S2 ramo CO), e, = o

*ul-(--32+#.J7)-i^ I

J H H h H

El mtodo del trabajo virtual presenta claras ventajas sobre los otros mtodos estudiados en este capitulo cuando se trata de calcular I deformaciones en marcos. El procedimien* toes igual al utilizado para el clculo de deformaciones en vigas, pero la integracin planteada en las ecuaciones 3.63 y 3.64 se lleva a cabo a travs de todos los miembros que componen el marco. Desde luego que dentro de cada miembro resulta necesario hacer la integracin en distintos tramos,

nuas a lo largo del miembro. En el siguiente ejemplo se ilustra lo que se acaba de

Ejemplo 3.18

Se pide calcular el desplazamiento horizontal del apoyo Ey la rotacin del.apoyo A El: primero es un apoyo libre y el segundo, uno articulado. El marco es isosttico ya que tiene ties incgnitas en los apoyos y existen tres ecuaciones de equilibrio. El momento de inercia de la viga es el doble del de la columna.

Primero se resuelve el marco para obtener las ecuaciones de momentos Oexionantes en la columna y en la viga. Previamente, ha sido necesario calcular las reacciones en los apoyos. Las ecuaciones de momento se han obtenido por tramos en los que la funcin no varfa. Asf, en la columna AC, se ha obtenido una ecuacin entre los puntos Ay B, y otra entre los puntos 8 y C, ya que la carga concentrada de 10 ton hace que cambie la ecuacin de momentos. Se ha usado un origen de coordenadas en el Punto

a r u m i AB LA D tr iu n _N EN EL PUNTO A DEI MARCO MOSTRADO

8 (continuacin)

A

EJEMPLO 3.18 (continuacin)

Tram BD

if 2E'o.

HHI J-120.00 * 40.00135 .55I4?-03>| -

EJEMPIO 3.19 (continuacin)

Tramo 8C

Tramo DC

I * ft i 2/jkj)j

4* 2 ^ x x ^2x 20x 4+20k |+80x 4 + 2x80x | |

* J (^26.67 +120+M2 J2+1 ju , S 2

CUCULO DE LA ROTACIN EN A lnmoAB

B tegng i,

Tramo D

4 *,2*'+ ^ l ]6, 1x2|2x20k1+20x-+80x1+2x80x

* fc l* \

/ J f 1.(20+40+ 35.53+40) -sr(13S.SS>a ,y -

Figura 3.18. Viga para la demosirac iftn del Teorema de Caitlgllano

Se puede ver que estas ecuaciones son muy semejantes a la ecuacin 3.63 usada en l mtodo del trabajo virtual, pero en vez dla funcin de momento m producida por el momento virtual unitario, se usa la derivada parcial del momento producido por

Puede suceder que en el punto en el que se desea calcular la deflexin no haya ninguna caiga aplicada. En este caso, se introduce una carga ficticia, P', en ese punto, se deriva respecto a esta carga, y al final se le signa un valor nulo. Tambin pueden calcularse rotaciones, en vez de deflexiones, ftra esto, se deriva respecto a un momento aplicado en el punto en que se desea calcularla relacin; este momento puede ser realo ficticio. SI es ficticio, al final se le asigna un valor de cero.

II teorema de Castigliano puede usarse tambin para calcular las deflexiones en armaduras. La obtencin de las ecuaciones correspondientes es similar a la presentada Mn el caso de vigas. Dichas ecuaciones Quedan en la forma:

H (3.73) en las cuales A, y A, son las deflexiones en los puntos de aplicacin de las cargas P, y P2, S son las fuerzas en las barras de la armadura producidas por las cargas aplicadas, L es la longitud de cada barra, Aes su rea transversal y su mdulo de elasticidad.

Se calcula la deflexin y extremo volado de una viga con dos apoyos.

3.5 por el mtodo de los Teoremas de Mohr.En primer trmino se calculan las reac

ciones y las ecuaciones de momento flexionante. Ntese que a la carga aplicada en el extremo de la viga, donde se desea calcular la deflexin, se le ha llamado Pv

porque de otra manera no se'podra derivaru variable,

to flexionante se han obtenido por separado para el tremo AB

EJEMPLO 3.20 (continuacin)

I CALCULO DE LA DEFLEXIN EN C ECUACIONES DE MOMENTOS

M^IX.-O.SP.X.-X

hra qsx23

4c 1 2>, - OJSPf, - 2XK-0-5X,) A , I jW ^X-x,

j - l j | | | 40-0633/Vi1 I M *| ] j +[ 0.333#V}

4c I-4J2 + 1, + 324 + 9P|]

CLCULO Of LA ROTACIN EN C

.ECUACIONES DE MOMENTOS

-- y*/;M B

1 ift*1SiII:Sli : 4 v.Jli 1 li 11l| lilifSci 2

QiIl 1.ullfIf!l iBl113Ili ? * lil1 !IL

i Hl1 fi !j 1li

is..._s .il .-S.-3. =|- i

li iH|!|1i l ili

el mIodo * integracin calcular las rotaciones en los extrem u ni el centro del claro y las deflexiones mximas* las siguientes vij^

Considrese Cl constante en todos los casos:

i r _ j

3.2 Resolver el problema 3.1 usando los teoremas rea-momento.

3 3 Calcular la deflexin y la rotacin en los extremol de los voladizos de la siguiente

SQL i---\ w \ . 00 r r r i 2ek./ . / / / / / / .I i * i

3.4 Calcular las rotaciones y las deflexiones en los puntos de aplicacin de cargas concentradas en las siguientes vigas usando el mtodo de la viga conjugada. Supngase& constante.

