Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Certámen 2 Mat 270 Análisis Numérico

20 Mayo de 2009

"No usar elementos electrónicos que se comuniquen con el exterior"

Problema 1.

Un canal de regadío tiene dos secciones rectas construidas: ACêêêêê

y BDêêêêê

.

Falta construir una sección curva ABí

que pase por E el punto de intersección de

las prolongaciones rectilíneas de ACêêêêê

y BDêêêêê

.

Por razones de circulación la curva debe ser suave y en E tener la

dirección paralela al segmento ABêêêêê

.

Encontrar la secciòn de curva de E hasta B que cumpla las condiciones

citadas.

Datos: Las coordenadas de los puntos son:

C(1,9) ; A(3,5) ; D(7,9) ; B(6,6)

Problema 2.

Suponga que z(t) designa los metros de altura alcanzada en t segundos

por un objeto macizo que se lanza verticalmente en algun planeta. Por ley de

Newton z''(t) = a , a constante. Al integrar dos veces se logra zHtL = at2 + bt + c

Se cuenta con una tabla de datos z para diferentes t.

i) Obtenga la matriz del sistema normal para calcular las constantes a,

b y c utilizando el método de los mínimos cuadrados.

ii) Suponga que c = 1 y obtenga las otras dos constantes utilizando el

sistema normal. Obtenga la altura de z en t = 3 .

Tabla de mediciones ( t , z ) :

{ { 1 , 13 } ,{ 1.5 , 16 } , { 2.2 , 16.8 } , { 3.5 , 7.3 } }

Problema 3.

La longitud de la curva c ( x ) = { 1+2 x , 4 Cos[5 x] } ; 0 b x b 1

medida desde x = 0 está dada por la función : L(x) =

Ÿoxè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

4 + 400 sen 2 H5 uL „u . Una cota para la tercera derivada de L(x) es 5000.Una tabla de mediciones { x, L(x) } esta dada mas abajo.

i ) Determine una cota para el error de interpolación de L(x) mediante

una polinomial continua cuadrática por secciones igualmente espaciadas. De

acuerdo con esto determine cual debería ser el paso h para lograr un error

inferior a 10-3.

ii ) Determine con los datos de la tabla la expresiòn del interpolante

cuadrático de la m- ésima sección de la interpolante polinomial continua de

L(x), m= k (mod 5) + 1, en que k es el último dígito de su rol (descontado el

dìgito verificador).

Tabla de mediciones { x , L (x ) } :

{{0,0.},{0.1,0.546199},{0.2,1.91044},{0.3,3.79934},{0.4,5.75713},{0.5,7.3102

3},{0.6,8.09543},{0.7,8.47135},{0.8,9.62095},{0.9,11.4037},{1.,13.3916}}

Problema 4.

La ley de Newton y la ley de Hooke permiten escribir tres ecuaciones

diferenciales ordinarias para tres resortes de masa m1=2, m2=3, m3=4 y que

están unidos entre sì.

Si lo que interesa son los desplazamientos en estado estacionario se

debe resolver el siguiente sistema lineal cuya matriz es:

i

k

jjjjjj3 k −2 k 0

−2 k 3 k −k

0 −k k

y

{

zzzzzz y el segundo miembro 8g.m1, g.m2, g.m3<t .

Supondremos k = 10 y g = 9.8.

Uno de los valores propios de la matriz de iteración del método de

Jacobi es è!!!!7

�������3

. La cota de los valores propios de la matriz de iteración del

método de Gauss-Seidel es 7ÅÅÅÅ9. Para el parámetro w = 1.36 los valores propios

de la matriz del método S.O.R. estan acotados por 0.36.

Realice una iteración a partir de {8,12,16} con el método que converja

más rápido y sin usar inversa.

Sugerencia: Elegir tres preguntas.

Tiempo: 90 minutos.

Valparaiso, Mayo 2009 / JFN / RAF / WB

2 Cert 2 Mat 270 1° 2009.nb

.

RESPUESTAS

1) Comprobados todos los requisitos exigidos,

para 4.6 § x § 6 la curva pedida es el gráfico de:

p(x) = 1.8 + 1/3 (x-4.6) + 1.9 Hx - 4.6L2 - 1.36 Hx - 4.6L2 (x-6)

2) z(3) º 12.58

3) i) h § 0.015

ii) En el caso k = 2 y 7 se tiene que m = 3 y para 0.4 § x § 0.6

p2HxL= 5.76 + ( 15.53 - 38.40 (x- 0.5) ) ( x - 0.4)

4) El método iterativo convergente mas rápidamente es el de menor radio

espectral, esto es, el método S.O.R.con parámetro w = 1.36 .

La primera iteración es:

X H1L = H 8.889 , 12.325 , 16.333 L

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