ANEXO 21 - Licenciatura en Matemática Pura y Aplicada-Abril-2014-Email

8/15/2019 ANEXO 21 - Licenciatura en Matemática Pura y Aplicada-Abril-2014-Email

1/28

Consejo Superior Universitario Centroamericano, CSUCASistema Centroamericano de Armonización y Evaluaciónde la educación Superior, SICEVAES

Abril-2014

ARMONIZACIÓN CURRICULAR

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAPURA Y MATEMÁTICA APLICADA


2/28

INTRODUCCIÓN

En el proceso de armonización de la carrera de Licenciatura en Matemática Puray Matemática Aplicada, se organizarondiversos talleres y grupos de trabajo deespecialistas para establecer algunos de los diversos componentes del diseño curricular,entre otros :perfil profesional , objetivos de la carrera,competencias genéricas yespecificas,áreas de formación orientadas a los contenidos mínimos que debenconsiderarse en el desarrollo de las asignaturas o cursos (incluye descripciones ,contenidos mínimos y bibliografía de referencia), que integran las dos áreas curriculares,a saber: Fundamental y Complementaria.

Todo lo anterior, es un referente en el proceso de armonización cuando se diseñeno se rediseñen ambas carreras en las Instituciones de Educación Superior adscritas alCSUCA, en la Región Centroamericana y República Dominicana.

Los participantes en el Primer Seminario Taller Centroamericano del 19 al 22 demarzo de 2012para la armonización de la Licenciatura en Matemática Pura y MatemáticaAplicada, que organizo el CSUCAcon el apoyo financiero del Programa de Apoyo ala Integración Regional Centroamericana PAIRCA I y II, asumieron acuerdos enalgunos componentes del diseño curricular y enel Segundo Tallerrealizado en el mes deabril del 2013, se adoptaron acuerdos sobre el Perfil del graduado y las descripciones ysu bibliografía de algunos cursos. Asimismo, se estableció el crédito latinoamericanocomo punto de referencia para la carga académica en los ciclos o semestres, que deberáasumir el estudiantado en la Estructura del Plan de Estudios, de la carrera deLicenciatura en Matemática Pura y Matemática Aplicada.

Este equipo estuvo integrado por los siguientes académicos especialistas y

representantes de las Universidades miembros del Consejo Superior UniversitarioCentroamericano, CSUCA:

William Polanco. Universidad de San Carlos de Guatemala (USAC)

José Neris Funes Torres. Universidad de San Salvador (UES)

José Arturo Destephen. Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH)

Rafael Avendaño. Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua (UNAN-León)

Pedro Méndez. Universidad de Costa Rica (UCR)

Javier Torres Salgado. Universidad Autónoma de Costa Rica (UNACHI)

Pablo César Smester. Universidad Autónoma de Santo Domingo Joaquin Urbina. Universidad de Belice (UB)

Steven Lewis. Universidad de Belice (UB)

Josué Ortiz Gutiérrez. Universidad de Panamá (UP)

La colaboración y la disposición de los diversos especialistas en el área de la Matemáticaha sido determinante para llegar a formular algunos de los componentes curriculares de lacarrera de Licenciatura en Matemática Pura y Matemática Aplicada, los cuales son


3/28

puntos comunes de referencia que tendrán las Universidades de la región; lo cual,permitirá la movilidad académica y profesional de estudiantes, docentes y profesionalesen el área de la Matemática en los países de la región Centroamérica y RepúblicaDominicana.

I.-Justificación

El proceso de globalización tiene un componente eminentemente económico quese traduce en la aparición de bloques comerciales y en el libre tránsito de bienes,servicios y capitales. En el caso de Centroamérica, coexisten dos procesos en plenodesarrollo que influyen y aceleran el proceso de integración regional. El primer proceso esel tratado de libre comercio entre Estados Unidos y los países centroamericanos conocidocomo DR-CAFTA. El segundo es la negociación para la suscripción del Acuerdo deasociación entre Centroamérica y la Unión Europea.1 Una variante importante de estesegundo proceso es la participación activa de organizaciones de la sociedad civil y departidos políticos.

Tanto el DR-CAFTA como el Acuerdo de Asociación intentan superar la etapahistórica marcada por la política latinoamericana de sustituir la importación de bienes yservicios a través del desarrollo del mercado interno, objetivo básico del mercado comúncentroamericano que se inicia en la década de los años 60. En la actualidad, el objetivoprimordial es la orientación regional hacia el mercado global (importación/exportación)para lo cual es necesario acelerar y consolidar la integración regional centroamericana,

para lo cual se debe tomar en cuenta que Guatemala, por ejemplo, tiene unapoblación de aproximadamente 14 millones de habitantes, mientras que la regióncentroamericana tiene alrededor de 40 millones de habitantes: juntos somos más grandesy más importantes.

Paralelo a los tratados de libre comercio, también se aceleran otros procesoscomo la integración regional aduanera, la consolidación del Sistema de IntegraciónCentroamericano y en el plano económico la ampliación del canal de Panamá que a

mediano plazo incrementará en 100% su capacidad de transporte de bienes y servicios.

1Es de hacer notar que la Unión Europea ha preferido negociar con Centroamérica como bloqueregional con un único equipo negociador, al contrario de Estados Unidos que negoció por separadocon cada país. El acuerdo de asociación entre la Unión Europea y Centroamérica fue firmado enHonduras a finales de junio del presente año.