3.5 Calcular la deflexin mxima de las siguientes vigas por el mtodo de la conjugada. Supngase El constante.

H S I H H

G B s S l i J i

, 6 Okular Im deflexiones y rotacin de la< siguientes vicas en Ik guiadas, por el mtodo de Newmark.

K h - H * # H H

j t f c E . 1 ^ / / / / / / /

" > H- * 4 4 . H ......

3.7 Calcular los desplazamientos vertical y horizontal en el nudo usando el mtodo del trabajo virtual.

3.8 Calcular los desplazamientos vertical y horizontal en el nudo L, de la armadura del problema anterior s i, adems de las cargas mostradas, la baa U, U, tiene una longitud 0.75 cm menor que la terica.

3.9 Rara las siguientes vigas calcular las deflexiones y las rotaciones en los puntos MAalados empleando el mtodo del trabajo virtual.

3.10 Calcular el desplazamiento horizontal en B, el desplazamiento vertical al centro del claro de la viga BC y la. rotacin en O del marco mostrado, usando el mtodo dH trabajo virtual, r -

K ,C A P T U L O 4

Resolucin de estructuras indeterminadas por el mtodo de las fuerzas

4.1 Introduccin / 4.2 Planteamiento Mtodo de las fuerzas para vigas / 4.4 Mtodo de las fuerzas para armaduras / 4.5 Mtodo de las fuerzas para marcos

4.1 Introduccin

En *1 capitul 2 se estableci que las estructuras isosttlcas pueden resolverse a partir de las ecuaciones de equilibrio de la Esttica, mientras que las estructruras hiperestticas requieren, para su solucin, de ecuaciones adicionales ya que el nmero de incgnitas es nuw que el nmero de ecuaciones de equi- ttrio. Existen dos enfoques generales para la resolucin de estructuras hiperestticas. En el primero, la estructura por analizar se "vierte en una estructura isosttica en la 9* fe satisfacen las condiciones de equilibr. pero no se satisfacen las condiciones de ta j acin o de continuidad geomtrica

rj (tica. Eslaidolormaclonessedano- I minan Incompatibilidades geomtricas

original en los punios en que se eliminaron las restricciones.

cj Se aplican fuerzas arbitraras en las secciones donde se eliminaron las

una fuerza por cada restriccin eliminada en la estructura hlperesttica

. y calcular por separado las deforma* clones debidas a cada fuerza.

Ii d) Se plantea un sistema de ecuaciones I para, determinar el valor que deben

tener las fuerzas correctivas detal manera que se corrijan las Incompa-i tibilidades geomtricas.

e) Se obtienenlas acciones finales (reacciones, fuerzas cortantes, fuerzas normales, momentos) sumando las qu corresponden a la estructura isosttica fundamental y las producidas por las fuerzas correctivas.

En las secciones siguientes se ilustra la aplicacin del mtodo de las fuerzas a vigas, armaduras y marcos a travs de varios ejemplos.

4.3 Mtodo de las fuerzas para vigas

4.3.1 Planteamiento general paia vigas

Antes de Iniciar la resolucin, conviene calcular el grado de indeterminacin de la viga a resolver con los mtodos expuestos en. la seccin 2,6.1. Esto permite saber cuntas restricciones hlperesttica* se deben

Verificar; como se ver posteriormente, el nmero de ecuaciones simultneas que deten plantearse para resolver el problema;

desde Tuego que' si la viga es de'un solo y do de indeterminacin, en vez de un.- tema"d ecuaciones se plantea una w ecuacin. Las restricciones hipcrestftioj

vigas'o continuidades de las mismas isfa. los apoyos. En el primer caso, se Wb apoyos de tal manera que el nmero restricciones en los apoyos sea igual al dm* de ecuaciones de equilibrio, es decir ecuaciones si son cargas paralelas y tres, g no lo son. En el segundo caso, lo que te hv es'Introducir articulaciones Internas en Im vigas, generalmente spbre los,apoyo;

4.3.2 Vigas de varios claros sobre apoyos rgidos n o i

Ejemplo 4.1

Se resuelve en este ejemplo una viga cari nua de cuatro claros, con una carga vertica en uno de los claras. Como.se tienen:

equilibrio, la viga tiene un grado de fe terminacin de 3 (seccin 2.6J.. '

En el paso a), la viga hiperestlitaa ha transformado en una isosttica eliminar do los tres apoyos interiores. Pudo habene*

redundantes, pero tal como se hizo* ms sencillo el-clculo de deformado** por tratarse de una viga libremente apojaen sus extremos. La eleccin dla asaaoes importante porque la labor numrica p de simplificarse significativamente sde*6* nando una Isosttica conveniente. .

