1

ANÁLISIS MATRICIAL

MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA

Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos.

• Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio:

La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento

• Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. • La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o

restringidos) • La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por :

[ F ] = [ K ] { U }

[ K ] = Matriz de rigidez

[ F ] =Vector de fuerzas

{ U } = Vector de desplazamiento

Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS

Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas:

1.1 Sistema de coordenadas globales

Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.

2

1.2 Sistema de coordenadas locales

Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de

posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y

globales.

Øx, Øy, Øz: Cosenos directores

2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ

[ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento ������ � � ��� ������ ���� ���

�� � ������ �� ���������������� ��� ����� ������

Ø

Ø

Ø

3

��� � ������ �� ����� �������� ��� � ���������� �� ��� ������ �� � ������ �� �������������� �� ��� ����� ������������, ������������ ������� � ���� � ������ �� �������� ����������

Expandiendo:

[ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1)

{ Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2)

De (1) despejo { Un }

[ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua }

{ Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } (3)

Reemplazo en (2)

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua }

Factorizo : { Ua }

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4)

Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos:

{ Un } = [ Knn ]-1{ Fn }

{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn }

- Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos

4

- Fuerzas de extremo:

- Grados de libertad del elemento :

Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano.

3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA

I= nudo inicial J = nudo final

Ø

Ø

5

� !"#$

U = desplazamiento axial

A = sección transversal

L = longitud

E = módulo de elasticidad

! � #$"

! � � Fuerza en el resorte

� � %&' Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1

La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera:

Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1

�() � #$" () �)) � #$"

Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1.

Se suelta el nudo i :

6

�(� � * #$" (� ��� � * #$"

Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i.

+ � , � - #$" *#$"*#$" #$" . � #$" � 1 *1*1 1 � Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA

Grados de libertad globales

Fuerzas locales

En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL }

Ø

Ø

7

0��"�)"1 � - #$" * #$"* #$" #$" . 0�")"1

2�(�"���"�()"��)"3 � %&' 41 00 0 *1 00 0*1 00 0 1 00 06 2(�"��"()"�)"3

Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j.

UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø

UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø C = Cos Ø

UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø S = Sen Ø

UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø

Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL }

2�(�"���"�()"��)"3 � #$" 4 7 8*8 7 0 00 00 00 0 7 8*8 76 2(���()�)3

Para las fuerzas se tiene:

{ FL } = [ T ]{ F }

[ T ] = Matriz de transformación

{ F } = [ T ]-1{ FL }

Para matrices simétricas y ortogonales

Ø

Ø

8

[ T ]-1 = [ T ]T

{ F } = [ T ]T{ FL }

Para los desplazamientos

{ UL } = [ T ]{ U }

{ U } = [ T ]-1 { UL }

{ U } = [ T ]T { UL }

Reemplazando en { F } = [ T ]T{ FL } { FL } = [ K ]L{ UL }

{ F } = [ T ]T[ K ]L{ UL }

{ F } = [ T ]T[ K ]L[ T ]{ U }

[ K ] = [ T ]T[ K ]L[ T ]

Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento.

Uxi Uyi Uxj Uyj

+�, � %&' - 79 7878 89 *79 *78*78 *89*79 *78*78 *89 79 7878 89 . 2(���()�)3 [ K ] = matriz simétrica

C2 = Cos2 Ø S2 = Sen2 Ø CS = Cos Ø Sen Ø

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Equilibrio:

La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.

9

Øi

Øj

:;<;=�(����>��()��)>) ?;@

;A � BCCCCCCCCD 0* 12$F"G6$F"9012$F"G6$F"9 IJ

JJJJJJJK

Fuerzas de Extremo

�� � ��� M ��) � 0

Σ> � >� M >) � 0

Σ�( � �(� M �() � 0

Movimiento de un Cuerpo Rígido

Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento.

Uxi = Uxj

Θi = θj = (Uyj-Uyi)/L

Reemplazando en la columna respectiva

:;<;=(���N�()�)N) ?;@

;A � BCCCCCCD (���O�) * ��P"()�)O�) * ��P" IJ

JJJJJK

Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando:

10

Fyi = Fyj = 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0

Singularidad

La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular.

En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal.

La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos.

Simetría

Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos.

CARGAS EQUIVALENTES EN LAS JUNTAS PARA CARGAS SOBRE EL ELEMENTO

{ F } = [ K ] { U }

{ F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales.

Caso 1 :

Cargas reales

11

Caso 2 :

Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real

Caso 3:

Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.

12

Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado)

El equilibrio en el nudo será:

* ∑ �F. E. A. M �F VWXYVZ[\Z]^ � �0 �F. E. A. � Fixed End action

Se tiene:

�F VWXYVZ[\Z]^ = *�F W_`ZabcW[YW

�F W_`ZabcW[YW � * ∑��. $. #. Las cargas para cualquier análisis sobre las juntas:

�� � �� defeg * ∑��. $. #. �� : i������ �������

�� defeg j i������ ����� ��� �����

* ∑��. $. #. : Fuerzas equivalentes en los nodos debido a las cargas sobre el elemento, considerando el elemento empotrado en ambos extremos

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE

Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán:

Ø

Ø

13

U = desplazamiento extremo

Θ = Rotación en un extremo

Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1

Haciendo un giro unitario θ = 1 en ambos extremos

Ensamblando la matriz de rigidez. 3

Ui θi Uj θj

+�, �BCCCCCCD 12$F"G 6$F"96$F"9 4$F"

* 12$F"G 6$F"9* 6$F"9 2$F"* 12$F"G * 6$F"96$F"9 2$F"12$F"G * 6$F"96$F"9 4$F" IJ

JJJJJK

2(���()�)3

Problema: Usando el método de la rigidez directa y despreciando las deformaciones axiales, halle:

A) Reacciones y diagramas de V y M B) Rotaciones en el punto B

³

³

²

²

²

²³

³

²

²

Øi

Øi

²

²

14

f´c = 21Mpa (NSR-10) Ec � 4700√21 � 21540>!� F � o,9pqoGprs9 � 8.932(10wx �x

Los grados de libertad del elemento

Ua θa Ub θb

2 ��>��� * 5020 3 � 4 1068.8 3206.4 3206.4 1285.6 1068.8 3206.4*3206.4 6412.81068.8 *3206.43206.4 6412.8 1068.8 *3206.4*3206.4 1285.6 6 2�N��N�3

12$F"G � 12(21540(8.932(10wx6G � 1068.8 �y� � 1069 >y�

6$F"G � 6(21540(8.932(10wx6G � 3206.4 �y� � 3206 >y�

4$F" � 12825.64 �y�

4$F" � 6412.82 �y�

Se eliminaron los grados de libertad restringidos.

