INGENIERA CIVIL

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IV ciclo

MATRICES Y DETERMINANTES

INGENIERA

CIVIL

DOCENTE:

DANIEL ALBERT DAZ BETETA ALUMNOS:

Salazar Valverde Robert Reynaldo Laveriano Luis Olortegui Velasquez Yancarlo Bruno Julca Jara TEMA:

MATRICES Y DETERMINANTES

CURSO:

ANALISIS ESTRCUTURAL I FECHA:

10/04/2014

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INTRODUCCION

La metodologa matricial, debido a que se trata de un procedimiento

matemtico, presenta, como ventajas, su rigurosidad y exactitud, y su amplitud

de aplicacin.

En su contra estaba lo engorroso y complicado de su operatoria, que exiga el

uso de la metodologa matricial, trabajando frecuentemente con matrices de un

orden muy grande.

Esas dificultades se han solventado con el desarrollo de la informtica y los

ordenadores personales, ya que la metodologa matricial es fcilmente

reducible a algoritmos, con lo cual se puede implementar de forma

relativamente cmoda en un ordenador personal, con lo que se supera su

principal escollo: lo arduo y difcil de su operatoria.

El otro gran inconveniente de la metodologa matricial, en el mbito de la

docencia, es la dificultad de transmitir algunos conceptos acerca del

comportamiento fsico de la estructura.

Ello obliga a cuidar especialmente la exposicin de la metodologa matricial,

para que el alumno conceptualice el sentido de las diferentes matrices que

intervienen en el procedimiento y no se pierda en la operatoria.

De forma muy general y esquemtica diremos que el mtodo se basa en el

planteamiento de un conjunto de ecuaciones matemticas, en forma matricial,

que expresan la relacin entre los esfuerzos aplicados a una estructura y los

desplazamientos que se producen en dicha estructura.

Por lo anteriormente expuesto deducimos que se hace necesario el

conocimiento de la operatoria matricial.

Aunque este apartado no pretende convertirse en un tema de lgebra matricial,

s intenta sealar y recordar la operatoria matricial bsica y necesaria para la

aplicacin de la metodologa del clculo matricial de estructuras.

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MATRICES Y

DETERMINANTES

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I. DEFINICON DE MATRIZ

Se llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de

elementos aij dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n

verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,...,

m, j =1, 2,..., n. Los subndices indican la posicin del elemento

dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la

columna (j). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de la fila 2

y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los

elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

II. DETERMINANTES

En Matemticas se define el determinante como una forma

matrilineal alternada de un cuerpo. Esta definicin indica una serie de

propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante

hacindolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el

concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido

para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones

lineales.

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III. COFACTORES DE UN DETERMINANTE

MENOR

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el

menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n 1

obtenida al suprimir la fila i-sima y la columna j sima de A.

As, para

Para hallar el menor M11:

a) suprimimos la primera fila y la primera columna as

b) tomamos los nmeros que no quedan tapados (los nmeros rojos)

c) Tercero hallamos el determinante

1

2

2 3

4

7 5 1

6 A =

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 =

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 = 75

64

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M11 = 23028657475

64

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D) Hallar los menores M12, M22 y M32

COFACTOR

El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij

multiplicado por ijjiij MA 1 El cofactor nos da como resultado

es el signo del menor.

Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los

menores

MENOR COFACTOR

M11 = -2

22121211 211 ijjiij MA

M12 = 8

88181811 321 ijjiij MA

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M12 = 8614617271

62

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M22 = 437137171

31

1

2

2 3

4

7 5 1

6 M32 = 066326162

31

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6

M22 = 4 44141411 422 ijjiij MA

M32 = 0 0011 23 ijjiij MA

En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

IV. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son tiles

para simplificar su evaluacin.

En los prrafos siguientes consideramos que A es una matriz

cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz A tiene un rengln (o una columna) de ceros, el

determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

Sea

Desarrollando por cofactores del primer rengln se tiene

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Propiedad 2.

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la

transpuesta de A.

Esto es

Ejemplo 2.