4/28

En el componente académico y de educación superior, el Consejo SuperiorUniversitario Centroamericano, CSUCA2 impulsa la creación del espacio común deeducación superior y la armonización de carreras universitarias.3 En tal sentido, discutió yaprobó la política que impulsa la armonización de la educación superior regional queseñala la necesidad de “armonizar las carreras y diseños curriculares en la educación

superior, agilizar los procesos de reconocimiento de títulos y movilidad académica yla integración regional de la educación superior pública de América Central.”4 Loanterior implicará ajustes y cambios respecto a la duración de las carreras, los nombresde las mismas, el número de créditos académicos, la realización de prácticas y pasantías,las formas de graduación, la presencia de los cursos electivos, etc.

La armonización de las carreras universitarias obedece a la necesidad de contarcon instrumentos regionales armonizados, fomentar el mutuo reconocimiento de laformación universitaria, la generación de criterios comunes para el desarrollo de

programas y carreras, el desarrollo de programas y carreras con altos niveles de calidad,además de impulsar la creación del espacio común centroamericano de educaciónsuperior.

Respecto al término, el Comité de Coordinación Regional del SICEVAES definearmonización como “ proceso que busca establecer correspondencia o compatibilidadentre los diferentes títulos y grados otorgados por las instituciones de educación superiorde países diversos. Implica la adopción de procesos de revisión de los planes yprogramas de estudio institucionales y la adopción de normas para la transferencia de

2 El CSUCA forma parte del Sistema de Integración Centroamericana, SICA: conformado porBelice, Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa Rica y Panamá como EstadosMiembros; República Dominicana como Estado asociado; México, Argentina, Chile y Brasil sonobservadores regionales yEspaña, China, Alemania e Italia son observadores extrarregionales. Lasinstituciones que conforman el SICA, entre otros, son: el Banco Centroamericano de IntegraciónEconómica, BCIE; la Secretaría de Integración Económica Centroamericana, SIECA; el Instituto deNutrición de Centroamérica y Panamá, INCAP; el Instituto Centroamericano de AdministraciónPública, ICAP; el Consejo del Istmo Centroamericano de Deportes y Recreación, CODICADER; la

Coordinadora Educativa y Cultural Centroamericana, CECC, la Corte Centroamericana de Justicia,CCJ; el Parlamento Centroamericano, PARLACEN y el Consejo Superior UniversitarioCentroamericano, CSUCA. En total, el SICA está conformado por 9 secretarias y por alrededor de25 organismos especializados.3 En la actualidad, el CSUCA impulsa la armonización de 3 carreras: Administración de Empresas,Ingeniería Civil y Matemáticas.4 Estrategias centrales del proceso de armonización de la educación superior centroamericana.Punto DÉCIMO del Acta de la LXXXVIII sesión ordinaria celebrada por el Consejo SuperiorUniversitario Centroamericano, CSUCA el 24 y 25 de septiembre de 2009 en San Salvador, ElSalvador.


5/28

créditos, para facilitar la convalidación de estudios realizados en otra institución deeducación superior.”5

Finalmente, es de indicar que el plan de estudios de referencia para la carrera de

Licenciatura en Matemática Pura y Matemática Aplicadapuede considerarse comosu nombre lo indica un “referente” y, por lo tanto, susceptible de ajustes, cambios yadaptaciones.

Mapa de la disciplina:

En Centroamérica y República Dominicana, los nombres de las carreras son muyvariados, por ejemplo: Licenciatura en Matemática, Licenciatura en Matemática Aplicada,

Bachillerato en Matemática y Licenciatura en Ingeniería Matemática

Estos planes de estudios tiene entre sus objetivos de formar profesionales capaces de:dominar los conceptos básicos de la matemática para construir y desarrollarargumentaciones lógicas; proponer modelos matemáticos a partir de situaciones realesutilizando datos experimentales; integrar equipos multidisciplinarios, particularmente paralas investigaciones o aplicaciones derivadas de las áreas afines; continuar con éxitoestudios superiores en su ramo.

5El Comité de Coordinación Regional del Sistema Centroamericano de Evaluación y Armonizaciónde la Educación Superior Centroamericana, CCR-SICEVAES, está integrado por los vicerrectoresacadémicos de las universidades públicas de América Central.


6/28

Armonización curricular de la Licenciatura en Matemática Puray Matemática Aplicada

La carrera de Licenciatura en Matemática Pura,se imparte en algunas universidadesde la región Centroamericana y República Dominicana, a saber,

• Universidad de San Carlos de Guatemala (USAC) • Universidad de San Salvador (UES) • Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH) • Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua (UNAN-León) • Universidad de Costa Rica (UCR) • Universidad Autónoma de Chiriquí (UNACHI) • Universidad Autónoma de Santo Domingo • Universidad de Belice (UB) • Universidad del Valle de Guatemala (UVG) •

Universidad de Panamá En la totalidad de esos Planes de Estudios se coincide en que las característicascurriculares de los cursos (contenidos o temáticas) son similares en las áreasFundamentales y Complementarias.

II.-Perfil Profesionalde la Licenciatura en Matemática Pura y Matemática Aplicada

2.1. Perfil de ingreso

El estudiante de primer ingreso a la carrera de Licenciatura en Matemática Pura y

Aplicada, debe poseer como mínimo los siguientes conocimientos, habilidades yactitudes:- Conocimientos básicos de matemáticas- Habilidad para la lectura comprensiva- Disposición y habilidad para trabajar y estudiar en forma autónoma- Pensamiento analítico, sintético y lógico- Disposición para trabajar de forma colaborativa

2.2.-Perfil de egreso

El perfil del graduado de la Licenciatura en Matemática Pura y Matemática

Aplicadaestá integrado por cuatro dimensiones interrelacionadas, a saber:

actitudinal

relacional

comunicacional

disciplinar


7/28

Cada una de esas dimensiones se desarrollará en todo el proceso de formación de

acuerdo con las competencias genéricas y específicas que se enuncian a

continuación:

Dimensión CompetenciasActitudinal • Es un profesional ético con sensibilidad humana,responsabilidad social y compromiso ciudadano, condisposición para aprender, actualizarse permanentementey enfrentarse a nuevos problemas en diferentes áreas.

