ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTA I.pdf

7/23/2019 ANLISIS MATEMTICO PARA ECONOMISTA I.pdf

1/61

Federico Villarreal

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l

GUA ACADMICAANLISIS MATEMTICOPARA ECONOMISTAS I

ECONOMIA I CICLO

Euded

Escuela Universitaria

Educacin a distancia

VERNICA A. MORE SNCHE


2/61

AnlisisMatemticoparaEconomistasI

I N D I C E

Introduccin

Orientaciones Generales del curso

Evaluacin

Medios y Recursos Didcticos

Objetivos de la Asignatura

PRIMERA UNIDAD: INTRODUCCIN

1.1 El uso de las matemticas en la ciencia econmica. Modelos econmicos.

1.2 El Sistema de los Nmeros Reales

1.3 Teora de conjuntos

1.4 Ecuaciones. Sistema de ecuaciones lineales

SEGUNDA UNIDAD: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

2.1 Introduccin

2.2. Funciones de una variable real

2.3 Grficas de funciones

2.4 Funciones lineales: Pendiente y ecuaciones de la recta2.5 Funciones cuadrticas

2.10 Aplicaciones a la economa

TERCERA UNIDAD: CLCULO DIFERENCIA DE UNA VARIABLE

3.1 Pendientes de una curva

3.2 La pendiente de la tangente y la derivada. Una pincelada sobre lmites

3.3 Reglas sencillas de derivacin


CUARTA UNIDAD: MATRICES Y DETERMINANTES

4.1 Conceptos bsicos sobre matrices

4.2 Operaciones con matrices


3/61


4.3 Matriz inversa

4.4 Determinacin del valor del determinante

4.5 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.

La regla de Cramer


4/61


ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO

Considerando que el processo de enseanza aprendizaje ms efectivo es aquel donde elalumno es el protagonista, es conveniente proponer las siguientes recomendaciones comoestratgias de aprendizaje, los cuales redundan en el cumplimiento de los objetivos planteados:

a. Recomendaciones para el estudio de la asignatura: Planifica y dosifica el tempo que vas a dedicar a la asignatura en general y a cada

una de las unidades. Refuerza los temas propuestos a travs del texto guia de acuerdo a la indicacin

de la guia acadmica. Investiga situaciones reales donde pueda aplicar los conocimientos adquiridos. Trata de desarrollar los trabajos bajo el enfoque de trabajo en equipo, a fin de

optimizar los refuerzos y otros recursos. Estudia con metas previamente estabelecidas, los cuales le guiarn en el

desarrollo de la asignatura.

b. Recomendaciones para el uso de la guia acadmica Revisar y analizar criticamente la informacin proporcionada en esta guia a fin de

interactuar con fluidez durante las sesiones. Hacerlo antecipadamente. Desarrollar necesariamente las actividades propuestas en cada una de las

unidades, confirindole una dosis de valor agregado en forma creativa. Desarrollar necesaria y conscientemente las preguntas de la autoevaluacin es

una forma de medir la evolucin del aprendizaje. Si el resultado de laautoevaluacin es menos al 60 % se recomienda repasar la unidad.

Revisar la bibliografia y la webgrafa con la finalidade de profundizar los temas

desarrollados.


5/61


INTRODUCCIN

Elmundoeconmicoesunareginnebulosa.

Los primeros exploradores usaron visin no asistida.

La matemtica es el faro mediante el cual lo que antesSe vea tenue ahora surge con trazos firmes y marcados.

-Irving Fisher (1892)

Hoy en da es esencial para un estudiante de economa una comprensin slidade las matemticas. Aunque se pueden dar de forma clara, sin usar matemticas,razonamientos convincentes de problemas econmicos sencillos que impliquen dos otres variable, si queremos considerar muchas variables y la forma como interaccionan,es necesario recurrir a un modelo matemtico.

Esta gua est escrita para los estudiantes de economa de la asignatura anlisismatemtico, decidido a aprender las tcnicas matemticas bsicas. Entre otras,funciones de una variable, clculo diferencial, matrices y determinantes. Todas estastcnicas son esenciales para los cursos superiores de economa. A veces damosimportancia a lo econmico no solamente para motivar un tema matemtico, sino paraayudar a tener una intuicin matemtica.

La gua est ordenado de tal manera que los conocimientos se van adquiriendo

progresivamente y est organizada en cuatro unidades, cada unidad est estructuradacon sus respectivos objetivos y actividades.

En la primera unidad se presenta conceptos de modelos econmicos, Conjuntode los nmeros Reales y ecuaciones. En la segunda unidad se analiza las funciones deuna variable real. La tercera unidad se centra en el estudio de una introduccin al clculodiferencial. Finalmente, en la cuarta unidad se desarrolla matrices y determinantes y surelacin con la solucin de sistemas de ecuaciones lineales.

Esperamos que el texto constituya una gua efectiva y motive a la vez al estudio y la

dedicacin adecuada que permita el logro de los objetivos. El uso de la gua requiere sercomplementada con la profundizacin o ampliacin de parte del alumno de los temascontenidos en sta con el texto base.

Econ. Vernica A. More Snchez


6/61


Orientaciones generales de estudio

El estudio en la modalidad que has elegido demanda un gran esfuerzo y muchadedicacin adems de responsabilidad y una buena organizacin.

Es por esta razn que al iniciar el estudio de nuestra asignatura me permito brindarte

algunas orientaciones buscando que se optimice tu rendimiento acadmico:

Busque un lugar donde se sienta cmodo para realizar la lectura de la guadidctica as como del texto bsico. En lo posible un lugar con claridad y libre deruido.

Organice un horario de estudio en el que cada asignatura cuente con el tiemponecesario de acuerdo al grado de dificultad.

Realice una lectura comprensiva, utilizando tcnicas como el subrayado, el usode mapas conceptuales u organizadores visuales que le permitan identificar lasideas principales para reforzar los conocimientos.

Es recomendable realizar las actividades propuestas en la presente GuaDidctica pues le permitir verificar el logro de los aprendizajes.

Se ha optado por utilizar dos textos de base para el estudio eligindose los libros: BudnickFrank s. Matemticas aplicadas para la administracin, economa y las cienciassociales. MCGRAWHILL interamericana, 4ta. Edicin 2007. (TEXTO BSICO 1)

Y como TEXTO BSICO 2 Matemticas para administracin y economa de los autoresHaeusssler y Paul. No es necesario que consulten los dos libros.

En la primera unidad debemos desarrollar el estudio de Conjunto de los nmeros Realesy ecuaciones. Este tema lo podr encontrar en el captulo 1 del TEXTO BSICO 1 y enel captulo 0 del TEXTO BSICO 2

En la segunda unidad estudiaremos funciones de una variable real, tipos de funciones,funciones lineales y cuadrticas para lo cual analizaremos los captulos 4, 5, y 6 delTEXTO BSICO 1 y los captulos 1 y 2 del TEXTO BSICO 2.

En la tercera unidad estudiaremos introduccin al clculo diferencial que se encuentraen el captulo 15 del TEXTO BSICO 1 y en el captulo 10 del TEXTO BSICO 2.

En la cuarta unidad estudiaremos Las Matrices y los Determinantes que se desarrolla enel captulo 9 del TEXTO BSICO 1 y captulo 6 del TEXTO BSICO 2.

TutorasLas tutoras se desarrollaran mediante la programacin de un calendario de tutoras. Latutora ser presencial y virtual.


7/61


EvaluacinEl promedio final de la asignatura en la Modalidad Presencial Virtual se obtiene aplicando los

siguientes pasos porcentuales:

Evaluacin de trabajos interactivos (TI): (40%)

Evaluacin parcial (IV): (20%).

Evaluacin final (EF): (40%).

PF = TI (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)

Medios y recursos didcticos

Texto Bsico 1:BudnickFranks.Matemticasaplicadasparalaadministracin,

economaylascienciassociales.MCGRAWHILLinteramericana,

4ta.Edicin2007.

