Analisis Vriacionala Resumen...Analisis Vriacionala Resumen En esta charla Un poco de historia...

Analisis VariacionalResumen

En esta charlaUn poco de historia

Análisis Variacional en acciónConceptos teóricos básicos

Una ojeadita a la técnica más avanzadaFinalmente...

Coloquio de Matemática

Tendencias de la Matemática Moderna: un tour por

el Análisis Variacional y sus aplicaciones

Ana Maria Amarillo Bertone

Universidade Federal de Uberlândia

24 de Octubre de 2012

Ana Maria Amarillo Bertone Coloquio de Matemática Tendencias de la Matemática Moderna: un tour por el Análisis Variacional y sus aplicaciones

Resumen

El Cálculo das variaciones

es una de las más antiguas áreas de la matemática que inuenció eldesarrollo de la misma de muchas maneras.

Esta área cambió rotundamente en el siglo XX

con el aparecimiento de nuevos métodos y pasó a ser conocidacomo Análisis Variacional.

El nombre de Cálculo de las Variaciones (CV)

viene de una publicación del famoso matemático Leonard EulerUn método para encontrar las curvas que dividem ciertaspropiedades de máximo o mínimo datado em 1744.

Resumen

Pero la teoria es mucho más antigua

debido a su íntima relación con problemas encontrados desde lasorígenes de la humanidad, como la de encontrar solucionesóptimas para problemas más práticos, por ejemplo, paraminimizar pérdidas o para maximizar los benecios. En estesentido más amplio de encontrar soluciones óptimas, esta área tienecerca de 3,000 años!

En los tiempos actuales

los métodos del Análisis Variacional interactuan con otras áreas delconocimento, como física, especialmente mecánica, geometriadiferencial y áreas más aplicadas como economia y ingeniería.Optimización y teoria del control usan esta poderosa herramientacomo base da sus teorias.

Pero la teoria es mucho más antigua

debido a su íntima relación con problemas encontrados desde lasorígenes de la humanidad, como la de encontrar solucionesóptimas para problemas más práticos, por ejemplo, paraminimizar pérdidas o para maximizar los benecios. En estesentido más amplio de encontrar soluciones óptimas, esta área tienecerca de 3,000 años!

En los tiempos actuales

los métodos del Análisis Variacional interactuan con otras áreas delconocimento, como física, especialmente mecánica, geometriadiferencial y áreas más aplicadas como economia y ingeniería.Optimización y teoria del control usan esta poderosa herramientacomo base da sus teorias.

En esta charla

Iremos recorrer un poco de la história de esta importante áreade la matemática.

Vamos ver alguns exemplos prácticos, históricos y modernos,que motivan su utilización.

Mostraremos un esbozo de sus bases teóricas.

Finalmente algunos resultados cientícos aplicados a laEcuaciones Diferenciales Parciales con no linealidaddiscontinua, motivo de investigación de la Profa Dra AnaMaria.

En esta charla

Un poco de historia

El primer problema del CV: el problema del Isoperímetro (800 AC)

El Problema de la Reina Dido

encontrar la forma de la frontera que se debía poner en el suelo(utilizando tiras hechas con la piel de un buey) con el objeto de encerraruna supercie de área máxima.

Un poco de historia

El primer problema del CV: el problema del Isoperímetro (800 AC)

El Problema de la Reina Dido

encontrar la forma de la frontera que se debía poner en el suelo(utilizando tiras hechas con la piel de un buey) con el objeto de encerraruna supercie de área máxima.

En la Antigua Grecia (250 AC)

Una muestra del antiguo CV es el libro V de la obra sobre cónicasescrita en ocho tomos por Apolonio de Pergamo, que vivió entre losaños 262 y 190 a.C., en el cual se dedica a estudiar

segmentos de longitud máxima y longitud mínima trazados respecto

a una cónica.

En tiempos más modernos (1662)

El principio de Fermat

El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es

tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo.

Julho de 1696

El nacimiento del Cálculo de las variaciones moderno con JohannBernoulli que propuso el problema de la Braquistocrona(*)

encontrar la forma de una cuerda a lo largo de la cual una partícula,inicialmente en reposo se desliza sobre el efecto único de la gravedad deuna extremidad a otra en tiempo mínimo. Las extremidades de la curvason especicadas y el movimento de la partícula ocurre sin frición.

(del griego brachistos, el más corto, y chronos, tiempo, demora)

Julho de 1696

(del griego brachistos, el más corto, y chronos, tiempo, demora)Ana Maria Amarillo Bertone Coloquio de Matemática Tendencias de la Matemática Moderna: un tour por el Análisis Variacional y sus aplicaciones

Liebniz hizo su primera publicación de cálculo diferencial: elcomienzo de la teoría matemática de la optimización.

L. Euler publicó el libro A method for nding curves enjoyingcertain maximum or minimum properties.

Legendre: Como distinguir puntos estacionarios. Una condición

necesaria para extremos en función de la segunda variación.

Lagrange: Mécanique analytique.

Jacobi completó el estudio de Legendre.

≈ 1850

El problema de Dirichlet: Dirichlet y Riemann, presuponiendo la

existencia de extremos resolveram el problema ∆u = 0 en un dominio

G del plano con valores de frontera.

Wierstrass mostró que Dirichlet, Gauss y Riemann estabam equivocados

produciendo ejemplos que mostrabam que mínimo no es la misma cosa

que ínmo de un conjunto.

Dini y Hadamard introducen el concepto de subdiferencial.

≈ 1850

Dini y Hadamard introducen el concepto de subdiferencial.Ana Maria Amarillo Bertone Coloquio de Matemática Tendencias de la Matemática Moderna: un tour por el Análisis Variacional y sus aplicaciones

Siglo XX

Hilbert mostró que el principio de Dirichlet estaba corretoestableciendo el concepto de semicontinuidade inferior en el sentidodébil.

Charathéodory publica Isopérimaitre incomparable una extensiónde los métodos variacionales para EDP.

Browder usa una teoría sistemática para resolver EDP no linealesvia operadores monotónicos.

Siglo XX

Finalmente: el auge del AV

L. Pontryagin, T. Rockafellar y F. Clarke trabajaronen Optimal Control Theory, una generalización delCálculo de las Variaciones y el desarrollo del AnálisisVariacional.

Como conclusión de esta parte histórica, vemos la actuación de estaárea de la matemática en

la evolución del cálculo diferencial

contribuiciones para la física, astronomia, economia(especialmente en el siglo XX), resolviendo, desde tiemposinmemoriables problemas del cotidiano humano

con la llegada de la era computacional, el boom de laoptimización y de la teoria del control.

Veremos a seguir un problema sencillo y moderno de la AV enacción.

Análisis Variacional en acción

Sobrejetividade das Derivadas

Suponha que f : R→ R es diferenciable y verica

lim|x |→∞

|x |= +∞.

Entonces f ′(x), x ∈ R = R.

demostración

Sea y ∈ R cualquiera. Denamos entonces la función auxiliarg(x) = f (x)− xy para x ∈ R. Como g es coerciva, existe unelemento xy mínimo de g , con 0 = g ′(xy ) = f ′(xy )− y .

Análisis Variacional en acción

Sobrejetividade das Derivadas

Suponha que f : R→ R es diferenciable y verica

lim|x |→∞

|x |= +∞.

Entonces f ′(x), x ∈ R = R.

demostración

Sea y ∈ R cualquiera. Denamos entonces la función auxiliarg(x) = f (x)− xy para x ∈ R. Como g es coerciva, existe unelemento xy mínimo de g , con 0 = g ′(xy ) = f ′(xy )− y .

Condiciones esenciales para esta armación:

Compacidad (garantia do mínimo global)

Diferenciabilidad

En los años 70

esas condiciones fueron substituidas por otras más debiles:

semicontinuidade inferior dando origem aos PrincipiosVariacionales;

Conceptos más generales de diferenciabilidad.

De ahi aparecem existem várias opciones técnicas:

Dimensión Finita/Convexidade: Rockafellar; Geométrica: B.S.Mordukhovich; Analíticas: J.M. Borwein y Q. J. Zhu.

Diferenciabilidad

En los años 70

Diferenciabilidad

En los años 70

Diferenciabilidad

En los años 70

Diferenciabilidad

En los años 70

Diferenciabilidad

En los años 70

Diferenciabilidad

En los años 70

Conceptos teóricos básicos

En el corazón de la AV

reside el concepto de Subdiferencial. Iniciamos um mini tour eneste concepto, primeiramente en espacio de dimensión nita.

Una función f de varias variables convexa

tiene la propiedad

f (y) ≥ f (x) +∇f (x)T (y − x)

siendo ∇f (x) una aproximación lineal global por abajo y(∇f (x),−1) contiene el epif en el punto (x , f (x)).

Conceptos teóricos básicos

En el corazón de la AV

reside el concepto de Subdiferencial. Iniciamos um mini tour eneste concepto, primeiramente en espacio de dimensión nita.

Una función f de varias variables convexa

tiene la propiedad

f (y) ≥ f (x) +∇f (x)T (y − x)

siendo ∇f (x) una aproximación lineal global por abajo y(∇f (x),−1) contiene el epif en el punto (x , f (x)).

Pregunta:

y si f no es diferenciable?

Subgradiente de una función es la respuesta

Denición:

g (vetor de R) es subgradiente de f en el punto x si

f (y) ≥ f (x) + gT (y − x), para todo y

Pregunta:

Denición:

Pregunta:

Denición:

el conjunto de todos los subgradientes de f en el punto x esllamado de subdiferencial de f em x .

Ejemplo

Denición:

el conjunto de todos los subgradientes de f en el punto x esllamado de subdiferencial de f em x .

