Analisis Matricial

Anlisis Matricial

Giddea Consulting & TrainingDepartamento de Investigacin y Desarrollo

Renzo Ren Sifuentes Napur

26 de febrero de 2013

2Mtodos Cuantitativos [email protected]

ndice general

1. Anlisis Matricial 51.1. Definicin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Notacin de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Matriz fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Matriz columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4. Matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5. Matriz simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6. Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.7. Matriz escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.8. Matriz identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.9. Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.10. Matiz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.11. Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.4. Producto de un escalar con una matriz . . . . . . . . . 101.3.5. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.6. Potencia de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . 121.3.7. Suma de elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.8. Matriz idempotente para trasformar datos en desvia-

ciones de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.9. Derivadas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. Geometra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3. Dependencia lineal e independencia lineal . . . . . . . 171.4.4. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.5. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

4 NDICE GENERAL

1.4.6. Ortogonalidad de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.7. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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Sesin 1Anlisis Matricial

1.1. Definicin de matrices

Las matrices son herramientas matemticas que nos permite un mejormanejo de bases de datos, adems desde el punto de vista computacionales ms facil el uso por medio de matrices.

1.1.1. Notacin de una matriz

Una matriz es un conjunto de pares ordenados, que se denota:

A = [aik] = [A]ik =

a11 a12 a1ka21 a22 a2k

......

......

an1 an2 ank

Habitualmente se denotan las matrices con letras maysculas y con mi-

nuscula los elementos que las constituyen. Los elementos de las matricesse leen como a f ila,columna.

1.2. Tipos de matrices

Existen algunas clases de matrices con caracteristicas comunes de en-contrar.

1.2.1. Matriz fila

La matriz fila es una matriz que tiene una sola fila y varias columnas(1xn), es equivalente a un vector fila.Por ejemplo:

A(1xn) =(a11 a12 a1n

)5

6 1. Anlisis Matricial

1.2.2. Matriz columna

La matriz columna es una matriz que tiene una sola columna y variasfilas (nx1), es quivalente a un vector columna.Por ejemplo:

A(mx1) =

a11a21...

am1

En general una matriz es un conjunto de vectorescolumnas o tambin podemos decir que es un con-junto de vectores fila.

1.2.3. Matriz nula

Es una matriz donde todas sus columnas son cero.Por ejemplo:

A(mxn) =(0)

1.2.4. Matriz cuadrada

Es una matriz donde el nmero de filas es igual al nmero de columnas.

A(nxn) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

... . . ....

an1 an2 ann

1.2.5. Matriz simtrica

Es aquella matriz que es igual a su transpuesta (aik = aki).Por ejemplo:

A =

1 3 73 5 27 2 1


1.2. Tipos de matrices 7

1.2.6. Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una caso especfico de una matriz cuadrada,donde la diagonal principal de la matriz tiene valores distintos a cero, y elresto de la matriz tiene ceros como elementos.Por ejemplo:

A =

a11 0 00 a22 0...

... . . ....

0 0 ann

1.2.7. Matriz escalar

Una matriz escalar es un caso de una matriz diagonal, la diferencia esque los elementos de la diagonal son los mismos.Por ejemplo:

A =

0 00 0...

... . . ....

0 0

1.2.8. Matriz identidad

Una matriz escalar es un caso de una matriz escalar, en este caso loselementos de la diagonal son la unidad.Por ejemplo:

A =

1 0 00 1 0...

... . . ....

0 0 1

1.2.9. Matriz idempotente

Es un matriz que elevado a cualquier potencia es igual a la misma ma-triz.

Ap = A



1.2.10. Matiz nilpotente

Cuando una matriz elevado a cualquier potencia y es igual a una matrizcero.

Ap = (0)mxn

1.2.11. Matriz involutiva

Cuando una matriz elevado a cualquier potencia y es igual a una matrizidentidad.