• Muestra interés por el proceso de enseñanza-aprendizajey utiliza las tecnologías de la información y de lacomunicación

Relacional • Posee habilidades interpersonales para interactuar y

trabajar en equipos multidisciplinarios.Comunicacional • Se expresa correcta y eficazmente en forma oral y escrita,

domina el lenguaje matemático y presenta susrazonamientos con claridad, precisión y en formaapropiada para la audiencia a la que van dirigidos.

• Comprende publicaciones escritas en inglés parainteractuar con la comunidad académica internacional en


8/28

su área de conocimiento.Disciplinar • Posee una sólida formación en cuanto a conocimientos,

habilidades y destrezas propias de la matemática.

• Construye argumentaciones lógicas con una identificaciónclara de hipótesis y conclusiones en la demostración de

teoremas matemáticos.

• Posee pensamiento lógico, analítico, crítico, y abstractoque le permite realizar investigaciones que contribuyen conel desarrollo del conocimiento.

• Identifica problemas, plantea y propone modelosmatemáticos que facilitan su análisis.

III.-Objetivosde la Licenciatura en Matemática Pura y Matemática Aplicada

3.1.-Objetivo General

Formar profesionales con una sólida base académica en las ciencias de laMatemática Pura y la Matemática Aplicada, capaces de dar respuesta a losproblemas de la sociedad en el marco de la sostenibilidad, equidad y ética haciendouso de la ciencia y la tecnología, con capacidad para adaptarse al cambio, estarabierto al conocimiento futuro y tener plena consciencia de las implicacionesambientales y sociales en el ejercicio de su profesión.

3.2.Objetivos Específicos

• Formar profesionales con excelencia académica a nivel de licenciatura en elconocimiento y aplicación de la de la Matemática a fin de satisfacer las necesidadesde la región en función de un desarrollo económico sustentable.

• Elevar el nivel científico, tecnológico, humanístico y ético de los estudiantes.

• Preparar a los y las estudiantes para enfrentar eficientemente y con ética profesional,la aplicación de los principios de la Matemática y desarrollarles la capacidad deperfeccionamiento científico y tecnológico.

IV.-Áreas de formación y pesos relativos

Los planes de estudio para las carreras de Licenciatura en Matemática Pura y Aplicada,fue diseñado para una duración de cuatro años y con un mínimo de 136 créditoscentroamericanos.


9/28

En lugar de definir una Malla Curricular, se presenta una distribución por áreas deformación indicando el peso relativo de cada una de éstas. El peso de las áreasHumanística y Cultural, Formación Básica y Formación Especializada pueden sufrirmodificaciones de ± 5%

reas ContenidosHumanísticayCultural (20%) Área conformada por aquellas asignaturas que le dan formación

integral al egresado en Matemática. Pueden incluirse, entre otras,Historia de la Matemática, Filosofía, Historia del país, Idiomas : Inglésy Español, Psicología, seminarios de Investigación .

FormaciónBásica(55%) El tronco común en el proceso de formación en Matemática pura y

Matemática aplicada, está integrada por las siguientes tresáreas:

a) Álgebra(11%)Álgebra lineal, teoría de grupos, teoría de anillos y cuerpos.

b) Análisis Matemático(20%)Cálculo (diferencial, integral y multivariado), análisis en Rn,Topología en Rn, ecuaciones diferenciales ordinarias y análisisnumérico.

c) Geometría(7%)Geometría analítica, Geometría Euclidiana, Geometría de Curvasy Superficies

Ademásel tronco común debe contener un curso de Matemática

Discreta y un curso de Programación en algún lenguaje (amboscursos con un peso de 5%).

El plan de estudio de Licenciatura en Matemática Puradebe tambiéncontener las siguientes sub-áreas:

Teoría de Galois, Variable Compleja, Topología, Teoría dela medida de Lebesgue. (12%)

Además del tronco común, el plan de estudio de Licenciatura enMatemática Aplicada debe contener las siguientes sub-áreas:

Probabilidad Elemental, Estadística, Optimización,Ecuaciones en derivadas parciales.(12%)

FormaciónEspecializada25%

Matemática pura• Teoría de Probabilidad.• Procesos Estocásticos.• Estadística Inferencial.• Ecuaciones en derivadas parciales


10/28

• Álgebra Conmutativa• Álgebra Homológica• Topología Algebraica• Análisis Funcional• Variedades Diferenciables• Geometría Riemanniana• Teoría de Números• Sistemas Dinámicos• Análisis de Fourier y Armónico

Licenciatura en Matemática Aplicada

• Ciencias de la computación• Física• Investigación de operaciones• Matemáticas Actuariales•

Optimización• Modelaje y simulación• Sistemas dinámicos• Métodos numéricos para ecuaciones en derivadas parciales• Teoría de Probabilidad.• Procesos Estocásticos.• Estadística Bayesiana• Teoría de la medida de Lebesgue• Variable Compleja• Problemas Inversos

En ambos planes de estudio en el área de especialidad se puedenincluir cursos de las áreas de: Física, Economía, Química,Informática, entre otras.


11/28

V.- Estructura curricular por área de conocimiento: Matemática Pura

La estructura que se muestra a continuación, define la estructura de los cursos por áreade manera que cada fila determina la secuencia en que deben desarrollarse los cursos.Por ejemplo en el área de Álgebra, el curso de Teoría de Grupos y Anillos, debe serdesarrollado en un semestre posterior a los cursos de Algebra Lineal I y Algebra Lineal II.Sin embargo los cursos que aparecen en una misma columna, no necesariamente debenser impartidos en un mismo semestre.

