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ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Una mayor información, puede ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve

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Resumen sobre Temas de Estadística: Cálculo de Probabilidades Profesor: Angel Francisco Arvelo L. I. Definiciones Básicas I.1-Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Cuando cada uno de los elementos del espacio muestral tiene idéntica oportunidad de ocurrir, se dice que el espacio es equiprobable . I.2 - Evento o Suceso : Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Sucesos elementales son aquellos que tienen un solo elemento. Sucesos excluyentes son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente, y en consecuencia su intersección es vacía, es decir: A y B son excluyentes ⇔ A∩B = Ø 1.3- Algebra de eventos: Entre los eventos, se puede definir un álgebra, para designar otros eventos, entre los cuales los más importantes son: AUB Representa la ocurrencia de por lo menos uno de los dos. A ∩ B Representa la ocurrencia de los dos eventos simultáneamente. Ac Representa la no ocurrencia del evento . Ac ∩ Bc Representa la no ocurrencia de ninguno de los dos eventos. A - B = A ∩ Bc Representa la ocurrencia del evento "A" solamente (A - B) U (B -A) Representa la ocurrencia solo uno de los eventos. 1.4 Axiomas del cálculo de probabilidades

• La probabilidad del espacio muestral es igual a 1; P(Ω) = 1 • P(A) ≥ 0 , para cualquier evento “A” • Si “A” y “B” son eventos excluyentes: P(AUB) = P(A) + P(B)

De los axiomas anteriores se puede demostrar que la probabilidad de cualquier evento “A” es siempre un número real comprendido en el intervalo cerrado [ 0, 1] , es decir 0 ≤ P(A) ≤ 1 , para cualquier evento “A” II. Fórmulas Básicas para el Cálculo de Probabilidades . II.1 Probabilidad por Conteo: Esta fórmula se aplica cuando es posible contar todos los elementos del espacio muestral, y todos los elementos que pertenecen al evento cuya probabilidad se pretende calcular. Se exige que el espacio muestral sea equiprobable .

Ejemplos para resolver en clase: Ejemplo 1 : Al lanzar dos dados . a) ¿ Cual es la probabilidad de obtener una suma igual a 9 ? . b) ¿ Cual es la probabilidad de que los dos números obtenidos sean pares ? . c) ¿ Cual es la probabilidad de que salga algún 6 ? .


Solución : El espacio muestral es equiprobable sólo si se hace distinción entre los dados. De no hacerla aquellos resultados con dos números diferentes estarían en ventaja con los que tienen el mismo numero repetido. En consecuencia, el espacio equiprobable estaría definido por todos los puntos (x ;y) donde x= 1,2,3,4,5,6 ; y = 1,2,3,4,5,6. Este espacio tiene 36 puntos. El evento “Suma 9 “ tiene 4 puntos : (3,6) (4,5) (5,4) y (6,3) Por tanto su probabilidad es 4 / 36 = 1 / 9 El evento “Obtener dos números Pares” da cuando x=2,4 ó 6 ,y = 2,4 ó 6 , es decir de 3 x 3 = 9 maneras. Su probabilidad es entonces : 9 / 36 = 1 / 4. El evento “Sacar algún 6” tiene 11 puntos a su favor y su probabilidad es 11/ 36 II.2 Fórmula de la unión : Esta fórmula se aplica cuando se tienen varios eventos, y se quiere calcular la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos. Regla de adición para eventos excluyentes: P(AUB) = P(A) + P(B) Regla de adición para eventos no excluyentes: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Ejemplo para resolver en clase: Ejemplo 2 : El 6% de las piezas producidas por una cierta máquina presentan el defecto "A" por lo menos , el 4% el defecto "B" por lo menos, y el 2% ambos defectos . Si se selecciona al azar una pieza, calcule las siguientes probabilidades: a) Que presente algún defecto . b) Que presente solo un defecto . c) Que no presente defectos. Solución: Se tiene P(A) = 0,06 , P(B) = 0,04 , P(A∩B) = 0,02 Presentar algún defecto es el evento AUB , en consecuencia: P(AUB ) = 0,06 + 0,04 – 0,02 = 0,08 Presentar solo un defecto es el evento (A - B) U (B -A) = AUB – A ∩ B , y por tanto su probabilidad es : 0,08 – 0,02 = 0,06 No presentar defectos es el evento Ac ∩ Bc = (AUB)c , y su probabilidad es

1- P(AUB) = 1 – 0,08 = 0,92 Esta fórmula de la unión puede ser generalizada para más de dos eventos. Para el caso de tres , la fórmula establece: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) Su demostración se deja al estudiante, y es muy fácil de obtener aplicando la formula de la unión de dos a los eventos AUB y C II.3 Fórmula del Complemento : Esta fórmula se utiliza cuando resulta más sencillo calcular la probabilidad de que no ocurra el evento, que calcular la de que ocurra . P(A) = 1 - P (Ac) Al aplicar esta fórmula hay que identificar cual es el complemento del evento y evaluar cual resulta más sencillo de calcular, la del evento o la de su complemento.


Algunos complementos importantes son: EVENTO COMPLEMENTO

Al menos uno o Por lo menos uno Ninguno A lo sumo x veces o No más de x veces Mas de x veces Por lo menos x veces ó, x veces o mas Menos de x veces

Fracaso todas las veces Al menos un éxito Como mínimo x éxitos A lo sumo (x-1) éxitos

Ejemplo 3: En un grupo de 6 personas hay dos que son amigos. Si estas 6 personas son acomodadas al azar en una fila de 6 sillas, ¿ cuál es la probabilidad de que los dos amigos queden separados ?. Solución Las formas como 6 personas pueden sentarse en 6 sillas es 6! = 720 El complemento de quedar separados es quedar juntos. Resulta más sencillo calcular las formas como los amigos pueden quedar juntos, pues podríamos considerarlos a ellos dos como un bloque que conjuntamente con las otras 4 personas harían un total de 5 unidades a permutar. Tomando en cuenta además, que los amigos dentro del bloque pudieran permutarse de 2 formas, tendríamos que las formas de quedar juntos es entonces 2 (5! ) = 240 , y la probabilidad de quedar separados 1 – 240/ 720 = 2/3 II.4 Fórmula de la Probabilidad Condicional : Se define como probabilidad de un evento "B" condicionada a otro evento "A" , a la probabilidad de que ocurra el evento "B" , dando como cierto que ocurrió el evento "A" .

