Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural … · 2017. 11. 10. · ww w kww tx x...

of 164 /164
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Средневолжское математическое общество Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем Сборник статей X Международной научно-технической конференции г. Пенза, Россия, 2830 октября 2015 г. Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора И. В. Бойкова Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural Science and Social Problems (ANM-2015) Proceedings of the Tenth International Conference ANM-2015 Penza, Russian Federation, 2830 October, 2015 Edited by Ilya V. Boikov Пенза Издательство ПГУ 2015

Embed Size (px)

Transcript of Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural … · 2017. 11. 10. · ww w kww tx x...

  • 1

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное

    образовательное учреждение высшего профессионального образования

    «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Средневолжское математическое общество

    Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных

    и социальных проблем

    Сборник статей X Международной научно-технической конференции

    г. Пенза, Россия, 28−30 октября 2015 г.

    П о д р е д а к ц и е й доктора физико-математических наук,

    профессора И. В. Бойкова

    Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural Science and Social Problems

    (ANM-2015)

    Proceedings of the Tenth International Conference ANM-2015

    Penza, Russian Federation, 28−30 October, 2015

    E d i t e d b y Ilya V. Boikov

    Пенза Издательство ПГУ

    2015

  • 2

    УДК 51 ББК 22.1 А64

    А64

    Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. X Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, Россия, 28−30 октяб-ря 2015 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. И. В. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. – 164 с.

    ISBN 978-5-906831-40-8 Отражены основные результаты работы X Международной научно-

    технической конференции, охватывающие следующие направления науч-ных исследований: уравнения математической физики; теория приближе-ния и кубатурные формулы; численные методы; математические модели экономики, экологии, демографии, социальных наук; математические мо-дели в физике, нанотехнике и нанобиологии; нейроматематика и нейро-компьютеры; информационные технологии в образовании.

    УДК 51 ББК 21.1

    ISBN 978-5-906831-40-8 © Пензенский государственный

    университет, 2015

  • 3

    1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКО ФИЗИКИ

    INVESTIGATION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN EQUATION OF MOTION OF A HOMOGENEOUS

    BAR WITH PERIODIC CONDITIONS

    E. I. Azizbayov, Y. T. Mehraliyev

    Baku State University, Baku, Azerbaijan

    E-mail: [email protected], [email protected]

    Introduction The non-local problems are the problems wherein instead of giving the

    values of the solution or its derivatives on the fixed part of the boundary, the relation of these values with the values of the same functions on another inner or boundary manifolds is given. Theory of non-local boundary value prob-lems is important in itself as a section of general theory of boundary value problems for partial equations and it is important as a section of mathematics that has numerous applications in mechanics, physics, biology and other natu-ral science disciplines.

    The more general time non-local conditions were considered were con-sidered on the papers of A.A.Kerefov, J.Chabrowsky [1], A.I.Kozhanov [2], E.I.Azizbayov, Y.T.Mehraliyev [3] and others.

    D.V.Kostin [4], Yu.A.Mitropolsky and B.I.Moiseenkov [5] and others have situated oscillation and wave motions of an elastic bar on an elastic foundation.

    The simplest non-linear model of motion of a homogeneous bar is de-scribed by the equation

    2 4 23

    2 4 2 0w w wk w w

    t x x∂ ∂ ∂+ + + α + =∂ ∂ ∂

    ,

    where w is bar’s deflection (after displacement of the middle line points of an elastic bar along the axis x ). Note that the similar equation arises in the theo-ry of crystals.

    Problem statement and its reduction to an integral equation. For the equation [4]

    3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0tt xxxx xxu x t u x t u x t u x t u x t+ +β + α + = (1)

  • 4

    in the domain {( , ) :0 1,0 }TD x t x t T= ≤ ≤ ≤ ≤ we consider a problem under ordinary periodic boundary conditions

    (0, ) (1, )u t u t= , (0, ) (1, )x xu t u t= ,

    (0, ) (1, )xx xxu t u t= , (0, ) (1, )xxx xxxu t u t= (0 )t T≤ ≤ (2)

    and non-local boundary conditions ( ,0) ( , ) ( )u x u x T x+ δ = ϕ , ( ,0) ( , ) ( )t tu x u x T x+ δ = ψ (0 1)x≤ ≤ (3)

    where 0β > , 0α > , δ are the given numbers, moreover 4β < α , ( )xϕ , ( )xψ are the given functions, ( , )u x t is a desired function.

    Definition. Under the classic solution of problem (1)-(3) we understand the function ( , )u x t , continuous in the closed domain TD together with all its derivatives contained in equation (1), and satisfying all the conditions (1)-(3) in the ordinary sense.

    It is known [6] that the system 1, 1cos xλ , 1sin xλ , ... , cos k xλ , sin k xλ ,...

    is a basis in 2 (0,1)L , where 2k kλ = π ( 1,2, )k = . Then it is obvious that each classical solution ( , )u x t of problem (1)-(3)

    has the form:

    1 20 1

    ( , ) ( )cos ( )sin ( 2 )k k k k kk k

    u x t u t x u t x k∞ ∞

    = == λ + λ λ = π , (4)

    where 1

    100

    ( ) ( , ) ,u t u x t dx= 1

    10

    ( ) 2 ( , )cos ,k ku t u x t x dx= λ1

    20

    ( ) 2 ( , )sink ku t u x t x dx= λ

    ( 1,2, ).k =

    Then, applying the formal scheme of the Fourier method, from (1) и (3) we have: 10 10 10( ) ( ) ( ; )u t u t F t u′′ + α = (0 )t T≤ ≤ , (5)

    4 2( ) ( ) ( ) ( ; )ik k k ik iku t u t F t u′′ + λ −βλ + α = (0 ; 1,2; 1,2, )t T i k≤ ≤ = = (6)

    10 10 10(0) ( )u u T+ δ = ϕ , 10 10 10(0) ( )u u T′ ′+ δ = ψ , (7)

    (0) ( )ik ik iku u T+ δ = ϕ , (0) ( )ik ik iku u T′ ′+ δ = ψ , ( 1,2; 1,2, )i k= = (8)

    where 1

    310

    0

    ( ; ) ( , )F t u u x t dx= − , 1

    100

    ( )x dxϕ = ϕ , 1

    100

    ( )x dxψ = ψ ,

  • 5

    13

    10

    ( ; ) 2 ( , )cosk kF t u u x t x dx= − λ ,

    1

    10

    2 ( )cosk kx x dxϕ = ϕ λ , 1

    10

    2 ( )cosk kx x dxψ = ψ λ ,

    13

    20

    ( ; ) 2 ( , )sink kF t u u x t x dx= − λ ,

    1

    20

    2 ( )sink kx x dxϕ = ϕ λ , 1

    20

    2 ( )sink kx x dxψ = ψ λ .

    It is obvious that 2 2

    4 2 22 4k k kβ β λ −βλ + α = λ − + α−

    . Let assume

    2 4β < α . Then, by solving problem (5)-(8) we find:

    10 0 0 0 100 0

    1( ) { (cos cos ( ))( )

    u t t T tT

    = β β + δ β − ϕ +β ρ

    0 0 10(sin sin ( ))t T t+ β − δ β − ψ −

    10 0 00

    ( ; )(sin ( ) sin ( ))T

    F u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

    10 00 0

    1 ( ; )sin ( ) ,t

    F u t d+ τ β − τ τβ (9)

    1( ) { (cos cos ( ))( )ik k k k ikk k

    u t t T tT

    = β β + δ β − γ +β ρ

    (sin sin ( ))k k ikt T t+ β − δ β − ψ −

    0

    ( ; )(sin ( ) sin ( ))T

    ik k kF u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

    0

    1 ( ; )sin ( ) ( 1,2; 1,2, )t

    ik kk

    F u t d i k+ τ β − τ τ = =β , (10)

    where 4 2

    k k kβ = λ −βλ + α , 2( ) 1 2 cosk kT Tρ = + δ β + δ , 0,1,2,k = .