Despus se presentan en el paso Udeflexiones de la viga isosttica nl* ^ciones en las que se eliminaran l**1**^ nes redundantes, o sea, en las saccifl** . Cy O, bajo las cargas de la viga"*"1* J

clculo de deflexiones, A,.pucdc hacerse pac cualquiera de los mtodos estudiados en el capitulo 3. En este ejemplo se utiliz el mtodo de a viga conjugada. Estas deflexiones son las incompatibilidades geomtricas porque en la viga original no hay deflexiones en estas secciones ya que las impiden los apoyos. El clculo de deflexiones por el mtodo de la viga conjugada se ha explicado con detalle en la seccin 3.5 por lo que no se comenta aqu con mis amplitud. Sin embargo, se presentan los clculos completos al final del ejemplo con el fin de no interrumpir la explicacin general del mtodo.

En el paso c) se aplican a la viga isostSlica cargas unitarias en las secciones 0, C y O y se calculan las deflexiones, 8, correspondientes a cada carga, en cada seccin. Ntese que estas deflexiones tienen un doble ndice. El primero seflala la seccin en que se calcula la deflexin, y el segundo, la seccin en que se aplica la carga. Por ejemplo, la deflexin 8K es la deflexin en la seccin 8 producida por una carga aplicada en la seccin C. Se mencion antes que las cargas aplicadas en este paso eran arbitrarias, es decir, que podan tener cualquier valor. Se acostumbra hacerlas unitarias ya que esto simplifica los clculos. Tambin pueden aplicarse en cualquier sentido, o sea, se pueden aplicar hacia arriba o hacia abajo. En este ejemplo se han aplicado con l mismo sentido de la carga de la viga original. Tambin al final del ejemplo se incluyen ios clculos de las deflexiones correspondientes a este paso.

Ara cumplir con las condiciones de compatibilidad de deformaciones de la viga original es necesario qu las deflexiones nales en las secciones B ,CyD sean nulas, (o podra lograrse si las cargas aplicadas m el paso c, en vez de ser unitarias tuviesen les mismos valores y lo* mismos sentidos de la* accione* en las secciones menclo-

sentidos correspondientes se plantean entonces, en el paso d, tres ecuaciones de compatibilidad geomtrica que expresan precisamente que las deflexiones totales en las secciones B, C i 0 son nulas. Se obtiene

incgnita* son las reacciones Xc y Resolviendo este sistema se calculan las reaccione* X0, Xc y X y con las ecuaciones de equilibrio IM/,OyIMl "Ose calculan las otras dos reacciones X( y XA. toque lodos los valores de las deflexiones estn en funcin de / y este valor es constante en toda la viga, se puede eliminar al plantear el sistema de ecuaciones. Obsrvese que los valores de Xs y Xc resultaron negativos, mientras que el de X0 result positivo. Esto quiere decir que el sentido que se supuso para la fuerza unitaria en la seccin D, en el paso c, fue correcto y la reaccin correspondiente acta hacia abajo. En cambio, el sentido que se supuso para las fuerzas unitarias en las secciones 6 y C fue incorrecto y las reacciones son, por lo tanto, hacia arriba. Los signos de las reacciones en A y en quedan determindos al resolver las ecuaciones MA = 0 y M=0.

Es importante visualizar el significado de cada una de las ecuaciones del sistema planteado en el paso d. Asi, la primera ecuacin expresa que si se suma la deflexin en el punto 8 de la viga Isosttlca fundamental, A,, con las deflexiones en el mismo punto producidas por las cargas unitarias aplicadas en B, C y D, Sj* y

respectivamente, la deflexin final debe ser nula, siempre que las deflexiones producidas por las cargas unitarias se multipliquen por los valores reales de las reacciones. Estos valore* son la* incgnitas que hay que despejar en el sistema de ecuaciones, la segunda ecuacin expresa lo mismo, pero en relacin al punto C y Ja

(ccera, en relacin al punlo D. Visto de otravalores de las reaccionas, y se cargas la isosttica fundamental con la carga externa de la viga hiperesttica y con cargas igualesfinales de las deflexiones en los punto B, y D seran nulos. Como no se conocen los valores de las reaccione*, se carga la isosttica fundamental con cargas unitarias y las deflexiones resultantes se multiplican por las incgnitas que son dichos valores.