Áreas Sub-áreas Propuesta de cursos

Humanísticay Cultural20%

El número de cursos se define con base a los requisitos de cada país.

FormaciónBásica yEspecialidad80%

Área de

Análisis

Cálculo en

una variableI

Cálculo en una

variable II

Cálculo en

variasvariables

Análisis en

R

n

Variable

Compleja

Teoría de la

medida deLebesgue

Optativas

EcuacionesDiferencialesOrdinarias

AnálisisNumérico

Área deAlgebra

AlgebraLineal I

Algebra LinealII

Teoría deGrupos yAnillos

Teoría deCampos

Teoría deGalois

Optativas

Área deGeometría

GeometríaEuclídea

GeometríaAnalítica

Geometríade CurvasySuperficies

Optativas

OtrasÁreas

MatemáticaDiscreta

Programación Topología


12/28

VI.- Estructura curricular por área de conocimiento: Matemática Aplicada

La estructura que se muestra a continuación, define la estructura de los cursos por áreade manera que cada fila determina la secuencia en que deben desarrollarse los cursos.

Por ejemplo en el área de Álgebra, el curso de Teoría de Grupos y Anillos, debe serdesarrollado en un semestre posterior a los cursos de Algebra Lineal I y Algebra Lineal II.Sin embargo los cursos que aparecen en una misma columna, no necesariamente deben

ser impartidos en un mismo semestre.

Áreas Sub-áreas Propuesta de cursos

Humanísticay Cultural20%

El número de cursos se define con base a los requisitos de cada país.

FormaciónBásica yEspecializada80%

Área deAnálisis

Cálculo enuna variableI

Cálculo enuna variableII

Cálculo envariasvariables

Análisis en Rn AnálisisNumérico

Optativas

EcuacionesDiferencialesOrdinarias

EcuacionesDiferencialesParciales

Optativas

Área deAlgebra

AlgebraLineal I

AlgebraLineal II

Teoría deGrupos yAnillos

Teoría deCampos

Optativas

Área deGeometría

GeometríaEuclídea

GeometríaAnalítica

Geometría deCurvas ySuperficies

Optativas

OtrasÁreas

MatemáticaDiscreta

ProbabilidadElemental

EstadísticaInferencial

Optimización Optativas


13/28

Tabla de Pre-requisitos:

Cursos Pre-requisitos

Matemática Discreta NingunoCálculo en una variable I Ninguno

Cálculo en una variable II Cálculo en una variable I, Matemática Discreta

Cálculo en varias variables Cálculo en una variable II, Algebra Lineal I

Análisis en Rn Cálculo en varias variables

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Algebra Lineal II, Análisis en Rn,

Análisis Numérico Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Algebra Lineal II

Ecuaciones Diferenciales Parciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Variable Compleja

Variable Compleja Análisis en Rn

Teoría de la medida de Lebesgue Análisis en Rn

Algebra Lineal I Ninguno

Algebra Lineal II Algebra Lineal I, Mate Discreta

Teoría de Grupos y Anillos Algebra Lineal II

Teoría de Campos Teoría de Grupos y Anillos

Teoría de Galois Teoría de Campos

Geometría EuclídeaNinguno

Geometría Analítica Geometría Euclídea, Algebra Lineal II

Geometría de Curvas y Superficies Geometría Analítica, Análisis en Rn

Topología Análisis en Rn

Probabilidad Elemental Cálculo en varias variables

Estadística Inferencial Probabilidad Elemental, Algebra Lineal II

Optimización Algebra lineal II, Análisis en Rn

VII. Orientaciones metodológicas:


14/28

Las orientaciones del proceso de enseñanza-aprendizaje hacen énfasis en el diseño deactividades y estrategias metodológicas que impulsen el diálogo y la participación entreestudiantes y profesores, la creación de condiciones que faciliten la realización deprácticas educativas con un fuerte componente de aplicación de conocimientos. Esteproceso requiere el desarrollo de conocimientos, destrezas y habilidades necesarias para

enfrentar situaciones cambiantes y complejas.

Así también, debe favorecer espacios de interacción intelectual y social, el estímulo en laadquisición y construcción de competencias para el trabajo en equipo, la resolución deproblemas, la incorporación de innovaciones, el desarrollo de la creatividad, lacomunicación oral y escrita, la planificación de actividades, el desarrollo de accionescooperativas entre otros.

El proceso de enseñanza-aprendizaje debe fundamentarse en la construcción de saberes:saber ser, saber hacer y saber conocer fundamentado en los conocimientos previos, laadquisición de conocimientos pertinentes y significativos, la resolución de problemas, elautoconocimiento, las metas personales, la disposición por aprender, el componenteafectivo y en la que el docente se convierta en un facilitador y mediador de acciones yprocesos.

Las estrategias de enseñanza-aprendizaje deben estar diseñadas para que orienten alestudiante hacia el aprendizaje crítico, autónomo y significativo. Las actividades

metodológicas deben considerar el contexto histórico en la que predomina la sociedad delconocimiento y la necesidad de aprender a aprender como pilares fundamentales en eldesempeño laboral y profesional con altos niveles de competitividad y de complejidadsocial, económica y política.

Criterios de evaluación:

Los procesos de evaluación proporcionan la información que permite determinar el

alcance de los fines y metas institucionales y por lo mismo se convierten en elcomplemento necesario en la implementación del plan de estudios. En la presentepropuesta, el proceso de evaluación debe contemplar la evaluación de diagnóstico,formativa y sumativa. Los respectivos normativos deben incluir modalidades deautoevaluación, coevaluación y heteroevaluación, promover los procesos de reflexión, elautoaprendizaje-interaprendizaje; además de la evaluación curricular e institucional.