Ejemplo 4: En una asignatura, el 10% fue reprobado únicamente en el primer parcial, el 8% fue reprobado únicamente en el segundo parcial, y el 5% en ambos parciales . Calcular las siguientes probabilidades: a) Un estudiante que aprobó el primer parcial, haya sido reprobado en el segundo. b) Un estudiante reprobado en el primer parcial haya sido reprobado en el segundo parcial . c) Un estudiante reprobado en el segundo parcial haya sido reprobado en el primer parcial . d) Un estudiante que haya aprobado algún parcial haya reprobado el segundo Solución: Usualmente es tipo de ejercicios es enfrentado construyendo los conocidos diagramas de Venn tal como se indica en la figura:


En este caso si definimos los siguientes eventos:

A. Reprobar el primer parcial ⇒ Ac : Aprobar el primer parcial B. : Reprobar el segundo parcial ⇒ Bc : Aprobar el segundo parcial

Tenemos que los que aprobaron ambos parciales fueron 100 – 10- 8 – 5 = 77% , los que aprobaron el primer parcial fueron 100 – 15 = 85% , y los que aprobaron el segundo parcial 100 -13 = 87 % En consecuencia tenemos que: P( B | Ac ) = 8 / 85 P( B | A ) = 5 / 15 = 1 /3 P( A | B ) = 5 / 13 P( B | Ac U Bc ) = 8 / 95 Ejemplo 5: De los 300 estudiantes que aprobaron el examen de admisión, el 50% había nacido en Caracas, el 30% en el interior, y el 20% en el extranjero. De los estudiantes nacidos en Caracas, el 60% eran graduados en liceos públicos; de los nacidos en el interior el 30% , y de los nacidos en el extranjero el 50% .

a) Si se elige al azar un estudiante, y éste resultó no ser egresado de un liceo público, ¿ cuál es la probabilidad de que haya nacido en el interior ? .

b) Si se elige al azar un estudiante, y éste resultó no ser nacido en el extranjero, ¿ cuál es la probabilidad de que provenga de un liceo público?

Solución : La metodología utilizada en el ejemplo anterior con el Diagrama de Venn , suele complicarse cuando hay más de dos eventos involucrados en el problema, y un recurso útil en estos casos, es la construcción de una tabla de doble entrada , llamada “tabla de contingencia” , de la siguiente manera: El lugar de nacimiento presenta tres opciones que van a ser representadas en las filas de la tabla, y el tipo de liceo presenta dos alternativas que se van a representar en las columnas de la tablas. Las diferentes celdas de la tabla representan las intersecciones de lugar de nacimiento con el liceo de procedencia, y las sumas de cada fila y de cada columna, el total de cada categoría. Para los datos de ejercicio, la tabla quedaría de la siguiente manera, una vez calculados los porcentajes correspondientes sobre un gran total de 300 estudiantes:

PUBLICO NO PUBLICO TOTAL


CARACAS 90 150 INTERIOR 27 90

EXTRANJERO 30 60 TOTAL 300

Una vez llevados los datos a la tabla, procedemos a completarla de manera que cuadren los totales de fila y de columna con los datos dados, tal como se indica a continuación;

PUBLICO NO PUBLICO TOTAL CARACAS 90 60 150 INTERIOR 27 63 90

EXTRANJERO 30 30 60 TOTAL 147 153 300

Al completar la tabla, la solución del ejercicio es obvia. a) Si tenemos la condición de que el estudiante seleccionado resultó no ser egresado de un liceo público, entonces tenemos 153 casos posibles , y por tanto la probabilidad de que haya nacido en el interior es : 63 / 153 P ( Interior |No publico ) = 63 / 153 Si tenemos la condición de que el estudiante seleccionado resultó no ser nacido en el extranjero , entonces tenemos 150 + 90 = 240 casos posibles , de los cuales 90 + 27 = 117 provienen de liceos públicos ; por tanto la probabilidad pedida es : 117 / 240 P (Publico | No Extranjero) = 117 / 240 II.5 Eventos independientes y Fórmula del producto : Se dice que dos eventos son independientes, cuando la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad del otro. A y B son independientes ⇔: P(A ∩ B) = P(A) P(B) Si son tres eventos A, B y C , la independencia exige que se cumplan 4 condiciones : P(A ∩ B) = P(A) P(B) , P(A ∩ C) = P(A) P(C); P(B ∩ C) = P(B) P(C) , y además P(A ∩ B∩ C) = P(A) P(B) P(C) En general, para que “n” eventos sean independientes es necesario que la probabilidad de cualquier intersección entre dos, tres , etc., e incluso todos ellos, sea igual al producto entre las probabilidades de los eventos involucrados en esa intersección. Solamente en caso de que los eventos sean independientes se pueden multiplicar las probabilidades; y en caso de que no sean independientes, la probabilidad de la intersección debe ser calculada por la fórmula de la probabilidad condicional, es decir: Para eventos dependientes: P(A∩B) = P(A) P(B|A) Si son tres: P(A∩B∩C) = P(A) P(B | A) P(C | A∩B) Es decir, la probabilidad de que ocurran dos eventos simultáneamente es la de de probabilidad de que ocurra el primero multiplicada por la de que ocurra el segundo dado que ocurrió el primero ; y si son tres, hay que multiplicar también por la de que ocurra el tercero dado que ocurrieron los dos primeros.