En la viga de este ejemplo, la Isosttica fundamental con la carga unitaria aplicada en B resulta simtrica a la Isosttica fundamental con la carga unitaria aplicada en D, como puede verse en los croquis de los casos2 y 4 del anexo del ejemplo. Por esta razn, S00 resulta igual a 5; Sin embargo, debe notarse que esta Igualdad existe aun en vigas no simtricas, por el Teorema de Maxwell expuesto en la seccin 3:8.-AS, en el

ejemplo hresultado &g igual a iK , al] en este caso no haya simetra. En general*0^ Teorema de ftf'axwll permite redu notablemente el . nmero de clculos di deflexiones, o bien, puede utilizarse con! comprobacin de los,Cj&ujoS;

Ya que se tienen las cinco reaccin pueden determinarse los d agramas de za. cortante, y momento flexionante de fa misma manera que en vigasisosltkas. fVj^ j d fuerza cortante, se suman las fuerzas izquierda de cualquier seccin, y para elde momento flxnante se suman los mom tos producidos por las fuerzas a la izquierda de cualquier seccin o a' la derecha en signo cambiado. En el ejemplo se mustiaa estos diagramas. Al trazar el diagrama* fuerza cortante se pueden comprobarlos valores obtenidos para las reacciones. Sise empieza a trazar el diagrama desde la reac- cln Ahacla la derecha, al llegar al extmo f se debe teneruna fuerza cortante nula.'.

EJEMPLO 4.1. RESOLUCIN DE UNA VIGA CONTINUA POR EL MTODO

jija Planteamiento de la yjga isosttica fundamental.

jj.- A 2278.63 |p 3046.90 . 1^2.20

Poc) Aplicacin de caigas unitarias y defexiones correspondientes (los clculos se presentan al final del ejemplo).

EJEMPLO 4.1 (contnuiclnl

EJEMPLO .4.1 (continuacin)

yI anexo! CALCULO de deflexiones El constante

Mc - Ac 771429.69x10-1-X75x 10 I I - X10

1992.20 g

t f c S . S

ac-^K ' 1

Paso w Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad geomtrica y clculo de

g H , 78.75 + 3 Me + 5/6 Mc+0 MD - 0 ^ 142.08 15/6 Me+I V3MC +1 Md - 0

Bjg-116.67+0 Mj+1 Me +10/3 M0 - 0

El trmino 1 se ha eliminado porque es constante.Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

k.; M -18.70 ton m

Hf Mo |-26.85 ton-m

Htoododebthvat' gnipio (continuacin)

I A , , ^ _ A - L - L t2 S ~

*4 * BC m2 ~~ej

B||4. Viga conjugada con momento en O.

B 9

K i ostitiras. los asentamientos de losK estructuras de ch-

J>ftndn. como puentes. en las que se N*4t presentar asentamientos diferentes j" 1" apoyos, suelen usarse viga isosttlcas

^m*,ne apoyadas. Por el contrario, en vi-

Ln'tes entre s, producen mJ l j j Rlonantes y fuerzas cortantes de importan- qe deben considerarse en el anlisis y

seto de la estructura. El mtodo de las fuer- resulta conveniente pata calcular las ac-

producidas por asentamientos de tas i; como puede vene en el siguiente

Ejemplo 4.3

Supngase quo en la viga del ejemplo 4.1, el apoyo 0 tiene un asentamiento de 1.5 cm. Los efectos de este asentamiento deben sumarse a los de la carga de 20 ton que acta sobre la viga.

Los tres primeros pasos en la solucin son Iguales a los de vigas en apoyos rgidos. Se plantea la isosttica en el paso a, despus se calculan sus deflexiones en el paso b, y continuacin las deflexiones producidas por las cargas unitarias aplicadas en cada apoyo suprimido en el paso a. Sin embargo, aunque el valor de El sea constante, ahora debe Incluirse en los clculos, pues el efecto de los asentamientos depende de la rigidez de las vigas; mientras ms rfgldas, mayores son los momentos flextonantes debidos a los asentamientos. En el siguiente paso es donde se presenta la diferencia respecto a las vigas estudiadas en tos ejemplos anteriores. Al plantear el sistema de ecuaciones, la

asentamientos no debe ser nula, sino debe ser igual al valor de los asentamientos correspondientes. En este ejemplo, la deflexin en el apoyo B se hizo igual a 1.5 cm, o sea, tiene el mismo signo que las deflexiones producidas por la carga de 20 ton y las caigas unitarias en la Isosttica fundamental. Obsrvese que con la convencin de signos para deflexiones de la seccin 3.3 todas estas

con signos negativos, se ha cambiadoda?*a todas, con lo cual no se alteran lo n^iijAl plantear el sistema de ecuaciones w tambin la necesidad de comdt(u de El. pues no todas las ecuacionesdel ma tienen el segundo miembro Iguala7 por lo tanto, no puede eliminarse ti.

En la figura 4.1 se muestra el caut^ todos los apoyos, tengan ascntamlcnios.Co^ lo que produce las acciones Internas en la t son los asentamientos diferenciales, osml asentamientos relativos entre los apa), pueden unir concuna linea recta los q,

apoyos interiores respecto a esta recta. Eacai de que algn apoyo quede arriba de la a su deflexin total deber tener Mgnovgig en el sistema de ecuaciones,

Suele resultar conveniente calculjrpe separado los efectos de las cargasy tone- tos de los asentamientos de los apoto. A! calcular estos ltimos, las deflexiones deb viga isosttica en el paso b sern nubip que la viga no tendr ninguna carga.

Tambin puede suceder que se qfr ra calcular el efecto de una rotacin tapa ta a la viga en alguno de sus apotas. M> caso conviene plantear la isosttica cono* el ejemplo 4.2 y, al establecer el

apoyo tenga el valor de la rotacin la en vez de ser igual a cero.