Texto Bsico 2:Hauessler Ernest. Paul Richard (2003). Matemticas paraadministracin y economa. Mxico: Pearson EducacinEditores.Puedes encontrar este libro en la biblioteca virtual de googleque es el siguiente enlace:http://interesanteyutil.blogspot.com/2011/04/libro-de-matematicas-para-economia-y.html

Textoscomplementarios

Los dems que figuran en el slabo de la asignatura.

Plataforma virtual Herramientas a emplearse en plataforma virtual:Foros, tareas, chat, enlaces, examen, eleccin, pginas, entreotros

Objetivos Generales

Interpretar y aplicar acertadamente los tcnicas de la matemtica bsica como

modelos econmicos, el sistema de los nmeros reales, nociones bsicas de la

teora de conjuntos, ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, relaciones y

funciones, funciones de una variable real, introduccin a las derivadas, matrices y

determinantes, en el planteamiento y solucin de problemas econmicos.

Fomentar el razonamiento lgico, la capacidad deductiva y el uso del lenguaje

matemtico, de tal manera que permita al alumno realizar un anlisis eficiente de

las situaciones econmicas.


8/61


PRIMERA UNIDADINTRODUCCIN

OBJETIVO ESPECIFICO

Aplicar correctamente los teoremas y propiedades de los nmeros reales y lateora de conjuntos para dar solucin de una ecuacin.


9/61


1.1.1 Las Matemticas y la Ciencia Econmica

La actividad econmica ha sido parte de la vida humana durante miles de aos.La ciencia econmica dio un giro impresionante en el siglo XVIII con la publicacinde trabajos como el de David Hume, Poltical Discourses (1752), el TableauEconomiquede Franois Quesnay (1758-1759), o the Wealth of Nationsde Adam

Smith (1776). Se empezaron a formalizar los razonamientos econmicos. Haciala mitad del siglo XIX algunos autores comenzaron a usar las matemticas paraelaborar sus teoras. Entre los pioneros podemos citar a Agustn Cournot (fue elprimero en definir y dibujar una curva de demanda y en usar el clculo diferencial

para resolver problemas de maximizacin en economa) y Len Walras (que sedistingui por redactar y resolver el primer modelo multiecuacional para elequilibrio general de oferta y demanda en todos los mercados simultneamente).Descubrieron que muchas de sus ideas se podan formular de forma ms efectivausando el lenguaje matemtico, porque es ms preciso y conciso, existe una grancantidad de teoremas matemticos, se evita la adopcin de suposicionesimplcitas indeseables y permite tratar el caso general de variables. Es decir, eluso del lenguaje matemtico ha hecho posible la introduccin de conceptoseconmicos mucho ms sofisticados y de teoras econmicas cada vez mscomplejas.

Por ejemplo el dinamismo del sector construccin en nuestro pas tiene efectosfinales que son difciles de calcular sin recurrir a dispositivos matemtico formales.Qu consecuencias tendr esto para el empleo? En principio, se crearn nuevospuestos de trabajo en el sector. Sin embargo la creacin de nuevas casas requierede muchos materiales. As debe crecer el empleo en las empresas de suministrode estos productos. Pero estas empresas necesitan, a su vez, materiales quefabrican otras, y as sucesivamente. El incremento de la produccin conlleva alincremento del empleo y ste el de los ingresos, se producir una mayor demanda

de bienes de consumo, crece el empleo entre los productores de bienes deconsumo y nuevamente crece el flujo de datos de entrada.

El mtodo cientfico en la Ciencia Econmica incluye los siguientes elementosimportantes:

1.1. El uso de las matemticas en la cienciaeconmica. Modelos econmicos.


10/61


1. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenmenos (directamenteo por experimentos).

2. Procesamiento numrico y estadstico de los datos observados.3. Construccin de modelos tericos que describan los fenmenos

observados y expliquen las relaciones entre ellos.

4. Usos de esos modelos tericos para deducir predicciones5. Correccin y mejora de los modelos para que permitan mejorespredicciones.

As las ciencias empricas se asientan sobre procesos de observacin,modelizacin y verificacin.

1.2 Modelos econmicos

Hacia principios del siglo XIX, el matemtico alemn Gauss cuestion lageometra eucldea, desarrollndose la primera geometra no eucldea en ladcada de 1820. Desde entonces se acepta que slo las observaciones puedendecidir qu modelo geomtrico brinda la mejor descripcin del espacio fsico.Esto prueba que puede haber una diferencia importante entre un modelomatemtico y sus posibles interpretaciones en la realidad. Ms an, puede ocurrirque haya ms de un modelo capaz de describir un cierto fenmeno. Ciertamente,esto ocurre a menudo en economa.

Un modelo es solamente una representacin aproximada de la realidad. Nopodemos jams considerar todos los factores que influyen en un fenmeno tan

complejo. Es simplemente un marco terico y no necesariamente tiene que sermatemtico. Sin embargo, si el modelo es matemtico, por lo general consistiren un conjunto de ecuaciones diseadas para describir la estructura del modelo,stas ecuaciones relacionan cierta cantidad de variables entre s en ciertasmaneras. Entonces, mediante la aplicacin de las operaciones matemticas sepuede obtener un conjunto de conclusiones.

En matemticas hay dos tipos de cantidades: constantes y variables.

1. Constantes absolutas, que siempre tienen el mismo valor; tales cantidades

son nmeros, o bien, smbolos que representan nmeros.2. Constantes paramtricas o parmetros que mantienen el mismo valor en

un problema dado, pero pueden tener diferentes valores en otrosproblemas; tales cantidades dependen de la situacin particularrepresentada en el problema.


11/61


3. Variables son aquellas que toman todos los valores significativos posiblesen el problema; tales cantidades pueden variar discreta o continuamente,y estar restringidas, por ejemplo, a valores positivos.

En las matemticas puras se usan generalmente las letras iniciales del alfabetopara representar los parmetros, y las letras finales, para las variables. Sinembargo en las matemticas aplicadas hay muchas excepciones a estaconvencin, y con frecuencia una variable se representa a veces por la primeraletra de su nombre. Las variables de uso comn en economa son precio,ganancia, costo, ingreso, consumo, ingreso nacional, inversin, importaciones yexportaciones.

Un modelo econmico se puede resolver para obtener los valores solucin decierto conjunto de variables. Esta clase de variables, cuyos valores solucin sebuscan desde el modelo, se conocen como variables endgenas. No obstante, elmodelo tambin podra contener variables que estn determinadas por fuerzasexternas al modelo y cuyas magnitudes se aceptan como datos; este tipo devariables se llaman variables exgenas. Una variable que es endgena en unmodelo podra muy bien ser exgena en otro.

Ejemplo1:

a. En la ecuacin de una recta,

11 es una constante numrica, a y b son parmetros, son variables.

b. En la ecuacin para el costo total como una funcin de la produccin.

Donde Q denota la produccin, es el costo fijo (el valor de C cuando Q = 0) yQ es el costo variable (que para cada incremento unitario en Q, hay un

incremento constante de en C).

y son parmetros , C y Q son variables


12/61


1.2.1. Nmeros Reales

El siguiente mapa conceptual nos ayudar a comprender mejor como est

estructurado el conjunto de los nmeros reales.

FIGURA0.1Mapaconceptualdeltema:Losnmerosreales

El sistema numrico real consiste de un conjunto R de elementos denominados

nmeros reales y dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin, denotadas

por los smbolos + y , respectivamente. Si a y b son elementos del conjunto R, indica la suma de a y b, y o (ab) representa su producto. La operacinsustraccin se define mediante la ecuacin.