Ua = θa = Ub = 0

{ 20 } = [ 12825.6 ]{ θb }

Θb = 1,56x10-3 rad/s

T T

15

Reemplazando en

{ Ra } = [ 3206,4 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 5,0 KN

{ Ma } = [ 6412,8 ]{ 1,56x10-3 } Ra = 9,87 KN m

{ Rb-50 } = [ -3206.4 ]{ 1,56x10-3 } Rb = 45,0 KN

Problema: Resolver la siguiente viga.

Ec = 21540 MPa

I =8,93x10-4 m4

EI = 19,24 MN/m

Θa = θb = θc = Ua = Uc = 0

T T

16

Se parte la viga en 2 elementos AB y BC

{ F } = [ T ]T [ K ]L{ UL }

{ F } = [ T ]T [ K ] { T } { U }

[ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ]

Las matrices de rigidez de cada elemento quedan:

Ua θa Ub θb

2���>����>� 3 � 4 8.55 12.8312.83 25.65 *8.55 12.8312.83 12.83*8.55 *12.8312.83 12.83 8.55 *12.83*12.83 25.65 6 2�N��N�3 [ MN/m ]

Ub θb Uc θc Rb = -100

2���>����>� 3 � 4 8.55 12.8312.83 25.65 *8.55 12.8312.83 12.83*8.55 *12.8312.83 12.83 8.55 *12.83*12.83 25.65 6 2�N��N� 3 Mb = 0

Ensamblando las 2 matrices, y eliminando los grados de libertad restringidos: Ua, θa, Uc, θc = 0. El sistema queda de 2X2, correspondiente a los grados de libertad libres.

Ub θb

z���>� { � � 8.55 *12.83*12.83 25.65 � z�N�{ Rb = -100

Ub θb Mb = 0

z���>� { � � 8.55 12.8312.83 25.65� z�N�{

17

Ub θb

z*1000 { � �17.1 00 51.3� z�N�{

-100 = 17,1 Ub

Ub = -5,81x10-3 m

0 = 51,3 θb θb = 0

Se despejan las reacciones de la matriz de cada elemento.

Elemento AB

2 ���>�*1000 3 � 4 8.55 12.8312.83 25.65 *8.55 12.8312.83 12.83*8.55 *12.8312.83 12.83 8.55 *12.83*12.83 25.65 6 2 00*5.85(10wG0 3

Ray = -8,55x10-6 * -5,85x10-3 = 50 KN

Ma = 12,83 * -5,85x10-3 = 75 KN m

Como la viga y las cargas son simétricas

Ray = Rcy = 50 KN = P/2

Ma = Mc = 75 KN m = PL/8

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO BAJO CARGA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTANTE

Fuerzas

Matriz aplicable a cualquier elemento horizontal de pórtico plano (vigas).

18

:;<;=�(����>��()��)>) ?;@

;A �

BCCCCCCCCCCCD #$" 0 0

0 12$F"G 6$F"90 6$F"9 4$F"

* #$" 0 00 * 12$F"G 6$F"90 * 6$F"9 2$F"* #$" 0 0

0 * 12$F"G * 6$F"90 6$F"9 2$F"

#$" 0 00 12$F"G * 6$F"90 * 6$F"9 4$F" IJJ

JJJJJJJJJK

:;<;=(���>�()�)>) ?;@

;A

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA

Para resolver pórticos ortogonales, se transforman las coordenadas, y usando el sistema global, se debe usar la siguiente matriz.

²

²

³

³

²

²

³

³

Ø=1

²

²

Ø=1

²

²

19

(� �� N� () �) N)

:;<;=�(����>��()��)>) ?;@

;A �

BCCCCCCCCCCCD 12$F"G 0 * 6$F"90 #$" 0* 6$F"9 0 4$F"

* 12$F"G 0 * 6$F"9 0 * #$" 0 6$F"9 0 2$F"* 12$F"G 0 6$F"90 * #$" 0

* 6$F"9 0 2$F"

12$F"G 0 6$F"90 #$" 06$F"9 0 4$F" IJJJJJJJJJJJK

:;<;=(���N�()�)N) ?;@

;A

Problema: resuelva el siguiente pórtico con f’c = 21 MPa , vigas 30x40, columnas 40x40

Ec � 4700√f′c NSR-10

Ec = 21540 mPa

1. Se enumeran los nudos y elementos iniciando por el nudo libre : Nodos

: Elementos

20

2. Fuerzas de extremo ��. $. #. fijo

>sw9& � ~q��s9 � poq��s9 � 150 �� q � � *>9ws& (+)

��sw9& � ~q�9 � poq�9 � 150 �� � ��9ws& (+)

>Gws& � ~q��s9 � soqG�s9 � 25 �� q � � *>swG&

��Gws& � ~q�9 � `soqG9 � *15 �� � �swG&

3. Matriz de rigidez Ec � 4700√f′c NSR * 09 � 21540MPa

3.1 Viga A = 0,3 x 0,4 = 0,12 m AE = 2584,8 MN

F � o.G � o.xrs9 � 1.6(10wG �x EI = 34,46 MN m2

(1 �1 N1 (2 �2 N2

:;<;=�(1��1>1�(2��2>2 ?;@

;A �BCCCCD

430.8 0 00 1.915 5.740 5.74 22.97*430.8 0 00 *1.915 5.740 *5.74 11.49*430.8 0 00 *1.915 *5.740 5.74 11.49