Cuando la condición del problema no obliga a que el evento deba ocurrir en un determinado orden, tanto para eventos independientes como para dependientes, es necesario tomar el cuenta el número de órdenes como puede ocurrir. Cuando el experimento es con reemplazo, cada extracción es independiente de las restantes; cuando no hay reemplazo, la probabilidad de cada extracción está condicionada a las anteriores. Cuando los eventos son independientes la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro, y se cumple: P(B|A) = P(B) y P(A|B) = P(A) Ejemplo 6: Una caja contiene diez tornillos, de los cuales tres son defectuosos y los siete restantes buenos. Si se seleccionan al azar dos tornillos, calcule la probabilidad de que salga uno bueno y otro defectuoso, en caso de que el muestreo sea: a) con reemplazo, b) sin reemplazo. Solución: Para resolver por probabilidad condicional, tendríamos que considerar los siguientes eventos: Evento A : Seleccionar la primera buena P(A) = 710 Evento B: Seleccionar la segunda defectuosa P(B|A) = 3/ 9 si se extraen sin reemplazo ó P(B|A) = 3/ 10 si hay reemplazo P(A∩B) = 7/10 x 3/ 9 = 7/30 sin reemplazo, o P(A∩B) = 7/10 x 3/ 10 = 21/100 con reemplazo Este evento A∩B representa la ocurrencia de ambos eventos, es decir la primera buena y la segunda defectuosa en ese estricto orden. Si la condición del problema no exige que sea en ese estricto orden, tal como es el caso en donde la pregunta es que uno salga bueno y otro defectuoso sin especificar el orden, entonces es necesario considerar el otro orden cuya probabilidad es la misma. En consecuencia si C es el evento sacar una buena y otra defectuosa P( C ) = 2 x 7/10 x 3 / 9 = 7 /15 sin reemplazo o P( C ) = 2 x 7/10 x 3 / 10 = 21 /50 con reemplazo Nótese que si pregunta fuese la probabilidad de extraer dos defectuosas, entonces la respuesta sería 3/10 x 2 / 9 = 1 /15 sin reemplazo, ó 3/10 x 3 / 10 = 9 /100 con reemplazo. En este caso no queda multiplicada por 2, pues existe un solo orden que es “Defectuosa” la primera y “Defectuosa” la segunda Ejemplo 7 : Por experiencia anterior se sabe que la probabilidad de que una máquina fabrique una pieza defectuosa es de 2% . Si se supone que la producción de cada pieza es independiente de las restantes, ¿cuál es la probabilidad de que en una caja de diez piezas se encuentren: a) cero defectuosas , b) por lo menos dos defectuosas . Solución: a) Para que la diez piezas de la caja sean todas buenas, es necesario que ocurran 10 eventos simultáneamente, primera buena, segunda buena, …,décima buena, cada uno con probabilidad 98%. Al suponer que son independientes, la probabilidad de que ocurran todos es producto (0,98)10 = 0,8171


b)El evento obtener por lo menos dos defectuosas incluye varios casos, 2 defectuosas , ó 3 , etc., hasta 10 defectuosas. Su complemento es “A lo mas una defectuosa” que sólo incluye dos casos “Ninguna defectuosa” o “Sólo una defectuosa” En el apartado anterior ya se encontró la probabilidad de ninguna defectuosa que resultó ser 0,8171. Para calcular la probabilidad de “Sólo una defectuosa” debemos considerar que un posible orden es la primera defectuosa y las nueve restantes buenas, cuya probabilidad es: (0.02) (0,98)9 = 0,0167 La defectuosa podría ir en cualquiera de las 10 posiciones, por tanto, la probabilidad de que sólo una defectuosa es : 10 ( 0,0167) = 0,1670 El evento “A lo más una defectuosa” es la unión entre los eventos “Ninguna Defectuosa” y “Sólo una defectuosa” los cuales son excluyentes. P(A lo mas una defectuosa) = 0,8171 + 0,1670 = 0,9841 P( Por lo menos dos defectuosas) = 1- 0,9841 = 0,0159 II.6 Fórmula de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes : La fórmula de la Probabilidad Total se usa cuando un evento "B" puede ocurrir por varias causas, todas excluyentes entre si: A1, A2 ....,An,de probabilidades conocidas, y se quiere calcular la probabilidad total de que ocurra el evento, sin importar la causa que lo origine. P(B) = P(A1) P(B |A1) + P(A2) P(B |A2) + ......... + P(An) P (B | An) La fórmula de Bayes se utiliza cuando se da la condición de que ocurrió el evento, y se quiere calcular la probabilidad de que haya ocurrido por una causa determinada.

Para aplicar cualquiera de estas dos fórmulas es conveniente construir un árbol de probabilidad o de decisión. El árbol de probabilidades es un diagrama de flujo en donde se representan los posibles caminos por lo que se puede llegar a un evento final. El árbol está formado por nodos y ramas El nodo inicial es único y representa en el momento de inicio, los demás nodos representan instantes intermedios en donde debe tomarse una decisión sobre el rumbo a seguir. Las ramas del árbol representan las posibles decisiones que se pueden tomar, o los posibles resultados del experimento aleatorios. La ocurrencia de los eventos representados en una rama está condicionada a la ocurrencia de las ramas precedentes. Las probabilidades correspondientes a todas las ramas que convergen a un mismo nodos, deben sumar 1 .