Ejemplo

Una ojeadita a la técnica más avanzada

Elementos abstractos avanzados

Espacios de Banach;

Funcionales Convexos y Lipchitzianos;

Subdiferenciales de estos funcionales.

Una extensión del resultado que vimos en dimensión nita

Teorema: Si X es un espacio de Banach reexivo y Φ : X → Rdebilmente semicontinuo inferiormente, satisfaciendo

lim‖x‖→∞

‖x‖= +∞.

Entonces⋃x∈X ∂FΦ(x) = X ∗.

Espacios de Banach;

lim‖x‖→∞

‖x‖= +∞.

Espacios de Banach;

lim‖x‖→∞

‖x‖= +∞.

Espacios de Banach;

lim‖x‖→∞

‖x‖= +∞.

Espacios de Banach;

lim‖x‖→∞

‖x‖= +∞.

Otra aplicación

Un modelo biomédico

la neuroprótesis, cuyos dispositivos tienen como objetivo restaurar oapoyar partes de los sistemas neuro musculares y/o sensoriais,estimulando la atividade muscular electricamente.

Un campo elétrico ativa las células nerviosas y musculares, paradesencadenar una secuencia de eventos que tienen lugar en lamembrana celular, que es un ambiente ionizado.

Otra aplicación

Un modelo biomédico

la neuroprótesis, cuyos dispositivos tienen como objetivo restaurar oapoyar partes de los sistemas neuro musculares y/o sensoriais,estimulando la atividade muscular electricamente.

Un campo elétrico ativa las células nerviosas y musculares, paradesencadenar una secuencia de eventos que tienen lugar en lamembrana celular, que es un ambiente ionizado.

El modelo matemático

Para este modelo de comportamiento eletrostático, vamosconsiderar

Ω ⊂ R2 como seción horizontal de un cilindro C ⊂ R3

conteniendo una solución ionizada;

v0 la temperatura de la superfície lateral ∂C ;

v la temperatura de la solución;

δ ≥ v0 la temperatura de descarga y σ(v) la condutividadelétrica.

Como la solución es ionizada, tenemos una discontinuidad en v = δpara σ, esto es, σ(v) = 0 si v ≤ δ y σ(v) es positiva y contínuapara v > δ.

Las ecuaciones constitutivas sonE = −grad v

D = αEdiv D = σ

siendo E el campo elétrico, D el campo de indución elétrica yα = χ−1|E |2, con χ la condutividade térmica, suponiendo χ y |E |constantes.

Como la solución es ionizada, tenemos una discontinuidad en v = δpara σ, esto es, σ(v) = 0 si v ≤ δ y σ(v) es positiva y contínuapara v > δ.

Las ecuaciones constitutivas sonE = −grad v

D = αEdiv D = σ

siendo E el campo elétrico, D el campo de indución elétrica yα = χ−1|E |2, con χ la condutividade térmica, suponiendo χ y |E |constantes.

siendo que v verica−∆v = 0, si v ≤ δ,−∆v = ασ(v), si v > δ,

v = v0, em ∂Ω(1)

Escribimos u = v − v0 y γ = δ − v0 ≥ 0 para destacar ladependencia de v0 y δ, tornando (1) en

−∆u = αH(u − γ)σ(u + v0) en Ω, u = 0 en ∂Ω, (2)

donde H(x − γ) es la función de Heaviside con salto en γ.

siendo que v verica−∆v = 0, si v ≤ δ,−∆v = ασ(v), si v > δ,

v = v0, em ∂Ω(1)

Escribimos u = v − v0 y γ = δ − v0 ≥ 0 para destacar ladependencia de v0 y δ, tornando (1) en

−∆u = αH(u − γ)σ(u + v0) en Ω, u = 0 en ∂Ω, (2)

donde H(x − γ) es la función de Heaviside con salto en γ.

AV en acción

La solución del problema 2 es el mínimo del funcional, denido enun espacio de Banach adecuado,

I (u) =1

∫Ω|∇(u)|2 −

∫H(u − γ)u.

I no es diferenciable, pero es Lipchitziano y tiene, enconsequencia, una subdiferencial. Así, usando el teorema anterior,tendrá un mínimo global.

AV en acción

La solución del problema 2 es el mínimo del funcional, denido enun espacio de Banach adecuado,

I (u) =1

∫Ω|∇(u)|2 −

∫H(u − γ)u.

I no es diferenciable, pero es Lipchitziano y tiene, enconsequencia, una subdiferencial. Así, usando el teorema anterior,tendrá un mínimo global.

Finalmente...

Terminando con una frase de Euler

Leonhard Euler 1707 - 1783

(1774) Namely, because the shape of the whole universe is most perfectand, in fact designed by the wisest creator, nothing in all of the world willoccur in which no maximum or minimum rule is somehow shining forth.

(A saber, porque la forma del universo es la más perfecta y, de hecho, proyectado por el Creador mássabio, nada en el mundo pasará sin que de una forma o otra la regla del máximo o del mínimo den subrilho.)

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