430.8 0 00 1.915 *5.740 *5.74 22.97 IJJJJK

:;<;=(1�1N1(2�2N2 ?;@

;A M :;<;= 01501500150*150?;@

;A

X106 X103

3.2 Columna (3 �3 N3 (1 �1 N1

:;<;=�(3��3>3�(1��1>1 ?;@

;A �BCCCCD

20.42 0 *30.630 1148.8 0*30.63 0 61.27*20.42 0 *30.630 *1148.8 030.63 0 30.63*20.42 0 30.630 *1148.8 0*30.63 0 *30.63

20.42 0 30.630 1.915 030.63 0 61.27 IJJJJK

:;<;= 000(1�1N1 ?;@

;A M :;<;=*1507.5*1507.5 ?;@

;A

X106 X103

A = 0,4x0,4 = 0,16 m2 AE = 34464 MN

1

2

21

F � o.x�s9 � 2.133(10wG �x EI = 45,95 MN m2

3.3 Columna (4 �4 N4 (2 �2 N2

:;<;=�(4��4>4�(2��2>2 ?;@

;A �BCCCCD

20.42 0 *30.630 1148.8 0*30.63 0 61.27*20.42 0 *30.630 *1148.8 030.63 0 30.63*20.42 0 30.630 *1148.8 0*30.63 0 *30.63

20.42 0 30.630 1.915 030.63 0 61.27 IJJJJK

:;<;= 000(2�2N2 ?;@

;A

X106 X103

4. Matriz de rigidez del sistema

Los grados de libertad libres de la estructura son:

Los grados de libertad restringidos son:

Ux3 = Uy3 = Ux4 = θ3 = θ4 = 0

Ensamblando la matriz de los grados de libertad libres

3

Θ1 Θ2

22

(1 �1 N1 (2 �2 N2

:;<;= 15*150*142.515*150150 ?;@

;A �BCCCCD451.22 0 30.630 1150.72 5.7430.63 5.74 84.24

*430.8 0 00 *1.915 5.740 *5.74 11.49*430.8 0 00 *1.915 *5.740 5.74 11.49451.22 0 30.630 1150.72 *5.7430.63 *5.74 84.24IJJ

JJK:;<;=(1�1N1(2�2N2 ?;@

;A

X106

Las fuerzas de extremo en cada elemento representan las reacciones, son iguales a las fuerzas internas en cada uno de los bordes.

Despejando { U }

{ F } = [ K ]{ U }

[ K ]-1{ F } = { U }

:;<;= (1�1N1()2�2N2 ?;@

;A � BCCCCD

6.733(10wx*1.291(10wx*2.195(10wG5.143(10wx*1.321(10wx1.893(10wG IJJJJK

Viga Reemplazando los valores de desplazamiento

:;<;=�(1��1>1�(2��2>2 ?;@

;A �BCCCCD

430.8 0 00 1.915 5.740 5.74 22.97*430.8 0 00 *1.915 5.740 *5.74 11.49*430.8 0 00 *1.915 *5.740 5.74 11.49

430.8 0 00 1.915 *5.740 *5.74 22.97 IJJJJK

:;;<;;= 6.733(10*4*1.291(10*4*2.195(10*35.143(10*4*1.321(10*41.893(10*3 ?;;

@;;A M

:;<;= 01501500150*150?;@

;A

X106 x103

:;<;=�(1��1>1�(2��2>2 ?;@

;A � BCCCCD

68.48148.27121.35*68.48151.73*131.72IJJJJK

Se despejan las fuerzas para las 2 columnas, reemplazo y dan los momentos

Columna

2

1

23

:;<;=�(3��3>3�(1��1>1 ?;@

;A �BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*20.42 0 *30.630 *1148.8 030.63 0 30.630 0 00 0 00 0 020.42 0 30.630 1.915 030.63 0 61.27 IJJ

JJK:;<;= 0006.733(10wx*1.291(10wx*2.195(10wG?;@

;A M :;<;=*1507.5*1507.5 ?;@

;A

X106 X103

:;<;=�(3��3>3�(1��1>1 ?;@

;A � BCCCCD

38.48148.27*39.11*68.48*148.31*121.36IJJJJK

Columna

:;<;=�(4��4>4�(2��2>2 ?;@

;A �BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*20.42 0 *30.630 *1148.8 030.63 0 30.630 0 00 0 00 0 020.42 0 30.630 1.915 030.63 0 61.27 IJJ

JJK:;<;= 0005.143(10wx*1.321(10wx1.893(10wG ?;@

;A

X106 X103

:;<;=�(4��4>4�(2��2>2 ?;@

;A � BCCCCD

*68.48151.7673.7468.48*151.73131.72 IJJJJK

Fuerzas de extremo en cada elemento

3

24

Diagramas de Fuerzas internas.

25

Problema: Resolver el siguiente portico plano. F´c = 21 MPa, vigas de 25x35cm, columnas de 30x40cm

HEA300

26

EA = 200 GPa

A = 0,0113 m2

Ixx = 1,826x10-4 m4

Iyy = 6,31x10-5 m4

EI = 36,52 MN m2

AE = 2260 MN

Nota : no despreciar los efectos axiales

1. Propiedades geométricas

Viga: 25x35 cm

A = 0,25x0,35 = 0,0875 m2

F � 0.25(0.35G12 � 8.932(10wx�x

Ec � 4700√f′c NSR * 09 � 21540MPa

AE = 1884,75 MN

EI = 19,24 MN m2

Columna: 30x40 cm

A = 0,3x0,4 = 0,12 m2

F � 0.3(0.4G12 � 1.6(10wG�x

AE = 2584,8 MN

EI = 34,46 MN m2

Se numeran los elementos y los nudos y se determinan los grados de libertad libres

GL libres = 7

Tamaño de la matriz 7x7

27

Las reacciones de empotramiento

��xws& � ~q�9 � 120 �y � ��swx&

>xws& � ~q��s9 � 120 �y q � � *>swx& ��sw9& � 60 �y � �9ws&

>sw9& � 30 �y q � � *>9ws&

��swp& � *40 �y � ��pws&

>pws& � �q�� � �oqG� � 30 �y q � � *>swp&

Las ecuaciones individuales para cada elemento.