Para aplicar la fórmula de la Probabilidad Total, las probabilidades correspondientes a ramas consecutivas que conducen al evento final se multiplican, y luego se suman todos esos productos. Para aplicar la fórmula de Bayes se divide el producto de probabilidades correspondiente a la causa específica, entre la probabilidad total. La técnica de construir un árbol resulta particularmente útil cuando se tiene una secuencia de experimentos, en donde la probabilidad de ocurrencia de un evento en cada etapa está condicionada a lo que ocurrió en las etapas anteriores, Ejemplo 8: En cierto sector, los grupos de ingresos bajos, medios y altos constituyen el 20%, 55% y 25% de la población respectivamente. Se sabe además que el 80% del grupo de bajos recursos, el 30% de los grupos medios, y el 10% de los grupos altos, se oponen a un proyecto de ley. a) Si se selecciona al azar un individuo de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que se oponga al proyecto de ley? b) Si la persona seleccionada se opuso al proyecto de ley, ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo de bajos ingresos? Solución: La primera etapa del experimento, es seleccionar una persona. La selección de esta persona puede dar tres resultados: A (Ingresos Bajos), B (Ingresos Medios) o C (Ingresos Altos). La segunda etapa del experimento es preguntarle a la persona si está a favor o en contra del proyecto de ley; pero esta opinión está condicionada al nivel de ingresos de la persona El árbol de probabilidad escomo sigue:

Tenemos tres caminos para llegar al evento “En Contra” , y la probabilidad total de alcanzarlo es: P(En contra) = 0,20(0,80) + 0,55 (0,30) + 0,25 (0.10) = 0,35 P( A | En contra) = 0,20 (0,80) / 0,35 = 0,4571 Ejemplo 9 : En una fábrica se utilizan 3 máquinas A , B y C para producir un mismo artículo . La máquina A produce 100 piezas diarias, y cada una tiene una probabilidad de 0,06 de ser defectuosa. La máquina B produce 200 piezas diarias, y


cada una tiene una probabilidad 0,02 de ser defectuosa, y la máquina C produce 300 piezas diarias , cada una con probabilidad 0,01 de ser defectuosa . Suponiendo que la producción de cada una de las piezas es independiente de las restantes. a) ¿ Cual es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar durante un día cualquiera, sea defectuosa ? . b) Si examinada una pieza seleccionada al azar, ésta resulto ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B? Solución: La fábrica produce 100 + 200 + 300 = 600 piezas diarias, de las cuales 1/6 las produce la máquina “A” , 1/3 la “B” y ½ la “C”. La primera etapa del proceso, es decidir cuál de las tres máquinas va a producir la pieza , y una vez decidido esto , el resultado puede ser que la pieza producida sea “buena” o “defectuosa”” ,lo que depende de la máquina seleccionada. El árbol de probabilidad es el siguiente:

Tenemos tres caminos para llegar al evento “Defectuosa” , y la probabilidad total de alcanzarlo es: P(Defectuosa) = 1/6 (0,06) + 1/3 (0,02) + ½ (0.01) = 0,0217 P( B| Defectuosa) = 1/3 (0,02) / 0,0217 = 0,3077 Ejemplo 10: Dos jugadores “A” y “B” lanzan alternadamente un dado, comenzando “A” . El primero en sacar un 6 gana un premio. ¿Qué probabilidad tiene “A” de ganar este premio? Solución: Este es un caso de árbol infinito, pues si bien es cierto hay una secuencia de lanzamientos, no hay una fecha cierta para la culminación del juego, y este podría prolongarse hasta el infinito. El árbol quedaría como sigue:


P ( Ganar A) = 1/6 + 5/6 5/6 1/6 + ……

Se obtiene una suma infinita, es decir una serie, en este caso geométrica, y para hallar su límite de convergencia hay que recordar que para una serie geométrica este es a / (1-r) ,siempre y cuando |r| <1 , donde “a” es el primer término de la serie y “r” su razón. En este caso: a= 1/6 , r = (5/6)2 = 25/36 P(Ganar A) = (1/6) / (1- 25/36) = 6/11 EJERCICIOS PROPUESTOS 1º) a) Si A y B son sucesos excluyentes, calcule P ( Ac| B) b) Si C y D son sucesos independientes, calcule P(Cc|Dc) c) Si E y F son sucesos independientes, ¿puede decirse que P(E-F) = P(E) ? Solución: a) 1 b) 1- P(C) c) No 2º) Un auditor sigue el siguiente procedimiento para inspeccionar un lote de facturas: Selecciona al azar dos facturas del lote, y si no contienen errores aprueba el lote; en caso de que las dos facturas seleccionadas contengan errores, entonces envía todo el lote para que sea revisado totalmente; y en caso de que solo una de las facturas contenga errores, entonces toma al azar otra factura entre las restantes no inspeccionadas, y si esta nueva factura no contiene errores entonces aprueba todo el lote, caso contrario lo rechaza enviándolo a la revisión total. Si un lote de 10 facturas, contiene 5 con errores. ¿Cuál es la probabilidad de que el auditor apruebe el lote ? . Solución: 1/2 3º) En un concurso de T.V, se sigue el siguiente procedimiento para otorgar un premio: Entre dos aspirantes, se selecciona uno al azar lanzando una moneda, quedando el perdedor eliminado, y el aspirante seleccionado toma al azar un sobre de tres. Uno de los sobres contiene una pregunta sobre Deportes, otro de los sobres, una pregunta sobre Música, y el último una pregunta sobre Cine. Si el aspirante responde correctamente la pregunta del sobre que tomó, gana el premio; caso contrario pierde. Ud. es uno de los dos aspirantes, y considera que si le toca la pregunta sobre Deportes, la probabilidad de responderla correctamente es de 0,80 , pero si le toca la de Música es de 0,15 , mientras que si le toca la de Cine es de 0,40 .


