Angel ribas

La integral Determina la antiderivada

más general.

Interpreta la integral y su relación con la derivada.

Define la integral definida.

Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.

1

ANGEL RIBASUNIVERSIDAD FERMIN TORO

2

Antiderivadas

Definición: Una función F se llama

antiderivada de una función f en un

intervalo I si la derivada de F es f,

esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe sercontinua.

3

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un

intervalo I, la antiderivada más general de

f en I es F(x)+c, donde c es una constante

arbitraria.

Teorema:

Si dos funciones P y Q son antiderivadas

de una función f en un intervalo I ,

entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)

para todo x en I.

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INTERPRETACION GEOMETRICA

5


6


7


8

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada

una de las siguientes funciones.

n

x

xxfc

b

exfa

)( )

x

1f(x) )

)( )

9

xsen

x

e

x

nx

xgxf

xfc

x

n

cos

1

)1(

)()(

)(

Función

x

xsen

e

x

nx

xGxF

xcF

x

n

cos

ln

1

)()(

)(

1

Antiderivada

particular

10

CALCULO DE ÁREAS

A2

A4

A3

A1

INTEGRAL DEFINIDA Y

¿Área?

11

1e)x(f x

Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

xxfxxfxxfAA nn

n

i

in

**

2

*

1

1

...limlim

x

12

n

1i

ii*

n

b

a

x)x(flimdx)x(f

b

a

dx)x(f

Integrando

Limite

superior

No tiene significado,

indica respecto a que

variable se integra.

El procedimiento para calcular integrales se

llama por si mismo integración.

Limite Inferior

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2° Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función continua en [a, b]

y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:

Esta regla convierte al cálculo de integrales

definidas en un problema de búsqueda de

antiderivadas y evaluación.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

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PROPIEDADES DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f y g son funciones integrables

en [a, b] y y son constantes, se

tiene:

b

a

b

a

b

adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

Propiedad de linealidad

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2. Si existen las integrales de la

izquierda, también existe la integral

de la derecha:

c

a

b

a

b

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

Propiedad aditiva respecto

al intervalo de integración

bac ,

16

La propiedad anterior es aplicada cuando la

función está definida por partes y cuando es

seccionalmente continua.

31 1 -

10 x )(

2

xx

xxf

3

0

1

0

3

1

2 dx)1x(dxxdx)x(f

3

0

dxxf

Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

17

)( abhdxhb

a

Y representa el área de un rectángulo de altura

h y longitud de base (b – a).

3.

18

DEFINICIONES:

Sea f una función integrable en

[a, b], entonces:

a

a0dx)x(f.1

b

a

a

bdx)x(fdx)x(f.2

19

Definición:

Sea f una función contínua tal que:

• f(x) 0 en [a, b] y

• S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)}

Se denota por A(S) y se llama área de

la región definida por S al número

dado por:

b

adx)x(f)S(A

20

y = f(x)

dx

dA = f(x)dx

b

a

f(x)dxA

f(x)

dx

y

x0 a bx

21

Ejemplo 1:

Calcular el área de la región:

S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 +

1}

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dy

y

x0

dyx = g(y)

d

c

d

c

g(y)dyA

dA = g(y)dy

g(y)

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Ejemplo 2:

Hallar el área de la región limitadapor y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y eleje X, tal como lo muestra la figura.

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dx

y

x0 dx

y = f(x)

y = g(x)

f(x)

- g(x)

b

a

dxg(x)-f(x)A

dA =[f(x) - g(x)]dxba

25

3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;

2x1xy

-1 1

-1

1

x

y

26

4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;

x1y2

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