15/28

La evaluación permite apreciar el logro de los estudiantes, la intervención docente yrealizar los ajustes de las programaciones y actividades académicas, así como tomardecisiones sobre las estrategias a seguir para el logro de los aprendizajes y objetivospropuestos. Puede ser efectuada mediante la aplicación de diversos instrumentosestandarizados tales como: pruebas, test prácticos, tablas de observación, seminarios,

evidencias, pasantías, criterios y normativos.

La utilización de los procesos de autoevaluación, coevaluación y heteroevaluacióncontribuyen a la construcción de un proyecto educativo en que todos enseñan y todosaprenden, por lo que la evaluación cuantitativa es insuficiente para los efectos depromover la calidad educativa. Se enfatiza, por lo tanto, en la utilización de instrumentosde evaluaciones plurales, multidireccionales y con capacidad para obtener informaciónsobre las competencias que debe construir y desarrollar el estudiante.


16/28

VIII.-Modalidades de los Trabajos finales de graduación

• Ejercicio Profesional Supervisado.• Examen privado.• Tesis.• Seminario de graduación.• Proyecto de graduación.• Ensayo.• Pasantía.• CUM Honorifico: Estudiantes sobresalientes que se les exime del requisito de trabajo

de graduación.

VII- Descripción (Temas-subtemas-bibliografía de referencia) delas asignaturas o cursos según las áreas y subáreas deformación básica

7.1-Area de Análisis

7.1.1.- Contenidos de los cursos de Cálculo en una variable I, Cálculo en unavariable II, Cálculo en varias variables, Análisis en Rn

1. Los Números Reales: Axiomas de campo, axiomas de orden, axioma del extremosuperior, densidad de los números racionales.

2. Límites y Continuidad en R: Límites de funciones y sus propiedades. Continuidad(propiedades básicas, propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados:el Teorema de Bolzano y de Valores intermedios en R.

3. Funciones derivables en R: Derivación (definición, derivadas de sumas, productosy cocientes, regla de la cadena), Derivada de la función inversa. Teorema del valormedio y sus consecuencias, Teorema de Darboux. Regla de L'Hopital, Teorema deTaylor y desarrolloslimitados.

4. Series y sucesiones numéricas: Convergencia de sucesiones en R, Series

numéricas ( convergencia condicional, series alternadas), los criterios de la raíz ydel cociente, rearreglos de series de términos positivos.

5. La Integral de Riemann: Definición y existencia de la integral. Propiedades de laintegral El teorema fundamental del Cálculo.

6. Sucesiones de Funciones: Convergencia puntual, Convergencia uniforme:condiciones suficientes, limite uniforme de funciones continuas. Convergenciauniforme y la integral de Riemann. Convergencia uniforme y derivabilidad. Lacondición de Cauchy, su relación con la integral de Riemann(el Teorema de


17/28

Convergencia Uniforme). Series de potencias y sus propiedades. Series de Taylorde una función.

7. Funciones Diferenciables en Rn:Derivadas parciales. El diferencial de una funciónen Rn, Propiedades de funciones diferenciables en Rn, condiciones suficientespara diferenciabilidad. El teorema de la función implícita. El teorema de la función

inversa. Extremos de funciones de varias variables y su caracterización.8. Elementos de Topología en Rn y en Espacios Métricos: Conjuntos abiertos ycerrados en Rn. La estructura de los conjuntos abiertos en Rn. Conjuntos cerrados:definición y su relación con los puntos de acumulación. El Teorema de Bolzano-Weierstrass sobre El Teorema de Intersección de Cantor. El Teorema derecubrimiento de Lindelof. Compacidad en Rn: Definición y el teorema deHeineBorel Conexidad en Rn y su relación con arcoconexidad.

Bibliografía:• Principios de Análisis Matemático, Walter Rudin, McGraw-Hill, Méxiico, 1980.• Análisis Matemático, Tom M. Apostol, Revert Barcelona, 1993.• Introducción al Análisis Matemático, Robert Bartle, México :Limusa, 1980.

7.1.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1. Introducción: Origen y necesidad de la ecuaciones diferenciales.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Problemas de valor inicial. Existencia y

unicidad de la solución. Métodos para determinar soluciones ( Ecuacionesdiferenciales de variables separables, Ecuaciones diferenciales lineales,Sustituciones, Ecuaciones diferenciales exactas y algunas aplicaciones)

3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior: Problema de valor inicial

(definición, existencia y unicidad de la solución). Principio de superposición.Conjunto fundamental de soluciones (independencia lineal: Wronskiano) y solucióngeneral. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundoorden con coeficientes constantes. Generalizar la técnica aplicada a coeficientesconstantes para ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior. Ecuacionesdiferenciales ordinarias lineal no homogénea con coeficientes constantes y susolución general (solución de homogénea asociada y solución particular),coeficientes indeterminados y variación de parámetros, Transformada de Laplace(TL): Definición y condiciones para la existencia, propiedades. Transformadainversa de Laplace.

4. Soluciones de EDOS en Forma de Series de Potencia: Método de Taylor paraaproximar soluciones de PVI. Soluciones de EDO alrededor de puntos ordinarios.

Soluciones alrededor de puntos singulares regulares (Método de Frobenius: trescasos).5. Sistemas de EDOS Lineales de Primer Orden: Forma matricial de PVI

homogéneos y no homogéneo. Solución general de sistemas no homogéneos.6. Teorema de existencia y unicidad. Método de aproximaciones sucesivas. Teorema

de existencia y unicidad. Condición de Lipschitz. Convergencia de la solución.Existencia de la solución. Unicidad de la solución. Alteración de la función.Alteración de las condiciones iniciales.