Figura 4,t, viga con asentamientos en lodos los apoyos

Bsso a) Planteamiento de la viga isosttica (igual al ejemplo 4.1).

ftso^ Deformaciones en la viga isosttica (igual al ejemplo 4.1).

feoc/Aptcadn de cagas unitarias y deflexiones correspondientes (igual al ejemplo 4.1).

EJEMPLO 4.3 (continuacin)

Paso d) Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad geomtrica y clculo de las fuerzas conectivas.

H 0.0666+0.00274 XB + 0.00335 Xc + 0.00213 XD.f: 0j01 5 WC;.{! 0.0891+0.00335X, +0.00487Xc +0.00335 XD >0 H 0.0562 + 0.002T3'Xe + 0.00335 Xc + 0.00274 X0 = 0

Todos los trminos se han dividido entre El. Resolviendo el sistema de ecuaciones y

=29.'88 to'1, X = -51.96ton, X0 = 19.06 ton i DeJ^ Af, =0; X, - 3.28 ton T

De^M, =0, XA = 13.69 ton f

Raso e) Reacciones finales y clculo de fuerzas cortantes y momentos flexlonantes..

cuales multiplicadas por las incgnitas darn el valor de las reacciones en dichos apoyos.

Isosttlca. Por esta .razn, Xc /5O0 y Xn / 500 se les negativo en el sistema de eo

los resortes tendrn entonces

EIEMPIO 4.4. RESOLUCIN DE 1A VIGA DEL EJEMPLO 4.1 PERO CON APOYOS ELASTICOS EN LOS PUNTOS C Y D, POR El MTODO DE LAS FUERZAS

B-3.42xl04lon-m> 5 lqrVcni=50tpn/m

Los pasos a,b ye son los mismos del ejemplo 4.1, por lo que no es necesario repetirlos.Riso d) Planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad geomtrica y clculo de las fuerzas correctivas.

0.0666+0.00274 X ,+0.00335+0.00213 Xp=0 0.0891+0.00335 X +0.00487 Xc +0.00335 XD --Xc/5000.0582+0.00213XJ +0.00335Xc +0.00274XD-Xt)/500

Todos los trminos han sido divididos entre El. Resolviendo el sistema de ecuaciw

X, -19.93 Iont, Xc >-2.67 lon, X0 -1.44 tont

DeJ*4- 0, Xf O.Otont

De^M, mO, XA a-4.14 km i

Analizando el sistema de ecuaciones que se Mptn el paso d del ejemplo 4.1, puede *ne que el primer trmino de cada ecua- tifa representa la deflexin de la viga wKu en cada seccin en que se elimi- W B reaccin; son los trminos que se han '(presentado con la notacin A, Estas

tila dependen del sistema de cargas viga original. Tambin puede

coeficientes son independientes del sistema de cargas aplicadas a la viga. Se denominan coeficientes de flexibilidad y son los mismos para una viga determinada, cualquiera que sea la caiga aplicada. Un planteamiento equivalente puede hacerse en (elacin al ejemplo 4.2 si las deflexiones Adeflexiones 5, por las rotaciones y las reacciones por los momentos en los apoyos.

Independientemente del grado de Inde-

plantearse un sistema di ecuacin conlos analizados. En general, y usando la no

el stauiente sistema de ecuaciones:

Un sistema de ecuaciones de esie tipo puede escribirse, en notacin mttricial, de la siguiente manera:

o en forma compacta:

18) IX) ? -{A} (4.4)

La matriz (5] es cuadrada de grado n X n y se denomina matriz de flexibilidades. Representa los desplazamientos producidos en la viga isosttlca por las fuerzas unitarias, o bien, las rotaciones producidas por ios momentos unitarios. Como ya se ha dicho, es independiente del sistema de cargas. La matriz IX) es una matriz columna, de grado nX 1, y representa las incgnitas del sistema de ecuaciones, o sea, los valores de las reacciones o momentos Aexlonanies que hay que determinar, la matriz {A} es tambin una matriz columna de grado n X 1 y representa las incompatibilidades geomtricas de la viga isotttica. Como ya te ha dicho, depende nicamente del sistema de cargas aplicado a la viga original.

Segn se estudia en lgebra matriclnl, la solucin del sistema de ecuacin 4.4 es la siguiente:

(X)--l)-'{Al (4.5)

donde [8]-' es la matriz inversa de la J [5], El planteamiento matncial resulta J conveniente en l aplicacin del m&odrl las fuerzas. Por una parte, es fcil w ceso a programas de cmputo que invcJ matrices de grados elevados con gran iaJ por ejemplo, la hoja He clculo Excel, J programas de matemticas Maple y MaJ dea incluyen esta posibilidad; inclu algunas calculadoras de bolsillo Inviel matrices de tamao regular. Por otra, claramente que si ana misma viga tiene .j* resolverse bajo distintos sistemas de Q k basta cambiar nicamente la matriz {di n que la matriz Inversa [) 1 es la misma.