Ap = I

1.3. Operaciones con matrices

Las operaciones de matrices nos ofrece la facilidad de operar conjuntosde ecuaciones, mediante el lgebra matricial.

1.3.1. Igualdad de matrices

Para que dos matrices sean iguales tienen que ser necesariamente de lamisma dimensin, es decir

A = B si y slo si aik = bik

1.3.2. Matriz transpuesta

Al transponer una matriz se invierte las filas por columnas, es decir siA = aij AT = aji. Una matriz transpuesta se puede escribir AT A.Por ejemplo

A =

1 2 35 1 56 4 53 1 4

, A =1 5 6 32 1 4 1

3 5 5 4

Propiedades

1. (AT)T = A

2. (A+ B)T = AT + BT

3. (.A)T = .AT (.A+ .B)T = .AT + .BT

4. (A.B)T = BT.AT


1.3. Operaciones con matrices 9

1.3.3. Suma de matrices

Para que dos matrices se puedan sumar tiene que tener necesariamentela misma dimensin.Es decir:

Sean: A = (aij)mxn, B = (bij)mxnA+ B = (aij + bij)mxn

A+ B =

a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1na21 + b21 a22 + a22 a2n + b2n

......

......

am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

Por ejemplo:

Sea: A =[

0 1 34 2 5

]B =

[3 4 12 5 2

]A+ B =

[3 3 46 7 7

]Propiedades

Suma con matriz nula:La suma de cualquier matriz con una matriz nula es igual a la mismamatriz.Ejemplo:

A+ 0 = A

Conmutativa:El orden al sumar las matrices no interesa, es el mismo resultado.Ejemplo:

A+ B = B+ A

Asociativa:Cuando se quier sumar 3 ms matrices podemos asociarlas parasumarlas, el resultado es el mismo.Ejemplo:

(A+ B) + C = A+ (B+ C)



1.3.4. Producto de un escalar con una matriz

Cuando queremos multiplicar un escalar con una matriz, el escalar mul-tiplicar a cada uno de los elementos de la matriz, es decir:

Sean: A = (aij)mxn y R.A = (.aij)mxn

.A =

.a11 .a12 .a1n.a21 .a22 .a2n

...... ...

.am1 .am2 .amn

Ejemplo:

Sea: A =[

0 1 13 1 2

]y = 3

(3).A =[

0 3 39 3 6

]

1.3.5. Producto de matrices

Por cuestiones didticas empezaremos viendo la multiplicacin de dosvectores, que nos da como resultado un escalar

ab = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ...+ anbn

Por ejemplo:

ab =(1 3 4

)382

= 3+ 24+ 8 = 35Por lo tanto podemos deducir que ab = ba.Ahora que deducimos el caso general, sabiendo que una matriz es un con-

junto de vectores, que nos resultara no un escalar sino varios valores quesern los elementos de la matriz.Para multiplicar matrices necesitamos que la cantidad de columnas de laprimera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda matriz. Obten-dremos como producto una matriz con la cantidad de filas de la primeramatriz y la cantidad de columnas de la segunda matriz, veamoslo matem-ticamente.



Amxn.Bnxp = Cmxp = (cij)mxp donde: cij =n

k=1

aikbkj

Por ejemplo:

2 10 31 2

.(3 24 2)=

2x3+ 1x4 2x2+ 1x(2)0x3+ (3)x4 0x2+ (2)1x3+ 2x4 1x2+ 2x(2)

= 10 212 6

11 2

Propiedades

Asosiativa

Ax(BxC) = (Axb)xC

Distributiva

Ax(B+ C) = AxB+ AxC(A+ B)xC = AxC+

El producto de dos matrices NO necesariamente es conmutativa

AB 6= BA

Puede ser que AxB = (0) con A 6= (0) y B 6= (0)Producto por una matriz identidadAl multiplicar una matriz con la matriz identidad, el producto seguirsiendo la matriz original.