7. Fundamentos de la Teoría de Estabilidad.


18/28

Libros de referencia

• C. H. Edwards, David Emory Penney( 1994). Ecuaciones diferenciales elementalesy problemas con condiciones en la frontera. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

• Dennis G. Zill (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones demodelado.CengageLearning Editores.

• Garrett Birkhoff (1989). Ordinary Differential Equations. Wiley, 4nd Ed.• Morris W. Hirsch, Robert L. Devaney, Stephen Smale (1974). Differential

Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. AcademicPress.• Vladimir IgorevičArnolʹd (1992). Ordinary Differential Equations. Springer.• M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems and

Introduction to Chaos. 2004. Edit. ELSEVIER

7.1.3 Variable Compleja I

1. Los Números Complejos: Operaciones aritméticas, módulo, conjugación.Representación geométrica: coordenadas cartesianas y polares. Raíces denúmeros complejos, fórmulas de Moivre.

2. Funciones Analíticas en C: Introducción a las funciones analíticas: Definicionesbásicas, Ecuaciones de Cauchy - Riemann, condiciones suficientes paraanalíticidad, conjugadas armónicas. Polinomios y funciones racionales en C. Las

funciones complejas: exponencial, logarítmica, trigonométricas, potenciación.3. Integrales de Línea, el Teorema de Cauchy y Aplicaciones: Integrales de línea de

funciones continuas de variable compleja. El teorema de Green, La formulaintegral de Cauchy para funciones suave a trozos. El teorema de Liouville y elprincipio del módulo máximo. Series de Taylor y Laurent, clasificación desingularidades removibles y polos. El Teorema del Residuo y evaluación deintegrales reales definidas, evaluación de integrales impropias, integrales conpolos en el eje real.

4. Funciones Conformes: Conformalidad de funciones analíticas. Transformacionesfracciónales lineales, y el principio de simetría. Transformación de condiciones decontorno.


-Variable Compleja y Aplicaciones, R.V. Churchill, McGraw-Hill, México, 1992-Complex Analysis. J. M. Howie. Springer-Verlag 2003

7.1.4 Teoría de la Medida de Lebesgue

1. Repaso de la integral de Riemann-Stieltjes.


19/28

2. La medida de Lebesgue: La medida externa de Lebesgue. Conjuntos Lebesguemedibles. Propiedades de la medida de Lebesgue.

3. Funciones Lebesgue Medibles: Propiedades de las funciones medibles. Teoremade Egorov. Teorema de Luisin. Convergencia en medida.

4. La Integral de Lebesgue: Definición de la integral de funciones positivas y suspropiedades. Lema de Fatou. Teoremas de Convergencia Monótona. La integral

de funciones medibles. Teorema de Convergencia Dominada.5. La Integral de Lebesgue en Rn: Los teoremas de Tonelli y Fubini.6. Funciones de variación acotadas y absolutamente continuas: El teorema de

diferenciación de Lebesgue. El Lema de Vitali. Diferenciación de funcionesmonótonas. Caracterización de funciones absolutamente continuas.

7. Espacios Lp: Las desigualdasdes de Holder y Minkowski. Completitud yseparabilidad de los espacios Lp. El espacio L2 y su estructura como espacio deHilbert. Convoluciones. Aproximaciones a la identidad. Series de Fourier.

Libros de referencia• Lieb E.H. y Loss M., Analysis. Graduate Studies in Mathematics AMS, 2001.• Wheeden R. y Zygmund A., Measure and Integral. Marcel Dekker, 1977.

• Bartle, Robert, A modern Theory of Integration, AMS, 2001.

7.1.5 AnálisisNumérico

1. Introducción a la Teoría del Error.2. Solución de Sistemas y Ecuaciones No Lineales: Método de Bisección, Método de

la Falsa Posición, Método de la Secante, Método de Newton-Raphson, Método dePunto Fijo, Método de Newton Raphson Generalizado.

3. Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales: Método de Gauss-Jordan,Método de Pivoteo.

4. Interpolación y Ajustes de Curvas: Método de Newton de Diferencias Divididas,Método de Lagrange, Método de Interpolación por partes (Splines), Método deMínimos Cuadrados y su generalización.

5. Derivación Numérica: Método de Newton con 3 y 5 puntos, Diferenciación deOrden Superior.

6. Integración Numérica: Métodos de cuadraturas, Métodos de Simpson, Cuadraturade Gauss.

7. Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: a) Problemas de valorincial: Método de Euler, Método de RungeKutta y Generalización de lasEcuaciones Diferenciales de Orden Superior. b) Problemas de valores de frontera:Método de Diferencias Finitas.


• Burden. R. &Faires, J.D. ( 2001). Análisis Numérico. International ThomsonEditores, S. A. de C. V., México.

• Chapra, S. &Canale R. (2010). Numerical Methods for Engineers. SixthEdition.McGraw-Hill HigherEducation.

• Süli, E. & Mayers, D. F. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. CambridgeUniversityPress.


20/28

7.1.6 Ecuaciones Diferenciales Parciales

1. Nociones Básicas.

2. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) de Primer Orden: Solución alproblema de valor inicial lineal. Solución al problema no homogéneo. Existencia yunicidad local de ecuaciones quasi-lineales. Algunas aplicaciones.

3. EDPs de Segundo Orden: Clasificación. Reducción a la forma canónica.Ecuaciones de Laplace: derivación de la ecuación, la solución fundamental,fórmulas de valor medio, propiedades de funciones armónicas, funciones deGreen, métodos de energía, métodos de separación de variables (Series deFourier). La ecuación de difusión: derivación de la ecuación, la soluciónfundamental, fórmulas del valor medio, propiedades de soluciones, núcleos decalor, métodos de energía, representación de soluciones mediante funcionespropias, métodos de separación de variables, métodos aplicando operadoresintegrales (Laplace y Fourier). La ecuación de la onda: solución de d’Alembert,

solución con promedios esféricos, ecuación no homogénea, métodos de energía,separación de variables, soluciones mediante series de Fourier.