  • 6

    After substituting the expressions 1 ( )ku t ( 0,1,2, )k = and 2 ( )ku t ( 1,2, )k = into (4), we get:

    0 0 0 100 0

    1( , ) { (cos cos ( ))( )

    u x t t T tT

    = β β + δ β − ϕ +β ρ

    0 0 10(sin sin ( ))t T t+ β − δ β − ψ −

    10 0 00

    ( ; )(sin ( ) sin ( ))T

    F u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

    10 00 0

    1 ( ; )sin ( )t

    F u t d+ τ β − τ τ +β

    [ 11

    1 (cos cos ( ))( ) k k k kk kk

    t T tT

    =

    + β β + δ β − ϕ +β ρ

    1(sin sin ( ))k k kt T t+ β + δ β − ψ −

    10

    ( ; )(sin ( ) sin ( ))T

    k k kF u T t t d

    −δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

    10

    1 ( ; )sin ( ) cost

    k k kk

    F u t d x+ τ β − τ τ λ +β

    [ 21

    1 (cos cos ( ))( ) k k k kk kk

    t T tT

    =

    + β β + δ β − ϕ +β ρ

    2(sin sin ( ))k k kt T t+ β + δ β − ψ −

    20

    ( ; )(sin ( ) sin ( ))T

    k k kF u T t t d

    −δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

    20

    1 ( ; )sin ( ) sint

    k k kk

    F u t d x+ τ β − τ τ λβ

    . (11)

    Thus, the solution of problems (1)-(3) is reduced to the solution of inte-gral equation (11) with respect to the unknown function ( , )u x t .

    Similarly to [3], it is possible to prove the following lemma. Lemma. If ( , )u x t is any classical solution of problem (1)-(3), the func-

    tions

  • 7

    1

    100

    ( ) ( , )u t u x t dx= ,

    1

    10

    ( ) 2 ( , )cosk ku t u x t x dx= λ , 1

    20

    ( ) 2 ( , )sink ku t u x t x dx= λ ( 1,2, )k = .

    satisfy the systems (9), (10) in [0, ]T . From the lemma indicated above it follows that if

    1

    100

    ( ) ( , ) ,u t u x t dx= 1

    10

    ( ) 2 ( , )cos ,k ku t u x t xdx= λ1

    20

    ( ) 2 ( , )sink ku t u x t xdx= λ

    ( 1,2, )k =

    is the solution of systems (9) , (10) then the function

    1 20 1

    ( , ) ( )cos ( )sin ( 2 )k k k k kk k

    u x t u t x u t x k∞ ∞

    = == λ + λ λ = π

    is the solution of (11). The following corollary follows from this lemma Remark. Suppose that equation (11) has a unique solution. Then prob-

    lem (1)-(3) may have at most one solution, i.e. of the solution of problem (1)-(3) exists it is unique.

    Now, assume that the data of problem (1)-(3) satisfy the following con-ditions:

    a) 4( ) [0,1]x Cϕ ∈ , (5) 2( ) (0,1)x Lϕ ∈ , (0) (1)ϕ =ϕ , (0) (1)′ ′ϕ = ϕ , (0) (1)′′ ′′ϕ = ϕ , (3) (3)(0) (1)ϕ = ϕ , (4) (4)(0) (1);ϕ = ϕ

    b) 2( ) [0,1],x Cψ ∈ 2( ) (0,1)x L′′′ψ ∈ , (0) (1)ψ = ψ , (0) (1)′ ′ψ =ψ , (0) (1)′′ ′′ψ =ψ .

    Then due to [3], it is possible to prove the following Theorem. Let conditions a), b) and 1δ ≠ ± , 4β < α be fulfilled. Then

    for rather small values of T , problem (1)-(3) has a unique classical solution. References

    1. Kerefov, A. A. Non-local boundary value problems for parabolic equa-tions / A. A. Kerefov // Different. Uravneniya. – 1979. – Vol. 5, № 1. – P. 78–78 (in Russian).

    2. Kozhanov, A. I. A time non-local boundary value problem for linear para-bolic equations // Sibirskiy Zhurnal Industrialnoy Matematiki. – 2004. – Vol. VII, № 1 (17). – P. 51–60 (in Russian).

    3. Azizbayov, E. I. A time-nonlocal boundary value problem for the equation of motion of a homogeneous bar / E. I. Azizbayov, Y. T. Mehraliyev // Bulletin of

  • 8

    the Kyiv National University, Series: mathematics and mechanics. – Kiev, 2012. – Issue 27. – P. 114–121.

    4. Kostin, D. V. On one scheme of analysis of two-mode deflections of weakly inhomogeneous elastic bar / D. V. Kostin // Doklady Akademii Nauk. – 2008. – Vol. 418, № 3. – P. 295–299 (in Russian).

    5. Mitropolsky, Yu. O. Дослiдження коливань в синстемах з розподiле-ними параметрами (асимптотичнi методи) / Yu. O. Mitropolsky, B. I. Mo- seenkov. – Кuiв : Видавництво Киiв. ун-ту, 1961. – 123 п. (in Ukraine).

    6. Budak, B. M. A Collection of Problems in Mathematical Physics / B. M. Budak, A. A. Samarskii, A. N. Tikhonov. – M. : Nauka, 1972 (in Russian).

    ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

    ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

    И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов

    Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

    E-mail: [email protected]

    1. Введение Композитные матрицы и, в частности, многослойные пластины

    находят широкое применение в современной технике, особенно в авиастроении, кораблестроении, космической технике, благодаря соче-танию легкости, высокой жесткости и высокой прочности.

    Математические модели, описывающие поведение многослойных пластин под нагрузкой, предложены в [1]–[6]. Эти модели представлены системами уравнений в частных производных. Аналитические методы решения этих систем в общем виде неизвестны и поэтому построение численных методов является актуальной задачей. Среди этих методов наибольшей популярностью пользуется метод граничных интегральных уравнений благодаря эффективной технике вычислений, а также тому обстоятельству , что при решении граничных задач математической фи-зики он позволяет снизить размерность исходной задачи.

    Для применения метода граничных элементов требуется распола-гать фундаментальным решением исходной системы уравнений в част-ных производных.

    Нахождению фундаментальных решений посвящено большое чис-ло работ. Ganowicz [1] ищет фундаментальное решение для трехслойной изотропной пластины методом Фурье–преобразования. Ventsel [6, 7] ищет фундаментальное решение для тонкой изотропной трехслойной пласти-

  • 9

    ны, сведя исходную систему уравнений в частных производных к бигар-моническому уравнению и уравнению Гордона–Клейна. Wang and Huang [8] и Wang [9] для нахождения фундаментального решения используют метод Хермандера [10] и метод волновой декомпозиции на плоскости [11]. Для нахождения фундаментальных решений Boykov et al [12] ввели новый класс гиперсингулярных интегралов определенных в 2.R

    Для приближенного вычисления введенных гиперсингулярных ин-тегралов в работах [12–14] предложены кубатурные формулы, реализа-ция которых требует существенных предварительных преобразований.

    В данной работе фундаментальные решения уравнений в частных производных, определенных в 3,R ищутся в виде гиперсингулярных ин-тегралов.

    Частным случаем этих результатов являются приближенные мето-ды нахождения фундаментальных решений для систем уравнений, опи-сывающих статику многослойных пластин.

    2. Фундаментальное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

    Рассмотрим следующую систему обыкновенных дифференциаль-ных уравнений

    =1

    ( ) = ( ), = 1,2, , ,n

    ij j ij

    da u t f t i ndt

    (2.1)

    где 1

    1 1 01= ,

    m mm m

    ij ij ij ij ijm md d d da a a a adt dtdt dt

    −−

    − + + ⋅+ +

    1= ( ( ), , ( ))T

    nU u t u t −

    вектор искомых решений, 1= ( ( ), , ( ))T

    nF f t f t − вектор правых частей. Введем матрицу

    = , , = 1,2, , ,ijd dA a i j ndt dt

    и представим систему (2.1) в следующем виде

    = ,dA U Fdt

    (2.2)

    где 1= ( ( ), , ( )) ,T

    nU u t u t 1= ( ( ), , ( )) .T

    nF f t f t Поставим в соответствие системе дифференциальных уравнений

    (2.1) систему алгебраических уравнений ( ) = ,A x Z G (2.3)

    где

  • 10

    { }( ) = ( ) ,ijA x a x , = 1,2, , ,i j n 1 1 0( ) = ,m m m m iij ij ij ij ija x a x a x a x a

    − −+ + + + , = 1,2, , ,i j n

    1= ( ( ), , ( )) ,T

    nZ z x z x 1= ( ( ), , ( )) .T

    nG g x g x

    Дальнейшее изложение основано на изоморфизме между алгеб-раическими полиномами ( )ija x и дифференциальными операторами

    .ijdadt

    Обозначим через ( )xΔ определитель матрицы ( ),A x а через

    ( )B x ее алгебраическое дополнение. Очевидно, ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ,B x A x A x B x x EΔ E − единичная матрица. Из соответствия между алгебраическими полиномами и дифферен-

    циальными операторами следует, что

    = = .d d d d dB A A B Edx dx dx dx dx

    Δ

    Если функции ( ),iv t = 1,2, , ,i n являются решениями уравнений

    ( ) = ( ), = 1,2, , ,i id v t f t i ndx

    Δ

    то функции ( ),iu t = 1,2, , ,i n

    = ,dU B Vdx

    где 1= ( ( ), , ( )) ,T

    nU B u t u t 1= ( , , ) ,T

    nV v v являются решениями урав-нения (2.2).

