ANÁLISIS NUMÉRICO

FIDEL LÓPEZ

C.I. 18778217

ANÁLISIS NUMÉRICOEl análisis numérico o cálculo numérico es la rama de

las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos

NÚMERO MÁQUINAEs un sistema numérico que consta de

dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

NÚMERO MÁQUINA DECIMALUna máquina generalmente no almacena una

cantidad matemática x sino una aproximación binaria a x llamada representación de punto flotante, denotada por fl(x) y de la forma:

NÚMERO MAQUINA DECIMALTambién se pueden definir como:

Aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma:± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

ERROR ABSOLUTOEs la diferencia entre el valor exacto (un número

determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.

Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013 (algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error absoluto es |0.6-0.613|, que es 0.013.

ERROR RELATIVOError relativo es el que nos indica la calidad de la

medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).

Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más calidad la segunda medida.

COTAS DE ERROR

Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado de manera que:

Los números k y k' se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente.

COTAS DE ERRORAl redondear, podemos dar una cota del

error absoluto de la siguiente manera:

donde c = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.

Y una cota del error relativo:

FUENTES BÁSICAS DE ERRORESExisten dos causas principales de errores en los cálculos

numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

ERROR DE REDONDEOEs aquel error en donde el numero significativo de dígitos

despues del punto decimal, se ajusta a un numero especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome en cuenta.

"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de la formafl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

ERROR DE TRUNCAMIENTOLos errores de truncamiento tienen relación con el

método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

ERROR DE TRUNCAMIENTOCualquier número real positivo y puede ser

normalizado a:y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

ERRO DE SUMA Y RESTAEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar

muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

ERRORES DE SUMA Y RESTASean:

x ± Dx y z ± Dz

x + z = (x + z) ± (Dx + Dz)x – z = (x – z) ± (Dx + Dz)

CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLESOtro tema de frecuente aparición en el análisis numérico

es la distinción entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o mal condicionado.

Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los resultados.

Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.

CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLESLa condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los

cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.

CONDICIONAMIENTOLas palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal

para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".

Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.