Sea

La transpuesta de A es

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una

matriz A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea

Con

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Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda

Con

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por

cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas)

iguales entonces det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea

Entonces

Propiedad 5.

Cuando un solo rengln (o columna) de una matriz A se multiplica

por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el

determinante de A, r det A.

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9

Ejemplo 5.

Sea cuyo determinante se calcul en el ejemplo

2,

Multiplicando el tercer rengln de A por el escalar r = 3 se tiene la

matriz B siguiente

Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera

columna de B es

Propiedad 6.

Si un rengln de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma

a otro rengln de A, entonces el determinante de la matriz resultante

es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las

columnas de A.

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Ejemplo 6.

Sea cuyo determinante se calcul en el ejemplo

2,

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y

sumndola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

Propiedad 7.

Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es

igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

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Ejemplo 7.

Sean y

Con y

El producto

Y su determinante es

Entonces .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I = det I = (1) (1) (0) (0) = 1

Propiedad 9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no

tiene inversa, es igual a 0 (cero)

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Ejemplo 9.

J = |J| = (1) (-12) (-3) (4) = -12 +12 = 0

Se puede fcilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto

orden.

Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede

reducir un determinante a una forma ms fcil de evaluar. Si se

reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es

el producto de los elementos de la diagonal principal. Al hacerlo hay

que tomar en cuenta las propiedades 3, 5 y 6, como en el siguiente

ejemplo.

Ejemplo 10.

Calcular el determinante de la matriz A de

Simplificamos el clculo del determinante de A reduciendo por

renglones

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Entonces, la permutacin P14 cambia el signo de det A, las

operaciones y no cambian el valor del

determinante.

De esta forma

Se podra seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando

que hay varios ceros en el tercer rengln resulta fcil desarrollar por

cofactores, primero de la primera columna, y despus del tercer

rengln:

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V. EJEMPLOS DE APLICACIN DE DETERMINANTES Clculo del rango usando determinantes

Si a un menor M de orden h de la matriz A se le aade la fila p y la

columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un

menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M Orlando este

menor con la fila p y la columna q.

Ejemplo

El mtodo para el clculo del rango es un proceso iterado que sigue

los siguientes pasos:

Antes de comenzar el mtodo se busca un elemento no nulo, ya que

si todos los elementos son 0, el rango ser 0. El elemento

encontrado ser el menor de orden k=1 de partida.

1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no

nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a

ste el mtodo.

2. Si todos los menores orlados obtenidos aadindole al menor de partida

los elementos de una lnea i0 son nulos, podemos eliminar dicha lnea

porque es combinacin de las que componen el menor de orden k.

3. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si

aplicamos bien el mtodo en realidad, al llegar a este punto, la matriz

tiene orden k).

.

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Por tanto rg(A)=3 Clculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por

Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Ejemplo

Si tenemos una matriz tal que det (A) 0, se verifica:

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Esto es fcil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los

elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la

suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila

diferente es 0 (esto sera el desarrollo de un determinante que tiene dos filas

iguales por los adjuntos de una de ellas).

VI. ORDEN DE UNA MATRIZ

Las matrices se componen de filas y columnas a las que

generalmente se las representan con las letras m y n. La m para las

filas y la n para las columnas.

El nmero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar

el nmero de filas por el de columnas: m x n Al producto m x n

llamamos orden de matriz

Cuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos

afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.

Te dars cuenta que una matriz de 3x2 es ms pequea que otra

matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamao, la

dimensin significan lo mismo.

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Ejercicio #15

Cmo son m y n en las matrices cuadradas?

Respuesta: iguales.

Ejercicio #16

Cmo se llama la matriz que tienes a continuacin?

Respuesta: anti simtrica

Ejercicio #17

Cmo se llaman las matrices siguientes?

Respuestas: La matriz A es una matriz escalar

La matriz B es una matriz unidad o identidad

Ejercicio #18

Calcula el valor de sabiendo que sabiendo que

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Solucin

Ejercicio #20

Por qu matriz tengo que sumar a la matriz para obtener la

matriz

Solucin

A la matriz que desconozco la represento por: Puedo

escribir:

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VII. TIPOS DE MATRICES

MATRIZ FILA: est conformada por una nica fila.