Viga

(4 � 0 �4 � 0 N4 � 0 (1 �1 N1

:;<;=�(4 * 1��4 * 1>4 * 1�(1 * 4��1 * 4>1 * 4 ?;@

;A �BCCCCD

314.13 0 00 1.069 3.210 3.21 12.83*314.13 0 00 *1.069 3.210 *3.21 6.41*314.13 0 00 *1.069 *3.210 3.21 6.41314.13 0 00 1.069 *3.210 *3.21 12.83 IJJ

JJK:;<;= 000(1�1N1 ?;@

;A M :;<;= 01201200120*120?;@

;A

X106 X103

Viga

? ?

Θ2

Θ1

3

1

Θ2

28

(1 �1 N1 (2 �2 N2

:;<;=�(1 * 2��1 * 2>1 * 2�(2 * 1��2 * 1>2 * 1 ?;@

;A �BCCCCD

628.25 0 00 8.55 12.830 12.83 25.65*628.25 0 00 *8.55 12.830 *12.83 12.83*628.25 0 00 *8.55 *12.830 12.83 12.83628.25 0 00 8.55 *12.830 *12.83 25.65 IJJ

JJK:;<;=(1�1N1(2�2N2 ?;@

;A M :;<;= 06030060*30?;@

;A

X106 X103

Columna

(3 �3 N3 (2 �2 N2

:;<;=�(3 * 2��3 * 2>3 * 2�(2 * 3��2 * 3>2 * 3 ?;@

;A �BCCCCD0 0 *13.70 0 00 0 36.52

*6.85 0 *13.70 *565 013.7 0 18.260 0 13.70 0 00 0 18.266.85 0 00 565 013.7 0 36.52 IJJ

JJK:;<;= 00N3(2�2N2 ?;@

;A

X106

Columna

O(, �, NP5 (1 �1 N1

:;<;=�(5 * 1��5 * 1>5 * 1�(1 * 5��1 * 5>1 * 5 ?;@

;A �BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*15.32 0 *22.970 *861.6 022.97 0 22.970 0 00 0 00 0 015.32 0 22.970 861.6 022.97 0 45.95 IJJ

JJK:;<;= 000(1�1N1 ?;@

;A M :;<;=*40030*400*30?;@

;A

Se ensambla la matriz de rigidez del sistema correspondiente a los grados de libertad libres; resulta un sistema de 7x7 .

(1 �1 N1 (2 �2 N2 N3

:;;<;;= 40*1801200*60300 ?;;

@;;A �

BCCCCCD 957.7 0 22.970 871.22 9.6222.97 9.62 84.43

*628.25 0 00 *8.55 12.830 *12.83 12.83000*628.5 0 00 *8.55 *12.830 12.83 12.83

635.1 0 13.70 573.55 *12.8313.7 *12.83 62.1712.7018.260 0 0 13.7 0 18.26 36.52IJJ

JJJK :;;<;;=(1�1N1(2�2N2N3 ?;;

@;;A

Se despejan las incógnitas.

{ F } = [ K ]{ U } [ K ]-1{ F } = { U }

2

4

29

:;;<;;=(1�1N1(2�2N2N3 ?;;

@;;A �

BCCCCCD 2.287(10wp*2.265(10wx1.39(10wG2.201(10wp*7.099(10wp2.642(10wx*1.403(10wxIJJ

JJJK

Se despejan las fuerzas externas, reemplazando en la ecuación de cada elemento

Viga Viga

:;<;=�(4 * 1��4 * 1>4 * 1�(1 * 4��1 * 4>1 * 4 ?;@

;A � BCCCCD

*7.18124.7129.647.18115.3*101.4IJJJJK

Columna

:;<;=�(1 * 2��1 * 2>1 * 2�(2 * 1��2 * 1>2 * 1 ?;@

;A � BCCCCD

0.5479.8967.05*0.5440.11*7.39IJJJJK

Columna

:;<;=�(3 * 2��3 * 2>3 * 2�(2 * 3��2 * 3>2 * 3 ?;@

;A � BCCCCD

*1.8540.1101.85*40.117.39 IJJJJK

:;<;=�(5 * 1��5 * 1>5 * 1�(1 * 5��1 * 5>1 * 5 ?;@

;A � BCCCCD

*72.28195.1962.45*7.72*195.1934.39 IJJJJK

4 2

3 1

30

Fuerzas en los elementos

Diagramas de fuerzas internas

31

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO INCLINADO

El método de la rigidez requiere que las ecuaciones sean escritas en coordenadas globales. Se establece una relación entre las fuerzas axiales y cortantes de extremo local y global, de igual forma que en una armadura plana, mientras que los momentos, por ser vectores libres son iguales en los 2 sistemas.

32

La matriz de transformación para las fuerzas queda de la siguiente manera:

:;<;=�(�"���">�"�()"��)">)" ?;@

;A � BCCCCD

7��N 8��N 0*8��N *7��N 00 0 10 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0

7��N 8��N 0*8��N *7��N 00 0 1IJJJJK

:;<;=�(����>��()��)>) ?;@

;A

La matriz de transformación es igual para desplazamientos haciendo c = Cosθ , s = Senθ

+�, � BCCCCD

� �*� � 1 � �*� � 1 IJJJJK

?

33

La matriz de rigidez se transforma de coordenada local a global.

{ F }L = [ T ] { F }

{ F } = [ T ]-1 { FL } = [ T ]-1 { FL }

Se tiene que:

{ FL } = [ KL ] { UL } y { UL } = [ T ] { U }

[ T ] { F } = [ KL ] [ T ] { U } [ KL ] = Matriz de rigidez de un elemento horizontal

{ F } = [ T ]T [ KL ] [ T ] { U }

La matriz de rigidez en coordenadas globales

[ K ] = [ T ]T [ KL ] [ T ]

Cuando existen cargas en el vano, el vector de fuerzas de extremo fijo debe transformarse también.