Donde denota el negativo de el cul es el nmero para el que 0La operacin divisin se define mediante la ecuacin

/ 0

1.2 El Sistema de los Nmeros Reales y Teora de Conjuntos


13/61


Donde representa el recproco de b, que es el nmero para el cul 1

El sistema numrico real puede describirse completamente mediante un conjuntode axiomas (la palabra axioma se emplea para indicar una proposicin formal quese considera verdadera sin demostracin). Con base en estos axiomas se puedendeducir las propiedades de los nmeros reales de las que se obtienen lasconocidas operaciones algebraicas de resolucin de ecuaciones y factorizacin,entre otros.Las propiedades que pueden obtenerse como consecuencias lgicas de losaxiomas se denominan teoremas. En los enunciados de la mayora de losteoremas se presentan dos partes: la parte del si llamada hiptesis, y la parte deentonces denominada conclusin. El argumento que verifica un teorema recibe

el nombre de demostracin (o prueba). Una demostracin consiste en mostrar quela conclusin se infiere de la supuesta verdad de la hiptesis.

Un nmero real es positivo, negativo o cero, y cualquier nmero real puedeclasificarse como racional o irracional. Un nmero racionales aquel que puedeexpresarse como la razn de dos nmeros enteros. Esto es, un nmero racional

es de la forma , son nmeros enteros y 0 ,

\ , 0

Los nmeros racionales consisten de:

Los nmeros enterospositivos o nmeros naturales (N), negativos y cero.

, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, Las fraccionespositivas y negativas, tales como

53 , 47, 18Los nmeros decimales finitospositivos y negativos por ejemplo34 0.75 32 1.5Los nmeros decimales infinitos peridicospositivos y negativos, tales como


14/61


23 0.666 411 0.3636 215 0.1333 Los nmeros reales que no son racionales se denominan nmeros irracionales

(I). stos son los nmeros decimales infinitos no peridicos positivos ynegativos, por ejemplo, 2Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta,

FIGURA0.2Larectadelosnmerosreales

Ejemplo 2

a) 4. 3 12; 5. 2 10 8: 2 4b) 5. 2 5. 7 10 35 1035 25c)

10. 3: 6 30: 6 5

d) Son nmeros racionales 4,9, , e) El nmero racional

admite diferentes representaciones en forma de fraccin, Todas estas fracciones son equivalentes entre s y es lafraccin irreducible.

f) 5 no es un nmero racional puesto que no se puede representar por unafraccin cuyo numerados y denominador sean nmeros enteros. Por la misma

razn,

, 31 5tampoco son nmeros racionales.

g) 5 es un nmero enteroh) 0,06 0,8son nmeros decimales finitos o exactos.i)

4,33333 4,3 es un nmero decimal peridico puro cuyo periodo es 3j)

3,0212121 3,021es un nmero decimal peridico mixto cuyo periodoes 21 y cuyo anteperiodo es 0.


15/61


k) Son nmeros irracionales 3 1,7320508 , 1 5 entre otros.l) Otro nmero es lim 1 2,71828182845905 .1.2.2 Conjuntos

En ocasiones se utilizar notacin y terminologa de conjuntos. La idea de conjuntose emplea extensivamente en matemticas y se considera un concepto bsico. Entrminos sencillos, un conjuntoes una coleccin de objetos, y los objetos de unconjunto se denominan elementos. Si cada elemento de un conjunto Fes tambin

un elemento de un conjunto G, entonces se dice que Fes un subconjuntode G.En clculo se tratar con el conjunto Rde los nmeros reales. Dos subconjuntosimportantes de R son el conjunto N de los nmeros naturales (o enteros positivos)y el conjunto Z de los nmeros enteros.

Se utilizar el smbolo para indicar que un elemento especfico pertenece a unconjunto. En consecuencia, se puede escribir 12 N, lo cual se lee 12 es unelemento de N. La notacin a, b F expresa que tanto a como b son elementosde F. El smbolo se lee no es elemento de. As a N se lee no eselemento de N.

Un par de llaves { }, empleado junto con palabras o smbolos, pueden describir unconjunto. Si F es el conjunto de los nmeros naturales menores que 7, puedeescribirse el conjunto F como

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

El conjunto Ftambin puede expresarse como

{x tales que x es un nmero natural menor que 7 }

Donde el smbolo x se denomina variable. Una variablees un smbolo que seemplea para representar cualquier elemento de un conjunto dado.

El conjunto F tambin se puede expresar por medio de la notacin por

construccin como sigue, donde se emplea una barra vertical en lugar de laspalabras tales que:

{ x | x es un nmero natural menor que 7}


16/61


Lo cual se lee el conjunto de todas las x tales que x es un nmero natural menorque 7

Dos conjuntos se dice que son iguales, lo que se escribe como , si

tienen elementos idnticos. La Uninde dos conjuntos

,denotada por

y que se lee A unin B, es el conjunto de todos los elementos que estnen , . La interseccinde ,denotada por y que selee A interseccin B, es el conjunto de slo aquellos elementos que estn tantoen . El conjunto que no contiene elementos recibe el nombre deconjunto vaco y se denota por .1.2.3 Orden en el conjunto de nmeros reales. Intervalos

En el conjunto de los nmeros reales existe una ordenacin natural que se puededefinir a partir de las relaciones de orden menor o menor o igual.

Dados dos nmeros reales distintos , se dice que es menor que y seescribe si es un nmero positivo. Se dice que es menor o igualque y se escribe si es un nmero positivo o cero.Si tambin se dice que y se escribe . Anlogamente, si tambin se dice que y se escribe .

A continuacin, se enumeran algunas propiedades que relacionan lasdesigualdades con las operaciones entre nmeros reales. Dados

, se

verifica:

1. 2. . . 0

. . 03. Si

y ambos tienen el mismo signo, entonces

Como caso particular, se cumple:

1 1 1


17/61


0 1 1 11 0 1

1

1 1 1Similares propiedades se verifican con la desigualdad en lugar de la desigualdad

.

Ejemplo 3:

a)

2 1 2 3 1 3 1 4

b) 3 4 2.3 2.4 6 8c) 1 2 1 d) 6 5 Las propiedades anteriores son muy tiles a la hora de resolver inecuaciones.

Ejemplo 4:

a) 3 8 3 3 3 8 5b) 5 10 5 . 10 2La ordenacin existente en el conjunto de los nmeros reales permite definir un

tipo de conjuntos en R que van a ser muy tiles: los intervalos. Se distinguen lossiguientes tipos de intervalos:

Intervalo abierto: , | Intervalo cerrado:, |


18/61


Intervalo semiabierto o semicerrado:

, | , | Los intervalos

que determinan cada uno de los conjuntos anteriores se

denominan extremosdel correspondiente intervalo.

Los intervalos que se han definido son intervalos finitos. Si se consideran lossmbolos como determinantes de uno de los dos extremos surgen losintervalos infinitos:

Intervalo infinito abierto:

(a, + | 0 , | Intervalo infinito cerrado:

[ a, + | 0 , | Notar que ,

A partir del concepto de intervalo, se define entorno simtrico de centro yradio 0como el intervalo abierto , | Ejemplo 5:

a) 3,7 , son intervalos finitos abiertos; , es un intervalo infinito abierto.b) 2,5 2,4 son intervalos finitos cerrados;, 1 122 0,son intervalos infinitos cerrados.c) 7 ,0 3,10 son intervalos semiabiertos o semicerrados.d) El entorno simtrico de centro cero 0 y radio 2 es el intervalo0 2 , 0 2 2, 2


19/61


Ejemplo 6:

a) El conjunto de valores de x que verifican 2 5 15 es el intervalo que secalcula a continuacin:

2 5 15 2 10

5, es decir, la solucin de la

inecuacin es el intervalo infinito abierto (-, 5b) El conjunto de valores de x que verifican 1 3 es el intervalo que se

calcula a continuacin: 1 3 4 2 2, es decir, la solucin de lainecuacin es el intervalo cerrado 2, 2

c) El conjunto de valores de x que verifican 5 10 se calcula a continuacin:

5 10 105 2 2 2

1.2.4 Valor absoluto de un nmero real

Dado un nmero real cualquiera, , se define su valor absoluto como 0 0El valor absoluto de representa la distancia del origen de la recta real al puntoque representa al nmero

.

