SUMAS DE RIEMANN

Área

En la geometría euclídea, la región más simple es el

rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área

del rectángulo es A = bh (Fígura). es más apropiado decir que

eso es la definición del área del rectángulo.

De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas

de otras regiones planas. Así, para determinar la de un

triángulo, formamos un rectángulo de área doble (Figura). Y

una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los

polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos (Figura).

Paralelogramo Hexágono Polígono

Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los

antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones

generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La

descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es

un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos

y otros circunscritos a la región en cuestión.

Por ejemplo, en la Figura el círculo se aproxima por polígonos inscrito y

circunscrito de n lados. Para cada valor de n, el área del polígono inscrito es

menor que la del círculo y la del circunscrito es mayor que la del círculo. Más aún,

al crecer n las áreas de los polígonos se acercan más y más a la de la región

circular.

h

b

Rectángulo: A = bh

h

b

Triángulo: A = 1 bh 2

n = 6

EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN PARA HALLAR EL ÁREA DEL CÍRCULO

DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGION PLANA

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región

limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es

donde ∆x = (b – a) / n (veáse Figura).

Sumas de Riemann

y

a xi-1 ci xi b x

En la definición de área, las particiones se hacían en subintervalos de igual

longitud. Pero era sólo por facilitar los cálculos. El ejemplo que abre esta sección

muestra que no es necesario tomar subintervalos de la misma longitud.

En la sección precedente se usó el límite de una suma para definir el área

de una región plana. Ésta es sólo una de las múltiples aplicaciones de los límites

de sumas. Un procedimiento similar se puede utilizar para calcular magnitudes tan

distintas como longitudes de arco, valores medios, centroides, volúmenes, trabajos

y áreas superficiales. El desarrollo que vamos a presentar lleva el nombre de

Georg Friedrich Bernhard Riemann. Si bien la integración definida se usó mucho

antes de Riemann, éste generalizó el concepto y lo hizo aplicable a clases muy

amplias de funciones.

En la definición que sigue debe hacerse notar que la única restricción sobre

f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (En la sección anterior se suponía que f

era continua y no negativa, por que tratábamos el área bajo una curva.)

DEFINICIÓN DE LAS SUMAS DE RIEMANN

Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea ∆

una partición de [a, b] dada por

donde ∆xi es la longitud del i-ésimo subintervalo. Si

ci es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la

suma.

en la suma de Riemann de f asociada a la partición .

La longitud del subintervalo más grande de una partición se llama norma

de la partición y se denota por . Si todos los subintervalos son de la misma

longitud, se dice que la partición es regular y la norma se denota por

x

Partición regular.

Donde: ci = a + i x

Donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior

de Darboux.

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que:

Podemos obtener las siguientes igualdades:

(Donde C es constante)

EJEMPLOS

Ejemplo # 1

Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la

derecha para determinar una aproximación del área de la siguiente función:

f(x) = 2 - x² , límites [0, 2]

La suma de Riemann representa la suma de las áreas sobre el eje , menos la

suma de las áreas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo

respecto al eje .

CONCEPTO DE INTEGRAL

 

La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas

figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos

conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza

zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo

dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b)

recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].

 

Partición

 

Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita

de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.

 

Ejemplo

 

Partición en cuatro subintervalos

 

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b

 

mi = mínimo de f en el intervalo i

Mi = máximo de f en el intervalo i

 

s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)

S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)

 

Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición

de [a, b]:

 

       mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

       Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

 

Valor de una integral

 

        La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta

n de Mi · ( ti - ti-1 )

        La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n

de mi · ( ti - ti-1 )

 

Se cumple que:

 

L( f, P ) <= U( f, P )

 

Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:

 

P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n

L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )

 

Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:

 

L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1

 

 

FUNCIONES INTEGRABLES

 

Definición

 

Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:

 

sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de

[a, b] }

 

En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y

se denota por:

 

U( f, P ) para todas las particiones de [a, b]

 

Teorema

 

Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y

sólo si para todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:

 

U( f, P ) - L( f, P ) < e

 

Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es

continua en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en

[a, b], entonces es integrable.

 

Propiedades

Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces

 

INTEGRAL INDEFINIDA

 

Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la

función:

 

F(x)= para todo x que pertenece a [a, b]

Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].

 

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b],

entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este

teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la

función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos

dé como resultado el integrando de la integral:

 

 

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Regla de Barrow

 

 

 

f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.

