UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ÁREA: TECNOLOGÍA

ESTUDIOS A DISTANCIA

ASIGNATURA: ANÁLISIS NUMÉRICO

Análisis numérico y métodos numéricos

Realizado por:

Alexander Hernández

C.I. 10565198

Análisis numérico

El análisis numérico es la rama de la matemática que busca describir, analizar y

crear algoritmos numéricos que propicien la solución de problemas matemáticos,

en donde estén involucradas funciones o expresiones numéricas.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todas las

herramientas necesarias para llevar a cabo todos aquellos procedimientos

matemáticos idóneos para expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos

que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando

números.

Importancia de utilizar métodos numéricos

Su importancia radica en sus amplias aplicaciones, dado que se usan para

resolver problemas de ingeniería que no pueden solucionarse con los métodos

convencionales o que aplicándolos se producirían cálculos engorrosos o muy

largos. Un ejemplo de este caso puede ser la integración en un intervalo donde la

función no es integrable y se recurre a métodos numéricos que con algunos pasos

se obtienen resultados bastante ajustados a la solución real.

Desde un punto de vista global el análisis numérico tiene amplia repercusión en

la solución de problemas de diseño en la ingeniería en todas sus áreas (civil,

mecánica, pesquera, industrial, química y otras)

Números de decimales y de máquinas

Número de máquina: El sistema binario, en ciencias e informática, es un

sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente

las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que

trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de

numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Números de decimales: El sistema de numeración decimal, también llamado

sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades

se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El

conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de

diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis

(6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

Números decimales a partir de números máquina decimales en bits

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se

vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor

que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.

A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero,

simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les

da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos.

Ejemplo

Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1

-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

Error absoluto y error relativo

Error absoluto: Es el resultado de la resta entre el valor medido (o

aproximado) y el valor exacto.

Error relativo: Es el resultado de dividir el error absoluto entre el valor exacto.

Si se multiplica por 100 se obtiene el error relativo porcentual.

Cálculos de errores absolutos y errores relativos

De la actividad realizada se extrae:

X = 1 , Xapróx.=1,1

Eabs: Error absoluto Erel: Error relativo

1,01

1,0

1,01,11

X

EabsErel

Eabs

Cálculos de cotas de errores absolutos y relativos

1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa

2. Una cota para el error relativo es:

Cota de error relativo=Cota de error absoluto / valor real

Ejemplo.

Cota de error absoluto de 500 es 100/2=50

Cota de error relativo = 50/500=0.1

Fuentes básicas de errores y cálculo de éstos

Error de truncamiento:

En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término

usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal,

descartando los menos significativos.

Por ejemplo dados los números reales:

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos

a la derecha de la coma decimal.

El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que justo

en el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los

dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento

puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Error de redondeo

El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un

número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado.

Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3, 312/937 ≈ 1/3 o √2 ≈ 1,414 . Se utiliza

con el fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores

aproximados se acumulan errores de redondeo que pueden hacer variar

significativamente el valor estimado obtenido respecto del valor real