    В самом деле,

    1

    1

    2= = = ... .

    n

    n

    d vdt f

    d d d d dA U A B V EV vdt dt dt dt dt

    fd vdt

    Δ Δ Δ = Δ

    Таким образом, для нахождения частного решения системы урав-нений (2.1) достаточно решить систему уравнений

    = , = 1,2, , ,i id v f i ndt

    Δ

    (2.4)

  • 11

    в которой уравнения линейно независимы. Для этого найдем фундаментальное решение уравнения

    *( ) = ( ),d v t tdt

    Δ δ

    (2.5)

    где ( )tδ − дельта–функция. Применяя к (2.5) преобразование Фурье, приходим к уравнению

    *( ) ( ) = 1.VΔ ω ω

    Отсюда *( ) = 1/ ( )V ω Δ ω

    и, применяя обратное преобразование Фурье, имеем

    * 1( ) = .(2 ) ( )

    i tev t d∞ ω

    −∞

    ωπ Δ ω (2.6)

    Так как функция ( )Δ ω может обращаться в нуль выше первого порядка на числовой оси, то последний интеграл следует рассматривать как гиперсингулярный.

    Покажем, что функция *( ),v t определяемая формулой (2.6), является фундаментальным решением уравнения (2.5).

    Применяя к выражению (2.6) оператор ,ddt

    Δ

    имеем

    * 1 1 ( )= ( ) = =2 ( ) 2 ( )

    i t i td d e ev d ddt dt

    ∞ ∞ω ω

    −∞ −∞

    Δ Δ ω ω π Δ ω π Δ ω

    1 ( )= = = ( ).2 ( )

    i ti te d e d t

    ∞ ∞ωω

    −∞ −∞

    Δ ω ω ω δπ Δ ω (2.7)

    Эта формула справедлива в предположении, что оператор ( )/d dtΔ коммутирует с оператором интегрирования.

    Покажем, что формула (2.7) справедлива, если функция ( )Δ ω обращается в нуль целого порядка в конечном числе изолированных точек.

    Для определенности предположим, что в точке = 0ω функция ( )Δ ω имеет нуль порядка p и этот нуль единственный.

    Функцию ( )Δ ω можно представить в виде 1( ) = ( ),pΔ ω ω Δ ω где

    1( ) 0Δ ω ≠ на ( , ).−∞ ∞

  • 12

    Известны следующие утверждения. Лемма 1 [15]. Пусть ( ) (1),nWφ∈ ,a b − действительные числа

    ( < )a b и пусть 0 < ,m n≤ ( 1).n ≥ Тогда

    ( ) ( )1

    1=0

    ( ) ( 1)! ( ) ( )=!( ) ( ) ( )

    b k km

    n n k n kka

    n k a bdnt a t a t

    + − −

    φ τ − − φ φτ − + τ − − −

    ( )

    1( )! ( ) , < < .

    ! ( )

    b m

    n ma

    n m d a t bn t − +− φ τ+ τ

    τ − (2/8)

    Следствие. Пусть функция φ вместе с производными до n-1-го порядка ограничена на числовой оси.

    Тогда

    1( ) =

    ( )nd

    t

    +−∞

    φ τ ττ −

    ( )1 ( ) , < < .!

    nd t

    n t

    −∞

    −∞

    φ τ τ −∞ ∞τ − (2/9)

    Лемма 2 [16]. Если ( )φ τ − непрерывная дифференцируемая функция и точка t не совпадает с концами гладкого контура L (a и b ), то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

    ( ) = ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ) ( )( ) .L

    d i t b b t a a t t dt

    φ τ ′τ πφ + φ − − φ − − φ τ τ − ττ −

    Так как ( )Δ ω является полиномом, то из представления 1

    1( , )\[ 1,1] 1

    =( ) ( ) ( )

    i t i t i t

    pe d e d e d∞ ω ω ω

    −∞ −∞ ∞ − −

    ω ω ω+Δ ω Δ ω ω Δ ω

    и лемм 1 и 2 следует коммутативность оператора ( )/d dtΔ и оператора интегрирования.

    Следовательно, формула (2.7) справедлива. Найдем регуляризации гиперсингулярного интеграла

    ( ) = ,( )

    i tev t d∞ ω

    −∞

    ωΔ ω не нарушающие свойства фундаментальности

    решения. Располагая фундаментальным решением *( )v t системы уравнений

    (2.1), получаем частные решения этой системы по формуле

    ( )1( ) = ( ) =2 ( )

    i t

    j jeu t f d

    ∞ ∞ ω −τ

    −∞ −∞

    τ τ π Δ ω

  • 13

    1= ( ) =2 ( )

    i ti

    je e f d d

    ∞ ∞ω− ωτ

    −∞ −∞

    τ τ ω π Δ ω

    1 ( ) .

    2 ( )

    i t

    je F d

    ∞ ω

    −∞

    ω ωπ Δ ω

    Возникают следующие задачи, связанные с реализацией гиперсин-гулярных интегралов: 1) построить эффективные методы вычисления гиперсингулярных интегралов вида

    1 ( )2 ( )

    i tF e d∞ ω

    −∞

    ω ωπ Δ ω , (2/9)

    2) построить равносильную регуляризацию гиперсингулярных интегралов вида (2.9).

    Выше показано, что функции

    ( )1( ) = , = 1,2,..., ,

    2 ( )

    i tj

    jF e

    u t d j nω∞

    −∞

    ωω

    π Δ ω (2/10)

    являются решением системы уравнений (2.1). Однако, для вычисления приведенных интегралов, нужно провести регуляризацию гиперсингу-лярных интегралов. Известно [11], что различные методы регуляризации отличаются друг от друга на константы. Таким образом, непосредствен-ное применение различных методов вычисления гиперсингулярных ин-тегралов может привести к различным результатам, разнящимся друг от друга на константу. Кроме того, может быть получена функция, не яв-ляющаяся фундаментальным решением.

    Под равносильной регуляризацией понимается следующее. Пусть интегралы (2.10) вычисляются по алгоритму регуляризации,

    который обозначим через

    ( , )

    ( )1 , = 1,2,...,2 ( )

    i tjF e d j n

    ω

    −∞ ∞

    ωω

    π Δ ω

    Будем говорить, что этот алгоритм осуществляет равносильную регуляризацию, если

    ( , )

    ( )1 1= ( ) .2 ( ) 2

    i tj i t

    jF ed d F e d

    dt

    ω ∞ω

    −∞ ∞ −∞

    ω Δ ω ω ω π Δ ω π

    Тогда погрешность решения системы уравнений (2.1) определяет-ся только вычислителньой погрешностью.

    Приведем один пример равносильной регуляризации. Пусть ( ) = .pΔ ω ω Обозначим через ( )pT f отрезок ряда Тейлора

  • 14

    ( 1)1(0) (0)( ) = (0) .

    1! ( 1)!

    pp

    pf fT f f t t

    p

    −−′+ + +

    Тогда

    ( )( ( ))1 =2 ( )

    i t i tj pF e T ed d

    dt

    ω ω∞

    −∞

    ω − Δ ω π Δ ω

    ( )1 = ( ).2

    i tj

    jF e

    d f tω∞

    −∞

    ωω

    π Δω

    Таким образом, вычисление интеграла

    ( )12

    i tjF e d

    ω∞

    −∞

    ωω

    π Δω

    по формуле

    ( )( ( ))12 ( )

    i t i tj pF e T e d

    ω ω∞

    −∞

    ω −ω

    π Δ ω

    является алгоритмом равносильной регуляризации. Вопрос о построении алгоритмов равносильной регуляризации в

    общем случае остается открытым.