• A.P.S. Selvadurai (2000). Partial Differential Equations in Mechanics 1:Fundamentals, Laplace's Equation, Diffusion Equation, Wave Equation. Springer.

• G. B. Folland (1995). Introduction to Partial Differential Equations. PrincetonUniversityPress.

• Lawrence C. Evans (1989). Partial differential equations. Volumen 19 de GraduateStudies in Mathematics Series.American Mathematical Soc.

• TynMyint U., Lokenath. Debnath (2007). Linear partial differential equations for

scientists and engineers. Springer.• Walter A. Strauss (1992). Partial differential equations: an introduction. JohnWiley&Sons, Incorporated.

7.2 Area de Algebra

7.2.1 Contenidos de Algebra Lineal 1 y Algebra Lineal 2

A) Matrices y Determinantes 1. Concepto de matriz.2. Tipos de matrices

3. Álgebra de matrices4. Operaciones elementales de filas.5. Inversa de una matriz6. Determinante de una matriz cuadrada7. Propiedades de los determinantes8. Inversa de una matriz por determinantes.

B) Sistemas de Ecuaciones Lineales1. Concepto de sistemas de ecuaciones lineales.


21/28

2. Clasificación según el número de soluciones3. Sistemas de ecuaciones y matrices.

4. Métodos de solución (Gauss, Gauss-Jordan, Inversa de una matriz y Regla deCramer).

5. Aplicaciones.

C) Espacios Vectoriales:1. Estructura de Espacio vectorial2. Subespacios., Subespacio generado.3. Operaciones con espacios vectoriales..4. Dependencia eIndependencia lineal.5. Bases y dimensión., Cambios de base.

D) Transformaciones Lineales1. Concepto de transformación lineal2. Núcleo e imagen de transformaciones lineales.Teorema de la dimensión.3. Operaciones con transformaciones lineales.4. Matriz asociada a una transformación lineal

5. Cambio de bases.6. Transformaciones geométricas. Isométricas. Afinidades Semejanzas7. Espacio cociente.8. Funcionales lineales9. El espacio dual y elbidual

E) Espacios con Producto interno1. Concepto de producto interno. Teoremas.2. Vectores ortogonales yortonormales.3. Complemento ortogonal.4. Conjuntos ortonormales.5. Bases ortonormales.Proyección ortogonal.Proceso de Gram-Schmidt.

6. Operadores ortogonales.7. Funcionales lineales teorema de representación de Riesz.

F) Valores Propios y Vectores Propios 1. Concepto de valor propio y vector propio2. Polinomio característico y polinomio mínimo3. Diagonalización de operadores lineales y matrices.4. Teorema de Hamilton-Cayley

G) Formas Racionales y Formas de Jordán1. Formas triangulares.

- Definición- Ejemplos.2. Subespacios Invariantes

- Definición- Ejemplos- Teorema de descomposición primaria- Diagonalización de matrices.- Operadores nilpotentes

3. Formas canónicas de Jordan y racionales


22/28

- Concepto.- Subespacio cíclico.- Teorema de los divisores elementales.- Matriz compañera.- Matrices semejantes.

H) Formas Bilineales y Formas cuadráticas1. Formas bilineales- Concepto- Formas bilineales alternas- Espacio de las formas bilineales- Formas bilineales simétricas.

2. Formas cuadráticas.3. Identidad de polarización4. Ley de inercia (teorema de Sylvester.5. Formas definidas positivas y negativas.5. Formas hermíticas.6. Geometría de las formas cuadráticas.

- Cuádricas.- Cónicas.- Cuádricas como superficies.

- Espacio conjugado.


1. Anton, Howard ,Introducción al álgebra lineal .-- 4a.ed.-- México : Limusa, 2008.2. De Burgos, Juan. Álgebra Lineal. McGraw-Hill. México. 1993.3. SergeLang. Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano.4. Paul Halmos. Espacios vectoriales finito-dimensionales. Compañía Editorial

Continental, S.A.5. Hoffman y Kunze. Álgebra Lineal. Editorial Prentice Hall Internacional.6. Linear Algebra: v. 23 (Graduate Texts in Mathematics) [Tapa Dura]

Werner Greub (Autor)7. Linear Algebra Georgi E. Shilov (Author)

7.2.2 Teoría de Grupos, Anillos y Campos

A) Grupos 1. Grupos y subgrupos.2. Morfismos de grupos.3. Subgrupos normales.

4. Grupos cocientes.5. Normalizador y centralizador.6. Orden de un grupo.7. Orden de un elemento.8. El Teorema de Lagrange.

B) Grupos cíclicos.1. Grupos cíclicos.


23/28

2. Caracterización de los grupos cíclicos.C) Estructura de los grupos finitos.

1. Grupo simétrico.2. Grupo alternante.3. Teorema de Cayley.

D) Teoremas de Sylow 1. Acción de un grupo sobre un conjunto.2. Fórmula de clases.3. Teoremas de Sylow.

E) Anillos.1. Definición.2. Ejemplos y propiedades.3. Característica de un anillo.4. Elementos distinguidos en un anillo.4.1 Elemento unidad.4.2 Divisor de cero.

4.3 Elemento simplificable.5. Dominio de integridad.6. Cuerpo.7. Subanillos.8. Morfismos de anillos.

F) Ideales y anillos cocientes 1. Ideales.1.1 Definición y Ejemplos.2. Anillo cociente.3. Operaciones con ideales.