{ FE } = [ T ]T {FEL}

{ FE } = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales

{FEL} = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales

34

:;<;=�(����>��()��)>) ?;@

;A � BCCCCCCCCD

%&' �9 M s9&�'r �9 %&' �� * s9&�'r �� * �&�'� �%&' �� * s9&�'r �� %&' �9 M s9&�'r �9 �&�'� �* �&�'� � �&�'� � x&�'

* %&' �9 * s9&�'r �9 * %&' �� M s9&�'r �� * �&�'� �* %&' �� M s9&�'r �� * %&' �9 M s9&�'r �9 �&�'� ��&�'� � * �&�'� � 9&�'* %&' �9 * s9&�'r �9 * %&' �� M s9&�'r �� �&�'� �* %&' �� * s9&�'r �� * %&' �9 M s9&�'r �9 * �&�'� �* �&�'� � �&�'� � 9&�'

%&' �9 M s9&�'r �9 %&' �� M s9&�'r �� �&�'� �%&' �� * s9&�'r �� %&' �9 M s9&�'r �9 * �&�'� ��&�'� � * �&�'� � x&�' IJJJJJJJJK

:;<;=(���N�()�)N) ?;@

;A

Fuerzas internas en un elemento de pórtico plano inclinado

Primero se calculan los desplazamientos correspondientes a los grados de libertad libres, después se calculan las fuerzas en coordenadas locales y se transforman a coordenadas globales con:

{ Fi } = [ T ] { F } { F} = [ T ]T { FL }

Se recomienda usar coordenadas locales para calcular [ KL ] y después efectuar el triple producto [ T ]T [ KL ] [ T ] = [ K ]

En este caso se calculan las fuerzas internas transformando primero los desplazamientos

{ uL } = [ T ] { u } { uL } = Desplazamientos en nudos locales

{ FL } = { FEL } + [ KL ] { uL } { u } = Desplazamientos en nudos globales

35

Problema: Resolver el siguiente pórtico:

HEA300

EA = 200 GPa

A = 0,0113 m2

Ixx = 1,826x10-4 m4

Iyy = 6,31x10-5 m4

EI = 36,52 MN m2

AE = 2260 MN

L1 = 3.606 m

L2 = 5.0 m

1. Se numeran los elementos, nudos y grados de libertad.

Grados de libertad libres. Ux1, Uy1, θ1. Matriz de 3x3

2. Se calculan las fuerzas de extremo fijo en coordenadas locales.

?

?

?

Θ3

36

F1XL = F2XL = 0

F1YL = F2YL = (WL)/2 = (40x3.606)/2 = 72.11 KN

ME2-1 = - ME

1-2 = (WL2)/12 = 43.33 KN m

Senθ1 = 3/3,606 = 0,832 Cosθ1 = 2/3.606 = 0,555

Cosθ2 = 4/5 = 0,8 Senθ2 = 3/5 = 0,6

FX2-3L = FX3-2L = 24KN

ME1-3 = - ME

3-1 = (PL)/8 = 40 KN m

FY2-3L = FY3-2L = 32 KN

Las fuerzas de empotramiento deben de transformarse a un sistema de coordenadas globales.

?

?

Θ1

Θ2

37

{ FEL } = [ T ] { FE} { FE } = [ T ]T { FE

L}

Elemento

:;<;= 072.1143.33072.11*43.33?;@

;A � BCCCCD

0.555 0.832*0.832 0.555 1 0.555 0.832*0.832 0.555 1 IJJJJK

:;<;=��9ws��9ws>9ws��sw9��sw9>sw9 ?;

@;A

:;;<;;=

��9ws&��9ws&>9ws&��sw9&��sw9&>sw9& ?;;@;;A �

BCCCCD*59.9840.0143.33*59.9840.01*43.33IJJ

JJK

Elemento

:;<;= 243240032*40?;@

;A � BCCCCD

0.8 0.6*0.6 0.8 1 0.8 0.6*0.6 0.8 1 IJJJJK

:;<;=��swG��swG>swG��Gws��Gws>Gws ?;

@;A

:;;<;;=

��Gws&��Gws&>Gws&��swG&��swG&>swG& ?;;@;;A �

BCCCCD

04040040*40IJJJJK

Se hallan las ecuaciones de equilibrio estático en coordenadas locales

Elemento

0 0 0 (1 �1 N1

:;;<;;=

��9ws��9ws>9ws��sw9��sw9>sw9 ?;;@;;A �

BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*626.81 0 00 *9.35 16.860 *16.86 20.260 0 00 0 00 0 0626.81 0 00 9.35 *16.860 *16.86 40.52 IJJ

JJK :;<;= 000�s�sNs ?;@

;A M :;<;= 072.1143.33072.11*43.33?;@

;A

1

2

1

38

Elemento

(1 �1 N1 0 0 0

:;<;=��sw9��sw9>sw9��9ws��9ws>9ws ?;

@;A �

BCCCCD

452 0 00 3.51 8.760 8.76 29.220 0 00 0 00 0 0*452 0 00 *3.51 *8.760 8.76 14.610 0 00 0 00 0 0IJJ

JJK:;<;=�s�sNs000 ?;@

;A M :;<;= 2432402432*40?;@

;A

Se transforman las matrices de rigidez de cada elemento a coordenadas globales.

[ K ] = [ T ]T [ K ]L [ T ] y solo se tienen en cuanta los grados de libertad libres para ensamblar los elementos.

Elemento

0 0 0 (1 �1 N1

:;<;=��9ws��9ws>9ws��sw9��sw9>9w9 ?;

@;A �

BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*199.5 *285.05 14.02*285.05 436.66 9.3514.03 *9.36 20.260 0 00 0 00 0 0199.5 285.05 14.02285.05 436.66 *9.3514.03 *9.36 40.52 IJJ

JJK:;<;= 000�s�sNs ?;@

;A M :;<;=*59.9840.0143.33*59.9840.01*43.33?;@

;A

Elemento

(1 �1 N1 0 0 0

:;<;=��swG��swG>swG��Gws��Gws>Gws ?;

@;A �

BCCCCD 290.54 215.28 *14.02215.28 164.97 9.35*5.26 7.0 20.26

0 0 00 0 00 0 0*290.54 *215.28 14.02*215.28 *164.97 *9.35*5.28 7.0 40.520 0 00 0 00 0 0IJJ

JJK:;<;=�s�sNs000 ?;@

;A M :;<;= 04040040*40?;@

;A

Ensamblando la matriz de rigidez del sistema.