Si , 0 se verifican las siguientes propiedades:1. 02. 3. (desigualdad triangular)4. . .5. = , con 06.


20/61


21/61


Cuando resolvemos una ecuacin podemos aplicar ciertas reglas para obtenerecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las mismassoluciones que la ecuacin dada originalmente. Estas reglas incluyen la suma (oresta) del mismo polinomio de ambos miembros, as como la multiplicacin (odivisin) de ambos miembros, por (entre) la misma constante, excepto por (entre)

cero.

Una ecuacin lineal (en x) es de primer grado y tiene la forma 0, donde 0. Toda ecuacin lineal tiene exactamente una raz. Para resolver unaecuacin lineal hay que aplicarle operaciones matemticas hasta obtener unaecuacin equivalente en la que la incgnita queda aislada de un lado de laecuacin.

Una ecuacin cuadrtica (en x) es de segundo grado y tiene la forma

0, donde

0. Tiene dos races reales y diferentes, exactamente

una raz real, o bien no tiene races. Una ecuacin cuadrtica puede resolversepor factorizacin o por medio de la frmula cuadrtica:

42 Ejemplo 8:

Si

, 3. 3. y

, 2,entonces la ecuacin

3. 3. 2Tiene como conjunto solucin , : 1El cual contiene infinitos pares reales.

Desde el punto de vista geomtrico, el conjunto solucin de una ecuacin es elconjunto de puntos (de la recta, del plano, del espacio de 3dimensiones o de unhiperespacio) donde se intersectan los grficos de las funciones y .En el ejemplo, los grficos de las funciones

, 3. 3. y , 2Se representan por dos planos en el espacio tridimensional. El conjunto solucin , : 1,es el conjunto de los puntos de una recta en el plano bidimensional.


22/61


1.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de las cuales interesanlas races comunes. Sean , , , los conjuntos solucin de un sistemacon k ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar la interseccin

de sus conjuntos solucin.

Un sistema de ecuaciones es lineal cuando todas las funciones que intervienen enlas ecuaciones son funciones polinmicas de hasta grado 1. Los siguientes sonejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales.

2. 3 2. 2. 1 . 1La llave a la izquierda indica que el par de ecuaciones forma un sistema, esto es,

que interesa encontrar el conjunto de pares ,que satisfacen a la vez ambasecuaciones.La forma de un sistema lineal con n incgnita y m ecuaciones es la siguiente:

. . . . . . .

. . . Si , , , son todos nulos, entonces el sistema lineal se dice homogneo.Si el sistema lineal es homogneo, entonces el conjunto solucin no es vaco(siempre tiene races).Todo sistema lineal de ecuaciones puede clasificarse en una y solo una de trescategoras:

Sistema compatible determinado: el conjunto solucin tiene una nica raz.

Sistema compatible indeterminado: el conjunto solucin admite infinitas races. Sistema incompatible: el conjunto solucin es el conjunto vaco.

Para resolver un sistema lineal de ecuaciones se pueden utilizar varios mtodos:

Mtodo de Gauss Regla de Cramer Reduccin a un sistema de Cramer.


23/61


En el captulo sobre Matrices volveremos sobre la regla de Cramer, para resolversistemas lineales, utilizando el enfoque matricial.

ACTIVIDADES DE LA PRIMERA UNIDAD

1. Elaborar un mapa conceptual sobre el tema las matemticas y la cienciaeconmica.

2. Indicar a que conjuntos numricos pertenecen cada uno de los siguientesnmeros: 84 , 187 , 4, 5, 1 3, 6, 425 , 32 , 35 , 68

3. Escriba lo siguiente en notacin de conjuntos:

a. El conjunto de los nmeros reales mayores que 34b. El conjunto de los nmeros reales mayores que 8 pero menores que 65.

4. Dentro del parntesis coloque V si la proposicin es verdadera o F si la proposicines falsa.( ) Todos nmero racional el entero( ) Los nmeros naturales son un subconjunto de los reales.( ) Todo nmero irracional es real.( ) Todas la races inexactas son nmeros racionales.( ) Los nmeros racionales son un subconjunto de los enteros.

5. Dentro del parntesis coloque el subconjunto de los nmeros reales al que pertenececada nmero.( ) 3/5( ) 135( ) 10

( ) 376. Expresar mediante intervalos los siguientes subconjuntos de R:

a. | 4 3 2 b.

|

3

4 0

7. Ordenar los siguientes nmeros reales de menor a mayor: ,, ,4,5, 8. Determinar la expresin decimal de los nmeros racionales

, y decirde qu tipo son.

9. Realizar de forma detallada las siguientes operaciones simplificando elresultado:


24/61


a. 2 4 3 4b. 24 3 4 c.

6 d. 5 3 e. 2 1 3 2

10. Determinar el signo de las siguientes expresiones teniendo en cuenta que esun nmero real negativo, positivo y ||||:a. b. bc. d. || e. || ||f.

| |

11. Resolver las siguientes ecuaciones en N, Z, Q y R:a. 2 4 6b. 2 6 4c. 5 7 3d.

e. 3 5 7


25/61


SEGUNDA UNIDADFUNCIONES DE UNA VARIABLE

OBJETIVO ESPECFICO

1. Representar y aplicar relaciones en los nmeros reales, determinandocorrectamente su dominio, contradominio y grfica. Representar y construirfunciones reales de variable real.


26/61


Un conjunto de pares ordenados de nmeros reales recibe el nombre de relacin

binaria. El conjunto de los primeros elementos de una relacin binaria se llamadominio de la relacin, denotado por . El conjunto de los segundoselementos es el contradominio o imagende la relacin, denotado por . Paraun conjunto dado , las cantidades y se denominan variables. Elconjunto de valores que toma la variable es el dominio, y suele llamarse lavariable independiente; el conjunto de valores que toma la variable es elcontradominio, y a se le denomina por lo general, variable dependiente.Cuando a partir del contexto, resulta claro el nmero de variables, una relacinbinaria puede llamarse simplemente relacin.

Si la relacin es tal que en ella a cada elemento del dominio le corresponde uno yslo un elemento del contradominio, se dice que esta relacin es una funcin.

Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.Una variable es funcin de otra si la primera depende de la segunda. En unaconversacin ordinaria utilizamos la palabra funcin de una forma anloga.Decimos por ejemplo, que la tasa de mortalidad infantil de un pas es funcin dela calidad de su atencin mdica, o que el producto nacional bruto es funcin delnivel de inversin. En ambos casos, obtener una frmula que represente a la

funcin exactamente es tarea difcil. Una funcin no slo se puede representar atravs de una frmula matemtica, una tabla puede tambin establecer la relacin.Tambin se puede ilustrar la dependencia entre dos variables mediante una curvao un grfico.

2.2.1 Definicin de funcin

Se llama funcin real de variable real a cualquier aplicacin : ,es decir, cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D es un niconmero real.

Habitualmente, la notacin que se usa para representar una funcin es ,dondees la aplicacin que indica cmo se obtiene el valor de conocido el valorde .

2.1 Introduccin

2.2 Funciones de una Variable Real


27/61


La notacin " " , denominada valor de funcin, se debe almatemtico y fsico Suizo Leonhard Euler (1707-1783).

Como hemos mencionado anteriormente, el dominio de definicin de , es elconjunto de nmeros reales para los cuales existe . Es decir:

En los modelos econmicos, para determinar el dominio no slo hay queconsiderar la existencia matemtica de , sino tambin que tenga sentido enel contexto econmico considerando tanto como .En economa se llama a menudo a variable exgena, mientras que es lavariable endgena.