AxI = IxA = A

AxB = AxC no necesariamente B = C

Ejemplo:

541

=4 2 12 6 1

1 1 0

.abc

Estas matrices representan un sistema de ecuaciones:



5 = 4a+ 2b+ c4 = 2a+ 6b+ c

1 = a+ b

Tambin lo podemos escribir como una representacin de combinacin li-neal. 54

1

= a.42

1

+ b.26

1

+ c.11

0

1.3.6. Potencia de matrices cuadradas

Es cuando se multiplica cieta cantidad de veces la misma matriz:

Ap = A.A.A.....A p veces

Cuando una matriz es elevado a la cero es igual a una matriz identidad:

A0 = I

Propiedades

1. Ap.Aq = Ap+q

2. (Ap)q = Ap.q

1.3.7. Suma de elementos

Las matrices y vectores pueden representar suma de elementos. Paraello usaremos un vector i, el cual es un vector columna de unos.

n

i=1

xi = x1 + x2 + ...+ xn = ix

Por ejemplo:

[1 1 1

] 234

= 2+ 3+ 4 = 9Si todos los elemetos del vector x son iguales a la misma constante a, en-tonces x = ai.



x =

444

= 4. [1 1 1]Adems:

ni=1 xi = i(ai) = a(ii) = na

Veamos en el ejemplo:

x =[1 1 1

]4

111

= 4 [1 1 111

1

En general para cualquier constante a y vector x,

n

i=1

axi = an

i=1

xi = aix

Por ejemplo:

5.(1+ 2+ 3) = 5.[1 1 1

] 123

Media

Si a = 1n , obtenemos la media aritmtica

x = 1nn

i=1

xi =1nix

Deduciendo:n

i=1

xi = ix = nx

Suma de cuadrados de los elementos de un vector x es:n

i=1

x2i = xx

La suma de productos de los elementos de los vectores x e y es:n

i=1

xiyi = xy

Apartir de la definicin de matrices:[XX

]ij =

[xixj

]ij



1.3.8. Matriz idempotente para trasformar datos en desvia-ciones de la media

Primero:

ix = 1n ix =

xxx...x

= 1n iix

Esta matriz es nxn con cada elemento igual a 1n .El conjunto de valores en forma de desviacin es:

x1 xx2 x

...xn x

= [x ix] = [x 1n iix] = [I 1n ii] x = M0xLa matriz M0 todos los elementos de la diagonal son 1 1n y fuera de ladiagonal 1n . Adems esta matriz sera til para el clculo de sumas dedesviaciones al cuadrado.

M0i =[I 1n ii

]i = i 1n i(ii) = i 1n in = i i = 0

Se deduce que iM0 = 0. Por lo tanto, la suma de desviaciones respecto ala media es:

ni=1(xi x) = i[M0] = 0x = 0

Varianza

Para una variable x, la suma de los cuadrados de desviaciones respectoa la media es:

n

i=1

(xi x)2n

i=1

(x2i 2xxi + x2)n

i=1

x21 2xn

i=1

xi + x2n

i=1

1

n

i=1

x2i 2x(nx) + x2n



(n

i=1

x21) 2nx2 + nx2

(n

i=1

x21) nx2

En matrices:

n

i=1

(x1 x)2

(x xi)(x xi)(M0x)(M0x)xM0M0x

M0 es una matriz simtrica e idempotente

xM0x

Covarianza

La construccin de una matriz de sumas de cuadrados y productoscruzados de desviaciones respecto a las medias. Para dos vetores x e y.

n

i=1

(xi x)(yi y) = (M0x)(M0y)

Matriz Varianza-Covarianza

Juntando lo obtenido en la representacion de las varianzas y covarianzasobtenemos la siguiente matriz:

n

i=1

(xi x)2n

i=1

(xi x)(yi y)n

i=1

(yi y)(xi x)n

i=1

(yi y)2

=[xM0x xM0yyM0x yM0y

]

Si unimos los dos vectore columna, x e y, en una matriz Z = [x, y] entoncesMoZ es la matriz en la que dos columnas estn en forma de desviacinrespecto a la media, entonces:

(M0Z)(M0Z) = ZM0M0Z = ZM0Z



1.3.9. Derivadas matriciales

Si f = ax tendremos que: fx =(ax)x = a

Si f = Ax donde A es una matriz, fx =(Ax)x = A

Si f = xAx donde A es simtrica fx =(xAx)

x = 2Ax

Si f = axb, donde X(nxp), fx =

(axb)x = ba

Si f = axxb, entonces fx =(axxb)

x = (ab + ba)x

Ln|x|x = (x

)1

(bxc)partialx = b

c

tr(xb)x = b

tr(xaxb)x = bx

a+ bxa

tr(bx1)x = (x

1bx1)

1.4. Geometra de matrices

1.4.1. Espacio vectorial

Es un conjunto de vectores que est cerrado bajo multiplicacin y suma.

R2 est cerrado bajo multiplicacin escalar de un vector, en un plano,es tambin un plano.

R2 est cerrado bajo la suma, la suma de dos vectores en un plan,siempre otro vector.

Operaciones de vectores

a =[

12

]a = 2a =

[24

]a = 12a =

[121]

c = a+ b =[

12

]+

[21

]=

[33

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1.4. Geometra de matrices 17

1.4.2. Combinaciones lineales

Sea V un espacio vectorial real, donde los vectores u1, u2, u3, ..., un V,adems 1, 2, 3, ..., n son escalares y x V, donde:

x = 1.u1 + 2.u2 + 3.u3 + ...+ n.un =n

i=1

i.ui

Por lo tanto x es combinacin lineal de u V cuando existe .En matrices:

x1x2...xn

= [u1 u2 un] .12...n

1.4.3. Dependencia lineal e independencia lineal

Dependencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente cuando cualquierade los vectores en el conjunto puede ser escrito como una combinacin li-neal de los otros.

1.u1 + 2.u2 + ...n.un = 0 1, 2, ..., n no todos son nulos.



Independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independientes si y slo si:

1.u1 + 2.u2 + ...n.un = 0 1 = 2 = ... = n = 0

Subespacio

La dimensin de un subespacio se define como el nmero de vectoreslinealmente independientes que lo generan.Diremos que un vector e es ortogonal a un espacio Ep si e es ortogonal atodo vector Ep, entonces, si x pertence al subespacio Ep, entonces:

xe = 0

1.4.4. Rango de una matriz

El rango de una matriz A de orden nxn, es el orden de la submatrizcuadrada ms grande contenida en A, cuya determinante es no nulo y quedenotamos por r(A) = rangodeA.En otras palabras es el nmero mximo de filas linealmente independientesde una matriz o el nmero mximo de columnas linealmente independien-tes de una matriz.Sea una matriz A de mxn entonces el r(A) min(m, n)

1.4.5. Determinante de una matriz

En el caso de una matrizR2 la determinante sera un rea, en una matrizR3 la determinante seria el volumen, etc.Para hallar la determinante de una matriz de segundo orden:

Sea A =[a11 a12a21 a22

]det(A) = |A| =

a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21

Propiedad

Si la matriz A =[a11 a12a21 a22

]tiene inversa A1si y solo si |A| 6= 0, esto debido a:

A1 = 1|A|

[a22 a12a21 a11

]



Para hallar la determinante de una matriz de tercer orden:

Sea A = [aij]3x3 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Al menor complementario de a11 es M11 =

a22 a23a32 a33

Al menor complementario de a12 es M12 = a21 a23a31 a33

Al menor complementario de a13 es M13 =

a21 a22a31 a32

Hallando el cofactor:

Aij = (1)ijMij

El cofactor de a11 es A11 = (1)1+1M11 = M11El cofactor de a12 es A12 = (1)1+2M12 = M12El cofactor de a13 es A13 = (1)1+3M13 = M13Hallando |A|:

|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11M11 a12M12 + a13M13|A| = a11

a22 a23a32 a33 | a12 a21 a23a31 a33

a13 a21 a2a31 a32

|A| = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a13) + a13(a21a32 a31a22)

