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UNIVERSIDAD LOS ANGELES DE CHIMBOTECURSO: FISICA IANALISIS VECTORIALDOCENTE: SEGUNDO ALVAREZ HUARAZ - PER2015

Objetivos: Despus de completar este mdulo, deber:Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales.Determinar los componentes de un vector dado.Encontrar la resultante de dos o ms vectores.I. INTRODUCCINEs una parte esencial de la matemtica til para fsicos, matemticos, ingenieros y tcnicos.

Constituye una nocin concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemtico de las situaciones fsicas

Proporciona adems una ayuda inestimable en la formacin de imgenes mentales de los conceptos fsicos.II. VECTORES Y ESCALARES ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un nmero real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa; el tiempo; la temperatura.

II. VECTORES Y ESCALARES VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una direccin y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

El desplazamiento es una cantidad vectorial independiente de la trayectoria entre dos puntosII. VECTORES Y ESCALARES 3.TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, mltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presin

III. VECTOREnte matemtico cuya determinacin exige el conocimiento de un mdulo una direccin y un sentido.Grficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientadoAnalticamente se representa por una letra con una flecha encima.

Elementos de un vectorDireccin: Grficamente se representa por la recta soporte. En el plano por un ngulo y en el espacio mediante tres ngulos

III.Elementos de un vector2. sentido: Es el elemento que indica la orientacin del vector. Grficamente viene representada por la cabeza de flecha.3.Magnitud : Representa el valor de la magnitud fsica a la cual se asocia. Grficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

IV.Clase de vectores 1.Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposicin fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un nmero infinito de vectores que tienen la misma magnitud, direccin y sentido.Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicacin

V.Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicacin de vectores es necesario definir:Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idnticos

Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y direccin pero sentido opuesto

Suma de vectores: M del ParalelogramoUna los puntos iniciales de los vectores conservando sus elementos2.Construya un paralelogramo teniendo como lados a los vetores.3. Trace la diagonal y orientele 4. Mida la longitud y el ngulo del vector resultanteAlgebra vectorial: Suma vectorial Considere dos vectores A y B como se muestra.

El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del tringulo .

Algebra vectorial: Suma vectorial La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos.

La direccin mediante la ley de senos

Algebra vectorial: Resta vectorial Considere dos vectores A y B como se muestra.El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del tringulo .

Algebra vectorial: Resta vectorial La magnitud del vector diferencia D es

La direccin mediante la ley de cosenos

Leyes del algebra vectorial Conmutatividad.

2.Asociatividad

Multiplicacin de un escalar por un vectorConsideremos la multiplicacin de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma direccin y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

Propiedades de la Multiplicacin de un escalar por un vectorLey asociativa para la multiplicacin.Si b y c son dos escalares la multiplicacin se escribe

2.Ley distributiva para la adicin vectorial.si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

Propiedades de la multiplicacin de un escalar por un vector3. Ley distributiva para la suma escalar.Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

SUMA DE VARIOS VECTORES Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polgono. Esto la aplicacin sucesiva de la ley del paralelogramo o del tringulo. Es decir

VI.VECTOR UNITARIO Es un vector colineal con el vector originalTiene un mdulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios Cada uno de estos vectores unitarios tienen mdulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre s.

Repaso de trigonometraAplicacin de trigonometra a vectoresyxRqy = R sen q x = R cos q

R2 = x2 + y2TrigonometrasenyRq=VII. DESCOMPOSICIN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El nico requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposicin pude ser en un plan o en el espacio.1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

DESCOMPOSICIN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

Suma de varios vectores en forma de componentesRx = Ax + BxRy = Ay + By

Se descompone cada uno de los vetores en componentes y posteriormente se suma

Signos de las componentes de las componentes vectoriales

4to quadrante

3rd Cuadrante

2do Cuadrante

1er CuadranteDESCOMPOSICIN VECTORIAL EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO.Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formndose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

DESCOMPOSICIN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIN VECTORIAL 3.En el espacio.

VECTOR POSICINAquel vector trazado desde el observador hasta el punto de ubicacin instantanea del cuerpo

VECTOR POSICIN RELATIVO

VIII. PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos vectores denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ngulo que forman ellos.