MATRIZ COLUMNA: esta clase de matriz se conforma por una sola

columna.

MATRIZ RECTANGULAR: se caracteriza por presentar un nmero

diferente de filas que de columnas. Su dimensin es m x n.

MATRIZ CUADRADA: presenta la misma cantidad de filas que de

columnas. Los elementos que van desde la esquina superior

izquierda hacia la esquina inferior derecha constituyen la diagonal

principal.

MATRIZ NULA: recibe este nombre debido a que est conformada

por todos ceros como elementos.

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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: en esta clase de matriz los

elementos ubicados por debajo de la diagonal superior son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: aqu los elementos colocados

por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL: esta clase de matriz cuenta con la

particularidad de que la totalidad de los elementos ubicados tanto por

encima de la diagonal como por debajo de ella son nulos.

MATRIZ ESCALAR: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal

en la cual los elementos que conforman la diagonal principal son

iguales.

MATRIZ IDENTIDAD: en sta los elementos que componen la

diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA: a partir de una matriz A, se denomina matriz

traspuesta de A, a aquella matriz que se obtiene al cambiar de

manera ordenada las filas por las columnas.

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MATRIZ REGULAR: se denomina de esta manera a aquella matriz

cuadrada que tiene inversa.

MATRIZ SINGULAR: es un tipo de matriz que no posee inversa.

VIII. OPERACIONES CON MATRICES Suma y diferencia de matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de matrices Mm x n x Mn x p = M m x p

Matriz inversa A A-1 = A-1 A = I (A B)-1 = B-1 A-1 (A-1)-1 = A (k A)-1 = k-1 A-1

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Clculo de la matriz inversa

Ejercicios Dadas las matrices:

Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; At.

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Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones: (A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A B t C.

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Dadas las matrices:

1. Justificar si son posibles los siguientes productos: (A t B ) C (At3 x 2 B2 x 2 ) C3 x 2 = (At B )3 x 2 C3 x 2 No se puede efectuar el producto porque el nmero de columnas de (At B ) no coincide con el n de filas de C.2(B Ct ) At (B2 x 2 Ct2 x 3 ) At3 x 2 = (B C )2 x 3 At3 x 2 = ( B C t A t ) 2 x 2 2. Determinar la dimensin de M para que pueda efectuarse el

producto A M C

A3 x 2 Mm x n C3 x 2 m = 2 3. Determina la dimensin de M para que Ct M sea una matriz

cuadrada.

Ct2 x 3 Mm x n m = 3 n = 3 Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0, siendo:

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Sea A la matriz . Hallar An , para n

Por qu matriz hay que premultiplicar la matriz para

Que resulte la matriz .

Hallar la matriz inversa de:

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Calcular el rango de las siguientes matrices:

|2|=2 0

r(A) = 2

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r(B) = 4

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinacin lineal de la primera y segunda: c5 = -2 c1 + c2

r(C) = 2

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IX. PROPIEDADES DE LAS MATRICES Propiedades

Asociativa:

A (B C) = (A B) C

Elemento neutro:

A I = A

No es Conmutativa:

A B B A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A (B + C) = A B + A C

X. MATRIZ TRANSPUESTA

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que

se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

( A)t = At

(A B)t = Bt At

XI. MATRIZ IDENTIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

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XII. MATRIZ INVERZA PROPIEDADES

Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos

multiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por

su inversa obtenemos la matriz identidad.

A A1 = A1 A = I

Propiedades

1 (A B)1 = B1 A1

2 (A1)1 = A

3 (k A)1 = k1 A1

4 (At)1 = (A1)t

XIII. EJEMPLOS DE APLICACION DE MATRIZ INVERSA

Matriz traspuesta.

Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La

traspuesta de A la representamos por AT.

Ejemplo:

Matriz adjunta

Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

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Matriz inversa

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y

que verifica:

Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante

es distinto de cero.

XIV. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEASLES

SIMULTANEAS

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XV. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS