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1
ANÁLISIS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDADSENSIBILIDAD
2
1. Definición del problema, recolección de datos.
2. Formulación de modelo matemático.
3. Obtención de soluciones a partir del modelo. (Resolución. Incluye análisis
de Sensibilidad).
4. Prueba del modelo (corrección de errores, validación)
5. Preparación para la aplicación del modelo (Desarrollo de un sistema de
apoyo a la toma de decisiones).
6. Implementación (Inducción, procedimientos, documentación,
capacitación, retroalimentación, etc.).
Enfoque de Modelamiento de IO
3
Sea el Problema de Programación Lineal:
Análisis de Sensibilidad
Max Z=∑j=1
n
c j x j
s/a
∑j=1
n
aij x j≤bi ; i=1,2 , ... ,m
x j≥0 ; j=1,2 , ... ,n
4
Sea el Problema de Programación Lineal:
En la práctica, los parámetros del problema, son estimaciones
Análisis de Sensibilidad
Max Z=∑j=1
n
c j x j
s/a
∑j=1
n
aij x j≤bi ; i=1,2 , ... ,m
x j≥0 ; j=1,2 , ... ,n
5
Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho
de efectuar cambios en los valores de los parámetros .
Análisis de Sensibilidad
6
Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho
de efectuar cambios en los valores de los parámetros .
- Identificar parámetros sensibles
Análisis de Sensibilidad
7
Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho
de efectuar cambios en los valores de los parámetros .
- Identificar parámetros sensibles
- Identificar los intervalos dentro de los cuales los valores de los
parámetros pueden cambiar, sin alterar la solución óptima .
Análisis de Sensibilidad
8
Sean
los valores de los parámetros originales .
Suponer que al menos uno de estos valores cambia. Entonces, se tiene
que es el conjunto de los nuevos valores para los parámetros.
Notación
c j ,aij ybi
c j , aij y bi
9
Sean
los valores de los parámetros originales .
Suponer que al menos uno de estos valores cambia. Entonces, se tiene
que es el conjunto de los nuevos valores para los parámetros.
Matricialmente :
Notación
c j ,aij ybi
c j , aij y bi
bb cc AA
10
Nueva tabla inicial
Tabla Final Revisada
Tabla Simplex: Actualización
b
1 �c
A0
0
I
0Z
VariablesOriginales
VariablesHolgura
LadoDerecho
b*=S* b
1 z*�c=y* A�c
A*=S* A0
ZVariablesOriginales
VariablesHolgura
LadoDerecho
y*z*=y* b
S*
11
Ejemplo
Tabla Simplex: Actualización
MaximizarZ=3x15x2
s/a
x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
12
Ejemplo
Tabla final Simplex
Tabla Simplex: Actualización
MaximizarZ=3x15x2
s/a
x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2
13
Ejemplo
Tabla final Simplex
Tabla Simplex: Actualización
MaximizarZ=3x15x2
s/a
x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2
Suponerahora:
c=4,5; A=1 00 22 2; b= 4
2418
14
Nueva tabla inicial:
Tabla Simplex: Actualización
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 -4 -5 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 24x5 0 2 2 0 0 1 18
15
Nueva tabla inicial:
Tabla Final Revisada
Tabla Simplex: Actualización
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 -4 -5 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 24x5 0 2 2 0 0 1 18
16
Luego de obtener la tabla Simplex final, se debe convertir a la forma
apropiada, si fuese necesario
Tabla Simplex: Actualización
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 1/2 2 48x3 0 0 0 1 1/2 -1/2 7x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/2 1/2 -3
17
Luego de obtener la tabla Simplex final, se debe convertir a la forma
apropiada, si fuese necesario
Tabla Simplex: Actualización
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 1/2 2 48x3 0 0 0 1 1/2 -1/2 7x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/2 1/2 -3
LaSoluciónBásicaqueseobtieneesx1 ,x2 ,x3 , x4 ,x5=�3,2,7 ,0 ,0
18
1. Revisión del Modelo. Efectuar Cambios en los coe ficientes
2. Revisión de la Tabla Simplex Final
3. Conversión de la tabla Simplex final a la forma apropiada (si fuese
necesario)
4. Prueba de factibilidad
5. Prueba de optimalidad
6. Reoptimizar
Análisis de Sensibilidad: Procedimiento General
19
- Cambios en disponibilidad de recursos
- Cambios en coeficientes de variable no básica
- Introducción de una nueva variable.
- Cambios en los coeficientes de una variable básica.
- Introducción de una nueva restricción
Aplicación del Análisis de Sensibilidad
20
- Cambios en el lado derecho. En cuánto cambia Z ante cambios en los bi
Cambios en La cantidad de recurso Disponible
z*=y* b
b*=S* b
21
Ejemplo
Cambios en La cantidad de recurso Disponible
b= 42418b= 4
1218 b= 0
120
MaximizarZ=3x15x2
s/a
x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5Suponer que:
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2
22
Ejemplo
Tabla Simplex Final Revisada
Cambios en La cantidad de recurso Disponible
V. Básica1 Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2
LaSoluciónBásicaqueseobtieneesx1 ,x2 ,x3 , x4 ,x5=�2,12,6 ,0 ,0Super óptima para el primal , pero factible parael dual
23
Ejemplo
Tabla Simplex Final Revisada
Cambios en La cantidad de recurso Disponible
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2
24
Ejemplo
Tabla Simplex Final Revisada
Mediante Simplex Dual, se obtiene finalmente:
Cambios en La cantidad de recurso Disponible
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6
25
Intervalo permisible para cambios en el lado derecho
b1*=2
13
b2≥0
b2*=6
12
b2≥0
b3*=2
�13
b2≥0
26
- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj
- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
c j ,a1j ,a2j , ... ,amj
27
- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj
- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
c j ,a1j ,a2j , ... ,amj
c j c j AjAj
28
- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj
- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.
- Si la solución básica complementaria y* del problema Dual todavía
satisface la restricción dual que cambió , entonces la solución óptima
del primal continúa siendo óptima.
- Si no, la solución primal ya no es óptima.
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
c j ,a1j ,a2j , ... ,amj
c j c j AjAj
29
Ejemplo:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
MaximizarZ=3x15x2
sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
30
Ejemplo:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6
MaximizarZ=3x15x2
sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
31
Ejemplo:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO BásicaMaximizarZ=3x15x2
sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6
c1=3 c1=4
A1=103 A1=102
Suponerque:
32
Ejemplo:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO BásicaMaximizarZ=3x15x2
sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6
c1=3 c1=4
A1=103 A1=102
Suponerque:Estos cambios afectan a sólo una restricción Dual
33
Ejemplo:
La solución sigue siendo óptima (¡Verificar!). Los valores de la tabla
simplex modificada son:
Tabla Final (Valores originales)
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6
V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 1 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 1 1 0 0 1/2 9x4 0 -2 0 0 1 -1 6
34
Intervalo Permitido para cambios en los Cj
Suponer un cambio en un único Cj
Cuando es una variable no básica en la solución óptima, la solución
permanecerá óptima mientras:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica
x j
z j*�c j≥0, donde zj
*=y* A j
c j≤y* A j
35
- Conviene asumir que esa nueva variable “siempre estuvo”, o sea, los
valores de los coeficientes eran cero.
- Asumir que es variable no básica en la solución actual.
- Trabajar de la misma forma que el caso anterior (cambio en los valores
de los coeficientes de una variable no básica).
- Para comprobar si la solución actual sigue siendo ó ptima es verificar
si la solución dual satisface la nueva restricción dual que corresponde
a la nueva variable.
Introducción De Una Nueva Variable
36
Ejemplo:
Introducción De Una Nueva Variable
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75
Inicialmente:
c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6
45
37
Ejemplo:
Introducción De Una Nueva Variable
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Inicialmente:
c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6
45
Var Básicas
Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 0 -1,25 0,25 3,75
38
Ejemplo:
Introducción De Una Nueva Variable
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Inicialmente:
c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6
45
Var Básicas
Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 0 -1,25 0,25 3,75
Suponer ahora: c=5,8 ,2; A=1 1 15 9 1; b=6
45
39
Ejemplo:
La nueva tabla final actualizada es:
Por lo tanto, la solución sigue siendo óptima .
Introducción De Una Nueva Variable
Var Básicas
Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 2 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 -1 -1,25 0,25 3,75
40
Suponer (con j fijo) es una variable básica de la solución óptima que se
muestra en la Tabla Simplex Final.
Los valores de la tabla final a actualizar son:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica
x j
z j*�c j= y* A j�c j
A j*=S* A j
41
Ejemplo:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75
Inicialmente:
c=5,8 ; A=1 15 9; b= 6
45
Suponer ahora que: c=(5,10) ; A=(1 15 8); b=(6
45)
42
Ejemplo:
La tabla final actualizada queda:
Ajustando la tabla:
Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica
Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 0 -2,75 1,25 0,75 41,25x1 0 1 0,25 2,25 -0,25 2,25x2 0 0 0,75 -1,25 0,25 3,75
Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 0 0 -3,33 1,67 55,00x1 0 1 0 2,67 -0,33 1,00x2 0 0 1 -1,67 0,33 5,00
Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 1,25 0 0,00 1,25 56,250x3 0 0,38 0 1,00 -0,125 0,375x2 0 0 1 0,00 0,375 3,125
43
- Verificar si la solución óptima actual satisface la restricción. Si es así,
todavía sigue siendo SBF óptima
- Si no es así, y si además se requiere encontrar la nueva solución , se
introduce la restricción a la tabla Simplex Final (como una fila adicional)
exactamente como si fuera la tabla inicial.
Introducción De Una Nueva Restricción
44
Ejemplo
Introducción De Una Nueva Restricción
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75
45
Ejemplo
Introducción De Una Nueva Restricción
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤453x14x2≤20x1, x2≥0
46
Ejemplo
Introducción De Una Nueva Restricción
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0
MaxZ=5x18x2
s/ax1x2≤65x19x2≤453x14x2≤20x1, x2≥0
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75
x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00
47
Ejemplo:
Agregando la nueva restricción
Introducción De Una Nueva Restricción
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75
x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00
48
Ejemplo:
Agregando la nueva restricción
La tabla debe dejarse en la forma apropiada
Introducción De Una Nueva Restricción
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75
x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00
Var Básicas
Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho
Z 1 0 0 1,25 0,75 0 41,25
x1 0 1 0 2,25 -0,25 0 2,25
x2 0 0 1 -1,25 0,25 0 3,75
x5 0 0 0 -1,75 -0,25 1 -1,75
49
Finalmente
Introducción De Una Nueva Restricción
Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado DerechoZ 1 0 0 -4,00 0,00 3,00 36,00x1 0 1 0 4,00 0,00 -1,00 4,00x2 0 0 1 -3,00 0,00 1,00 2,00x4 0 0 0 7,00 1,00 -4,00 7,00