Ejemplo 9:

a) El coste total (en nuevos soles) de la produccin de q unidades de un ciertobien viene dado por:

200 1000Hallar el dominio de C y el coste de producir 25, 100 y a unidades. Supongamosque la empresa produce a unidades; hallar el incremento de coste en la produccinde una unidad adicional.

Solucin:

El 0, 0 , la produccin ( no puede tomarvalores menores a cero para que tenga sentido en el contexto econmico.

El coste de producir 25 unidades se halla sustituyendo por 25 en la frmulade y as anlogamente con 100 y :25 200 . 2525 1000 200 . 25 . 5 1000 26 000

100 200 . 100 . 100 1000 201 000 200 1000

El coste de produccin de 1unidades es 1, luego el aumento decoste es

1 200 1 1 1000 200 1000b) El dominio de la funcin es 0,ya que para que exista, debe ser mayor o igual que 0, y adems como est en el denominador

no puede ser 0.


28/61


La imagen dese puede definir tambin como: Ejemplo 10:

Dada 3, al estar definida por un polinomio existe paracualquier nmero real, luego . Adems se verifica que .

Dada 1, para que exista se debe cumplir que 1 0,yaque no existe la raz cuadrada de nmeros negativos. Por tanto, se debe

cumplir x 1y por ello 1,y 0, .2.2.2 Tipos de funciones

Funciones polinomiales: Una funcin polinmica de grado n es de la forma:

Con , 0El dominio (D) de estas funciones es R

Ejemplo 11: + 5- 12 Funciones constantes: Una funcin cuya imagen consiste slo en un

elemento se llama funcin constante. El valor de la no cambia sin importarel valor de . Es decir, el dominio (D) de estas funciones es R.Ejemplo 12: 5

Funciones racionales: Son funciones de la forma:

Siendo y funciones polinmicas. El dominio (D) est formado portodos los nmeros reales (R) que no son races del polinomio del denominador.Ejemplo 13:

Funciones Irracionales: Son funciones de la forma


29/61


Donde R(x) es una funcin racional y un nmero natural mayor que 1.Si n es impar el dominio de esta funcin es igual al dominio de R(x). Si nespar el dominio de esta funcin est formado por todos los nmeros realespara los que

0

Ejemplo 14: 1 Funciones no algebraicas: Cualquier funcin expresada en trminos de

polinomios o races, o ambas cosas por ejemplo la raz cuadrada de polinomioses unafuncin algebraica. En consecuencia las funciones analizadas hastaaqu son algebraicas. Sin embargo las funciones exponenciales como sonno algebraicas. Las funciones logartmicas, como son tambinno algebraicas. Otras clases de funciones no algebraicas son las funcionestrigonomtricas.

A las funciones no algebraicas tambin se le conoce con el nombre defunciones trascendentes.

Una funcin se dice: Funcin crecienteen un Intervalo si para cualquier par de puntos, I, tales que se verifica f() f() Funcin estrictamente creciente en un Intervalo I D si para cualquier

par de puntos , I, tales que se verifica f() f() Funcindecrecienteen un Intervalo

si para cualquier par de

puntos , I, tales que se verifica f() f() Funcinestrictamente decreciente en un Intervalo si paracualquier par de puntos , I, tales que se verifica f() f()Ejemplo 15:

estrictamente creciente decreciente pero no estrictamenteDecreciente en 0,

Figura0.3:Tiposdefunciones

Funcin cncavaen un Intervalo si dados dos puntos cualesquieracualquier par de puntos , I, el segmento que une los puntos


30/61


( , f () ,f()) nunca se sita por encima de la grfica. Funcin estrictamente cncava en un Intervalo si dados dos puntos

cualesquiera cualquier par de puntos , I, el segmento que une lospuntos ( , f () , f ()) se sita por debajo de la grfica.

Funcin convexaen un Intervalo

si dados dos puntos cualesquiera

cualquier par de puntos

, I, el segmento que une los puntos

( ,f() ,f()) nunca se sita por debajo de la grfica. Funcin estrictamente convexa en un Intervalo si dados dos puntos

cualesquiera cualquier par de puntos , I, el segmento que une lospuntos ( , f () , f ()) se sita por encima de la grfica.

Ejemplo 16:

Cncava pero no estrictamente estrictamente convexa en cncava en .Figura0.4:Tiposdefunciones

2.2.3 Operaciones con Funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real con dominios y respectivamente. Se definen las funciones.

Suma de y f g x fx gx Df g Df DgProducto depor un escalar t. fx t . fx Dt. f DfProducto dey f. gx fx. gx D f.g Df DgCociente dey f/g x fx/ gx D f/g Df x Dg /gx 0


31/61


Composicin de yfg x fgx D fg x Dg /gx DfInversa de

y x fx y D La es inversa en caso de sea inyectiva y las grficas de una funciny de su inversa son simtricas respecto a la recta .Ejemplo 17:

(a) Dada las funciones: , 3 1, vamos arealizar las siguientes operaciones:

3 1

5. 5 . 3 1 3 1 3 1

(b) La funcin 3 1 es inyectiva, para calcular su funcin inversa hayque operar de la siguiente forma: Intercambiando las variables en 3 1,queda 3 1y despejando la y tenemos que , luego .

Un sistema de coordenadas rectangulares nos permite representar de manerageomtrica ecuaciones en dos variables, as como funciones. La grfica de unaecuacin en y consiste en todos los puntos (, que corresponden a lassoluciones de la ecuacin. Para obtenerla trazamos un nmero suficiente de

puntos y los conectamos (en donde sea apropiado), de modo que la forma bsicade la grfica sea visible. Los puntos en donde la grfica interseca al eje y al eje se denominan interseccin e interseccin , respectivamente. Unainterseccin se encuentra al hacer igual a cero y resolver para ; unainterseccin se encuentra al hacer igual a cero y resolver para .

2.3 Grfica de un Funcin


32/61


Se llama grfica deal conjunto de todos los pares de nmeros reales que tienencomo primera componente cualquier valor del dominio de y como segunda sumbito. Se denota por . Es decir, , , Se deduce que la grfica de una funcin

es la misma que la grfica de la

ecuacin .Ejemplo18:

1

Figura0.5:Tiposdefunciones

Note que el segundo ejemplo, b), no corresponde a una funcin porque la grfica

de una funcin tiene la propiedad de que una recta vertical que pase por cualquier

punto del eje OX la corta a lo sumo una vez, de lo contrario significara que un

mismo nmero tendra ms de una imagen por lo que no sera aplicacin, y por

tanto tampoco funcin.

Cuando la grfica de una ecuacin tiene simetra, el efecto de imagen de espejo

nos permite bosquejar la grfica con menos puntos que de otra forma seran

necesarios. Las pruebas para simetra son las siguientes:

Simetra con respecto al eje : Reemplace en la ecuacin dada. Simetra con respecto al eje Reemplace en la ecuacin dada. Simetra con respecto al origen: Reemplace y en la

ecuacin dada.

Es simtrica si se obtiene una ecuacin equivalente.


33/61


Ejemplo 19:

La funcin h est definida por

9 3

Determine el dominio, su imagen y dibuje la grfica.

Solucin: como h(x) est definida en todo x, excepto 3, el dominio de h es el

conjunto de los nmeros reales (R) excepto 3, cuando 3, tanto el numeradorcomo el denominador son cero y

no est definido. 3 3La grfica de h consta de todos los puntos de la recta 3excepto el punto

3,6), y se muestra en la figura 0.6. El contradominio (imagen) de h es el conjunto

de todos los nmeros reales excepto 6.

Figura

0.6:

La

recta

Algunas veces la grfica de una funcin puede obtenerse a partir de una funcin

conocida, por medio de un desplazamiento vertical hacia arriba o hacia abajo, un

desplazamiento horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, una reflexin con


34/61


respecto al eje x o al eje y, o bien un alargamiento o una contraccin vertical endireccin del eje x. Tales transformaciones estn indicadas en el siguiente cuadro:

Tabla N 1 Transformaciones, 0Ecuacin Cmo Transformar la grfica?

