ANALISIS Y DISEÑO DE ESCALERA HELICOIDAL

7/27/2019 ANALISIS Y DISEO DE ESCALERA HELICOIDAL

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TEMAS DE HORM IGN ARMADO

Marcelo Romo Proao, M.Sc.

Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador

326

CAPTULO XVESCALERAS HELICOIDALES

15.1 INTRODUCCIN:

Una de las geometras arquitectnicos ms elegantes y ms populares para escaleras

constituye la geometra helicoidal.

El desarrollo tridimensional de la escalera determina que la estructura se encuentre

simultneamente somerida a torsin, flexin, cortante y carga axial, aunque la ltima carece de

importancia en el diseo.

Una escalera helicoidal es una estructura espacial de eje curvo que generalmente se encuentra

sustentada en sus dos extremos opuestos.

Existen 2 alternativas bsicas de anlisis y diseo de escaleras helicoidales:

Emplear formularios preestablecidos para el efecto.


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327

Utilizar programas de anlisis matricial espacial de estructuras, para lo que se requieredividir a la estructura helicoidal en varios elementos longitudinales (alrededor de 5

segmentos por cada 90 de desarrollo).

15.2 FORMULARIO PARA EL CLCULO DE UNA ESCALERAHELICOIDAL (basado en el libro Formulario del Ingeniero deEdiciones URMO):

A continuacin se presenta un formulario basado en la propuesta del libro Formulario del

Ingeniero de Ediciones URMO, para el caso de escaleras helicoidales de seccin transversal

constante, sustentadas en losas o en vigas rectangulares, empotradas en sus dos extremos,

sometidas a cargas verticales uniformes distribuidas longitudinalmente.

SIMBOLOGA UTILIZADA EN EL FORMULARIO:

H: desnivel entre el punto de arranque (D) y el punto de llegada (A) de la escalera

helicoidal

o: mitad del ngulo de desarrollo horizontal de la escalera helicoidal: ngulo de inclinacin vertical de la escalera helicoidal: ngulo horizontal medido desde el centro de la escalera hasta la seccin en que se

analizan las solicitaciones

q: carga vertical uniforme distribuida sobre la proyeccin horizontal del eje longitudinal de

la escalera

r: radio horizontal del eje central de la escalera helicoidal


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328

b: ancho constante de la losa o viga de seccin transversal rectangular, que sirve de

sustento para la escalera helicoidal

h: altura constante de la losa o viga de seccin transversal rectangular de la escalera

helicoidal

E: mdulo de elasticidad del material constitutivo de la escalera

G: mdulo de cortante del material constitutivo de la escalera

I1: inercia de la seccin transversal rectangular respecto al eje horizontal de la losa o viga

rectangular

It: inercia torsional de la seccin transversal rectangular respecto al eje longitudinal de la

losa o viga rectangular

I3: inercia se la seccin transversal rectangular respecto al eje vertical de la losa o viga

rectangular

M1: momento flector respecto al eje horizontal de la losa o viga rectangular de la escalera

helicoidal, calculado en la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro dela escalera

M2: momento torsor respecto al eje longitudinal de la losa o viga rectangular de la escalerahelicoidal, calculado en la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de

la escalera

M3: momento flector respecto al eje vertical de la losa o viga rectangular de la escalerahelicoidal, calculado en la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de

la escalera

Y: fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,

calculada en la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de la escalera

T: fuerza cortante vertical en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculadaen la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de la escalera

N: fuerza axial en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculada en la seccintransversal ubicada a un ngulo desde el centro de la escalera

Y: fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,

calculada en en el centro de la escalera helicoidal

a. FORMULARIO AUXILIAR:A continuacin se presenta un formulario de expresiones auxiliares de clculo, el mismo que

conviene utilizarlo en el mismo orden en que se presenta:

1

31

I

In =

(ecuacin 1)

t

32

I.G

I.En =

(ecuacin 2)


4/10




329

=

24

)2(SenSennA ooo11

(ecuacin 3)

( )

++= oooo

o22

22 Cos.24

)2(SenSenSenCosnA

(ecuacin 4)

( )

++

+

=

4

)2(Sen

2SenCosn

4

)2(Sen

2nB oo222

oo11

(ecuacin 5)

=

4

)2(Cos.

8

)2(Sen

Cos

nC ooo

2

11

(ecuacin 7)

=

24

)2(Cos.

8

)2(Sen3nC oooo22

(ecuacin 8)

( )4

)2(Cos.TgTg2

8

)2(Sen

2C oo22oo3

=

(ecuacin 9)

+

= 4

)2(Cos.

8

)2(Sen

Cos.SenCos

Tg

nD

ooo

ooo11

(ecuacin 10)

{ }

++

+

=

4

)2(Cos.Sen3)(

28

)2(Sen3Cos.3Sen.nD ooo

2o

oooo22

(ecuacin 11)

( )( )

+= )2(Sen

8

Tg2Cos.SenTg21SenD o

2

ooo2

3

(ecuacin 12)

+=

24

)2(CosSen..TgSenD ooooo

24

(ecuacin 13)

+

=8

)2(Sen

4

)2(Sen.)(

4

)2(Cos.

6

)(

Cos

TgnE oo

2ooo

3o

2

11

(ecuacin 14)


5/10




330

+++

=

2)2(Sen.)(

4

1)2(Sen

8

5)2(Cos.

4

3

6

)(Tg.Sen.nE oo

2oooo

3o

22

(ecuacin 15)

+

+

=

4

)2(Sen.)(Tg

8

)TgTg22)(2(Sen)(

6

TgCosE o

2o

442o3

0

4

3

(ecuacin 16)

+

=

24

)2(Cos.)Tg2(TgCosE ooo224

(ecuacin 17)

b. FORMULARIO DE CORRIMIENTOS REFERENCIALES:

[ ]213

3

OXq AA

Cos

r.q

I.E

1+

=

(ecuacin 18)

[ ]13

XX BCos

r

I.E

1

=

(ecuacin 19)

[ ]3212

3XY CCCSen.r

I.E

1++=

(ecuacin 20)

[ ]43214

3

OYq DDDDr.q

I.E

1+++=

(ecuacin 21)

[ ]43213

3YY EEEEr

I.E

1+++=

(ecuacin 22)

c. FORMULARIO DE FUERZAS Y MOMENTOS EN EL CENTRO DE LALUZ DE LA ESCALERA:

2XYYYXX

YYoXqXY

oYq

)().(

).().(X

=

(ecuacin 23)

2XYYYXX

XXoYqXY

oXq

)().(

).().(Y

=

(ecuacin 24)


6/10




331

d. FORMULARIO PARA MOMENTOS FLECTORES Y TORSORES EN LAESCALERA:

Y).Sen.().Tg.(rX).Cos()Cos1.(r.qM 21 += (ecuacin 25)

Y).SenCos.).(Sen.(rX).Sen).(Cos()Sen).(Cos.(r.qM 22 = (ecuacin 26)

{ }YCos)Tg(Sen)Cos(rX)Sen)(Sen()Sen)(Sen(qrM 223 += (ecuacin 27)

Donde:

M1: Momento flector respecto al eje horizontal de la losa o viga, medido a un ngulo

desde el centro de la escalera

M2: Momento torsor respecto al eje longitudinal de la losa o viga, medido a un ngulo

desde el centro de la escalera

M3: Momento flector respecto al eje vertical de la losa o viga, medido a un ngulo desde

el centro de la escalera

e. FORMULARIO PARA FUERZAS CORTANTES EN LA ESCALERA:

YY = (ecuacin 28)

r..qT = (ecuacin 29)

Donde:

Y: fuerza cortante horizontal en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal,calculada en la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de la escalera

T: fuerza cortante vertical en la losa o viga rectangular de la escalera helicoidal, calculadaen la seccin transversal ubicada a un ngulo desde el centro de la escalera

r: radio horizontal del eje central de la escalera helicoidal

EJEMPLO 15.1:

Disear una escalera helicoidal de hormign armado que tiene un ngulo total de desarrollo en

planta de 180; tiene un radio respecto al eje centroidal de 1.80 m.; tiene una losa de 1.40 m

de ancho y 0.15 m de espesor; vence un desnivel de 2.40 m.; tiene una carga viva de 500

Kg/m2; est construida con hormign de 210 Kg/cm2 de resistencia y utiliza acero de refuerzo

de 4200 Kg/cm2 de esfuerzo de fluencia.


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332

Datos del ejemplo:

L = 500 Kg/m2

o = 90 = 1.57 rad.r = 180 cm.

b = 140 cm.

fc = 210 Kg/cm2

Fy = 4200 Kg/cm2

.rad4014.001.23141592.3).cm180(

cm240Tg

1 ==

=

Cargas:

peso propio de la losa: 0.15 m x 1.40 m x 1.00 m x 2400 Kg/m3 = 504 Kgse definen 14 escalones de 17.1 cm de contrahuella (240/14=17.1)

y 40.4 cm de ancho promedio de la huella (180x3.14/14)

peso de los escalones: (0.171 m / 2) x 1.40 m x 1.00 m x 2000 Kg/m3 = 239 Kg

peso del enlucido inferior: 0.015 x 1.40 m x 1.00 m x 2200 Kg/m3 = 46 Kg

peso del parquet: 0.015x1.40m.(0.171+0.404)/0.404x1.00m x 1600Kg/m3 = 48 Kg

________

Carga Permanente por metro de longitud 837 Kg

Carga Viva por metro de longitud: 500 Kg/m2 x 1.40 m x 1.00 m = 700 Kg

qD = 837 Kg/mqL = 700 Kg/m

Carga ltimaqU = 14 D + 1.7 L = 1.4 (837 Kg/m) + 1.7 (700 Kg/m) = 2362 Kg/m

qU = 23.6 Kg/cm

Caractersticas Geomtricas y Elsticas:

43

1 cm3937512

)cm15)(cm140(I ==


8/10




333

43

3 cm343000012

)cm140)(cm15(I ==

4

44

t cm1468693

)cm15(63.0

cm15

cm140

3

h63.0

h

b

I =

=

=

2cm/Kg21737121015000c'f15000E ===

22

cm/Kg94509)15.01(2

cm/Kg217371

)1(2

EG =

+=

+=

Frmulario Auxiliar:

1

31

I

In =

11.87cm39375

cm3430000n

4

4

1 ==

t

32

I.G

I.En =

71.53)cm146869).(cm/Kg94509(

)cm3430000).(cm/Kg217371(n

42

42

2 ==

=

24

)2(SenSennA ooo11

18.6942042

57.1

4

)rad14.3(Sen)rad57.1(Sen)11.87(A1 =

=

( )

++= oo

ooo

2222 Cos.

24

)2(SenSenSenCosnA

[ ]

++= )5708.1(Cos).5708.1(

2

5708.1

4

)1416.3(Sen)5708.1(Sen)4014.0Sen()4014.0Cos)(71.53(A

222

9.8005609A 2 =

( ) 104.284944

)2(Sen

2SenCosn

4

)2(Sen

2nB oo222

oo11 =

++

+

=

-40.370314

)2(Cos.

8

)2(Sen

Cos

nC ooo

2

11 =

=

-21.0936724

)2(Cos.

8

)2(Sen3nC oooo22 =

=

( ) 0.85613344

)2(Cos.TgTg2

8

)2(Sen

2C oo22oo3 =

=

-24.391044

)2(Cos.

8

)2(SenCos.Sen

Cos

TgnD oooooo11 =

+

=


9/10




334

{ } -2.9358494

)2(Cos.Sen3)(

28

)2(Sen3Cos.3Sen.nD ooo

2o

oooo22 =

++

+

=

( )( ) 0.2499382)2(Sen8

Tg2Cos.SenTg21SenD o

2

ooo2

3 =

+=

-0.1608424

)2(CosSen..TgSenD ooooo

24 =

+=

17.7047658

)2(Sen

4

)2(Sen.)(

4

)2(Cos.

6

)(

Cos

TgnE oo

2ooo

3o

2

11 =

+

=

2.25569722

)2(Sen.)(4

1)2(Sen

8

5)2(Cos.

4

3

6

)(Tg.Sen.nE oo

2oooo

3

o22 =

+++

=

0.01929294

)2(Sen.)(Tg

8

)TgTg22)(2(Sen)(

6

TgCosE o

2o

442o3

0

4

3 =

++=

0.604479724

)2(Cos.)Tg2(TgCosE ooo224 =

+

=

Corrimientos Referenciales:

[ ] 0.0057143AACos

r.q

I.E

121

3

3

OXq =+

=

[ ] 08-2.73504EBCos

rI.E1 1

3XX ==

[ ] 06--1.02897ECCCSen.rI.E

1321

2

3XY =++=

[ ] 71-0.9050632DDDDr.qI.E

14321

4

3

OYq =+++=

[ ] 20.00016101EEEErI.E

14321

3

3YY =+++=

Fuerzas y Momentos en el Centro de la Luz:

cm-3352.53Kg)().(

).().(X

2XYYYXX

YYoXqXY

oYq =

=

Kg5642.53)().(

).().(Y

2XYYYXX

XXoYqXY

oXq =

=

Momentos Flectores y Torsores en la Escalera:

Los momentos flectores (M1 y M3) y torsores (M2) en cada seccin de la estructura secalculan mediante las siguientes expresiones:


10/10




335

Y).Sen.().Tg.(rX).Cos()Cos1.(r.qM 21 +=

Y).SenCos.).(Sen.(rX).Sen).(Cos()Sen).(Cos.(r.qM 22 =

[ ]YCos)Tg(Sen)Cos(rX)Sen)(Sen()Sen)(Sen(qrM 223 += Se prepara una tabla evaluando las expresiones anteriores cada 10:

r q X Y M1 M2 M3(grad) (rad.) (rad.) (cm) (Kg/cm) (Kg-cm) (Kg) (Kg-cm) (Kg-cm) (Kg-cm)

0.00 0.00000 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 -3352.53 0.00 0.00

10.00 0.17453 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 -1853.99 -457.58 -191787.74

20.00 0.34907 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 2199.13 -457.38 -377559.72

30.00 0.52360 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 7504.91 317.55 -551536.83

40.00 0.69813 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 11977.33 1910.69 -708404.43

50.00 0.87266 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 12868.15 3975.24 -843522.82

60.00 1.04720 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 6929.79 5680.35 -953112.4970.00 1.22173 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 -9388.10 5646.23 -1034407.23

80.00 1.39626 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 -39717.49 1913.08 -1085769.16

90.00 1.57080 0.40137 180 23.6 3352.53 5642.53 -87536.12 -8053.27 -1106761.33

Con estos valores tabulados se procede al diseo a flexin y torsin de cada seccin de la

escalera, para resistir cada una de las solicitaciones. Se aprovecha que por simetra el diseo

de las secciones desde el centro hacia el arranque izquierdo es similar al diseo desde el

centro hacia el arranque derecho.

Fuerzas Cortantes en la Escalera:

Las fuerzas cortantes (Y y T) en cada seccin de la estructura se calculan mediante lassiguientes expresiones:

YY = r..qT =

Se prepara una tabla evaluando las expresiones anteriores cada 10:

r q Y T (grad) (rad.) (cm) (Kg/cm) (Kg) (Kg)

0.00 0.00000 180 23.6 5642.53 0

10.00 0.17453 180 23.6 5642.53 741

20.00 0.34907 180 23.6 5642.53 1483

30.00 0.52360 180 23.6 5642.53 2224

40.00 0.69813 180 23.6 5642.53 2966

50.00 0.87266 180 23.6 5642.53 3707

60.00 1.04720 180 23.6 5642.53 4449

70.00 1.22173 180 23.6 5642.53 5190

80.00 1.39626 180 23.6 5642.53 5931

90.00 1.57080 180 23.6 5642.53 6673

ANALISIS Y DISEÑO DE ESCALERA HELICOIDAL

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