Cuando el mtodo se plantea en tnr. nos de rotaciones, en vez de deflexiones, la ecuaciones 4.4 y 4.5 se transforman a h siguientes dos ecuaciones, respectivamente

I8J{M) = -{e> I

(M) = - (ej-1 {6}

El lector debe observar que las matrices de flexibilidades (S| o (8| siempre resulta simtricas por el Teorema de Maxwd&> 6 y e,| 9. Por ejemplo, 6,2 = , , y ambos valores ocupan posiciones simtrica respecto a la diagonal de la matriz quenti constituida por los valores 8. En los siguientes ejemplos se ilustra la aplicado del planteamiento matricial.

Ejemplo 4.5

Considrese la misma viga del ejemplo Los pasos a, b y c son los mismos; se plw tea la viga Isostitlca y se calcula I* deflexiones A y 6 producidas en la isosiSW por las cargas externas y por las caigas w tarlas, respectivamente. En este ejemplo* muestran las matrices correspondiente* final de los pasos by c. Obsrvese que* cambiado el signo a las deflexiones o*? ladas en el paso b para formar la no"'1

fn el paso d N plantean las ecuaciones j 4-4.5, y se resuelve osla ltima. El clcu-i. je la matriz O'1 a partir de la matriz t, o ga, la inversin de la matriz 5, no se muestra tn el ejemplo ni tampoco en los siguientes. . E csic caso, la inversin se hizo usando la hoja de clculo Excel, a la que se tiene acceso fcil en muchas computadoras personales. Los valores de ln Incgnitas X

son lgicamente los mismos que en el ejemplo 4.1. Su signo negativo ndica que l sentido real es el opuesto al que tienen las fuerzas unitarias Introducidas en el paso c.

El paso siguiente es tambin el mismo que en el ejemplo 4.1. Consiste en calcular los diagramas de fuerza cortante y momento flexionanie a partir de las reacciones. Ya

>E LA VIGA DEL EJEMPLO 4.1, EL PLANTEA*

RisalPlanleamlonli e la viga fsosttica (igual que en el ejemplo 4.

|a isostlica (igual que en el ejemplo 4.11

I j i g P p i . -

g y i *

. . . -

- | | &

r 93.75 114.58 72.921 |S]-1 114.58 166.67 114.58

[ 72.92 114.58 93.75J

Sg|f|pI ' F W W

i H 5 H a e - f a i

m m * Deformaciones de la viga isosttica (los ckuk* se presentan al final

#.**>

EJEMPLO 4.7 (continuacin)

teo$) Planteamiento matrici.il y obtencin de los momentos.

S*' M W H-M -''ecuacin 4.6)

S P f | fe 5 5/12 0 1[M,1 , f-712| i5/12 25/18 5/18 Nmc J = |-43.40| JT[O 5/18 20/9J [m0J j-69.44j

1 1 (ecuacin 4.7).

E , Mg] r 0.4216 -0.12973 0.016221 [-78.121 f-28.431|mc|= -0.12973 0.77838 -0.09729 |-43.4oU|-16.89}(ton-m)

^ K ;(m 0J [ 0.01622 -0.09729 0.46216.] [-69.44] [-29.14J

Aso *) Reacciones finales y clculo de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes.

I gH conjugada con momento en t ,

y las fuerzas finales en las barras se calcularon en la siguiente jafjs

IjlMFIO 44 (contnucMni

ljtf*e.*

l i Mudurj de este ejemplo es isost.ilica aMmente, ya quo llene dos reacciones M m y hay dos ecuaclonci de equill- MmM internamente es hipcresttica de iMafde acuerdo con las ecuaciones 2 .12.

tea plantear la armadura isotlitica MteNminarso uno de los miembros para 9 * * cumpla la ecuacin 2.11. Pero debe

on miembro que pueda eliminarse Mdala armadura so vuelva inestable. Por

Carnadura ser/a Inestable ya que no osla- n fcrmada por tUaguloi. En cambio pue- a idU iU M ios miembros U.-L, o OyL.F S armadura sigue siendo estable. En el H I d mt* templo se ha eliminado el ' nbro U A,. 1 miembro puede eliminar-

* B vez de eliminarlo se corla en algnN jS n | no podra resistir ninguna

tuerza axial. Esta segunda opcin es la que se sigue en el ejemplo porque toma en cuenta la deformacin propia del miembro.

En el paso b se han calculado las fuerzas en todos los miembros de la armadura Isostlica; son las fuerzas f'dtla labia, aun-

. que no se incluyen todos los cikulos. Tambin se ha calculado la incompatibilidad geomtrica en la sostlica, que en osle caso es el desplazamiento A que ocurre entre las dos secciones del corte. Como en la armadura original la barra es continua,este desplazamiento no existe. Ahora bien, para calcular d, de acuerdo con lo estudiada en la Seccin 3.7.7, se coloca un fuerza unitaria virtual a ambos lados drl coito, como se muestra en la figura 4.3, y se calculan las fuerza* en las barras producidas por la luna unitaria. Son las fudnat |i mostradas en la labia. Tanlendo las fuerzas F y |i, la deflexin se calcula con la ecuacin