 

Ejemplo

 

Calcular la integral de

]

 

F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K

 

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las

primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración.

 

Ejercicio: cálculo de primitivas

Resolución:

Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Resolución:

Por consiguiente,

Resolución:

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus

correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender

estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales

menos sencillas.

 Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas

Resolución:

Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m =

4.

Resolución:

Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )

Integración por descomposición

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de

las integrales:

Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual

a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Demostración:

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una

primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

Análogamente,

Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al

producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

Demostración:

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva

de

k · f(x). Por tanto,

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por

descomposición

Resolución:

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

Por consiguiente,

 TEOREMA DE ROLLE.-

Sea f continua sobre a, b , a < b , y diferenciable sobre < a, b > tal que f (a)= 0,

f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en < a, b > que satisface f ’(c)= 0

Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente este

teorema. Según las condiciones dadas, la grafica de f no debe tener esquinas (o

vértices) dentro de < a , b > y que para x = a y para x = b la grafica de f toca

al Eje x. Así, es factible tener la figura siguiente.

Cuando esto ocurre, el teorema asegura que existe por lo menos un punto c en el intervalo abierto < a , b> tal que en dicho punto la recta tangente a la gráfica es horizontal.

PENDIENTE m = f ‘ (c) = 0

En el caso de la primera figura existen hasta tres valores para tal c . Note que en

esta figura f no es diferenciable en a , pero este hecho no afecta al teorema pues

a < a , b > .

PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :

a) Si f(x) = 0 x < a , b> constante, entonces cualquier c < a , b > es

válido pues f ‘(c) = 0 para todo c < a , b >.

b) Si f(xo) > 0 para algún xo < a , b >, alcanza su MÁXIMO en algún punto c

a , b:

f(c) = máx. ( f(x) / x a , b , pero como f(c) f(xo) > 0 y

f(a) = f(b) = 0 entonces c a y c b; así, c < a , b >. Y como f

satisface en < a , b > entonces f ‘ (c) = 0.

c) Si f (xo) < 0 para algún xo < a , b >, f alcanza su MINIMO en algún punto

a , b:

f(c) f(xo) < 0 c b c < a , b >; y como f satisface en <a , b >

entonces: f ‘(c) = 0 (RECTA TANGENTE HORIZONTAL)

entonces

Esto Se presenta debido a que f no cumple con la condición de ser diferenciable en todo <-1,1> , pues falla en serlo en el punto x = 0

NOTA.- En el teorema de Rolle, la condición de continuidad de f en a , b

es obviamente muy importante, pues asegura que la grafica de f no tenga saltos

bruscos dentro de a , b.

Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente

tocan al EJE X en ambos extremos de a , b y veremos las condiciones

para que existan puntos < a , b > donde las rectas tangentes sean

paralelas al segmento RS que tiene como pendiente:

TEOREMA DEL VALOR MEDIO T.V.M (TEOREMA DE LAGRANGE).-

Sea f una función y a < b. Sí se cumplen ambas:

f es continua sobre a , b , y f es diferenciable sobre < a , b > , entonces

existe < a , b > tal que f ‘ (c)

ó tal que: f(b) – f(a) = f ‘ (c) – ( b – a ) , c < a , b >.

PRUEBA.-

Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por

Pues vemos que g es continua sobre a , b y diferenciable sobre el

intervalo abierto < a , b > , y además que g(a) = 0 = g(b). Entonces

dicho teorema nos asegura que existe < a , b > tal que g ‘(c) = 0 , es

decir

lo que implica que: f(b) – f(a) = f ‘(c).(b – a)

PROBLEMA.- Aplicar, si es posible, el Teorema del Valor Medio a:

a) a = -2 , b = 2

f(a) = f(-2) = 0

f(b) = f(2) = 0

f continua en -2, 2

f diferenciable en <-2 , 2>

Entonces el Teorema de Rolle

implica que existe C <-2,2>

tal que: f ’(c) = 0

Y como f ‘ (x) = 2x = 0 para x = 0 solamente , entonces c = 0.

Además c = 0 se encuentra en el intervalo <-2,2>

b) f(x) 0 x2 + 2x , x 0,3, a = 0 , b = 3 , f(a) = a , f(b) = f(3) =

15 , f es continua en 0,3 y diferenciable en < 0,3 > , entonces el

T.V.M.

asegura que existe c < 0,3 > tal que

Como f ‘ (x) = 2x + 2 = 5

entonces x = 3/2 = c <0,3>.