Anexo i. Sol Blasius

7/24/2019 Anexo i. Sol Blasius

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Anexo I.- Desarrollo y clculo del modelo

analtico.

1.1.- Alcance del Anexo.En este anexo se desarrollara el modelo analtico de capa limite laminar utilizado como

referencia para la comparacin con nuestras soluciones numricas. Adems se expondr la

resolucin de las mismas ecuaciones para nuestros casos particulares y las decisiones tomadas.

Prcticamente la totalidad de dicha resolucin se ha efectuado mediante el programa

matemtico MATLAB, en el que se ha implementado un cdigo. Este cdigo se reflejara

prcticamente integro al final del anexo, y explicado por partes en cada apartado

correspondiente.

1.2.- Flujo laminar sobre placa plana.Para el problema de flujo laminar sobre placa plana empezaremos por considerar las siguientes

hiptesis:

- Flujo estacionario

- Flujo incompresible

- Propiedades del fluido constantes

- Efecto de la viscosidad despreciable

- No existe gradiente de presiones a lo largo de la placa.

Por tanto, tras asumir dichos puntos, las ecuaciones de la capa limite quedan reducidas a:

Continuidad

Cantidad de movimiento:

Energa:

Especies:

Debemos notar a partir de estas 4 ecuaciones que el problema Hidrodinmico est desligado de

la temperatura y de la concentracin de especies, por tanto, competer tan solamente a la

ecuacin 1 y 2.


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1.2.1.- Problema hidrodinmico.

Para la resolucin de dicho problema utilizaremos el mtodo de Blausius como se ha definido

en la memoria.

El primer paso ser definir la funcin de flujo

:

Por tanto, con esto cumpliremos la ecuacin de continuidad (1). Definimos dos nuevas

variables, una dependiente y otra independiente:

La definicin de estas dos nuevas variables nos permitir pasar en la ecuacin de cantidad de

movimiento, de una ecuacin con derivadas parciales a una ecuacin con derivadas ordinarias.

La solucin de Blausius es determinada como una solucin de semejanza, y como unavariable de semejanza. Se utiliza esta terminologa porque, a pesar del crecimiento de la capa

limite en funcin de nuestra posicin en la placa, el perfil de velocidad permanecegeomtricamente semejante. Esta semejanza es de la forma: Donde es el espesor de la capa limite. Descubriremos de la solucin de Blausius que elespesor vara como

, por tanto:

As, el perfil de velocidades vendr nicamente determinado por la variable de semejanza lacual depende de x e y:

y

( )

Ahora se deriva los componentes de la velocidad:


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Si estas tres ltimas derivadas las sustituimos en la ecuacin de conservacin de la cantidad de

movimiento obtenemos:

De esta manera, el problema de capa limite hidrodinmica se ve reducido a un problema no

lineal con derivadas ordinarias de tercer orden. Las condiciones de contorno para este problema

sern: O bien: | | Estas ecuaciones sern resueltas por integracin numrica como se mostrar en el captulo 1.3.

1.2.2.- Problema trmico.

As, una vez que resolvamos dicho problema, podremos resolver el trmico ya que este s es

dependiente de las velocidades halladas en el hidrodinmico.

Una vez tenemos conocido el perfil de velocidades de la capa limite hidrodinmica

resolveremos ahora la ecuacin de la energa.

Comenzamos con la introduccin del concepto de temperatura adimensional y asumiendo que la solucin ser del tipo .Sustituyendo en la ecuacin de la energa obtenemos: Debe notarse la dependencia que tiene la solucin trmica con la solucin hidrodinmica

mediante la aparicin de la variable f en la ecuacin. Las condiciones de contorno pertinentes

sern:


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De nuevo, resolveremos la ecuacin previa por integracin numrica para un Prandtl

determinado.

|

1.3.- Resolucin numrica.

En este captulo daremos resolucin numrica a los problemas anteriormente planteados ya que

estos sern necesarios para la comparacin con los resultados obtenidos mediante el programa

de CFD.

Dicha resolucin se ha implementado mediante la herramienta informtica MATLAB. En

primer lugar debemos mencionar que ambos problemas estn compuestos por ecuaciones

diferenciales, las cuales integraremos numricamente mediante un mtodo de Newton-Prince

mejorado. Este ya se encuentra implementado como funcin en MATLAB como ode45.

La principal contrariedad que se nos plantea con esta resolucin es que dicha funcin solo

trabaja con derivadas de primer orden, siendo las nuestras de segundo y tercero:

No obstante realizaremos el siguiente artificio para poder llevar a cabo la implementacin de

dicha ecuacin.

Esto consiste simplemente en transformar la ecuacin de tercer orden a tres ecuaciones de

primer orden de la manera mostrada en el cdigo:

functiondf = BlasiusFunc(eta,f)

% f() es el vector de f y sus derivadas f = f(1) f' = f(2) f" = f(3)

df = zeros(3,1);

% df() son las derivadas de f()

df(1) = f(2);df(2) = f(3);

df(3) = -f(1)*f(3)/2;

A su vez, esta ser la funcin que implementaremos en ode45.