�*59.9880*3.33 � � �490.04 500.33 0500.33 601.63 08.77 *2.36 60.78� ��s�sNs �

Despejando

��s�sNs � � �#"$#"#"$"#"#$#$�

2

1

2

39

Problema: Usar el método de la rigidez directa para resolver el siguiente problema. Realizar los diagramas de cortante, momento y carga axial, también pintar la deformada. Se presenta un asentamiento diferencial en el extremo B igual a uBy = 2 cm.

Propiedades:

Ec=21549 MPa

Viga: 25*35 cm

A=0, 25*0,35=0,0875 m2

# � 0,25 q 0,35912 � 8,932(10wx �x

AE = 1884,8 MN

EI=19,24 MN.m2

1. Se numeran los grados de libertad

9� � 9� � N9 � 0

�s� � s�� � 0,02 q 650 � *13 �y Hacia abajo por el asentamiento

?

? 2

40

2. Fuerzas de empotramiento

sin N � Gp � 0,6 cos N � xp � 0,8

�s� � �9� � 12�y

�s� � �9� � 16�y

>s& � *>9& � ! qq "8 � 30�y q �

3. Ecuaciones estáticas para el elemento ��' � +�',��'

4. Ecuaciones estáticas para el elemento { FL } = [ KL ] { UL }

T

T

T

T

T

? ?

?

?

41

:;<;=�s��s�>s�9��9�>9 ?;

@;A

'�

BCCCCD

251,3 0 00 0,55 2,050 2,05 10,26*251,3 0 00 *0,55 2,050 *2,05 5,13*251,3 0 00 *0,55 *2,050 2,05 5,13251,3 0 00 0,55 *2,050 *2,05 10,26IJJ

JJK

'q

:;<;=�s��9�Ns000 ?;@

;A'

M:;<;=*121630*1216*30?;@

;A'

La matriz de rigidez en coordenadas globales es:

+�, � +�,�+�',+�, +�, �

BCCCCD

0,8 0,6 0*0,6 0,8 00 0 1 0,8 0,6 0*0,6 0,8 00 0 1IJJJJK +�, ¡ge ¢¡ � � 650 650*650 *650�

+�, �BCCCCD

161,03 120,36 *1,23120,36 90,82 1,64*1,23 1,64 10,26*161,03 *120,36 *1,23*120,36 *90,82 1,641,23 *1,64 5,13*161,03 *120,36 10,26*120,36 *90,82 1,23*1,23 1,64 *1,64

161,03 120,36 1,23120,36 90,82 *1,641,23 *1,64 10,26 IJJJJK +>y/�,

Las fuerzas de extremo en coordenadas globales.

��'& � +�,��& ��& � +�,ws��'& ��& �

:;<;=*19,25,630*19,25,6*30 ?;@

;A ¤�y¥ �s� � 650 q 0,02 � 13�y

La ecuación de equilibrio estático esta en coordenadas globales queda:

:;<;= �s�*13>s�9��9�>9 ?;@

;A �BCCCCD

161,03 120,36 *1,23120,36 91,47 1,64*1,23 1,64 10,260 0 00 0 00 0 0*161,03 *120,36 1,23*120,36 *90,82 *1,64*1,23 1,64 5,130 0 00 0 00 0 0IJJ

JJK q:;<;= �s�0,02Ns000 ?;@

;A M:;<;=*19,25,630*19,25,6*30 ?;@

;A

Kresorte + Kviga = 90,82 + 0,65 = 91,47

42

Usando solo los grados de libertad libres.

� 19,2*18,6*30 � � �161,03 120,36 *1,23120,36 91,47 1,64*1,23 1,64 10,26� � �s�0,02Ns � -13 + (-5,6) = -18,6

*1000

�s� � 2,208 ( 10w9 ��s� � 0,02913 �Ns � 4,41 ( 10wG ��� se transforman a coordenadas locales.

Se transforman a coordenadas locales �' � +�,�� Y se reemplaza en la ecuación de equilibrio local y despejo ��' ��s��9�Ns � � � 0,8 0,6 0*0,6 0,8 00 0 1� �2,208 ( 10w90,02913 4,41 ( 10wG � � �6,82 ( 10wp*3,67 ( 10w9 4,41 ( 10wG �

:;<;=�s�'�s�'>s'�9�'�9�'>9' ?;

@;A

'�

:;<;= 3,644,850*27,6427,15*82,63?;@

;A'

43

Matriz de rigidez de elemento sometido a torsión – Parrillas

Ecuación de deformación en torsión para sección circular.

¦ � �q'§q¨

Φ = Giro relativo

J= Constante torsional igual momento polar de inercia.

Ecuación de la deformación por torsión para secciones rectangulares.

© � 7��G Constante torsional

7 � 13 * 0,21 ª��« ¬1 * 112 ª��«x­

Ecuación estática

�� � +�,�� 0��®��¯1 � - ° q ©" * ° q ©"* ° q ©" ° q ©" . 0N�®N�¯1

44

Problema: resolver el siguiente problema

°±²¡ e � 80 °!�

°±�³´®d®e � 28 °!�

1. se numeran los nudos y los grados de libertad

2. Ensambla la matriz de cada elemento

°%µ q ©%µ"%µ � 80(10¶ q ·2 q 0,04x1,0 � 321,7 �y q � �����

°%� q ©%�"%� � 28(10¶ q ·2 q 0,08x2 � 900,76 �y q � ��������

Elemento 3-1

0 Ns

0��Gws��swG1 � �0 *321,70 321,7 � ¸ 0Ns¹ Nota: las fuerzas de extremo son cero

Elemento 1-2

Ns 0

z��sw9� { � � 900,76 0*900,76 0� �Ns0 � Matriz de rigidez del sistema - grados de libertad libres