    3. Фундаментальное решение системы уравнений в частных производных

    Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных

    3

    1 2 3 1 2 31 2 3=1

    , , ( , , ) = ( , , ), = 1,2,3,ij j ij

    a u x x x f x x x ix x x

    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    (3.1)

    где 1 2 3= ( , , )TU u u u − вектор искомых решений, 1 2 2= ( , , )

    TF f f f − вектор правых частей,

    2 2200 110

    21 2 3 1 21

    , , =ij ij ija a ax x x x xx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

    2 2011 002

    22 3 3

    ij ija ax x x∂ ∂+ + + +

    ∂ ∂ ∂ 100 001 000

    1 3.ij ij ija a ax x

    ∂ ∂+ + +∂ ∂

    Введем матрицу

    1 2 3 1 2 3, , = { , , }, , = 1,2,3,ijA a i jx x x x x x

    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    и представим систему (3.1) в следующем виде

  • 15

    1 2 3

    , , = ,A U Fx x x

    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    (3.3)

    где 1 2 3= ( , , ) ,TU u u u 1 2 3= ( , , ) .

    TF f f f Поставим в соответствие системе дифференциальных уравнений

    (3.2) систему алгебраических уравнений 1 2 3( , , ) = ,A x x x Z G (3.3)

    где

    1 2 3 1 2 3( , , ) = { ( , , )},ijA x x x a x x x , = 1,2,3,i j и

    200 2 110 011 002 21 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) =ij ij ij ij ija x x x a x a x x a x x a x+ + + + +

    100 001 001 3 , , = 1,2,3,ij ij ija x a x a i j+ + + +

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , )), ( , , ), ( , , )) ,TZ z x x x z x x x z x x x

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ) ( , , )) .TG g x x x g x x x g x x x

    Дальнейшее изложение основано на изоморфизме между алгеб-раическими полиномами 1 2 3( , , )ija x x x и дифференциальными операто-

    рами 1 2 3

    , , .ija x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    Обозначим через 1 2 3( , , )x x xΔ определитель

    матрицы 1 2 3( , , ),A x x x а через 1 2 3( , , )B x x x ее алгебраическое дополнение.

    Очевидно, 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) = ( , , ) ,B x x x A x x x x x x EΔ где E − единичная матрица.

    Из соответствия между полиномами и дифференциальными операторами следует, что

    1 2 3 1 2 3, , , , =B A

    x x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , = , , .A B E

    x x x x x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    Если функции 1 2 3( , , ),iv x x x = 1,2,3,i являются решениями уравнений

    1 2 3 1 2 31 2 3

    , , ( , , ) = ( , , ), = 1,2,3,i iv x x x f x x x ix x x ∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂

    то функции 1 2 3( , , ),iu x x x = 1,2,3,i

  • 16

    1 2 3= , , ,U B V

    x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    где

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ,TU B u x x x u x x x u x x x

    1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ,TV v x x x v x x x v x x x

    являются решением уравнения (3.2). В самом деле,

    1 2 3 1 2 3 1 2 3, , = , , , , =A U A B V

    x x x x x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

    1 2 3= , , =EV

    x x x ∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂

    1 2 31

    21 2 3

    3

    1 2 3

    , , 00

    0 , , 0 =

    00 , ,

    x x xvv

    x x xv

    x x x

    ∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

    ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

    11 2 3

    21 2 3

    31 2 3

    , ,

    = , , =

    , ,

    vx x x

    vx x x

    vx x x

    ∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

    ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

    1

    2

    3

    .fff

    Таким образом, для нахождения частного решения системы (3.1) достаточно решить уравнение

    1 2 3

    , , = .v fx x x

    ∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ (3.4)

    Для этого найдем фундаментальное решение следующего уравнения

    * 1 2 3 1 2 31 2 3

    , , ( , , ) = ( , , ),v x x x x x xx x x

    ∂ ∂ ∂Δ δ ∂ ∂ ∂ (3.5)

    где 1 2 3( , , )x x xδ − дельта–функция.

  • 17

    Применяя к (3.5) преобразование Фурье, получаем уравнение *

    1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) = 1.VΔ ω ω ω ω ω ω

    Отсюда *

    1 2 3 1 2 3( , , ) = 1/ ( , , )V ω ω ω Δ ω ω ω

    и, применяя обратное преобразование Фурье имеем

    ( 1 1 2 2 3 3*

    1 2 3 1 2 331 2 3

    )1( , , ) = .( , , )(2 )

    i x x xev x x x d d d∞ ∞ ∞ ω

    −∞−∞−∞

    +ω +ωω ω ω

    Δ ω ω ωπ (3.6)

    Так как функция 1 2 3( , , )Δ ω ω ω в области 3E может иметь особен-ности выше третьего порядка, то последний интеграл следует рас-сматривать как гиперсингулярный.

    Приведем, следуя [12], определения трехмерных гиперсингуляр-ных интегралов.

    Пусть функция 1 2 3( , , ),γ ω ω ω определяемая уравнением 1 2 3( , , ) = 0,Δ ω ω ω имеет нули в области 3.R Рассмотрим различные случаи, которые могут возникнуть при

    этом и для которых ниже будет дано определение гиперсингулярных интегралов:

    1) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или

    счетном множестве изолированных точек 1 1 11 2 3 1 2 3( , , ), , ( , , ), ;n n nω ω ω ω ω ω

    2) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или счетном множестве ограниченных кусочно-гладких кривых;

    3) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или счетном множестве областей, ограниченных поверхностями Ляпунова.

    Отметим, что случаи, когда кривые или поверхности имеют бесконечную протяженность, ниже не рассматриваются.

    Пусть кривая 1 2 3( , , )γ ω ω ω имеет конечное число нулей

    1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, ,k n порядка не ниже третьего.

    Обозначим через kΩ шар радиуса ε с центром в точке

    1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , .k n Обозначим через Ω объединение шаров ,kΩ

    = 1,2, , .k n Определение 1. Пусть 1 2 3( , , )φ ω ω ω − функция, имеющая в

    пространстве 3R ограниченные производные до p − го порядка, где p − наибольший порядок нулей в точках 1 2 3( , , ).

    k k kω ω ω Гиперсингулярный интеграл

  • 18

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , )( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    определяется формулой

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , ) =( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    1 2 31 2 3 10 1 2 3

    3

    ( , , ) ( )= ,lim ( , , )\p

    R

    Bd d d −ε→

    φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

    где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Замечание. Определение гиперсингулярного интеграла основано

    на следующем подходе: вычисляется по частям интеграл 1 2 3

    1 2 31 2 3

    3

    ( , , )( , , )\R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ωΩ

    и «отбрасываются» слагаемые

    стремящиеся к бесконечности при 0.ε→ Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω имеет счетное число нулей

    1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , ...,k n целого порядка не ниже третьего, причем

    наивысший порядок нуля равен .p Обозначим через kΩ шар радиуса / 2

    kε с центром в точке

    1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , .k n Пусть =1= .k kU

    ∞Ω Ω Определение 2. Гиперсингулярный интеграл

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , )( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    определяется формулой

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , ) =( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    1 2 31 2 3 10 1 2 3

    3

    ( , , ) ( )= ,lim ( , , )\p

    R

    Bd d d −ε→

    φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

    где =1

    ( ) = ( )kk

    B B∞

    ε ω функция, удовлетворяющая следующим условиям:

  • 19

    1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль p -го порядка на

    конечном числе кусочно-непрерывных кривых ,kl = 1,2, , .k n Будем считать, что кривые ,kl = 1,2, ,k n ограниченные.

    Обозначим через 3k RΩ ∈ область, внутри которой расположена кривая ,kl расстояние от которой до границы области kΩ не превосходит ,ε = 1,2,k

    Пусть =1= .nk kUΩ Ω

    Определение 3. Гиперсингулярный интеграл

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , )( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    определяется формулой

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , ) =( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    1 2 31 2 3 10 1 2 3

    3

    ( , , ) ( )= ,lim ( , , )\p

    R

    Bd d d −ε→

    φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

    где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль p –го порядка на

    конечном числе поверхностей Ляпунова ,kG = 1,2, , .k n Обозначим через kΩ область в 3R внутри которой расположена

    поверхность ,kG и такую, что расстояние от границы области kΩ до поверхности kG не превосходит ε для всех = 1,2, , .k n

    Пусть =1= .nk kUΩ Ω

    Определение 4. Гиперсингулярный интеграл

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , )( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

    определяется формулой

    1 2 31 2 3

    1 2 33

    ( , , ) =( , , )R

    d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

  • 20

    1 2 31 2 3 10 1 2 3

    3

    ( , , ) ( )= ,lim ( , , )\p

    R

    Bd d d −ε→

    φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

    где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка в

    окрестности нуля; 2) предел существует. Замечание. Аналогичным образом определяются гиперсингуляр-

    ные интегралы с нецелыми особенностями. Как и в одномерном случае возникает вопрос доказательства спра-

    ведливости представления фундаментального решения в виде интеграла (3.6) и вычисления интеграла (3.6). В случае нецелых особенностей возможность коммутации операторов дифференцирования и вычисления гиперсингулярных интегралов доказана в [14]. Следовательно, в этом случае интеграл (3.6) является фундаментальным решением. В случае целых особенностей необходимо дополнительное исследование. Алго-ритм равносильной регуляризации построен в случае существования единственной особой точки 1 2 3( , , ).ω ω ω В остальных случаях вопрос остается открытым.