Para el caso trmico se har de manera anloga, pero al depender del hidrodinmico se

conservara la primera parte de la funcin y por consiguiente la nomenclatura no ser muy

adecuada. Esto queda subsanado por las anotaciones en el propio cdigo.

functiondf = BlasiusFunc(eta,f)% f() es el vector de f y sus derivadas: f = f(1) f' = f(2) f" = f(3)

df = zeros(3,1);


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% df() son las derivadas de f()

df(1) = f(2);

df(2) = f(3);

df(3) = -f(1)*f(3)/2;

%Definimos el Prandlt para nuestro caso particular

Pr=1006.43*0.002/1;%Subsanacion de la nomenclatura%df(4)=dT(1)=T*%df(5)=dT(2)=dT*/dy% dT(1)=T(2);% dT(2)=-(Pr/2)*f(1)*T(2);%f(4)=T(1)df(4)=f(5);df(5)=-(Pr/2)*f(1)*f(5);

Debemos remarcar que ahora que nuestros problemas se han visto reducidos a 3 y 2 ecuaciones

de primer orden respectivamente, debemos transformar tambin las condiciones de contorno deambos problemas para adecuarlos a la propia funcin ode45.

En primer lugar, para el problema hidrodinmico, debemos transformar la condicin de

contorno , en la condicin inicial de y(3). Para ello generamos el siguiente cdigomatlab en el que se representar todo el rango de puntos equivalentes entre estas dos variables y

elegiremos el necesario (resolucin inversa).

fori=1:4000 q(i)=i/4000;[t,x]=ode45(@BlasiusFunc, [0,10],[0 0 q(i)]); %q(i) ser la condicin a establecer.

r(i)=x(length(x),2); %La segunda derivada es la velocidad adimensional.

end;figure(1);

plot(q,r);grid;xlabel('Cond. Iniciales de y(3) equivalentes');ylabel('Valores de T(inf)');


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Una vez determinada esta transformacin de la condicin de contorno, estaremos en disposicin

de determinar tambin la necesaria para el caso trmico ( en la condicin inicial dey(5) segn se defini la funcin previamente). Por tanto, seguiremos unos pasos anlogos a los

anteriores para determinar esta:

fori=1:4000 q(i)=i/4000;[t,x]=ode45(@BlasiusFunc, [0,10],[0 0 0.3322 0 q(i)]); %q(i) ser la condicin a establecer.r(i)=x(length(x),4); %Temp estabilizadaend;figure(1);

plot(q,r);grid;xlabel('Cond. Iniciales de y(3) equivalentes');ylabel('Valores de T(inf)');

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

X: 0.3322

Y: 1

Cond. Iniciales de y(3) equivalentes

Valores

de

u(inf)


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Por tanto ahora ya tenemos determinada completamente ambos problemas de forma analtica de

los cuales se muestran a continuacin unas grficas de los mismos.

1.4.- Postratamiento de datos.El paso siguiente a la obtencin de soluciones para los modelos analticos y teniendo comodatos los puntos experimentales a contrastar es el postratamiento de estos. Para ello se

continuar con la herramienta MATLAB.

1.4.1.- Implementacin de datos CFD.La metodologa seguida para la implementacin de los datos obtenidos por CFD se describir a

continuacin.

En primer lugar, las soluciones se han exportado a formato Excel en forma de tablas

[Velocidad/Temperatura; Posicin eje coordenadas]. Para la implementacin de estos datos en

MATLAB seguiremos las siguientes tcticas en aras de crear un patrn general que facilite el

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

15

20

25

df/dy (m/s)

eta

Perfil de velocidades analitico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

5

10

15

20

25

T* (adim)

eta

Perfil de temperaturas analitico para Pr=2.3


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tratamiento de datos. Se definen funciones como las que siguen a continuacin, en las que los

valores se introducen como vectores y matrices y son llamados desde el programa principal.

De esta manera evitamos sobrecargas en el programa principal ya que este no contiene

directamente todos los valores, y adems lo dota de mayor versatilidad al poder llamar a

diferentes valores en cualquier momento.

function[u,y]=disflu_A_I% 1,2,3 son el numero de muestras, u e y son sus componentes en la malla.u(1,:)=[]';u(2,:)=[]';u(3,:)=[]';y(1,:)=[]';y(2,:)=[]';y(3,:)=[]';

Para el caso trmico seria de forma anloga:

function[u,y,T,yT]=disflu_A_I% 1,2,3 son el numero de muestras, u e y son sus componentes en la malla.u(1,:)=[]';u(2,:)=[]';u(3,:)=[]';y(1,:)=[]';y(2,:)=[]';y(3,:)=[]';T(1,:)=[]';T(2,:)=[]';T(3,:)=[]';

yT(1,:)=[]';yT(2,:)=[]';yT(3,:)=[]';

1.4.2.- Contraste entre soluciones.A lo largo de todo el desarrollo de la metodologa de obtencin de la malla se requieren

diferentes comparaciones entre soluciones (ver convergencia, errores relativos, etc.).

Esto se har principalmente de dos maneras. La primera se trata de jugar simplemente con la

funcin plot, con lo que no entraremos en ms detalle.

Sin embargo, existe un segundo mtodo orientado a las Graficas de 45 en las que el nmero

de elementos a comparar en el eje X e Y deben tener en comn el valor de Y en la malla.

Debido a la heterogeneidad que tenemos entre el nmero de nodos entre las diferentes mallas

esto no sera posible salvo por la solucin propuesta.

Procederemos as a realizar una interpolacin con las valores dato para obtener un nuevo

vector de velocidades o temperaturas en funcin de las Ys convenientes.


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Se ha credo conveniente emplear la funcin interp1 en modo Spline como se muestra en el

cdigo a continuacin.

%siendo k, el nmero de la muestra, e y el nuevo vector de elementos de yque nos interesa

x1=interp1(Yexp(k,:),Uexp(k,:),y,'spline');x2=interp1(YexpII(k,:),UexpII(k,:),y,'spline');

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