��swG M ��sw9 � *1,0 � 1222,46 q Ns Ns � 8,18 q 10wx ���

45

3. Reemplazado en las ecuaciones de cada elemento

��Gws � *321,7 q Ns � *321,7(10G q 8,18(10wx � *263,15 y q �

��swG � 321,7(10G q 8,18(10wx � 736,15 y q �

��sw9 � 900,76(10G q 8,18(10wx � 736,82 y q �

��9ws � *736,82 y q �

Matriz de una parrilla

Estructuras retractiles con cargas perpendiculares al eje longitudinal, como losas de entrepisos, tableros de puentes

Elemento orientado en la dirección x

46

La ecuación básica queda:

:;<;=>(�>����>()>�)�) ?;@

;A �

BCCCCCCCCCCCD *°©" 0 0

0 4$F" *6$F"90 *6$F"9 12$F"G

*°©" 0 00 2$F" 6$F"90 *6$F"9 * 12$F"G*°©" 0 0

0 2$F" *6$F"90 6$F"9 * 12$F"G

°©" 0 00 4$F" 6$F"90 6$F"9 12$F"G IJ

JJJJJJJJJJK

:;<;=N(�N����N()N�)�) ?;@

;A M:;;<;;=

>�®&>�®&�º ®&>�&>�&�º ¯& ?;;@;;A

Para el elemento orientado en la dirección Y

.

:;<;=>(�>����>()>�)�) ?;@

;A �

BCCCCCCCCCCCD 4$F" 0 6$F"90 °©" 06$F"9 0 12$F"G

2$F" 0 * 6$F"90 *°©" 06$F"9 0 * 12$F"G2$F" 0 6$F"90 *°©" 0*6$F"9 0 * 12$F"G

4$F" 0 * 6$F"90 °©" 0* 6$F"9 0 12$F"G IJJ

JJJJJJJJJK

:;<;=N(�N����N()N�)�) ?;@

;A M:;;<;;=

>�®&>�®&�º ®&>�&>�&�º ¯& ?;;@;;A

47

Problema: Resolver la siguiente parrilla. Vigas 30x40 cm, f`c = 21 MPa

11. CONDENSACIÓN

En estructuras grandes, el tamaño de las ecuaciones puede ser de cientos o de incluso miles de grados de libertad. La condensación consiste en reducir el tamaño del sistema de ecuaciones eliminando grados de libertad. Las ecuaciones quedan en función de los grados condensados

» � 0»µ»&1 »µ: ������ �� �������� �����������»&: ������ �� �������� ����������

�� � +�,�» Expandiendo

0�µ�&1 � ¸�µµ �µ&�&µ �&&¹ 0»µ»&1 Se expande la fila 2 y despejo �»& ��& � +�&µ,�»µ M +�µ&,�»& +�&&,�»& � ��& * +�µ&,�»µ �»& � +�&&,ws��& * +�&&,ws+�µ&,�»µ Reemplazando en la fila 1:

��µ � +�µµ,�»µ M +�µ&,�»& ��µ � +�µµ,�»µ M +�µ&,+�&&,ws��& * +�µ&,+�&&,ws+�µ&,�»µ ��µ � ¼+�µµ, * +�µ&,+�&&,ws+�µ&,½�»µ M +�µ&,+�&&,ws��& ��µ * +�µµ,+�&&,ws��& � ¼+�µµ, * +�µ&,+�&&,ws+�µ&,½�»µ

48

Se busca una ecuación de la forma

��µ q � +�µµq,�»µ (1)

Por analogía se tiene

��µ q � ��µ * +�µ&,+�&&,ws��& +�µµq, � *+�µµ, * +�µ&,+�&&,ws+�µ&, Estas 2 formulas sirven para encontrar los desplazamientos condensados, despejando la ecuación (1)

�»µ � +�µµ q,ws��µq Y los desplazamientos eliminados

�»& � +�&&,ws��& * +�&&,ws+�µ&,+�µµq,ws��µq Los desplazamientos eliminados no deben confundirse con los despreciables

Cuando ��& � �0 �»& � *+�&&,ws+�µ&,+�µµq,ws��µq �»µ � +�µµ q,ws��µq

12. GRADOS DE LIBERTAD DESPRECIABLES

En las matrices no se tienen en cuenta los grados de libertad asociados a las deformaciones de flexión producidos por cortante, mientras que los grados de libertad axiales en columnas, por carga axial para edificios bajos, se pueden despreciar. Para sistemas con diafragma rígido, se supone la losa con rigidez axial muy grande y se puede despreciar la deformación axial en vigas.

En principio se debe eliminar las columnas de la matriz Knn pero para conservar la simetría, también se deben eliminar las filas

13. relaciones lineales entre grados de libertad

Para un sistema de grados de libertad i x j

�®s»s M �®9»9 M … … … … … … … M �sd»®

� s»s M � 9»9 M … … … … … … … M � ®»®

49

Matricialmente

+�,�» � �0 +�o,¿»®À M +�s,�»Á � +0, Despejando �»Á �»Á � +�s,ws+�o,¿»®À Se define +�o, � +�s,ws+�o, +�, � ¸ F�o¹ I: identidad

�» � 0»®»Á1 � ¸ F�o¹ ¿»®À � +�,¿»®À Ecuación estática

�� � +�,�» � +�,+�,¿»®À Se quiere encontrar una ecuación de la forma

¿�®À � +�®,¿»®À ¿�®À : Fuerzas inerciales asociados a los grados de libertad independientes

Por la ley de BettI:

¿�®À � +�,��� Reemplazando

¿�®À � +�,�+�,+�,¿»®À +�®, � +�,�+�,+�, ¿»®À � +�®,ws¿�®À

Procedimiento

1, Se define la matriz [a]

2. Se hace la partición de acuerdo a los grados de libertad independientes ¿»®À y los

dependientes �»� 3. Se calcula, +�o, y +�,.