4.4.2 Planteamiento matricial para armaduras

Los mismos principios aplicados al planteamiento malricial del mtodo de las fuerzas en vigas hjperesWlicas se aplican a armaduras Mpensllticas. ya sea que su indeterminacin se* externa o interna. Se trata tambin de escribir el sistema de ecuaciones 4.2 en la forma matricial 4.4. Si la armadura es externamente indeterminada, las deflexiones A sern las deflexiones de la armadura isosttica en los apoyos suprimidos bajo la accin de las cargas reales, y las deflexiones S sern las que ocurran en los mismos apoyos bajo la accin de las cargas unitarias. Si es internamente indeterminada, A sern las deformaciones en los extremos de los miembros cortados bajo la accin de las cargas realesySsern las mismas deformaciones pero bajo la accin de las cargas unitarias aplicadas en fos cortes. En armaduras indeterminadas externamente e internamente, las y fas 5 incluyen ambos tipos de deforma-

H fpli 4.10

Seilustra el planteamiento matricial para una armadura hiperesttica. La armadura mostrada Irene un grado de indeterminacin exlema y un grado de indeterminacin n-

La armadura isosttica se ha planteado eliminando el apoyo en B y corlando el hmbu Ur( de la isosttica con la carga unitaria aplicada en B (primer croquis del paso c) multiplicadas por el valor obtenido de la Incgnita X^ylts fumas fi de la isosttica con la fuerza unitaria aplicada en la barra UL, (segundo croquis del paso c) multiplicadas por el valor obtenido de la incgnita X0. for ejemplo, en la barra LJ.y la fuerza lotal ser:

IJ i , (213.75) * (0.9) (319.20) * (-0.707) (-1087.29) a 1152.1 kN

De esta manera se calcularon las fuerzas en todas las barras, las cuales se presentan tambin en la ltima columna de la labia del paso b.

il w no-

d X wMA - ' .1

f t d) Clculo de las redundantes por el planteamier

; . [ # M 4 ,

. [503.78 163.131 fX-i -875C

Se aplican lo mismos principios generales opuestos en la seccin 4.2. tora transformar un marco indeterminado en uno nnaMoi. se eliminan las reacciones de a pojo redundantes. Esto puede hacerte de di- Mitas maneras, por lo que conviene elegir m marco otllico en el que resulte mis apedifoel clculo de deformaciones. Tam- bin en marcos puede hacerse el plantea- tutoatetrtciai usando las ecuaciones 4.4, rn tN M nr el sistema de ecuaciones, y 4-S para resolverlo. I sto se ilustra en los siguientes ejemplos.

4.5 Mtodo de las fuerzas para

QMple4.it

Se ptanny el cato tencHIo d* un marco con w logra* da Indeterminacin, linolpaso

a se plantea el marco itostitico que se ob- tiene eliminando la componente hoiizontal de reaccin en el apoyo O. Esto equivale a transformar este apoyo en uno libre.

Enei pasobsecakula la deflexin que corresponde a la componente de reaccin eliminada, o sea, la deflexin horizontal del punto D, bajo la accin de las cargas extcr- nas. Se utiliz el mtodo del trabajo Virtual (seccin 3.7.7). Rara hacer este cilculo. que se muestra al final del esemplo, se obtuvic- ronprimero las tres componente de reaccin V. Ha y Vgp y el diagrama de momento!

marco isostitico. Despus se apllc una fucr-

cularon lai reacciones y los diagramas de momento concspondientes. Por medio de la

mar ln n que result de 9659.25/EL Ob- stfrvese que corno result con tigno negativo, su tohlldo os inveito al de la fuerza unitaria

en las columnas estn determinados de acuerd con la convencin establecida en la scc-van como se indica en la figura 2.15.

En dpasoeseaplic una fuerza unitaria para corregir la incompatibilidad geomtrica. Esta etapa resulta idntica a la segunda parte

tal aplicada en O. La deflexin correspondiente result de 182.25/EI.Habiendo determinado 4o y ?> se plan

tea la ecuacin -1.2, que es una sola ecuacin porque el grado de indeterminacin del icreo es igual a uno. De esta ecuacin se despeja el valor de la reaccin horizontal H que result con un valor positivo de 55 ton. El valor positivo indica que su sentido debe ser el mismo que el de la fuerza unitaria aplicada para corregir la incompatibilidad. Estas operaciones se realizan en el paso d del ejemplo s figuras de la tabla 3.1 de iwgofctdta

N MARCO HIPERESTAUCO POR EL MTODO

EJEMPLO 4.12 (continuacin!

s Diagrama (c/)3.0(m,jl

3..Clculo de las deflexiones correspondientes.