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. , 18. , 1

Desplazar c unidades hacia arriba.Desplazar c unidades hacia abajo.Desplazar c unidades hacia la derecha.Desplazar c unidades hacia la izquierda.Reflejar con respecto al eje x.Reflejar con respecto al eje y.

Alargar verticalmente alejndose del eje x (c).Contraer verticalmente hasta el eje x (c).

2.4.1 Inclinacin y pendiente de la recta

Una relacin lineal entre las variables e es de la forma:

y

constantes)

La grfica de la ecuacin es una recta. Si designamos pora la funcin que asigna a , entonces y se llama funcin lineal (normalmente losmatemticos reservan este nombre para las funciones definidas por . Elnmero se llama pendiente de la funcin.Si elegimos un valor arbitrario de x. Entonces 1 1 . Esto indica que la pendiente se puede interpretar como el cambio enel valor de la funcin cuando

aumenta en

1unidad.

Tambin podemos decir que la pendiente es la tangente trigonomtrica del nguloque forma el eje OX positivo con dicha recta.

2.4 Funciones lineales: Pendiente y ecuaciones de la recta


35/61


Ejemplo 20:

La recta que pasa por los puntos 0,2 2,0est representada por la siguientefigura. La inclinacin de esta recta es igual a 45y su pendiente es 45 1

Figura

0.7:

Pendiente

de

una

recta

La pendiente de la recta r es:

Donde , , son dos puntos distintos cualesquiera de r.Para el ejemplo anterior: 0 22 0 1Si la pendiente es positiva, la recta est inclinada hacia arriba a la derecha y,mientras mayor es el valor de , ms vertical es. Por otra parte, si es negativa,la recta est inclinada hacia abajo a la derecha, y el valor absoluto de mide lacuanta de esta inclinacin. En el caso particular en que 0 (pendiente nula) para todo , y la recta es paralela al eje .Los tres casos se recogen en lasiguiente figura:

Figura0.8:Tiposdependientes


36/61


Ejemplo 21:

Sea 0,15 0,14,q la funcin estimada de demanda anual de arroz enIndia en el periodo 1949-1964 ( es el precio y es el consumo por persona).Solucin: La pendiente es

0,15lo que nos dice que, si el precio aumenta en 1

unidad, entonces la cantidad demandada disminuye 0,15 unidades.

2.4.2. Ecuaciones de la Recta:

Forma de punto y pendiente

La ecuacin de la recta r que pasa por el punto ,y tiene pendiente y , es cualquier otro punto de la recta, la pendiente viene dadapor la frmula:

Multiplicando cada miembro por , se obtiene

Ntese que, son nmeros fijos, que expresan las coordenadas deun punto fijo. Por otra parte son variables que designan un puntoarbitrario de la recta.

Ejemplo 22:

La ecuacin de la recta que pasa por el punto1,4y tiene por pendiente2es 4 2 1 Forma de dos puntos

La ecuacin de la recta que pasa por , , ), donde , seobtiene como sigue:

Paso 1: Calclese la pendiente de la recta: Paso 2: Sustityase la expresin de en la frmula punto-pendiente.


37/61


Ejemplo 23:

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos 4,2 1,3es 3 2

1 4 1

2 1 4 2 4 2 Ecuacin general de la recta:

La ecuacin general de una recta en el plano es 0Siendo, nmeros reales y las variables las coordenadas de unpunto cualquiera de la recta.

As, un punto ,del plano pertenece a la recta si verifica la ecuacin.Ejemplo 24:

Para comprobar si los puntos 0,4, 2,1 2,1pertenecen a la recta 3 2 8, sustituimos las coordenadas en cadapunto de la ecuacin.

o Punto P: 3.02. 4 8,por tanto, P pertenece a la recta.o Punto Q: 3.22.1 62 4 8, por tanto, Q a la recta.o Punto R: 3.22. 1 6 2 8,por tanto R pertenece a la recta.

Distancia entre dos puntosSean , , , dos puntos cualesquiera. Por el teorema dePitgoras, la distancia entre esos puntos verifica la ecuacin

Ejemplo 25:

Hallar la distancia entre los puntos 4,3 5, 1Solucin: 45 3 1 9 4 81 16 97 9,85

Figura0.9:Distanciaentredospuntos


38/61


Una funcin

es una funcin cuadrtica si y slo si

puede escribirse en la

forma , donde , son constantes y 0.La grfica de la funcin cuadrtica se llama parbola. Si 0, la grfica seextiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parbola abre hacia

arriba. Si 0, entonces la parbola abre hacia abajo. (Vase la fig 10)

Figura10:Grficasdelaparbola

Cada parbola en la figura 10 Es simtrica con respecto a una recta vertical,llamada el eje de simetra de la parbola. El eje de simetrano es parte de laparbola, pero nos ayuda a hacer su bosquejo.

La figura 10 tambin muestra puntos marcados como vrtice, donde el eje cortaa la parbola. Si 0 , el vrtice es el punto ms bajo de la parbola. Estosignifica que tiene un valor mnimo en el punto , , .Si 0, la tiene un valor mximo en el punto , , .Ejemplo :

Completar el cuadrado, para las funciones siguientes y hallar el mximo o mnimo

de cada una: a) 4 3 b) 2 4 600

2.5 Funciones cuadrticas


39/61


Solucin:(a) 4 3 4 3 4 4 4 3 2-1

La expresin 21 1 2.(b) 2 40 600 2 20 600

2x

20x 100 200600

2x 10 400La expresin -2( 10 400 400 0.ACTIVIDADES DE LA SEGUNDA UNIDAD

1. Determinar el dominio y mbito de las siguientes funciones:

A. El coste por da de una empresa C es funcin de su produccin diaria q segnla relacin C = 800 + 20q. Si la empresa tienen una capacidad lmite deproducir 5000 unidades al da. Cul es el dominio y el mbito de la ?

B. y 9C. 2 1

2. Dadas las funciones: , 3 1, 1

.

3. La funcin 3 1 es inyectiva, calcular la inversa de .4. Sea la funcin de demanda general de un bien A,

2y- Siendo la renta, el precio del bien A, los precios de otros bienes.Sabiendo que inicialmente

50y ,

2

3 = 5

a) Determinar la cantidad de ese bien que inicialmente se demandab) Obtener la expresin de su demanda directac) Obtener la expresin de la demanda en funcin de la rentad) Determinar la relacin existente entre los bienes A y B, sabiendo que el bien

B tiene una demanda decreciente respecto de su precio.e) Determinar la relacin existente entre los bienes A y C, sabiendo que el bien

C tiene una demanda decreciente respecto de su precio.


40/61


5. Supongamos que el coste total de fabricacin de x unidades productos est dado

por la funcin: 5 32a) Cul es el coste de fabricacin de 12 productosb) Cul es el coste de fabricacin del duodcimo producto?

c) Expresar el coste de fabricacin medio como funcin de x

6. Escribir la ecuacin de la recta que pasa por los puntos 5,2 2,4y esbozarla grfica.

7. Escribir la ecuacin de la recta que corta al eje de abscisas en 4 y al de ordenadas

en -3. Esbozar la grfica.

8. Hallar la ecuacin de la recta formada por los puntos que equidistan de

5,2 2,1y esbozar la grfica.

9. Indicar que caractersticas tienen las funciones cuyas grficas son las siguientescurvas:

10. (a) Sea 4 .Rellenar la tabla siguientex -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

(c) Usando la tabla anterior, dibujar la grfica de f.

(c) Determinar el mnimo.