50

4. se calcula +�®, y ¿»®À 5. Se calcula �∂Ã

14. IGUALACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD

Simétrico

Subíndice i: simétrica

��®wg � *��® ��®wg � ��® N®wg � *N g

Anti simétrico

51

��w®g � ��® ��w®g � *��® N®g � N g

Problema: Resuelva el pórtico usando igualación de grados de libertad y desprecie las deformaciones axiales.

F´c = 21 MPa

Ec = 21540 MPa

Columna 30x30 cm

Vigas 25x35 cm

1. Grados de libertad

2. Propiedades sección

Viga

%&' � o.9p�o.Gp�9spxo�soÄ� � 314.3 ÅÆ

$F � 21540( o.9p�o.Gprs9 � 19.24 >y �9

x&�' � 12.83 >y/� 9&�' � 6.41 >y/�

�&�'� � 3.21 >y/� s9&�'r � 1.069 >y/�

52

Columna:

%&' � o.G�o.G�9spxo�soÄG � 646.2 >y/� $F � 21540( o.G�s9 � 14.54 >y �9

x&�' � 19.39 >y/� 9&�' � 9.69 >y/�

�&�'� � 9.39 >y/� s9&�'r � 6.46 >y/�

3. Fuerzas de extremo

>sw9& � *>9ws& � Ç'�s9 � Go�G�s9 � 90 �y �

��sw9& � ��9ws& � Ç'9 � 90 �y ��swG& M ��9ws& � 10 �y 4. Sistema en coordenadas locales.

4.1 Viga

:;<;=��sw9��sw9>sw9��9ws��9ws>sw9 ?;

@;A �

BCCCCD

314.3 0 00 0 3.210 0 12.83*314.21 0 00 0 3.210 0 6.41*314.3 0 00 0 *3.210 0 6.41314.21 0 00 0 *3.210 0 12.83IJJ

JJK:;<;=s�0Nss�0N9 ?;@

;A M :;<;= 09090090*90?;@

;A

:;<;=��Gws��Gws>Gws��swG��swG>swG ?;

@;A �

BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*6.46 0 *9.690 0 09.69 0 9.690 0 00 0 00 0 06.46 0 9.690 0 09.69 0 12.83 IJJ

JJK:;<;= 000s�0Ns ?;@

;A

:;<;=��Gws��Gws>Gws��swG��swG>swG ?;

@;A �

BCCCCD0 0 00 0 00 0 0

*6.46 0 *9.690 0 09.69 0 9.690 0 00 0 00 0 06.46 0 9.690 0 09.69 0 19.39 IJJ

JJK:;<;= 0009�0N9 ?;@

;A Fx1-3 = Fx2-4 = 10

5. Ensamble la matriz del sistema.

2��sw9>sw9��9ws��9ws3 � 4320.76 9.699.69 32.22 *314.3 00 6.41*314.3 00 6.41 *320.76 9.699.69 0 6 2 sNs2sNs

3 M 20 M 10900*90 3

53

En la ecuación anterior se suma la tercera columna a la primera U1x = U2x

Se suman las rigideces.

2��sw9>sw9��9ws��9ws3 � 46.469.69 9.6932.33 06.466.469.69 06.46 9.6932. .336 �s�NsN9 � M 2 10900*903 Ux = -1.24x10-3 m

Θ1 = -2.809x10-3 rad

Θ2 = - 3.431x10-3 rad Hacen el examen θ1 = θ2 Sumar columna 3 +2

6. Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio de cada elemento modificado.

Viga:

:;<;=��sw9��sw9>sw9��9ws��9ws>sw9 ?;

@;A �

BCCCCD

0 0 00 3.21 . 210 12.83 6.410 0 00 *3.21 *3.210 6.41 12.83IJJJJK � *1.24(10wG*2.809(10wG3.431 (10wG � M

:;<;= 09090090*90?;@

;A � BCCCCD

09275.96088*64 IJJJJK

Columna 3-1

:;<;=��Gws��Gws>Gws��swG��swG>swG ?;

@;A �

BCCCCD*6.4609.69

*9.6909.696.4609.699.69019.39IJJ

JJK 0 *1.24 (10wG*2.809(10wG1 � BCCCCD

35.230*39.24*35.230*66.49IJJJJK

Columna 4-2

:;<;=��xw9��xw9>xw9��9wx��9wx>9wx ?;

@;A �

BCCCCD*6.4609.69

*9.6909.696.4609.699.69019.39IJJ

JJK 0 *1.24 (10wG*3.431(10wG1 � BCCCCD*25.23021.2225.23054.51 IJJ

JJK 7. Utilizando la metodología de las relaciones lineales entre los grados de libertad y

la ecuación de relación por simetría, igualando θ1=θ1, queda :

54

�1 0 00 0 00 0 1*1 0 00 0 00 0 *1�

:;<;=�s��s�Ns�9��9�N9 ?;@

;A � +0, �1 00 1 *1 00 *1� 2�s�Ns�9�N93 � +0,

+�e �s, 0 ��1 � +0,

�È� � °����� �� �������� �������������� ���� O1P

�È� � °����� �� �������� ������������ ���� O2P

+�o, � �1 00 1� +�s, � �*1 00 *1� �� � z�s�Ns { �� � z�s�Ns {

+��, � *+�s,ws+�e, � �1 00 1� +�, � � F��� � 41 00 11 00 16 +�,� � �1 00 1 1 00 1� La matriz [ Ki ]= [ R ]T [ T ] [ R ] de grados de libertad independientes

+��, � �1 00 1 1 00 1� 4320.76 9.699.69 32.22 *314.3 00 6.41*314.3 00 6.41 320.76 9.699.69 32.226 41 00 11 00 16 � �12920 1938019380 77260�+ÉÆ/´, { Fi } = [ R ]T{ F }

��® � �1 00 1 1 00 1� -*10*90090 . � z*100 {

{ Fi } = [ Ki ]-1{ Fi }

z�s�Ns { � 0*1.241(10wG3.113(10wx 1 �È� � +��,�È� � �1 00 1� z�9�N9 { � ¸*1.241(10wG3.113(10wx ¹