8/15/2019 Analisis Numerico Investigacion

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 ANALISIS

NUMERICO

INVESTIGACION

COTA DE ERROR DEL POLINOMIO

DE LAGRANGE

REALIZADO POR: LARA ANDRES

  RODRIGO CAJAMARCA

  JOHANA PUCHA

  ERICK ALVARO

 

NIVEL 5to SEMESTRE

FECHA DE REALIZACION: 04-12-14

FECHA DE ENTREGA:11-12-14

OBJETIVOS:

• Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error deinterpolación

en el proceso de interpolación polnómica de Lagrange.

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• Obtener cotas del error de interpolación de Lagrange

El error en la interpolación de Lagrange.

A veces se tiene sufciente inormación de la unción a interpolar y es posible

conocer una cota del error cometido en la interpolación. Esto ocurre, porejemplo, cuando se desea elaborar unas tablas de una unción conocida paradespus calcular sus valores en puntos intermedios mediante interpolación. Enestos casos puede ser de utilidad el siguiente teorema.

Defnición

A veces se tiene sufciente inormación de la unción a interpolar y es posibleconocer una cota del error cometido en la interpolación. Esto ocurre, porejemplo, cuando se desea elaborar unas tablas de una unción conocida paradespus calcular sus valores en puntos intermedios mediante interpolación. Enestos casos puede ser de utilidad el siguiente teorema.

Teorea

!ipóte"i":

!a,b" #$ %&x' es continua en !a,b"&(' es n)* veces derivable en !a,b"xo,x*,+,xn  !a,b" y son distintos dos a dos- es el /nico polinomio de grado 0 n tal que &xi' 1 &xi' para i 1 2,*,+,n y x !a,b"

Te"i":

3 4 !a,b" tal que &x'.&x' 1

Deo"tracion

a# Si $% & '$() $*) ...) $n+ el teorea e" e,idente.

-# Si $% '$() $*) ...) $n+:

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a# Si $% & '$() $*) ...) $n+ el teorea e" e,idente.

-# Si $% '$() $*) ...) $n+:

ACOTACION DEL E//O/

5i existe &y adem6s conocemos' una cota &7' de la derivada n)*#sima de &x'

en !a,b" , podremos acotar el error de la interpolación mediante la siguienteexpresión8

5e observa en la gr6fca de la cota del error que sta es menor en la 9onacentral de los puntos base. Las 9onas a la i9quierda de xo y a la derec:a dex; no son de interpolación, sino de extrapolación, y la gr6fca da una idea de laalta de exactitud en la 9ona de extrapolación, pues el error puede crecerindefnidamente si nos alejamos de la 9ona de interpolación.

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EJE01LOS

Vao" a 2allar 3na cota del error coetido al apro$iar por"3 ,alor interpolado.

Es inmediata la comprobación de que cumple todas las:ipótesis del teorema del error en la interpolación.

Adem6s con lo que8

, si calculamos elerror tenemos

que , lo cualnos indica que la cota de error obtenida mediante el teorema era realmenteindicadora del error real cometido. ?o obstante, la cota de error obtenida noser6 siempre tan próxima al error real, entre otras cosas porque las derivadasde orden superior no suelen ser tan 6ciles de acotar como lo es la de esteejemplo.

En cualquier caso, la cota del error sólo se puede calcular cuando se tienesufciente inormación sobre la unción a interpolar, y en muc:as ocasionessta es desconocida, como ocurre por ejemplo cuando sus valores conocidos:an sido obtenidos experimentalmente.

E@E7LO >

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&x'1 ex 2,*,>,B, &*,C'1D

xi &xi'2 ** >,=*>

> =,BF2

GB >2,2C

C;&x'1 * ) *,FBB2Fx#*,2G2B; x> ) 2,;CCB xB &*,C'1p&*,C'1 ;,BGC=B

E%%O% HE LAI%A?IE

E%%O%1

)35,1)(15,1)(15,1)(05,1(!4

)(−−−−

ℑ=

 IV  f  

 

] [3,0ℑ

 J&x'1ex

 JJ&x'1ex

 JJJ&x'1ex

 JK&x'1ex

 JK&B'1eB

E%%O% 

4708,0.02344,0!4

)(.02344,0   3 =⊆

ℑ=   e

 f    IV 

Concl3"ione"

• 5e pudo conocer como se calcula la cota de error de un polinomio delagrange apartir de una unción dada

• 5e logro comprender como obtener las cotas de error dados en una

interpolación de lagrange

4EBG/A5IA

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