a) ¿Cual es la probabilidad que tiene Ud., de llevarse el premio? b) Si Ud. se llevó el premio. ¿Cuál es la probabilidad de que le haya salido la pregunta sobre Deportes? . Solución : a) 0.2250 b) 0.5926 4º) Un cierto producto puede presentar dos tipos de defectos. El defecto "A" con una probabilidad 1/10, y el defecto "B" con probabilidad 1/15 . Se sabe que la probabilidad de que un artículo sea bueno (sin ninguno de los dos defectos) es de 53/60. a) ¿Cual es la probabilidad de que un artículo presente los dos tipos de defectos ? b) ¿ Cual es la probabilidad de que presente el defecto "B", si se sabe que no presenta el defecto "A" ? . c) Si se sabe que un artículo presenta solamente un solo defecto, ¿Cual es la probabilidad de que éste sea el defecto "A"? . Solución: a) 1/20 b) 1/ 54 c) 3/4 5º) Considere dos eventos "A" y "B", tales que: P(A) = 1/4 , P(B) = 1/2 , y P(A|B)=1/4 . a) ¿ Son A y B , eventos excluyentes? . b) ¿Son A y B , eventos independientes? . c) Determine P(Ac| Bc). Solución a) No b) Si c) 3/4 6º) En un grupo hay 3 estudiantes de Ingeniería ,4 de Derecho y 2 de Administración. Se van a seleccionar al azar 3 estudiantes, para formar una comisión. a) ¿Cual es la probabilidad de que caiga uno de cada carrera ? . b) ¿Cual es la probabilidad de que caigan los tres de la misma carrera ? . c) ¿Cual es la probabilidad de que no caiga ninguno de Derecho ? . d) ¿Cual es la probabilidad de que caiga alguno de Administración ? . Solución: a) 2/7 b) 5/84 c) 5/42 d) 147/252 7º) Una familia está formada por el padre, la madre, cuatro hijos, y una hija. Si se acomodan al azar para tomarse una foto. ¿Cuál es la probabilidad de que :a) El padre y la madre queden en los extremos de la foto ? . b) La hija salga exactamente entre los dos padres ? . Solución: a y b) 1/21 8º) Una empresa de construcción ha presentado licitación para tres importantes proyectos. La obtención de cada contrato es independiente de los restantes, y se estima que la probabilidad de obtener el contrato "A" es de 0.80, la de obtener el contrato "B" de 0.60 , y la de obtener el contrato "C" de 0.30 . a) ¿Cual es la probabilidad de que la firma obtenga al menos un contrato ? . b) Si la firma obtuvo solo uno de los contratos, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya sido el "B"? . Solución: a) 0.9440 b) 0.2530


9º) Diga justificadamente, si cada una de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a) Si B ⊆ Ac , entonces: P (B | A) = 1 b) Si A ⊆ B , entonces: P (A | B) < P(A) c) P(AUB | A∩B) =1 d) P (Ac|B) = 1 - P (A|Bc) Solución: a) Falsa b) Falsa c) Verdadera d) Falsa 10º) Supóngase que "A" y "B" , son eventos tales que: P(A) = 0,4 ; P(AUB)= 0,7. Sea P(B) =p. ¿Para qué valor de "p", los eventos "A" y "B" son: a) Mutuamente excluyentes? b) Independientes? Solución: a) 0,3 b) 0,5 11º) En un grupo de 12 personas, se encuentran 4 mujeres de las cuales solo una fuma, y 8 hombres de los cuales cuatro de ellos son fumadores. Si se toma una muestra al azar de 2 personas: a) ¿ Cual es la probabilidad de que estas 2 personas no sean fumadoras ? . b) Si ambas personas resultaron no ser fumadoras. ¿Cuál es la probabilidad de haber seleccionado dos mujeres? Solución: a) 7/22 b) 1/7 . 12º) Tres cazadores A,B y C disparan cada uno, una vez sobre un blanco, con probabilidad 1/6 , 1/4 y 1/3 respectivamente de acertar . Si los disparos son independientes: a) ¿ Cual es la probabilidad de que solo uno de ellos acierte ? . b) Si solo uno de ellos acertó , ¿ cuál es la probabilidad de que éste haya sido el cazador A ? . Solución: a) 31/72 . b) 6/31 . 13º) Sean A y B dos eventos independientes, tales que la probabilidad de que ocurran simultáneamente es 1/6 , y la probabilidad de que A ocurra y B no ,es 1/3 . Calcule la probabilidad de ocurrencia de A y de B . Solución: P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 . 14º) En un grupo de 120 estudiantes, 60 de ellos cursan Estadística por lo menos, 50 cursan Matemática por lo menos, y 20 cursan ambas simultáneamente. Si se selecciona un estudiante al azar, calcular las siguientes probabilidades: a) No curse ninguna de las dos asignaturas. b) Curse Matemáticas pero no Estadística. c) Curse Estadística, sabiendo que no cursa Matemática. Solución: a) 1/4 . b) 1/4 . c) 4/7 .


