8/16/2019 Análisis Teórico Enfriamiento de Newton

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Análisis Teórico:

Según Newton, la rapidez con que se enfría un cuerpo es directamenteproporcional a la diferencia existente entre su temperatura instantánea

la temperatura del am!iente, esta a"rmación se puede expresar

matemáticamente de la siguiente forma:dT

dt ∝ ∆ T = k ∆T

#ara un cuerpo cu a temperatura instantánea T, es ma or que latemperatura del am!iente T A si se asume T A como constante durante

el desarrollo del experimento, entonces:∆ T = T − T A $ #or otra parte

sa!iendo que la temperatura del cuerpo decrecerá %asta alcanzar el

equili!rio t&rmico, se puede interpretar que la función desconocida T,tendrá una pendiente negati'a, entonces:

dT

dt =− k (T − T A )

Se procede a solucionar la (cuación )iferencial de #rimer *rden, por elm&todo de separación de 'aria!les:

dT

(T − T A )=− k dt

∫ dT (T − T A )=− k ∫ dt

ln (T − T A )=− k t +c

A %ora en cuanto a las condiciones iníciales del experimento realizado,se sa!e que en el instante t+ s, la temperatura inicial era T o -)e formageneral., por lo tanto:

ln (T 0 − T A )=− k (0 )+c

c = ln (T 0 − T A )

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/eemplazando en la Solución ($)$:

ln (T − T A )=− k t +ln (T 0 − T A )

#or último se despe0a T -t. de la ecuación para o!tener la solución generalde ():

e ln (T −T A )= e − k t + ln (T 0− T A )

T − T A = e −k t e ln (T 0 −T A )

T − T A =( T 0 − T A )e − k t

∆ T

=∆T

0e −

kt

Solución 1eneral ():

T (t )= T A +(T 0 − T A )e −k t