(d) Resolver la ecuacin

= 0

11. Completar los cuadrados en las siguientes funciones cuadrticas y determinar su

mximo o mnimo:

(a) 4(b) 6 18(c) 9 6 44


41/61


OBJETIVO ESPECFICO

Aplicar el clculo diferencial en el desarrollo y resolucin de problemaseconmicos.

TERCERA UNIDAD

CLCULO DIFERENCIAL DE UNA


42/61


La pendiente de una lnea curva es ms difcil de calcular debido a que no es constante.

Depende de en qu parte de la curva se calcula.

Existen dos formas de calcular la pendiente de una lnea curva: En un punto o de unextremo a otro de un arco de la curva.

Pendiente en un punto.- Para calcular la pendiente en un punto sobre una curva, setraza una lnea recta que tenga la misma pendiente que la curva en el punto encuestin (lnea tangente).

Figura11:Pendienteenunpuntodelacurva

Si la recta toca la curva en el punto P, la pendiente de la curva en el punto P debe ser lamisma que la pendiente de la recta.

y

3.1 Pendientes de una curva


43/61


Pendiente de un extremo a otro de un arco.- Un arco de una curva es un

segmento de la misma curva.

Figura12:Pendientedeunextremoaotrodeunarco

Es calcular la pendiente promedio entre dos puntos.

Ejemplo 26:

Dibuje una grfica que muestre la relacin entre dos variables .

Figura13:Grficodelacurva

1. Es la relacin positiva o negativa?

La relacin es positiva debido a que conforme aumenta el valor de

aumenta tambin el valor de .2. Aumenta o disminuye la pendiente de la relacin conforme aumenta el

valor de x?

Conforme aumenta el valor de aumenta la pendiente de la relacin,debido a que 1 (es constante), mientras aumenta cuando


44/61


aumenta. Por tanto, el cociente de diferencias tambin aumenta y la curvase hace ms vertical.

3. Calcula la pendiente de la relacin entre

, cuando

4

Figura14:Pendienteenelpuntodondex=4

3 6 1 66 4 202 104. Calcule la pendiente a travs del arco, cuando x aumenta de 3 a 4.

Figura15:Pendientedelarcocuandoxaumentade3a4

16 94 3 7


45/61


Dada una funcin real en el que la funcin es continua,se sabe que cuando

toma valores infinitamente prximos a

,

se aproxima a

, pero la continuidad no informa de cmo se realiza esta aproximacin, por ejemplo,creciendo, decreciendo El concepto de derivada que a continuacin se defineproporciona esta informacin.

, denominado incremento de la variable independiente, este valor da unamedida de la proximidad entre ,de forma que es equivalente a 0. , denominado incremento de la variable dependiente, estevalor da una medida de la proximidad entre

.

Se llama cociente incremental al valor Si se considera puntos infinitamente prximos a hay que calcular el lmite del cocienteincremental cuando ,lo que nos lleva a la definicin de derivada en el punto .Se llama derivada de en el punto ,al nmero real, si existe, dado por:lim

Utilizando incrementos este lmite se puede escribir de la forma

lim lim Teniendo en cuenta que La derivada se denota habitualmente por, o .Si existese dice que es derivable en el punto Ejemplo 27: Dada la funcin 2 1, se calcula 1como sigue:

3.2 La Pendiente de tangente y la derivada. Pinceladas de lmites.


46/61


1 lim 1 1 lim 2 1 0 1 lim 2 1

12 1 lim2 12 3Es

fcil

entender

la

idea

geomtrica

que

hay

detrs

de

la

definicin

de

derivada.

Consideremos

unpuntoPdeunacurvadelplano(vaseFigura16 ).TomemosotropuntoQdelacurva.LarectaquepasaporPyQsellamaunasecante(quecorta).SisedejaPfijoysemueveQ

sobrelacurvaacercndoseaP,lasecantegiraralrededordeP,comoseindicaenlaFigura17)

Figura16 Figura17

Hemos interpretado la derivada de una funcin como una pendiente de la tangente a su

grfica en el punto de que se trate. Veamos cmo se puede interpretar en general la

derivada como tasa de variacin. En el anlisis esttico comparativo, el problema

consiste en hallar una tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable endgenarespecto al cambio en un parmetro particular o variable exgena.

Supongamos que una cantidad est relacionada con una cantidad por .Si se da a x un valor a, el valor de la funcin es . Supongamos que se cambia por . El nuevo valor de y la variacin del valor de la funcin, cuando xvara de a ,es .La variacin de por unidad de variacin de x

3.3 Tasa de variacin


47/61


tiene un nombre especial, la Tasa media de variacin de en el intervalo , , yvale Tomando lmite cuando h tiende a 0 se obtiene la derivada de la funcin en, .

El proceso de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin, en los subtemasanteriores de la unidad hemos usado la definicin de derivada, aqu vamos a consideraralgunas reglas muy sencillas que se derivan de la definicin.

Si es una constante ,su derivada es igual a 0Ejemplo 28: Sea launa constante 20 0 Las constantes aditivas desaparecen al derivar:

Ejemplo 29:

100 (a es una constante arbitraria)Ejemplo 30: 5 3

Consideremos una empresa que produce un bien en un periodo dado. Sea costede produccin de x unidades, ingreso por venta de x unidades y Beneficio de produccin (y venta) de unidades.

3.4 Reglas sencillas de derivacin



48/61


Llamamos a el coste marginal(en , a el ingreso marginaly a elbeneficio marginal. Los economistas usan a menudo la palabra marginal de estamanera con el significado de derivada.

Otro ejemplo sera la propensin marginal al consumo que viene a ser la derivada de

la funcin de consumo respecto al ingreso; anlogamente, el producto marginal deltrabajo (o productividad marginal del trabajo) derivada de la funcin de produccinrespecto al trabajo.

El coste marginal es igual a:

lim Como, normalmente, una empresa produce muchas unidades de , entonces se puede

considerar que

1es un nmero cercano a 0 y obtenemos la aproximacin

1 1 As el coste marginal es aproximadamente igual al incremento de coste 1 , que es el coste adicional de producir una unidad ms de .ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

1.- Dibuje una grfica que muestre la relacin entre dos variables

a. Es positiva o negativa la relacin?

b. Aumenta o disminuye la pendiente de la relacin conforme aumenta el valor

de x?

c. Calcule la pendiente de la relacin cuando x = 3d. Calcule la pendiente de la relacin a travs del arco, cuando aumenta

de 1 a 2.


49/61


2.-Hallar la pendiente de la tangente a la grfica de las funciones siguientes en lospuntos que se indican

a. 3 2 0,2b.

1 1,0

c. 2 3,3d. 2 0,0e. 1,1

3.- La funcin de demanda de un bien de precio P est dada por la ecuacin

. Hallar

4.- Sea el 3 100 la funcin de costes de una empresa.Cul es el coste marginal 100?

5.- Si el ahorro total de un pas es una funcin del producto nacional Y, entoncesse llama propensin marginal al ahorro (PMA). Hallar la PMA para las siguientesfunciones:

(a) (b) 100 10 26.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes usando las reglas sencillas:

(a) 5(b) 9(c) 4 200

7.- Supongamos que conocemos . Hallar las derivadas de las siguientesfunciones usando las reglas:

(a) 2 3(b) 8(c)

(d) 4


50/61


OBJETIVO ESPECFICO

Aplicar el clculo matricial para resolucin de sistemas de ecuaciones lineales yde problemas relacionados con la ciencia econmica.

CUARTA UNIDAD

MATRICES Y DETERMINANTES


51/61


4.1.1. Definicin de Matrices

Se llama matriz de orden a un conjunto de elementos dispuestos de filasy columnas. Siendo el elemento que se encuentra en la fila y la columna .

Las matrices se denotarn usualmente por letras maysculas, A, B,,y los elementosde las mismas por minsculas, a, b,

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos situados en el mismolugar coinciden.