    Для вычисления интегралов вида (3.6) авторами получены эффективные кубатурные формулы, которые, в большинстве своем, не осуществляют равносильную регуляризацию.

    Список литературы 1. Ganowicz, R. Singular solutions in the general theory of three-layer

    plates / R. Ganowicz // Mech. Teoret. Stos. – 1967. – V. 3, № 5. – P. 293–307. 2. Allen, H. G. Analysis and Design of Structural Sandwich Panels /

    H. G. Allen. – London : Pergamon Press, 1969. 3. Лукасевич, С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках / С. Лу-

    касевич. – М. : Мир, 1982. 4. Raddy, J. N. Mechanics of laminated composite plates: theory and

    analysis / J. N. Raddy. – Boca Raton. FL : CRC Press, 1997. 5. Vilson, J. R. The Behavior of Sandwich Structures of Isotropic and Com-

    posite Materials, Technomic Publishing Company / J. R. Vilson. – Inc., Lankaster, Basel, 1999.

    6. Ventsel, E. S. Thin Plates and Shells / E. S. Ventsel, T. Krauthammer. – N. Y. : Marsel Dekker, 2001.

    7. Ventsel, E. S. A boundary element method applied to sandwich plates of arbitrary plan form / E. S. Ventsel // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2003. – V. 27. – P. 597–601.

    8. Wang, J. Boundary element method for orthotropic thick plates / J. Wang, M. Huang // Acta Mech. Sin. – 1991. – V. 7. – P. 258–266.

    9. Wang, J. The fundamental solution of orthotropic shallw shells / J. Wang // Acta Mech. – 1992. – V. 94. – P. 113–121.

  • 21

    10. Hormander, L. Linear partial differential operators / L. Hormander. – Berlin : Springer, 1976.

    11 Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – Вып. 1. – М. : ГИФМЛ, 1956. – 439 с.

    12. Boykov, I. V. Fundamental Solutions for Thick Sandwich Plate / I. V. Boykov, A. I. Boykova, E. S. Ventsel // Engineering Analisis and Boundary Elements. – 2004. – V. 28. – P. 1437–1444.

    13. Boykov, I. V. An approximation methods for evaluating hypersingular integrals / I. V. Boykov, A. I. Boykova, E. S. Ventsel // Engineering analysis with Boundary elements. – 2006. – V. 30. – P. 799–807.

    14. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления нового класса ги-персингулярных интегралов и их приложения / И. В. Бойков, М. А. Семов // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и соци-альных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. (21–25 мая 2012 г.). – Пенза : Приволжский Дом знаний, 2012. – С. 4–12.

    15. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, A. Chalrabarti. – CRC Press. Science Publishers. Enfield. New Hampshire. USA, 2011. – 264 p.

    16. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : ГИФМЛ, 1963. – 639 с.

    17. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными про-изводными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.

    КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

    МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

    В. И. Корзюк, И. С. Козловская

    Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь

    E-mail: [email protected], [email protected] Решение задач методом характеристик имеет ряд преимуществ в

    сравнении с другими методами исследования. Для гиперболических уравнений он позволяет находить решения в аналитическом виде [1-11].

    Под классическим решением понимается функция, которая опре-делена во всех точках замыкания заданной области, и которая имеет все классические производные, входящие в уравнение и условия задачи, определяемые через предельные значения разностных соотношений функции или ее соответствующих производных и приращения аргумента.

    Численные методы в виде разностных схем, конечных элементов при решении граничных и других задач для дифференциальных уравне-

  • 22

    ний, как правило, базируются на предположениях существования клас-сических решений этих задач. Без правильного выбора функций в усло-виях и уравнении, удовлетворяющих так называемым необходимым и достаточным условиям согласования, не будет классического решения рассматриваемой задачи, какие не были бы гладкими заданные функции.

    Авторами получены классические решения для задач, которые можно условно разделить на следующие классы:

    – задачи Коши с гладкими заданными функциями; – задачи Коши с негладкими заданными функциями; – смешанные задачи для уравнений второго порядка; – смешанные задачи для биволнового уравнения; – задачи сопряжения для гиперболических уравнений; – смешанные задачи со смешанными условиями; – смешанные задачи для уравнений третьего порядка; – задачи с производными высокого порядка в граничных условиях; – задачи управления; – задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока; – задачи с интегральными условиями; – задачи с интегральными граничными условиями, содержащими

    дробные производные; – задачи для уравнений с нагруженным оператором. В данной работе рассмотрено применение метода характеристик

    для решения первой смешанной задачи в полуполосе для волнового уравнения. Показывается, что решение или его производные терпят раз-рыв на определенном множестве внутри области задания уравнения, ес-ли отсутствуют полностью или частично условия согласования на за-данные функции в граничных условиях и правую часть уравнения.

    Постановка задачи

    В замыкании [ ) [ ]0, 0,Q l= ∞ × области ( ) ( )0, 0,Q l= ∞ × двух неза-висимых переменных ( ) 20 1,x x Q= ∈ ⊂x рассмотрим волновое урав-нение

    ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 12 x x , x ,x x x xLu a u f Q= ∂ − ∂ = ∈ (1) где 2 ,a l – положительные действительные числа,

    0 02 2

    0x x x∂ = ∂ ∂ ,

    1 12 2

    1x x x∂ = ∂ ∂ – частные производные по 0x и 1x второго порядка. К уравнению (1) на границе Q∂ области Q присоединяются условия ти-па Коши и граничные условия на боковых ее частях

    ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]01 1 1 1 10, , 0, , 0, ,xu x x x x x l= ϕ ∂ = ψ ∈ (2)

  • 23

    ( ) ( ) ( ) ( ) [ )(1) (2)0 0 0 0 0,0 , , , 0, .u x x u x l x x= μ = μ ∈ ∞ (3) Здесь ( ): x xf Q f∋ → – заданная функция на Q ,

    [ ] ( )1 1: 0, l x xϕ ∋ →ϕ ∈ , [ ] ( )1 1: 0, l x xψ ∋ →ψ ∈ – функции на [ ]0, l , ( ) [ ) ( ) ( )0 0: 0,j jx xμ ∞ ∋ →μ ∈ – заданные функции на [ )0,∞ , 1,2j = .

    Функции ( ), , , , 1,2jf jϕ ψ μ = удовлетворяет следующим неодно-родным условиям согласования:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2(1) (1) 10 0 , 0 0 , ′ϕ −μ = δ μ −ψ = δ α

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3221 0 0 0,0 ,a fa ′′′′ϕ −μ + = δ (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 210 , 0 ,l l

    a ′μ −ϕ = σ μ −ψ = σ

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3221 0 0, ,a l f la ′′ ′′μ − ϕ − = σ (5) где ( )j ′μ и ( )j ′′μ – производные функции ( )jμ первого и второго поряд-ков, 1,2j = , ′′ϕ – производная второго порядка функции ϕ .

    Если в условиях согласования (4) – (5) все числа ( ) ( ) 0j jσ = δ = , 1,2,3j = , то условия (4) – (5) в этом случае будем называть однородны-

    ми условиями согласования относительно заданных функций задачи (1)–(3).

    Отметим, что для достаточно гладких заданных функций уравне-ния (1) на множестве Q и условий (2), (3) на отрезке [ ]0, l и полупрямой [ )0,∞ существует единственное классическое решение этой задачи тогда и только тогда, когда условия согласования (4), (5) на эти функции яв-ляются однородными. В противном случае на определенных характери-стиках в области Q решение u задачи (1) – (3) вместе с производными терпят разрывы. Эти разрывы можно записать в виде условий сопряже-ния, что и сделано в работе.

    Таким образом, в общем случае задачу (1) – (3) можно заменить на задачу (1) – (5) с условиями сопряжения на характеристиках, где скачки функций и ее производных выражаются через заданные действительные числа ( )jδ и ( )jσ , 1,2,3j = . Решение задачи (1) – (5) выписано в анали-

    тическом виде через функции (1), , ,f ϕ ψ μ и (2)μ с помощью соответ-ствующих формул.