3.1 Intersección.

3.2 Adición.3.3 Multiplicación.4. Subanillos e ideales generados.5. Ideales principales6. Teoremas de isomorfísmos.

G) Tipos de ideales.1. Ideal maximal.2. Ideal primo.3. Ideal nilpotente.

H) Cuerpo de cocientes de un dominio de integridad.1. Construcción del cuerpo de cociente.

2. Unicidad del cuerpo de cociente.I) Anillo de polinomios 1. Polinomios a una indeterminada.2. Funciones polinomiales.3. Raíz o cero de un polinomio.4. Teorema fundamental del _Algebra.5. Polinomios irreducibles.6. Criterios de irreducibilidad.7. Anillos euclidianos.


24/28

7.1 Definición de anillos euclidianos.7.2 Ejemplos de anillos euclidianos.7.3 Anillos de factorización única.7.4 Anillos de ideales principales.

J) Extensiones de cuerpos.1. Definición y ejemplos de extensiones de cuerpos.2. Extensiones simples.3. Extensiones algebraicas.4. Cuerpo de descomposición de un polinomio.5. Clausura algebraica de un cuerpo.6. Extensiones normales.7. Separabilidad y extensiones separables8. Independencia Algebraica y Bases de Trascendencia


I.N. Herstein. Topics in Algebra.2da. edición. John Wiley&Sons, Inc.[1] J. B. Fraleigh. Algebra Abstracta . Addison-Wesley.[2] 4. Zaldivar, F. Introducción a la Teoría de Grupos. Reverté. 2006.[3] 5. Mutafian, C. Algebra I: Generalidades y Grupos. Continental. 1979.

7.3 Área de Geometría

7.3.1 Geometría Euclidea y AnalíticaPrincipios de Geometría Euclidiana: Construcciones con regla y compás. Axiomas ypostulados para el plano euclidiano.Rectas paralelas. Triángulos: congruencia,semejanza. Concurrencia y colinearidad,puntos especiales de un triángulo. Círculos,

cuerdas y tangentes. Círculos asociados conun triángulo.Sistemas de Coordenadas en Geometría: Coordenadas cartesianas, ecuaciones de rectasy círculos, representación de triánguloscon coordenadas. Resolución de problemasgeométricos por métodos analíticos.Transformaciones del plano euclidiano.Geometría Inversiva y Proyectiva: Inversión en un círculo, círculos ortogonales. Razóndoble y su invariancia bajoinversión. Polos y polares respecto de un círculo. Elementos degeometría proyectiva,razón armónica. Puntos en el infinito, los planos inversivo yproyectivo.Geometría Euclidiana Tridimensional: Rectas y planos en el espacio. Tetraedros y suspuntos y rectas especiales. Volúmenesde poliedros, el principio de Cavalieri. Poliedrosregulares y semiregulares, suenumeración y clasificación.

Bibliografía:1. H. S. M. Coxeter, Introducción a la Geometría, Limusa-Wiley, M´exico, 1971.2 H. S. M. Coxeter y S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, Washington, DC,1967.

7.3.2 Geometria de Curvas y SuperficiesCurvas en el espacio: Gráficas y curvas de nivel, Campos vectoriales, Espacio tangente,El mapeo de Gauss, Curvatura de curvas planas, Longitud de arco e integral de línea.


25/28


26/28

- Topolog". :.' Mun;res. dit %rentice/1all


27/28

Bibliografía.CONOVER, W.J. (1971). Practical Nonparametric Statistics. Ed. John. Wiley &

Sons.Inc.GIBBONS, JEAN DICKINSON (1992). Nonparametric Statistical Inference. Ed.

Marcel Dekker, Inc.

SPRENT, P. and SMEETON, N.C. (2001).Applied Nonparametric StatisticalMethods.Ed. CHAPMAN&HALL.- CASELLA, GEORGE and BERGER, ROGER (1990). Statistical Inference. Wadswrt!, Inc.

7.4.5.Optimización

UNIDAD 1: Optimización en R n.1.1. Problemas de optimización, ejemplos.1.2. Objetivos de la optimización.

1.3. Existencia de soluciones.1.4. Teorema de Weierstrass.

UNIDAD 2: Optimización lineal .2.1. Exposición general.2.2. Problemas de programación lineal.2.3. Propiedades y generación de soluciones.

UNIDAD 3: Método simplex .3.1. Desarrollo de una solución posible mínima.3.2. Algoritmo simplex, base artificial.3.3. Variables de holgura.3.4. Interpretación geométrica.

UNIDAD 4: Variantes y aplicaciones 4.1. Método simplex revisado.4.2. Dualidad en programación lineal.4.3. Interpretación económica.

UNIDAD 5: Conceptos avanzados de programación lineal .5.1 Características de las funciones objetivo y restricciones.5.2 Propiedades de conjuntos convexos.5.3 Selección de la base lineal.5.4 Algoritmo simplex revisado.5.5 Dualidad.

UNIDAD 6: Programación no lineal. 6.1 Programación convexa y cóncava.6.2 Linealización.6.3 Método de direcciones factibles.6.4 Programación geométrica.6.5 Comparación de técnicas de programación no lineal.


28/28


[1] Saúl I. Gass. Programación Lineal . CECSA.[2] Rangarajan K. Sundaram. A First Course in Optimization Theory . Cambridge

University Press.

[3] Gottfied y Weismann. Introducción a la teoría de la optimización. Prentice Hall.

ANEXO 21 - Licenciatura en Matemática Pura y Aplicada-Abril-2014-Email

Documents

Transcript of ANEXO 21 - Licenciatura en Matemática Pura y Aplicada-Abril-2014-Email