15º) Una compañía financiera opera en tres grandes regiones del país A,B y C. El 50% de sus operaciones las realiza en la región A, el 30% en la región B, y el 20% en la región C. La probabilidad de que un cliente no efectúe a tiempo sus pagos, es de 0,001 para la región A, de 0,002 para la región B, y de 0,008 para la región C . Si se elige al azar una de las operaciones realizadas en el país, y se encontró que no estaba al día en sus pagos, ¿cuál es la probabilidad de que dicha operación corresponda a la región C ? . Solución: 0,5926 16º) En cierta sección, 50% de los estudiantes perdieron Matemáticas por lo menos, 30% perdieron Química por lo menos, y 15% perdieron ambas . Si se selecciona a un estudiante al azar. a) Si perdió Química, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido también Matemáticas? . b) Si perdió Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya perdido también Química ? . c) ¿ Cual es la probabilidad de que haya perdido alguna de las dos asignaturas? . Solución: a) 0,50 b) 0,30 c) 0,65 17º) En cierta sección, el 6% de los hombres y el 2% de las mujeres tienen más de 1,83 m de estatura . Si el 70% de los estudiantes son mujeres, y se selecciona un estudiante al azar, quién resulta tener una estatura de más de 1,83 m. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea mujer? . Solución : 0,4373 18º) Una caja contiene 7 artículos de los cuales 3 son defectuosos, mientras que una segunda caja contiene 6 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se saca al azar un artículo de cada caja. ¿ Cual es la probabilidad de que uno sea defectuoso, y el otro no ? . Solución: 0,4762 . 19º) De acuerdo con sus síntomas, un paciente puede tener sólo una de dos enfermedades "A" o "B" , con probabilidad 1/3 y 2/3 respectivamente . Para precisar el diagnóstico se somete al paciente a un análisis clínico, que puede dar dos resultados: positivo o negativo . Por experiencia anterior se sabe que los pacientes que sufren la enfermedad "A" arrojan resultados positivos en dicho análisis, en el 99% de los casos; mientras que los que padecen la enfermedad "B" en el 6% de los casos. Si al paciente se le sometió al análisis, y el resultado resultó positivo, ¿ cual es la probabilidad de que tenga cada una de las dos enfermedades . Solución: 0,8919 y 0,1081 respectivamente . 20º) En una asignatura, el 20% fue reprobado en el primer parcial por lo menos, el 8% fue reprobado únicamente en el segundo parcial, y el 5% en ambos parciales. Calcular las siguientes probabilidades: a) Un estudiante que pasó el primer parcial, haya sido reprobado en el segundo.


b) Un estudiante reprobado en el primer parcial, haya sido reprobado en el segundo. c) Un estudiante reprobado en el segundo parcial, haya sido reprobado en el primero. Solución: a) 1/10 b) 1/4 c) 5/13 21º) Se lanzan dos dados y se saca una baraja de un mazo de 52. Si la suma de los dados es 6, o si sale un as en la baraja se gana un premio. ¿Cuál es la probabilidad de ganar este premio? . Solución: 0,2051 . 22º) Un banco exige a sus clientes que para formar la clave de su tarjeta electrónica seleccionen 4 dígitos del 0 al 9 sin repetirlos, y que no comience por 0. Un cliente olvidó su clave, solo recuerda que intervienen el 0 y el 4 , pero no recuerda ni el orden , ni los otros dos dígitos restantes. El cliente usa su tarjeta en un cajero automático introduciendo al azar una clave que contenga el 0 y el 4 , no comience por 0 ,dos acompañantes no repetidos al azar y en un orden aleatorio ; si falla introduce otra diferente con la misma estructura, ignorando que al tercer intento fallido, el cajero automático le va a anular su tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente logre sacar dinero del cajero?. Solución: 1/168 23º) Entre los dígitos 1, 2,3,4,5,6,7,8 y 9 se seleccionan al azar dos sin reemplazo. Si su suma resultó un numero par, ¿cuál es la probabilidad de haber seleccionado dos dígitos impares ? Solución: 5 / 8 24º) Se lanzan cinco monedas equilibradas al aire. Si se sabe que apareció al menos una cara, ¿cuál es la probabilidad de que el número exacto de caras sea dos?. Solución: 10 / 31 25°) Si P(A) = x , P(A B) = y , P(BC) = z Exprese las siguientes probabilidades en función de x ,y , z a) P(BA) b) P( AC BB)

Solución : a ) 1 x y zx

+ − − b) y x1 z−−

26°) En una caja hay ocho pelotas, de las cuales tres son blancas, y cinco son de otros colores, todos diferentes entre sí. Si se seleccionan al azar tres pelotas de una sola vez. a) ¿Cual es la probabilidad de sacar alguna pelota blanca entre las tres pelotas seleccionadas? . b) ¿Cual es la probabilidad de sacar tres pelotas de colores diferentes? . Solución: a) 0.8214 b) 0.7143


27º) Si se selecciona al azar un número entero entre 100 y 999. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga: a) Al menos dos unos ?. b) Algún dígito repetido ? . Solución: a) 0.03 b) 0.28 28°) Sea “Ω” un espacio muestral con 50 puntos equiprobables , y sea “A” un suceso que no ocurre en 35 puntos muestrales , y “B” otro suceso con 10 puntos muestrales a su favor . Si los sucesos “A” y “B” tienen en común 4 puntos muestrales , calcule la probabilidad de los siguientes sucesos : a) Ocurre sólo uno de los dos . b) Por lo menos uno de los dos no ocurre. c) No ocurre ninguno de los dos. Solución: a) 0,34 b) 0,92 c) 0,58 29°) Cierto defecto lo presentan los cauchos marca "A" con probabilidad 0,10, mientras que los cauchos marca "B" con probabilidad 0,25. En un lote de 10 cauchos, hay 3 marca "A", y 7 marca "B", y se supone que la calidad de cada caucho es independiente de los otros. a) ¿Cual es la probabilidad de que sólo uno de los 10 cauchos del lote, presente el defecto? b) Si se seleccionan al azar dos cauchos del lote. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos presente el defecto?. c) Si ninguno de los cauchos seleccionados anteriormente presentó el defecto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean marca "A" ? . Solución: a) 0.2595 b) 0.3685 c) 0.0855 30º) Se tienen un conjunto de diez fichas : 6 están marcadas con números positivos , 3 con números negativos y 1 con el 0 . Si se eligen al azar 4 fichas y se multiplican sus números . ¿ Cual es la probabilidad de que el producto sea: a) Positivo ? . b) Cero ? . Solución: a) 4/21 b) 2/5 31º)Sean "A" y "B" eventos tales que : P(A) = 0,3 , P(B) =0,4 y P(Ac U Bc) = 0,8 . Calcule las siguientes probabilidades: a) Que ocurra al menos uno de los dos eventos . b) Que ocurra solo el evento "B" . Solución: a) 0,5 b) 0,2 32º) ¿Cuál es la probabilidad de que el mes de enero, de un año seleccionado al azar, tenga solo 4 domingos ?