  • 24

    Теорема 1. Если функции [ ]2 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ , ( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = , то функция из класса ( )2C Q является един-

    ственным классическим решением задачи (1) – (3) тогда и только то-гда, когда выполняются однородные условия согласования (4), (5).

    Утверждение 1. Если для заданных функций ( ) ( ), , , 1,2jf jϕ ψ μ = не выполняются однородные условия согласования (4), (5), то какими бы гладкими эти функции не были, задача (1) – (3) не имеет классического решения, определенного на [ ) [ ]0, 0,Q l= ∞ × .

    Обозначим через Q объединение некоторых подобластей между характеристиками уравнения. Очевидно, что Q Q⊂ . Тогда справедливы следующие теоремы.

    Теорема 2. Пусть функции [ ]2 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ , ( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = и

    ( )( ) ( )( )3 2 21

    0p p

    p=

    δ + σ ≠

    .

    Тогда существует решение задачи (1) – (3) из класса ( )2C Q , и оно является единственным тогда и только тогда, когда выполняются условия согласования (4), (5).

    Теорема 3. Пусть функции [ ]3 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ , ( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = , ( ) ( )1 1 0δ = σ = . Тогда существует решение зада-

    чи (1) – (3) из класса ( ) ( )2C Q C Q∩ и оно является единственным тогда и только тогда, когда выполняются условия согласования (4), (5).

    Теорема 4. Пусть выполняются условия теорем 2, 3 и, кроме то-го, ( ) ( )2 2 0δ = σ = . Тогда существует решение задачи (1) – (3) из класса

    ( ) ( )1 2C Q C Q∩ и оно является единственным тогда и только тогда, когда выполняются условия согласования (4), (5).

    Замечание 1. Если заданные функции задачи (1) – (3) удовлетво-ряют неоднородным условиям согласования (4), (5), то решение задачи (1) – (5) сводится к решению соответствующей задачи сопряжения, где условия сопряжения задаются на характеристиках ( )1 0x ax k l− = − − и

    1 0x ax kl+ = , 1,2,k = . Заметим, что формулировка рассмотренной задачи с условиями

    сопряжения более приемлема для ее численной реализации.

  • 25

    Список литературы 1. Корзюк, В. И. Решение первой смешанной задачи для волнового

    уравнения методом характеристик / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, М. С. Ширма // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. – 2009. – Т. 17, № 2. – С. 23–34.

    2. Корзюк, В. И. Двухточечная граничная задача для уравнения колеба-ния струны с заданной скоростью в заданный момент времени / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // I Труды Института математики НАН Беларуси. – 2010. – Т. 18, № 2. – С. 22–35.

    3. Корзюк, В. И. Двухточечная граничная задача для уравнения колеба-ния струны с заданной скоростью в заданный момент времени / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // II Труды Института математики НАН Беларуси. – 2011. – Т. 19, № 1. – С. 62–70.

    4. Korzyuk, V. I. Classical solution for initial boundary-value problem for wave equation with integral boundary condition / V. I. Korzyuk, V. T. Erofeenko, J. V. Sheyka // Mathematical Modeling and Analysis. – 2012. – V. 17, № 3. – P. 309–329.

    5. Korzyuk, V. I. Classical solution of problem of control boundary condi-tions in case of the first mixed problem for one-dimensional wave equation / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya, O. A. Kovnatskaya // Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Differential Equations, Dynamical Systems and Celestial Mechanics / eds.: L. Gadomski [and others]. – Siedlce, Wydawnictwo Collegium Mazovia, 2011. – P. 68–78.

    6. Корзюк, В. И. Решение начально-краевой задачи для волнового урав-нения с дробными производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, Ю. В. Шейко // Аналитические методы анализа и диффе-ренциальных уравнений : материалы 6-й Междунар. конф. (AMADE-2011), посвящ. памяти проф. А. А. Килбаса. – Минск, 2011. – С. 97–108.

    7. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи в по-луполосе для линейного гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2012. – Т. 20, № 2. – С. 64–74.

    8. Корзюк, В. И. Гиперболическое уравнение второго порядка в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2013. – № 1.– С. 71–80.

    9. Корзюк, В. И. Граничная задача в полуполосе для гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Ма-тематическое моделирование и дифференциальные уравнения : тр. Третьей Междунар. науч. конф. (Брест, 17–22 сентября 2012 г.). – Минск : Издатель-ский центр БГУ, 2012. – С. 177–185.

    10.Korzyuk, V. I. On the influence of fitting conditions of functions in the boundary conditions on the classical solutions of problems for hyperbolic equations / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya // Computer Algebra Systems in Teaching and Re-search. – Siedlce, 2013. – Vol. IV, № 1. – P. 53–65.

    11. Корзюк, В. И. Об условиях согласования в граничных задачах для гиперболических уравнений / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Доклады НАН Беларуси. – 2013. – Т. 57, № 5. – С. 37–42.

  • 26

    ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА В ОБЛАСТЯХ С ФРАКТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕЙ

    И. В. Бойков, Т. В. Елисеева

    Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

    E-mail: [email protected], [email protected] В современной фундаментальной и экспериментальной физике,

    радиофизике и радиолокации теория фракталов находит все большее применение. Поэтому построение математических методов и вычисли-тельных алгоритмов для моделирования нелокальных процессов и явле-ний в областях, ограниченных фрактальными поверхностями, является актуальным направлением исследований. В предлагаемой работе рас-сматривается решение первой краевой задачи для уравнений теплопро-водности с конвекцией в «снежинке Коха».

    Задачи конвективного переноса представляют большой теоретиче-ский и практический интерес. Примером такого явления может служить движение неравномерно нагретой жидкости под действием выталкива-ющей силы (свободноконвективные движения). Процессы теплоперено-са в этом случае обусловлены не только теплопроводностью, но и дви-жением среды. В свою очередь в таких процессах тепло – и массообмен обуславливает самодвижение среды. Учет конвективного переноса тепла проводится в рамках уравнения теплопроводности с конвективным слага-емым. Задачи для уравнений теплопроводности с учетом конвективного переноса обладают определенной спецификой. Она проявляется в том, что операторы конвективного переноса являются несамосопряженными.

    Для задач подобного типа широко используются разностные мето-ды. Моделирование задач свободной конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости, температура» наиболее широко представлено в вычислительной практике. Схемы коррекции по граничному условию предложены П. Н. Вабищевичем (1983 г.).

    В данной работе для численного решения задачи конвективного переноса предлагается метод коллокации на специально построенной сетке узлов.

    Рассмотрим процесс теплопереноса, обусловленный теплопровод-ностью и движением самой среды в двумерной ограниченной области

    2RΩ⊂ . Считая среду однородной, запишем уравнение теплопроводно-сти в виде [1]

    2 2

    1 2 2 2( ( , ) ( , ) ) ( ) ( , );u u u uc v x y v x y f x yx y x y

    ∂ ∂ ∂ ∂+ − κ + =∂ ∂ ∂ ∂

    (1)

  • 27

    где ( , ), 1,2i x y iν = – компоненты скорости 1 2( ( , ))ν = ν ν , которые мы считаем заданными.

    Считаем среду несжимаемой, и поэтому компоненты скорости связаны соотношением

    1 2 0, .xx y

    ∂ν ∂ν+ = ∈Ω∂ ∂

    .

    На границе области Ω выполняется условие ( ), .u g x y∂Ω = (2)

    В качестве области Ω рассмотрим снежинку Коха с размерно-стью Хаусдорфа ln 4 ln 3HD = , полученную из равностороннего тре-угольника [2].

    Равносторонний треугольник можно рассматривать как предфрак-тал 0-го поколения 0K . Поместим его на сетку с шагом 0h по оси Ox и шагом 0 3h по оси Oy таким образом, чтобы вершины 0K совпали с уз-лами сетки (рис.1). Для построения предфрактала 1-го поколения 1K строится сетка с шагом 1h по оси Ox и шагом 1 3h по оси Oy, где

    1 0 3h h= . На рис.2 изображен предфрактал 2-го поколения 2K , имею-щий по каждому направлению шаг 2h и 2 3h , соответственно;

    22 0 3h h= . При описанном способе построения сетки вершины предф-

    рактала NK совпадают с узлами сетки; шаг Nh по оси Ox и 3Nh по оси Oy, 0 3

    NNh h= ; длина звена предфрактала равна 2 Nh . Число вер-

    шин (число звеньев) NK равно 3 4N⋅ .