1.4.6. Ortogonalidad de una matriz

Vectores ortogonales

Empezaremos a analizar cuando dos vectores son paralelos:

~a||~b r R tal que ~a = r.~b

Veamos todo lo contrario, cuando se trata de ortogonalidad:Dos vectores~a y~b son ortogonales si se verifica la siguiente relacin.

||~a+~b|| = ||~a~b||

Cuando existe ortogonalidad de dos vectores, se dice que estos hacen unngulo de 90, veamos si estas caracteristicas de la ortogonalidad se cum-plen.



||~a+~b|| = ||a~b||||~a+~b||2 = ||a~b||2

||~a||2 + 2~a.~b+ ||~b||2 = ||~a||2 2~a.~b+ ||~b||24~a.~b = 0~a.~b = 0

En conclucin, se deduce que si la multiplicacin de dos vectores es iguala 0 estos son ortogonales.

Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada es ortogonal si:

A.A = A.A = I

Con este concepto podemos deducir que una matriz ortogonal es simtricay adems que su transpuesta es igual a su inversa (A = A1).

Mnimos Cuadrados

Deduciremos una estimacin por minimos cuadrados pero centrando-nos en el analisis de vectores ortogonales.Para empezar tenemos una combinacin lineal y = Xb, en este caso notenemos ningun vector que sea ortogonal, pero de este concepto de ortogo-nalidad en la estadstica surge el error que siempre existir y es ortogonalal subespacio Xb.



Ahora por suma de vectores tenemos: y = Xb+ eY por condicin de ortogonalidad: (Xb)e = 0Desarrollando con estas ecuaciones:

bX(y Xb) = 0bXy bXXb = 0bXy = bXXbb = (XX)1Xy

1.4.7. Valores y vectores propios

Los valores propios son las medidas bsicas del tamao de una mtriz ylos vectores propios representan las direcciones caractersticas de la matriz.Si tenemos una matriz A:

A =[a11 a12a21 a22

]Donde la ecuacin estructuramos la ecuacin caracterstica

Ac = c

Desarrollando...

Ac = Ic

(A I) c = 0Matriz

singular

|A cI| = 0Desarrollando la determinate de la matriz



A I =[a11 a12a21 a22

][ 00

]=

[a11 a12a21 a22

]|A I| = (a11 )(a22 ) = a21a12

|A I| = a11a22 a11 a22+ 2 = a21a12 = 0|A I| = a11a22 (a11 + a22)+ 2 = 0

|A I| = 2 (a11 + a22) tr(A)

+ (a11a22 a21a12) det(A)

= 0

Luego para hallar los vectores propios se reemplaza los valores propiosobtenidos en el polinomio caracterstico.


Bibliografa

[1] Greene William - Anlisis Economtrico.

[2] Kesber Angulo Sanchez - Apuntes de clases - Teora de Probabilidadesy Estadstica Matemtica

[3] Eduardo Espinoza Ramos - Vectores y Matrices

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Anlisis MatricialDefinicin de matricesNotacin de una matriz

Tipos de matricesMatriz filaMatriz columnaMatriz nulaMatriz cuadradaMatriz simtricaMatriz diagonalMatriz escalarMatriz identidadMatriz idempotenteMatiz nilpotenteMatriz involutiva

Operaciones con matricesIgualdad de matricesMatriz transpuestaSuma de matricesProducto de un escalar con una matrizProducto de matricesPotencia de matrices cuadradasSuma de elementosMatriz idempotente para trasformar datos en desviaciones de la mediaDerivadas matriciales

Geometra de matricesEspacio vectorialCombinaciones linealesDependencia lineal e independencia linealRango de una matrizDeterminante de una matrizOrtogonalidad de una matrizValores y vectores propios

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