Solución: 4 / 7 33°) Seis personas salen de una reunión interrumpida sorpresivamente por un apagón de luz, y cada una toma al azar un maletín. ¿Cuál es la probabilidad de que los señores A y B hayan tomado: a) cada uno de ellos dos, su propio maletín? b) por lo menos uno de ellos dos ,su propio maletín ? . Solución: a) 1/30 b) 3/10 34°) En una encuesta se le pide a una ama de casa que de su opinión sobre cinco marcas de jabón detergente (A, B, C, D y E), indicando el orden de su preferencia, colocando en el primer lugar el que más le gusta, en el segundo lugar al que le siga en preferencia y así sucesivamente. Suponiendo que el ama de casa no tiene preferencia, y responde al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) El detergente "A" quede mejor clasificado que el "B" y que el "C" ? . b) Los detergentes "A" y "B" queden clasificados en alguno de los tres primeros lugares ? . Solución: a) 1/3 b) 3/10 35º) Un examen de selección múltiple consta de 6 preguntas, realizadas de la siguiente manera: Las 3 primeras preguntas son de "Verdadero" o "Falso", donde el estudiante debe marcar una sola de las dos posibilidades. Las 3 últimas preguntas ofrecen 4 alternativas de elección, y el estudiante debe escoger una sola de ellas, según la que considere correcta para cada pregunta. Para aprobar el examen, es necesario responder correctamente 3 preguntas en total, por lo menos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe el examen, respondiendo al azar? Solución: 103 / 256 36º) Cuando un día es radiante la probabilidad de que el siguiente también lo sea es 4/5 , y cuando es lluvioso, la probabilidad de que el siguiente también lo sea es 2/3. Si hoy es "Lunes" , y el día ha sido radiante. a) ¿Cual es la probabilidad de que el "Jueves" sea radiante ? . b) Si el "Jueves" resultó radiante. ¿Cuál es la probabilidad de que el "Miércoles" haya sido lluvioso? . Solución: a) 746/1125 b) 55 / 373 37º) En una caja hay dos pelotas blancas y cuatro negras. Dos jugadores sacan alternadamente, y sin reemplazo, una pelota de la caja. El que saque la segunda pelota blanca gana el juego. a) ¿Cual es la probabilidad de que el jugador que empieza, gane el juego ? .


b) Si se sabe que el jugador que empezó fue el ganador, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado en su segundo turno? Solución: a) 2/5 b) 1/3 38°) Una bolsa contiene tres monedas, una de las cuales esta acuñada con cara por ambos lados; mientras que las otras dos son legales. Se escoge al azar una moneda de la bolsa, y se lanza cuatro veces. Si las cuatro veces salió cara, ¿cuál es la probabilidad de haber seleccionado la moneda ilegal? Solución: 8 / 9 39º) Un estudiante cursa tres asignaturas: Estadística, Matemática y Física; y estima que la probabilidad de aprobar cada una de ellas es 2/3 , 4/5 y 1/4 respectivamente, con resultados independientes entre ellas. a) ¿Cual es la probabilidad de que apruebe al menos dos asignaturas ? . b) Si sabe que reprobó exactamente dos asignaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que una de ellas sea Estadística ?. Solución: a) 19/30 b) 13 /19 40º) Supóngase que una máquina "A" produce diariamente el doble de artículos que otra máquina "B"; pero que sin embargo, el 4,5% de la producción de la máquina "A" es defectuosa, mientras que solo el 3% de la producción de la máquina "B" presenta defectos. Si la producción de cada pieza es independiente de la de las demás, y se revuelven aleatoriamente las piezas producidas por ambas máquinas. a) ¿Cual es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar que resultó ser defectuosa, haya sido fabricada por la máquina "A" ? . b) Si se toman al azar 10 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra contenga alguna defectuosa ? . Solución: a) 3/4 b) 0,3352 41º) "A" y "B" juegan una serie de juegos independientes. La probabilidad de que "A" gane cada juego 2/3, mientras que la de que "B" gane es 1/3 . "A" gana la serie, si logra ganar 5 juegos antes de que "B" gane 3; y en consecuencia, "B" gana la serie, si gana 3 juegos, antes de que "A" gane 5. a) ¿Cual es la probabilidad que tiene cada jugador de ganar la serie ? . b) Si se sabe que "B" ganó la serie . ¿Cuál es la probabilidad de que "A" haya ganado solo un juego ? Solución; a) P(A) = 416/729 b) 54 / 313 42º) Un circuito tiene cinco interruptores colocados de la forma como se indica en la figura:


La posición de cada uno de los cinco interruptores es independiente de la de los demás, y la probabilidad de que un interruptor del tipo T1 esté cerrado (permitir el paso de corriente) es de 2/3 , mientras que para uno del tipo T2 es 3/4 . ¿Cuál es la probabilidad de que la corriente pase de A hacia B ?. Solución: 27/32 43º) Se selecciona al azar un número entero entre 1 y 10.000 . a)¿Cual es la probabilidad de que no sea múltiplo de 6 ni de 10 ? . b) ¿Cual es la probabilidad de que sea múltiplo de sólo uno de ellos ? . Solución: a) 7667 / 10000 b) 1/5 44º) Suponga que en un Bingo hay 20 números, y que cada cartón contiene 5 números de los 20. Los números se van seleccionando al azar y en orden, y si Ud. logra llenar el cartón con la séptima bolita o antes, gana un premio millonario. ¿Cuál es la probabilidad de ganar este premio? Solución: 7 / 5168 45º) De los habitantes de una ciudad, 1 de cada 50 leen una revista, 1 de cada 5 ven un programa de televisión, y 1 de cada 100 leen la revista y ven el programa de televisión Una agencia de publicidad va a enviar un mensaje publicitario por ambos medios, y considera que si una persona recibe el mensaje (por cualquiera de los dos medios), la probabilidad de que compre el producto es de 1/3 ; mientras que si no recibe el mensaje, la probabilidad de que lo compre es de apenas 1/10 . a) ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante de esta ciudad compre el producto? b) Si una persona compró el producto, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido el mensaje publicitario? Solución: a) 0,149 b) 0,4698 46º) De un juego de 52 cartas se selecciona una al azar. Considere los siguientes eventos: A : La carta seleccionada es un As . B : La carta seleccionada es de color rojo . C : La carta seleccionada es el As de Diamante . D : La carta seleccionada es un "Diez" . Analice si:


a) ¿ Son "A" y "B" eventos independientes ? . b) ¿ Son "A" y "C" eventos independientes ? . c) ¿ Son "C" y "D" eventos excluyentes ? . Solución: a) Si b) No c) Si 47º) La primera fila de un teatro tiene 50 butacas, que se asignan aleatoriamente. Si tres personas amigas van al teatro, y solicitan asientos de primera fila, ¿cuál es la probabilidad de que: a) los tres queden juntos ? . b) a alguno de ellos le toque la butaca Nº 13 ? . c) a los tres le toquen butacas de número impar ?. Solución: a) 3/1225 b) 3/50 c) 23 / 196 48°) En un salón de clases hay 9 alumnos, 3 hombres y 6 mujeres. El salón es dividido aleatoriamente en tres equipos de 3 personas cada uno, para asignarle un proyecto diferente a cada equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que algún equipo, quede integrado por sólo mujeres?. Solución: 19 /28 49°) Un examen de selección múltiple consta de tres preguntas con cuatro alternativas de respuesta cada una. Un alumno considera que la probabilidad de que sepa la respuesta correcta es de 0.80 para cualquiera de las preguntas; y en caso de que no la sepa, responderá al azar. Si para aprobar el examen necesita responder correctamente tres preguntas por lo menos , ¿cuál es la probabilidad de aprobar?. Suponga que la forma como responde cada una de las preguntas, es independiente de las demás. Solución: 0,8905 50°) En una primera bolsa hay dos fichas blancas y dos fichas negras, mientras que en otra segunda bolsa hay dos fichas blancas y cuatro negras. Si se sacan al azar y sin reemplazo, dos fichas de cada bolsa, ¿cuál es la probabilidad de sacar en total: a) por lo menos dos fichas blancas ?. b) al menos una de cada color ?. Solución: a) 26/45 b) 83 / 90 51º) Se supone que al nacer un bebé, la probabilidad de ser varón o mujer es la misma, y que además su sexo es independiente del de sus hermanos. Una pareja tiene tres hijos. a) Ud. conoce sólo a uno de los tres hijos, y es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el único varón ?. b) Ud. conoce sólo al mayor de los tres hijos y es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el único varón ?.


c) Ud. conoce sólo a uno de los tres hijos, es varón y sabe que no es el mayor de los tres. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguna hermana?. Solución: a) 3 / 7 b) ¼ c) 5 / 6 52º) El departamento de control de calidad de una industria sigue el siguiente procedimiento para aceptar o rechazar un lote: Se toman tres piezas al azar del lote, si resultan tres defectuosas se rechaza, si ninguna resulta defectuosa lo acepta, y en caso de que resulten una o dos defectuosas selecciona otras tres piezas al azar entre las no inspeccionadas. Si el total de defectuosas es de tres o más se rechaza el lote; caso contrario se acepta. Calcule la probabilidad de aceptar un lote, que contenga cuatro piezas defectuosas. Solución: 0,5666 53º) En una rifa hay cien números y tres premios. El sorteo se realiza con reemplazamiento. ¿Cuántos números debe comprar una persona para tener una probabilidad de por lo menos ½ de ganar algún premio? Solución: 21 números como mínimo 54º) Un hombre tiene 2n llaves de las cuales sólo dos abren una puerta. Intenta abrir la puerta seleccionando llaves al azar de una en una, y descartando las que no sirvan. ¿Cuál es la probabilidad de que requiera más de n intentos? Solución: (n-1) / 2 (2n-1) 55º) Se tienen tres eventos con las siguientes probabilidades: P(A) = P(B) = P(C) = 1/4 ; P(A |C) = ½ ; P ( A U B)c = ½ ; P(BC∩ CC)= ½ Dibuje un Diagrama de Venn que describa la situación planteada, y utilícelo para calcular la probabilidad de que ocurra sólo A , y la de que no ocurra ninguno de los tres eventos dado que no ocurrió C . Solución: La de sólo A es 1/8 , y P (Ac∩ Bc∩ Cc | Cc) = 1/2

56º) Dos personas “A” y “B” lanzan alternadamente una moneda legal. El primero en sacar “cara” en la moneda gana la apuesta. Para decidir quien lanza de primero la moneda, se lanza un dado ; si sale 3 ó 6 en el dado, “A” lanza de primero la moneda, y si sale 1,2,4 ó 5 en el dado, ”B” lanza de primero la moneda.


Encuentre la probabilidad que tiene cada jugador de ganar la apuesta Solución: P(A) = 4/9 ; P(B) = 5/9 57º) Un avión dispone de 192 asientos en su clase turística, distribuidos en 24 filas que se identifican con las letras del abecedario. Cada una de estas 24 filas tiene 8 asientos, 3 del lado izquierdo, 3 del lado derecho, y dos centrales. Existen además dos pasillos de circulación, uno izquierdo y otro derecho, que separan a los asientos centrales de los izquierdos y de los derechos. A una pareja de esposos le asignan aleatoriamente dos asientos en este avión. ¿Cuál es la probabilidad de que queden juntos?. Solución: 5 / 764 VER: “Problemas Difíciles de Probabilidad. Arvelo”

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