    Рис. 1 Рис. 2

    Решение задачи (1) - (2) будем искать в виде разложения по поли-

    номам Лежандра 21( ) ( 1)2 !

    nn

    n n ndL x x

    n dx= − ,

  • 28

    ( ) ( )0 0

    ( , )l m

    N ij i ji j

    u x y L x L y= =

    = α ,

    где произведение ( )( )1 1l m+ + равно сумме s числа узлов сетки, лежа-щих внутри области NK , и числа вершин предфрактала NK . Если ( ) ( )1 1l m s+ + > , то берем несколько дополнительных узлов на границе области (на горизонтальных звеньях). Предфракталы NK располагаем таким образом, чтобы центр лежат в начале координат и NK содержался в квадрате [ ] [ ]1,1 1,1− × − . Неизвестные коэффициенты , 0, , 0, ,ij i l j mα = = найдем методом коллокации.

    Система метода коллокации имеет вид:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    1 20 0

    0 0

    , ,

    , , , , 1, ,

    , , , , 1, ,

    l m

    ij k k i k j k k k i k j ki j

    i k j k i k j k k k k k N

    l m

    ij i q j q q q q q Ni j

    c v x y L x L y v x y L x L y

    k L x L y L x L y f x y x y K k v

    L x L y g x y x y K q w

    = =

    = =

    ′ ′α + − ″ ″ − + = ∈ =

    α = ∈∂ =

    где ( ),r rx y – узлы сетки, v w s+ = . В табл. 1 приведены нормы разности N точноеu u− для модельной

    задачи. Таблица 1

    Поколение предфрактала, N C − норма 2L −норма 2 31,646 10−⋅ 43,73 10−⋅ 3 121,609 10−⋅ 146,336 10−⋅

    Полученные результаты показывают, что с ростом поколения

    предфрактала Nu u→ . Вопросы асимптотики решений при стремлении порядка предфрактала к бесконечности рассмотрены в [3].

    Ранее в работе [4] предложенным методом было получено числен-ное решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца и для уравнения эллиптического типа с экспоненциальной нелинейностью в «снежинке Коха». Вычисления показали, что введение конвективного слагаемого в уравнение Пуассона незначительно влияет на точность решения при росте поколения предфрактала.

    Полученные результаты позволяют сделать вывод об эффективно-сти предложенного подхода.

  • 29

    Список литературы 1. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский,

    П. Н. Вабищевич. – М. : Едиториал УРСС, 2003. 2. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. –

    М. : Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с. 3. Falconer, K. Techniques in Fractal Geometry / K. Falconer. – New York :

    John Wiley & Sons, 1997. – 256 p. 4. Бойков, И. В. Численное решение краевых задач для линейных и ква-

    зилинейных уравнений эллиптического типа в области с фрактальной грани-цей / И. В. Бойков, Т. В. Елисеева // Известия вузов. Поволжский регион. Фи-зико-математические науки. – 2011. – № 3 (19). – С. 14–21.

    О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ДАРБУ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ

    Г. Н. Шевченко

    Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара, Россия

    E-mail: [email protected] Рассмотрим уравнение Эйлера-Дарбу

    ( ) 0, 0, 0, 1,L u u u uξη ξ ηβ α≡ + − = α > β > α +β <

    ξ− η ξ− η (1)

    в бесконечной области { }( , ) :H = ξ η η> ξ . Задача Дарбу. Найти решение уравнения (1) в области H , удо-

    влетворяющее краевым условиям

    1lim ( , ) ( ), ,u−β

    η→+∞η ξ η = φ ξ −∞ < ξ < +∞ (2)

    ( , ) ( ), ,u ξ ξ = τ ξ −∞ < ξ < +∞ (3)

    где ( )φ ξ и ( )τ ξ – заданные функции. Для решения задачи Дарбу будем использовать решение задачи

    Гурса для уравнения (1) в области H с данными lim ( , ) ( ), ,u

    η→+∞ξ η = φ ξ −∞ < ξ < +∞ (4)

    lim ( ) ( , ) ( ), ,u−αξ→−∞

    −ξ ξ η = ψ η −∞ < η< +∞ (5)

    которое записывается в следующем виде [1]

  • 30

    ( , ) '( )( ) ( , ,1, )tu t t F dtt

    ξβ

    −∞

    ξ−ξ η = φ η− ⋅ −α −βη−

    '( )( ) ( , ,1, )tt t F dtt

    +∞α

    η

    − η− ψ − ξ ⋅ −α −β− ξ , (6)

    где заданные функции 1( ), ( ) ( , )t t Cφ ψ ∈ −∞ +∞ , ( ) ( ) 0,ψ +∞ = φ −∞ = 1 0'( ) ( ) ( )t t t

    −δφ = − ⋅φ , 2 0'( ) ( ) ( )t t t−δψ = − ⋅ψ , 0 0( ), ( )t tφ ψ - непрерывные и

    ограниченные функции в ( , )−∞ +∞ ,

    1 1δ > +β −α , 2 1δ > + α−β .

    Формулу (6) удовлетворим краевому условию (3)

    ( ) '( )( ) '( )( ) ,t t dt t t dtξ +∞

    β α

    −∞ ξ

    τ ξ = φ ξ− − ψ − ξγ

    где (1 ) ( )( , ,1,1)(1 ) (1 ) ( ) ( )

    F Γ + α+β α +β Γ α+βγ = −α −β = = ⋅Γ + α ⋅Γ +β α⋅β Γ α ⋅Γ β

    .

    Полученное интегральное уравнение разрешим относительно функции '( )tψ . Для этого запишем его в виде

    ( )'( ) ( ) '( ) ( ) .t t dt t t dtξ+∞

    α β

    ξ −∞

    τ ξψ ⋅ − ξ = φ ⋅ ξ − −γ

    Дифференцируя по ξ обе части этого уравнения, получаем

    1 1'( ) '( ) '( ).

    ( ) ( )t tdt dt

    t t

    ξ+∞

    −α −βξ −∞

    ψ β φ τ ξ= − +α α⋅ γ− ξ ξ − ,

    Применяя оператор дробного дифференцирования

    ... , ,( )x

    d d xdx x

    +∞

    αξ −∞ < < +∞

    ξ−

    будем иметь

    1'( )

    ( ) ( )x

    d d t dtdx x t

    +∞ +∞

    α −αξ

    ξ ψ =ξ− ξ− 1̀

    '( )( ) ( )x

    d d t dtdx x t

    ξ+∞

    α −β−∞

    β ξ φ− +α ξ− ξ−

    1 '( ) ,( )x

    d d xdx x

    +∞

    ατ ξ ξ −∞ < < +∞

    α⋅ γ ξ − . (7)

  • 31

    Учитывая, что

    1'( )

    ( ) ( )x

    d d t dtdx x t

    +∞ +∞

    α −αξ

    ξ ψ =ξ− ξ− 1'( ) ( ) ( )

    t

    x x

    d dt dtdx x t

    +∞

    α −αξψ =

    ξ− − ξ

    ( ) (1 ) '( )x

    d t dtdx

    +∞= Γ α ⋅Γ −α ⋅ ψ ( ) (1 ) '( ),x= Γ α ⋅Γ −α ⋅ψ

    из уравнения (7) находим '( ) :xψ

    1̀'( )'( )

    ( ) (1 ) ( ) ( )x

    d d t dtxdx x t

    ξ+∞

    α −β−∞

    β ξ φψ = −αΓ α Γ −α ξ− ξ−

    1 '( ) .( ) (1 ) ( )x

    d ddx x

    +∞

    ατ ξ ξ

    α⋅ γΓ α Γ −α ξ−

    Преобразуем правую часть полученного равенства, упростим сна-чала двукратный интеграл

    1 1̀'( )

    ( ) ( )x

    d d t dtJdx x t

    ξ+∞

    α −β−∞

    ξ φ= =ξ− ξ− 1

    '( )( ) ( )x x

    d dt dtdx x t

    +∞ +∞

    α −βξφ +

    ξ− − ξ

    1'( ) .( ) ( )x t

    d dt dtdx x t

    +∞ +∞

    α −βξ+ φ

    ξ− − ξ

    Вычислим

    11 1 .( ) ( )x

    dJx t

    +∞

    α −βξ=

    ξ− ξ−

    Заменим переменную интегрирования по формуле xξ =λ

    .

    1 1

    11 10

    (1 ) .1

    dJ xtx

    α−β− −αβ−α

    −βλ ⋅ − λ λ=

    − λ

    В дальнейшем будем считать α >β . Используя интегральное представление гипергеометрической

    функции Гаусса [2], получим

    11( ) (1 ) 1 , ,1 ,

    (1 )tJ x Fx

    β−α Γ α−β Γ −α = ⋅ −β α −β −β = Γ −β

  • 32

    (1 ) ( ) ( ) .(1 )

    t x β−αΓ −α ⋅Γ α −β= −Γ −β

    Аналогично находим

    12 1( ) ( ) ( ) .