4.1.2. Tipos de Matrices

Segn su orden

a. Matriz rectangular: Una matriz cuadrada es una matriz rectangular

Ejemplo 31:

Es una matriz rectangular de orden 3 2b. Matriz cuadrada: Una matriz cuadrada tiene el mismo nmero de filas

que de columnas, es decir, Ejemplo 32:

4.1 Conceptos bsicos de Matrices


52/61


Entonces, A es una matriz cuadrada de orden 2 y su diagonal principal est

formada por los elementos 3 7. Si una matriz no es cuadrada, entoncesse dice que es rectangular.

c. Matriz fila:

1

Ejemplo 33:

d. Matriz columna: 1Ejemplo 34:

Segn sus elementos:

a. Matriz Nula: Se denomina matriz nula a una matriz que tiene todos sus

elementos iguales a cero.

Ejemplo 35:

b. Matriz Triangular Superior: Una matriz cuadrada es una matriz triangular

superior o simplemente una matriz triangular, si todos los elementos bajo ladiagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo 36:

c. Matriz Triangular Inferior: Una matriz cuadrada es una matriz triangular inferior,

si todos los elementos sobre la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo 37:

d. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada es diagonal, si todos sus elementos no

diagonales son cero. Se denota por D = diag ( , , .Ejemplo 38:


53/61


e. Matriz Identidad o Unidad. La matriz N-cuadrada con unos en la diagonal

principal y ceros en cualquier otra posicin, denotada por I, se conoce comomatriz identidad.

Ejemplo 39:

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Dadas dos matrices A = aijy B= bij de orden mxn, la matriz suma A + B es otra matrizde mxn.

SUMA: A + B = RESTA: A B =

Ejemplo 40:

Sean las matrices

1 3 4 4 2 5

0 7 2 312 1

2 0 7

7 132

Las matrices a sumar o restar no tienen por qu ser cuadradas. Las propiedades de la

suma y resta de matrices son las mismas que para la suma y resta de nmeros:

asociativa, existencia de neutro (matriz nula), existencia de opuesto yconmutativa.

4. 2 Operaciones con Matrices


54/61


PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dados una matriz A = aij de mxn y un nmero real t, la matriz producto es otra matrizde orden mxn que se obtiene multiplicando cada elemento de A por t.

Ejemplo 41:

5 1520 0


55/61


PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A= aij de orden mxp y B= bij de orden pxn, la matriz producto ABes otra matriz de mxn, es decir, para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tenerel mismo nmero de columnas que filas la segunda.

Ejemplo 42:.

. 2.311 2.1 1. 20.3 31 0.1 3.24.361 4.16.2 7 03 618 8

Dada una matriz cuadrada A de orden n se dice que es regular o tiene matriz inversa si

existe otra matriz del mismo orden llamada , verificando Ejemplo 43:

Supongamos

y

6 5 10 103 3 5 6 1 00 1

El estudiante verificar que.

4.3 Matriz Inversa


56/61


Trasposicin de matrices

Dada una matriz A= aij de orden mxn, la matriz traspuesta , es una matriz de ordennxm que se obtiene intercambiando las filas y las columnas de A.

Ejemplo 44: La traspuesta de A

3 21 01 1 Una matriz cuadrada A es simtrica si


57/61


A cualquier matriz cuadradaA se le puede asociar un nmero real, que se denominadeterminante de A. Este nmero se suele simbolizar

|| o det(A) y se calcula como sigue:

Determinante de orden 1: |||| Ejemplo 45: |12| 12, |5| 5

Determinante de orden 2: || Ejemplo 46: 4.8 15 32 5 37

Determinante de orden 3 (regla de Sarrus)

|| Ejemplo 47:

61

Determinante de orden n: Para este clculo es necesario conocer los conceptos demenor complementario y de adjunto del elemento de una matriz cuadrada A.El menor complementario del elemento de una matriz A es el determinante de lamatriz que se obtiene al quitar la fila y la columna de la matriz A.

Adjunto del elemento de una matriz A es el producto de 1 por el menorcomplementario del elemento . Se simboliza .Ejemplo 48:

El menor complementario del elemento de A es, 0.2 21 2, este determinante es el de la submatriz de A obtenida alquitarle la primera fila y la tercera columna.

El adjunto del elemento de A es: 1 = 1 2

4.4. Determinacin del Valor del Determinante


58/61


El determinante de una matriz cuadrada A de orden n se calcula efectuando la sumade los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos,es decir:|| (Desarrollo por la fila i)

|| (Desarrollo por la columna j)Ejemplo 49:

Para calcular || , en primer lugar elegimos una fila o columna paradesarrollar el determinante, por ejemplo la primera fila.

As, || 2. 1 3. A continuacin calculamos los adjuntos necesarios:

1 0 51 115 5 1 3 52 1113 13

1

3 02 1 13 3

En consecuencia || 2.5 113 33 10 13 9 32

Un sistema de ecuaciones lineales, por grande que sea, se puede escribir en unanotacin matricial compacta, esta clase de sistemas de ecuaciones se puede resolver al

hallar la inversa de la matriz de coeficientes, siempre que exista la inversa. Cmo probarla existencia de la inversa y cmo hallarla?

Una determinada matriz de coeficientes puede tener inversa (es decir, puede ser nosingular) slo si es cuadrada (condicin necesaria) y sus renglones son linealmenteindependientes (o sus columnas son linealmente independiente), es decir, ninguno debeser una combinacin lineal del resto (condicin suficiente).

4.5. Resolucin de Sistemas de Ecuaciones. La Regla de Cramer.


59/61


Para determinar la no singularidad de una matriz se puede hacer uso tambin deldeterminante, ste debe ser diferente de cero ( || 0.La Regla de Cramer

El mtodo de inversin de matriz anteriormente estudiado nos permite deducir una formaprctica de resolver un sistema de ecuaciones lineales, conocida como regla de cramer.

Como || 0, existe, lo que permite despejar X: nica solucin del sistema.Esta misma solucin se puede calcular de otra forma, utilizando lo que se conoce como

regla de Cramer:

.

|| para 1,2, ,

Observar que la matriz cuyo determinante aparece en el numerador se obtienecambiando en la matriz la columna -sima por la columna de los trminosindependientes.

Ejemplo 50: Vamos a resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dosincgnitas por la regla de cramer.

El sistema 2 5 03 6

Primero escribimos el sistema en la forma apropiada:

2 5 3 6El determinante de la matriz de coeficientes es:

|| 23 11 5 0 existe una nica solucin


60/61


Resolviendo para x, tenemos

|

| 21

5 21

5

Resolviendo para y obtenemos

| | 175 De este modo la solucin es El mtodo que se acaba de describir puede extenderse a sistemas de n ecuacioneslineales con n incgnitas; dicho mtodo se conoce como la regla de Cramer.

ACTIVIDADES DE LA CUARTA UNIDAD

1.- Cules de las siguientes matrices son triangulares superiores? Y determinar elproducto de A y B (AB) si es posible.

1 0 03 2 05 7 5

8 1 30 5 50 0 9

7 90 22.- Determine la matriz transpuesta de:

1 2 1 1 8 9 7 33. -Dadas las matrices: 7 9 1 02 4 3 y 9 7 1 16 4 5

Determinar: A + B y A B4.- Determine el valor del determinante de las siguientes matrices:

a) 12 63 7 9 21 6 1 1

14 105 4 3 1 0 2 3 74 5 3


61/61


4 4 23 1 27 6 45.- Hallar

matriz de la letra e) de la pregunta anterior.6.-Dada la matriz 1 1 33 3 2 2 2 4, determinar su inversa.7.- Resolver el sistema por el mtodo de Cramer:

3x 5y = 154x +3y = 12

8.-Resolver el sistema:5x + 3 y 4 z = 14 x 5 y + 2 z = 0

3 x + 2 y + z = 10

ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTA I.pdf

Documents

Transcript of ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTA I.pdf