*Maffanus(a)y(l|:

i imM) Ulylcll:

4By Idiagramas (a) y (d)|;

. (2m* + Ote) 5+AVnalj -(-*05)[(2K^P;(4o)] (3)+(, Js)( 'A I

(diagrama (b) consigo miimol:

>MAt * sm ^ (-6-0X6-0)(6.0) =

Itlipgrams (b) y (c)|:

- j* * , * , s!(9.0X-6.0X6.0) - ^ 2

|j| Idiagramas (b) y (d)|:

I 15

^ (diagrama (c) consigo mismol:

-5'n-VimA,,5tm/,yr)A^^SX-9X)X9.0)+(9.oX9.o)(60) = ^

fm iai(c)y (d)|:

"W "^*-(-.0X9.0X6.0)-^l

EJEMPLO 4.12 (corlinuactn)

Ll|_ (diagrama (d) consigo mismo):2U0

W* a | . ! ( - j X-6-^6-0)+ (-60X~60 6^^ " j T _ I

, 4 l Resolver la siguiente viga por el mtodo de las fuerzas utilizando cada una de las jsosljt'cas fundamentales mostradas. Comentar cu.1l resulta m.1s conveniente y por j Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionantc.

E'5!Ion/m I 3um/m

fundamental que se crea mis conveniente. En todos los casos El consunw*

B l j l ; ,.-1 ' s - h

4.5 Resolverlas siguientes vigas sobre apoyos elsticos. Usar los'valores de E y de I del problema anterior*

| g / C AP ITU LO D

Resolucin de estructura; indeterminadas por el mtodo ,de las deformaciones

Introduccin / 5.2 Planteamien -ral del mtodo de las deformacin >5J Rigidez ai

I de I deformaciones para armaduras / 5.7

5.1 Introduccin

Ehesfecaptlp se presenta el segundo de los fc mtodos generales para la resolucin de nanos Indeterminadas planteados en la Mdacddn de) captulo anterior. A diferencia dd mnxfo de las fuerzas, en el mtodo de las Mtno' o mtodo de las rigideces, se fbnfeauna enuctura en la que se satisfagan las m&uude compatibilidad geomtrica, aun-V no se ampian las condiciones de equili- too-Est ltimas se logran en una segunda etapa odratndo fuerzas conectivas que no alteren hcmfciona de continuidad geomtrica. El IfWb^ klbidrformaciones se presenta en este W e n su forma ms general. En captulos

fuer7.is horizontales en marcos. La estructura transformada tiene continuidad geomtrica, peto no cumple las condiciones de equilibrio esttico.

>) Se planlean'las ecuaciones de equilibrio

nan los desequilibrios que resulten. Estos desequilibrios son tambin momentos Aeonantes o fuerzas, segn el tipo de estructura.

calculan Las acciones que produon estas formacin aplicadas son urtj iones, en

g g "O:

|| yb j-ro1'! '* (Ec,)(C.2)

fc X M* 0:

G iu n to H obtenido de la ecuacin 2, en U ecuacin 3 y despejando M*,:

pan que experimente una rotacin unitaria, cuando el extremo opuesto se encuentra empotrado. Obsrvese que el momento resulta directamente proporcional al mdulo de elasticidad y al momento de inercia, e inversamente proporcional al claro de la viga. Intuitivamente puede deducirse que mientras mayor sea el mdulo de elasticidad o la inercia de la seccin, mayor tendra que ser el momento necesario para producir la rotacin del extremo de la viga, y que mientras mayor sea el claro, menor tendra que ser dicho momento porque la viga sera m.1s flexible. Ntese tambin que en toda esta deduccin se ha supuesto que el-valor.de El es constante. Cuando no lo es, la rigidez angular puede calcularse aplicando un momento cualquiera en el extremo libre de la viga y determinando la rotacin que produce este momento. El cociente del momento entre la rotacin es el valor de la rigidez angular. El mtodo de Newmarlc para calcular deformaciones, estudiado en l capitulo 3, es muy til para estos casos, ya que permite tomar en cuenta de manera expedita la variacin de f/ a lo largo de la viga.

El concepto de rigidez angular es de fundamental importancia en Anlisis Estructural y se utiliza con mucha frecuencia en los mtodos ms usuales pan la resolucin de estructuras indeterminadas. El trmino f/f suele representarse con la letra K y se denomina helor de rigidez. Usando esta notacin, la ecuacin 5.1 puede escribirse

Otro concepto importante que se deriva de la figura S.l es el de factor de Irans- pene, le Ec. 2 de esta tgura expresa que silibre de una viga, en el extremo opuesto, si U empotrado, aparece un momento M que M i la mitad del primer momento- O ee

- - Supngase ahora que la viga tent wbos extremos libremente apoyados, muestra en la figura 5.2a. En este caso. iJ Impone una rotacin en el extre 0.

- mediante la aplicacin de un momento u en el otro extremo aparecer una fotar 8W, como se muestra en la figura SJb, pe* no podr desarrollarse ningn momento con sucedi cuanttel extremo 8 estaba empa do. En forma similar a la del caso anieriv. puede determinarse, usando el mtododeb viga conjugada, cul es el valor del momento

necesario para producir la rotacidn . y cul es el valor de la rotacin Q, que desarrolla en el extremo opuesto. Esta de minacin se plantea en la figura 5J. la lip conjugada, figura 5.2 *** *c-r cln se puede escribir como

i r - W - .0 (M

.

gift -I,~ -1

I...I.I| j Mab

' < * " 1(O 1 7 "

Para que 0,1- 0,

M

Pm que