    ( )( ) ( )t

    dJ t xx t

    +∞β−α

    α −βξ Γ β Γ α−β= = −

    Γ αξ− ξ−

    Тогда

    1(1 ) ( ) '( ) ( )

    (1 )

    xdJ t x t dtdx

    β−α

    −∞

    Γ −α Γ α−β= φ ⋅ − +Γ −β

    ( ) ( ) '( ) ( ) .( ) x

    d t t x dtdx

    +∞β−αΓ β Γ α−β φ ⋅ −

    Γ α

    Используя формулу интегрирования по частям, получим

    11

    (1 ) ( ) ''( ) ( )(1 )

    xdJ t x t dtdx

    +β−α

    −∞

    Γ −α Γ α−β= φ ⋅ − −Γ −β

    1( ) ( ) ''( ) ( ) ,( ) x

    d t t x dtdx

    +∞+β−αΓ β Γ α−β φ ⋅ −

    Γ α

    где предполагается, что 1 0'( ) (1 ) ( )t t t−δφ = + ⋅φ , 1 1δ > +β −α , 0( )tφ не-

    прерывна и ограничена в ( , )−∞ +∞ . Выполним операцию дифференци-рования

    1(1 ) ( ) ''( )

    (1 ) ( )

    x tJ dtx t α−β−∞

    Γ −α Γ α−β φ= +Γ −β −

    ( ) ( ) ''( ) .( ) ( )x

    t dtx t

    +∞

    α−βΓ β Γ α−β φ

    Γ α −

    Аналогично находим

    2'( )

    ( )x

    d dJdx x

    +∞

    ατ ξ ξ= =ξ−

    11 '( ) ( )1 x

    d d xdx

    +∞−ατ ξ ξ− =

    −α

    11 ''( )( )1 x

    d x ddx

    +∞−α− τ ξ ξ− ξ =

    −α ''( ) ,

    ( )x

    dx

    +∞

    ατ ξ ξ−ξ−

    где предполагается, что 3 0 3'( ) ( ), 1 ,t t t−δτ = ⋅ τ δ > − α 0( )tτ – непрерывна

    и ограничена в ( , )−∞ +∞ . Принимая во внимание Полученные выраже-ния для 1J и 2J , функцию '( )xψ запишем следующим образом

  • 33

    ( ) ''( )'( )( ) (1 ) ( )

    x tx dtx t α−β−∞

    βΓ α−β φψ = +αΓ α Γ −β − 2

    ( ) ( ) ''( )( ) (1 ) ( )x

    t dtx t

    +∞

    α−ββΓ β Γ α−β φ +αΓ α Γ −α −

    1 ''( ) .( ) (1 ) ( )x

    dx

    +∞

    ατ ξ ξ+

    α⋅ γ ⋅Γ α ⋅Γ − α ξ− (8)

    Подставляя формулу (8) в (6), получим решение задачи Дарбу. Та-ким образом имеет место следующая теорема.

    Теорема. Если заданные функции 2( ), ( ) ( , )t t Cφ τ ∈ −∞ +∞ и ( ) ( ) ( ) ( ) 0φ −∞ = φ ∞ = τ −∞ = τ +∞ = ,

    1 30 0 1 3'( ) ( ), '( ) ( ), 1 , 1t t t t t t

    −δ −δφ = ⋅φ τ = ⋅ τ δ > +β −α δ > − α ,

    где 0 0( ), ( )t tφ τ – непрерывные и ограниченные функции в ( , )−∞ +∞ , то функция ( , )u ξ η , определенная равенствами (6) и (8) является решением задачи Дарбу.

    Список литературы 1. Шевченко, Г. Н. Задача Гурса в неограниченной области для одного

    дифференциального уравнения с частными производными гиперболического типа / Г. Н. Шевченко // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза, 2011. – С. 64–66.

    2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометри-ческие функции. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. : Наука, 1966.

  • 34

    2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

    ОБ ОДНОЙ ПОЛНОЙ СИСТЕМЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

    О. Г. Никитина, Н. Д. Никитин

    Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E-mail: [email protected], [email protected]

    Работа посвящена рассмотрению вопроса о полноте системы вида

    ( ){ }1 2,n kf z zη μ в пространстве функций двух комплексных переменных, аналитических в неограниченной полной кратно-круговой области, где

    1 2( , )f t t - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Найдены условия полноты системы в рассмат-риваемом пространстве.

    Отметим, что вопрос о полноте многомерной системы экспонент в пространстве целых функций с определенными ограничениями на рост, был рассмотрен в работе В. П. Громова [1].

    Пусть 2G C⊂ неограниченная полная кратно-круговая область го-ломорфности с центром в точке (0, 0). Обозначим через ( )H G простран-ство функций, аналитических в области G с топологией равномерной сходимости на компактах.

    Пусть 1 2( , )f t t целая функция двух переменных, 2D C⊂ произ-

    вольная ограниченная полная кратно-круговая область с центром в начале координат,

    1 2, 1 2

    ( , )( ) sup ( , )

    Rf D

    t t DM R f t t

    ∈= (точка 1 2( , ) Rt t D∈ , если

    1 2,t t DR R

    ).

    Числа Dρ = ρ и Dσ , вычисленные по формулам [4]:

    , ,ln ln ( ) ln ( )lim ; limln D

    f D f DD D

    R R

    M R M RR Rρ→∞ →∞

    ρ = σ = ,

    называются соответственно порядком и D-типом функции 1 2( , )f t t . Причем величина Dρ не зависит от выбора области D [5]. Говорят, что целая функция 1 2( , )f t t является функцией экспонен-

    циального типа, если ее порядок меньше единицы или она имеет конеч-ный тип при порядке 1ρ = .

  • 35

    Обозначим через 1 2( , )B ρ ρ множество точек 1 2( , )a a пространства

    R2, для которых выполняется асимптотически оценка

    1 21 2ln ( )a a

    fM R R R< + (2)

    ( ,( ) ( )f f DM R M R= , где 2

    1 2 1 1 2 2{( , ) , }D t t С t R t R= ∈ < < ,

    1 2( , )R R R= ). Очевидно, что если точка

    1 21 2 ( , )( , )a a B ρ ρ′ ′ ∈ , то и весь октант 2

    1 2 1 1 2 2{( , ) , }a a R a a a a′ ′∈ ≥ ≥ содержится во множестве 1 2( , )B ρ ρ . Наобо-рот, если точка

    1 21 2 ( , )( , )a a B ρ ρ′ ′ ∉ , то и все точки области 2

    1 2 1 1 2 2{( , ) , }a a R a a a a′ ′∈ < < не принадлежат множеству 1 2( , )B ρ ρ . Гра-ница этого множества

    1 2 1 2( , ) ( , )B Sρ ρ ρ ρ∂ = разделяет все пространство R2

    на две части: в одной из них неравенство (2) выполняется, в другой нет. Эта граница

    1 2( , )S ρ ρ множества 1 2( , )B ρ ρ называется гиперповерхностью сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t . Система чисел 1 2( , )ρ ρ назы-вается системой сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t , если точка

    1 21 2 ( , )( , ) S ρ ρρ ρ ∈ . Показано [5], что положительные числа 1 2( , )ρ ρ обра-зуют систему сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t тогда и только тогда, когда

    1 21 2 1 2

    ln ln ( )lim 1

    ln( )f

    R R

    M R

    R Rρ ρ+ →∞=

    +.

    Пусть 1 2( , )ρ ρ – некоторая система сопряженных порядков функ-ции 1 2( , )f t t . Для более точной характеристики роста целой функции двух переменных его сравнивают с ростом функции

    1 21 2 1 21 2( , )g R R a R a R

    ρ ρ= + . Пусть 1 2( , )B σ σ - множество точек 1 2( , )a a про-

    странства R2, для которых выполняется асимптотически оценка 1 2

    1 21 2ln ( )fM R a R a Rρ ρ< + .

    Граница 1 2( , )S σ σ множества 1 2( , )B σ σ называется гиперповерхно-

    стью сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t . Система чисел 1 2( , )σ σ называется системой сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t , если точка 1 21 2 ( , )( , ) S σ σσ σ ∈ . Причем положительные числа 1 2( , )σ σ составляют систему сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t тогда и только тогда, когда

  • 36

    1 21 2 1 21 2

    ln ( )lim 1f

    R R