Propiedades del producto escalarEl producto escalar es conmutativo

El producto escalar es distributivo

Producto de un escalar por el producto escalar

Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

Propiedades del producto escalarProducto escalar de dos vectores unitarios iguales

Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

Producto escalar de dos vectores

Propiedades del producto escalarProducto escalar de dos vectores en forma de componentes .Entonces tenemos

8.Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

INTERPRETACIN DEL PRODUCTO ESCALARGeomtricamente esta situacin se muestra en la figura

VECTOR PROYECCIN ORTOGONALConsidere los vectores a y b mostrados

IX. PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ngulo entre ellos y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notacin del producto cruz es

REGLA DE LA MANO DERECHAa. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo ndice con el primer vector, el dedo corazn el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial no es conmutativo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial es distributivo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALMultiplicacin de un escalar por el producto vectorial.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL4.Multiplicacin vectorial de vectores unitarios

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial de dos vectores en componentes es

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALLa magnitud del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

Ejemplo 01La figura muestra un cubo de 1 m de lado en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posicin 1,2,3 y 1. Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. Cual es el desplazamiento total?.

Ejemplo 02Halle el mdulo del vector resultante si A = 5 y C = 8.

Ejemplo 03 Si , halle el mdulo del vector P , si

Ejemplo 04En el exagono regular de 4 m de lado se han graficado los vectores concurrentes mostrados. Determine la magnitud del vector resultante

Ejemplo 05

Ejemplo 06La figura es un tetraedro regular de 2 m de lado. Halle la resultante de todos los vectores mostrados

Ejemplo 07Halle el mdulo del vector resultante del sistema de vectores mostrados en la figura.

Ejemplo 08Halle el mdulo del vector resultante del sistema de vectores coplanares mostrados en la figura.

Ejemplo 09Halle el mdulo del vector resultante del sistema de vectores coplanares mostrados en la figura.

Ejemplo 10En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los mdulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. Cul es la magnitud y la direccin de la fuerza resultante?.

Ejemplo 11En el siguiente sistema de vectores . Luego m+n es igual a: (G: baricentro).

Ejemplo 12Para el sistema de vectores que se muestra en la figura. Determine la magnitud del vector

Sabiendo que G es el baricentro y que .

Ejemplo 13

Ejemplo 14Un avin viaja en la direccin Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una regin donde el viento sopla en la direccin 30 Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y direccin de la naveSOLUCION

Ejemplo 15Halle el mdulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado sabiendo que PM = 2, MQ = 7 y MS =1

Ejemplo 16

Ejemplo 17

Ejemplo 18

EJEMPLO 19La resultante FR de las dos fuerzas que actan sobre el tronco de madera est dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ngulo que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mnimo. Cul sera la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situacin?

Ejemplo 20La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que acta sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposicin de ambas dan una resultante de 90N de mdulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que =50

Ejemplo 21La figura muestra un tringulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION

Ejemplo 22 Sabiendo que el mdulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

Ejemplo 23En la figura mostrada, determine el vector x, en funcin de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de crculo

Ejemplo 24Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una segn la direccin AB y la otra perpendicular a ella

EJEMPLO 25Determine el ngulo para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB est dirigida horizontalmente a la derecha. Determine adems la magnitud de la fuerza resultante

EJEMPLO 26 Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su mdulo

Ejemplo 27La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

Ejemplo 18Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

Ejemplo 19Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la lnea recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y P2(1, 1, 4)Ejemplo 20Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector

Ejemplo 21Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

Ejemplo 22Demostrar que los vectores

pueden ser los lados de un tringulo y hallar las longitudes de las medianas de dichos triangulo

Ejemplo 23Hallar el rea del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores

Ejemplo 24Halle un vector unitario con la direccin y sentido de la resultante de los vectores

Ejemplo 25Demostrar que el rea de un paralelogramo de lados A y B es igual al mdulo del producto vectorialEjemplo 26Determine el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - kEjemplo 27Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector

Ejemplo 28Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2 mostrada en la figura.

Ejemplo 29Descomponga la fuerza de 250 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas PR y QR mostrada en la figura.

Ejemplo 30Determine la magnitud y direccin de la resultante de las fuerzas mostradas en la figura cundo =36 y F1 = 500 N

Problemas de aplicacinSi F1 = 5i + 6j y F2 = 2i 3j -4k. Determine F3 tal que la suma de las tres fuerzas sea nula.Cul es el vector unitario en la direccin de la fuerza F = (2000i - 3000j +600k)lb?.Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza normal a que sumadas resulten en la fuerza

Dados los vectores y : Determine:Halle los cosenos directores de la fuerza y selos para determinar los ngulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.